Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 3: Phương pháp nguyên hàm từng phần (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 3: Phương pháp nguyên hàm từng phần (Có đáp án)

1. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn a;b và có đạo hàm liên tục trên đoạn a;b . Khi đó: udv uv vdu. * Để tính nguyên hàm f x dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1. Chọn u, v sao cho f x dx udv (chú ý dv v ' x dx ). Sau đó tính v dv và du u '.dx . Bước 2. Thay vào công thức * và tính vdu . Chú ý. Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân vdu dễ tính hơn udv . Ta thường gặp các dạng sau sin x ● Dạng 1. I P x dx , trong đó P x là đa thức. u cos x u P x Với dạng này, ta đặt sin x . dv dx cos x ● Dạng 2. I P x eax bdx , trong đó P x là đa thức. u P x Với dạng này, ta đặt . ax b dv e dx ● Dạng 3. I P x ln mx n dx , trong đó P x là đa thức. u ln mx n Với dạng này, ta đặt . dv P x dx sin x x ● Dạng 4. I e dx . cos x sin x u Với dạng này, ta đặt cos x . x dv e dx BÀI TẬP DẠNG 1. Câu 1. Tìm xsin 2xdx ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1 A. xsin x cos x C B. xsin 2x cos 2x C 4 2 1 1 C. xsin x cos x D. xsin 2x cos 2x 4 2 Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x xsin x là: A. F x x cos x sin x C . B. F x x cos x sin x C . C. F x x cos x sin x C . D. F x x cos x sin x C .
2. Câu 3. Biết x cos 2xdx axsin 2x bcos 2x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab . B. ab . C. ab . D. ab . 8 4 8 4 2 2 1 1 x a Câu 4. Cho biết F x x3 2x là một nguyên hàm của f x . Tìm nguyên hàm 3 x x2 của g x x cos ax . 1 1 A. xsin x cos x C . B. xsin 2x cos 2x C . 2 4 1 1 C. xsin x cos x C . D. xsin 2x cos 2x C . 2 4 Câu 5. Nguyên hàm của I xsin2 xdx là: 1 1 1 A. 2x2 xsin 2x cos 2x C . B. cos 2x x2 xsin 2x C . 8 8 4 1 2 1 C. x cos 2x xsin 2x C . D. Đáp án A và C đúng. 4 2 Câu 6. Tìm nguyên hàm I x 1 sin 2xdx 1 2x cos 2x sin 2x 2 2x cos 2x sin 2x A. I C . B. I C . 2 2 1 2x cos 2x sin 2x 2 2x cos 2x sin 2x C. I C . D. I C . 4 4 Câu 7. Tìm nguyên hàm sin xdx 1 A. sin xdx cos x C . B. sin xdx cos x C . 2 x C. sin xdx cos x C . D. sin xdx 2 x cos x 2sin x C . Câu 8. Nguyên hàm của I xsin x cos2 xdx là: 1 2 A. I x cos3 x t t3 C,t sin x . B. I x cos3 x t t3 C,t sin x . 1 3 1 3 1 2 C. I x cos3 x t t3 C,t sin x . D. I x cos3 x t t3 C,t sin x . 1 3 1 3 x Câu 9. Một nguyên hàm của f x là : cos2 x A. x tan x ln cos x B. x tan x ln cos x C. x tan x ln cos x D. x tan x ln sin x x Câu 10. Một nguyên hàm của f x là : sin2 x A. x cot x ln sinx B. x cot x ln sin x C. x tan x ln cos x D. x tan x ln sin x x Câu 11. Cho f x 2 trên ; và F x là một nguyên hàm của xf x thỏa mãn cos x 2 2 2 F 0 0 . Biết a ; thỏa mãn tan a 3. Tính F a 10a 3a . 2 2
3. 1 1 1 A. ln10 . B. ln10 . C. ln10 . D. ln10. 2 4 2 DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ex 1 x dx là: 1 A. I ex xex C . B. I ex xex C . 2 1 C. I ex xex C . D. I 2ex xex C . 2 Câu 13. Biết xe2xdx axe2x be2x C a, b ¤ . Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab . B. ab . C. ab . D. ab . 4 4 8 8 1 Câu 14. Cho biết xe2xdx e2x ax b C , trong đó a,b ¢ và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4 nào dưới đây là đúng. A. a 2b 0 . B. b a . C. ab . D. 2a b 0 . Câu 15. Biết F x ax b ex là nguyên hàm của hàm số y 2x 3 ex .Khi đó a b là A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 1 Câu 16. Biết x 3 .e 2xdx e 2x 2x n C , với m,n ¤ . Tính S m2 n2 . m A. S 10 . B. S 5. C. S 65 . D. S 41. Câu 17. Tìm nguyên hàm I 2x 1 e xdx . A. I 2x 1 e x C . B. I 2x 1 e x C . C. I 2x 3 e x C . D. I 2x 3 e x C . Câu 18. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x 5x 1 ex và F 0 3. Tính F 1 . A. F 1 11e 3. B. F 1 e 3. C. F 1 e 7 . D. F 1 e 2 . f x 2x 3 ex F x mx n ex m,n ¡ Câu 19. Cho hàm số . Nếu là một nguyên hàm của f x thì hiệu m n bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. 3 Câu 20. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x và F 0 2 . Hãy tính F 1 . 15 10 15 10 A. 6 . B. 4 . C. 4 . D. . e e e e DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx là: A. x ln x x C B. Đáp án khác C. x ln x C D. x ln x x C Câu 22. Nguyên hàm của I x ln xdx bằng với: x2 x2 1 A. ln x xdx C . B. ln x xdx C . 2 2 2 1 C. x2 ln x xdx C . D. x2 ln x xdx C . 2 Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln x 2 .
4. x2 x2 4x A. f x dx ln x 2 C . 2 4 x2 4 x2 4x B. f x dx ln x 2 C . 2 4 x2 x2 4x C. f x dx ln x 2 C . 2 2 x2 4 x2 4x D. f x dx ln x 2 C . 2 2 ln x Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g x ? x 1 2 ln 2x x ln 2 x ln x x A. ln 1999 . B. ln 1998. x 1 x 1 x 1 x 1 ln x x ln x x C. ln 2016 . D. ln 2017 . x 1 x 1 x 1 x 1 ln cos x Câu 25. Họ nguyên hàm của I dx là: sin2 x A. cot x.ln cos x x C . B. cot x.ln cos x x C . C. cot x.ln cos x x C . D. cot x.ln cos x x C . Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln x . 1 3 2 3 A. f x dx x 2 3ln x 2 C . B. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 3 2 3 2 3 C. f x dx x 2 3ln x 1 C . D. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 9 ln x 3 Câu 27. Giả sử F x là một nguyên hàm của f x sao cho F 2 F 1 0 . Giá trị x2 của F 1 F 2 bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2 ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2 ln 5 . 3 6 3 3 6 2 3 4 x Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln 2 ? 4 x 2 4 2 4 4 x 2 x 16 4 x 2 A. x ln 2 2x . B. ln 2 2x . 4 x 4 4 x 2 4 2 4 4 x 2 x 16 4 x 2 C. x ln 2 2x . D. ln 2 2x . 4 x 4 4 x x2dx Câu 29. Tìm H ? 2 xsin x cos x x A. H tan x C . cos x xsin x cos x x B. H tan x C . cos x xsin x cos x x C. H tan x C . cos x xsin x cos x
5. x D. H tan x C . cos x xsin x cos x a 3 b 1 Câu 30. 2x x2 1 x ln x dx có dạng x2 1 x2 ln x x2 C , trong đó a, b là hai số 3 6 4 hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 . B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. 1 f (x) e Câu 31. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính f (x)ln xdx bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2e2 e2 e2 2e2 a 1 ln x Câu 32. Cho F x ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x , trong đó a , b ¢ . x x2 Tính S a b . A. S 2 . B. S 1. C. S 2 . D. S 0 . a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f x bxex với mọi x khác 1. x 1 3 1 Biết f 0 22 và f x dx 5. Tính a b ? 0 A. 19. B. 7 . C. 8 . D. 10. Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số x 1 1 2018 f x e ln ax thỏa mãn F 0 và F 2018 e . Mệnh đề nào sau đây x a đúng? 1 1 A. a ;1 . B. a 0; . C. a 1;2018 . D. a 2018; . 2018 2018 DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. . B. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. . C. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. . D. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. J ex .sinxdx Câu 36. Tìm ? ex ex A. J cos x sin x C . B. J sin x cos x C . 2 2 ex ex C. J sin x cos x C . D. J sin x cos x 1 C . 2 2 HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1. Câu 1. Tìm xsin 2xdx ta thu được kết quả nào sau đây? 1 1 A. xsin x cos x C B. xsin 2x cos 2x C 4 2
6. 1 1 C. xsin x cos x D. xsin 2x cos 2x 4 2 Hướng dẫn giải Ta có: I xsin 2xdx du dx u x Đặt: 1 dv sin 2xdx v cos 2x 2 1 1 1 1 Khi đó: I uv vdu x cos 2x cos 2xdx x cos 2x sin 2x C 2 2 2 4 Chọn B Câu 2. Nguyên hàm của hàm số f x xsin x là: A. F x x cos x sin x C . B. F x x cos x sin x C . C. F x x cos x sin x C . D. F x x cos x sin x C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: I f x dx xsin x dx . u x du dx Đặt Ta có . dv sin x dx v cos x I f x dx xsin x dx x cos x cos x dx x cos x sin x C . Câu 3. Biết x cos 2xdx axsin 2x bcos 2x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ? 1 1 1 1 A. ab . B. ab . C. ab . D. ab . 8 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A du dx u x Đặt 1 d v cos 2xdx v sin 2x 2 1 1 1 1 Khi đó x cos 2xdx xsin 2x sin 2xdx xsin 2x cos 2x C 2 2 2 4 1 1 a , b . 2 4 1 Vậy ab . 8 2 2 1 1 x a Câu 4. Cho biết F x x3 2x là một nguyên hàm của f x . Tìm nguyên hàm 3 x x2 của g x x cos ax . 1 1 A. xsin x cos x C . B. xsin 2x cos 2x C . 2 4 1 1 C. xsin x cos x C . D. xsin 2x cos 2x C . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 1 x a Ta có F x x2 2 . Suy ra a 1. x2 x2
7. Khi đó g x dx x cos xdx xdsin x x.sin x sin xdx x.sin x cos x C . Câu 5. Nguyên hàm của I xsin2 xdx là: 1 1 1 A. 2x2 xsin 2x cos 2x C . B. cos 2x x2 xsin 2x C . 8 8 4 1 2 1 C. x cos 2x xsin 2x C . D. Đáp án A và C đúng. 4 2 Hướng dẫn giải Ta biến đổi: 2 1 cos 2x 1 1 1 2 1 I xsin xdx x dx xdx x cos 2xdx x x cos 2xdx C1 2 2 2 4 2  I1 I x cos 2xdx . 1 du dx u x Đặt 1 . dv cos 2x v sin 2x 2 1 1 1 1 I x cos 2xdx xsin 2x sin 2xdx xsin 2x cos 2x C . 1 2 2 2 4 1 2 1 1 2 I x cos 2x xsin 2x C 2x 2xsin 2x cos 2x C 4 2 8 . 1 1 cos 2x x2 xsin 2x C 8 4 Chọn C Câu 6. Tìm nguyên hàm I x 1 sin 2xdx 1 2x cos 2x sin 2x 2 2x cos 2x sin 2x A. I C . B. I C . 2 2 1 2x cos 2x sin 2x 2 2x cos 2x sin 2x C. I C .D. I C . 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D du dx u x 1 Đặt 1 dv sin 2xdx v cos 2x 2 Khi đó 1 1 1 1 I x 1 sin 2xdx x 1 cos 2x cos 2xdx x 1 cos 2x sin 2x C 2 2 2 4 Câu 7. Tìm nguyên hàm sin xdx 1 A. sin xdx cos x C . B. sin xdx cos x C . 2 x C. sin xdx cos x C .D. sin xdx 2 x cos x 2sin x C . Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t x , ta có sin xdx 2t sin tdt u 2t du 2dt Đặt ta có dv sin tdt v cost 2t sin tdt 2t cost 2costdt 2t cost 2sin t C 2 x cos x 2sin x C
8. Câu 8. Nguyên hàm của I xsin x cos2 xdx là: 1 2 A. I x cos3 x t t3 C,t sin x . B. I x cos3 x t t3 C,t sin x . 1 3 1 3 1 2 C. I x cos3 x t t3 C,t sin x . D. I x cos3 x t t3 C,t sin x . 1 3 1 3 Hướng dẫn giải Ta đặt: u x du dx . 2 3 du sin x cos x u cos xdx I xsin x cos2 xdx x cos3 x cos3 xdx C .   1 I1 Xét I cos3 xdx cos x 1 sin2 x dx . 1 Đặt t sin x dt cos xdx . 2 1 3 I1 1 t dt t t C2 . 3 1 I x cos3 x I x cos3 x t t3 C . 1 3 Chọn A x Câu 9. Một nguyên hàm của f x là : cos2 x A. x tan x ln cos x B. x tan x ln cos x C. x tan x ln cos x D. x tan x ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I dx cos2 x u x du dx Đặt: 1 dv dx v tan x cos2 x Khi đó: I uv vdu x tan x tan xdx x tan x ln cos x C Chọn C x Câu 10. Một nguyên hàm của f x là : sin2 x A. x cot x ln sinx B. x cot x ln sin x C. x tan x ln cos x D. x tan x ln sin x Hướng dẫn giải x Ta có: I dx sin2 x u x du dx Đặt: 1 dv dx v cot x sin2 x Khi đó: I uv vdu x cot x cot xdx x cot x ln sin x C Chọn B
9. x Câu 11. Cho f x 2 trên ; và F x là một nguyên hàm của xf x thỏa mãn cos x 2 2 2 F 0 0 . Biết a ; thỏa mãn tan a 3. Tính F a 10a 3a . 2 2 1 1 1 A. ln10 . B. ln10 .C. ln10 . D. ln10. 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: F x xf x dx xd f x xf x f x dx x sin x Ta lại có: f x dx dx = xd tan x x tan x tan xdx x tan x dx cos2 x cos x 1 x tan x d cos x x tan x ln cos x C F x xf x x tan x ln cos x C cos x Lại có: F 0 0 C 0 , do đó: F x xf x x tan x ln cos x . F a af a a tan a ln cos a a 2 1 2 2 1 Khi đó f a 2 a 1 tan a 10a và 2 1 tan a 10 cos a cos a cos a 10 1 cos a . 10 1 1 Vậy F a 10a2 3a 10a2 3a ln 10a2 3a ln10 . 10 2 DẠNG 2. Câu 12. Họ nguyên hàm của ex 1 x dx là: 1 A. I ex xex C .B. I ex xex C . 2 1 C. I ex xex C . D. I 2ex xex C . 2 Hướng dẫn giải Ta có: I ex 1 x dx exdx ex xdx ex C xexdx . 1   I1 Xét I ex xdx . 1 u x du x Đặt . x x dv e dx v e 1 I xex xexdx I xex C . 1 1 2 2 1 I ex xex C . 2 Chọn B Câu 13. Biết xe2xdx axe2x be2x C a, b ¤ . Tính tích ab . 1 1 1 1 A. ab . B. ab .C. ab . D. ab . 4 4 8 8 Hướng dẫn giải Chọn C
10. du dx u x Đặt 2x 1 2x dv e dx v e 2 1 1 1 1 Suy ra: xe2xdx xe2x e2xdx xe2x e2x C 2 2 2 4 1 1 1 Vậy: a ; b ab . 2 4 8 1 Câu 14. Cho biết xe2xdx e2x ax b C , trong đó a,b ¢ và C là hằng số bất kì. Mệnh đề 4 nào dưới đây là đúng. A. a 2b 0 . B. b a . C. ab . D. 2a b 0 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt u x du dx , e2x dv e2xdx v . 2 xe2x e2x xe2x e2x e2x Ta có xe2xdx dx C 2x 1 C . Suy ra a 2 , b 1. 2 2 2 4 4 Câu 15. Biết F x ax b ex là nguyên hàm của hàm số y 2x 3 ex .Khi đó a b là A. 2.B. 3. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải Ta có: 2x+3 exdx ax+b ex , nghĩa là: x x ax+b e ' 2x+3 e a.ex ex ax b = 2x+3 ex ex ax a b = 2x+3 ex Đồng nhất hệ số ta được: a=2 và b =1 Vậy a b 3 . Chọn B 1 Câu 16. Biết x 3 .e 2xdx e 2x 2x n C , với m,n ¤ . Tính S m2 n2 . m A. S 10 . B. S 5.C. S 65 . D. S 41. Hướng dẫn giải Chọn C du dx u x 3 Đặt 2x 1 2x dv e dx v e 2 1 1 1 1 Khi đó x 3 .e 2xdx e 2x x 3 e 2xdx .e 2x x 3 e 2x C 2 2 2 4 1 1 e 2x . 2x 6 1 C e 2x 2x 7 C m 4;n 7 . 4 4 S m2 n2 65. Câu 17. Tìm nguyên hàm I 2x 1 e xdx . A. I 2x 1 e x C . B. I 2x 1 e x C . C. I 2x 3 e x C . D. I 2x 3 e x C . Hướng dẫn giải Chọn A
11. u 2x 1 du 2dx Đặt . x x dv e dx v e Ta có I 2x 1 e x 2.e xdx 2x 1 e x 2e x C 2x 1 e x C . Câu 18. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f x 5x 1 ex và F 0 3. Tính F 1 . A. F 1 11e 3. B. F 1 e 3.C. F 1 e 7 . D. F 1 e 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có F x 5x 1 exdx . u 5x 1 du 5dx Đặt x x . dv e dx v e F x 5x 1 ex 5exdx 5x 1 ex 5ex C 5x 4 ex C . Mặt khác F 0 3 4 C 3 C 7 . F x 5x 4 ex 7 . Vậy F 1 e 7 . Câu 19. Cho hàm số f x 2x 3 ex . Nếu F x mx n ex m,n ¡ là một nguyên hàm của f x thì hiệu m n bằng A. 7. B. 3. C. 1. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn A Tính 2x 3 exdx . Đặt u 2x 3 du 2dx; dv exdx v ex . Suy ra: 2x 3 exdx 2x 3 ex 2 exdx C 2x 3 ex 2ex C 2x 5 ex C Suy ra: m 2 ; n 5 Vậy m n 7 . 3 F x f x e x F 0 2 F 1 Câu 20. Cho là một nguyên hàm của hàm số và . Hãy tính . 15 10 15 10 A. 6 . B. 4 .C. 4 . D. . e e e e Hướng dẫn giải Chọn C 3 Ta có I f x dx e x dx . 3 Đặt 3 x t x t3 dx 3t 2dt khi đó I e x dx 3 ett 2dt . t 2 u 2tdt du Đặt I 3 ett 2 2 ettdt 3ett 2 6 ettdt . t t e dt dv e v Tính ettdt . t u dt du Đặt ettdt tet etdt tet et . t t e dt dv e v 3 3 3 Vậy I 3ett 2 6 ett et C F x 3e x 3 x2 6 e x 3 x e x C .
12. 3 3 3 Theo giả thiết ta có F 0 2 C 4 F x 3e x 3 x2 6 e x 3 x e x 4 15 F 1 4 . e DẠNG 3. Câu 21. Kết quả của ln xdx là: A. x ln x x C B. Đáp án khác C. x ln x C D. x ln x x C Hướng dẫn giải Ta có: I ln xdx dx u ln x du Đặt: x dv dx v x Khi đó: I uv vdu x ln x dx x ln x x C Chọn D Câu 22. Nguyên hàm của I x ln xdx bằng với: x2 x2 1 A. ln x xdx C .B. ln x xdx C . 2 2 2 1 C. x2 ln x xdx C . D. x2 ln x xdx C . 2 Hướng dẫn giải Ta đặt: 1 du dx u ln x x . dv xdx x2 v 2 x2 1 I x ln xdx ln x xdx . 2 2 Chọn B Câu 23. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln x 2 . x2 x2 4x A. f x dx ln x 2 C . 2 4 x2 4 x2 4x B. f x dx ln x 2 C . 2 4 x2 x2 4x C. f x dx ln x 2 C . 2 2 x2 4 x2 4x D. f x dx ln x 2 C . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B dx du u ln x 2 x 2 Đặt dv xdx x2 v 2 x2 1 x2 suy ra f x dx x ln x 2 dx ln x 2 dx 2 2 x 2
13. x2 1 4 x2 4 x2 4x ln x 2 x 2 dx ln x 2 C . 2 2 x 2 2 2 ln x Câu 24. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của g x ? x 1 2 ln 2x x ln 2 x ln x x A. ln 1999 . B. ln 1998. x 1 x 1 x 1 x 1 ln x x ln x x C. ln 2016 . D. ln 2017 . x 1 x 1 x 1 x 1 Hướng dẫn giải 1 u ln x du dx x Đặt 1 dv dx 1 x 1 2 v x 1 ln x 1 ln x 1 1 lnx 1 dx S dx dx dx x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 . ln x ln x x S ln x ln x 1 C ln C x 1 x 1 x 1 Chọn A ln cos x Câu 25. Họ nguyên hàm của I dx là: sin2 x A. cot x.ln cos x x C .B. cot x.ln cos x x C . C. cot x.ln cos x x C . D. cot x.ln cos x x C . Hướng dẫn giải Ta đặt: u ln cos x du tan xdx dx . v cot x dv 2 sin x I cot x.ln cos x dx cot x.ln cos x x C . Chọn B Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln x . 1 3 2 3 A. f x dx x 2 3ln x 2 C . B. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 3 2 3 2 3 C. f x dx x 2 3ln x 1 C . D. f x dx x 2 3ln x 2 C . 9 9 Hướng dẫn giải Chọn A I f x dx x ln x.dx . 1 Đặt: t x dt dx 2tdt dx . 2 x I 2 t 2 ln t 2.dt 4 t 2 ln t.dt . 1 du dt u ln t t Đặt: . dv t 2dt t3 v 3
14. 1 3 1 2 1 3 1 3 2 3 I 2 t ln t t dt 2 t ln t t C t 3ln t 1 C 3 3 3 9 9 2 3 x 2 3ln x 1 C 9 1 3 x 2 3ln x 2 C . 9 ln x 3 Câu 27. Giả sử F x là một nguyên hàm của f x sao cho F 2 F 1 0 . Giá trị x2 của F 1 F 2 bằng 10 5 7 2 3 A. ln 2 ln 5 . B. 0 . C. ln 2 . D. ln 2 ln 5 . 3 6 3 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Ta có hàm số f x liên tục trên các khoảng 3;0 và 0; . ln x 3 Tính dx . x2 1 u ln x 3 du dx x 3 1 Đặt dx (Chọn C ) 1 1 x 3 3 dv 2 x v x 3 3x ln x 3 x 3 1 x 3 1 Suy ra: F x dx ln x 3 dx ln x 3 ln x C . x2 3x 3x 3x 3 1 2 Xét trên khoảng 3;0 , ta có: F 2 ln 2 C ; F 1 ln 2 C 3 1 3 1 Xét trên khoảng 0; , ta có: 4 8 5 1 F 1 ln 4 C ln 2 C ; F 2 ln 5 ln 2 C 3 2 3 2 6 3 2 1 8 7 Suy ra: F 2 F 1 0 ln 2 C1 ln 2 C2 0 C1 C2 ln 2 . 3 3 3 2 5 1 Do đó: F 1 F 2 ln 2 C1 ln 5 ln 2 C2 3 6 3 2 5 1 7 10 5 ln 2 ln 5 ln 2 ln 2 ln 2 ln 5 . 3 6 3 3 3 6 Cách 2: (Tận dụng máy tính) Xét trên khoảng 3;0 , ta có: 1 1 ln x 3 F 1 F 2 f x dx dx 0,231 A (lưu vào A ) 1 2 2 2 x Xét trên khoảng 0; , ta có: 2 2 ln x 3 F 2 F 1 f x dx dx 0,738 B (lưu vào A ) 2 2 1 1 x Lấy 1 cộng 2 theo vế ta được: F 1 F 2 F 2 F 1 A B F 1 F 2 A B 0,969 . So các phương án ta Chọn A
15. 2 3 4 x Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x ln 2 ? 4 x 2 4 2 4 4 x 2 x 16 4 x 2 A. x ln 2 2x .B. ln 2 2x . 4 x 4 4 x 2 4 2 4 4 x 2 x 16 4 x 2 C. x ln 2 2x . D. ln 2 2x . 4 x 4 4 x Hướng dẫn giải 2 16x 4 x du 4 u ln 2 x 16 Đặt: 4 x 4 4 x x 16 dv x3dx v 4 4 4 4 x2 x4 16 4 x2 x4 16 4 x2 x4 ln dx ln 4xdx ln 2x2 C 2 2 2 4 x 4 4 x 4 4 x Chọn B x2dx Câu 29. Tìm H ? 2 xsin x cos x x A. H tan x C . cos x xsin x cos x x B. H tan x C . cos x xsin x cos x x C. H tan x C . cos x xsin x cos x x D. H tan x C . cos x xsin x cos x Hướng dẫn giải x2 x cos x x Ta có: H dx . dx 2 2 xsin x cos x xsin x cos x cos x x xsin x cos x u du dx cos x cos2 x Đặt x cos x d xsin x cos x 1 dv 2 dx 2 v xsin x cos x xsin x cos x xsin x cos x x 1 1 x H . dx tan x C cos x x sin x cos x cos2 x cos x xsin x cos x Chọn C a 3 b 1 Câu 30. 2x x2 1 x ln x dx có dạng x2 1 x2 ln x x2 C , trong đó a, b là hai số 3 6 4 hữu tỉ. Giá trị a bằng: A. 3 .B. 2 . C. 1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm 2x x2 1 x ln x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 2x x2 1 x ln x dx 2x x2 1dx x ln x dx .
16. Để tìm 2x x2 1 x ln x dx ta đặt I 2x x2 1dx và I x ln x dx và tìm I , I . 1 2 1 2 * I 2x x2 1dx . 1 Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t x2 1, t 1 ta được t 2 x2 1, xdx tdt . Suy ra: 2 2 3 I 2x x2 1dx 2t 2dt t3 C x2 1 C , trong đó C là 1 hằng số. 1 3 1 3 1 1 * I x ln x dx . 2 Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần. 1 du dx u ln x x Đặt , ta được: dv xdx 1 v x2 2 I x ln x dx udv uv vdu 2 1 1 1 1 1 1 1 . x2 ln x x2  dx x2 ln x xdx x2 ln x x2 C 2 2 x 2 2 2 4 2 2 3 1 1 2x x2 1 x ln x dx I I x2 1 C x2 ln x x2 C 1 2 3 1 2 4 2 . 2 3 1 1 x2 1 x2 ln x x2 C 3 2 4 a 3 b 1 Suy ra để 2x x2 1 x ln x dx có dạng x2 1 x2 ln x x2 C thì 3 6 4 a 2 ¤ , b 3 ¤ . Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a 3 b 1 Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x2 1 x2 ln x x2 C . Sau đó, với mỗi a 3 2 4 a 3 b 1 của các đáp án ta lấy đạo hàm của x2 1 x2 ln x x2 C . 3 2 4 Không khuyến khích cách này vì việc tìm đạo hàm của hàm hợp phức tạp và có 4 đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn. Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên chỉ tìm giá trị của b . Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * I 2x x2 1dx . 1 Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t x2 1, t 1 ta được t 2 x2 1, tdt 2xdx . Suy ra: 1 1 3 I 2x x2 1dx t 2dt t3 C x2 1 C , trong đó C là 1 hằng số. 1 3 1 3 1 1 1 1 Học sinh tìm đúng I x2 ln x x2 C theo phân tích ở trên. 2 2 4 2
17. 1 3 1 1 2x x2 1 x ln x dx I I x2 1 C x2 ln x x2 C 1 2 3 1 2 4 2 . 1 3 1 1 x2 1 x2 ln x x2 C 3 2 4 a 3 b 1 Suy ra để 2x x2 1 x ln x dx có dạng x2 1 x2 ln x x2 C thì a 1, b 3. 3 6 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh chỉ sai lầm như sau: * I 2x x2 1dx . 1 Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t x2 1, t 1 ta được t 2 x2 1, tdt 2xdx . Suy ra: 1 1 3 I 2x x2 1dx t 2dt t3 C x2 1 C , trong đó C là 1 hằng số. 1 3 1 3 1 1 1 1 Học sinh tìm đúng I x2 ln x x2 C theo phân tích ở trên. 2 2 4 2 1 3 1 1 2x x2 1 x ln x dx I I x2 1 C x2 ln x x2 C 1 2 3 1 2 4 2 . 1 3 1 1 x2 1 x2 ln x x2 C 3 2 4 a 3 b 1 Suy ra để 2x x2 1 x ln x dx có dạng x2 1 x2 ln x x2 C thì 3 6 4 1 a 1 ¤ , b ¤ . 3 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm do tính sai giá trị của b . 1 f (x) e Câu 31. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số . Tính f (x)ln xdx bằng: 2 2x x 1 e2 3 2 e2 e2 2 3 e2 A. I . B. I . C. I . D. I . 2e2 e2 e2 2e2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 f (x) f (x) 1 1 Do F(x) 2 là một nguyên hàm của hàm số nên 2 f x 2 . 2x x x 2x x 1 e ln x u dx du Tính I f (x)ln xdx . Đặt x . f x dx dv 1 f x v e e e 2 e f x 1 1 e 3 Khi đó I f x .ln x dx .ln x . 1 2 2 2 1 x x 1 2x 1 2e a 1 ln x Câu 32. Cho F x ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x , trong đó a , b ¢ . x x2 Tính S a b . A. S 2 .B. S 1. C. S 2 . D. S 0 . Hướng dẫn giải Chọn B
18. 1 ln x Ta có I f x dx 2 dx . x 1 1 ln x u dx du x Đặt 1 khi đó dx dv 1 x2 v x 1 1 1 1 1 I 1 ln x dx 1 ln x C ln x 2 C a 1;b 2 . x x2 x x x Vậy S a b 1. a Câu 33. Cho các số thực a , b khác không. Xét hàm số f x bxex với mọi x khác 1. x 1 3 1 Biết f 0 22 và f x dx 5. Tính a b ? 0 A. 19. B. 7 . C. 8 .D. 10. Hướng dẫn giải Chọn D 3a Ta có f x bex bxex nên f 0 3a b 22 1 . x 1 4 1 1 a 1 dx 1 f x dx bxex dx a b xexdx aI bJ . 3 3 0 0 x 1 0 x 1 0 1 dx 1 1 3 Tính I . 3 2 0 x 1 2 x 1 0 8 1 u x du dx Tính J xexdx . Đặt . x x 0 dv e dx v e 1 1 1 3 Khi đó J xex exdx ex ex 1. Suy ra a b 5 2 . 0 0 0 8 3a b 22 a 8 Từ 1 và 2 ta có 3a . Vậy a b 10 . b 5 b 2 8 Câu 34. Cho a là số thực dương. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số x 1 1 2018 f x e ln ax thỏa mãn F 0 và F 2018 e . Mệnh đề nào sau đây x a đúng? 1 1 A. a ;1 . B. a 0; . C. a 1;2018 . D. a 2018; . 2018 2018 Hướng dẫn giải Chọn A x x 1 x e I e ln ax dx e ln ax dx dx (1) x x  Tính ex ln ax dx : 1 u ln ax du dx ex Đặt x ex ln ax dx ex ln ax dx x dv e dx x x v e
19.  Thay vào (1), ta được: F x ex ln ax C . 1 1 F 0 e a .ln1 C 0 C 0 e Với a Û Û Þ a . 2018 2018 ln a.2018 1 2018 2018 e ln a.2018 C e F 2018 e 1  Vậy a ;1 . 2018 DẠNG 4: Câu 35. Phát biểu nào sau đây là đúng? A. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. .B. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. . C. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. . D. ex sin xdx ex cos x ex cos xdx. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt u ex du exdx dv sin xdx v cos x ex sin xdx ex cos x ex cos xdx J ex .sinxdx Câu 36. Tìm ? ex ex A. J cos x sin x C . B. J sin x cos x C . 2 2 ex ex C. J sin x cos x C . D. J sin x cos x 1 C . 2 2 Hướng dẫn giải u ex du ex .dx Đặt: 1 1 dv1 sin x.dx v1 cos x J ex cos x ex cos xdx ex cos x T T ex .cos xdx Tính T ex .cos xdx : T ex sin x ex sin xdx ex sin x J ex J ex cos x ex sin x J 2J ex sin x cos x J sin x cos x C 2 Chọn C