Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.3: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.3: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

1. DẠNG 4: PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN BÀI TẬP 2 Câu 188. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên 0;2 và f 2 3, f x dx 3. 0 2 Tính x. f x dx . 0 A. 3 . B. 3. C. 0. D. 6. Câu 189. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1 2 . Biết 1 1 f x dx 1, tính tích phân I x. f ' x dx . 0 0 A. I 1. B. I 1. C. I 3 . D. I 3 . 1 Câu 190. Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 8 . B. I 8 . C. I 4 . D. I 4 . Câu 191. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và thỏa mãn f 2 16 , 2 1 f x dx 4 . Tính tích phân I x. f 2x dx . 0 0 A. I 12 . B. I 7 . C. I 13 . D. I 20 . Câu 192. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 2 1 , 2 0 f 2x 4 dx 1. Tính xf x dx . 1 2 A. .I 1 B. . I 0 C. . I D.4 . I 4 5 Câu 193. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x3 + 3x + 1)= 3x + 2, " x Î ¡ . Tính I = ò x. f ¢(x)dx . 1 5 17 33 A. . B. . C. . D. 1761. 4 4 4 e f x Câu 194. Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1;e , biết dx 1, f e 1. Khi đó 1 x e I f x .ln xdx bằng 1 A. I 4 . B. I 3 . C. I 1. D. I 0 . Câu 195. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn π π 2 f x f x sin x.cos x , với mọi x R và f 0 0. Giá trị của tích phân x. f x dx bằng 2 0 π 1 π 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 1 x Câu 196. Cho hàm số f x thỏa f 0 f 1 1. Biết e f x f ' x dx ae b . Tính biểu 0 thức Q a2018 b2018 .
2. A. Q 8 . B. Q 6 . C. Q 4 . D. Q 2 . Câu 197. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f x 2018 f x 2018.x2017 .e2018x với mọi x ¡ và f 0 2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1 2019e2018 . B. f 1 2018.e 2018 . C. f 1 2018.e2018 . D. f 1 2017.e2018 . 1 x Câu 198. Cho hàm số y f x với f 0 f 1 1. Biết rằng: e f x f x dx ae b Tính 0 Q a2017 b2017 . A. Q 22017 1. B. Q 2 . C. Q 0 . D. Q 22017 1. 5 Câu 199. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và f 5 10 , xf x dx 30 0 5 . Tính f x dx . 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2. Biết 3 2 67 2 rằng F 1 1, F 2 4, G 1 , G 2 2 và f x G x dx . Tính F x g x dx 2 1 12 1 11 145 11 145 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn x f x 2 dx f 1 . Giá 0 1 trị của I f x dx bằng 0 A. 2 . B. 2. C. 1. D. 1. 2 2 Câu 202. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 và x 1 f x dx a . Tính f x dx 1 1 theo a và b f 2 . A. b a . B. a b . C. a b . D. a b . 2 Câu 203. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16 , f x dx 4 . Tính tích phân 0 1 I x. f 2x dx . 0 A. I 13 . B. I 12 . C. I 20 . D. I 7 . Câu 204. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ biết đồ thị hàm số y f x đi qua điểm 1 0 1 2 M ;4 và f t dt 3, tính I sin 2x. f sin x dx . 2 0 6 A. I 10 . B. I 2 . C. I 1. D. I 1. 2 2 Câu 205. Cho hàm số y f x thỏa mãn sin x. f x dx f 0 1. Tính I cos x. f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 0 . C. I 2 . D. I 1.
3. Câu 206. Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x 2018 f x 2xsin x . Tính 2 I f x dx ? 2 2 2 2 4 A. . B. . C. . D. . 2019 2018 1009 2019 Câu 207. Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f 0 . f 2 0 và 2 g x f x x x 2 ex . Tính giá trị của tích phân I f x .g x dx ? 0 A. 4 . B. e 2. C. 4. D. 2 e. Câu 208. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên 0; thỏa mãn f 3, 4 4 4 f x 4 4 dx 1 và sin x.tan x. f x dx 2 . Tích phân sin x. f x dx bằng: 0 cos x 0 0 2 3 2 1 3 2 A. 4. B. . C. . D. 6. 2 2 2 4 x Câu 209. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16 , f x dx 4 . Tính I xf dx 0 0 2 A. I 12 . B. I 112 . C. I 28. D. I 144 . Câu 210. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn f 1 f 0 1, f 0 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. f x 1 x dx 2018 . B. f x 1 x dx 1. 0 0 1 1 C. f x 1 x dx 2018 . D. f x 1 x dx 1. 0 0 2 Câu 211. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 0 , f x dx và 2 4 2 cos x f x dx . Tính f 2018 . 4 2 1 A. 1. B. 0 . C. . D. 1. 2 Câu 212. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2. Biết f 0 1 2 3 2 2 x 3x f x và f x . f 2 x e2x 4x , với mọi x 0; 2 . Tính tích phân I dx . 0 f x 16 16 14 32 A. I . B. I . C. I . D. I . 3 5 3 5 Câu 213. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 và 1 1 2 1 2 x e 1 f x dx x 1 e f x dx . Tính tích phân I f x dx . 0 0 4 0
4. e e 1 A. I 2 e . B. I e 2 . C. I . D. I . 2 2 2 2 1 Câu 214. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 thỏa mãn x 1 f x dx , 1 3 2 2 2 f 2 0 và f x dx 7 . Tính tích phân I f x dx . 1 1 7 7 7 7 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 5 20 20 Câu 215. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, 1 1 1 2 3 1 f x dx 9 và x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 0 2 0 2 5 7 6 A. . B. . C. . D. . 3 2 4 5 Câu 216. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; và f 0 . Biết 4 4 4 4 8 f 2 x dx , f x sin 2xdx . Tính tích phân I f 2x dx 0 8 0 4 0 1 1 A. I 1. B. I . C. I 2 . D. I . 2 4 Câu 217. . Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết 1 1 1 1 f 2 x dx , f x cos x dx . Tính f x dx . 0 2 0 2 0 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 Câu 218. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa f 1 0, 1 2 1 1 2 1 f x dx và cos x f x dx . Tính f x dx . 0 8 0 2 2 0 1 2 A. . B. . C. . D. . 2 Câu 219. Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện f 1 1 và f 2 4 2 f x 2 f x 1 . Tính J dx . 2 1 x x 1 1 A. J 1 ln 4 . B. J 4 ln 2 . C. J ln 2 . D. J ln 4 . 2 2 Câu 220. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 x e 1 f x dx x 1 e f x dx và f 1 0. Tính f x dx 0 0 4 0 e 1 e2 e A. . B. . C. e 2. D. . 2 4 2 Câu 221. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0, 1 1 1 2 2 1 f x dx 7 và x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 0 3 0
5. 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4
6. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Câu 188. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x liên tục trên 0;2 và f 2 3, f x dx 3. 0 2 Tính x. f x dx . 0 A. 3 .B. 3. C. 0. D. 6. Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 2 2 Ta có x. f x dx xd f x x. f x f x dx 2 f 2 3 3. 0 0 0 0 Câu 189. Cho hàm số y f x có đạo hàm là f ' x liên tục trên đoạn [0; 1] và f 1 2 . Biết 1 1 f x dx 1, tính tích phân I x. f ' x dx . 0 0 A. I 1. B. I 1. C. I 3 . D. I 3 . Hướng dẫn giải 1 Ta có: I x. f ' x dx 0 Đặt u x du dx , dv f ' x dx chọn v f ' x dx f x 1 1 1 I x. f x f x dx 1. f 1 0. f 0 f x dx 2 1 1 0 0 0 Chọn A 1 Câu 190. Cho hàm số f x thỏa mãn x 1 f ' x dx 10 và 2 f 1 f 0 2 . Tính 0 1 I f x dx . 0 A. I 8 .B. I 8 . C. I 4 . D. I 4 . Hướng dẫn giải 1 A x 1 f ' x dx Đặt u x 1 du dx , dv f ' x dx chọn v f x 0 1 1 1 1 1 A x 1 . f x f x dx 2 f (1) f (0) f x dx 2 f x dx 10 f x dx 8 0 0 0 0 0 Chọn B Câu 191. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;2 và thỏa mãn f 2 16 , 2 1 f x dx 4 . Tính tích phân I x. f 2x dx . 0 0 A. I 12 .B. I 7 . C. I 13 . D. I 20 . Hướng dẫn giải Chọn B du dx u x Đặt f 2x . dv f 2x dx v 2
7. x. f 2x 1 1 1 f 2 1 2 16 1 Khi đó: I f 2x dx f t dt .4 7 . 2 0 2 0 2 4 0 2 4 Câu 192. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 2 1 , 2 0 f 2x 4 dx 1. Tính xf x dx . 1 2 A. .IB . 1 I 0 . C. .I 4 D. . I 4 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t 2x 4 dt 2dx , đổi cận x 1 t 2 , x 2 t 0 . 2 1 0 0 0 1 f 2x 4 dx f t dt f t dt 2 f x dx 2 . 1 2 2 2 2 Đặt u x du dx , dv f x dx v f x . 0 0 0 Vậy xf x dx xf x f x dx 2 f 2 2 2.1 2 0 . 2 2 2 5 Câu 193. Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x3 + 3x + 1)= 3x + 2, " x Î ¡ . Tính I = ò x. f ¢(x)dx . 1 5 17 33 A. . B. .C. . D. 1761. 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C 5 ïì u = x ïì du = dx 5 Đặt íï Þ íï Þ I = xf (x) - f (x)dx . ï dv = f ¢ x dx ï v = f x 1 ò îï ( ) îï ( ) 1 ïì f 5 = 5 x = 1 5 3 ï ( ) ( ) Từ f (x + 3x + 1)= 3x + 2 Þ í , suy ra I = 23- f (x)dx. ï f 1 = 2 x = 0 ò îï ( ) ( ) 1 ì 2 ï dt = (3x + 3)dx Đặt t = x3 + 3x + 1Þ íï ï îï f (t)= 3x + 2 Đổi cận: Với t = 1Þ 1= x3 + 3x + 1Û x = 0 và t = 5 Þ x3 + 3x + 1= 5 Û x = 1. 5 1 Casio 33 Khi đó I = 23- ò f (x)dx = 23- ò(3x + 2)(3x2 + 3)dx = 1 0 4 Chọn C e f x Câu 194. Cho hàm số f x liên tục trong đoạn 1;e , biết dx 1, f e 1. Khi đó 1 x e I f x .ln xdx bằng 1 A. I 4 . B. I 3 . C. I 1.D. I 0 . Hướng dẫn giải Chọn D e e e 1 Cách 1: Ta có I f x .ln xdx f x .ln x f x . dx f e 1 1 1 0 . 1 1 1 x dx u ln x du Cách 2: Đặt x . dv f x dx v f x
8. e e e f x Suy ra I f x .ln xdx f x ln x dx f e 1 1 1 0. 1 1 1 x Câu 195. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn π π 2 f x f x sin x.cos x , với mọi x R và f 0 0. Giá trị của tích phân x. f x dx bằng 2 0 π 1 π 1 A. . B. . C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D π Theo giả thiết, f 0 0 và f x f x sin x.cos x nên 2 π π f 0 f 0 f 0 . 2 2 Ta có: π π π 2 2 π 2 I x. f x dx xd f x xf x 2 f x dx 0 0 0 0 π 2 Suy ra: I f x dx . 0 Mặt khác, ta có: π 1 f x f x sin x.cos x 2 f x dx 2 f x dx 2 sin x.cos x dx 2 0 0 2 0 2 0 2 1 2 1 Suy ra: f x dx f x dx f x dx 0 0 2 2 2 4 π 2 1 Vậy I f x dx . 0 4 1 x Câu 196. Cho hàm số f x thỏa f 0 f 1 1. Biết e f x f ' x dx ae b . Tính biểu 0 thức Q a2018 b2018 . A. Q 8 . B. Q 6 . C. Q 4 .D. Q 2 . Hướng dẫn giải 1 1 1 x x x A e f x f ' x dx e f x dx e f ' x dx 0 0  0  A1 A2 1 A ex f x dx 1 0 1 1 Đặt u f x du f ' x dx , dv exdx chọn v ex A ex . f x ex f ' x dx 1 0 0  A2 1 1 Vậy A ex f x A A ex f x e. f 1 f 0 e 1 0 2 2 0 a 1 2018 2018 a b 1 1 2 b 1
9. Chọn D Câu 197. Cho hàm số f x có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f x 2018 f x 2018.x2017 .e2018x với mọi x ¡ và f 0 2018. Tính giá trị f 1 . A. f 1 2019e2018 . B. f 1 2018.e 2018 . C. f 1 2018.e2018 . D. f 1 2017.e2018 . Hướng dẫn giải Chọn A f x 2018. f x Ta có: f x 2018 f x 2018.x2017 .e2018x 2018.x2017 e2018x 1 f x 2018. f x 1 dx 2018.x2017dx 1 2018x 0 e 0 1 f x 2018. f x 1 1 Xets I dx f x .e 2018xdx 2018. f x .e 2018xdx 2018x 0 e 0 0 1 u f x du f x dx Xét I 2018. f x .e 2018xdx . Đặt . 1 2018x 2018x 0 dv 2018.e dx v e 1 Do đó I f x . e 2018x 1 f x .e 2018xdx I f 1 .e 2018x 2018 1 0 0 2018x 2018 1 2018 Khi đó 1 f 1 .e 2018 x 0 f 1 2019.e . 1 x Câu 198. Cho hàm số y f x với f 0 f 1 1. Biết rằng: e f x f x dx ae b Tính 0 Q a2017 b2017 . A. Q 22017 1. B. Q 2 .C. Q 0 . D. Q 22017 1. Hướng dẫn giải Chọn C u f x du f x dx Đặt . x x dv e dx v e 1 1 1 2 ex f x f x dx ex f x ex f x dx ex f x dx ef 1 f 0 e 1. 1 0 0 0 Do đó a 1, b 1. Suy ra Q a2017 b2017 12017 1 2017 0. Vậy Q 0 . 5 Câu 199. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;5 và f 5 10 , xf x dx 30 0 5 . Tính f x dx . 0 A. 20 . B. 30 . C. 20 . D. 70 . Hướng dẫn giải Chọn A u x du dx Đặt dv f x dx v f x 5 5 5 5 x. f x dx x. f x f x dx 30 5 f 5 f x dx 0 0 0 0
10. 5 f x dx 5 f 5 30 20 . 0 Câu 200. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn 1;2. Biết 3 2 67 2 rằng F 1 1, F 2 4, G 1 , G 2 2 và f x G x dx . Tính F x g x dx 2 1 12 1 11 145 11 145 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 12 Hướng dẫn giải Chọn A u F x du f x dx Đặt dv g x dx v G x 2 2 2 2 F x g x dx F x G x f x G x dx F 2 G 2 F 1 G 1 f x G x dx 1 1 1 1 3 67 11 4.2 1. . 2 12 12 1 Câu 201. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn x f x 2 dx f 1 . Giá 0 1 trị của I f x dx bằng 0 A. 2 . B. 2.C. 1. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 Ta có x f x 2 dx x. f x dx 2xdx 0 0 0 1 1 1 1 2 xd f x x x. f x f x dx 1 f 1 I 1. 0 0 0 0 1 Theo đề bài x f x 2 dx f 1 I 1. 0 2 2 Câu 202. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;2 và x 1 f x dx a . Tính f x dx 1 1 theo a và b f 2 . A. b a . B. a b . C. a b . D. a b . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u x 1 du dx ; dv f x dx chọn v f x . 2 2 b 2 2 x 1 f x dx x 1 f x f x dx f 2 f x dx b f x . 1 1 1 a 1 2 2 2 Ta có x 1 f x dx a b f x dx a f x dx b a . 1 1 1
11. 2 Câu 203. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16 , f x dx 4 . Tính tích phân 0 1 I x. f 2x dx . 0 A. I 13 . B. I 12 . C. I 20 .D. I 7 . Hướng dẫn giải Chọn D du dx u x Đặt 1 . dv f 2x dx v f 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó, I x. f 2x f 2x dx f 2 f 2x dx 8 f 2x dx . 2 0 2 0 2 2 0 2 0 Đặt t 2x dt 2dx . Với x 0 t 0 ; x 1 t 2 . 1 2 Suy ra I 8 f t dt 8 1 7 . 4 0 Câu 204. Cho y f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ biết đồ thị hàm số y f x đi qua điểm 1 0 1 2 M ;4 và f t dt 3, tính I sin 2x. f sin x dx . 2 0 6 A. I 10 .B. I 2 . C. I 1. D. I 1. Hướng dẫn giải Chọn B 0 0 Xét tích phân I sin 2x. f sin x dx 2sin x. f sin x .cos xdx . 6 6 1 x t Đặt: t sin x dt cos xdx . Đổi cận: 6 2 . x 0 t 0 0 I 2 t. f t dt . 1 2 u 2t du 2dt Đăt: . dv f t dt v f t 0 0 1 0 I 2t. f t 1 2 f t dt f 2 f t dt . 1 2 1 2 2 2 1 1 Đồ thị hàm số y f x đi qua điểm M ;4 f 4 . 2 2 1 1 0 2 2 Hàm số y f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ f t dt f t dt f x dx 3. 1 0 0 2 Vậy I 4 2.3 2 .
12. 2 2 Câu 205. Cho hàm số y f x thỏa mãn sin x. f x dx f 0 1. Tính I cos x. f x dx . 0 0 A. I 1. B. I 0 .C. I 2 . D. I 1. Hướng dẫn giải Chọn C u f x du f (x)dx Đặt dv sin xdx v cos x 2 2 sin x. f x dx cos x. f x 2 cos x. f x dx . 0 0 0 2 2 I cos x. f x dx sin x. f x dx cos x. f x 2 1 1 0 . 0 0 0 Câu 206. Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x 2018 f x 2xsin x . Tính 2 I f x dx ? 2 2 2 2 4 A. . B. . C. .D. . 2019 2018 1009 2019 Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 Ta có f x 2018 f x dx 2xsin xdx 2 2 2 2 2 2 2 f x dx 2018 f x dx 2xsin xdx 2019 f x dx 2xsin xdx 1 2 2 2 2 2 2 + Xét P 2xsin xdx 2 u 2x du 2dx Đặt dv sin xdx v cos x 2 2 P 2x. cos x sin x 4 2 2 2 4 Từ 1 suy ra I f x dx . 2019 2 Câu 207. Cho hàm số f x và g x liên tục, có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn f 0 . f 2 0 và 2 g x f x x x 2 ex . Tính giá trị của tích phân I f x .g x dx ? 0 A. 4 . B. e 2.C. 4. D. 2 e. Hướng dẫn giải Chọn C
13. Ta có g x f x x x 2 ex g 0 g 2 0 (vì f 0 . f 2 0) 2 2 2 2 2 I f x .g x dx f x dg x f x .g x g x . f x dx x2 2x exdx 4 . 0 0 0 0 0 Câu 208. Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên 0; thỏa mãn f 3, 4 4 4 f x 4 4 dx 1 và sin x.tan x. f x dx 2 . Tích phân sin x. f x dx bằng: 0 cos x 0 0 2 3 2 1 3 2 A. 4.B. . C. . D. 6. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 4 u sin x du cos xdx Ta có: I sin x. f x dx . Đặt . dv f x dx v f x 0 4 3 2 I sin x. f x 4 cos x. f x dx I . 0 1 0 2 4 4 4 2 f x 2 f x 2 sin x.tan x. f x dx sin x. dx 1 cos x . dx . 0 0 cos x 0 cos x 4 f x 4 dx cos x. f x dx 1 I . 1 0 cos x 0 3 2 3 2 2 I 1 I 1 . 1 2 2 2 4 x Câu 209. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f 2 16 , f x dx 4 . Tính I xf dx 0 0 2 A. I 12 .B. I 112 . C. I 28. D. I 144 . Hướng dẫn giải Chọn B u x du dx Đặt x x . dv f dx v 2 f 2 2 Khi đó 4 4 4 x x 4 x x I xf dx 2xf 2 f dx 128 2I với I f dx . 0 1 1 0 2 2 0 2 0 2 x 4 x 2 2 Đặt u dx 2du , khi đó I f dx 2 f u du 2 f x dx 8 . 1 2 0 2 0 0 Vậy I 128 2I1 128 16 112. Câu 210. Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai f x liên tục trên đoạn 0;1 thoả mãn f 1 f 0 1, f 0 2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1 1 A. f x 1 x dx 2018 . B. f x 1 x dx 1. 0 0
14. 1 1 C. f x 1 x dx 2018 . D. f x 1 x dx 1. 0 0 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 Xét I f x 1 x dx 1 x d f x 0 0 u 1 x du dx Đặt dv d f x v f x 1 1 1 I 1 x f x f x dx 1 1 f 1 f 0 f x f 0 f 1 f 0 0 0 0 2018 1 1 2018 . 2 Câu 211. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục thỏa mãn f 0 , f x dx và 2 4 2 cos x f x dx . Tính f 2018 . 4 2 1 A. 1. B. 0 . C. .D. 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn D Bằng công thức tích phân từng phần ta có cos xf x dx sin xf x sin xf x dx . Suy ra sin xf x dx . 2 4 2 2 2 2 1 cos 2x 2x sin 2x Hơn nữa ta tính được sin xdx dx . 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Do đó: f x dx 2 sin xf x dx sin xdx 0 f x sin x dx 0 . 0 0 0 0 Suy ra f x sin x . Do đó f x cos x C . Vì f 0 nên C 0 . 2 Ta được f x cos x f 2018 cos 2018 1. Câu 212. Cho hàm số f x nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2. Biết f 0 1 2 3 2 2 x 3x f x và f x . f 2 x e2x 4x , với mọi x 0; 2 . Tính tích phân I dx . 0 f x 16 16 14 32 A. I .B. I . C. I . D. I . 3 5 3 5 Hướng dẫn giải Chọn B 2 Cách 1: Theo giả thiết, ta có f x . f 2 x e2x 4x và f x nhận giá trị dương nên 2 2x 4x 2 ln f x . f 2 x lne ln f x ln f 2 x 2x 4x . Mặt khác, với x 0 , ta có f 0 . f 2 1 và f 0 1 nên f 2 1.
15. 2 x3 3x2 f x 2 f x Xét I dx , ta có I x3 3x2 . dx 0 f x 0 f x 3 2 u x 3x 2 du 3x 6x dx Đặt f x dv dx v ln f x f x 2 2 2 Suy ra I x3 3x2 ln f x 3x2 6x .ln f x dx 3x2 6x .ln f x dx 1 . 0 0 0 Đến đây, đổi biến x 2 t dx dt . Khi x 0 t 2 và x 2 t 0 . 0 2 Ta có I 3t 2 6t .ln f 2 t dt 3t 2 6t .ln f 2 t dt 2 0 2 Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I 3x2 6x .ln f 2 x dx 2 . 0 2 2 Từ 1 và 2 ta cộng vế theo vế, ta được 2I 3x 6x . ln f x ln f 2 x dx 0 1 2 16 Hay I 3x2 6x . 2x2 4x dx . 2 0 5 Cách 2 (Trắc nghiệm) 2 Chọn hàm số f x ex 2x , khi đó: 3 2 x2 2x 2 x 3x .e . 2x 2 2 16 I dx x3 3x2 . 2x 2 dx . x2 2x 0 e 0 5 Câu 213. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0 và 1 1 2 1 2 x e 1 f x dx x 1 e f x dx . Tính tích phân I f x dx . 0 0 4 0 e e 1 A. I 2 e .B. I e 2 . C. I . D. I . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 1 u f x du f x dx Xét A x 1 ex f x dx . Đặt x x 0 dv x 1 e dx v xe 1 1 1 2 1 1 e Suy ra A xex f x xex f x dx xex f x dx xex f x dx 0 0 0 0 4 1 1 2 2 2x 2x 1 2 1 1 e 1 Xét x e dx e x x . 0 2 2 4 0 4 1 1 1 1 2 x 2 2x x 2 Ta có f x dx 2 xe f x dx x e dx 0 f x xe dx 0 0 0 0 0 2 Suy ra f x xex 0 x 0;1 (do f x xex 0 x 0;1) f x xex f x 1 x ex C Do f 1 0 nên f x 1 x ex 1 1 1 Vậy I f x dx 1 x exdx 2 x ex e 2 . 0 0 0
16. 2 2 1 Câu 214. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;2 thỏa mãn x 1 f x dx , 1 3 2 2 2 f 2 0 và f x dx 7 . Tính tích phân I f x dx . 1 1 7 7 7 7 A. I .B. I . C. I . D. I . 5 5 20 20 Hướng dẫn giải Chọn B 3 2 x 1 Đặt u f x du f x dx , dv x 1 dx v 3 2 2 3 2 3 1 2 x 1 x 1 Ta có x 1 f x dx . f x f x dx 3 1 3 1 3 1 2 2 2 1 1 3 3 3 x 1 f x dx x 1 f x dx 1 2.7 x 1 f x dx 14 3 3 1 1 1 2 2 2 2 6 2 3 6 Tính được 49 x 1 dx 7 f x dx 2.7 x 1 f x dx 49 x 1 dx 0 1 1 1 1 4 2 2 3 3 7 x 1 7 x 1 f x dx 0 f x 7 x 1 f x C . 1 4 4 7 x 1 7 Do f 2 0 f x . 4 4 4 2 2 7 x 1 7 7 Vậy I f x dx dx . 4 4 5 1 1 Câu 215. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, 1 1 1 2 3 1 f x dx 9 và x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 0 2 0 2 5 7 6 A. .B. . C. . D. . 3 2 4 5 Hướng dẫn giải Chọn B 1 2 Ta có: f x dx 9 1 0 1 1 - Tính x3 f x dx . 0 2 du f x dx u f x Đặt 4 3 x dv x .dx v 4 1 1 4 1 1 1 3 x 1 4 1 1 4 x f x dx . f x x . f x dx x . f x dx 2 4 4 4 4 0 0 0 0 1 1 x4. f x dx 1 18 x4. f x dx 18 2 0 0
17. 1 1 x9 1 1 - Lại có: x8dx 81 x8dx 9 3 0 9 0 9 0 - Cộng vế với vế các đẳng thức 1 , 2 và 3 ta được: 1 1 1 2 f x 18x4. f x 81x8 dx 0 f x 9x4 dx 0 . f x 9x4 dx 0 0 0 0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x 9x4 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh Ox bằng 0 9 f x 9x4 0 f x 9x4 f x f x .dx x4 C . 5 14 9 14 Lại do f 1 1 C f x x5 5 5 5 1 1 1 9 5 14 3 6 14 5 f x dx x dx x x . 0 0 5 5 10 5 0 2 Câu 216. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; và f 0 . Biết 4 4 4 4 8 f 2 x dx , f x sin 2xdx . Tính tích phân I f 2x dx 0 8 0 4 0 1 1 A. I 1. B. I . C. I 2 .D. I . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D 4 sin 2x u 2cos 2xdx du Tính f x sin 2xdx . Đặt , khi đó f x dx dv f x v 0 4 4 4 4 f x sin 2xdx sin 2x. f x 4 2 f x cos2xdx sin . f sin 0. f 0 2 f x cos2xdx 0 0 0 2 4 0 4 2 f x cos2xdx . 0 4 4 Theo đề bài ta có f x sin 2xdx f x cos2xdx . 0 4 0 8 4 Mặt khác ta lại có cos2 2xdx . 0 8 4 4 2 2 2 Do f x cos2x dx f x 2f x .cos2x cos 2x dx 2 0 nên 0 0 8 8 8 f x cos 2x . 8 1 8 1 Ta có I cos 4xdx sin 4x . 0 4 0 4
18. Câu 217. . Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f 0 f 1 0 . Biết 1 1 1 1 f 2 x dx , f x cos x dx . Tính f x dx . 0 2 0 2 0 1 2 3 A. . B. .C. . D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn C u cos x du sin x dx Đặt . dv f x dx v f x 1 1 1 Khi đó: f x cos x dx cos x f x f x sin x dx 0 0 0 1 1 f 1 f 0 f x sin x dx f x sin x dx 0 0 1 1 f x sin x dx . 0 2 Cách 1: Ta có 1 2 Tìm k sao cho f x k sin x dx 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 Ta có: f x k sin x dx f x dx 2k f x sin x dx k sin x dx 0 0 0 0 1 k 2 k 0 k 1. 2 2 1 2 2 Do đó f x sin x dx 0 f x sin x (do f x sin x 0 x ¡ ). 0 1 1 2 Vậy f x dx sin x dx . 0 0 Cách 2: Sử dụng BĐT Holder. b 2 b b 2 2 f x g x dx f x dx. g x dx . a a a Dấu “ ” xảy ra f x k.g x , x a;b. 1 2 1 1 1 2 2 1 Áp dụng vào bài ta có f x sin x dx f x dx. sin x dx , 4 0 0 0 4 suy ra f x k.sin x , k ¡ . 1 1 1 1 Mà f x sin x dx k sin2 x dx k 1 f x sin x 0 2 0 2 1 1 2 Vậy f x dx sin x dx . 0 0 Câu 218. Cho hàm số f x có đạo hàm f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa f 1 0, 1 2 1 1 2 1 f x dx và cos x f x dx . Tính f x dx . 0 8 0 2 2 0
19. 1 2 A. . B. . C. .D. . 2 Hướng dẫn giải Chọn D u f x du f x dx Đặt x 2 x dv cos dx v sin 2 2 1 1 Do đó cos x f x dx 0 2 2 1 1 2 x 2 1 1 sin f x sin x f x dx sin x f x dx . 2 0 0 2 2 0 2 4 1 2 1 Lại có: sin x dx 0 2 2 1 2 1 1 2 2 2 I . f x dx 2 sin x f x dx sin x dx 0 0 2 0 2 2 1 2 4 2 2 1 f x sin x dx . 0 2 0 2 8 2 2 2 2 Vì f x sin x 0 trên đoạn 0;1 nên 2 1 2 2 2 f x sin x dx 0 f x =sin x f x = sin x . 0 2 2 2 2 Suy ra f x =cos x C mà f 1 0 do đó f x =cos x . 2 2 1 1 2 Vậy f x dx cos x dx . 0 0 2 Câu 219. Xét hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và thỏa mãn điều kiện f 1 1 và f 2 4 2 f x 2 f x 1 . Tính J dx . 2 1 x x 1 1 A. J 1 ln 4 . B. J 4 ln 2 . C. J ln 2 .D. J ln 4 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 f x 2 f x 1 2 f x 2 f x 2 2 1 Cách 1: Ta có J dx dx dx dx . 2 2 2 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 1 u du 2 dx Đặt x x dv f x dx v f x 2 2 f x 2 f x 1 1 2 f x 2 f x 2 2 1 J dx . f x dx dx dx 2 2 2 2 1 x x x 1 1 x 1 x 1 x x 2 1 1 1 f 2 f 1 2ln x ln 4 . 2 x 1 2
20. 2 f x 2 f x 1 2 xf x f x 2 1 Cách 2: J dx dx 2 2 2 1 x x 1 x x x 2 2 2 f x 2 1 f x 1 1 dx 2 dx 2ln x ln 4 . x x x x x 2 1 1 1 Cách 3: ( Trắc nghiệm) f 1 1 a 3 Chọn hàm số f x ax b . Vì , suy ra f x 3x 2 . f 2 4 b 2 2 2 5 3x 1 1 1 Vậy J dx 2ln x ln 4 . 2 1 x x x 1 2 Câu 220. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn 1 1 2 1 2 x e 1 f x dx x 1 e f x dx và f 1 0. Tính f x dx 0 0 4 0 e 1 e2 e A. . B. .C. e 2. D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 - Tính: I x 1 ex f x dx xex f x dx ex f x dx J K . 0 0 0 1 Tính K ex f x dx 0 x x x u e f x du e f x e f x dx Đặt dv dx v x 1 1 1 1 K xex f x xex f x xex f x dx xex f x dx xex f x dx do f 1 0 0 0 0 0 1 1 K J xex f x dx I J K xex f x dx . 0 0 - Kết hợp giả thiết ta được: 1 2 1 2 2 e 1 2 e 1 f x dx f x dx (1) 0 4 0 4 1 e2 1 1 e2 1 xex f x dx 2 xex f x dx (2) 0 4 0 2 1 e2 1 - Mặt khác, ta tính được: x2e2xdx (3) . 0 4 - Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được: 1 1 1 2 x 2 2x x 2 x 2 f x 2xe f x x e dx 0 f x xe dx 0 f x xe dx 0 0 o o hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x xex , trục Ox , các đường thẳng x 0 , x 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0 f x xex 0 f x xex f x xexdx 1 x ex C.
21. - Lại do f 1 0 C 0 f x 1 x ex 1 1 1 1 1 f x dx 1 x exdx 1 x ex exdx 1 ex e 2 . 0 0 0 0 0 1 Vậy f x dx e 2 . 0 Câu 221. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 0, 1 1 1 2 2 1 f x dx 7 và x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 0 3 0 7 7 A. . B. 1. C. . D. 4 . 5 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 du f x dx 2 u f x Cách 1: Tính: x f x dx . Đặt 3 . 2 x 0 dv x dx v 3 1 1 x3 f x 1 1 Ta có: x2 f x dx x3. f x dx 3 3 0 0 0 1. f 1 0. f 0 1 1 1 1 x3. f x dx x3. f x dx . 3 3 0 3 0 1 1 1 1 1 1 Mà x2 f x dx x3. f x dx x3. f x dx 1. 0 3 3 0 3 0 1 2 Ta có f x dx 7 (1). 0 1 1 x7 1 1 1 x6dx 49x6dx .49 7 (2). 0 7 0 7 0 7 1 1 x3. f x dx 1 14x3. f x dx 14 (3). 0 0 1 1 1 2 6 3 Cộng hai vế (1) (2) và (3) suy ra f x dx 49x dx 14x . f x dx 7 7 14 0. 0 0 0 1 1 2 3 6 3 2 f x 14x f x 49x dx 0 f x 7x dx 0 . 0 0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 Do f x 7x 0 f x 7x dx 0 . Mà f x 7x dx 0 f x 7x . 0 0 7x4 7 7 f x C . Mà f 1 0 C 0 C . 4 4 4 7x4 7 Do đó f x . 4 4 1 1 1 7x4 7 7x5 7 7 Vậy f x dx dx x . 4 4 20 4 5 0 0 0 1 Cách 2: Tương tự như trên ta có: x3. f x dx 1 0
22. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 2 1 1 1 1 3 3 2 2 1 2 2 7 7 x f x dx 7 x dx  f x dx 7  f x dx f x dx 0 0 0 7 0 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f x ax3 , với a ¡ . 1 1 1 ax7 Ta có x3. f x dx 1 x3.ax3dx 1 1 a 7 . 0 0 7 0 7x4 7 Suy ra f x 7x3 f x C , mà f 1 0 nên C 4 4 7 Do đó f x 1 x4 x ¡ . 4 1 1 7x4 7 7x5 7 1 7 Vậy f x dx dx x . 0 0 4 4 20 4 0 5 Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f x và g x liên tục trên đoạn a;b . b 2 b b 2 2 Khi đó, ta có f x g x dx f x dx  g x dx . a a a Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h x liên tục và không âm trên đoạn a;b thì h x dx 0 a 2 2 2 2 Xét tam thức bậc hai  f x g x  f x 2 f x g x g x 0 , với mọi  ¡ Lấy tích phân hai vế trên đoạn a;b ta được b b b  2 f 2 x dx 2 f x g x dx g 2 x dx 0 , với mọi  ¡ * a a a Coi * là tam thức bậc hai theo biến  nên ta có 0 b 2 b b 2 2 2 f x dx f x dx g x dx 0 a a a b 2 b b 2 2 2 f x dx f x dx g x dx (đpcm) a a a