›
›
›

Tài liệu Hình học Lớp 12 - Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

docx 41 trang nhungbui22 12/08/2022 2550
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Hình học Lớp 12 - Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_hinh_hoc_lop_12_giai_hinh_hoc_khong_gian_bang_phuon.docx

Nội dung text: Tài liệu Hình học Lớp 12 - Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

  1. GIẢI HHKG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA A - PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Bước 1: Chọn hệ trục tọa Oxyz. Xác định ba đường thẳng đồng quy và đôi một cắt nhau trên cơ sở có sẵn của hình (như tam diện vuông, hình hộp chữ nhật, hình chóp tứ giác đều ), hoặc dựa trên các mặt phẳng vuông góc dựng thêm đường phụ. Bước 2: Tọa độ hóa các điểm của hình không gian. Tính tọa độ điểm liên quan trực tiếp đến giả thiết và kết luận của bài toán. Cơ sở tính toán chủ yếu dựa vào quan hệ song song, vuông góc cùng các dữ liệu của bài toán. Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích. Lập các phương trình đường, mặt liên quan. Xác định tọa độ các điểm, véc tơ cần thiết cho kết luận. Bước 4: Giải quyết bài toán. Sử dụng các kiến thức hình học giải tích để giải quyết yêu cầu của bài toán hình không gian. Chú ý các công thức về góc, khoảng cách, diện tích và thể tích Cách chọn hệ tọa độ một số hình không gian. Hình hộp lập phương – Hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' Với hình lập phương . z D' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), A' C(a; a; 0), D(0; a; 0) B' C' A '(0; 0; a), B '(a; 0; a), C '(a; a; a), D '(0; a; a) Với hình hộp chữ nhật. Chọn hệ trục tọa độ sao cho: D A y B C x A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0) , A '(0; 0; c) ; B '(a; 0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Chú ý: Tam diện vuông là một nửa của hình hộp chữ nhật nên ta chọn hệ trục tọa độ tương tự như hình hộp chữ nhật. Với hình hộp đứng có đáy là hình thoi ABCD.A ' B 'C ' D ' Chọn hệ trục tọa độ sao cho : z Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của hai đường chéo của hình D' thoi ABCD A' Trục Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy B' Nếu AC a, BD b, AA ' c thì C' a b a A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , C 0; ; 0 2 2 2 A D B x O C y b a b a b D ; 0; 0 , A ' 0; ; c , B ' ; 0; c ,.C ' 0; ; c , D ' ; 0; c 2 2 2 2 2 Chú ý: Với lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ tọa độ tương tự như trên với gốc tọa độ là trung điểm AC , B Ox, C Oy còn trục Oz đi qua trung điểm hai cạnh AC, A 'C '. Hình chóp đều
  2. 1) Hình chóp tam giác đều S.ABC , AB a, SH h , ta chọn hệ z S tọa độ sao cho O là trung điểm BC , A Ox, B Oy . a 3 a Khi đó A ; 0; 0 , B 0; ; 0 , 2 2 a a 3 C 0; ; 0 , S ; 0; h x 2 6 C A H O y B Hình chóp từ giác đều S.ABCD , AB a, SH h , ta chọn hệ z tọa độ sao cho O là tâm đáy B Ox, C Oy, S Oz . Khi đó: S a 2 A 0; ; 0 , 2 a 2 a 2 a 2 B ; 0; 0 , C 0; ; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; h A 2 2 2 D B O C x y Chú ý: Ngoài cách chọn hệ trục như trên ta có thể chọn hệ trục bằng cách khác. Chẳng hạn với hình chóp tam giác đều ta có thể chọn H  O , trục Oy đi qua H và song song với BC . Hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA h 1) Nếu đáy là hình chữ nhật ta chọn hệ trục sao cho z A  O, B Ox, D Oy, S Oz S A y D B x C Nếu đáy là hình thoi, ta chọn hệ trục sao cho O là tâm của S đáy, B Ox, C Oy và Oz / /SA . z A D B x O C y Chú ý: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) Nếu đáy ABC là tam giác vuông tại A thì cách chọn hệ trục hoàn toàn tương tự như hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật.
  3. Nếu đáy ABC là tam giác cân tại B thì ta chọn hệ trục tọa độ như hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, khi đó gốc tọa độ là trung điểm cạnh AC . Hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC) Đường cao SH h của tam giác SAB là đường cao của hình chóp. z S Nếu tam giác ABC vuông tại A ,AB a, AC b ta chọn hệ trục sao cho A  O, B Oy, C Ox, Oz / /SH . Khi đó A 0; 0; 0 , B 0; a; 0 , C(b; 0; 0) AH c H 0; c; 0 , S(0; c; h) . H y A B C x Chú ý: Nếu vuông tại B ta chọn B  O , vuông tại C chọn C  O . Nếu tam giác ASB cân tại S , ABC cân tại C thì ta chọn H  O, C Ox, B Oy, S Oz Tùy vào từng bài toán mà có thể thay đổi linh hoạt cách chọn hệ tọa độ. Trong nhiều trường hợp, phải biết kết hợp kiến thức hình không gian tổng hợp và kiến thức hình giải tích nhằm thu gọn lời giải. Ví dụ 1: Cho hình chóp O.ABC có OA a, OB b, OC c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp OBC , mp OCA , mp OAB là 1, 2, 3 . Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) Vì khoảng cách từ M đến các mặt phẳng mp OBC , mp OCA , z mp OAB là 1, 2, 3 nên M 1; 2; 3 . Suy ra phương trình C x y z (ABC) : 1 a b c M 1 2 3 Vì M (ABC) 1 a b c y (1).Thể tích khối chóp O.ABC : O B A x 1 V abc . O.ABC 6 1 2 3 1 2 3 1 Từ (1) 1 33 . . abc 27 a b c a b c 6 1 2 3 1 Vậy, min V 27 đạt được khi a 3, b 6, c 9 OABC a b c 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a , SB a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN Lời giải. Gọi H là hình chiếu của S lên AB SH  (ABCD)
  4. SA2 a a 3 Ta có: SA2 SB2 AB2 SA  SB AH , SH . AB 2 2 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: z S M A D y B H N C x a a a 3 A 0; 0; 0 , B 2a; 0; 0 , D 0; 2a; 0 , C 2a; 2a; 0 , H ; 0; 0 , S ; 0; 2 2 2 M a; 0; 0 , N 2a; a; 0 . 1 Ta có S S a.2a a2 S 4a2 2a2 2a2 ADM CDN 2 BNDM 1 1 a 3 a3 3 Thể tích khối chóp S.BMDN : V SH.S . .2a2 3 BMDN 3 2 3  a a 3    Vì SM ; 0; , DN 2a; a; 0 SM.DN a2 2 2   SM.DN a2 5 Vậy cos SM, DN . SM.DN a. 5a 5 Ví dụ 3: Trên các tia Ox, Oy, Oz của góc tam diện vuông Oxyz lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA a, OB a 2, OC c, (a, c 0) .Gọi D là đỉnh đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đoạn BC. Mặt phẳng ( ) qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM. 1. Gọi E là giao điểm của ( ) với đường thẳng OC. Tính độ dài đoạn thẳng OE ; 2. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng ( ) . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ) Lời giải. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , sao cho: z O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B 0; a 2; 0 , C D a; a 2; 0 , C(0; 0; c) M E 1. Vì M là trung điểm của BC nên G F a 2 c B M 0; ; . O 2 2 K y   H OC(0; 0; c), OD a; a 2; 0 I A   x D OC; OD ac 2; ac; 0  Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (OCD) là nOCD 2; 1; 0 .
  5. Gọi F ( )  CD thì EF là giao tuyến của ( ) với (OCD) , ta có EF  AM.  a 2 c   c Vì AM a; ; nên n , AM (1; 2; 0), do đó một véc tơ chỉ phương của EF là OCD 2 2 2  uEF (1; 2; 0).   1 Ta có u , AM c 2; c; 3 2a nên phương trình mặt phẳng ( ) là : EF 2 2cx cy 3 2az ac 2 0. c c Do đó ( )  Oz E 0; 0; OE . 3 3 2a 2 2a c CF 2 2. Ta có ( )  CD F ; ; . 3 3 3 CD 3 Mà VCOADB 2VCAOD 2VCBOD nên VCEAFM VCAEF VCMEF 1 CE CF CM CE CF 1 . . . VCOADB 2VCAOD 2VCBOD 2 CO CD CB CO CD 3 1 Do đó tỷ số thể tích hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AODB bởi mặt phẳng ( ) là 2 (hay 2). 3 2ac ac 2 2 6ac Khoảng cách cần tìm : d(C, ( )) . 2c2 c2 18a2 3 c2 6a2 Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B 'C ' D ' có A  O, B Ox, D Oy, A ' Oz và AB 1, AD 2, AA ' 3 . 1. Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp; 2. Tìm điểm E trên đường thẳng DD ' sao cho B ' E  A 'C 3. Tìm điểm M thuộc A 'C , N thuộc BD sao cho MN  BD, MN  A 'C . Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau A 'C và BD Lời giải. 1. Ta có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), z D(0; 2; 0), A '(0; 0; 3) . Hình chiếu của C lên (Oxy) là C , A' hình chiếu của C lên Oz là A nên D' C 1; 2; 0 . C' Hình chiếu của B ', C ', D ' lên mp B' (Oxy) và trục Oz lần lượt là các điểm B, C, D và A ' nên A D y B ' 1; 0; 3 , C '(1; 2; 3), D '(0; 2; 3) . x B C  2. Vì E thuộc đường thẳng DD ' nên E 0; 2; z , suy ra B ' E 1; 2; z 3    Mà A 'C 1; 2; 3 nên B ' E  A 'C B ' E.A 'C 0 1 4 3 z 3 0 z 4 . Vậy E 0; 2; 4 .     3. Đặt A ' M x.A 'C; BN y.BD
  6.      Ta có AM AA ' A ' M AA ' x.A 'C x; 2x; 3 3x , suy ra M x; 2x; 3 3x      AN AB BN AB y.BD 1 y; 2y; 0 N 1 y; 2y; 0   MN.A 'C 0 Theo giả thiết của để bài, ta có:   ( ) MN.BD 0    Mà MN 1 x y; 2y 2x; 3x 3 ,A 'C 1; 2; 3 , BD 1; 2; 0 Khi đó ( ) trở thành 53 x 1 x y 4y 4x 9x 9 0 14x 3y 10 61 1 x y 4y 4x 0 3x 5y 1 44 y 61 53 106 24 17 88 Do đó M ; ; , N ; ; 0 . 61 61 61 61 61 Vì MN là đường vuông góc chung của hai đường thẳng A 'C, BD 2 6 61 d A 'C, BD MN 1 x y (2y 2x)2 (3x 3)2 . 61 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a Lời giải. Vì hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên suy ra SA  (ABC) . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, đặt SA x, x 0 z Vì MN / / BC N là trung điểm cạnh AC S Tọa độ các đỉnh là: B(0; 0; 0), A(2a; 0; 0), C 0; 2a; 0 , S(2a; 0; x), M a; 0; 0 , N a; a; 0 B C y M N A x     Suy ra BS 2a; 0; x , BC 0; 2a; 0 BS, BC 2ax; 0; 4a2  Do đó n x; 0; 2a là VTPT của mặt phẳng (SBC) k (0; 0;1) là VTPT của mặt phẳng (ABC)  n.k 1 2a 1 Theo giả thiết ta có:  cos 600 x2 12a2 x 2a 3 n . k 2 x2 4a2 2 Vì M, N là trung điểm của AB, CB nên 1 3 3a2 S S S S AMN 4 ABC BMNC 4 ABC 2 Từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMNC là:
  7. 1 1 3a2 V SA.S .2a 3. a3 3 . S.BMNC 3 BMNC 3 2    Ta có: BA 2a; 0; 0 , SN a; a; 2a 3 , BN a; a; 0      Suy ra BA, SN 0; 4 3a2; 2a2 BA, SN .BN 4 3a3    BA, SN .BN 4a3 3 2a 39 Vậy d AB, SN   . BA, SN 2 13a2 13 B - BÀI TẬP Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD ; M , N hai điểm nằm trên hai cạnh BC , CD . Đặt BM x , DN y 0 x, y a . Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng SAM và SMN vuông góc với nhau là: A. x2 a2 a x y . B. x2 2a2 a x y . C. 2x2 a2 a x y . D. x2 a2 a x 2y . Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết HB HC , H· BC 30 ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 60 . Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC ? 3 13 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD . 2 39 13 2 39 3 A. . B. . C. . D. . 13 13 39 6 Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ·ABC 60o , BC 2a . Gọi D là   điểm thỏa mãn 3SB 2SD . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC 4BH . Biết SA tạo với đáy một góc 60o . Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng A. 90o . B. 30o . C. 60o . D. 45o . Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD , điểm N a 2 thuộc đoạn BD sao cho AM DN x , 0 x . Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất. 2 a a 2 a 2 a A. x . B. x . C. x . D. x . 2 3 4 3
  8. Câu 6: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM bằng a 2a a a A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(m;0;0) , D(0;m;0) , A (0;0;n) với m,n 0 và m n 4 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng 75 245 9 64 A. . B. . C. . D. . 32 108 4 27 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC ,C D và DD . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ . 1 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 12 24 8 8 Câu 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a. M là một điển thỏa mãn  1  CM AA . Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng A MB và ABC bằng 2 30 30 30 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 10 4 Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D và tâm I của mặt bên BCC B . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng BCC B và ABCD sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là 3a 3 5.a 2 5.a 2 3.a A. . B. . C. . D. . 2 10 5 5 Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Chứng minh hai đường chéo B ' D ' và A ' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D ' và A ' B . a 2 2a a a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' , có đáy AB a, AC 2a, B· AC 1200 .Gọi M là trung điểm cạnh bên BB ' , biết hai mặt phẳng (MAC) và (MA 'C ') vuông góc với nhau. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (BCC ' B ') . 14 5 2 5 5 14 A. . B. . C. . D. . 8 3 28 28 Câu 13: Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 2 8 12 Câu 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B 'C . a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 8
  9. Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a . 3a3 a3 9a3 9a3 A. . B. . C. . D. . 208 108 208 104 Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, AA’ 2a, A’C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC a3 4a3 5a3 4a3 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 3 Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng A ' BC và ABC bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 8 Câu 18: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và BD . Góc giữa hai 0 mặt phẳng ADD1 A1 và ABCD bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . a 2 a a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 2 Câu 19: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC ; AC AD 4cm ; AB 3cm và BC 5cm . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BD, BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN . 6 15 6 34 34 6 3 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a, AD 2a ,SA 3a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD và P là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN) . Tính thể tích khối chóp S.AMPN 1863a3 1873a3 1863a3 1263a3 A. . B. . C. . D. . 1820 1820 182 1820 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB AD 2a; CB a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ABCD bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Biết hai mặt phẳng SDI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 3a3 3 a3 15 3a3 15 8a3 15 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a , SA a và vuông góc với mp(ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, SC . Gọi I là giao điểm của BM, AC . Chứng minh mp(SAC) vuông góc với (SMB) . Tính thể tích của khối tứ diện ANIB . a3 2 a3 2 a3 15 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 3 5 36
  10. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnhS B, BC, CD . Tính thể tích khối tứ diện CMNP . a3 3 a3 2 a3 5 a3 3 A. . B. . C. . D. . 32 3 96 96 Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . a 2 a 2 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 8 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . a 57 2a 57 2a 37 a 57 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 38 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a ; hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH . Gọi CM 4 là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . a3 14 a3 12 a3 5 a3 14 A. . B. . C. . D. . 48 3 32 24 Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB AC a, B· AC 1200 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) tạo với nhau một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC .Tính thể tích khối chóp S.AMN . a3 3 a3 6 a3 6 a3 14 A. . B. . C. . D. . 3888 3888 1233 24 Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a . Gọi M, N là trung điểm SB, SC . Tính theo a diện tích AMN , biết (AMN) vuông góc với (SBC) . a2 10 a2 5 a2 10 a2 10 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 32 Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mp(ABC) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCMN . a3 14 3a3 3 a3 3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 48 25 50 50 Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết SB 2a 3 và S· BC 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a . 6a 5 6a 7 a 7 6a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 15 Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB BC a; AD 2a ; A  O, B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy và S thuộc 1 tia Oz . Đường thẳng SC và BD tạo với nhau một góc thỏa cos . Gọi E là trung 30 điểm cạnh AD . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE .
  11. a 3 a 6 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 2 Câu 32: Cho lăng trụ đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm CC ' , biết AM  B ' M . Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O, C thuộc tia Ox , A ' thuộc tia Oz và B thuộc miền góc xOy . Trên các cạnh A ' B ', A 'C ', BB ' lần lượt lấy các điểm N, P, Q thỏa A ' N NB ' A ' P 2C ' P, B 'Q 3BQ . Tính thể tích khối đa diện AMPNQ . 13a3 3 a3 6 13a3 6 13a3 6 A. . B. . C. . D. . 12 24 12 24 Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1cm , các cạnh bên SA, SB, SC có độ dài cùng bằng 1cm . Tính độ dài cạnh SD sao cho hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất. 6 5 6 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Câu 34: Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2 . Gọi A , B , C , D theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào đó đi qua S. Tìm GTLN P SA 4 SB 4 SC 4 SD 4 7 7 4 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 3
  12. C – HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD ; M , N hai điểm nằm trên hai cạnh BC , CD . Đặt BM x , DN y 0 x, y a . Hệ thức liên hệ giữa x và y để hai mặt phẳng SAM và SMN vuông góc với nhau là: A. x2 a2 a x y . B. x2 2a2 a x y . C. 2x2 a2 a x y . D. x2 a2 a x 2y . Hướng dẫn giải Chọn A S A D N B M C Tọa độ hóa với O  A, Ox  AD , Oy  AB , Oz  AS . Đặt SA z 0 , ta có S 0;0; z , M x;a;0 , N a; y;0 .  AS 0;0; z   Do đó  AS; AM az; xz;0 . AM x;a;0  SM x;a; z   2  SM ;SN yz az; xz az; xy a . SN a; y; z   Mặt phẳng SAM nhận AS; AM az; xz;0 là một VTPT.   2 Mặt phẳng SMN nhận SM ;SN yz az; xz az; xy a là một VTPT.     Ta có SAM  SMN AS; AM . SM ;SN 0 az az yz xz xz az 0 a a y x x a 0 x2 a2 a x y . Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM . Biết HB HC , H· BC 30 ; góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 60 . Tính côsin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC ? 3 13 3 1 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B Từ M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM , HB HC suy ra AM  BC , hay tam giác ABC cân đỉnh A . a a 3 a 3 Đặt BC a BM . Do H· BC 30 suy ra HM AM . Đặt SA b . 2 6 3 Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:
  13. z S A H C x M y B a a 3 a a 3 a 3 Ta có A 0;0;0 , B ; ;0 , C ; ;0 ; H 0; ;0 , S 0;0;b . 2 3 2 3 6  a a 3  a 3 Ta có HC ; ;0 ; SH 0; ; b . 2 6 6   ab 3 ab a2 3 Nên HC, SH ; ; . 6 2 12 Suy ra SHC có một véc-tơ pháp tuyến là n1 2b 3;6b;a 3 . Mặt phẳng HBC có một véc-tơ pháp tuyến là k 0;0;1 . Góc giữa mặt phẳng SHC và mặt phẳng HBC bằng 60 nên n1.k a 3 cos SHC , HBC cos60 2 2 2 n1 . k 12b 36b 3a a 3 12b2 36b2 3a2 2 a 3 b . 4 3a 3a 3 Khi đó n1 ; ;a 3 , đường thẳng BC có véc-tơ chỉ phương i 1;0;0 . 2 2 Gọi là góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SHC , ta có 3a n1.i 2 3 sin . 2 2 n1 . i 9a 27a 4 3a2 4 4 2 3 13 Do đó 2 . cos 1 sin 1 4 4 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và M , N lần lượt là trung điểm của SC, SD (tham khảo hình vẽ bên). Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD .
  14. 2 39 13 2 39 3 A. . B. . C. . D. . 13 13 39 6 Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó 3 a a a a S 0;0; ; A ;0;0 ; B ;0;0 ;C ;a;0 ; D ;a;0 2 2 2 2 2 a 3 a a a 3 a a a 3 suy ra G 0;0; ; M ; ; ; N ; ; 6 4 2 4 4 2 4 Ta có mặt phẳng ABCD có vectơ pháp tuyến là k 0;0;1 , mặt phẳng GMN có vectơ pháp   a 3 a tuyến là n GM ;GN 0; ; 24 4 Gọi là góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD , ta có 1 n.k 4 2 39 cos . n . k 39 13 24 Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ·ABC 60o , BC 2a . Gọi D là   điểm thỏa mãn 3SB 2SD . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc đoạn BC sao cho BC 4BH . Biết SA tạo với đáy một góc 60o . Góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng A. 90o . B. 30o . C. 60o . D. 45o . Hướng dẫn giải Chọn A
  15. a2 a 1 3a2 a 3 Ta có AH 2 BH 2 BA2 2.BH.BA.cos60o a2 2. .a. AH . 4 2 2 4 2 SH 3a tan 60o SH AH. 3 . AH 2 3 3 3 Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho H 0;0;0 , C ;0;0 , A 0; ;0 , S 0;0; , 2 2 2 1  1 3  3 9 3 3 B ;0;0 , SB ;0; SD ;0; D ;0; . 2 2 2 4 4 4 4  3 3 3 Ta có DA ; ; u 3;2; 3 là một vtcp của AD . 4 2 4  3 3 SC ;0; v 1;0; 1 là một vtcp của SC . Ta có u.v 0 AD  SC 2 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AD và SC bằng 90o . Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD , điểm N a 2 thuộc đoạn BD sao cho AM DN x , 0 x . Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất. 2 a a 2 a 2 a A. x . B. x . C. x . D. x . 2 3 4 3 Hướng dẫn giải Chọn B
  16. A B N D C M A' B' D' C' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A , A D  Ox , A B  Oy , A A  Oz . A 0;0;0 , D a;0;0 , B 0;a;0 , A 0;0;a , D a;0;a , B 0;a;a , C a;a;0 , C a;a;a . x a 2 x a 2 x x M ;0; , N ; ;a . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x 2 2 2 2 2a a MN 2x a 3x 2 2ax a 3 x 2 ax . 2 2 3 9 3 2 2 2 2a a a 2 MN 3 x . Vậy MN ngắn nhất x . 3 3 3 Câu 6: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a . Gọi M là trung điểm BC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM bằng a 2a a a A. . B. . C. . D. . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C
  17. a a Chọn hệ trục tọa độ sao cho O 0;0;0 , A 0;0;a , B a;0;0 , C 0;a;0 , M ; ;0 . 2 2  AB a;0; a AB có một vtcp u 1;0; 1 .  a a  OM ; ;0 OM có một vtcp v 1;1;0 , OA 0;0;a . 2 2  u,v.OA a u,v 1; 1;1 d OM , BC . u,v 3 Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(m;0;0) , D(0;m;0) , A (0;0;n) với m,n 0 và m n 4 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDA M đạt giá trị lớn nhất bằng 75 245 9 64 A. . B. . C. . D. . 32 108 4 27 Hướng dẫn giải Chọn D n Tọa độ điểm C(m;m;0),C (m;m;;n),M m;m; 2    n BA m;0;n , BD m;m;0 , BM 0;m; 2   2 BA , BD mn; mn; m 1    m2n VBDA M BA , BD .BM 6 4 3 m m 2n 512 256 Ta có m.m.(2n) m2n 3 27 27 64 V BDA M 27 Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M , N , P , Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC ,C D và DD . Tính thể tích khối tứ diện MNPQ .
  18. 1 1 3 1 A. . B. . C. . D. . 12 24 8 8 Hướng dẫn giải Chọn B D  O Ox  D A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: Oy  D C Oz  D D Khi đó: A 1;0;1 , B 1;1;1 , C 0;1;1 , D 0;0;1 , A 1;0;0 , B 1;1;0 , C 0;1;0 1 1 1 1 M 1; ;1 , N ;1;1 , P 0; ;0 , Q 0;0; . 2 2 2 2  1 1  1 1  1 1 Ta có: MN ; ;0 , MP 1; ; , MQ 1; ; 2 2 2 2 2 2    1 1 1 1 MN,MP .MQ 4 8 8 4 1    1 V . MN,MP .MQ . MNPQ 6 24 Câu 9: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a. M là một điển thỏa mãn  1  CM AA . Cô sin của góc giữa hai mặt phẳng A MB và ABC bằng 2 30 30 30 1 A. . B. . C. . D. . 8 16 10 4 Hướng dẫn giải Chọn C Xét hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất cả các cạnh bằng a. Gắn hệ trục như hình vẽ quy ước a 1 ( đơn vị ).
  19. Gọi D là giao điểm của A M và AC . a 3 Vì tam giác A B C là tam giác cân cạnh bằng a nên ta suy ra độ dài các đường trung tuyến là 2 . Suy ra tọa độ các điểm như hình vẽ.  1  AD   Theo giả thiết ta có CM AA vậy ADA : CDM 2 DA 2DC 2 CD 2 Vậy tọa độ của điểm D là: D 0; ;1 3 Ta có mặt phẳng ABC có phương trình z 1 n ABC 0;0;1 Mặt khác mặt phẳng A MB là mặt phẳng đi qua ba điểm A , D và B .  2  3 1   1 3 3 Ta có: A D 0; ;1 và A B ; ;1 n A D , A B ; ; A BM 3 2 2 6 2 3 Vậy cô sin góc tạo bởi hai mặt phẳng A MB và ABC là: 3 · 3 3 30 cos ·A' BM , ABC cos n ,n . . A BM ABC 1 3 1 10 10 . 1 36 4 3 Câu 10: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Một đường thẳng d đi qua đỉnh D và tâm I của mặt bên BCC B . Hai điểm M, N thay đổi lần lượt thuộc các mặt phẳng BCC B và ABCD sao cho trung điểm K của MN thuộc đường thẳng d (tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của độ dài đoạn thẳng MN là
  20. 3a 3 5.a 2 5.a 2 3.a A. . B. . C. . D. . 2 10 5 5 Hướng dẫn giải Chọn D Cho a 1. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. A 0;0;0 , D 1;0;1 , B 0;1;0 , C 1;1;1 1 1  1 1 1 I là trung điểm BC I ;1; D I ;1; 1; 2;1 . 2 2 2 2 2 Đường thẳng D I đi qua D 1;0;1 , có một VTCP là u 1; 2;1 có phương trình là: x 1 t y 2t t ¡ z 1 t Mặt phẳng ABCD : z 0 Mặt phẳng BCC B : y 1 M BCC B M m;1;n , K D I K 1 t; 2t;1 t K là trung điểm MN N 2t m 2; 4t 1;2t n 2 . n 2 N ABCD z 0 2t n 2 0 t N n m;3 2n;0 . N 2  MN n 2m;2 2n; n MN 2 n 2m 2 2 2n 2 n2 n 2m 2 5n2 8n 4 2 2 4 4 4 2 5 n 2m 5 n MN . 5 5 5 5 4 b 5 Dấu bằng xảy ra . 2 a 5 Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a . Chứng minh hai đường chéo B ' D ' và A ' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B ' D ' và A ' B . a 2 2a a a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: A(0; 0; 0), A '(0; 0; a), B(0; a; 0), B '(0; a; a), C(a; a; 0), C '(a; a; a), D(a; 0; 0), D '(a; 0; a)
  21.    Ta có: B ' D ' (a; a; 0) , A ' B (0; a; a) , BB ' (0; 0; a) ,      Suy ra B ' D ', A ' B (a2; a2; a2) nên B ' D ', A ' B .BB ' a3 0    Vậy ba vectơ B ' D '; A ' B, BB ' không đồng phẳng hay B ' D ' và A ' B chéo nhau. z D' A' B' C' A y D B x C    [B ' D ', A ' B].BB ' a3 a3 a 3 d B ' D ', A ' B   . 2 [B ' D ', A ' B] a4 a4 a4 a 3 3 Câu 12: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' , có đáy AB a, AC 2a, B· AC 1200 .Gọi M là trung điểm cạnh bên BB ' , biết hai mặt phẳng (MAC) và (MA 'C ') vuông góc với nhau. Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (BCC ' B ') . 14 5 2 5 5 14 A. . B. . C. . D. . 8 3 28 28 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt AA ' 2x, x 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z C' A' B' K A 2a M 30 A C a C y y B H B x x Ta có A(0; 0; 0), C(0; 2a; 0), A '(0; 0; 2x), C '(0; 2a; 2x) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B lên các trục Ox, Oy , suy ra a 3 a AH AB.cos 300 , AK BH AB.sin 300 2 2 a 3 a a 3 a a 3 a Do đó B ; ; 0 , B ' ; ; 2x , M ; ; x 2 2 2 2 2 2  a 3 a    Ta có AM ; ; x , AC 0; 2a; 0 AM, AC 2ax; 0; a2 3 2 2  n1 2x; 0; a 3 là VTPT của mặt phẳng (MAC)
  22.  a 3 a    A ' M ; ; x , A 'C ' 0; 2a; 0 A ' M, A 'C ' 2ax; 0; a2 3 2 2  n2 2x; 0; a 3 là VTPT của mặt phẳng (MA 'C ')   a 3 Vì (MAC)  (MA 'C ') nên n .n 0 4x2 3a2 0 x AA ' a 3 1 2 2   a 3 5a   5a2 3 3a2 Ta có CC ' 0; 0; a 3 , BC ; ; 0 CC ', BC ; ; 0 2 2 2 2  n3 5; 3; 0 là VTPT của mặt phẳng (BCC ' B ') Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (MAC) và (BCC ' B ') , ta có:   n1.n3 5 5 14 cos   . 28 n1 . n3 2. 28 Câu 13: Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A ' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối chóp A '.ABC a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 4 2 8 12 Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là trung điểm đoạn BC z A' C' B' y A C x B a a 3 Ta có tọa độ các đỉnh là: A(0; 0; 0), B a; 0; 0 , C 0; a 3; 0 , M ; ; 0 2 2 1 Vì AM BC a MA ' A ' A2 AM2 a 3 , 2 a a 3 suy ra A ' ; ; a 3 2 2   3a a 3   a 3a 3 Vì A ' B ' AB B ' ; ; a 3 , A 'C ' AC C ' ; ; a 3 2 2 2 2 1 1 a2 3 a3 Thể tích khối chóp A '.ABC : V A ' M.S .a 3. 3 ABC 3 4 4 Câu 14: Cho lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a , cạnh bên AA ' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B 'C .
  23. a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 8 Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z C' A' B' A C y B M x Tọa độ các đỉnh là: A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C 0; a; 0 , A ' 0; 0; a 2 , B ' a; 0; a 2 a a C ' 0; a; a 2 , M ; ; 0 . 2 2 a2 a3 2 Thể tích khối lặng trụ: V AA '.S a 2. . ABC 2 2  a a   Ta có: AM ; ; 0 , AC 0; a; 0 , B 'C a; a; a 2 2 2   a2 2 a2 2    a3 2 Suy ra AM, B 'C ; ; a2 AM, B 'C .AC 2 2 2    AM, B 'C .AC a Vậy d AM, B 'C   AM, B 'C 2 Câu 15: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A ' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và B· AC 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a . 3a3 a3 9a3 9a3 A. . B. . C. . D. . 208 108 208 104 Hướng dẫn giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
  24. z C' A' B' C A y H M B x Gọi M, H lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm của tam giác ABC x Đặt BC x, SH y; x, y 0 suy ra AC AB.cot 600 . Tọa độ các đỉnh là: 3 x x x x x C 0; 0; 0 , B x; 0; 0 , A 0; ; 0 , H ; ; 0 , B ' ; ; y 3 3 3 3 3 3 3  2x x Suy ra BB ' ; ; y , k 0; 0;1 là VTPT của (ABC) 3 3 3  BB '.k a 3 0 2y a y  sin 60 2 Theo đề bài ta có: BB ' . k 13 2 2 x y a 27a2 27 x2 BB ' a 52 1 1 x x2 81a2 Suy ra S ABC CA.CB x. 2 2 3 2 3 104 3 Vậy thể tích khối chóp A '.ABC là: 1 x2 1 3a 27a2 9a3 VA ' ABC VB '.ABC y. . . . 3 2 3 3 2 104 3 208 Câu 16: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, AA’ 2a, A’C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A 'C ' , I là giao điểm của AM và A 'C . Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC a3 4a3 5a3 4a3 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt BC x, x 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
  25. z B' C' M A' I B C y x A Tọa độ các điểm là: B 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , C 0; x; 0 , B '(0; 2a; 0), A ' a; 0; 2a , C '(0; x; 2a)  Suy ra A 'C a; x; 2a A 'C2 a2 x2 (2a)2 (3a)2 x 2a a  a Trung điểm M ; a; 2a AM ; a; 2a 2 2 x a t  Phương trình AM : y 2t I a t; 2t; 4t A ' I t; 2t; 4t 2a z 4t t 2t 4t 2a a 2a 2a 4a Vì I A 'C t I ; ; a 2a 2a 3 3 3 3  2a 2a 4a  2a 4a 4a   8a2 4a2 Suy ra BI ; ; , CI ; ; BI, CI ; 0; 3 3 3 3 3 3 3 3  a 2a 4a    8a3 AI ; ; BI, CI .AI 3 3 3 3 1    4a3 Thể tích khối chóp IABC : V BI, CI .AI 6 9 Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B 'C ' có AB a , góc giữa hai mặt phẳng A ' BC và ABC bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam giác A ' BC . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a . a a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 2 8 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt AA ' x, x 0 . Chọn hệ trục như hình vẽ
  26. z A' C' B' C A y x B a 3 a Tọa độ các điểm: A 0; 0; 0 , C 0; a; 0 , A ' 0; 0; x , C ' 0; a; x , B ; ; 0 2 2  a 3 a    ax ax 3 a2 3 Suy ra A ' B ; ; x , A 'C (0; a; x) A ' B, A 'C ; ; 2 2 2 2 2  Nên n x; x 3; a 3 là VTPT của (A ' BC) , k 0; 0;1 là VTPT của (ABC)  n.k 3a Theo đề bài:  cos 600 2 3a 4x2 3a2 x n . k 2 a 3 a a Tọa độ trọng tâm G ; ; . 6 2 2 Gọi I x; y; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC , ta có 2 2 2 2 2 a 3 a 2 a 3 x y z x y z x 2 2 IA IB 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 a IA IC x y z x (y a) z y Tâm 2 2 2 2 2 2 IA IG a 3 a a a x2 y2 z2 x y z z 12 6 2 2 a 3 a a 7a I ; ; , bán kính R IA . 6 2 12 12 Câu 18: Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật. AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm AC và BD . Góc giữa hai 0 mặt phẳng ADD1 A1 và ABCD bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A1BD theo a . a 2 a a a 3 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là tâm của đáy ABCD và đặt A1H x .
  27. Chọn hệ trục như hình vẽ z A1 D1 B1 C1 A D y B H C x Tọa độ các điểm: a a 3 a a 3 A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a 3; 0), C a; a 3; 0 , H ; ; 0 , A ; ; x 1 2 2 2 2  a a 3  Suy ra AA ; ; x , AD 0; a 3; 0 1 2 2   a2 3  AA , AD ax 3; 0; n 2x; 0; a là VTPT của (A AD) 1 2 1 Và k (0; 0;1) là VTPT của (ABCD) nên theo giả thiết đề bài ta có:  n.k 3a  cos 600 2a 4x2 a2 x n . k 2  a a 3  a a 3   A B ; ; x , A D ; ; x A B, A D a 3x; ax; 0 Phương trình 1 1 1 1 2 2 2 2   3a a 3 a 3 (A BD) : x 3 y a 3 0 . Vì A B AB B ; ; 1 1 1 1 2 2 2 a 3 Vậy d B , (A BD) . 1 1 2 Câu 19: Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng ABC ; AC AD 4cm ; AB 3cm và BC 5cm . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BD, BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN . 6 15 6 34 34 6 3 A. . B. . C. . D. . 17 17 17 17 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: AB2 AC2 BC2 25 nên ABC vuông tại A . Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như hình vẽ Suy ra O  A(0; 0; 0) , B(3; 0; 0) , C(0; 4; 0) ,D(0; 0; 4) .
  28. z D M A y C B N x 3  3   Ta có M 0; 2; 2 , N ; 2; 0 . Suy ra AN ; 2; 0 , CM 0; 2; 2 , AC 0; 4; 0 2 2      AN, CM 4; 3; 3 , AN, CM .AC 12 . Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng AN, CM là:    AN, CM .AC 12 6 34 d(AN, CM)   . AN, CM 2 2 2 17 4 3 3 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB a, AD 2a ,SA 3a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD và P là giao điểm của SC với mặt phẳng (AMN) . Tính thể tích khối chóp S.AMPN 1863a3 1873a3 1863a3 1263a3 A. . B. . C. . D. . 1820 1820 182 1820 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có tọa độ các điểm A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , D 0; 2a; 0 , C a; 2a; 0 , S 0; 0; 3a    Suy ra SB a; 0; 3a , SD (0; 2a; 3a), SC (a; 2a; 3a) z S P N M A y D B x a t x C Phương trình SB : y 0 z 3t  M a t; 0; 3t AM a t; 0; 3t   a 9a 3a Mà AM  SB AM.SB 0 (a t) 9t 0 t M ; 0; 10 10 10 18a 12a Tương tự vậy ta tìm được N 0; ; 13 13
  29.    27a2 Suy ra n AM, AN 1; 2; 3 1 65 Do đó ta có phương trình của (AMN) : x 2y 3z 0 x t Phương trình SC : y 2t nên tọa độ điểm P là nghiệm của hệ z 3a 3t x t y 2t 9a 9a 15a 9a 9a 15a x , y , z P ; ; . z 3a 3t 14 7 14 14 7 14 x 2y 3z 0   27a2   27a2 Ta có: AM, AP 1; 2; 3 , AN, AP 1; 2; 3 70 91 1     621 14a2 9a S AM, AP AN, AP Suy ra AMPN và d(S, (AMN)) 2 1820 14 1 9a 621 14a2 1863a3 Vậy VS.AMPN . . . 3 14 1820 1820 Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B ; AB AD 2a; CB a ; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và ABCD bằng 600 . Gọi I là trung điểm của cạnh AB . Biết hai mặt phẳng SDI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . 3a3 3 a3 15 3a3 15 8a3 15 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Chọn C Vì hai mặt phẳng SDI và SCI cùng vuông góc với đáy nên SI  (ABCD) . Đặt SI x, x 0 , tọa độ các điểm là: I 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; a; 0 , D a; 2a; 0 ,  S 0; 0; x . Suy ra SC a; a; x , z S A D I y B C    x CD 2a; a; 0 SC, CD ax; 2ax; 3a2  Nên n1 x; 2x; 3a là VTPT của mặt phẳng (SCD) . Mà k (0; 0;1) là VTPT của mặt đáy nên theo giả thiết đề bài ta có
  30.  n1.k 1 3a 1 3a 15  cos 600 x 2 2 2 2 5 n1 . k 5x 9a AB(BC AD) Mặt khác: S 3a2 nên thể tích khối chóp là ABCD 2 1 1 3a 15 3a3 15 V SI.S . .3a2 . S.ABCD 3 ABCD 3 5 5 Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, AD 2a , SA a và vuông góc với mp(ABCD) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, SC . Gọi I là giao điểm của BM, AC . Chứng minh mp(SAC) vuông góc với (SMB) . Tính thể tích của khối tứ diện ANIB . a3 2 a3 2 a3 15 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 3 5 36 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Ta có tọa độ các đỉnh A(0; 0; 0), B a; 0; 0 , a 2 a a 2 a D 0; a 2; 0 , C a; a 2; 0 S(0; 0; a) M 0; ; 0 , N ; ; 2 2 2 2 z S N D A y M B I C  a 2 x Suy ra: BM a; ; 0 2  AC a; a 2; 0 x a 2t x t ' Phương trình BM : y 2t , phương trình AC : y 2t ' z 0 z 0 a a 2 Từ đó ta tìm được giao điểm I ; ; 0 3 3     Ta có: AS 0; 0; a , AC a; a 2; 0 AS, AC a2 2; a2; 0  n1 2; 1; 0 là VTPT của (SAC)  a 2   a2 2 a2 2 SM 0; ; a SM, BM ; a2; 2 2 2  n2 1; 2;1 là VTPT của (SMB) .   Vì n1.n2 0 (SAC)  (SMB)
  31.  a a 2 a  a a 2  Ta có: AN ; ; , AI ; ; 0 , AB a; 0; 0 2 2 2 3 3   a2 2 a2    a3 2 AN, AI ; ; 0 AN, AI .AB . 6 6 6 1    a3 2 Vậy V AN, AI .AB . ANIB 6 36 Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD . Tính thể tích khối tứ diện CMNP . a3 3 a3 2 a3 5 a3 3 A. . B. . C. . D. . 32 3 96 96 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi H là trung điểm AD SH  AD SH  (ABCD) a a a a a 3 H(0; 0; 0), A 0; ; 0 , D 0; ; 0 , N a; 0; 0 , B a; ; 0 , C a; ; 0 , S 0; 0; , 2 2 2 2 2 z S M D A H y B P N C a a a 3 a a x M ; ; , P ; ; 0 2 4 4 2 2  a a a 3  a   AM ; ; , BP ; a; 0 AM.BP 0 AM  BP . 2 4 4 2  a 3a a 3  a  a Ta có: CM ; ; , CN 0; ; 0 , CP ; 0; 0 2 4 4 2 2   a2    a3 3 CN, CP 0; 0; CN, CP .CM . 4 16 1    a3 3 Vậy V CN, CP .CM . CMNP 6 96 Câu 24: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA . M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính ( theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . a 2 a 2 a 3 a A. . B. . C. . D. . 4 2 4 8 Hướng dẫn giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đặt SO h và gọi I là trung điểm SA .
  32. z E S M I A D B O C x N y a 2 a 2 a 2 a 2 Ta có tọa độ các đỉnh là: A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , C 0; ; 0 , D ; 0; 0 2 2 2 2 a 2 h a 2 a 2 a 2 a 2 S 0; 0; h , I 0; ; , N ; ; 0 , E ; ; h , 4 2 4 4 2 2 a 2 a 2 h  3a 2 h    M ; ; . MN 0; ; , BD a 2; 0; 0 MN.BD 0 MN  BD 4 2 2 4 2   a 2 3a 2   ah 2 AC 0; a 2; 0 , AN ; ; 0 MN, AC ; 0; 0 4 4 2    MN, AC .AN    a2h a 2 MN, AC .AN . Vậy d MN, AC   . 4 MN, AC 4 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . a 57 2a 57 2a 37 a 57 A. . B. . C. . D. . 19 19 19 38 Hướng dẫn giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ z S N D A y H M B C x a a Tọa độ các đỉnh: A(0; 0; 0), B a; 0; 0 , D(0; a; 0), C(a; a; 0), M ; 0; 0 , N 0; ; 0 2 2
  33.  x t a Suy ra DM ; a; 0 phương trình DM : y a 2t H t; a 2t; 0 2 z 0   a CH t a; 2t; 0 , CN a; ; 0 2 t a 2t a a 3a a 3a Vì H CN t a 4t t H ; ; 0 S ; ; a 3 a a 5 5 5 5 5 2     2 4a 2a 2 a 3 2 Ta có: SC ; ; a 3 , DC a; 0; 0 DM, SC a 3; ; a 5 5 2    DM, SC .DC a3 3 .    DM, SC .DC a3 3 2a 57 Vậy d SC, DM   . DM, SC a2 19 19 2 Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA a ; hình chiếu AC vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, AH . Gọi CM 4 là đường cao của tam giác SAC . Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a . a3 14 a3 12 a3 5 a3 14 A. . B. . C. . D. . 48 3 32 24 Hướng dẫn giải Chọn A a 2 a 14 Ta có AH SH SA2 AH2 4 4 Chọn hệ trục như hình vẽ z S M A y D H B C x a a a a a 14 Tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), C(a; a; 0), H ; ; 0 , S ; ; 4 4 4 4 4 a a a 14  7a 7a a 14 Gọi N là trung điểm của SA N ; ; CN ; ; 8 8 8 8 8 8  a a a 14   SN ; ; SN.CN 0 CN  SA N  M 8 8 8
  34.  3a a a 14  3a 3a a 14 Ta có: SB ; ; , SC ; ; 4 4 4 4 4 4   a2 14 3a2    a3 14 SB, SC ; 0; SB, SC .SM 4 4 8 1    a3 14 Vậy V SB, SC .SM . S.MBC 6 48 Câu 27: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB AC a, B· AC 1200 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) tạo với nhau một góc 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC .Tính thể tích khối chóp S.AMN . a3 3 a3 6 a3 6 a3 14 A. . B. . C. . D. . 3888 3888 1233 24 Hướng dẫn giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó gốc tọa độ O là 1 trung điểm cạnh BC . Vì B· AO B· AC 600 nên 2 a a 3 AO AB cos 600 , BO AB sin 600 Đặt SA x, x 0 , tọa độ các điểm là: 2 2 z S N M A C O y B a a 3 a 3 x A(0; ; 0), B ; 0; 0 , C ; 0; 0 , 2 2 2 a S 0; ; x 2   a 3 a   ax ax 3 Suy ra SA 0; 0; x , AB ; ; 0 SA, AB ; ; 0 2 2 2 2  Nên n1 1; 3; 0 là VTPT của (SAB)  a 3 a    a2 3 SB ; ; x , BC a 3; 0; 0 SB, BC 0; ax 3; 2 2 2  Nên n2 0; 2x; a là VTPT của (SBC)   n1.n2 2x 3 1 a 2 Theo đề bài   cos 600 x . 2 2 2 4 n1 . n2 2. 4x a a a 2 Do đó S 0; ; 2 4
  35. 1 1 a2 3 Vì S AB.AC.sin B· AC a.a.sin1200 nên thể tích khối chóp S.ABC ABC 2 2 4 1 1 a 2 a2 3 a3 6 V SA.S . . . S.ABC 3 ABC 3 4 4 48 SM SA2 x2 1 SN SA2 1 Ta có: , nên SB SB2 a2 x2 9 SC SC2 9 SM SN 1 a3 6 a3 6 V . .V . . S.AMN SB SC S.ABC 81 48 3888 Câu 28: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a . Gọi M, N là trung điểm SB, SC . Tính theo a diện tích AMN , biết (AMN) vuông góc với (SBC) . a2 10 a2 5 a2 10 a2 10 A. . B. . C. . D. . 16 16 8 32 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC) , ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm 3 a 3 a 3 a 3 của BC , ta có: AI BC OA , OI 2 2 3 6 Trong mp ABC , ta vẽ tia Oy vuông góc với OA . Đặt SO h , chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: a 3 a 3 a 3 a O 0; 0; 0 , A ; 0; 0 , S 0; 0; h I ; 0; 0 , B ; ; 0 3 6 6 2 a 3 a a 3 a h a 3 a h C ; ; 0 , M ; ; , N ; ; . 6 2 12 4 2 12 4 2   ah 5a2 3  Suy ra AM, AN ; 0; n 6h; 0;5a 3 là VTPT của (AMN) 4 24 1   a2 3  SB, SC ah; 0; n 6h; 0; a 3 là VTPT của (SBC) 6 2   5a2 Vì (AMN)  (SBC) n .n 0 h2 1 2 12 1   a2 10 S AM, AN AMN 2 16 Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA 2a và vuông góc với mp(ABC) . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích của khối chóp A.BCMN . a3 14 3a3 3 a3 3 3a3 3 A. . B. . C. . D. . 48 25 50 50 Hướng dẫn giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ và O là trung điểm BC a 3 a A 0; ; 0 , B ; 0; 0 , 2 2 a a 3 C ; 0; 0 , S 0; ; 2a 2 2
  36.  a a 3  a a 3 SB ; ; 2a , SC ; ; 2a 2 2 2 2 S z N M A C O a y x t 2 B x Phương trình SB : y 3t z 4t a  a a 3 M t; 3t; 4t AM t; 3t ; 4t 2 2 2 a 3a a 2a a 3 2a Vì AM  SB t 3t 16t 0 t M ; ; 2 2 10 5 10 5 2a a 3 2a Tương tự ta tìm được N ; ; 5 10 5   2a 2a 3 8a  2a 2a 3 8a SA 0; 0; 2a , SM ; ; , SN ; ; 5 5 5 5 5 5   32a2 8a2 3    16a2 3 SM, SN 0; ; SM, SN .SA 25 25 25 1    8a3 3 1 a2 3 a3 3 Do đó V SM, SN .SA . Mặt khác V .2a. S.AMN 6 75 S.ABC 3 4 6 3a3 3 Vậy V V V . A.BCNM S.ABC S.AMN 50 Câu 30: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Biết SB 2a 3 và S· BC 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a . 6a 5 6a 7 a 7 6a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 15 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi H là hình chiếu của S lên BC SH  (ABC) Đặt BH x, SH y; x, y 0 . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
  37. z S B A y H C x Tọa độ các đỉnh B(0; 0; 0), C(4a; 0; 0), A(0; 3a; 0), H(x; 0; 0), S(x; 0; y)     Suy ra BS (x; 0; y), BC (4a; 0; 0) BS.BC 4ax   BS.BC 4ax 3 cos 300 x 3a Theo đề bài ta có: SB.BC 2a 3.4a 2 2 2 2 y a 3 SB 2a 3 x y 12a 1 1 1 Thể tích khối chóp S.ABC : V y. BA.BC .a 3.4a.3a 2a3 3 3 2 6     SA 3a; 3a; a 3 , SC a; 0; a 3 SA, SC 3a2 3; 4a2 3; 3a2  Suy ra n (3; 4; 3) là VTPT của (SAC) , phương trình (SAC) là: 3x 4y 3z 12a 0 12a 6a 7 Vậy d B, (SAC) . 32 42 3 7 Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB BC a; AD 2a ; A  O, B thuộc tia Ox , D thuộc tia Oy và S thuộc 1 tia Oz . Đường thẳng SC và BD tạo với nhau một góc thỏa cos . Gọi E là trung 30 điểm cạnh AD . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE . a 3 a 6 a 6 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C
  38. z S M N A D E y Q B P C x Ta có A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , D 0; 2a; 0 , C(a; a; 0) . Đặt SA x S 0; 0; x     BD a; 2a; 0 , SC a; a; x DB a 5, SC x2 2a2;BD.SC a2 Nên x2 2a2 6a2 x 2a S 0; 0; 2a .     Ta có CS a; a; 2a , CD a; a; 0 CS.CD 0 SCD vuông tại C . Ta có E 0; a; 0 . Gọi I x; y; z là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SBCE IB2 IS2 (x a)2 y2 z2 x2 y2 (z 2a)2 2 2 2 2 2 2 2 2 Khi đó IC IS (x a) (y a) z x y (z 2a) IE2 IS2 x2 (y a)2 z2 x2 y2 (z 2a)2 a x 2x 4z 3a 2 a a a x y 2z a y I ; ; a . 2 2 2 2y 4z 3a z a 2 2 a a 2 a 6 Bán kính R IE a a . 2 2 2 Câu 32: Cho lăng trụ đều ABC.A ' B 'C ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M là trung điểm CC ' , biết AM  B ' M . Chọn hệ trục Oxyz sao cho A  O, C thuộc tia Ox , A ' thuộc tia Oz và B thuộc miền góc xOy . Trên các cạnh A ' B ', A 'C ', BB ' lần lượt lấy các điểm N, P, Q thỏa A ' N NB ' A ' P 2C ' P, B 'Q 3BQ . Tính thể tích khối đa diện AMPNQ . 13a3 3 a3 6 13a3 6 13a3 6 A. . B. . C. . D. . 12 24 12 24 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt AA ' 2x, x 0 Ta có A(0; 0; 0), C 0; a; 0 , A '(0; 0; 2x), C '(0; a; 2x)
  39. a 3 a Gọi K là hình chiếu của B lên Oy , BK AB.sin 600 , AK . Nên 2 2 z A' P C' N B' M A C Q y a 3 a a 3 a x B B ; ; 0 , B ' ; ; 2x . 2 2 2 2   a 3 a Suy ra M 0; a; x AM 0; a; x , B ' M ; ; x 2 2   a2   a 2 AM.B ' M x2 . Mà AM.B ' M 0 nên suy ra x 2 2 a 3 a Do đó A ' 0; 0; a 2 và B ' ; ; a 2 2 2  1  a 3 a  2  2a Ta có A ' N A ' B ' N ; ; a 2 , A ' P A 'C ' P 0; ; a 2 3 3 2 4 4  3  a 3 a 3a 2 a 2 B 'Q B ' B Q ; ; và M 0; a; 4 2 2 4 2  a 3 a  a 2  2a Suy ra AN ; ; a 2 , AM 0; a; , AP 0; ; a 2 , 4 4 2 3  a 3 a 3a 2 AQ ; ; 2 2 4   a2 6 a2 3    5 6 AP, AQ 0; ; AP, AQ .AN a3; 2 3 24    a3 6 AP, AQ AM 3 1    5 6 Do đó V AP, AQ .AN a3; A.MPQ 6 24 1    a3 6 V AP, AQ AM A.MPQ 6 3 13a3 6 Vậy V V V . AMPNQ A.MPQ A.MPQ 24 Câu 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh 1cm , các cạnh bên SA, SB, SC có độ dài cùng bằng 1cm . Tính độ dài cạnh SD sao cho hình chóp S.ABCD có thể tích lớn nhất. 6 5 6 3 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Hướng dẫn giải
  40. Chọn C Vì SA SB SC nên hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên H BD . Chọn hệ trục như hình vẽ Giả sử B b; 0; 0 , C 0; c; 0 với b, c 0 . Khi đó A(0; c; 0), D( b; 0; 0) và b2 c2 1 .Gọi H(h; 0; 0) , ta có: b2 c2 2b2 1 HB2 HA2 (h b)2 h2 c2 h 2b 2b z S A D x H O B C y 1 4b2 1 4b2 1 1 Ta có: SH2 SA2 AH2 1 SH , b 4b2 4b2 2b 2 b2 c2 4b2 1 Do đó S ; 0; 2b 2b Vì đáy ABCD là hình thoi nên ta có SABCD 4S ABO , do vậy 1    2    V 4V 4 OA, OB .OS OA, OB .OS S.ABCD SABO 6 3     Mà OA 0; c; 0 , OB b; 0; 0 OA, OB (0; 0; bc)    1 OA, OB .OS c 4b2 1 2 1 1 Nên V c 4b2 1 4c2(4b2 1) S.ABCD 3 6 4c2 4b2 1 3 Ap dụng bđt Cô si ta có: 4c2(4b2 1) 2 2 10 2 2 b c b 1 4 Đẳng thức xảy ra 4c2 4b2 1 6 c 4 2 b2 c2 4b2 1 3 6 Khi đó SD2 b SD 2b 2 2 2 4b 1 6 Vậy max V đạt được khi SD cm . S.ABCD 4 2 Câu 34: Tứ diện đều ABCD có tâm là S và có độ dài các cạnh bằng 2 . Gọi A , B , C , D theo thứ tự là hình chiếu của các đỉnh A, B, C, D trên đường thẳng nào đó đi qua S. Tìm GTLN P SA 4 SB 4 SC 4 SD 4
  41. 7 7 4 1 A. . B. . C. . D. . 4 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ngoại tiếp tứ diện đều ABCD bằng hình lập phương AB1CD1.C1DA1B. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. 2 2 2 Tọa độ các điểm A( 2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D( 2; 2; 2), S ; ; . 2 2 2  2 2 2  2 2 2  2 2 2 Suy ra SA ; ; , SB ; ; , SC ; ; , 2 2 2 2 2 2 2 2 2  2 2 2 SD ; ; . 2 2 2 Gọi e (x; y; z) là véc tơ đơn vị của đường thẳng . Khi đó:     SA e.SA , SB e.SB , SC e.SC , SD e.SD Vì x2 y2 z2 1 nên 4P 4(SA 4 SB 4 SC 4 SD 4 ) ( x y z)4 (x y z)4 (x y z)4 (x y z)4 16 4 16(x2 y2 y2z2 z2x2) 4 (x2 y2 z2)2 3 7 Hay P . 3 1 3 Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi x2 y2 z2 x y z . 3 3 7 Vậy max P đạt được khi là các đường thẳng đi qua các đỉnh của tứ diện đều ABCD. 3