Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Định nghĩa đạo hàm - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Định nghĩa đạo hàm - Đặng Việt Đông

1. Đạo hàm – ĐS> 11 Trang 1
2. Đạo hàm – ĐS> 11 ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM. A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 (a; b): f (x) f (x0 ) y f '(x0 ) lim = lim ( x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)) x x x 0 0 x x0 x Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 ) f '(x0 ) lim . f '(x0 ) lim . x x x x 0 x x0 0 x x0 Hệ quả : Hàm f (x) có đạo hàm tại x0  f (x0 ) và f '(x0 ) đồng thời f '(x0 ) f '(x0 ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b ) và đạo hàm phải f '(a ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 . B – BÀI TẬP Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y f (x) tại x0 1? f (x x) f (x ) f (x) f (x ) A. lim 0 . B. lim 0 . x 0 x x 0 x x0 f (x) f (x ) f (x x) f (x) C. lim 0 . D. lim 0 . x x0 x x0 x 0 x Hướng dẫn giải: Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng. Chọn C. Câu 2. Cho hàm số f x liên tục tại x0 . Đạo hàm của f x tại x0 là A. f x0 . f (x h) f (x ) B. 0 0 . h f (x h) f (x ) C. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h f (x h) f (x h) D. lim 0 0 (nếu tồn tại giới hạn). h 0 h Hướng dẫn giải: Chọn C. Trang 2
3. Đạo hàm – ĐS> 11 f (x0 x) f (x0 ) f (x0 h) f (x0 ) Định nghĩa f x0 lim hay f x0 lim (nếu tồn tại giới hạn). x 0 x h 0 h Câu 3. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm tại x0 là f '(x0 ) . Khẳng định nào sau đây sai? f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ) A. f (x0 ) lim . B. f (x0 ) lim . x x x 0 0 x x0 x f (x0 h) f (x0 ) f (x x0 ) f (x0 ) C. f (x0 ) lim . D. f (x0 ) lim . h 0 x x h 0 x x0 Hướng dẫn giải: Chọn D A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm). B. Đúng vì x x x0 x x x0 y f x0 x f x0 f (x) f (x0 ) f x0 x f x0 f x0 x f x0 f (x0 ) lim x x 0 x x0 x x0 x0 x C. Đúng vì Đặt h x x x0 x h x0 , y f x0 x f x0 f (x) f (x0 ) f x0 h f x0 f x0 h f x0 f (x0 ) lim x x 0 x x0 h x0 x0 h 3 Câu 4. Số gia của hàm số f x x ứng với x0 2 và x 1 bằng bao nhiêu? A. 19. B. 7 . C. 19 . D. 7. Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 3 3 3 Ta có y f x0 x f x0 x0 x 2 x0 x 3x0 x x0 x 8. Với x0 2 và x 1 thì y 19 . y Câu 5. Tỉ số của hàm số f x 2x x 1 theo x và x là x A. 4x 2 x 2. B. 4x 2 x 2 2. C. 4x 2 x 2. D. 4x x 2 x 2 2 x. Hướng dẫn giải: Chọn C y f x f x 2x x 1 2x x 1 0 0 0 x x x0 x x0 2 x x0 x x0 2 x x0 2x 2x0 2 4x 2 x 2 x x0 x2 Câu 6. Số gia của hàm số f x ứng với số gia x của đối số x tại x 1 là 2 0 1 2 1 2 1 2 1 2 A. x x. B. x x . C. x x . D. x x. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 3
4. Đạo hàm – ĐS> 11 Với số gia x của đối số x tại x0 1 Ta có 2 2 1 x 1 1 x 2 x 1 1 2 y x x 2 2 2 2 2 2 Câu 7. Cho hàm số f x x x , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là 2 A. lim x 2x x x . B. lim x 2x 1 . x 0 x 0 2 C. lim x 2x 1 . D. lim x 2x x x . x 0 x 0 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có : 2 2 y x0 x x0 x x0 x0 2 2 2 x0 2x0 x x x0 x x0 x0 2 x 2x0 x x 2 y x 2x0 x x Nên f ' x0 lim lim lim x 2x0 1 x 0 x x 0 x x 0 Vậy f ' x lim x 2x 1 x 0 x khi x 0 Câu 8. Cho hàm số f (x) x . Xét hai mệnh đề sau: 0 khi x 0 (I) f 0 1 . (II) Hàm số không có đạo hàm tại x0 0 . Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ (I).B. Chỉ (II).C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi x là số gia của đối số tại 0 sao cho x 0 . f x 0 f (0) x 1 Ta có f 0 lim lim lim . x 0 x x 0 2 x x 0 x x Nên hàm số không có đạo hàm tại 0. x3 2x2 x 1 1 khi x 1 Câu 9. f (x) x 1 tại điểm x0 1. 0 khi x 1 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 5 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. f (x) f (1) x3 2x2 x 1 1 x 1 lim lim 2 lim x 1 x 1 x 1 (x 1) x 1 x3 2x2 x 1 1 2 1 Vậy f '(1) . 2 Trang 4
5. Đạo hàm – ĐS> 11 2x 3 khi x 1 3 2 Câu 10. f (x) x 2x 7x 4 tại x0 1. khi x 1 x 1 A. 0 B. 4 C. 5 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có lim f (x) lim 2x 3 5 x 1 x 1 x3 2x2 7x 4 lim f (x) lim lim(x2 3x 4) 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Dẫn tới lim f (x) lim f (x) hàm số không liên tục tại x 1 nên hàm số không có đạo hàm tại x 1 x 1 x0 1. 3 4 x khi x 0 4 Câu 11. Cho hàm số f (x) . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? 1 khi x 0 4 1 1 1 A. . B. . C. . D. Không tồn tại. 4 16 32 Hướng dẫn giải: Chọn B 3 4 x 1 f x f 0 2 4 x Ta có lim lim 4 4 lim x 0 x 0 x 0 x x 0 4x 2 4 x 2 4 x x 1 1 lim lim lim . x 0 4x 2 4 x x 0 4x 2 4 x x 0 4 2 4 x 16 Câu 12. Cho hàm số f (x) x2 . Khi đó f 0 là kết quả nào sau đây? A. Không tồn tại. B. 0 . C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn A. f x 0 f (0) x Ta có f (x) x2 x nên f 0 lim lim . x 0 x x 0 x x x x Do lim 1 lim 1 nên lim không tồn tại. x 0 x x 0 x x 0 x x2 khi x 2 Câu 13. Cho hàm số f (x) x2 . Để hàm số này có đạo hàm tại x 2 thì giá bx 6 khi x 2 2 trị của b là A. b 3. B. b 6. C. b 1. D. b 6. Hướng dẫn giải: Trang 5
6. Đạo hàm – ĐS> 11 Chọn B Ta có f 2 4 lim f x lim x2 4 x 2 x 2 x2 lim f x lim bx 6 2b 8 x 2 x 2 2 f x có đạo hàm tại x 2 khi và chỉ khi f x liên tục tại x 2 lim f x lim f x f 2 2b 8 4 b 6. x 2 x 2 Câu 14. Số gia của hàm số f x x2 4x 1 ứng với x và x là A. x x 2x 4 . B. 2x x. C. x. 2x 4 x . D. 2x 4 x. Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y f x x f x x x 2 4 x x 1 x2 4x 1 x2 2 x.x x2 4 x 4x 1 x2 4x 1 x2 2 x.x 4 x x x 2x 4 Câu 15. Xét ba mệnh đề sau: (1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó. (2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó. (3) Nếu f x gián đoạn tại x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó. Trong ba câu trên: A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai. C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn A (1) Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x x0 thì f x liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng. (2) Nếu hàm số f x liên tục tại điểm x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó. Phản ví dụ Lấy hàm f x x ta có D ¡ nên hàm số f x liên tục trên ¡ . f x f 0 x 0 x 0 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Nhưng ta có f x f 0 x 0 x 0 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 Nên hàm số không có đạo hàm tại x 0 . Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai. (3) Nếu f x gián đoạn tại x x0 thì chắc chắn f x không có đạo hàm tại điểm đó. Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có f x không liên tục tại x x0 thì f x có đạo hàm tại điểm đó. Vậy (3) là mệnh đề đúng. Trang 6
7. Đạo hàm – ĐS> 11 Câu 16. Xét hai câu sau: x (1) Hàm số y liên tục tại x 0 x 1 x (2) Hàm số y có đạo hàm tại x 0 x 1 Trong hai câu trên: A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B x lim 0 x x Ta có : x 0 x 1 lim f 0 . Vậy hàm số y liên tục tại x 0 x 0 x 1 x 1 f 0 0 x f x f 0 0 x Ta có : x 1 (với x 0 ) x 0 x x x 1 f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 Do đó : f x f 0 x 1 lim lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 0 x 1 f x f 0 Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi x 0 . x 0 x Vậy hàm số y không có đạo hàm tại x 0 x 1 Câu 17. Cho hàm số f x x2 x . Xét hai câu sau: (1). Hàm số trên có đạo hàm tại nguyenthuongnd86 @ gmail.com . (2). Hàm số trên liên tục tại x 0 . Trong hai câu trên: A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có +) lim f x lim x2 x 0 . x 0 x 0 +) lim f x lim x2 x 0 . x 0 x 0 +) f 0 0. lim f x lim f x f 0 . Vậy hàm số liên tục tại x 0 . x 0 x 0 Mặt khác: f x f 0 x2 x +) f 0 lim lim lim x 1 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 f x f 0 x2 x +) f 0 lim lim lim x 1 1. x 0 x 0 x 0 x x 0 Trang 7
8. Đạo hàm – ĐS> 11 f 0 f 0 . Vậy hàm số không có đạo hàm tại x 0 . x2 x khi x 1 Câu 18. Tìm a, b để hàm số f (x) có đạo hàm tại x 1. ax b khi x 1 a 23 a 3 a 33 a 3 A. B. C. D. b 1 b 11 b 31 b 1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: lim f (x) lim(x2 x) 2; lim f (x) lim(ax b) a b x 1 x 1 x 1 x 1 Hàm có đạo hàm tại x 1 thì hàm liên tục tại x 1 a b 2 (1) f (x) f (1) x2 x 2 lim lim lim(x 2) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f (x) f (1) ax b 2 ax a lim lim lim a (Dob 2 a) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 a 3 Hàm có đạo hàm tại x 1 . b 1 x2 khi x 1 Câu 19. Cho hàm số f (x) 2 . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo ax b khi x 1 hàm tại x 1? 1 1 1 1 1 1 A. a 1;b . B. a ;b . C. a ;b . D. a 1;b . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A 1 Hàm số liên tục tại x 1 nên Ta có a b 2 f x f 1 Hàm số có đạo hàm tại x 1 nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có x 1 f x f 1 ax b a.1 b a x 1 lim lim lim lim a a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 f x f 1 x 1 x 1 x 1 lim lim 2 2 lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 1 Vậy a 1;b 2 1 x2 sin khi x 0 Câu20 . f (x) x tại x 0 . 0 khi x 0 1 2 A. 0 B. C. D. 7 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A Trang 8
9. Đạo hàm – ĐS> 11 f (x) f (0) 1 Ta có: lim lim xsin 0 x 0 x x 0 x Vậy f '(0) 0 . sin2 x khi x 0 Câu 21. f (x) x tại x0 0 2 x x khi x 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải: Chọn A sin2 x sin x Ta có lim f (x) lim lim .sin x 0 x 0 x 0 x x 0 x lim f (x) lim x x2 0 nên hàm số liên tục tại x 0 x 0 x 0 f (x) f (0) sin2 x lim lim 2 1 và x 0 x x 0 x f (x) f (0) x x2 lim lim 1 x 0 x x 0 x Vậy f '(0) 1. x2 x 1 Câu 22. f (x) tại x 1. x 0 A. 2 B. 0 C. 3 D. đáp án khác Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có hàm số liên tục tại x0 1 và f (x) f ( 1) x2 x x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) x2 2x 1 Nên lim lim 0 x 1 x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) x2 1 lim lim 2 x 1 x 1 x 1 x(x 1) f (x) f ( 1) f (x) f ( 1) Do đó lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1. Nhận xét: Hàm số y f (x) có đạo hàm tại x x0 thì phải liên tục tại điểm đó. x2 1 khi x 0 Câu 23. Tìm a,b để hàm số f (x) có đạo hàm trên ¡ . 2 2x ax b khi x 0 A. a 10,b 11 B. a 0,b 1 C. a 0,b 1 D. a 20,b 1 Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 9
10. Đạo hàm – ĐS> 11 Ta thấy với x 0 thì f (x) luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x 0 . Ta có: lim f (x) 1; lim f (x) b f (x) liên tục tại x 0 b 1. x 0 x 0 f (x) f (0) f (x) f (0) Khi đó: f '(0 ) lim 0; f '(0 ) lim a x 0 x x 0 x f '(0 ) f '(0 ) a 0 . Vậy a 0,b 1 là những giá trị cần tìm. Trang 10