Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 1.1: Nguyên hàm cơ bản

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 1.1: Nguyên hàm cơ bản

1. MỤC LỤC 1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN 3. NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN 4. TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5. TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN 6. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 7. GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN 9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11. ỨNG DỤNG THỰC TẾ VÀ LIÊN MÔN
2. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên K ( K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F ' x f x với mọi x K . Định lí: 1) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . 2) Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. Do đó F x C,C ¡ là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K . Ký hiệu f x dx F x C . 2. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1: f x dx f x và f ' x dx f x C Tính chất 2: kf x dx k f x dx với k là hằng số khác 0 . Tính chất 3: f x g x dx f x dx g x dx 3. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . 4. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số sơ cấp u u x dx x C du u C 1 1 x dx x 1 C 1 u du u 1 C 1 1 1 1 1 dx ln x C du ln u C x u exdx ex C eu du eu C a x au a xdx C a 0,a 1 au du C a 0,a 1 ln a ln a sin xdx cos x C sin udu cos u C
3. cos xdx sin x C cos udu sin u C 1 1 dx tan x C du tan u C cos2 x cos2 u 1 1 dx cot x C du cot u C sin2 x sin2 u B - BÀI TẬP DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có đạo hàm trên a;b . (2): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b . (4): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên a;b . A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 2. Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x .g x dx f x dx. g x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx . D. kf x dx k f x dx k 0;k ¡ . Câu 3. Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx . B. 2 f x dx 2 f x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx . D. f x g x dx f x dx g x dx . Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. kf x dx k f x dx với k ¡ . B. f x g x dx f x dx g x dx với f x ; g x liên tục trên ¡ . 1 C. x dx x 1 với 1. 1 D. f x dx f x . Câu 5. Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của f x , g x . Xét các mệnh đề sau: I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x . II . k.F x là một nguyên hàm của k. f x với k ¡ . III . F x .G x là một nguyên hàm của f x .g x . Các mệnh đề đúng là A. II và III . B. Cả 3 mệnh đề. C. I và III . D. I và II . Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên ¡ .
4. B. f x dx f x C với mọi hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . C. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . D. kf x dx k f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x liên tục trên ¡ . Câu 7. Cho hàm số f x xác định trên K và F x là một nguyên hàm của f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x F x , x K . B. F x f x , x K . C. F x f x , x K . D. F x f x , x K . Câu 8. Cho hàm số f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . B. Nếu f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x trên K nếu F x f x với mọi x K . D. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K . DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Câu 9. Cho f x , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x 2 A. Trên 2; , nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 C1 ; trên khoảng ; 2 , nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 C2 (C1, C2 là các hằng số). B. Trên khoảng ; 2 , một nguyên hàm của hàm số f x là G x ln x 2 3. C. Trên 2; , một nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 . D. Nếu F x và G x là hai nguyên hàm của của f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1 A. cos x dx sin x C . B. dx ln x C . x C. 2x dx x2 C . D. ex dx ex C . Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4 C 1 A. x3dx . B. dx ln x C . 4 x C. sin xdx C cos x . D. 2exdx 2 ex C . Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? n 1 n x A. dx x 2C (C là hằng số). B. x dx C (C là hằng số; n ¢ ). n 1 x x C. 0dx C (C là hằng số). D. e dx e C (C là hằng số). Câu 13. Tìm nguyên hàm F x 2dx . A. F x 2 x C . B. F x 2 x C . 3 2 x2 C. F x C . D. F x C . 3 2
5. Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f x ex cos x 2018 là A. F x ex sin x 2018x C . B. F x ex sin x 2018x C . C. F x ex sin x 2018x . D. F x ex sin x 2018 C . Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9 là: 1 1 A. x4 9x C . B. 4x4 9x C . C. x4 C . D. 4x3 9x C . 2 4 Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f x e.xe 4 là xe 1 e.xe 1 A. 101376. B. e2.xe 1 C . C. 4x C . D. 4x C . e 1 e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f x 5x4 6x2 1 là A. 20x3 12x C . B. x5 2x3 x C . x4 C. 20x5 12x3 x C . D. 2x2 2x C . 4 Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? x5 1 A. 0dx C . B. x4 dx C . C. dx ln x C . D. ex dx ex C . 5 x 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y x2 3x là x x3 3x2 x3 3x2 1 A. ln x C . B. C . 3 2 3 2 x2 x3 3x2 x3 3x2 C. ln x C . D. ln x C . 3 2 3 2 a b Câu 20. Cho hàm số f x 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x 1 f x dx 2 3ln 2 . Tính T a b . 1 2 A. T 1 . B. T 2 . C. T 2 . D. T 0 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 2x 5 là A. F x x3 x2 5 . B. F x x3 x C . C. F x x3 x2 5x C . D. F x x3 x2 C . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x 1 5 ? 3x 1 6 3x 1 6 A. F x 8 . B. F x 2 . 18 18 3x 1 6 3x 1 6 C. F x . D. F x . 18 6 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f x x2 là x2 3 x4 x2 3 2 x4 x2 3 x3 1 x A. C . B. 2x C . C. C . D. C . 3x x2 3x 3 x 3 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f x 7x6 2 là x x2
6. 1 1 A. x7 ln x 2x . B. x7 ln x 2x C . x x 1 1 C. x7 ln x 2x C . D. x7 ln x 2x C . x x Câu 25. Nguyên hàm của f x x3 x2 2 x là: 1 4 1 1 4 A. x4 x3 x3 C . B. x4 x3 x3 C . 4 3 4 3 3 1 2 1 1 2 C. x4 x3 x3 C . D. x4 x3 x3 C . 4 3 4 3 3 Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 x x2018 là x2019 x2019 A. x C . B. 2 x3 C . 673 2019 1 x2019 1 C. C . D. 6054x2017 C . x 673 2 x Câu 27. Hàm số F(x) ex tan x C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào 1 1 A. f (x) ex B. f (x) ex sin2 x sin2 x x x e x 1 C. f (x) e 1 2 D. f x e 2 cos x cos x 1 Câu 28. Nếu f x dx ln 2x C với x 0; thì hàm số f x là x 1 1 1 A. f x . B. f x x . x2 x 2x 1 1 1 C. f x ln 2x . D. f x . x2 x2 2x x2 x 1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . x 1 1 1 x2 A. x C . B. 1 C . C. ln x 1 C . D. x2 ln x 1 C . x 1 x 1 2 2 1 Câu 30. Nguyên hàm F x của hàm số f x 3 là sin2 x A. F x 3x tan x C . B. F x 3x tan x C . C. F x 3x cot x C . D. F x 3x cot x C . 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 3cos x trên 0; . x2 1 1 1 A. 3sin x C . B. 3sin x C . C. 3cos x C . D. 3cos x ln x C . x x x Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là A. x3 cos x C . B. x3 sin x C . C. x3 cos x C . D. 3x3 sin x C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 8sin x . A. f x dx 6x 8cos x C . B. f x dx 6x 8cos x C . C. f x dx x3 8cos x C . D. f x dx x3 8cos x C . 2 x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2
7. A. f x dx x sinx C . B. f x dx x sinx C . x 1 x 1 C. f x dx sinx C . D. f x dx sinx C . 2 2 2 2 Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x cos x . x2 A. f x dx sin x C . B. f x dx 1 sin x C . 2 x2 C. f x dx xsin x cos x C . D. f x dx sin x C . 2 a b Câu 36. x2 2x3 dx có dạng x3 x4 C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1. C. 9 . D. 32 . 1 3 1 3 5 a 4 b 6 Câu 37. x x dx có dạng x x C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5 12 6 bằng: 36 A. 1. B. 12 . C. 1 3 . D. Không tồn tại. 5 Câu 38. 2a 1 x3 bx2 dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng 3 2a 1 x3 bx2 dx x4 x3 C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 A. 1; 3. B. 3; 1. C. ; 1. D. 8 1 1 xsin 2x cos 2x 4 2 Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn điều kiện: f x 2x 3cos x, F 3 2 2 2 A. F(x) x2 3sin x 6 B. F(x) x2 3sin x 4 4 2 2 C. F(x) x2 3sin x D. F(x) x2 3sin x 6 4 4 1 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2x thỏa mãn F( ) 1là: sin2 x 4 2 2 A. F(x) cotx x2 B. F(x) cotx x2 16 16 2 C. F(x) cotx x2 D. F(x) cotx x2 16 Câu 41. Nếu f (x)dx ex sin2 x C thì f (x) là hàm nào? A. ex cos2 x B. ex sin 2x C. ex cos 2x D. ex sin 2x x3 1 Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f (x) biết F(1) = 0 x2 x2 1 1 x2 1 3 A. F(x) B. F(x) 2 x 2 2 x 2 x2 1 1 x2 1 3 C. F(x) D. F(x) 2 x 2 2 x 2 2 3 Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x x
8. A. 4 x 3ln x C . B. 2 x 3ln x C . 1 C. 4 x 3ln x C . D. 16 x 3ln x C . 4 ( 3 x2 )dx Câu 44. Tính x 3 3 A. 3 x5 4ln x C . B. 3 x5 4ln x C . 5 5 5 3 C. 3 x5 4ln x C . D. 3 x5 4ln x C . 3 5 Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 4x3 3x2 2x 2 thỏa mãn F(1) 9 là: A. F(x) x4 x3 x2 2 . B. F(x) x4 x3 x2 10 . C. F(x) x4 x3 x2 2x . D. F(x) x4 x3 x2 2x 10 . Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y (2x 1)5 là: 1 1 A. (2x 1)6 C . B. (2x 1)6 C . 12 6 1 C. (2x 1)6 C . D. 10(2x 1)4 C . 2 Câu 47. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2x2 x3 4 thỏa mãn điều kiện F 0 0 là 2 x4 A. 2x3 4x4 . B. x3 4x . C. x3 x4 2x . D. Đáp án khác. 3 4 Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F’ x 4x3 – 3x2 2 và F 1 3 A. F x x4 – x3 2x 3 B. F x x4 – x3 +2x 3 C. F x x4 – x3 2x 3 D. F x x4 x3 2x 3 Câu 49. Hàm số f x xác định, liên tục trên ¡ và có đạo hàm là f x x 1 . Biết rằng f 0 3 . Tính f 2 f 4 ? A. 10. B. 12 . C. 4 . D. 11. Câu 50. Cho hàm số f x thỏa mãn đồng thời các điều kiện f x x sin x và f 0 1. Tìm f x . x2 x2 A. f x cos x 2 . B. f x cos x 2 . 2 2 x2 x2 1 C. f x cos x . D. f x cos x . 2 2 2 Câu 51. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 5cos x và f 0 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5sin x 2 . B. f x 3x 5sin x 5 . C. f x 3x 5sin x 5 . D. f x 3x 5sin x 5. Câu 52. Biết F x là một nguyên hàm của của hàm số f x sin x và đồ thị hàm số y F x đi qua điểm M 0;1 . Tính F . 2 A. F 2 . B. F 1. C. F 0 . D. F 1. 2 2 2 2 Câu 53. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x x2 2x 3 thỏa mãn F 0 2 , giá trị của F 1 bằng
9. 13 11 A. 4 . B. . C. 2 . D. . 3 3 b Câu 54. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax x 0 , biết rằng F 1 1, x2 f 1 0 F 1 4 , . 3x2 3 7 3x2 3 7 A. F x . B. F x . 4 2x 4 4 2x 4 3x2 3 7 3x2 3 1 C. F x . D. F x . 2 4x 4 2 2x 2 Câu 55. Biết hàm số y f x có f x 3x2 2x m 1, f 2 1 và đồ thị của hàm số y f x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f x là A. x3 x2 3x 5 . B. x3 2x2 5x 5 . C. 2x3 x2 7x 5 . D. x3 x2 4x 5 . 2 1 Câu 56. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 thỏa mãn F 0 . Giá trị của biểu 3 thức log2 3F 1 2F 2 bằng A. 10. B. 4 . C. 4 . D. 2 . Câu 57. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 4x3 2 m 1 x m 5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f x biết rằng F 1 8 và F 0 1 là: A. F x x4 2x2 6x 1 B. F x x4 6x 1. C. F x x4 2x2 1. D. Đáp án A và B
10. C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT Câu 1. Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có đạo hàm trên a;b . (2): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b . (3): Mọi hàm số đạo hàm trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b . (4): Mọi hàm số liên tục trên a;b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên a;b . A. 2 .B. 3 . C. 1. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn B Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y x liện tục trên  1;1 nhưng không có đạo hàm tại x 0 nên không thể có đạo hàm trên  1;1 Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên a;b đều có nguyên hàm trên a;b . Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên a;b thì đều liên tục trên a;b nên đều có nguyên hàm trên a;b . Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên a;b đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên a;b . Câu 2. Cho hai hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx g x dx . B. f x .g x dx f x dx. g x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx . D. kf x dx k f x dx k 0;k ¡ . Hướng dẫn giải Chọn B Câu 3. Cho f x , g x là các hàm số xác định và liên tục trên ¡ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. f x g x dx f x dx. g x dx . B. 2 f x dx 2 f x dx . C. f x g x dx f x dx g x dx . D. f x g x dx f x dx g x dx . Hướng dẫn giải Chọn A Nguyên hàm không có tính chất nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm. Hoặc B, C, D đúng do đó là các tính chất cơ bản của nguyên hàm nên A sai. Câu 4. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. kf x dx k f x dx với k ¡ . B. f x g x dx f x dx g x dx với f x ; g x liên tục trên ¡ . 1 C. x dx x 1 với 1. 1 D. f x dx f x . Hướng dẫn giải Chọn A
11. Ta có kf x dx k f x dx với k ¡ sai vì tính chất đúng khi k ¡ \ 0 . Câu 5. Cho hai hàm số f x , g x là hàm số liên tục, có F x , G x lần lượt là nguyên hàm của f x , g x . Xét các mệnh đề sau: I . F x G x là một nguyên hàm của f x g x . II . k.F x là một nguyên hàm của k. f x với k ¡ . III . F x .G x là một nguyên hàm của f x .g x . Các mệnh đề đúng là A. II và III . B. Cả 3 mệnh đề. C. I và III .D. I và II . Hướng dẫn giải Chọn D Theo tính chất nguyên hàm thì I và II là đúng, III sai. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai? A. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . B. f x dx f x C với mọi hàm số f x có đạo hàm trên ¡ . C. f x g x dx f x dx g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên ¡ . D. kf x dx k f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x liên tục trên ¡ . Hướng dẫn giải Chọn D Mệnh đề: kf x dx k f x dx với mọi hằng số k và với mọi hàm số f x liên tục trên ¡ là mệnh đề sai vì khi k 0 thì kf x dx k f x dx . Câu 7. Cho hàm số f x xác định trên K và F x là một nguyên hàm của f x trên K . Khẳng định nào dưới đây đúng? A. f x F x , x K .B. F x f x , x K . C. F x f x , x K . D. F x f x , x K . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có F x f x dx , x K F x f x , x K . Câu 8. Cho hàm số f x xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai? A. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K . B. Nếu f x liên tục trên K thì nó có nguyên hàm trên K . C. Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của f x trên K nếu F x f x với mọi x K . D. Nếu hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K thì hàm số F x là một nguyên hàm của f x trên K . Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo định lí 1 trang 95 SGK 12 CB suy ra khẳng định A đúng. Dựa theo định lí 3 Sự tồn tại nguyên hàm trang 97 SGK 12 CB kết luận B đúng. Và C đúng dựa vào định nghĩa của nguyên hàm.
12. DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM. 1 Câu 9. Cho f x , chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: x 2 A. Trên 2; , nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 C1 ; trên khoảng ; 2 , nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 C2 (C1, C2 là các hằng số). B. Trên khoảng ; 2 , một nguyên hàm của hàm số f x là G x ln x 2 3. C. Trên 2; , một nguyên hàm của hàm số f x là F x ln x 2 . D. Nếu F x và G x là hai nguyên hàm của của f x thì chúng sai khác nhau một hằng số. Hướng dẫn giải Chọn D D sai vì F x ln x 2 và G x ln x 2 3 đều là các nguyên hàm của hàm số f x nhưng trên các khoảng khác nhau thì khác nhau. Câu 10. Khẳng định nào đây sai? 1 A. cos x dx sin x C . B. dx ln x C . x C. 2x dx x2 C . D. ex dx ex C . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có cos x dx sin x C A sai. Câu 11. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau x4 C 1 A. x3dx .B. dx ln x C . 4 x C. sin xdx C cos x . D. 2exdx 2 ex C . Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có dx ln x C . x Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? n 1 n x A. dx x 2C (C là hằng số).B. x dx C (C là hằng số; n ¢ ). n 1 x x C. 0dx C (C là hằng số). D. e dx e C (C là hằng số). Hướng dẫn giải Chọn B Đáp án B sai vì công thức trên chỉ đúng khi bổ sung thêm điều kiện n 1. Câu 13. Tìm nguyên hàm F x 2dx . A. F x 2 x C . B. F x 2 x C . 3 2 x2 C. F x C . D. F x C . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có F x 2dx 2 x C (vì 2 là hằng số). Câu 14. Họ nguyên hàm của hàm số f x ex cos x 2018 là A. F x ex sin x 2018x C . B. F x ex sin x 2018x C .
13. C. F x ex sin x 2018x . D. F x ex sin x 2018 C . Hướng dẫn giải Chọn A Câu 15. Nguyên hàm của hàm số f x 2x3 9 là: 1 1 A. x4 9x C . B. 4x4 9x C . C. x4 C . D. 4x3 9x C . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A x4 x4 2x3 9 dx 2. 9x C 9x C . 4 2 Câu 16. Họ nguyên hàm của hàm số f x e.xe 4 là xe 1 e.xe 1 A. 101376. B. e2.xe 1 C . C. 4x C .D. 4x C . e 1 e 1 Hướng dẫn giải Chọn D e.xe 1 Ta có f x dx e.xe 4 dx 4x C . e 1 Câu 17. Họ các nguyên hàm của hàm số f x 5x4 6x2 1 là A. 20x3 12x C .B. x5 2x3 x C . x4 C. 20x5 12x3 x C . D. 2x2 2x C . 4 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 5x4 6x2 1 dx x5 2x3 x C . Câu 18. Khẳng định nào sau đây sai? x5 1 A. 0dx C . B. x4 dx C .C. dx ln x C . D. ex dx ex C . 5 x Hướng dẫn giải Chọn C 1 Ta có: dx ln x C C sai. x 1 Câu 19. Nguyên hàm của hàm số y x2 3x là x x3 3x2 x3 3x2 1 A. ln x C . B. C . 3 2 3 2 x2 x3 3x2 x3 3x2 C. ln x C .D. ln x C . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 2 1 x 3x Áp dụng công thức nguyên hàm ta có x 3x dx ln x C . x 3 2 a b Câu 20. Cho hàm số f x 2 , với a , b là các số hữu tỉ thỏa điều kiện x2 x 1 f x dx 2 3ln 2 . Tính T a b . 1 2 A. T 1 . B. T 2 .C. T 2 . D. T 0 .
14. Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 a b a Ta có f x dx 2 dx bln x 2x a 1 bln 2 . 2 1 1 x x x 1 2 2 2 Theo giả thiết, ta có 2 3ln 2 a 1 bln 2 . Từ đó suy ra a 1, b 3 . Vậy T a b 2 . Câu 21. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 2x 5 là A. F x x3 x2 5 . B. F x x3 x C . C. F x x3 x2 5x C . D. F x x3 x2 C . Hướng dẫn giải Chọn C Nguyên hàm của hàm số f x 3x2 2x 5 là F x x3 x2 5x C . Câu 22. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f (x) 3x 1 5 ? 3x 1 6 3x 1 6 A. F x 8 . B. F x 2 . 18 18 3x 1 6 3x 1 6 C. F x .D. F x . 18 6 Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 ax b Áp dụng ax b dx C với 1 và C là hằng số. a 1 Vậy hàm số ở phương án D thỏa yêu cầu đề. 1 1 Câu 23. Họ nguyên hàm của hàm số f x x2 là x2 3 x4 x2 3 2 x4 x2 3 x3 1 x A. C . B. 2x C . C. C .D. C . 3x x2 3x 3 x 3 Hướng dẫn giải Chọn D 3 1 2 1 2 2 1 1 x x Ta có 2 x dx x x dx C . x 3 3 x 3 3 1 1 Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f x 7x6 2 là x x2 1 1 A. x7 ln x 2x . B. x7 ln x 2x C . x x 1 1 C. x7 ln x 2x C .D. x7 ln x 2x C . x x Hướng dẫn giải Chọn D 1 f x dx x7 ln x 2x C . x Câu 25. Nguyên hàm của f x x3 x2 2 x là: 1 4 1 1 4 A. x4 x3 x3 C . B. x4 x3 x3 C . 4 3 4 3 3
15. 1 2 1 1 2 C. x4 x3 x3 C . D. x4 x3 x3 C . 4 3 4 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 4 x3 x2 2 x dx x4 x3 x3 C . 4 3 3 Chọn A Câu 26. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3 x x2018 là x2019 x2019 A. x C .B. 2 x3 C . 673 2019 1 x2019 1 C. C . D. 6054x2017 C . x 673 2 x Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: 3 1 2 2019 2019 2018 2018 x x 3 x 3 x x dx 3x 2 x dx 3. C 2 x C . 3 2019 2019 2 Câu 27. Hàm số F(x) ex tan x C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào 1 1 A. f (x) ex B. f (x) ex sin2 x sin2 x x x e x 1 C. f (x) e 1 2 D. f x e 2 cos x cos x Hướng dẫn giải x x 1 Ta có: e tan x C e 2 . cos x Chọn D 1 x 0; f x Câu 28. Nếu f x dx ln 2x C với thì hàm số là x 1 1 1 A. f x . B. f x x . x2 x 2x 1 1 1 C. f x ln 2x . D. f x . x2 x2 2x Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f x dx F x C F x f x 1 1 1 2x 1 1 Do đó f x ln 2x ln 2x 2 2 với x 0; . x x x 2x x x x2 x 1 Câu 29. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x . x 1 1 1 x2 A. x C . B. 1 C .C. ln x 1 C . D. x2 ln x 1 C . x 1 x 1 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C
16. x2 x 1 1 Ta có f x x x 1 x 1 x2 f x dx ln x 1 C . 2 1 Câu 30. Nguyên hàm F x của hàm số f x 3 là sin2 x A. F x 3x tan x C . B. F x 3x tan x C . C. F x 3x cot x C . D. F x 3x cot x C . Hướng dẫn giải Chọn C 1 Nguyên hàm của hàm số f x 3 là F x 3x cot x C . sin2 x 1 Câu 31. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 3cos x trên 0; . x2 1 1 1 A. 3sin x C .B. 3sin x C . C. 3cos x C . D. 3cos x ln x C . x x x Hướng dẫn giải Chọn B b 1 1 Ta có f x dx 3cos x dx 3sin x C . 2 a x x Câu 32. Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là A. x3 cos x C . B. x3 sin x C .C. x3 cos x C . D. 3x3 sin x C . Hướng dẫn giải Chọn C Họ nguyên hàm của hàm số f x 3x2 sin x là x3 cos x C . Câu 33. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 3x2 8sin x . A. f x dx 6x 8cos x C . B. f x dx 6x 8cos x C . C. f x dx x3 8cos x C . D. f x dx x3 8cos x C . Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: f x dx 3x2 8sin x dx x3 8cos x C . 2 x Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2 A. f x dx x sinx C . B. f x dx x sinx C . x 1 x 1 C. f x dx sinx C . D. f x dx sinx C . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C 1 cos x x 1 Ta có f x dx dx sin x C . 2 2 2 Câu 35. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x x cos x . x2 A. f x dx sin x C . B. f x dx 1 sin x C . 2 x2 C. f x dx xsin x cos x C . D. f x dx sin x C . 2
17. Hướng dẫn giải Chọn A x2 f x dx x cos x dx sin x C . 2 a b Câu 36. x2 2x3 dx có dạng x3 x4 C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a bằng: 3 4 A. 2 . B. 1. C. 9 .D. 32 . Hướng dẫn giải Cách 1: Theo đề, ta cần tìm x2 2x3 dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . Ta có: 1 1 x2 2x3 dx x3 x4 C . 3 2 a b Suy ra để x2 x3 dx có dạng x3 x4 C thì a 1, b 2. 3 4 Chọn B Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ. a b Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x3 x4 C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 3 4 a b lấy đạo hàm của x3 x4 C . 3 4 Ví dụ: a b 2 b 2 b A. Thay a 2 vào x3 x4 C ta được x3 x4 C . Lấy đạo hàm của x3 x4 C : 3 4 3 4 3 4 2 3 b 4 2 3 x x C 2x bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4 x2 2x3 2x2 bx3 ,x ¡ nên ta loại đáp án A a b 1 b 1 b B. Thay a 1 vào x3 x4 C ta được x3 x4 C . Lấy đạo hàm của x3 x4 C : 3 4 3 4 3 4 1 3 b 4 2 3 2 3 2 3 x x C x bx , vì tồn tại số hữu tỉ b sao cho x 2x 2x bx ,x ¡ ( cụ 3 4 thể b 2 ¤ ) nên ta nhận đáp án B a b b b C. Thay a 9 vào x3 x4 C ta được 3x3 x4 C . Lấy đạo hàm của 3x3 x4 C : 3 4 4 4 3 b 4 2 3 3x x C 9x bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 4 9x2 2x3 2x2 bx3 ,x ¡ nên ta loại đáp án C a b 32 b D. Thay a 32 vào x3 x4 C ta được x3 x4 C . Lấy đạo hàm của 3 4 3 4 32 b x3 x4 C : 3 4 32 3 b 4 2 3 x x C 32x bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 3 4 32x2 2x3 2x2 bx3 ,x ¡ nên ta loại
18. đáp án D Chú ý: Ta chỉ cần so sánh hệ số của x2 ở 2 vế của đẳng thức x2 2x3 2x2 bx3 ; 9x2 2x3 2x2 bx3 ; 32x2 2x3 2x2 bx3 và có thể loại nhanh các đáp án A, C, D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị của b . Nên khoanh đáp ánA. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: x2 2x3 dx 3x3 8x4 C . a b Vì thế, a 9 để x2 2x3 dx 3x3 8x4 C có dạng x3 x4 C . 3 4 Học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. D. Đáp án D sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm như sau: x2 2x3 dx 3x3 8x4 C . Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề bài nên tìm giá trị b . a b Để x2 2x3 dx có dạng x3 x4 C thì b 32 . 3 4 Thế là, học sinh khoanh đáp án D và đã sai lầm. 1 3 1 3 5 a 4 b 6 Câu 37. x x dx có dạng x x C , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Giá trị a 3 5 12 6 bằng: 36 A. 1. B. 12 . C. 1 3 .D. Không tồn tại. 5 Hướng dẫn giải Cách 1: 1 3 1 3 5 Theo đề, ta cần tìm x x dx . Sau đó, ta xác định giá trị của a . 3 5 Ta có: 1 3 1 3 5 1 4 1 3 6 x x dx x x C . 3 5 12 30 1 3 1 3 5 a 4 b 6 1 3 Suy ra để x x dx có dạng x x C thì a 1 ¤ , b ¤ . 3 5 12 6 5 Chọn D Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ. a b Ta thay giá trị của a ở các đáp án vào x4 x6 C . Sau đó, với mỗi a của các đáp án ta 12 6 a b lấy đạo hàm của x4 x6 C . 12 6 Ví dụ: a b 1 b A. Thay a 1 vào x4 x6 C ta được x4 x6 C . Lấy đạo hàm của 12 6 12 6 1 b x4 x6 C : 12 6
19. 1 4 b 6 1 3 5 x x C x bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 12 6 3 1 1 3 1 x3 x5 x3 bx5 ,x ¡ nên ta 3 5 3 loại đáp ánA. a b b b B. Thay a 12 vào x4 x6 C ta được x4 x6 C . Lấy đạo hàm của x4 x6 C : 12 6 6 6 4 b 6 3 5 x x C 4x bx , vì không tồn tại số hữu tỉ b sao cho 6 1 1 3 x3 x5 4x3 bx5 ,x ¡ nên ta loại đáp án B 3 5 C. Loại đáp án C 36 Ta có thể loại nhanh đáp án C vì 1 3 ¤ và a ¤ . 5 Vậy đáp án chính xác là đáp án D Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai. Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau khi tìm được giá trị của a ( không tìm giá trị của b ).Học sinh khoanh đáp án A và đã sai lầm. B. Đáp án B sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị của a như sau: 6 1 3 1 3 1 3 5 1 4 1 3 6 4 6 x x dx 3 x 6 x C x x C . 3 5 3 5 5 6 1 3 1 3 1 3 5 4 6 a 4 b 6 Vì thế, a 12 để x x dx x x C có dạng x x C . 3 5 5 12 6 Thế là, học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm và chỉ tìm giá trị củab do không đọc kĩ yêu cầu bài toán: 6 1 3 1 3 1 3 5 1 4 1 3 6 4 6 x x dx 3 x 6 x C x x C . 3 5 3 5 5 6 1 3 36 1 3 1 3 5 4 6 Vì thế, b 1 3 để x x dx x x C có dạng 5 3 5 5 a b x4 x6 C . 12 6 Thế là, học sinh khoanh đáp án C và đã sai lầm. Câu 38. 2a 1 x3 bx2 dx , trong đó a, b là hai số hữu tỉ. Biết rằng 3 2a 1 x3 bx2 dx x4 x3 C . Giá trị a, b lần lượt bằng: 4 1 A. 1; 3. B. 3; 1. C. ; 1. D. 8 1 1 xsin 2x cos 2x 4 2 Hướng dẫn giải Cách 1:
20. Ta cần tìm 2a 1 x3 bx2 dx . Ta có: 1 1 2a 1 x3 bx2 dx 2a 1 x4 bx3 C . 4 3 3 1 1 Vì ta có giả thiết 2a 1 x3 bx2 dx x4 x3 C nên 2a 1 x4 bx3 C có dạng 4 4 3 3 x4 x3 C . 4 1 3 2a 1 1 4 1 3 3 4 3 4 4 a 1 Để 2a 1 x bx C có dạng x x C thì , nghĩa là . 4 3 4 1 b 3 b 1 3 Vậy đáp án chính xác là đáp ánA. Cách 2: Ta loại nhanh đáp án C vì giá trị a ở đáp án C không thỏa điều kiện a ¤ . Tiếp theo, ta thay giá trị a, b ở các đáp án A, B vào 2a 1 x3 bx2 dx và tìm 2a 1 x3 bx2 dx . 3 Ta có: 3x3 3x2 dx x4 x3 C nên đáp án chính xác là đáp ánA. 4 Chú ý: Giả sử các giá trị a, b ở các đáp án A, B, C không thỏa yêu cầu bài toán thì đáp án chính xác là Chọn D. Sai lầm thường gặp: B. Đáp án B sai. Một số học sinh không chú ý đến thứ tự sắp xếp nên học sinh khoanh đáp án B và đã sai lầm. C. Đáp án C sai. Một số học sinh sai lầm ở chỗ: Ta có: 2a 1 x3 bx2 dx 2a 1 x4 bx3 C . 3 Vì ta có giả thiết 2a 1 x3 bx2 dx x4 x3 C nên 2a 1 x4 bx3 C có dạng 4 3 x4 x3 C . 4 3 1 1 3 2a 1 Để 2a 1 x4 bx3 C có dạng x4 x3 C thì 4 , 4 3 4 b 1 1 a nghĩa là 8 . b 1 Câu 39. Tìm nguyên hàm của hàm số f x thỏa mãn điều kiện: f x 2x 3cos x, F 3 2 2 2 A. F(x) x2 3sin x 6 B. F(x) x2 3sin x 4 4 2 2 C. F(x) x2 3sin x D. F(x) x2 3sin x 6 4 4 Hướng dẫn giải
21. Ta có: F x 2x 3cos x dx x2 3sin x C 2 2 F 3 3sin C 3 C 6 2 2 2 4 2 Vậy F(x) x2 3sin x 6 4 Chọn D 1 Câu 40. Một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 2x thỏa mãn F( ) 1là: sin2 x 4 2 2 A. F(x) cotx x2 B. F(x) cotx x2 16 16 2 C. F(x) cotx x2 D. F(x) cotx x2 16 Hướng dẫn giải 1 2 Ta có: F x 2x 2 dx x cot x C sin x 2 2 F 1 cot C 1 C 4 4 4 16 2 Vậy F(x) cotx x2 16 Chọn A Câu 41. Nếu f (x)dx ex sin2 x C thì f (x) là hàm nào? A. ex cos2 x B. ex sin 2x C. ex cos 2x D. ex sin 2x Hướng dẫn giải Ta có: ex sin2 x C ex sin 2x Chọn D x3 1 Câu 42. Tìm một nguyên hàm F(x) của f (x) biết F(1) = 0 x2 x2 1 1 x2 1 3 A. F(x) B. F(x) 2 x 2 2 x 2 x2 1 1 x2 1 3 C. F(x) D. F(x) 2 x 2 2 x 2 Hướng dẫn giải x3 1 1 x2 1 Ta có: F x 2 dx x 2 dx C x x 2 x 12 1 3 F 1 0 C 0 C 2 1 2 x2 1 3 Vậy F(x) 2 x 2 Chọn D 2 3 Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f (x) là : x x A. 4 x 3ln x C . B. 2 x 3ln x C . 1 C. 4 x 3ln x C . D. 16 x 3ln x C . Hướng dẫn giải
22. 2 3 Ta có: dx 4 x 3ln x C . x x Chọn A 4 Câu 44. Tính ( 3 x2 )dx x 3 3 A. 3 x5 4ln x C . B. 3 x5 4ln x C . 5 5 5 3 C. 3 x5 4ln x C .D. 3 x5 4ln x C . 3 5 Hướng dẫn giải 3 5 3 2 4 3 x Ta có: x dx 4ln x C . x 5 Chọn D Câu 45. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 4x3 3x2 2x 2 thỏa mãn F(1) 9 là: A. F(x) x4 x3 x2 2 . B. F(x) x4 x3 x2 10 . C. F(x) x4 x3 x2 2x .D. F(x) x4 x3 x2 2x 10 . Hướng dẫn giải Ta có: F x 4x3 3x2 2x 2 dx x4 x3 x2 2x C F 1 9 14 13 12 2.1 C 9 C 10 F(x) x4 x3 x2 2x 10 . Chọn D Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số y (2x 1)5 là: 1 1 A. (2x 1)6 C . B. (2x 1)6 C . 12 6 1 C. (2x 1)6 C . D. 10(2x 1)4 C . 2 Hướng dẫn giải 6 5 1 2x 1 1 6 Ta có: 2x 1 dx . 2x 1 C . 2 6 12 Chọn A Câu 47. Nguyên hàm F x của hàm số f x 2x2 x3 4 thỏa mãn điều kiện F 0 0 là 2 x4 A. 2x3 4x4 . B. x3 4x . C. x3 x4 2x .D. Đáp án khác. 3 4 Hướng dẫn giải 2x3 x4 Ta có: F x 2x2 x3 4 dx 4x C 3 4 2.03 04 2 x4 F 0 0 C 0 C 0 F x x3 4x . 3 4 3 4 Chọn D Câu 48. Tìm hàm số F(x) biết rằng F’ x 4x3 – 3x2 2 và F 1 3 A. F x x4 – x3 2x 3 B. F x x4 – x3 +2x 3 C. F x x4 – x3 2x 3 D. F x x4 x3 2x 3 Hướng dẫn giải Ta có: F x F x dx 4x3 3x2 2 dx x4 x3 2x C F 1 3 1 4 1 3 2. 1 C 3 C 3
23. Vậy F x x4 – x3 +2x 3 Chọn B f x f x x 1 f 0 3 Câu 49. Hàm số xác định, liên tục trên ¡ và có đạo hàm là . Biết rằng f 2 f 4 . Tính ? A. 10.B. 12. C. 4 . D. 11. Hướng dẫn giải Chọn B x 1 khi x 1 Ta có f x . x 1 khi x 1 x2 Khi x 1 thì f x x 1 dx x C . 2 1 x2 Khi x 1 thì f x x 1 dx x C . 2 2 x2 f x x 3 C 3 2 Theo đề bài ta có f 0 3 nên 2 khi x 1. Mặt khác do hàm số f x liên tục tại x 1 nên lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 x2 x2 1 1 lim x 3 lim x C 1 3 1 C C 4 . 1 1 1 x 1 2 x 1 2 2 2 x2 Vậy khi x 1 thì f x x 4 f 2 f 4 12 . 2 f x f x x sin x f 0 1 Câu 50. Cho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện và . Tìm f x . x2 x2 A. f x cos x 2 . B. f x cos x 2 . 2 2 x2 x2 1 C. f x cos x . D. f x cos x . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A x2 Ta có f x x sin x f x cos x C ; f 0 1 1 C 1 C 2 . 2 x2 Vậy f x cos x 2 . 2 Câu 51. Cho hàm số f x thỏa mãn f x 3 5cos x và f 0 5 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. f x 3x 5sin x 2 . B. f x 3x 5sin x 5 . C. f x 3x 5sin x 5 . D. f x 3x 5sin x 5. Hướng dẫn giải Chọn C Ta có f x 3 5cos x dx 3x 5sin x C . Lại có: f 0 5 3.0 5sin 0 C 5 C 5 . Vậy f x 3x 5sin x 5 .
24. Câu 52. Biết F x là một nguyên hàm của của hàm số f x sin x và đồ thị hàm số y F x đi qua điểm M 0;1 . Tính F . 2 A. F 2 . B. F 1. C. F 0 . D. F 1. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A * Ta có F x cos x C , với C là hằng số tùy ý. * Đồ thị hàm số y F x đi qua điểm M 0;1 nên 1 cos0 C C 2 F x cos x 2. Do đó F 2 . 2 Câu 53. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x x2 2x 3 thỏa mãn F 0 2 , giá trị của F 1 bằng 13 11 A. 4 .B. . C. 2 . D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B x3 Ta có: x2 2x 3dx x2 3x C . 3 F x là một nguyên hàm của hàm số f x có F 0 2 C 2. x3 13 Vậy F x x2 3x 2 F 1 . 3 3 b Câu 54. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x ax x 0 , biết rằng F 1 1, x2 f 1 0 F 1 4 , . 3x2 3 7 3x2 3 7 A. F x . B. F x . 4 2x 4 4 2x 4 3x2 3 7 3x2 3 1 C. F x . D. F x . 2 4x 4 2 2x 2 Hướng dẫn giải Chọn A . 2 1 2 b 2 ax bx ax b F x f x dx ax 2 dx ax bx dx C C x 2 1 2 x a 3 b C 1 a 2 2 F 1 1 a 3 3x2 3 7 Ta có: F 1 4 b C 4 b . Vậy F x . 2 2 4 2x 4 f 1 0 a b 0 7 C 4 Câu 55. Biết hàm số y f x có f x 3x2 2x m 1, f 2 1 và đồ thị của hàm số y f x cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 . Hàm số f x là
25. A. x3 x2 3x 5 . B. x3 2x2 5x 5 . C. 2x3 x2 7x 5 . D. x3 x2 4x 5 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f x 3x2 2x m 1 dx x3 x2 1 m x C . f 2 1 2 1 m C 12 1 m 4 3 2 Theo đề bài, ta có f x x x 3x 5 f 0 5 C 5 C 5 . 2 1 Câu 56. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 2x 3 thỏa mãn F 0 . Giá trị của biểu 3 thức log2 3F 1 2F 2 bằng A. 10. B. 4 . C. 4 .D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: 1 2 1 3F 1 2F 2 3 F 1 F 2 F 2 F 0 F 0 3 f x dx f x dx 4 . 2 0 3 log2 3F 1 2F 2 log2 4 2 . Câu 57. Gọi F x là nguyên hàm của hàm số f x 4x3 2 m 1 x m 5 , với m là tham số thực. Một nguyên hàm của f x biết rằng F 1 8 và F 0 1 là: A. F x x4 2x2 6x 1 B. F x x4 6x 1. C. F x x4 2x2 1. D. Đáp án A và B Hướng dẫn giải Ta có: 3 4 2 4x 2 m 1 x m 5 dx x m 1 x m 5 x C . Lại có: F 0 1 C 1 C 1 F 1 8 1 m 1 m 5 C 8 m 1 Vậy F x x4 6x 1. Chọn B xn Câu 58. Tìm T dx ? x2 x3 xn 1 x 2! 3! n! x2 xn A. T x.n! n!ln 1 x C . 2! n! x2 xn B. T x.n! n!ln 1 x C . 2! n! x2 xn C. T n!ln 1 x C . 2! n! 2 n x x n D. T n!ln 1 x x .n! C . 2! n! Hướng dẫn giải
26. x2 x3 x4 xn x2 x3 xn 1 Đặt g x 1 x g x 1 x 2! 3! 4! n! 2! 3! n 1 ! xn Ta có: g x g x xn n! g x g x n! 2 n n!. g x g g x x x T dx n! 1 dx n!.x n!ln n!x n!ln 1 x C g x g x 2! n! Chọn B