Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Quảng Nam (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi : TOÁN (chung) Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Khóa thi ngày : 07/6/2018 Câu 1: (2,0 điểm) 3 11 10 a. Rút gọn các biểu thức sau: A 5 2 4 5 5 x y y x x y B với x > 0 ; y > 0 . xy x y 4 b. Giải phương trình: x 5. x 2 Câu 2 : (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y 2k 1 x 3 (k là tham số) và parabol (P): y x 2 . a. Vẽ parabol (P). b. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Câu 3 : (2,0 điểm) a. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2x 2 2m 1 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 thỏa mãn điều kiện 3x1 4x 2 11. b. Giải phương trình : x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3. Câu 4 : (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, lấy điểm K thuộc cạnh AD (K khác A, D). Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CK, đường thẳng này cắt các đường thẳng CK và CD theo thứ tự tại I và H. Trang 1
2. a. Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn. b. Tính số đo H· ID. c. Chứng minh HI.HA = HD.HC. 1 1 1 d. Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh . BC2 BK2 BN2 Câu 5 : (0,5 điểm) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c + b c a + c a b > 1. 2ab 2bc 2ca HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký Giám thị 1 Chữ ký Giám thị 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUẢNG NAM Năm học 2018-2019 Khóa ngày 07 tháng 6 năm 2018 Hướng dẫn chấm Môn TOÁN CHUNG (Hướng dẫn chấm này có 5 trang) Câu 1 Nội dung Điểm Ý 2,0 điểm a 3 11 10 A= (1,5đ) 5 2 4 5 5 3 5 2 11 4 5 = 2 5 0,25 5 4 16 5 Trang 2
3. = 3 5 6 4 5 2 5 0,25 = -10 0,25 x y y x x y B với x > 0 ; y > 0 . xy x y xy x y x y x y B = 0,25 xy x y = ( x y) ( x y) 0,25 = 0 0,25 b. 4 Giải phương trình: x 5. (0,5đ) x 2 4 x 5 ĐK: x 2 x 2 Quy đồng khử mẫu ta được phương trình: 0,25 x2 -2x - 4 = 5(x - 2) x2 7 x +6 = 0 Do a +b + c = 1 -7 +6 = 0 nên phương trình có 2 nghiệm: x = 1; x = 6 (thoả mãn) 0,25 Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = 6 Câu 2 2,0 điểm Ý Nội dung Điểm a. Vẽ parabol (P): y x 2 . (1,0đ) Parabol (P) đi qua 5 điểm 0;0 , 1;1 , 1;1 , 2;4 , 2;4 0,5 y 4 0,5 1 -2 -1 O 1 2 x Trang 3
4. b. Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. (1,0đ) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là: 0,25 x2 = (2k 1)x + 3 x 2 (2k 1)x 3 = 0 0,25 Ta có ac = 3 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị 0,25 của k. Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. 0,25 Câu 3 2,0 điểm Ý Nội dung Điểm 3a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình : 2 (1,0đ) 2x 2m 1 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 thỏa mãn điều kiện 3x1 4x 2 11. 2 Phương trình 2x 2m 1 x m 1 0 có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 a 0 2 0 3 2 2m 3 0 m 0,25 0 2m 3 0 2 (Có thể không cần điều kiện a 0 ) Theo viet ta có 2m 1 x x 1 1 2 2 m 1 x .x 2 0,25 1 2 2 Theo giả thiết ta có 13 4m 6m 19 0,25 3x1 4x 2 11 3 . Từ (1) và 3 suy ra x1 ; x2 7 14 Thay vào (2) ta được m 2 2 0,25 24m 51m 198 0 33 (TM) m 8 3b Giải phương trình x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3 (1,0đ) x+3 0 Điều kiện : -3 x 6 . 6-x 0 0,25 u x + 3 2 2 Đặt : ,u,v 0 u v 9. 0,25 v = 6 - x Phương trình đã có trở thành hệ : Trang 4
5. u2 + v2 = 9 (u + v)2 - 2uv = 9 u + v - uv = 3 u + v = 3 + uv Giải hệ ta được 0,25 u 0 u 3 hoặc v 3 v 0 x 3 0 x 3 3 0,25 Suy ra x 3(TM) hoặc x 6(TM ) 6 x 3 6 x 0 Vậy phương trình có nghiệm là x =-3 , x = 6. Bài 4 3,5 điểm Ý Nội dung Điểm a. A B (1,0đ) I K P N H D C a. Chứng minh các tứ giác ABCI, AIDC nội tiếp đường tròn. + Ta có A· BC = 90o(ABCD là hình vuông) và A· IC = 90o (gt) 0,25 Do đó B, I cùng thuộc đường tròn đường kính AC tứ giác ABCI nội tiếp 0,25 + Ta có A· IC = 90o (gt) và A· DC = 90o (ABCD là hình vuông) 0,25 Do đó I, D cùng thuộc đường tròn đường kính AC tứ giác AIDC nội tiếp 0,25 b. b. Tính H· ID . (1,0đ) · · o ACD AID 180 · · Ta có: HID ACD 0,5 · · o HID AID 180 mà A· CD = 45o (tính chất hình vuông ABCD) H· ID = 45o 0,5 c. c. Chứng minh HI.HA = HD.HC (1,0đ) Xét HAD và HCI 0,5 Trang 5
6. · · o HDA HIC 90 Có HAD HCI (g.g) · · AHD IHC chung HA HD 0,25 HC HI HI.HA = HD.HC (đpcm) 0,25 d. d. Đường thẳng BK cắt đường thẳng CD tại N. Chứng minh 1 1 1 . (0,5đ) BC2 BK2 BN2 Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BK, đường thẳng này cắt đường thẳng DC tại P. 0,25 Ta có: A· BK C· BP (cùng phụ K· BC ), AB = BC (ABCD là hình vuông) và B· AK B· CP 90o nên ABK = BCP (g.c.g) BK = BP Trong PBN có: P· BN = 90o ; BC  PN 1 1 1 nên (hệ thức lượng trong tam giác vuông) BC2 BP2 BN2 1 1 1 BC2 BK2 BN2 0,25 Câu 5 Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 0,5 đ + + > 1(1) 2ab 2bc 2ca Nội dung Điểm Trang 6
7. a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 1 2ab 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 c(a b c ) 2abc a(b c a ) 2abc 2 2 2 b(a c b ) 2abc 0 2 2 2 2 2 2 c (a b) c a (b c) a b (a c) b 0 0,25 c(a b c)(a b c) a(b c a)(b c a) b(a c b)(a c b) 0 c(a b c)(a b c) a(b c a)(a b c) b(a c b)(a b c) 0 (a b c)c(a b c) a(b c a) b(a c b) 0 2 2 2 (a b c) ca cb c ab ac a ba bc b 0 2 2 2 (a b c) c a 2ba b 0 2 2 2 (a b c) c (a 2ba b ) 0 2 2 (a b c) c (a b) 0 (a b c)(c a b)(c a b) 0 2 Vì a;b;c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b > c, suy ra a + b –c >0 . Tương tự ta có c - a + b > 0 và c + a –b >0. Nhân vế với vế ba bất đẳng thức nói trên ta có ( a + b –c)( c-a+b) (c + a –b)>0, (2) đúng. Suy ra (1) đúng (đpcm) . 0.25 Ghi chú: Thí sinh có thể giải theo cách khác, giám khảo dựa trên đáp án để phân chia thang điểm hợp lý. Trang 7