Tài liệu Các chuyên đề nâng cao Toán 8

Nội dung text: Tài liệu Các chuyên đề nâng cao Toán 8

1.  CÁC CHUYÊN ĐÊ NÂNG CAO TOÁN LỚP 8 Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 8 năm 2023
2. BẤT ĐẲNG THỨC I. Các kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa: Ta gọi hệ thức dạng ab ( a b;; a b a b) là một bất đẳng thức ABAB 0 Ta có ABAB 0 2. Các tính chất ab a. Tính chất bắc cầu: ac bc b. Cộng hai vế của bất đẳng thức với cùng một số: a b a c b c Hệ quả 1: a b a c b c c. Cộng, trừ từng vế của bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho ab   a c b d (lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế ) cd  d. Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số a b a b ab a b; c 0 a . c b . c (c 0) Ta có: Hệ quả: cc a b; c 0 a . c b . c ab ab (c 0) cc ab e. Trừ từng vế của bất đẳng thức ngược chiều: a c b d cd f. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm: a b 0; c d ac bd g. Nâng lên lũy thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức: - a b 0 ann b - a b ann b (n: lẻ) - a b ann b (n: chẵn) h. Lấy căn a b 0, n N* nn a b Hệ quả: ab,0 , có: a b a2 b 2; a , b 0 a b a 2 b 2 1
3. i. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu 11 - ab 00 ab 11 - a b,0 ab ab II. Các hằng đẳng thức 1. aa22 0; 0 2. aa 00 3. a a a 0 4. a b a b  ab 0 ab 0 5. a b a b ab III. Các bổ đề hay sử dụng 2 22 ab 2 1. a b2 ab 2. ab ( a b ) 4 ab ( c osi) 2 1 1 4 ab 3. (ab , 0) 4. 2(ab , 0) a b a b ba 5. a2 b2 x 2 y 2 ax by 2 bunhiacopski IV. Các dạng toán Dạng 1: Dùng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương Cách giải: Để chứng minh: AB ta xét hiệu AB và chứng minh AB 0 Bài 1: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b 2 c 2 ab bc ca(1) Lời giải Ta có: (1)2222 a2 b 2 c 2 abbcca 22 ( ab )()(2 bc2 ca )02 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra abc Bài 2: Cho ba số a, b, c bất kỳ, chứng minh rằng: (ab bc ca )2 3 abc ( a b c )(1) Lời giải Ta có: 2
4. (1) a222222222 b b c c a a bc ab c abc 0 2(...) 0 ( ab bc ) 2 ( bc ca ) 2 ( ca ba ) 2 0 (luôn đúng) Dấu “=” xảy ra ab bc;; bc ca ca ab a b c Bài 3: Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 abcde ,,,,,  abcdeR Lời giải a2 a 2 a 2 a 2 Ta có: abcdeabcde2 2 2 2 2( ) abb 2 acc 2 add 2 aee 2 0 4 4 4 4 22 aa be ... 0 (luôn đúng) 22 Bài 4: a b c b a c Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0 abc . Chứng minh rằng: b c a a c b Lời giải Xét hiệu: a b c b a c 11 acab222222 bc bcba ac acbc 222222 baab cbac b c a a c b abc abc 11 cababababcab( )( ) ( )(2 ) ( abbcca )()( )0(:0 do abc ) (đpcm) abc abc Bài 5: a b c 1 1 1 Chứng minh rằng: 2( ) với abc, , 0 bc ac ab a b c Lời giải a b c bc ac ab 2 2 2 Xét hiệu 2 0a b c 2 bc 2 ca 2 ab 0 bc ac ab abc abc abc a b c 2 0 (đpcm) Bài 6: Chứng minh rằng nếu ab 2 thì a3 b 3 a 4 b 4 Lời giải Xét hiệu: ababaa4 4 3 3 3( 1) bb 3 ( 1) aa 3 ( 1) ( a 1) ( a 1) bb 3 ( 1) ( b 1) ( b 1) 3
5. (aa 1)(3 1) ( bb 1)( 3 1) ab 2 ( aaa 1) 2 ( 2 1) ( bbbab 1) 2 ( 2 1) 2 0 0 0 0 (đpcm) Bài 7: Chứng minh rằng abc,, , ta luôn có a4 b 4 c 4 abc() a b c Lời giải Ta có: 1 a444 b c abcabc( ) a 444222 b c abcbaccab (2 a 444222 2 b 2 c 2 abc 2 bac 2 cab ) 2 1 (2a4 ab 224 b )2 ab 22 (2 a 4 ac 224 c )2(2 ac 224 b bc 224 c )2 bc 222 abcbaccab 2 2 2 1 ()()()(ab222 ac 222 bc 222 abbc 2222 2)( abc 2 bcca 2222 2)( abc 2 abca 2222 2) abc 2 2 1 (ab222222222 )( bc )( ca )( abbc )( 2 bcca )( 2 abac )0,, 2  abc (đpcm) 2 4
6. Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương Cách giải: Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng - Nếu ABCD , với CD luôn đúng - Sử dụng dạng tổng bình phương: A B mX2 nY 2 kZ 2 0, với các số m,, n k không âm - Dạng tích hai thừa số cùng dấu: ABXY .0 hoặc ABXY 2n.0 Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực. Chứng minh rằng: b2 a) a2 ab b) a22 b 1 ab a b 4 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c c) a 4 b 4 c 4 ab 4 ac 8 bc d) 33 Lời giải 22 bb 2 a) Ta có: a2 aba 2 ab0 4 abab 2 2 4 2 ab 0 (đpcm) 44 b) Ta có: ab2 21 abab 2 ab 2 2 1 2 abab ab 2 a 1 2 b 1 2 0 (đpcm) c) Ta có: (aabb2 4 4)4 2 c 2 (4 acbc )0 ( ab 2)2( 2 abcc 2).2 (2) 2 0 ( abc 2 2) 2 0 (đpcm) 2 2 2 2 a b c a b c 2 2 2 2 2 2 2 d) Ta có: 3(abc ) ( abc ) abc 2 abbc 2 2 ca 33 (a b )2 ( b c ) 2 ( c a ) 2 0 (đpcm) 1 1 1 Bài 2: Cho ba số a,, b c R thỏa mãn abc 1 và abc abc a) Chứng minh rằng: (abc 1)( 1)( 1) 0 b) Chứng minh răng luôn tồn tại 1 trong ba số a, b, c nhỏ hơn 1 Lời giải a. Ta có (a 1)( b 1)( c 1) 0 abc ab bc ca a b c 0 abc ( a b c )( ab bc ca )01( a b c )( ab bc ca )0(1) 5
7. 1 1 1 ab bc ca và abc abc abcabbcca(2) a b c abc Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh b) Giả sử tồn tại cả ba số abc,, lớn hơn 1 abc 1 (mâu thuẫn với giả thiết) Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1. Bài 3: Chứng minh rằng: (a10 b 10 )( a 2 b 2 ) ( a 8 b 8 )( a 4 b 4 )(1) Lời giải Ta có: (1) (abab10 10 )( 2 2 ) ( abab 8 8 )( 4 4 ) 0 aababbaababb 12 102 210 12 12 8 48 12 0 (abab102 84 )( ab 210 ab 48 )0 abab 822 ()()0()( 2 abab 282 2 ababaabb 2 22224 22 4 )0 (đpcm) Bài 4: a b c Chứng minh rằng: 1 2(abc , , 0) a b b c c a Lời giải 11 aa Ta có: a b a b c a b a b c a b a b c b b c c Tương tự: ; . b c a b c a c a b c a b c Vậy 1(*) a b b c c a a a c b a b c c b Lại có: a a b ;; ababcbcabccaabc a b c Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta được: 2(**) đpcm a b b c c a Bài 5: Tuyển sinh vào 10 ĐHSP TPHCM, năm học 2007 - 2008 Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng: ab32 bc 32 ca 32 ab 23 bc 23 ca 23 Lời giải Ta có: ab32 bc 32 ca 32 ab 23 bc 23 ca 23 ab 32 ab 23 bc 32 ca 23 ca 32 bc 23 0 22 233322 2222 23 ababcba()()( cab )0() ababcbaba ( )()0 cab 6
8. (a bb )( cc )( aab )( bc ca ) 0 (đpcm) Bài 6: Tuyển sinh vào 10 Thanh Hóa, năm học 2007 - 2008 aa5(2 1) 11 Chứng minh rằng: aa2 1 2 2 Lời giải Ta có: a5( a2 1) 11 a 1 5( a 2 1) ( a 1) 2 5 a 2 a 5 5 0 . 0 a2 12 a 2 a 2 122 a 2(1)(1) a 2 a a 2 (a 1)2 ( a 1) 2 9( a 2 1) . (nhân với 2), dấu “=” xả ra a 1 2 2aa (2 1) Bài 7: Tuyển sinh vào 10 Thanh Hóa, năm học 2007 - 2008 x22 y x y Chứng minh rằng với mọi số thực xy,0 ta có: 22 4 3 1 y x y x Lời giải Ta có: 2 xy22 xy xy xyxy xyxy (1) 22 43 0 2 20 2 10 yx yx yx yxyx yxyx ()(xyxxyy 2 2 2 ) 2()( xyxxyy 2 2 2 ) ()(222) xyx 2 2 xyy 2 0 0 0 x2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 ()(())x y2 x 2 y 2 x y 2 0 (luôn đúng) xy22 Dấu “=” xảy ra xy 0. Bài 8: Chuyên An Giang, năm học 2010 - 2011 Cho ab 4, 4 . Chứng minh rằng: a22 b ab 6( a b ) Lời giải Do a 4, b 4 a 4 0; b 4 0 Đặt xaxyby 4( 0); 4( 0) (1) ( x 4)22 ( y 4) ( xy 4)( 4) 6( xy 8) x22 y xy 6( x y ) 0( x , y 0) Dấu “=” xảy ra x y 04 a b . 7
9. Bài 9: Tuyển sinh vào 10 chuyên KHTN ĐHQGHN, năm học 2000 - 2001 4x2 y 2 x 2 y 2 Cho hai số thực xy,0 . Chứng minh rằng: 3(1) ()x2 y 2 2 y 2 x 2 Lời giải Ta có: 4xy22 xy 22 4 xyxyxyxy 222224422 ( ) 2 ( xy 222222 ) ( xy ) (1) 1 2 0 0 0 ()()()xyyx222 22 xy 222 xy 22 xyxy 222 22 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 (x y ) x y 2 2 2 x y x y ().x y 22222 0(). x y 22222 0(). x y 22222 0 xyxy()()() xyxy xyxy Dấu “=” xảy ra xy Bài 10: Dành cho lớp 9 2a a22 b a b Cho hai số thực ab, . Chứng minh rằng: ab (1) ab 22 Lời giải ab22 2 2 2 ab 2 a b2 a ( a b ) a b ( a b ) Ta có: ; ab 2 2a b 2( a b ) 2 ab22 ab22 ab 2 ab 2 2 2 (ab ) 1 1 (1) 0()222()2 a b2 a b a 2 b 2 ab 0 2 ab22 ab ab 2 2a 2 b 2( a22 b ) 2 ab 0(*) ()()a b22 a b - Ta có: a b 2 ab ( a b )2 ; a b 2( a 2 b 2 ) ()ab 2 2(a22 b ) ( a b ) 211 2 2 2 2 (*)() a b 0()2() a b a b a b ( a b )0 2 22 ()ab 2(a b ) ( a b ) 2(a2 b 2 ) 4 ab 2( a b ) 4 ()2()20().a b2 a 2 b 2 ab a b 2 0 0 2(a2 b 2 ) 2 ab 2( a 2 b 2 ) 2 ab Dấu “=” xảy ra ab 8
10. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau với ab, là số thực bất kỳ 2 a) a22 b2 ab b) 2 a22 b a b 2 c) a b 4 ab d) a2 b 2 c 2 ab bc ca 2 2 e) 3 a2 b 2 c 2 a b c f) a b c 3 ab bc ca abc2 2 2 g) a2 b 2 c 2 32 a b c h) abc với abc, , 0 b c a Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b 2 2 ab * a 2 2 ab b 2 0 a b 2 0 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab b) Cộng hai vế của (*) với ab22 ta thu được 2 a22 b a b 2 c) Cộng hai vế của (*) với 2ab ta thu được a b 2 4 ab d) Từ a22 b2 ab , tương tự ta cũng có: b2 c 2 2 bc ; c 2 a 2 2 ac Cộng ba vế của bất đẳng thức cùng chiều ta có: 2 a2 b 2 c 2 2 ab bc ca a 2 b 2 c 2 ab bc ca ** Cách khác: abc2 2 2 abbcca 2 abc 2 2 2 2 abbcca ab 2 bc 2 ca 2 0 Bất đẳng thức luôn đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc e) Nhân cả hai vế của (**) với 2 rồi cộng 2 vế với abc2 2 2 ta thu được bất đẳng thức cần chứng minh f) Cộng 2 vế (**) với 2 ab bc ca ta thu được điều phải chứng minh g) Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: a2 2121 a b 2 b c 2 210 c a 1 2 b 1 2 c 10 2 (luôn đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 1 h) Với mọi số thực dương abc,, và số thực k thỏa mãn 01 k , ta có: 9
11. a b 20 1 k a b 2 0 a b 2 k a b 2 a22 b 2 ab k a b 2 2 a2 ab Chia cả hai vế cho b 0 ta thu được: b 2 a k bb Tuong tự ta có thêm 2 bất đẳng thức nữa Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta thu được: 2 2 2 abc2 2 2 a b b c c a a b c2 a 2 b 2 c k b c a b c a 2 2 2 abc2 2 2 a b b c c a Hay a b c k a b c b c a b c a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . Bài 2: Cho các số thực không âm ab, . Chứng minh các bất đẳng thức sau: 3 a) a33 b ab a b b) 4 a33 b a b 2 1 1 2 c) ax by a2 b 2 x 2 y 2 d) với ab 1 a22 1 b 1 1 ab 2 1 1 1 xy22 xy f) g) với a, b ,, x , y 0 ab 11 22 ab 1 a b a b 2 h) axbycz a2 b 2 c 2 x 2 y 2 z 2 2 x2 y 2 z 2 x y z i) với a, b , c , x , y , z 0 a b c a b c 1 1 1 3 j. với abc, , 1 a3 1 b 3 1 c 3 1 1 abc k. a4 b 4 c 4 abc a b c Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 3 2 2 2 ababab 0 abaabbab 0 abab 0 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 3 b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 40 a33 b a b 10
12. 2 2 ab 4 aabb22 ab 0 ab 3 ab 0 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a2222 b x y axby 2 ax 2222222222 ay bx by ax20 abxyby 22 Hay a2 y 2 2 abxy b 2 x 2 0 ax by 2 0 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ab22 22 ab2 22 1 ab 2 a 2 1 b 2 1 abababab 2 2 3 3 2 2 ab22 11 1 ab 2 2ab2222 2 a 2 b 2 ababab 32232 2 a 2 abb 2 0 ababab 3223 2 ab 0 ab a b 2 a b 2 0 ab 1 a b 2 0 (luôn đúng với mọi ab 1) 2 2 aa ab 1 a b f) Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có: a 1 ab . 1.1 ab 1 1 b bb 1 b a 1 2 a b ab 1 1 a Tương tự ta cũng có: . Cộng hai vế bất đẳng thức cùng chiều ta có: b 1 2 a b ab 1 1 1ba 1 ab 11 22 a b ab 1 a b ab 1 ab 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 1 g) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 22 2 bx ay xy 2 a b bx2 ay 2 ab x y abx 2 aby 2 b 2 x 2 a 2 y 2 abx 2 aby 2 2 abxy ab a b b2 x 2 20 abxy a 2 y 2 bx ay 2 (luôn đúng) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay bx h) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: abcxyz222222 axbycz 2 0 axyz 222222222222 bxyz cxyz 11
13. a2 x 2 b 2 y 2 c 2 z 2 2 abxy 2 bcyz 2 acxz 0 ay bx 2 bz cy 2 cx az 2 0 (luôn đúng) ay bx a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bz cy x y z cx az 22 x2 y 2 z 2 x y z 2 x y z i) Áp dụng bất đẳng thức cở câu g) liên tục 2 lần ta có: a b c a b c a b c ab ay bx xy a b c Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c x y z a b a b c x y z x y z Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức ở câu h) ta có: 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z ... a b c a b c a b c a b c 2 x2 y 2 z 2 x y z Hay (đpcm) a b c a b x *) Chú ý: Các bất đẳng thức ở câu g, h, I còn có tên gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz j) Áp dụng bất đẳng thức ở câu d) liên tục 2 lần ta có: 1 1 1 1 2 2 4 4 3 3 3 3 3 4 1 a 1 b 1 c 1 abc11 a b abc 1 a2 b 3 abc 4 1 abc 1 1 1 3 Hay 1 a3 1 b 3 1 c 3 1 abc Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . k) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 444222 4442 2 2 a b c abcbaccab0 2 a 2 b 2 c 2 abc 2 bac 2 cab 0 2 2 2 ab22 2 ab 2222 bc 2 bc 2222 ca 2 ac 222 2 abcbac 2 2 2 cab 2 0 2 2 2 2 2 2 ab2 2 bc 2 2 ca 2 2 abbc bcac abac 0 abc 4 4 4 abcabc Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức x2 y 2 z 2 xy yz zx với x a2;; y b 2 c z 2 Ta thu được: a4 b 4 c 4 ab 2 2 bc 2 2 ca 2 2 abbc... bcca caab abca b c 12
14. Bài 3: Chứng minh rằng: a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 a) 2 abc với các số thực dương abc,, ab bc ac b) a b 11 b a ab với ab,1 4a2 b 2 a 2 b 2 c) 2 22 3 với ab,0 ab22 ba a22 b22 a ab d) với ab,0 2a3 b 3 3 2 a 2 b 2 kk1 1 16 4 e) Tìm hằng số k lớn nhât sao cho với ab,0 a3 b 3 a 3 b 3 ab 3 2ab a22 b a b f) ab với ab,0 ab 22 Lời giải a) Trước hết ta cần chứng minh bất đẳng thức: x33 y xy x y với xy, là các số dương Thật vậy x3 y 3 xyxy xyx 2 y 2 xy xyxy xy 2 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: a3 b 3 b 3 c 3 c 3 a 3 aba b bcb c cac a 2 abc ab bc ca ab bc ca b) Đặt x a 1; y b 1, khi đó xy 0; 0 bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x2 1 y y 2 1 x x 2 1 y 2 1 xy2 1121 2 xyxy 2 2 11210 2 yx 2 xy 2 11 22 yx 2 110 Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 12 a b c) Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 2 2 2 2 42a2 b 2 a 2 b 24a b a b a 4 a 2 b 2 b 4 2 1 22 2 0 2 2 0 a2 b 2 ba a 2 b 2 a 2 b 2 22 2 222 2 2 2 2 a2 b 2 a 2 b 2 a b a b a b 222 11 2 2 2 0 ab 2 2 2 0 2 0 2 2a b a b 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b 13
15. 2 a2 b 2 a 4 b 4 a 2 b 2 2 0 a2 b 2 a 2 b 2 Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 222 4ab22 ab Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành 2 22 5 ab22 ab 2 2 22 2 2ab ab ab22 4 Đặt t 22, khi đó ta được 0 t 1 22 4 ab a b 2 ab t 4 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t 5 t2 5 t 4 0 t 1 t 4 0 (đúng) t Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab d) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 22 a2 b2 a 2 2 ab a 2 b 1 a 2 2 ab a b 2 a b a b 1 2a3 b 3 3 2 a 2 b 2 2 a 3 b 3 3 2 a 2 b 232 ab33 2 a 2 b 2 2212ab 3 3 2 2 a b 22 0 a b 3 2 a b 2 a b 2 a b 0 2ab 33 32 ab ab 24 2 a3 2 b 3 2 abab 2 2 2 0 abab 0 (đúng) Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab kk1 1 16 4 e) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a3 b 3 a 3 b 3 ab 3 kk4 1 8 1 8 0 a3 b 3 a b 3 a 3 a b 3 b 3 a b 3 2 a b 7 b2 4 ab a 2 7 a 2 4 ab b 2 3k a b a b 33 33 0 a b ba a33 b a b 2 a b a4 5 a 3 b 12 a 2 b 2 5 ab 3 b 4 3k a b 2 0 a3 b 3 a 2 ab b 2 22 4 3 2 2 3 4 2 2 3 3 ab a 5 ab 12 ab 5 abbaabb 3 kab 0 ab 0 Nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi a4 5 a 3 b 12 a 2 b 2 5 ab 3 b 4 a 2 ab b 2 3 ka 3 b 3 0 Cho ab thì bất đẳng thức trên trở thành 24a66 3 ka 0 k 8 14
16. Ta chứng minh k 8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các trường hợp sau: + Với k 8 thì a4 5 a 3 b 12 a 2 b 2 5 ab 3 b 4 a 2 ab b 2 3 ka 3 b 3 0 + Với k 8 thì bất đẳng thức trên viết lại thành: a4 5 a 3 b 12 a 2 b 2 5 ab 3 b 4 a 2 ab b 2 24 a 3 b 3 0 . Ta có: a4 b 4 2 a 2 b 2 ; a 2 b 2 2 ab Nên a43 5 a b 12 a 22 b 5 ab 3444 b a b 5 ab a 22 b 12 a 22 b 24 a 22 b Và a22 ab b ab. Do đó ta có: a4 5 a 3 b 12 a 2 b 2 5 ab 3 b 4 a 2 ab b 2 24 a 3 b 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8 f) bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau 2 a22 b a b2 ab ab 1 1 ab 0 2 2a b 2 ab22 a b ab 2 a b 2 2 a 2 b 2 a22 b 2 ab 0 22 2 22 a b a b Thật vậy ta có: a b 2 a b ; a b 2 ab a b 2 2 a22 b a b ab Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với: 2 22 11 22 a b 2 0 a b 2 a b a b a b 0 22 ab 2 a b a b 22 4 2224 a b ab 2 ab a b 2 a22 b 2 ab 0 a b 0 0 2 a2 b 2 2 ab 2 a 2 b 2 2 ab Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab . Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức a) a bc b ca c ab 1 ab bc ca với a, b , c 0; a b c 1 5b3 a 3 5 c 3 b 3 5 a 3 c 3 b) abc với abc, , 0 ab 3 b2 bc 3 c 2 ca 3 a 2 15
17. 1 1 1 1 c) với abc, , 0 a3 b 3 abc b 3 c 3 abc c 3 a 3 abc abc 1 1 1 33 d) 32 với abc, , 0 và abc 3 a b c ab bc ca Lời giải a) Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét sau: 1 - Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 3 - Khi thay 1 bằng abc vào bất đẳng thức và chuyển vế thì được các nhóm a bc a bc;; b ca b ca c ab c ab Do vai trò abc,, như nhau nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm. Để chứng minh dự đoán trên ta có thể bình phương làm mất căn bậc hai rồi đến biến đổi tương đương thành tổng các bình phương - Để ý giả thiết abc 1, khi đó ta có a bc a b a c a bc Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đương với: a bc b ac c ab a b c ab bc ca a bc a bc b ca b ca c ab c ab 0 Ta cần chứng minh: a bc c bc 0; b ca b ca 0; c ab c ab 0 Thật vậy ta có: a bc a bc 02 a bc a bc a bc a2 a bc bc 2 1a 2 bc abca 2 bc b c 0 Chứng minh tương tự ta được: b ac b ca 0; c ab c ab 0 1 Đến đây bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc 3 Cách 2: Kết hợp với giả thiết abc 1 ta có abc abac ;; bca abbc cab cabc Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: 16
18. abac abbc cacb 1 ab bc ca Mặt khác ta có: 2 abac a bc a22 abbccaa2 abcbc bc 2 bc b c 0 Chứng minh tương tự: bcab b ca; cabc c ab Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: abac abbc cacb abc ab bc ca Hay abac abbc cacb 1 ab bc ca 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . 3 5ba33 b) Ta sẽ chứng minh 2ba với ab, là các số thực dương ab 3 b2 Thật vậy, biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được: 5ba33 2 baabb 3 23323223322 5 ba 2 ab 6 babab 3 ababab abab 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Chứng minh 55c3 b 3 c 3 c 3 tương tự ta được: 2c b ; 2 a c bc 33 c22 ca a 5c3 b 3 5 c 3 b 3 5 a 3 c 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: abc bc 3 c2 bc 3 c 3 ca 3 a 2 Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra abc Cách 3: Ta có: a33 5 b 2 b ab 3 b 23323232 a b 2 ab a ab b a b 2 a 222 b a b ab 2a2 b 2 ab 2 2 ab 2 a 2 b ab 2 a ab 3 b 2 ab33 5 5ba33 Do đó ta có: 2ba hay ta được: 2ba ab 3 b 2 ab 3 b2 55c3 b 3 a 3 c 3 Áp dụng tương tự ta có: 2c b ; 2 a c bc 33 c22 ca a 5b3 a 3 5 c 3 b 3 5 a 3 c 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: abc ab 3 b2 bc 3 c 3 ca 3 a 2 Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra abc 17
19. c) Ta có: ab3 3 abaabb 2 2 ababab 3 3 aba 2 20 abb 2 abab 2 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: a33 b abc ab a b abc ab a b c 11 Suy ra: . Tương tự ta có: a33 b abc ab a b c 1 1 1 1 ; b3 c 3 abc bcabc c 3 a 3 abc caabc Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều ta được: 1 1 1 1 a3 b 3 abc b 3 c 3 abc c 3 a 3 abc abc Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc . d) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 1 1 1 ab bc ca 3 ab bc ca 2 ab bc ca 33 3 2 ab bc ca 15 a b c c a b Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc x y z 2 3 xy yz zx ta có: 2 ab bc ca ab bc bc ca ca ab 2 2 2 3 . . . 3 abc c a b c a a b b c Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là: 3 3 a2 b 2 c 2 2 ab bc ca 15 * Đặt t 3 abc2 2 2 t 2 3 abc 2 2 2 3 abc 2 6 abbcca 27 6 abbcca Ta có: a, b , c 0 t2 27 t 3 3 , Lại có 3 ab bc ca a b c 2 0 b bc ca 3 t2 9 t 3 3 t 3 3 t 2 Có tiếp * 3t 9 15 t 3 t 6 0 , bất đẳng thức này luôn đúng với mọi 3 t 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 31 a b c 18
20. Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo (Cô si cộng mẫu) Ghi nhớ các công thức sau: 1 1 4 - a b a b 1 1 1 9 - a b c a b c 1 1 1 n2 - ... a1 a 2 ... ann  a , a 1 ,....., a 0 a1 a 2 ann a 1 a 2 ... a Bài 1: 1 1 1 3 3 3 Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng: a b c a 2 b b 2 c c 2 a Lời giải 1 1 1 9 Áp dụng bất đẳng thức dạng: (tự chứng minh bđt) ta có: a b c a b c 111 9111 9111 9 ;; abba 2 bbccb 2 ccaac 2 a Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: VT VP (đpcm) Dấu ‘=” xảy ra abc Bài 2: 2 3 4 5 6 7 Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng: 4 a b c a b c a b c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức dạng: 411411 4 11411 4 11411 4 11 2.2; 3.3; 4.4 xyxyabab ab abcaca ac cabcbc bc bc Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được: 2 3 4 5 6 7 4 (đpcm) a b c a b c a b c Bài 3: a b c 1 Cho abc, , 0 . Chứng minh rằng: (1) a 4 b 4 c b 4 c 4 a c 4 a 4 b 3 Lời giải 19