Một số bài toán ứng dụng của định lí Vi-ét trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

Nội dung text: Một số bài toán ứng dụng của định lí Vi-ét trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT GV: Ngô Thượng Thủy – THCS Độc Lập – TP Thái Nguyên Sưu tầm và tuyển chọn Ở chương trình toán 9 học sinh đã được làm quen về định lý Vi-ét và các ứng dụng của định lý Vi-ét. Đây là nội dung quan trọng không thể thiếu trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. Nó đóng vai trò quan trọng không chỉ trong chương trình toán học lớp 9 mà còn xuyên suốt cả trong chương trình toán học THCS. Bài viết này giới thiệu một số bài toán có liên quan đến định lí Viet trong một số đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT. I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định lí Vi-ét: 2 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì b c S = x + x = ; P = x . x = 1 2 a 1 2 a * Hệ quả: Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (*) c - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = 1, nghiệm kia là x = 1 2 a c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x = - 1; nghiệm kia là x = 1 2 a 2. Định lý đảo: x1 x 2 S Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: x1.x 2 P X2 - SX + P = 0 2 (Điều kiện tồn tại hai số x1, x2 là S – 4P 0) II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Dạng 1: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2 Giải: S x12 x 3 2 5 Theo Định lí Vi-et ta có P x12 x 3.2 6 Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình xx2 56=0. 1
2. 3 1 1 Ví dụ 2: Cho x1 = ; x2 = . Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: x1; x2 2 1 3 3 1 1 1 3 3 2 Giải: Ta có x1 = ; x2 = = 2 1 3 1 3 1 3 2 3 1 1 1 Nên x1.x2 = . = 2 1 3 2 x1 + x2 = + = 3 2 1 2 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x - 3 x + = 0, hay 2x - 2 3 x + 1 = 0. 2 Dạng 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước 2 Ví dụ 3: Cho phương trình x 3x 2 0 có hai nghiệm x1; x2 . 1 1 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x2 ; y2 x1 x1 x2 - Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y1; y2 bằng cách: Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính y1; y2 Phương trình có a b c 1 ( 3) 2 0 nên phương trình có hai nghiệm là x1 1; x2 2 1 1 1 1 3 Ta có y1 x2 2 3; y2 x1 1 x1 1 x2 2 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm (dạng 2.1) 3 9 S y1 y2 3 2 2 3 9 P y y 3. 1 2 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 2 2 ( hoặc 2y 2 9y 9 0 ) Cách 2: Không tính mà áp dụng Định lí Vi-et tính S y1 y2 ;P y1 y2 sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là Theo Định lí Vi-et ta có: 2
3. 1 1 1 1 x x 3 9 1 2 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2 1 1 1 1 9 (x2 ).(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1x2 2 2 9 9 Phương trình cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 ( hoặc 2y 2 9y 9 0 ) 2 2 2 Ví dụ 4: Cho phương trình 3x 5x 6 0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai 1 1 có các nghiệm y1 x1 ; y2 x2 x2 x1 Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình có 52 4.3.( 6) 97 nên có hai nghiệm vô tỉ là: 5 97 5 97 x ;x 1 6 2 6 Việc tính y1; y2 , S, P cũng phức tạp và mất nhiều thời gian 1 6 1 6 y1 x1 ; y2 x2 x2 5 97 x1 5 97 5 1 S y y ; P y y 1 2 6 1 2 2 5 1 Phương trình cần lập: hay y 2 y 0 6 2 ( hay 6y 2 5y 3 0 ) - Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm là hữu tỉ do đó nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: 5 1 1 1 1 x x 5 5 1 2 3 S y1 y2 x1 x2 (x1 x2 ) (x1 x2 ) x2 x1 x1 x2 x1 x2 3 2 6 1 1 1 1 1 P y1 y2 (x1 ).(x2 ) x1x2 1 1 2 1 1 x2 x1 x1x2 2 2 Phương trình cần lập: hay (hay6y 2 5y 3 0 ) Dạng 3. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham số Ta lần lượt làm theo các bước sau: + Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm xx12; ( a 0; 0 ) + Viết hệ thức S x1 x 2; P x 1 x 2 Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất 3
4. các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số. Ví dụ 5: Cho Phương trình mx2 (2 m 3) x m 4 0 ( m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12; b) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm thì m 0 am 00 9 0 28m 9 0 m 28 2m 3 3 xx 2 (1) 12 mm b) Theo định lí Vi-et ta có: m 44 xx 1 (2) 12 mm 3 12 (1) x x 2 4( x x ) 8(3) mm1 2 1 2 4 12 (2) 1 x x 3 3 x x (4) mm1 2 1 2 Từ (3) và (4) ta được: 4(x1 x 2 ) 8 3 3 x 1 x 2 hay 4(x1 x 2 ) 3 x 1 x 2 11 Ví dụ 6: Gọi là nghiệm của phương trình (m 1) x2 2 mx m 4 0 Chứng minh biểu thức A 3( x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Nhận xét: Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác Ví dụ 9. Khi làm bài cần lưu ý: + Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm thì m 1 am 0 1 0 4 0 5m 4 0 m 5 2m xx 12m 1 Theo định lí Vi-et ta có: m 4 xx 12 m 1 2mm 4 0 Thay vào A ta được: = 3. 2. 8 0 m 1 m 1 m 1 4
5. 4 Vậy A 3( x x ) 2 x x 8 = 0 với  m 1 và m 1 2 1 2 5 hay biểu thức A không phụ thuộc vào m III. BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) 8 và -3 b) 36 và – 104 1 c) 1 2 và 1 2 d) 2 3 và 2 3 2 Bài 2: Cho phương trình x 2x 8 0 có hai nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 3; y2 x2 3 Bài 3: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình x2 mx 2 = 0 Bài 4: Cho phương trình x2 2x m2 0 có hai nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 2x1 1; y2 2x2 1 2 Bài 5: Cho phương trình xx 14 29 0 có hai nghiệm xx12; hãy tính 33 11 xx12 a) xx12 b) xx12 Bài 6: Cho phương trình x2 ( m 2) x 2 m 1 0 có hai nghiệm . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài 7: Cho phương trình x22 2( m 1) x m 1 0(1) a) Giải phương trình (1) khi m = 7 b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số 5