Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Phú Yên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Phú Yên (Có đáp án)

1. STT 46. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018. Câu 1. (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức 4 A 36 27 12 ; B 5 1 2. Giải phương trình: x2 7x 10 0 . Câu 2. (2,0 điểm) Cho hai hàm số y 3x và y x 4 1. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. 2. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng trên. Tìm tọa độ của điểm M bằng phương pháp đại số. Câu 3. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một cano xuôi dòng một khúc sông dài 40 km, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của ca nô (khi nước yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Câu 4. (3 điểm) Cho đường tròn tâm O , đường kính AB 2R , C là điểm chính giữa cung AB . Hai tiếp tuyến với đường tròn O tại A và C cắt nhau ở D . 1. Chứng minh AOCD là hình vuông. 2. Tính diện tích phần nằm ngoài hình thang ABCD của hình tròn O theo R . 1 3. Trên đoạn DC lấy điểm E sao cho DE DC . Trên đoạn BC lấy điểm F sao cho EF EA 3 . Kẻ FG vuông góc với đường thẳng DC (G DC ). Tính độ dài đoạn thẳng CG theo R . 4. Chứng minh AECF nội tiếp. Câu 5. (1,0 điểm) Biết rằng các số x , y thỏa mãn điều kiện x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2 y2 xy .
2. STT 46. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017-2018. Câu 1. Rút gọn biểu thức 4 A 36 27 12 ; B 5 1 2. Giải phương trình: x2 7x 10 0 . Lời giải 1. A 36 27 12 A 6 3 3 2 3 A 6 3 4 B 5 1 4 5 1 B 5 1 B 5 1 2. Giải phương trình: x2 7x 10 0 . 72 4.1.10 49 40 9 0 7 9 7 9 x 2 ; x 5 . 1 2 2 2 Câu 2. Cho hai hàm số y 3x và y x 4 1. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. 2. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng trên. Tìm tọa độ của điểm M bằng phương pháp đại số. Lời giải 1. Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho. Bảng giá trị x 1 y 3x 3 x 0 4 y x 4 4 0 Đồ thị
3. vuong Hide Luoi y 1 x 2. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng trên. Tìm tọa độ của điểm M bằng phương pháp đại số. Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng y 3x và y x 4: 3x x 4 4x 4 x 1 Với x 1 thì y 3 nên M 1;3 . Câu 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình Một cano xuôi dòng một khúc sông dài 40 km, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc thực của ca nô (khi nước yên lặng) biết vận tốc của dòng nước là 2 km/h. Lời giải 4 giờ 30 phút = 4,5 giờ Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h) x 2 Vận tốc ca nô khi xuôi dòng là: x 2 (km/h) Vận tốc ca nô khi ngược dòng là: x – 2 (km/h) 40 Thời gian ca nô xuôi dòng là: (giờ) x 2 40 Thời gian ca nô ngược dòng là: (giờ) x 2 Vì cano xuôi dòng một khúc sông dài 40 km, rồi ngược dòng khúc sông ấy mất 4 giờ30 phút nên ta có phương trình: 40 40 4,5 x 2 x 2
4. 40(x 2) 40(x 2) 4,5(x 2)(x 2) x 2 x 2 (x 2)(x 2) 40(x 2) 40(x 2) 4,5(x 2)(x 2) x 2 x 2 (x 2)(x 2) 40x 80 40x 80 4,5(x2 4) 80x 4,5 x2 4 4,5x2 80x 18 0 9x2 160x 36 0 ' 80 2 9 36 6724 80 6724 80 6724 2 x 18 (nhận); x (loại) 1 9 2 9 9 Vậy vận tốc thực của ca nô là 18 km/h. Câu 4. Cho đường tròn tâm O , đường kính AB 2R , C là điểm chính giữa cung AB . Hai tiếp tuyến với đường tròn O tại A và C cắt nhau ở D . 1. Chứng minh AOCD là hình vuông. 2. Tính diện tích phần nằm ngoài hình thang ABCD của hình tròn O theo R . 1 3. Trên đoạn DC lấy điểm E sao cho DE DC . Trên đoạn BC lấy điểm F sao cho 3 EF EA . Kẻ FG vuông góc với đường thẳng DC (G DC ). Tính độ dài đoạn thẳng CG theo R . 4. Chứng minh AECF nội tiếp. Lời giải E 1) C là điểm chính giữa cung AB nên D C G 1 sđ »AC sđ B»C sđ »AB 90 hay ·AOC 90 . 2 F Do AD vàCD là các tiếp tuyến tại A , C của đường tròn O nên ta có: OA  AD , OC  CD , hay A B O· AD O· CD 90 . O Suy ra, tứ giác AOCD có O· AD O· CD ·AOC 90 và OA OC R . Do đó, tứ giác AOCD là hình vuông. 2) Diện tích phần nằm ngoài hình thang ABCD của hình tròn O được chia thanh hai phần: 1 Phần 1: nửa đường tròn đường kính AB , không chứa điểm C , có diện tích là S R2 . 1 2
5. 1 R2 Phần 2: hình viên phân nằm ngoài tam giác vuông cân OBC , có diện tích là S R2 . 2 4 2 Vậy, diện tích cần tính có giá trị là: 1 1 R2 R2 S R2 R2 3 2 (đơn vị diện tích). 2 4 2 4 3) Tính độ dài đoạn thẳng CG theo R ? Theo chứng minh câu a, ta có: CD DA OA OC R . CD R 2CD 2R Từ giả thiết, ta có: DE ; EC . 3 3 3 3 R2 10R2 Xét tam giác ADE vuông tại D có: AE 2 AD2 DE 2 R2 . 9 9 1 Do CG // AB nên G· CF C· BA sđ »AC 45 . 2 Vậy, tam giác CGF có C· GF 90 ,·GCF 45 nên tam giác CGF vuông cân tại CGF . Do đó, CG GF x x 0 . 2R Xét tam giác vuông EGF có EG EC CG x , GF x , EF EA . 3 Nên theo định lý Pythagore, ta có: EF 2 EG2 GF 2 2 2 2 10R 2R 2 2 4R 2R x x 2x x 0 9 3 3 3 3x2 2Rx R2 0 3x2 3Rx Rx R2 0 3x R x R x R 0 3x R R x 0 3x R 0 do R x 0 R x 3 R Vậy, ta có CG x . 3 4) Chứng minh AECF là tứ giác nội tiếp? Ta chứng minh được ADE EGF c c c nên D· AE G· EF . Mà trong tam giác vuông ADE , ta có: D· AE D· EA 90 . Suy ra G· EF D· EA 90 . Ta có: D· EA ·AEF F· EG 180 ·AEF 180 D· EA F· EG 180 90 90 . Xét tam giác AEF có ·AEF 90 , AE EF , nên tam giác AEF vuông cân tại E . Từ đó, ta có ·AFE 45 . Xét đường tròn tâm O có ·ACE là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC , nên 1 ·ACE sđ »AC 45 . 2 Vậy, tứ giác AECF có ·ACE ·AFE 45 , tức là 2 đỉnh liền kề C, F cùng nhìn đoạn AE dưới các góc như nhau. Do đó, tứ giác AECF là tứ giác nội tiếp.
6. Câu 5. Biết rằng các số x , y thỏa mãn điều kiện x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C x2 y2 xy Lời giải Cách 1: Nhận xét: trong tất cả các điều kiện và biểu thức, vai trò của x , y đều bình đẳng nên C đạt GTNN khi x y . Do đó, ta biến đổi như bên dưới. 2 2 Ta có: C x2 y2 xy a x y b x y a b x2 y2 2 a b xy . 3 a b 1 a 4 Suy ra 1 . a b 1 2 b 4 3 2 1 2 3 1 2 3 Hay ta có: C x y x y .1 x y 4 4 4 4 4 x y 1 Dấu “=” xảy ra khi x y . x y 1 2 3 1 Vậy, giá trị nhỏ nhất của C là min C khi x y . 4 2 Cách 2: Do x y 1 y 1 x . Khi đó, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 3 3 C x y xy x 1 x x 1 x x x 1 x . 2 4 4 1 x 1 Dấu “=” xảy ra khi 2 x y . 2 x y 1 3 1 Vậy, min C khi x y . 4 2 TÊN FACEBOOK CÁC THÀNH VIÊN THAM GIA GIẢI ĐỀ NGƯỜI GIẢI ĐỀ: BÙI THỊ ÁNH NGUYỆT NGƯỜI PHẢN BIỆN: NGUYỄN HOÀNG HẢO