Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 3 - Chủ đề 1: Ngyên hàm (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Khối 12 - Chương 3 - Chủ đề 1: Ngyên hàm (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 1. NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K . Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . 2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. Do đó F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f x dx F x C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: f x dx f x và f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp u u x dx x C du u C 1 1 x dx x 1 C 1 u du u 1 C 1 1 1 1 1 dx ln x C du ln u C x u exdx ex C eu du eu C a x au a xdx C a 0,a 1 au du C a 0,a 1 ln a ln a sin xdx cos x C sin udu cosu C cos xdx sin x C cosudu sin u C 1 1 dx tan x C du tan u C cos2 x cos2 u 1 1 dx cot x C du cot u C sin2 x sin2 u II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1. Phương pháp đổi biến số Định lí 1: Nếu f u du F u C và u u x là hàm số có đạo hàm liên tục thì f u x u ' x dx F u x C 1 Hệ quả: Nếu u ax b a 0 thì ta có f ax b dx F ax b C a 2. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u u x và v v x có đạo hàm liên tục trên K thì Trang 1/34
2. u x v ' x dx u x v x u ' x v x dx Hay udv uv vdu A.KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x x3 3x 2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x4 3x2 x4 A. F x 2x C . B. F x 3x2 2x C . 4 2 3 x4 x2 C. F x 2x C .D. F x 3x2 3x C . 4 2 Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 2. Hàm số F x 5x3 4x2 7x 120 C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x 15x2 8x 7 .B. f x 5x2 4x 7 . 5x2 4x3 7x2 C. f x .D. f x 5x2 4x 7 . 4 3 2 Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ta được kết quả. 1 Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số: y x2 3x là x x3 3 x3 3 A. F x x2 ln x C .B. F x x2 ln x C . 3 2 3 2 x3 3 1 C. F x x2 ln x C . D. F x 2x 3 C . 3 2 x2 Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 1 x 2 x3 3 x3 2 A. F x x2 2x C .B. F x x2 2x C . 3 2 3 3 x3 2 C. F x 2x 3 C .D. F x x2 2x C . 3 3 Hướng dẫn giải: f x x 1 x 2 x2 3x 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm. 2 2 3 Câu 5. Nguyên hàm F x của hàm số f x là hàm số nào? 5 2x x x2 3 3 A. F x ln 5 2x 2ln x C . B. F x ln 5 2x 2ln x C . x x 3 3 C. F x ln 5 2x 2ln x C . D. F x ln 5 2x 2ln x C . x x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm. 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Câu 6. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin 2x 1 1 A. sin 2xdx cos 2x C . B. sin 2xdx cos 2x C . 2 2 C. sin 2xdx cos 2x C . D. sin 2xdx cos 2x C . 1 1 Hướng dẫn giải sin 2xdx sin 2xd(2x) cos 2x C . 2 2 Trang 2/34
3. Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos 3x . 6 1 A. f (x)dx sin 3x C .B. f (x).dx sin 3x C . 3 6 6 1 1 C. f (x)dx sin 3x C . D. f (x)dx sin 3x C . 3 6 6 6 1 1 Hướng dẫn giải: f (x)dx cos 3x d 3x sin 3x C . 3 6 6 3 6 x Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 tan2 . 2 x x A. f (x)dx 2 tan C .B. f (x)dx tan C . 2 2 1 x x C. f (x)dx tan C . D. f (x)dx 2 tan C . 2 2 2 x d x 1 dx 2 x Hướng dẫn giải: f (x) 1 tan2 nên . 2 2 tan C x x x 2 cos2 cos2 cos2 2 2 2 2 1 Câu 9. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 2 sin x 3 1 A. f (x)dx cot x C .B. f (x)dx cot x C . 3 3 3 1 C. f (x)dx cot x C .D. f (x)dx cot x C . 3 3 3 d x dx 3 Hướng dẫn giải: cot x C . 2 2 3 sin x sin x 3 3 Câu 10. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin3 x.cos x . sin4 x sin4 x A. f (x)dx C .B. f (x)dx C . 4 4 sin2 x sin2 x C. f (x)dx C .D. f (x)dx C . 2 2 sin4 x Hướng dẫn giải sin3 x.cos x.dx sin3 x.d(sin x) C . 4 4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT. Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ex e x . A. f x dx ex e x C .B. f x dx ex e x C . C. f x dx ex e x C .D. f x dx ex e x C . Hướng dẫn giải: ex e x dx ex e x C . Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x.3 2x . x x 2 1 9 1 A. f x dx . C .B. f x dx . C . 9 ln 2 ln 9 2 ln 2 ln 9 Trang 3/34
4. x x 2 1 2 1 C. f x dx . C .D. f x dx . C . 3 ln 2 ln 9 9 ln 2 ln 9 x x x 2x 2 2 1 Hướng dẫn giải: 2 .3 dx dx . C 9 9 ln 2 ln 9 Câu 13. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) ex (3 e x ) là A. F(x) 3ex x C . B. F(x) 3ex ex ln ex C . 1 C. F(x) 3ex C . D. F(x) 3ex x C . ex Hướng dẫn giải: F(x) ex (3 e x )dx (3ex 1)dx 3ex x C Câu 14. Hàm số F x 7ex tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x x e x 1 A. f x e 7 2 .B. f x 7e 2 . cos x cos x x 2 x 1 C. f x 7e tan x 1. D. f x 7 e 2 . cos x 1 e x Hướng dẫn giải: Ta có g '(x) 7ex ex (7 ) f (x) cos2 x cos2 x Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) e4x 2 . 1 A. f x dx e2x 1 C .B. f x dx e2x 1 C . 2 1 1 C. f x dx e4x 2 C .D. f x dx e2x 1 C . 2 2 1 Hướng dẫn giải: e4x 2 dx e2x 1dx e2x 1 C . 2 4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC. 1 Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f (x) là 2x 1 A. f x dx 2x 1 C . B. f x dx 2 2x 1 C . 2x 1 C. f x dx C .D. f x dx 2 2x 1 C . 2 1 1 d 2x 1 Hướng dẫn giải: dx 2x 1 C . 2x 1 2 2x 1 1 Câu 17. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 3 x A. f x dx 2 3 x C . B. f x dx 3 x C . C. f x dx 2 3 x C .D. f x dx 3 3 x C . 1 d 3 x Hướng dẫn giải: dx 2 3 x C . 3 x 3 x Câu 18. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2x 1 . 1 2 A. f x dx 2x 1 2x 1 C .B. f x dx 2x 1 2x 1 C . 3 3 1 1 C. f x dx 2x 1 C .D. f x dx 2x 1 C . 3 2 Hướng dẫn giải: Đặt t 2x 1 dx tdt Trang 4/34
5. t3 1 2x 1dx= t 2dt C 2x 1 2x 1 C . 3 3 Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 5 3x . 2 2 A. f x dx 5 3x 5 3x C .B. f x dx 5 3x 5 3x . 9 3 2 2 C. f x dx 5 3x 5 3x .D. f x dx 5 3x C . 9 3 2tdt Hướng dẫn giải: Đặt t 5 3x dx 3 2 5 3xdx 5 3x 5 3x C . 9 Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3 x 2 . 3 3 A. f x dx x 2 3 x 2 C .B. f x dx x 2 3 x 2 C . 4 4 2 2 1 C. f x dx x 2 x 2 .D. f x dx x 2 3 C . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Đặt t 3 x 2 dx 3t 2dt . Khi đó 3 x 2dx x 2 3 x 2 C 4 Câu 21. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3 1 3x . 1 3 A. f x dx 1 3x 3 1 3x C .B. f x dx 1 3x 3 1 3x C . 4 4 2 1 C. f x dx 1 3x 3 1 3x C .D. f x dx 1 3x 3 C . 4 1 Hướng dẫn giải: Đặt t 3 1 3x dx t 2dt . Khi đó 3 1 3xdx 1 3x 3 1 3x C 4 Câu 22. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e3x . 2 e3x 3 A. f x dx C B. f x dx C 3x 3 2 e 3x 2 3 e3x 2e 2 C. f x dx C D. f x dx C 2 3x 2 3x 3x 3x 3x 2 3x 2 2 e Hướng dẫn giải: e dx e 2 .d .e 2 C C 3 2 3 3 Câu 23. Hàm số F x x 1 2 x 1 2016 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? 5 5 A. f x x 1 x 1 B. f x x 1 x 1 C 2 2 2 C. f x x 1 x 1 D. f x x 1 x 1 C 5 5 Hướng dẫn giải: F ' x x 1 x 1 2 1 2 Câu 24. Biết một nguyên hàm của hàm số f x 1 là hàm số F x thỏa mãn F 1 . 1 3x 3 Khi đó F x là hàm số nào sau đây? 2 2 A. F x x 1 3x 3 B. F x x 1 3x 3 3 3 Trang 5/34
6. 2 2 C. F x x 1 3x 1 D. F x 4 1 3x 3 3 Hướng dẫn giải 1 1 d 1 3x 2 F x 1 dx x x 1 3x C 1 3x 3 1 3x 3 2 2 F 1 C 3 F x x 1 3x 3 3 3 a Câu 25. Biết F(x) 6 1 x là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó giá trị của a bằng 1 x 1 A. 3 . B. 3 . C. 6 . D. . 6 3 Hướng dẫn giải: F '(x) 6 1 x a 3 1 x 4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 26. Tính F(x) xsin xdx bằng A. F(x) sin x x cos x C .B. F(x) xsin x cos x C . C. F(x) sin x x cos x C . D. F(x) xsin x cos x C . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần Phương pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập F(x) f (x) , CALC ngẫu nhiên tại một dx số điểm x0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của u + v x + sin x 1 - cos x 0 + sin x Vậy F(x) sin x x cos x C . Câu 27. Tính x ln2 xdx . Chọn kết quả đúng: 1 1 A. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .B. x2 2ln2 x 2ln x 1 C . 4 2 1 1 C. x2 2ln2 x 2ln x 1 C .D. x2 2ln2 x 2ln x 1 C . 4 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần. Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 . d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2 ln x + x 2ln x x2 x 2 Trang 6/34
7. 2 2 ln x (chuyển qua dv ) x (nhận từ u ) x - x 1 x2 x 2 1 x 1 1 (chuyển qua dv ) (nhận từ u ) x + 2 x 0 x2 4 1 1 1 1 Do đó x ln2 xdx x2 ln2 x x2 ln x x2 C = x2 2ln2 x 2ln x 1 C . 2 2 4 4 Câu 28. Tính F(x) xsin x cos xdx . Chọn kết quả đúng: 1 x 1 x A. F(x) sin 2x cos 2x C . B. F(x) cos 2x sin 2x C . 8 4 4 2 1 x 1 x C. F(x) sin 2x cos 2x C .D. F(x) sin 2x cos 2x C . 4 8 4 8 Hướng dẫn giải: 1 Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x sin 2x rồi sử dụng phương pháp nguyên hàm 2 từng phần. Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. x Câu 29. Tính F(x) xe 3 dx . Chọn kết quả đúng x x A. F(x) 3(x 3)e 3 C B. F(x) (x 3)e 3 C x 3 x x 3 x C. F(x) e 3 C D. F(x) e 3 C 3 3 Hướng dẫn giải: x Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u x,dv e 3 dx . Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 . d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. x Câu 30. Tính F(x) dx . Chọn kết quả đúng cos2 x A. F(x) x tan x ln | cos x | C .B. F(x) x cot x ln | cos x | C . C. F(x) x tan x ln | cos x | C .D. F(x) x cot x ln | cos x | C . Hướng dẫn giải: 1 Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u x,dv dx cos2 x Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 . Trang 7/34
8. d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 31. Tính F(x) x2 cos xdx . Chọn kết quả đúng A. F(x) (x2 2)sin x 2x cos x C . B. F(x) 2x2 sin x x cos x sin x C . C. F(x) x2 sin x 2x cos x 2sin x C .D. F(x) (2x x2 )cos x xsin x C . Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần với 2 u x ;dv cos xdx , sau đó u1 x;dv1 sin xdx . Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng. Câu 32. Tính F(x) xsin 2xdx . Chọn kết quả đúng 1 1 A. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C .B. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4 4 1 1 C. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C .D. F(x) (2x cos 2x sin 2x) C . 4 4 Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u x;dv sin 2xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập d (F(x)) f (x) , CALC ngẫu nhiên tại một số điểm x bất kỳ, nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì dx 0 chọn đáp án đó. Câu 33. Hàm số F(x) xsin x cos x 2017 là một nguyên hàm của hàm số nào? A. f (x) x cos x .B. f (x) xsin x . C. f (x) x cos x .D. f (x) xsin x . Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Tính F '(x) có kết quả trùng với đáp án chọn. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên x trong tập xác định, dx 0 nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn. 1 ln(x 1) Câu 34. Tính dx . Khẳng định nào sau đây là sai? x2 1 ln(x 1) x 1 ln(x 1) x A. ln C B. ln C x x 1 x x 1 x 1 1 ln(x 1) C. 1 ln(x 1) ln | x | C D. ln x 1 ln x C x x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với 1 1 u 1 ln(x 1);dv dx hoặc biến đổi rồi đặt u ln(x 1);dv dx . x2 x2 Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra bằng định nghĩa. 4.1.6. ÔN TẬP Câu 35. Hãy chọn mệnh đề đúng Trang 8/34
9. a x x 1 A. a xdx C 0 a 1 .B. x dx C, R . ln a 1 f (x) f (x)dx C. f (x).g(x)dx f (x)dx. g(x)dx . D. dx . g(x) g(x)dx Hướng dẫn giải: A đúng. B sai vì thiếu điều kiện  1; C, D sai vì không có tính chất. Câu 36. Mệnh đề nào sau đây sai? 1 A. sin xdx cos x C .B. dx ln x C, x 0. x a x D. a xdx C,(0 a 1) . C. exdx ex C . ln a Hướng dẫn giải: sin xdx cos x C 1 Câu 37. Hàm số f (x) x3 x2 3 có nguyên hàm là x x4 x3 x3 A. F(x) 3x ln x C .B. F(x) x4 3x ln x C . 4 3 3 1 C. F(x) 3x2 2x C .D. F(x) x4 x3 3x ln x C . x2 1 x4 x3 Hướng dẫn giải: F(x) (x3 x2 3 )dx 3x ln x C x 4 3 Câu 38. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) tan2 x là A. F x tan x x C .B. F x tan x x C . C. F x tan x x C . D. F x tan x x C . 1 Hướng dẫn giải: f (x)dx 2 1 dx tan x x C cos x Câu 39. Hàm số F(x) 7sin x cos x 1 là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? A. f x sin x 7cos x .B. f x sin x 7cos x . C. f x sin x 7cos x . D. f x sin x 7cos x . Hướng dẫn giải: F '(x) 7cos x sin x 1 Câu 40. Kết quả tính dx là sin2 x cos2 x A. tan x cot x C . B. cot 2x C . C. tan 2x x C . D. tan x cot x C . 1 1 1 Hướng dẫn giải: 2 2 dx 2 2 dx tan x cot x C sin x cos x cos x sin x 1 1 Câu 41. Hàm số F(x) 3x2 1 có một nguyên hàm là x x2 1 1 A. f (x) x3 2 x x .B. f (x) x3 x x . x x 1 1 1 C. f (x) x3 2 x .D. f (x) x3 x x . x 2 x 2 1 1 3 1 Hướng dẫn giải: Ta có F(x)dx 3x 2 1 dx x 2 x 2 x C x x x cos x Câu 42. Hàm số f (x) có một nguyên hàm F(x) bằng sin5 x Trang 9/34
10. 1 1 4 4 A. .B. .C. .D. . 4sin4 x 4sin4 x sin4 x sin4 x cos x 1 1 Hướng dẫn giải: f (x)dx dx d(sin x) C sin5 x sin5 x 4sin4 x Câu 43. Kết quả tính 2x 5 4x2 dx bằng 1 3 3 A. 5 4x2 C .B. 5 4x2 C . 6 8 1 3 1 3 C. 5 4x2 C .D. 5 4x2 C . 6 12 Hướng dẫn giải: Đặt t 5 4x2 tdt 4xdx 1 1 1 3 Ta có 2x 5 4x2 dx t 2dt t3 C 5 4x2 C 2 6 6 Câu 44. Kết quả esin x cos xdx bằng A. esin x C .B. cos x.esin x C . C. ecos x C .D. e sin x C . Hướng dẫn giải: Ta có esin x cos xdx esin xd(sin x) esin x C Câu 45. Tính tan xdx bằng 1 1 A. ln cos x C .B. ln cos x C .C. C .D. C . cos2 x cos2 x 1 Hướng dẫn giải: Ta có tan xdx d(cos x) ln cos x C cos x Câu 46. Tính cot xdx bằng 1 1 A. ln sin x C .B. ln sin x C . C. C .D. C . sin2 x sin2 x 1 Hướng dẫn giải: Ta có cot xdx d(sin x) ln sin x C sin x x3 Câu 47. Nguyên hàm của hàm số y là x 1 1 1 1 1 A. x3 x2 x ln x 1 C .B. x3 x2 x ln x 1 C . 3 2 3 2 1 1 1 1 C. x3 x2 x ln x 1 C .D. x3 x2 x ln x 1 C . 6 2 3 4 x3 1 Hướng dẫn giải: Ta có x2 x 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm suy ra đáp án. x 1 x 1 x2 2x 3 Câu 48. Một nguyên hàm của hàm số f x là x 1 x2 x2 A. 3x 6ln x 1 .B. 3x 6ln x 1 . 2 2 x2 x2 C. 3x 6ln x 1 . D. 3x 6ln x 1 . 2 2 x2 2x 3 6 Hướng dẫn giải: f x x 3 . Sử dụng bảng nguyên hàm. x 1 x 1 1 Câu 49. Kết quả tính dx bằng x x 3 1 x 1 x A. ln C .B. ln C . 3 x 3 3 x 3 Trang 10/34
11. 2 x 3 2 x C. ln C .D. ln C . 3 x 3 x 3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: . Sử dụng bảng nguyên hàm. x x 3 3 x x 3 1 Câu 50. Kết quả tính dx bằng x x 3 1 x 3 1 x 3 A. ln C .B. ln C . 3 x 3 x 1 x 1 x C. ln C .D. ln C . 3 x 3 3 x 3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: . Sử dụng bảng nguyên hàm. x x 3 3 x 3 x 1 Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f x là x2 x 2 1 x 1 1 x 2 A. F x ln C .B. F x ln C . 3 x 2 3 x 1 x 1 C. F x ln C .D. F x ln x2 x 2 C . x 2 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: f x 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm. x x 2 3 x 1 x 2 2 1 x Câu 52. Họ nguyên hàm của hàm số f x là x 1 1 A. F x 2ln x x C . B. F x 2ln x x C . x x 1 1 C. F x 2ln x x C .D. F x 2ln x x C . x x 2 1 x 1 2x x2 1 2 Hướng dẫn giải: f x 2 2 1. Sử dụng bảng nguyên hàm. x x x x 1 Câu 53. Nguyên hàm của hàm số f x với a 0 là x2 a2 1 x a 1 x a A. ln C .B. ln C . 2a x a 2a x a 1 x a 1 x a C. ln C .D. ln C . a x a a x a 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: 2 2 . Sử dụng bảng nguyên hàm. x a 2a x a x a x Câu 54. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x thoả mãn F 2 0 . Khi đó phương 8 x2 trình F x x có nghiệm là A. x 1 3 .B. x 1. C. x 1.D. x 0 . Hướng dẫn giải: Đặt t 8 x2 t 2 8 x2 tdt xdx x tdt dx t C 8 x2 C . 2 8 x t Vì F 2 0 nên C 2 . Ta có phương trình 8 x2 2 x x 1 3 Trang 11/34
12. 1 Câu 55. Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) và F 2 1 thì F 3 bằng x 1 3 1 A. ln 2 1.B. ln . C. ln 2 .D. . 2 2 1 Hướng dẫn giải: dx ln x 1 C , vì F 2 1nên C 1. F x ln x 1 1, thay x 1 x 3 ta có đáp án. ln x 1 Câu 56. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x ln2 x 1. thoả mãn F 1 . Giá trị x 3 của F 2 e là 8 1 8 1 A. . B. . C. .D. . 9 9 3 3 ln x Hướng dẫn giải: Đặt t ln2 x 1 tdt dx x 3 2 ln x t3 ln x 1 1 ln2 x 1. dx t 2dt C C . Vì F 1 nên C 0 x 3 3 3 8 Vậy F 2 e . 9 1 Câu 57. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2x 2 thỏa mãn F 1 là sin x 4 2 2 A. cot x x2 .B. cot x x2 . 16 16 2 C. cot x x2 .D. cot x x2 . 16 2 1 2 Hướng dẫn giải: 2x 2 dx x cot x C . F 1 nên C . sin x 4 16 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. Câu 58. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) cos2 x.sin x . cos3 x cos3 x A. f (x)dx C .B. f (x)dx C . 3 3 sin2 x sin2 x C. f (x)dx C . D. f (x)dx C . 2 2 cos3 x Hướng dẫn giải: cos2 xsin xdx cos2 xd(cos x) C 3 sin 2x Câu 59. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . cos 2x 1 A. f (x)dx ln sin x C .B. f (x)dx ln cos 2x 1 C . C. f (x)dx ln sin 2x C . D. f (x)dx ln sin x C . Hướng dẫn giải sin 2xdx 2sin x cos x cos x d sin x dx dx ln sin x C cos 2x 1 1 2sin2 x 1 sin x sin x Câu 60. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin x.cos 2x.dx . 2cos3 x 1 1 A. f (x)dx cos x C .B. f (x)dx cos3x sin x C . 3 6 2 cos3 x 1 1 C. f (x)dx cos x C . D. f (x)dx cos3x sin x C . 3 6 2 Trang 12/34
13. Hướng dẫn giải 2cos3 x sin x.cos 2xdx 2cos2 x 1 sin xdx 2cos2 x 1 d cos x cos x C 3 Câu 61. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2sin x.cos3x . 1 1 1 1 A. f (x)dx cos 2x cos 4x C .B. f (x)dx cos 2x cos 4x C . 2 4 2 4 C. f (x)dx 2cos4 x 3cos2 x C . D. f (x)dx 3cos4 x 3cos2 x C . 1 1 Hướng dẫn giải: 2sin x.cos3xdx sin 4x sin 2x dx cos 2x cos 4x C . 2 4 Câu 62. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin3 x.sin 3x . 3 sin 2x sin 4x 1 sin 6x A. f (x)dx x C . 8 2 4 8 6 3 sin 2x sin 4x 1 sin 6x B. f (x)dx x C . 8 2 4 8 6 1 sin 2x sin 4x 3 sin 6x C. f (x)dx x C . 8 2 4 8 6 3 sin 2x sin 4x 1 sin 6x D. f (x)dx x C . 8 2 4 8 6 Hướng dẫn giải 3sin x sin 3x sin3 x.sin 3xdx .sin 3xdx 4 3 1 3 1 2sin x.sin 3xdx 2sin2 3xdx cos 2x cos 4x dx 1 cos6x dx 8 8 8 8 3 sin 2x sin 4x 1 sin 6x x C 8 2 4 8 6 Câu 63. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) sin3 x.cos3x cos3 x.sin 3x . 3 3 A. f (x)dx cos 4x C .B. f (x)dx cos 4x C . 16 16 3 3 C. f (x)dx sin 4x C . D. f (x)dx sin 4x C . 16 16 Hướng dẫn giải: 3 3 3sin x sin 3x cos3x 3cos x sin x.cos3x cos x.sin 3x .dx .cos3x .sin 3x dx 4 4 3 3 sin x.cos3x sin 3x.cos3x sin 3x.cos x sin 3x.cos3x dx 4 4 3 3 3 sin x.cos3x sin 3x.cos x dx sin 4xdx cos 4x C 4 4 16 2 x Câu 64. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin biết F . 2 2 4 x sin x 1 x sin x 3 A. F x .B. F x . 2 2 2 2 2 2 x sin x 1 x sin x 5 C. F x .D. F x . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải x 1 x 1 • F(x) sin2 dx 1 cos x dx sin x C 2 2 2 2 Trang 13/34
14. 1 1 • F sin C C 2 4 4 2 2 4 2 4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT. x x e Câu 65. Hàm số f (x) e ln 2 2 có họ nguyên hàm là sin x A. F x ex ln 2 cot x C . B. F x ex ln 2 cot x C . 1 1 C. F x ex ln 2 C . D. F x ex ln 2 C . cos2 x cos2 x x 1 x Hướng dẫn giải: f (x)dx e ln 2 2 dx e ln 2 cot x C sin x Câu 66. Hàm số f (x) 3x 2x.3x có nguyên hàm bằng 3x 6x A. C .B. 3x ln 3(1 2x ln 2) C . ln 3 ln 6 3x 3x.2x 3x 6x C. C .D. C . ln 3 ln 6 ln 3 ln 3.ln 2 3x 6x Hướng dẫn giải: f (x)dx 3x 6x dx C ln 3 ln 6 Câu 67. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) (e x ex )2 thỏa mãn điều kiện F(0) 1 là 1 1 A. F(x) e 2x e2x 2x 1.B. F(x) 2e 2x 2e2x 2x 1. 2 2 1 1 1 1 C. F(x) e 2x e2x 2x .D. F(x) e 2x e2x 2x 1. 2 2 2 2 1 1 Hướng dẫn giải: Ta có F(x) e 2x e2x 2x C, F(0) 1 C 1 2 2 2x 1 Câu 68. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x 1 A. F x 2x 3ln x 1 C .B. F x 2x 3ln x 1 C . C. F x 2x ln x 1 C .D. F x 2x+ln x 1 C . 2x 1 3 Hướng dẫn giải: dx 2 dx 2x 3ln x 1 C x 1 x 1 2x2 2x 3 Câu 69. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 2x 1 1 2 5 1 2 A. F x 2x 1 ln 2x 1 C . B. F x 2x 1 5ln 2x 1 C . 8 4 8 C. F x 2x 1 2 ln 2x 1 C .D. F x 2x 1 2 ln 2x 1 C . Hướng dẫn giải: 2 2x 2x 3 2x 1 5 1 2 5 dx dx 2x 1 ln 2x 1 C 2x 1 2 2 2x 1 8 4 x3 x Câu 70. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x2 1 x2 x2 A. F x ln x2 1 C . B. F x ln x2 1 C . 2 2 C. F x x2 ln x2 1 C .D. F x x2 ln x2 1 C . 3 2 d x2 1 2 x x 2x x x 2 Hướng dẫn giải: 2 dx x 2 dx 2 ln x 1 C x 1 x 1 2 x 1 2 Trang 14/34
15. 1 Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x ln x x A. F x ln ln x 1 C .B. F x ln ln x 1 C . C. F x ln x 1 C .D. F x ln x 1 C . 1 d ln x 1 Hướng dẫn giải: dx ln ln x 1 C x ln x 1 ln x 1 e2x Câu 72. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . ex 1 A. F x ex ln ex 1 C . B. F x ex ln ex 1 C . C. F x ln ex 1 C .D. F x e2x ex C . x e2x ex d e 1 Hướng dẫn giải: dx ex dx ex ex ln ex 1 C x x x e 1 e 1 e 1 4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC. 1 Câu 73. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x 1 A. f x dx 2 x 2ln 1 x C .B. f x dx 2 x 2ln 1 x C . C. f x dx ln 1 x C .D. f x dx 2 2ln 1 x C . Hướng dẫn giải Đặt t 1 x x t 1 2 dx 2 t 1 dt . 1 2 t 1 dt 1 Khi đó dx 2 1 dt 2 t ln t C1 1 x t t 2 x 1 ln 1 x C 2 x 2ln 1 x C . (Với C 2 C và 1 x 0 ) 1 1 x 2 Câu 74. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x 1 2 A. f x dx x 4 x 1 C .B. f x dx x 4 x 1 C . 3 x 1 C. f x dx C .D. f x dx x 1 C . 2 x 1 x 1 x 1 x 2 1 2 Hướng dẫn giải: dx x 1 d x 1 x 4 x 1 C x 1 x 1 3 2x 1 Câu 75. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 1 x 2 2 A. f x dx 2x 1 1 x C .B. f x dx 2x 1 1 x C . 3 3 2 1 C. f x dx 2x 1 1 x C .D. f x dx 2 1 x C . 3 1 x Hướng dẫn giải 2x 1 1 dx 2 1 x d 1 x 1 x 1 x 2 3 1 2 1 x 2 2 1 x 2 C 2x 1 1 x C 3 3 x Câu 76. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 3x2 2 Trang 15/34
16. 1 1 A. f x dx 3x2 2 C .B. f x dx 3x2 2 C . 3 3 1 2 C. f x dx 3x2 2 C .D. f x dx 3x2 2 C . 6 3 2 x 1 d 3x 2 1 Hướng dẫn giải: dx 3x2 2 C 2 2 3x 2 6 3x 2 3 x3 Câu 77. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 4 x2 1 1 A. f x dx x2 8 4 x2 C . B. f x dx x2 8 4 x2 C . 3 3 1 2 C. f x dx 4 x2 C .D. f x dx x2 8 4 x2 C . 3 3 Hướng dẫn giải: Đặt t 4 x2 x2 4 t 2 xdx tdt . Khi đó 2 x3 4 t tdt t3 dx t 2 4 dt 4t C 2 4 x t 3 3 2 4 x 1 4 4 x2 C x2 8 4 x2 C 3 3 4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 78. Tính F x (2x 1)e1 xdx e1 x (Ax B) C . Giá trị của biểu thức A B bằng: A. 3 .B. 3 .C. 0 .D. 5 . Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng. u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của u + v 2x 1 + e1 x 2 - e1 x 0 + e1 x Do đó F(x) (2x 1)e1 x 2e1 x C e1 x ( 2x 1) C . Vậy A B 3 . Câu 79. Tính F(x) ex cos xdx ex (Acos x Bsin x) C . Giá trị của biểu thức A B bằng A. 1.B. 1.C. 2 .D. 2 . Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của u + v ex + cos x ex - sin x ex ++ cos x + x x 1 x x Do đó F(x) e sin x e cos x F(x) C1 hay F(x) e sin x e cos x C . 2 Vậy A B 1. Câu 80. Tính F(x) 2x(3x 2)6 dx A(3x 2)8 Bx(3x 2)7 C . Giá trị của biểu thức 12A 11B là 12 12 A. 1.B. 1.C. .D. . 11 11 Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng Trang 16/34
17. u và đạo hàm của dv và nguyên hàm của u v 6 2 x + (3x 2) 2 + 1 (3x 2)7 - 21 0 + 1 (3x 2)8 504 2 1 Do đó F(x) x(3x 2)7 (3x 2)8 C . Vậy 12A 11B 1. 21 252 Câu 81. Tính F(x) x2 x 1dx ax2 (x 1) x 1 bx(x 1)2 x 1 c(x 1)3 x 1 C . Giá trị của biểu thức a b c bằng: 2 2 142 142 A. B. C. D. 7 7 105 105 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Đặt u x2 ,dv x 1dx ta được 2 8 16 F(x) x2 x 1dx x2 (x 1) x 1 x(x 1)2 x 1 (x 1)3 x 1 C 3 15 105 82 Vậy a b c . 105 Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v x2 1 + (x 1) 2 2 x 2 3 (x 1) 2 - 3 2 4 5 (x 1) 2 + 15 0 8 7 (x 1) 2 105 2 8 16 F(x) x2 x 1dx x2 (x 1) x 1 x(x 1)2 x 1 (x 1)3 x 1 C 3 15 105 2 Vậy a b c . 7 Câu 82. Tính F x ln x 1 x2 dx . Chọn kết quả đúng: 1 A. F(x) x ln x 1 x2 1 x2 C .B. F(x) C . 2 1 x C. F(x) x ln x 1 x2 1 x2 C . D. F(x) ln x 1 x2 x 1 x2 C . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u ln x 1 x2 ;dv dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v ln x 1 x2 1 + Trang 17/34
18. 1 1 x2 x (Chuyển 1 qua dv ) 1 x2 x 1 x2 1 (Nhận 1 từ u ) 1 x2 - 0 1 x2 2 Câu 83. Hàm số f (x) có đạo hàm f '(x) x3ex và đồ thị hàm số f (x) đi qua gốc tọa độ O . Chọn kết quả đúng: 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 A. f (x) x2ex ex .B. f (x) x2ex ex . 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 C. f (x) x2ex ex .D. f (x) x2ex ex . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: 2 1 2 Phương pháp tự luận: Đặt u x2 ,dv xex chọn du 2xdx,v ex ta được 2 1 2 1 2 1 f (x) x2ex ex C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C . 2 2 2 Phương pháp trắc nghiệm: u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2 2 x + xex 2 x (chuyển 2 x qua dv ) 1 2 ex 2 2 1 xex (nhận 2 x từ u ) - 0 1 2 ex 2 1 2 1 2 1 f (x) x2ex ex C . Đồ thị đi qua O(0;0) nên C . 2 2 2 Câu 84. Tính F(x) x2 1dx bằng: 1 1 1 1 A. F x x x2 1 ln x x2 1 C .B. F x x x2 1 ln x x2 1 C . 2 2 2 2 1 1 1 1 C. F x x x2 1 ln x x2 1 C . D. F x x x2 1 ln x x2 1 C . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '(x) f (x) F '(x) f (x) 0 d Nhập máy tính F(x) f (x) . CALC x tại một số giá trị ngẫu nhiên trong tập xác định, dx nếu kết quả xấp xỉ bằng 0 thì chọn. Cách 2: Đặt u x2 1,dv dx ta được F(x) x x2 1 F(x) J (x) dx với J (x) , bằng cách đặt u x x2 1 ta được J (x) ln x x2 1 C 1 x 1 1 1 Vậy F(x) x x2 1 ln x x2 1 C . 2 2 4.1.6. ÔN TẬP Trang 18/34
19. Câu 85. Kết quả của sin2 x cos xdx bằng 1 1 A. sin3 x C .B. sin3 x C .C. sin3 x C .D. sin3 x C . 3 3 1 Hướng dẫn giải: Ta có sin2 x cos xdx sin2 xd(sin x) sin3 x C . 3 Câu 86. Tính cos2 xsin xdx bằng 1 1 A. cos3 x C .B. cos3 x C . C. cos3 x C .D. cos3 x C . 3 3 1 Hướng dẫn giải: Ta có cos2 xsin xdx cos2 xd(cos x) cos3 x C . 3 Câu 87. Kết quả của sin3 xdx bằng cos3 x cos3 x A. cos x C .B. cos x C . 3 3 cos3 x C.3sin2 x.cos x C . D. cos x C . 6 1 Hướng dẫn giải: sin3 xdx (1 cos2 x)sin xdx (1 cos2 x)d(cos x) cos3 x cos x C . 3 Câu 88. Kết quả của cos3 xdx bằng sin3 x sin3 x A.sin x C .B. sin x C . 3 3 sin3 x C.3sin2 x.cos x C . D. sin x C . 3 1 Hướng dẫn giải: cos3 xdx (1 sin2 x)cos xdx (1 sin2 x)d(sin x) sin x sin3 x C . 3 Câu 89. Kết quả của sin4 x cos xdx bằng 1 1 A. sin5 x C .B. sin5 x C .C. sin5 x C . D. sin5 x C . 5 5 1 Hướng dẫn giải: Ta có sin4 x cos xdx sin4 xd(sin x) sin5 x C . 5 etan x Câu 90. Tính dx bằng cos2 x A. etan x C .B. tan x.etan x C . C. e tan x C .D. etan x C . etan x Hướng dẫn giải: dx etan xd(tan x) etan x C . cos2 x 1 Câu 91. Tính dx bằng: x cos2 x 1 A. 2 tan x C .B. tan x C .C. tan2 x C .D. tan x C . 2 1 1 Hướng dẫn giải: dx 2 d( x) 2 tan x C . x cos2 x cos2 x 3x2 Câu 92. Tính dx bằng x3 1 4x3 x3 A. ln x3 1 C .B. C . C. ln(x3 1) C .D. C . x4 4x x4 x Trang 19/34
20. 3x2 1 Hướng dẫn giải: dx d(x3 1) ln x3 1 C . x3 1 x3 1 6x2 12x Câu 93. Tính dx bằng x3 3x2 6 A. 2ln x3 3x2 6 C .B. ln x3 3x2 6 C . 1 C. ln x3 3x2 6 C . D. 2ln(x3 3x2 6) C . 2 6x2 12x 1 Hướng dẫn giải: dx 2 d(x3 3x2 6) 2ln x3 3x2 6 C . x3 3x2 6 x3 3x2 6 4x3 2x Câu 94. Tính dx bằng x4 x2 3 A ln x4 x2 3 C .B. 2ln x4 x2 3 C . 1 C. ln x4 x2 3 C . D. 2ln(x4 x2 3) C . 2 4x3 2x 1 Hướng dẫn giải: dx d(x4 x2 3) ln x4 x2 3 C . x4 x2 3 x4 x2 3 x2 1 Câu 95. Tính dx bằng x3 3x 1 1 A. ln x3 3x 1 C .B. ln x3 3x 1 C . 3 1 C. ln x3 3x 1 C .D. ln(x3 3x 1) C . 3 x2 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: dx d(x3 3x 1) ln x3 3x 1 C . x3 3x 1 3 x3 3x 1 3 Câu 96. Tính e6x 5dx bằng 1 A. e6x 5 C .B. e6x 5 C .C. 6e6x 5 C .D. e6x 5 C . 6 1 1 Hướng dẫn giải: e6x 5dx e6x 5d(6x 5) e6x 5 C . 6 6 Câu 97. Tính e x 5dx bằng A. e x 5 C .B. e x 5 C .C. ex 5 C .D. ex 5 C . Hướng dẫn giải: e x 5dx e x 5d( x 5) e x 5 C . Câu 98. Tính 5 9x 12 dx bằng (5 9x)13 (5 9x)13 (5 9x)13 (5 9x)13 A. C .B. C .C. C .D. C . 117 117 13 9 13 12 1 12 (5 9x) Hướng dẫn giải: 5 9x dx 5 9x d(5 9x) C . 9 117 Câu 99. Tính cos 5x dx bằng 4 1 A. sin 5x C .B. sin 5x C . 5 4 4 1 C. 5sin 5x C . D. sin 5x C . 4 5 4 Trang 20/34
21. 1 1 Hướng dẫn giải: cos 5x dx cos 5x d 5x sin 5x C . 4 5 4 4 5 4 1 Câu 100. Tính dx bằng 2 cos x 4 A. tan x C .B. 4 tan x C . 4 4 1 C. tan x C .D. tan x C . 4 4 4 1 1 Hướng dẫn giải: dx d x tan x C . 2 2 4 4 cos x cos x 4 4 1 Câu 101. Tính dx bằng (cos x sin x)2 1 1 A. cot x C . B. cot x C . 2 4 2 4 1 C. cot x C .D. cot x C . 4 4 4 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 1 dx dx d x cot x C 2 (cos x sin x) 2 2 2 2 4 2 4 sin x sin x 4 4 12x 5 Câu 102. Tính dx bằng 3x 1 1 6x2 5x A. 4x ln 3x 1 C .B. C . 3 x3 x 1 C. 4x ln 3x 1 C . D. 4x ln(3x 1) C . 3 12x 5 1 1 Hướng dẫn giải: dx 4 dx 4x ln 3x 1 C . 3x 1 3x 1 3 2x2 x Câu 103. Tính dx bằng 2x 1 x2 1 x2 A. x ln 2x 1 C .B. x ln 2x 1 C . 2 2 2 x2 1 x2 C. x ln(2x 1) C . D. x 2ln(2x 1) C . 2 2 2 2x2 x 1 x2 1 Hướng dẫn giải: dx x 1 dx x 2x 1 C . 2x 1 2x 1 2 2 x Câu 104. Tính dx bằng (x 1)2 1 1 A. ln x 1 C .B. ln x 1 C . x 1 x 1 1 1 C. ln x 1 C .D. ln(x 1) C . x 1 x 1 x 1 1 1 Hướng dẫn giải: dx dx ln x 1 C . 2 2 (x 1) (x 1) x 1 x 1 Trang 21/34
22. Câu 105. Tính sin x(2 cos x)dx bằng 1 1 A. 2cos x cos 2x C B. 2cos x cos 2x C 4 4 1 1 C. 2cos x cos 2x C D. 2cos x cos 2x C 4 2 1 1 Hướng dẫn giải: sin x(2 cos x)dx (2sin x sin 2x)dx 2cos x cos 2x C . 2 4 Câu 106. Tính x.2x dx bằng: x.2x 2x 2x x 1 A. C .B. C . ln 2 ln2 2 ln 2 C. 2x (x 1) C . D. 2x (x 1) C . Hướng dẫn giải du dx u x x.2x 2x x.2x 2x Đặt x . Ta có x2x dx dx C . x 2 2 dv 2 dx v ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 Câu 107. Tính ln xdx bằng: x2 A. x ln x x C .B. x ln x ln x C . 2 1 1 C. ln x x C . D. x ln x C . x x Hướng dẫn giải 1 u ln x du dx Đặt x . Ta có ln xdx x ln x dx x ln x x C . dv dx v x Câu 108. Tính 2x ln(x 1)dx bằng: x2 x2 A. (x2 1)ln(x 1) x C .B. x2 ln(x 1) x C . 2 2 x2 x2 C. (x2 1)ln(x 1) x C .D. (x2 1)ln(x 1) x C . 2 2 Hướng dẫn giải 1 u ln(x 1) du dx Đặt x 1 dv 2xdx 2 v x 1 x2 Ta có 2x ln(x 1)dx (x2 1)ln(x 1) (x 1)dx (x2 1)ln(x 1) x C . 2 1 Câu 109. Tính sin x 2 dx bằng: cos x A. cos x tan x C .B. cos x tan x C . 1 C. cos x tan x C .D. cos x C . cos x 1 Hướng dẫn giải: Ta có sin x 2 dx cos x tan x C cos x Câu 110. Hàm số F(x) ln sin x cos x là một nguyên hàm của hàm số sin x cos x sin x cos x A. f (x) .B. f (x) . sin x cos x sin x cos x Trang 22/34
23. 1 1 C. f (x) .D. f (x) . sin x cos x sin x cos x (sin x cos x)' cos x sin x Hướng dẫn giải: Ta có F '(x) . sin x cos x sin x cos x Câu 111. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 3x3 2x2 1 thỏa mãn điều kiện F( 2) 3 là: 3 2 37 3 2 A. F(x) x4 x3 x .B. F(x) x4 x3 x C . 4 3 3 4 3 3 2 3 2 37 C. F(x) x4 x3 x . D. F(x) x4 x3 x . 4 3 4 3 3 Hướng dẫn giải 3 2 37 Ta có F(x) (3x3 2x2 1) x4 x3 x C và F( 2) 3 C 4 3 3 3 2 37 Vậy F(x) x4 x3 x . 4 3 3 VẬN DỤNG CAO 4.1.1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC. x3 5x 2 Câu 112. Kết quả tính dx bằng 4 x2 x2 x2 A. ln 2 x C . B. ln 2 x C . 2 2 x3 x3 C. ln 2 x C . D. ln x 2 C . 3 3 Hướng dẫn giải 2 x3 5x 2 x3 5x 2 x 2 x 2x 1 1 x . Sử dụng bảng nguyên hàm. 4 x2 x2 4 x 2 x 2 x 2 5 Câu 113. Họ nguyên hàm của f x x2 x3 1 là 1 6 6 A. F x x3 1 C .B. F x 18 x3 1 C . 18 6 1 6 C. F x x3 1 C .D. F x x3 1 C . 9 Hướng dẫn giải: Đặt t x3 1 dt 3x2dx . Khi đó 5 1 1 1 6 x2 x3 1 dx t5dt t 6 C x3 1 C . 3 18 18 x2 x x3 1 Câu 114. Họ nguyên hàm của hàm số f x là hàm số nào? x3 1 1 1 1 A. F x ln x x C . B. F x ln x x C . x 2x2 x 2x2 x3 3x2 x3 3x2 C. F x ln x C .D. F x ln x C . 3 2 3 2 x2 x x3 1 1 1 1 Hướng dẫn giải: f x 1 . Sử dụng bảng nguyên hàm. x3 x x2 x3 Câu 115. Giá trị m để hàm số F x mx3 3m 2 x2 4x 3 là một nguyên hàm của hàm số f x 3x2 10x 4 là: A. m 1.B. m 0 .C. m 2 . D. m 3 . Hướng dẫn giải: 3x2 10x 4 dx x3 5x2 4x C , nên m 1. Trang 23/34
24. 3 Câu 116. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x sin4 2x thoả mãn F 0 . Khi đó F x là: 8 3 1 1 3 1 1 A. F x x 1 sin 4x sin8x .B. F x x sin 4x sin8x . 8 8 64 8 8 64 3 1 1 3 3 C. F x x sin 2x sin 4x .D. F x x sin 4x sin 6x . 8 8 64 8 8 Hướng dẫn giải 2 4 1 cos 4x 1 2 1 1 cos8x sin 2x 1 2cos 4x cos 4x 1 2cos 4x 2 4 4 2 3 cos 4x cos8x 8 2 8 4 3 cos 4x cos8x 3 sin 4x sin8x Nên sin 2x dx dx x C . 8 2 8 8 8 64 3 Vì F 0 nên suy ra đáp án. 8 Câu 117. Biết hàm số f (x) (6x 1)2 có một nguyên hàm là F(x) ax3 bx2 cx d thoả mãn điều kiện F( 1) 20. Tính tổng a b c d . A. 46 .B. 44 .C. 36 .D. 54 . Hướng dẫn giải 6x 1 2 dx 36x2 12x 1 dx 12x3 6x2 x C nên a 12;b 6;c 1 Thay F( 1) 20. d 27 , cộng lại và chọn đáp án. Câu 118. Hàm số f x x x 1 có một nguyên hàm là F x . Nếu F 0 2 thì F 3 bằng 146 116 886 105 A. .B. .C. .D. . 15 15 105 886 Hướng dẫn giải: Đặt t x 1 2tdt dx 2 2 2 5 2 3 x x 1dx 2t 4 2t 2 dt t5 t3 C x 1 x 1 C 5 3 5 3 34 Vì F 0 2 nên C . Thay x 3 ta được đáp án. 15 Câu 119. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f (x) x cos x thỏa mãn F 0 1. Khi đó phát biểu nào sau đây đúng? A. F x là hàm số chẵn. B. F x là hàm số lẻ. C. Hàm số F x tuần hoàn với chu kì là 2 . D. Hàm số F x không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ. Hướng dẫn giải x cos xdx xsin x cos x C F 0 1 nên C 0 . Do đó F x là hàm số chẵn. sin 2x Câu 120. Một nguyên hàm F x của hàm số f (x) thỏa mãn F 0 0 là sin2 x 3 2 sin2 x ln 2 sin x A. ln 1 .B. ln 1 sin2 x .C. .D. ln cos2 x . 3 3 Hướng dẫn giải: Đặt t sin2 x 3 dt 2sin x cos xdx sin 2x dt dx ln t C ln sin2 x 3 C sin2 x 3 t Trang 24/34
25. vì F 0 0 nên C ln 3 . Chọn đáp án. 4m Câu 121. Cho f x sin2 x . Tìm m để nguyên hàm F x của hàm số f x thỏa mãn F 0 1 và F . 4 8 3 3 4 4 A. .B. .C. D. . 4 4 3 3 4m 2 4m x sin 2x Hướng dẫn giải: sin x dx x C vì F 0 1 nên C 1 2 4 3 F nên tính được m 4 8 4 4.1.2. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. 1 Câu 122. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . sin x.cos x 1 1 A. f (x)dx ln sin x ln 1 sin2 x C .B. f (x)dx ln sin x ln 1 sin2 x C . 2 2 1 1 1 C. f (x)dx ln sin x ln 1 sin2 x C .D. f (x)dx ln sin x ln 1 sin2 x C . 2 2 2 Hướng dẫn giải dx cos xdx d sin x 1 d sin x d sin x 1 d sin x 2 2 sin x.cos x sin x.cos x sin x. 1 sin x 2 1 sin x sin x 2 1 sin x 1 1 1 ln 1 sin x ln sin x ln 1 sin x C ln sin x ln 1 sin2 x C 2 2 2 2sin3 x Câu 123. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . 1 cos x 1 A. f (x)dx cos2 x 2cos x C .B. f (x)dx cos2 x 2cos x C . 2 1 C. f (x)dx cos2 x cos x C .D. f (x)dx cos2 x 2cos x C . 2 Hướng dẫn giải 2sin3 x 2sin2 x 2cos2 x 2 dx .sin xdx d cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 cos x 1 d cos x cos2 x 2cos x C cos3 x Câu 124. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . sin5 x cot4 x cot4 x A. f (x).dx C .B. f (x).dx C . 4 4 cot2 x tan4 x C. f (x).dx C . D. f (x).dx C . 2 4 cos3 xdx dx cot4 x Hướng dẫn giải cot3 x. cot3 x.d cot x C sin5 x sin2 x 4 Câu 125. Tìm nguyên hàm của hàm số: f (x) cos 2x sin4 x cos4 x . 1 1 1 1 A. f (x).dx sin 2x sin3 2x C .B. f (x).dx sin 2x sin3 2x C . 2 12 2 12 1 1 1 C. f (x).dx sin 2x sin3 2x C . D. f (x).dx sin 2x sin3 2x C . 4 2 4 Trang 25/34
26. Hướng dẫn giải 4 4 2 2 2 2 cos 2x sin x cos x dx cos 2x sin x cos x 2sin x.cos x dx 1 2 1 2 cos 2x 1 sin 2x dx cos 2xdx sin 2x.cos 2xdx 2 2 1 1 1 cos 2xdx sin2 2x.d sin 2x sin 2x sin3 2x C 4 2 12 Câu 126. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) tan x e2sin x cos x . 1 1 A. f (x)dx cos x e2sin x C .B. f (x)dx cos x e2sin x C . 2 2 1 C. f (x)dx cos x e2sin x C .D. f (x)dx cos x e2sin x C . 2 Hướng dẫn giải 1 tan x e2sin x cos xdx sin xdx e2sin xd sin x cos x e2sin x C 2 1 Câu 127. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . sin x cos x 2 1 x 3 1 x 3 A. f (x)dx cot C .B. f (x)dx cot C . 2 2 8 2 2 8 1 x 3 1 x 3 C. f (x)dx cot C . D. f (x)dx cot C . 2 2 4 2 2 8 Hướng dẫn giải dx dx 1 dx sin x cos x 2 2 2 sin x 2 sin x 1 4 4 1 dx 1 dx 1 x 3 cot C 2 2 x 3 2 8 2 x x 2 2sin 2 sin cos 2 8 2 8 2 8 4.1.3. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT. Câu 128. Hàm số F(x) ln sin x cos x là một nguyên hàm của hàm số sin x cos x sin x cos x A. f (x) . B. f (x) . sin x cos x sin x cos x 1 1 C. f (x) . D. .f (x) sin x cos x sin x cos x (sin x cos x)' cos x sin x Hướng dẫn giải: F '(x) sin x cos x sin x cos x Câu 129. Kết quả tính 2x ln(x 1)dx bằng: x2 x2 A (x2 1)ln(x 1) B x C x2 ln(x 1) x C 2 2 x2 x2 C (x2 1)ln(x 1) D x C (x2 1)ln(x 1) x C 2 2 Hướng dẫn giải 1 u ln(x 1) du dx Đặt x 1 dv 2xdx 2 v x 1 x2 Ta có 2x ln(x 1)dx (x2 1)ln(x 1) (x 1)dx (x2 1)ln(x 1) x C 2 Trang 26/34
27. etan x Câu 130. Kết quả tính dx bằng: cos2 x A eB.tan x C .C. tan x.e .D.tan.x C e tan x C etan x C etan x Hướng dẫn giải: dx etan xd(tan x) etan x C . cos2 x 2 Câu 131. Tính ecos xsin 2xdx bằng: 2 A B.e cos x C .C. e s .iD.n 2x C . e 2sin x C esin 2x C 2 2 2 Hướng dẫn giải: ecos xsin 2xdx ecos x d(cos2 x) ecos x C . 2 Câu 132. Tính esin xsin 2xdx bằng: 2 2 A e sin x C B. .eC.sin 2x C .D. ecos . x C e2sin x C 2 2 2 Hướng dẫn giải: esin xsin 2xdx esin x d(sin2 x) esin x C . Câu 133. Kết quả ecos x sin xdx bằng: A B.e cos x C .C. ec .oD.s x C . e cos x C e sin x C Hướng dẫn giải: ecos x sin xdx ecos xd(cos x) ecos x C . 4.1.4. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC. ax b Câu 134. Biết hàm số F(x) x 1 2x 2017 là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó 1 2x tổng của a và b là A. 2 .B. 2 .C. 0 .D. 1. 3x 1 Hướng dẫn giải: F '(x) x 1 2x 2017 ' 1 2x a b 3 1 2 x3 2x Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) . x2 1 1 1 A. F x x2 8 x2 1 C . B. F x x2 1 x2 8 1 x2 C . 3 3 1 2 C. F x 8 x2 x2 1 C .D. F x x2 8 1 x2 C . 3 3 2 x3 2x x 2 xdx Hướng dẫn giải: dx 2 2 x 1 x 1 Đặt t x2 1 x2 t 2 1 xdx tdt . Khi đó 2 x3 2x t 3 tdt t3 dx t 2 3 dt 3t C 2 x 1 t 3 3 2 x 1 1 3 x2 1 C x2 8 x2 1 C 3 3 sin 2x Câu 136. Tính F x dx . Hãy chọn đáp án đúng. 2 2 4sin x 2cos x 3 A. F x 6 cos 2x C .B. F x 6 sin 2x C . C. F x 6 cos 2x C .D. F x 6 sin 2x C . Hướng dẫn giải Trang 27/34
28. sin 2x sin 2x d 6 cos 2x dx dx= 6 cos 2x C 2 2 4sin x 2cos x 3 6 cos 2x 2 6 cos 2x 1 x Câu 137. Biết hàm số F(x) mx n 2x 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó 2x 1 tích của m và n là 2 2 A. .B. 2 .C. .D. 0 . 9 3 Hướng dẫn giải 1 x 1 2 1 2 2 Cách 1: Tính dx x 2x 1 C . Suy ra m ;n m.n 2x 1 3 3 3 3 9 1 m 3mx m n 3m 1 3 2 Cách 2: Tính F ' x . Suy ra m.n 2x 1 n m 1 2 9 n 3 ln x Câu 138. Biết hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) có đồ thị đi qua điểm x ln2 x 3 e;2016 . Khi đó hàm số F 1 là A. 3 2014 .B. 3 2016 . C. 2 3 2014 .D. 2 3 2016 . Hướng dẫn giải: Đặt t ln2 x 3 và tính được F x ln2 x 3 C . F e 2016 C 2014 F x ln2 x 3 2014 F 1 3 2014 4.1.5. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 139. Tính x3exdx ex (ax3 bx2 cx d) C . Giá trị của a b c d bằng A. 2 .B. 10.C. 2 .D. 9 . Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: x3exdx x3ex 3x2ex 6xex 6ex C ex (x3 3x2 6x 6) C . Vậy a b c d 2 . Câu 140. Tính F(x) x ln(x2 3)dx A(x2 3)ln(x2 3) Bx2 C . Giá trị của biểu thức A B bằng A. 0 .B. 1.C. 1.D. 2 . Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v 2 ln(x 3) + x 2x x2 3 x2 3 2 1 x 2x 2x (Chuyển 2 qua dv ) (Nhận 2 từ u ) x 3 - x 3 x2 0 2 1 1 Do đó F(x) x ln(x2 3)dx (x2 3)ln(x2 3) x2 C . 2 2 Vậy A B 0 . Câu 141. Tính x2 cos 2xdx ax2 sin 2x bx cos 2x csin x C . Giá trị của a b 4c bằng Trang 28/34
29. 3 3 1 A. 0 .B. .C. .D. . 4 4 2 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 1 1 Kết quả: x2 cos 2xdx x2 sin 2x x cos 2x sin 2x C . 2 2 4 Vậy a b 4c 0 . Câu 142. Tính x3 ln 2xdx x4 (Aln 2x B) C . Giá trị của 5A 4B bằng: 1 1 A. 1.B. . C. .D. 1. 4 4 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u ln 2x,dv x3dx . Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 3 1 4 1 4 4 1 1 Kết quả: x ln 2xdx x ln 2x x C x ln 2x C . 4 16 4 16 Vậy 5A 4B 1. 1 x Câu 143. Tính F(x) x ln dx . Chọn kết quả đúng: 1 x x2 1 1 x x2 1 1 x A. F(x) ln x C B. F(x) ln x C 2 1 x 2 1 x x2 1 1 x x2 1 1 x C. F(x) ln x C D. F(x) ln x C 2 1 x 2 1 x Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và nguyên hàm của hàm số hữu tỉ. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 x x2 1 1 x Kết quả: x ln dx ln x C . 1 x 2 1 x Câu 144. Cho hàm số F(x) x(1 x)3 dx . Biết F(0) 1, khi đó F(1) bằng: 21 19 21 19 A. .B. .C. .D. . 20 20 20 20 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u 1 x . Sử dụng phương pháp từng phần với u x;dv (1 x)3 dx . Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với u x;dv (1 x)3 dx x(1 x)4 (1 x)5 Kết quả F(x) x(1 x)3 dx C 4 20 21 21 F(0) 1 suy ra C . Do đó F(1) . 20 20 Câu 145. Tính (2x 1)sin xdx a x cos x bcos x csin x C . Giá trị của biểu thức a b c bằng A. 1.B. 1.C. 5 .D. 5 . Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng. Kết quả F(x) (2x 1)sin xdx 2x cos x cos x 2sin x C nên a b c 1. Câu 146. Cho hàm số F(x) x ln(x 1)dx có F(1) 0 . Khi đó giá trị của F(0) bằng Trang 29/34
30. 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 4 4 2 2 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vớiu ln(x 1),dv xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 1 Kết quả F(x) x ln(x 1)dx (x2 1)ln(x 1) (x2 2x) C . 2 4 1 1 Từ F(1) 0 suy ra C . Vậy F(0) . 4 4 5 Câu 147. Hàm số F(x) (x2 1)ln xdx thỏa mãn F(1) là 9 1 x3 x 1 x3 x A. (x3 3x)ln x .B. (x3 3x)ln x 1. 6 18 2 6 18 2 1 x3 x 10 1 x3 x C. (x3 3x)ln x .D. (x3 3x)ln x 1. 6 18 2 9 6 18 2 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần. Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 1 x3 x Kết quả F(x) (x2 1)ln xdx (x3 3x)ln x C 6 18 2 5 1 x3 x Với F(1) suy ra C 0 nên F(x) (x3 3x)ln x . 9 6 18 2 xex Câu 148. Hàm số f (x) có đạo hàm f '(x) và có đồ thị đi qua điểm A(0;1) . Chọn kết quả đúng (x 1)2 ex ex A. f (x) B. f (x) 1 x 1 x 1 ex ex C. f (x) 1 D. f (x) 2 x 1 x 1 1 Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp từng phần với u xex ,dv dx (x 1)2 u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v xex 1 + (x 1)2 (x 1)ex 1 (Chuyển (x 1)ex qua dv ) x 1 1 ex - (nhận (x 1)ex từ u ) 0 ex xex ex ex Kết quả f (x) dx C . Với f (0) 1 suy ra C 0 . Vậy f (x) (x 1)2 x 1 x 1 Câu 149. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) ln x x2 1 thỏa mãn F(0) 1. Chọn kết quả đúng A. F(x) x ln x x2 1 x2 1 2 .B. F(x) x ln x x2 1 x2 1 2 . C. F(x) x ln x x2 1 x2 1 1.D. F(x) x ln x x2 1 x2 1 . Hướng dẫn giải: Trang 30/34
31. Đặt u ln x x2 1 ,dv dx ta được F(x) x ln x x2 1 x2 1 C . Vì F(0) 1 nên C 2 Vậy F(x) x ln x x2 1 x2 1 2 . x Câu 150. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) thỏa mãn F( ) 2017 . Khi đó F x là cos2 x hàm số nào dưới đây? A. F(x) x tan x ln | cos x | 2017 .B. F(x) x tan x ln | cos x | 2018. C. F(x) x tan x ln | cos x | 2016 .D. F(x) x tan x ln | cos x | 2017 . 1 Hướng dẫn giải: Đặt u x,dv dx ta được du dx,v tan x cos2 x x Kết quả F(x) dx x tan x tan xdx x tan x ln | cos x | C . cos2 x Vì F( ) 2017 nên C 2017 . Vậy F(x) x tan x ln | cos x | 2017 . Câu 151. Tính F(x) x(1 sin 2x)dx Ax2 Bx cos 2x C sin 2x D . Giá trị của biểu thức A B C bằng 1 1 5 3 A. .B. . C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u x,dv (1 sin 2x)dx ta được 1 1 1 1 F(x) x2 x cos 2x sin 2x D . Vậy A B C . 2 2 4 4 1 xsin x Câu 152. Tính F(x) dx . Chọn kết quả đúng cos2 x x 1 sin x 1 x 1 sin x 1 A. F(x) tan x ln C .B. F(x) tan x ln C . cos x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 x 1 sin x 1 x 1 sin x 1 C. F(x) tan x ln C .D. F(x) tan x ln C . cos x 2 sin x 1 cos x 2 sin x 1 Hướng dẫn giải dx xsin x Cách 1: Biến đổi F(x) dx tan x I(x) cos2 x cos2 x sin x x dx Tính I(x) bằng cách đặt u x;dv dx ta được I(x) cos2 x cos x cos x dx cos xdx d(sin x) sin x 1 Tính J (x) ln C cos x sin2 x 1 (sin x 1)(sin x 1) sin x 1 x 1 sin x 1 Kết quả F x tan x ln C cos x 2 sin x 1 d Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra (F(x)) f (x) 0 tại một số điểm dx ngẫu nhiên x0 . 4.1.6. ÔN TẬP 1 2 Câu 153. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) sin x 2 thỏa mãn điều kiện F là cos x 4 2 A. F(x) cos x tan x 2 1.B. F(x) cos x tan x 2 1. Trang 31/34
32. C. F(x) cos x tan x 1 2 .D. F(x) cos x tan x . Hướng dẫn giải 1 Ta có sin x 2 dx cos x tan x C F(x) cos x tan x C cos x 2 F C 2 1. Vậy F(x) cos x tan x 2 1 4 2 3 Câu 154. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2sin 5x x thỏa mãn đồ thị của hai hàm số 5 F(x) và f (x) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục tung là 2 2 3 2 2 3 A. F(x) cos5x x x x 1.B. F(x) cos5x x x x 1. 5 3 5 5 3 5 1 3 2 2 3 C. F(x) 10cos5x x 1.D. F(x) cos5x x x x . 2 x 5 5 3 5 Hướng dẫn giải 2 2 3 Ta có F(x) cos5x x x x C và F(0) f (0) C 1 5 3 5 2 2 3 Vậy F(x) cos5x x x x 1 5 3 5 Câu 155. Hàm số F(x) (ax2 bx c)ex là một nguyên hàm của hàm số f (x) x2ex thì a b c bằng: A. 1.B. 2 .C. 3 .D. 2 . Hướng dẫn giải a 1 a 1 2 2 Ta có F '(x) f (x) ax (2a b)x b c x 2a b 0 b 2 b c 0 c 2 Vậy a b c 1 Câu 156. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) a bcos 2x thỏa mãn F(0) , F , 2 2 6 F là 12 3 2 7 2 7 A. F(x) x sin 2x .B. F(x) x sin 2x . 3 9 2 3 9 2 7 2 7 C. F(x) x sin 2x .D. F(x) x sin 2x . 3 9 2 3 9 2 Hướng dẫn giải 2 F(0) a 2 3 b 7 Ta có F(x) ax sin 2x C và F b 2 2 6 9 C F 12 3 2 2 7 Vậy F(x) x sin 2x 3 9 2 Câu 157. Cho hàm số F(x) ax3 bx2 cx 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn f (1) 2, f (2) 3, f (3) 4 . Hàm số F(x) là 1 1 A. F(x) x2 x 1.B. F(x) x2 x 1. 2 2 Trang 32/34
33. 1 1 C. F(x) x2 x 1. D. F(x) x2 x 1. 2 2 Hướng dẫn giải a 0 f (1) 2 3a 2b c 2 2 1 Ta có f (x) F '(x) 3ax 2bx c và f (2) 3 12a 4b c 3 b 2 f (3) 4 27a 6b c 4 c 1 1 Vậy F(x) x2 x 1. 2 Câu 158. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) tan x.sin 2x thỏa mãn điều kiện F 0 là 4 1 1 1 A. F(x) x sin 2x . B. F(x) x cos 2x 1. 2 2 4 2 4 2 2 1 C. F(x) cos3 x . D. x sin 2x . 3 2 2 4 Hướng dẫn giải 1 1 Ta có tan x.sin 2xdx (1 cos 2x)dx x sin 2x C F(x) x sin 2x C 2 2 1 và F 0 C 4 2 4 1 1 Vậy F(x) x sin 2x . 2 2 4 Câu 159. Cho hàm số f (x) tan2 x có nguyên hàm là F(x) . Đồ thị hàm số y F(x) cắt trục tung tại điểm A(0;2) . Khi đó F(x) là A. F(x) tan x x 2 .B. F(x) tan x 2 . 1 C. F(x) tan3 x 2.D. F(x) cot x x 2. 3 Hướng dẫn giải F(x) f (x)dx tan2 xdx tan x x C . Vì đồ thị hàm số y F(x) đi qua điểm A(0;2) nên C 2 . Vậy F(x) tan x x 2 . 2 Câu 160. Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) tan x . Giá trị của F F(0) bằng 4 A. 1 .B. . C. 1 . D. 3 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: F x tan x x C F F(0) 1 . 4 4 Trang 33/34