›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Phần 2: Khoảng cách (Có đáp án)

docx 39 trang nhungbui22 12/08/2022 2490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Phần 2: Khoảng cách (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_3_phan_2_khoang.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 3 - Phần 2: Khoảng cách (Có đáp án)

  1. DẠNG 4: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AD , DC , A' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC ' . a 3 a a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: MNP // ACA 1 a 2 d MNP ; ACA d P; ACA OD . 2 4 Câu 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60 , đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A , B , C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ. a 3 2a A. a . B. a 2 . C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Vì VABC đều và AA A B A C A ABC là hình chóp đều. Gọi A H là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm VABC , A AH 60 . a 3 A H AH.tan 60 3 a . 3 Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với o mặt đáy góc 60 . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng A1B1C1 là trung điểm của B1C1. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu? 3 a 2 a A. a . B. . C. a . D. . 2 3 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có: A 'H  ABC A· 'AH 60o. 3 d A'B'C ' , ABC A'H A' A.cos60o a . 2 Chọn đáp án A.
  2. Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30 . Hình chiếu H của A trên mặt phẳng A B C thuộc đường thẳng B C . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là: a a 3 a a 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 2 2 Hướng dẫn giải: A C  Do hình lăng trụ ABC.A B C có tất cả các cạnh đều bằng a suy ra a 3 a B AB AC B H HC A H AH . 2 2 Chọn đáp án C. A' C' H B' Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa AB C và A DC bằng : a a 3 A. a 3 . B. a 2 . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có B C d AB C , A DC d B , A DC d D , A DC Gọi O là tâm của hình vuông A B C D . Gọi I là hình Chiếu của D trên O D , suy ra I là hình chiếu của D A trên A DC . D d AB C , A DC d D , A DC B C a 2 I .a D O .D D a 3 D I 2 . 2 2 2 3 O D O D D a 2 a2 A D 2 Chọn đáp án D. Câu 6: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A B C D có cạnh đáy bằng a. Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, A D . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng MNP và ACC . a a 2 a 3 a A. . B. . C. . D. . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải: Nhận xét (ACC )  (ACC A ) Gọi O AC  BD, I MN  BD D' C' Khi đó, OI  AC, OI  AA OI  (ACC A ) P 1 a 2 N Suy ra d (MNP),(ACC ) OI AC D C A' B' 4 4 I Chọn đáp án B. M O D N C M A B A B
  3. Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD ) và (BA C ) bằng A. khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng A C . B. khoảng cách giữa hai điểm B và D . C. khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và A C . D. khoảng cách giữa trọng tâm của hai tam giác ACD và BA C Hướng dẫn giải: Ta có (ACD ) / /(BA C ) . A D DB  (ACD ) C (đã chứng minh trong SGK) B DB  (BA C ) Đáp án D. G G' A' D' B' C' Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (CB D ) và (BDA ) bằng a 2 a 3 2a 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 3 Hướng dẫn giải: A D Vì A' BD / /(B 'CD ') nên ta có: d A' BD , B 'CD ' d C; A' BD d A; A' BD . B C Vì AB AD AA' a và A' B A' D BD a 2 nên G A.A' BD là hình chóp tam giác đều. I Gọi I là trung điểm A' B, G là trọng tâm tam giác A' BD . Khi đó ta có: d A; A' BD AG A' D' 3 a 6 Vì tam giác A' BD đều nên DI a 2. . 2 2 B' C' 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: DG DI . 3 3 Trong tam giác vuông AGD có: 6a2 a 3 AG AD2 DG2 a2 . Chọn B 9 3 Câu 9: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. Khoảng cách giữa ACB và DA C bằng a 3 a A. a 3 . B. a 2 . C. . D. . 3 3 Hướng dẫn giải: Vì ACB ' / /(DA'C ') nên ta có:
  4. d ACB ' , DA'C ' d D; ACB ' d B; ACB ' . Vì BA BB ' BC a và AB ' AC CB ' a 2 nên A D B.ACB ' là hình chóp tam giác đều. I Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB ' . C Khi đó ta có: d B; ACB ' BG B 3 a 6 G Vì tam giác ACB ' đều nên B ' I a 2. . 2 2 A' D' 2 a 6 Theo tính chất trọng tâm ta có: B 'G B ' I . 3 3 B' C' Trong tam giác vuông BGB ' có: 6a2 a 3 BG BB '2 B 'G2 a2 . Chọn C. 9 3 Câu 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A' B 'C ' D ' có AB 4, AD 3. Mặt phẳng (ACD ') tạo với mặt đáy một góc 60 . Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp. 6 3 12 3 4 3 5 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là hình chiếu của D lên AC . A' D' ACD'  ABCD AC Ta có AC  DO B' C' AC  D'O AC  ODD' OD' ·D ' AC , ABCD D· 'OD 600 A 3 2 2 AD.DC 12 D AC 3 4 5 ; DO 4 60 AC 5 O 12 3 Khoảng cách giữa hai mặt đáy là DD ' DO.tan 600 B C 5 Chọn đáp án B.
  5. DẠNG 5: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể dùng một trong các cách sau: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b . Khi đó d a,b MN . Sau đây là một số cách dựng đoạn vuông góc chung thường dùng : Phương pháp 1 Chọn mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng và song song với ' . Khi đó d(D,D ') = d(D ',(a)) M ' H Phương pháp 2 Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là khoảng cách cần tìm. '  Phương pháp 3 Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Trường hợp 1: và ' vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và vuông góc với tại I . Bước 2: Trong mặt phẳng ( ) kẻ IJ  '. Khi đó IJ là đoạn vuông góc chung và d( , ') IJ . ' I J Trường hợp 2: và ' chéo nhau mà không vuông góc với nhau Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) chứa ' và song song với . Bước 2: Dựng d là hình chiếu vuông góc của D xuống ( ) bằng cách lấy điểm M dựng đoạn MN  , lúc đó d là đường thẳng đi qua N và song song với . Bước 3: Gọi H d  ', dựng HK PMN Khi đó HK là đoạn vuông góc chung và d( , ') HK MN .
  6. K M d H N ' Hoặc Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )  tại I . Bước 2: Tìm hình chiếu d của ' xuống mặt phẳng ( ) . Bước 3: Trong mặt phẳng ( ) , dựng IJ  d , từ J dựng đường thẳng song song với cắt ' tại H , từ H dựng HM PIJ . Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d( , ') HM IJ . ' M H d I J Sử dụng phương pháp vec tơ   AM xAB   CN yCD a) MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi   MN.AB 0   MN.CD 0   OH  u1     b) Nếu trong có hai vec tơ không cùng phương u1,u2 thì OH d O, OH  u2 H   OH.u1 0   OH.u2 0 . H Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD . Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau? A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK. B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD.
  7. C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH. D. Các khẳng định trên đều sai. Hướng dẫn giải: Nếu AK  AC, do AK  AB AK  (ABC) S AK  SA (vì SA  (ABC) SA  SD SAD có 2 góc vuông (vô K lý). H Theo tính chất của hình vuông CD  AC . A Nếu AC  OH, do AC  BD AC  (SBD) AC  SO SOA có 2 D góc vuông (vô lý) O Như vậy AC  AK, AC  CD, AC  OH B C Chọn đáp án D. Câu 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Tính khoảng cách giữa AB và CD . a 3 a 2 a 2 a 3 A. B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d AB;CD MN . Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khác: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 3a2 a2 a 2 Cách khác. Tính MN AN 2 AM 2 . 4 4 2 Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2 . Tính khoảng cách giữa SD và BC . 3a 2a a 3 A. . B. . C. . D. a 3 . 4 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: BC // SAD d BC;SD d BC; SAD d B; SAD . AB  AD Mà AB  SAD d B; SAD AB . AB  SA Ta có: AB AC 2 BC 2 5a2 2a2 3a . Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa BB ' và AC bằng: a a a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  8. 1 a 2 Ta có: d BB ; AC d BB ; ACC ' A DB . 2 2 Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 (đvdt). Khoảng cách giữa AA' và BD ' bằng: 3 2 2 2 3 5 A. . B. . C. . D. . 3 2 5 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2 Ta có: d AA ; BD d BB ; DBB D AC . 2 2 Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai cạnh đối AB và CD bằng a 2 a 3 a a A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . a 3 Khi đó NA NB nên tam giác ANB cân, suy ra 2 NM  AB . Chứng minh tương tự ta có NM  DC , nên d AB;CD MN . Ta có: SABN p p AB p BN p AN (p là nửa chu vi). a a 3 a a 3 a a 2a . . . . 2 2 2 2 4 1 1 2a Mặt khác: S AB.MN a.MN MN . ABN 2 2 2 Câu 7: Cho khối lập phương ABCD.A'B'C 'D '. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A'C ' là : A. AA'. B. BB'. C. DA'. D. DD '. Hướng dẫn giải:
  9. AA'  A' B 'C ' D ' AA'  A'C ' A'C '  A' B 'C ' D ' AA'  ABCD AA'  AD AD  (ABCD Chọn đáp án A. Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau? A. a. B. a 2. C. a 3. D. 2a. Hướng dẫn giải: Ta có: d CD, SB d CD, SAB AD a. Chọn phương án A. Câu 9: Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA OB OC a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu? a a 3 a A. a B. C. D. 5 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi J là trung điểmOB . Kẻ OH vuông góc AJ tại H . Tam giác AOJ vuông tạiO , có OH là đường cao A a a. OA.OJ a OH 2 2 2 2 5 OA OJ 2 a a 2 Ta có: OC//IJ nên OC// AIJ H Do đó: O C a 5 d AI,OC d OC, AIJ d O, AIJ OH . J I 5 Chọn đáp án B. B Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SB và CD. a 2 a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Hướng dẫ giải:
  10. Gọi H là trung điểm AD ta có: d(CD;SB) d(D;(SBH)) d(A;(SBH)) Mà 1 1 1 1 3 a 3 d(CD;SB) d2 (A;(SBH)) AS2 AB2 AH2 a 2 3 Chọn đáp án C Câu 11: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và AD a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 21 a 21 a 15 a 15 A. . B. . C. . D. . 3 7 5 3 Hướng dẫn giải: Gọi E,F lần lượt là trung điểm AD,BC . Ta có: AD,BC  (SFE) , suy ra SF là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SEF) Nên 3 a a SE.FE 21 d(AD;SB) d(E;SF) 2 a 2 2 3 7 SE FE a 2 a 2 4 Chọn đáp án B Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AA1 2a, AD 4a . Gọi M là trung điểm AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B1 và C1M bằng bao nhiêu? A. 3a. B. 2a 2. C. a 2. D. 2a. B C Hướng dẫn giải: M Ta có A1B1 //C1D1 suy ra A D d A1B1,C1M d A1B1, C1D1M d A1, C1D1M B1 Vì AA1 2a, AD 4a và M là trung điểm AD nên A1M  D1M , C1 suy ra A1M  C1D1M A1 D1 d A1, C1D1M A1M 2a 2 . Chọn đáp án B. Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và A B bằng bao nhiêu ? a 2 a 3 a 3 A. a 2 . B. . C. . D. . 2 3 2
  11. Hướng dẫn giải: A' B '  A' A Ta có A' B '  ADD ' A' . A' B '  A' D ' Gọi H là giao điểm của AD ' với A' D . A' H  AD ' A' H  AD ' a 2 d A' B '; AD ' A' H . A' H  A' B ' 2 Chọn B. Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB và AC bằng a a a 2 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải: B C AA C C  AC Vì nên d BB ; AC d BB ; AA C C . AA C C //BB I Gọi I AC  BD . Vì ABCD.A B C D là hình A D lập phương nên BI  AA C C . B C a 2 Suy ra d BB ; AC d BB ; AA C C IB . 2 Chọn đáp án C. A D Câu 15: Hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 3, AD 4, AA 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và B D bằng bao nhiêu ? A. . 34 B. . 41 C. . 5 D. . 8 Hướng dẫn giải: B C ABCD // A B C D Ta có AC  ABCD ; B D  A B C D A D d AC; B D d ABCD ; A B C D AA 5 B Chọn đáp án C. C A D Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD. ah ah ah ah A. . B. . C. . D. . 3a2 h2 a2 h2 2a2 h2 a2 2h2 Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD . Gọi H là hình chiếu của O lên SA . Vì S.ABCD là hình chóp đều nên S BD  SAC BD  OH . Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của BD, SA. H A D O B C
  12. OS.OA a 2.h ah OH . OS 2 OA2 2h2 a2 2h2 a2 2 2 Chọn đáp án D. Câu 17: Cho hai tam giác đều ABC và ABD cạnh x nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng x 6 x 3 x 3 x 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 3 2 Hướng dẫn giải: C Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD . ABC  ABD và hai tam giác ABC và ABD đều nên AB  CDI và CI DI suy ra IJ là đoạn vuông góc J chung Của hai đường thẳng AB, CD . Vì tam giác CDI vuông tại I và J là trung điểm của CD A D 2 x 3 2. I CD 2CI 2 2 x 6 Nên IJ . 2 2 2 4 B Chọn đáp án A. Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA a. Tính theo a khoảng cách giữa SB và CD. a 2 a 3 A. .a 2 B. . a C. . D. . 2 2 Hướng dẫn giải: Ta có S d SB;CD d CD; SAB d D; SAB DA a . Chọn đáp án B. A D B C Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa SA và BD theo a. a 3 2a 2a A. . B. . a 2 C. . D. . 2 3 5 Hướng dẫn giải:
  13. Vì SA  ABCD tại A và BD  ABCD nên S AB.AD 2a2 2a 5 d SA; BD d A; BD . AB2 AD2 5a2 5 Chọn đáp án D. A D B C Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB BC a, AD 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA a. Tính khoảng cách giữa AD và SB. a 2 a a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 2 Hướng dẫn giải: S Vì AD  SAB tại A và SB  SAB nên AS.AB a 2 d AD;SB d A;SB . 2 2 2 AS AB H Chọn đáp án D. A D B C Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa AD và SB là a 2 a 6 a 3 A. .a B. . C. . D. . 2 3 4 Hướng dẫn giải: Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc S với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD . Vì AD  SAB tại A và SB  SAB nên AS.AB a 6 d AD;SB d A;SB AH . AS 2 AB2 3 H Chọn đáp án C. A D B C Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Biết hai mặt bên (SAB) S và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa SO và AB là a 2 a 6 a 3 A. .a B. . C. . D. . 3 3 H 4 Hướng dẫn giải: A E D O B C
  14. Gọi E là trung điểm của AD khi đó d SO; AB d AB; SOE AH , với H là hình chiếu của A lên SE . a a 2. EA.ES a 2 Ta có AH 2 . EA2 ES 2 a2 3 2a2 4 Chọn đáp án B. Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a .Biết hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 2. Khoảng cách giữa BD và SC là A. độ dài của đoạn thẳng OA . B. độ dài của đoạn thẳng BC . C. khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . D. khoảng cách từ điểm S đến đoạn BD . Hướng dẫn giải: S Vì hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SA  ABCD . Suy ra BD  SAC tại O , mà SC  SAC nên Khoảng cách giữa BD và SC bằng khoảng cách từ điểm O đến cạnh SC . Chọn đáp án C. A D O B C Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 và BC a 2. Tính khoảng cách giữa SD và BC. 3a 2a a 3 A. . B. . C. . D. . a 3 4 3 2 Hướng dẫn giải: Dễ thấy BA  SAD S BC / / AD BC / / SAD d BC,SD d BC, SAD BA Xét tam giác vuông ABC có AB 5a2 2a2 a 3 Đáp án D B A D C Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD bằng a 6 S A. . B. . a 6 C. . a 3 D. . a 6 Hướng dẫn giải: Dựng Cx / /BD , SC,Cx K BD / / d BD,SC d BD, B A O D C
  15. 1 d BD, d O, d A, 2 Dựng AK  SC . Dễ thấy AK  d A, AK 1 1 1 1 1 1 a 6 AK AK 2 SA2 AC2 AK 2 a2 2a2 3 a 6 Vậy d O, 6 Đáp án A. Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ABCD và SA a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SB và CD bằng A. .a B. . a 2 C. . a 3 D. . a 6 Hướng dẫn giải: Dễ thấy AD  SAD S CD / / AB CD / / SAB d SB,DC d CD, SAB AD a Xét tam giác vuông ABC có AB 5a2 2a2 a 3 B Đáp án A A D C Câu 27: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b. Tính khoảng cách giữa AB và CC1. a 2 a 3 ab 3 ab 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 4a2 3b2 3a2 2b2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB A a C CC1 / AA1 CC1 / ABB1A1 d AB,CC1 . M a 3 B d CC1, ABB1A1 CM b 2 Đáp án B. A1 C1 B1 Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và AB 2a, BC a. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; K là điểm bất kỳ trên AD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng EF và SK là: a 3 a 6 a 15 a 21 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 7S Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD, I là trung điểm cạnh đáy BC. Do SA SB SC SD nên SO  (ABCD) H Từ đó ta chứng minh được BC  (SOI) E A B OH  (SBC) (với OH  BC tại SI ) O I D F C
  16. EF //(SBC) Do nên d EF, SK d EF,(SBC) OH SK  (SBC) 1 a 5 a 3 Thực hiện tính toán để được OC AC SO 2 2 2 SO.OI a 21 Cuối cùng d EF, SK OH SO2 OI 2 7 Chọn đáp án D. Câu 29: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 2. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SM và BC bằng bao nhiêu? a 2 a a 3 a 3 A. B. C. D. 3 2 3 2 Hướng dẫn giải: N AC. BC//(SMN) Gọi là trung điểm của cạnh đáy Khi đó S Nên d SM , BC d B,(SMN) d A,(SMN) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đoạn SM. Ta có thể chứng minh được MN  (SAM ), từ đó SA.AM a 2 AH  (SMN) d A,(SMN) AH H SA2 AM 2 3 N Chọn đáp án A. A C M B Câu 30: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a .Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và C Dbằng bao nhiêu? a a a A. B. C. a D. 2 2 3 Hướng dẫn giải: Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, AB Tam giác MAB cân tại M và NCD cân tại N do đó MN  AB, MN  CD 2 2 A 2 2 a 3 a a 2 d AB,CD MN BM NB 2 2 2 N Chọn đáp án B. B D O M C Câu 31: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB AA a , AC 2a . Tính khoảng cách giữa AC và CD : a 2 a a 3 a A. . B. . C. . D. . 2 3 2 2 Hướng dẫn giải:
  17. A' B' D' K C' A A a 2 B' a B H a 3 K a 3 2a D a C D H C'  Ta có hình chiếu của AC trên mặt phẳng DCC D là DC  D C nên AC  D 'C ADC B '  D 'C tại điểm H là trung điểm CD . Từ H ta kẻ HK  AC d AC , D C HK . 1 1 1 5a2 6 30 30  Ta có d a a HK a d 2 3a2 2a2 6a4 5 5 10 Chọn đáp án D. Câu 32: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1 (đvd). Khoảng cách giữa AA và BD bằng: 2 2 3 5 3 2 A. B. C. D. 5 7 3 2 Hướng dẫn giải: AA'/ /BB ' AA'/ /(DBB'D') Ta có : 2 d(AA') d A,(DBB ' D ') AO . 2 Câu 33: Khoảng cách giữa hai cạnh đối trong một tứ diện đều cạnh a là : a 2 A. .a 2 B. . a 3 C. . a 5 D. . 2 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm DC , H là hình chiếu vuông góc của M lênAB . BM  CD Ta có: CD  (ABM) AM  CD CD  MH MH d(AB,CD) AB  MH 2S a 2 MH ABM AB 2 Chọn đáp án D.
  18. Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC a 5 , BC a 2 . Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa SD và BC. 2a a 3 3a A. . B. . C. . D. a 3. 3 2 4 Hướng dẫn giải: S  Khoảng cách giữa SD và BC : d BC, SD CD a 3. Chọn đáp án D. D A a 3 B a 2 C Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a . Các cạnh bên SA SB SC SD a 2 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: a 7 a 42 a 6 a 6 A. B. C. D. 2 6 7 2 Hướng dẫn giải: S  Khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB là: HK . a2 a 7 7a2 a2 a 6  SH SM 2a2 ;SO . 4 2 4 4 2 K 6 a .a SO.MH a 42  Có : HK 2 . SM 7 7 C a M D 2 O H Chọn đáp án C. B A a 17 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu vuông góc 2 H của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của cạnh AB. Gọi K là trung điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường SD và HK theo a. 3a a 3 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 5 7 5 Hướng dẫn giải: S Ta có: HK / /BD HK / / SBD d HK, SD d HK, SBD d H, SBD Kẻ HI  BD , HJ  SI J A K D Khi đó: BD  HI , BD  SH BD  SHI BD  HJ H O Nên HJ  SBD d H, SBD HJ I B C
  19. 1 a 2 5 Ta có: HI AO và HD2 HA2 AD2 a2 SH 2 SD2 HD2 3a2 2 2 4 SH 2.HI 2 3 a 21 a 21 Do đó: HJ 2 a2 HJ . Vậy d SD, HK SH 2 HI 2 7 7 7 Chọn đáp án C. Câu 37: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác vuông tại A, AB AC b và có cạnh bên bằng b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và BC bằng b 2 b 3 A. .b B. . C. . b 3 D. . 2 3 Hướng dẫn giải: A C Kẻ Ax / /BC BC / / AB x d BC, AB d BC, AB x d B, AB x B Kẻ BD  Ax, BK  DB Ta có: AD  BD, AD  BB AD  BDB K AD  BK . Dó đó: A BK  ADB d B, ADB BK C b 2 D Khi đó: BD AH H 2 x BD2.BB 2 b 3 Nên BK 2 B BD2 BB 2 3 Chọn đáp án D. Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ·ABC 60 . Hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,CD theo a bằng: a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . a 3 2 4 3 Hướng dẫn giải: Gọi O AC  BD . Kẻ OI  AB , OH  SI Ta có: SAC  ABCD , SBD  ABCD SO  ABCD SAB  ABCD AB S 0 Ta lại có: AB  OI S· AO 30 AB  SI Khi đó: CD / / AB CD / / SAB H d CD, SA d CD, SAB d C, SAB 2d O, SAB C B Ta có: AB  SO, AB  OI AB  SOI AB  OH O I Nên OH  SAB d O, SAB OH D A 1 1 a 3 Mà OC AB a nên ·ABC O· CD 600 OI OC.sin 600 . 2 2 4 a 3 a 3 Do đó: OH OI.sin 300 d CD, SA 2OH 8 4 Chọn đáp án B.
  20. Câu 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB 2a; BD 3AC , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD bằng: a 35 2a 35 2a 7 2a 35 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 35 Hướng dẫn giải: S Ta có: CD / / AB CD / / SAB d CD, SB d CD, SAB d C, SAB 4d H, SAB Kẻ MH  AB, HK  SM Ta có: AB  HM , AB  SH AB  SHM HK  AB K Khi đó: HK  SAB d H, SAB HK A BI D Ta có:tan B· AC 3 B· AC 600 ABC đều M IA H 1 1 I AC 2a AH AC a B 4 2 C a 3 15a2 Mà HM AI.sin 600 và SH 2 SA2 AH 2 4 4 HM 2.SH 2 5a2 a 35 2a 35 Do đó: HK 2 HK d CD, SB 4HK HM 2 SH 2 28 14 7 Chọn đáp án B. Câu 40: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a là: a 42 a 42 3a 42 3a 42 A. . B. . C. . D. . 8 4 8 4 Hướng dẫn giải: Kẻ Ax / /BC, HI  Ax, HK  SI . Ta có: BC / / Ax BC / / SAx 3 d BC, SA d BC, SAx d B, SAx d H, SAx 2 Ta lại có: AI  HI, AI  SH AI  SHI AI  HK S Nên HK  SAI d H, SAI HK Gọi M là trung điểm của AB Khi đó: 1 2 1 1 a 3 K BH a, AH a, AM a, HM a,CM C 3 3 2 6 2 B a 7 H và HC CM 2 MH 2 3 x Mà SH  ABC CH là hình chiếu của SC lên ABC I A nên S· CH 600
  21. a 21 Suy ra SH HC.tan 600 3 a 3 Do ·ABC H· AI 600 nên HI AH.sin 600 3 HI 2.SH 2 7 a 42 3 a 42 Khi đó: HK 2 a2 HK d BC, SA HK HI 2 SH 2 24 12 2 8 Chọn đáp án Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC , gọi I là trung điểm cạnh BC . Biết góc giữa đường thẳng S Ivà mặt phẳng ABC bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC. 4a 3a a a A. . B. . C. . D. . 3 4 4 3 Hướng dẫn giải: Hình chiếu vuông góc của SI trên mặt phẳng ABC là AI nên góc giữa SI và mặt phẳng ABC là S¶IA (vì tam giác SIA vuông tại A nên S¶IA nhọn). Suy ra S¶IA 600 . a 3 Xét tam giác SIA vuông tại A , S¶IA 600 , AI 2 3a nên SA . 2 Dựng hình bình hành ACBD , tam giác ABC đều nên tam giác ABD đều. Ta có AC / /BD, AC  SBD AC / / SBD mà SBD  SB d AC, SB d A, SBD . a 3 Gọi K là trung điểm đoạn BD, tam giác ABD đều suy ra AK  BD và AK mà BD  SA nên 2 BD  SAK . Dựng AH  SK, H SK lại có AH  BD suy ra AH  SBD Vậy d A, SBD AH. Xét tam giác SAK vuông tại vuông tại A , đường cao AH ta có 1 1 1 3a AH AH 2 AK 2 AS 2 4 3a d AC, SB d A, SBD . 4 Đáp án B. Câu 42: Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông tại B, BC a, AC 2a, tam giác SAB đều. Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AC Khoảng. cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: a 66 2a 11 2a 66 a 66 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Hướng dẫn giải:
  22. Tam giác ABC vuông tại B, BC a, AC 2a suy ra AB a 3 . Tam giác SAM vuông tại M , SA a 3, AM a SM a 2 . Dựng hình bình hành ABCD , gọi N là trung điểm của AD . Do ·ABC 900 suy ra ABCD là hình chữ nhật suy raMN  AD. Lại có SM  AD nên AD  SMN . Dựng MH  SD, H SN . S Theo trên có AD  SMN MH  AD MH  SAD . Vậy d M , SAD MH . Ta có BC / / AD, BC  SAD BC / / SAD d SA, BC d BC, SAD B C Mà SA  SAD . d C, SAD 2d H, SAD 2MH. M H Xét tam giác SMN vuông tại M , đường cao a A D MH, SM a 2, MN có N 2 1 1 1 a 66 2a 66 MH d SA, BC MH 2 MN 2 MS 2 11 11 Câu 43: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB 2a ; BC a 2 ; BD a 6 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trọng tâm G của tam giác BCD, biết SG 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB theo a là: a a A. .a B. . 2a C. . D. . 2 3 Hướng dẫn giải: Ta có ABCD là hình bình hành, S AB 2a, BC a 2, BD a 6 nên ABCD là hình chữ nhật. Dựng hình bình hành ACEB . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà SBE  SB vậy d SB, AC d AC, SBE d G, SBE . Dựng GK  BE, K BE lại có SG  BE nên BE  SGK A D . H Dựng GH  SK, H SK lại có GH  BE nên G B C GH  SBE d G, SBE GH. K Ta có GK d B, AC . Tam giác ABC vuông tại B suy ra E 1 1 1 2a vậy GK d B, AC . d 2 B, AC BA2 BC2 3 2a Xét tam giác SGK vuông tại G , đường cao GH, SG 2a,GK có 3 1 1 1 GH a d SB, AC a . GH 2 GK 2 GS 2 Đáp án A.
  23. Câu 44: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 4a; BC 3a, gọi I là trung điểm của AB, hai mặt phẳng SIC và SIB cùng vuông góc với ABC ,góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là: 12a 3 3a 3 2a 3 5a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 3 Hướng dẫn giải: Ta có SIC , SIB cùng vuông góc với mặt phẳng ABC nên SI  ABC . Dựng hình bình hành ACBE . Ta có AC / /BE, AC  SBE AC / / SBE mà SBE  SB vậy d SB, AC d AC, SBE d A, SBE . 2d I, SBE Dựng IK  BE, K BE lại có SI  BE nên BE  SGK . Dựng IH  SK, H SK lại có IH  BE nên IH  SBE d I, SBE IH. S Kéo dài IK cắt AC tại D mà SI  AC SID  AC . Lại có SAC  ABC AC . SAD  ABC AD SAD  ASC SD · · 0 A 600 D Góc giữa SAC và ABC bằng SDI suy ra SDI 60 . C 1 H Ta có ID IK d B, AC I 2 E Mà tam giác ABC vuông tại B suy ra K B 1 1 1 vậy d 2 B, AC BA2 BC2 12a ID IK d B, AC . 5 12a 12a 3 Xét tam giác SID vuông tại I , ID , S· DI 600 suy ra SI . 5 5 Xét tam giác SIK vuông tại I , đường cao IH có 1 1 1 6a 3 12a 3 IH d SB, AC . IH 2 IK 2 IS 2 5 5 Đã sửa đáp án A. Câu 45: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A. Gọi H, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC và SC, SH vuông góc với ABC , SA 2a và tạo với mặt đáy góc 60 .Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BC là: a 3 a 7 a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 21
  24. Hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng ABC là HA . S Vậy góc giữa SA và ABC là S· AH . Ta có S· AH 600 suy ra AH a, SH a 3 . Gọi N, I lần lượt là trung điểm của SB, SI . M I Ta có mặt phẳng AMN song song với BC và chứa AM . Vậy K N d AM , BC d BC, SAM d H, SAM . A C Dựng HK  AI, K AI . Ta có BC  SH, BC  MH BC  SMH . H BC  HK mà MN / /BC HK  MN B Do HK  AI (cách dựng). Suy ra HK  AMN d H, AMN HK . Xét tam giác IAH vuông tại H , đường cao HK 1 1 1 a 21 a 21 HK , d H, AMN HK HK 2 HA2 HI 2 7 7 Đáp án C. Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD 2 2a . Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng ABCD một góc 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a là: 2a 22 a 22 a 11 2a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 11 11 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi M là trung điểm của SB . Mặt phẳng ACM chứa AC và song song SD . Do đó d(SD, AC) d(SD,(ACM )) d(D,(ACM )) . Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó 2a 4 2a A 0;0;0 , B a;0;0 , D 0;2 2a;0 , S ; ;2a ,C a;2 2a;0 3 3 5a 2 2a   5a 2 2a M ; ;a . AC a;2 2a;0 , AM ; ;a 6 3 6 3   AC  AM 2 2a2; a2; 2a2 Mặt phẳng ACM đi qua điểm A và có vtpt n 2 2; 1; 2 nên có phương trình là 2 2a 2a 22 2 2x y 2z 0 d(D;(ACM )) . 8 1 2 11 Câu 47: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC, tam giác ABC vuông tại A, AB a, AC a 3 . Ngoài ra DBC là tam giác vuông. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC .
  25. a 21 a 3 a 7 a 17 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. Gọi N là trung điểm BD. Ta chứng minh được CD / / AMN . Do đó d CD, AM d CD, AMN d C, AMN . Xét tứ diện ACMN . Thể tích tứ diện này là : 1 1 VACMN d C, AMN .S AMN d N, ACM .S ACM 3 3 d N, ACM .S ACM Suy ra d C, AMN (*) S AMN Gọi H là trung điểm BM . Khi đó, NH / /DM suy ra NH  ACM nên 1 1 NH d N, ACM DM a. (1) 2 2 1 a2 3 S S . (2) ACM 2 ABC 4 2 1 2 2 1 2 2 Áp dụng công thức trung tuyến AN AB AD DB a AN a. 2 2 1 Ta có AM BC a nên AMN cân tại A. Gọi K là trung điểm MN thì AK  MN. 2 CD a 2 a 14 MN . Trong tam giác vuông AKM , ta có AK . 2 2 4 1 a2 7 Suy ra S AK.MN . (3) AMN 2 8 a 21 a 21 Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được d C, AMN . Vậy d CD, AM . 7 7 Câu 48: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a , hình chiếu của Smặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB . Góc tạo bởi SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC . 2 15 3 5 15 A. . a B. . a C. . D.a . a 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có: Từ A Kẻ Ax song song với BC .Từ H kẻ HI  Ax .Từ H Kẻ KH  SI với SI thì: d SA, BC d B, SAx 2d H, SAx 2HK a 3 IH AH.sin 600 và 4 a a 3 SH AH.ta n 600 . 3 2 2
  26. 1 1 1 a 15 HK HK 2 SH 2 IH 2 10 a 15 d SA, BC 2d H, SAx 2HK 5 3a Câu 49: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu vuông góc H 2 của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB. Gọi K là trung điểm của đoạn AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD . a 2a a 3a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: SD cắt ABCD tại D . Từ H kẻ HI  BD , HM  SI .Ta thấy HK song song BD : d HK, SD d H, SBD HM SHD : 9a 2 9a 2 a 2 SH SD2 HD2 AD2 AH 2 a2 a 4 4 4 AC a 2 IH 4 4 1 1 1 a HM HM 2 SH 2 IH 2 3 a d SA, BC d H, SBD HM 3 Câu 50: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB BC a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 13 78 13 78 A. .2 a. B. . 2a. C. . D.a a. 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi I là trung điểm của AC . Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC , trong mặt phẳng ABC kẻ AE vuông góc với d tại E . Khi đó AE  BE và AE  AC . Ta có: AC//BE AC// SBE d AC, SB d A, SBE . Gọi AH là đường cao của SAE , ta có BE  SA BE  SAE BE  AH BE  AE
  27. Mặt khác AH  SE nên AH  SBE Do đó d AC, SB d A, SBE AH Vì SA  ABC nên hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC) là AC suy ra gó giữa SC và mặt phẳng (ABC) là S· CA 60o a 2 Xét SAE vuông tại A có: AH là đường cao, SA tan 60o.AC 3.a 2 a 6 , AE BI 2 1 1 1 2 1 13 nên AH 2 AE 2 SA2 a2 6a2 6a2 6a2 a 78 AH 2 AH 13 13 a 78 Vậy d AC, SB 13 . Câu 51: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC , SA a 6 , AB AC a 3 , góc B· AC 120 , lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MC 2MB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC . 2a 42 a 42 a 3a A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn B. Dựa vào định lý Côsin trong tam giác ta có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC BC 2 3a2 3a2 2.a 3.a 3.cos120 BC 2 9a2 BC 3a 2 CM BC 2a . 3 AM 2 CM 2 CA2 2CM.CA.cos M· CA AM 2 4a2 3a2 2.2a.a 3.cos30 AM 2 a2 AM a Xét tam giác ACM có CM 2 AM 2 AC 2 4a2 nên tam giác ACM vuông tại A suy ra AC  AM mà AC  SA nên AC  SAM Gọi H là hình chiếu của A trên SM , ta có AH  AC d AC, SM AH AH  SM Xét tam giác SAM có SA a 6 , AM a , AH là đường cao nên 1 1 1 1 1 7 AH 2 AM 2 SA2 a2 6a2 6a2 6a2 a 42 AH 2 AH 7 7 a 42 d AC, SM 7
  28. Câu 52: Trong không gian cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng SAB vuông góc với đáy, tam giác SAB vuông cân tại S. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 21 21 7 7 A. .a B. . 3a C. . aD. . 2a 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: Chọn A. Kẻ SH ^ AB Þ SH ^ (ABC). Kẻ BM / / AC Þ AC/ / (SBM ) Þ d(AC,SB) = d(AC,(SBM )) = d(A,(SBM )) = 2d(H,(SBM )). Kẻ HK ^ BM, ta có: SH ^ BM Î (ABC) Þ BM ^ (SHK). Kẻ HQ ^ SK , ta có:BM ^ HQ Î (SHK) Þ HQ ^ (SBM) Þ d(H,(SBM )) = HQ. 1 1 1 Xét tam giác vuông SHK ta có: = + . HQ2 HK 2 SH 2 a a 3 a 3 Trong đó: SH= AH= (do tam giác SAB vuông cân tại S ), HK= HB.sin60o = . = . 2 2 2 4 1 16 4 28 a 21 a 21 Þ = + = Þ HQ = Þ d(AC,SB) = 2HQ = . HQ2 3a2 a2 3a2 14 7 Câu 53: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SD vuông góc với mặt phẳng ABCD , AD a, góc ·AOB 120 , góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB . a 3 a 6 3a 3 5a 6 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Vì: BC ^ DCïü ï · o ý Þ BC ^ (SDC) Þ SCD = 45 S BC ^ SD ï þï AD Þ SD = DC = = a 3. o tan 60 I Kẻ K a 3 OI / / SB(I Î SD) Þ ID= SI= , SB/ / (IAC) Þ 2 D C d(AC,SB) = d(SB,(IAC)) = d(B,(IAC)) H = d(D,(IAC)). O A Kẻ IH ^ AC Þ AC ^ (IDH ) Þ DH ^ AC. B Kẻ DK ^ IH, ta có: DK ^ AC(AC ^ (DIH)) Þ DK ^ (IAC) Þ d(D,(IAC))= DK.
  29. a 3 Xét tam giác vuông DHA : ta cóDH = a.sin 60o = Þ tam giác DHI vuông cân tại 2 a 6 DK = DH.sin 45o = . 4 Câu 54: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, BC a 3, AB a ; hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD và đường thẳng SC tạo với mặt đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC . 2 5a 3 15a 5a 15a A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có SAC  SBD SO, SAC  ABCD , SBD  ABCD SO  ABCD . OC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng ABCD ·SC, ABCD S· CO 600 Gọi M là trung điểm của SD OM PSB SB P ACM Trong mặt phẳng SBD kẻ MH PSO MH  ABCD Khi đó d SB, AC d SB, ACM d B, ACM 2d H, ACM 2HI . 1 a 3 Ta có HK d D, AC 2 4 AC a 3 Có OC a SO OC.tan 600 a 3 MH 2 2 1 1 1 20 a 15 HI . Vậy HI 2 HM 2 HK 2 3a2 10 a 15 d SB, AC 2HI . 5 Câu 55: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB BC a, AD 2a. Các mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Biết góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SB . a 3 2a 3 2a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. Gọi O là giao điểm của AC và BD .
  30. SAC  SBD SO, SAC  ABCD , Ta có . SBD  ABCD SO  ABCD Gọi E là trung điểm của AD , H AC  BE BE PCD CD P SBE d CD, SB d C, SBE . 3d O, SBE 3OI OM  AB, SO  AB SM  AB Kẻ SAB , ABCD S·MO 600 1 a 2 1 2a 2a 3 Tính AC a 2 OH AC , OM AD SO OM.tan 600 6 6 3 3 3 1 1 1 75 2a 2a 3 OI d CD, SB . OI 2 OH 2 SO2 4a2 5 3 5 Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Đường thẳng SD tạo với đáy 3a 5 ABCD một góc 60 . Gọi M là trung điểm AB. Biết MD , mặt phẳng SDM và mặt phẳng 2 SAC cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CD và SM theo a là: a 5 3a 5 a 15 3a 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta có SMD  SAC SG suy ra SG  ABCD S Kẻ GH  AB , GK  SH Khi đó, d DC,SM d DC, SAB d D, SAB GD 3a 15 A B .d G, SAB 3GK M GM 4 G O D C Câu 57: Một hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2 2 và tạo với mặt đáy một góc 45 . Tính khoảng cách giữa SA và BC . 3 2 3 2 A. . B. . S 2 4 3 3 3 2 C. . D. . 2 4 Hướng dẫn giải: J Chọn A . H + Vì SABC là hình chóp tam giác đều nên SO  ABC ( Với O là trọng tâm của ABC ). A C + Xét SOA Vuông tại O có: - S· AO 450 mà O I B
  31. SA 2 2 nên OA SO 2. AI 3. - Với H là chân đường cao hạ từ O 1 1 1 Ta có: OH 2. OH 2 OA2 SO2 + Trong SIA Gọi J là chân đường cao hạ từ I xuống SA. Lại có BC  SAI nên BC  IJ . Từ đó IJ là đương vuông góc chung của SA & BC. OH OA OH.AI 3 2 + Xét trong AIJ : IJ . IJ AI OA 2 3a Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, B· AD 60 và SO . 4 Biết SA SC và SB SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ? 3a 3a 7 3a 7 3a A. . B. . C. . D. . 7 14 7 14 Hướng dẫn giải: SO  AC Ta có:  SO  (ABCD) DB  SO SO  DB S DB  SO  H Ta có:  BD  (SAC) A BD  AC D Trong mp (SAC) , kẻ OH  SA (H SA) , ta có: OH  SA,OH  BD O Do đó: d(SA, DB) OH . Ta có: B C 2 2 3a a 3 a 21 SA SO2 OA2 4 2 4 Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có: SO.OA 3a a 3 4 3a 7 OH . . SA 4 2 a 21 14 3a 7 Vậy d(SA, DB) OH . 14 Chọn B. Câu 59: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đường cao SO 2, mặt bên hợp với mặt đáy một góc 60 . Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 4 3 3 2 A. . B. 2 . C. 2 3 . D. . 3 2 Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của CD . Ta có: S SCD  (ABCD) CD  H (SOI)  CD  A D (SOI)  (ABCD) OI,(SOI)  (SCD) SI  600 (·SCD),(ABCD) (·OI,SI) 600 O I B C Ta có: AB / /CD AB / /(SCD) d(AB,SD) d(AB,(SCD)) d(A,(SCD)) 2d(O,(SCD))
  32. SO 2 3 Trong mp (SOI) , kẻ OH  SI (H SI) , ta có: OH  (SCD) và OI tan 600 3 Do đó: d(O,(SCD)) OH . 4 4 Ta có: SI SO2 OI 2 22 3 3 SO.OI 2 3 3 Tam giác SOI vuông tại O, có đường cao OH nên OH 2. . 1 SI 3 4 Do đó: d(AB,SD) 2d(O,(SCD)) 2OH 2.1 2. Chọn B. Câu 60: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 3a; AD 2a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH 2HB. Góc giữa mặt phẳng SCD và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD theo a là 6a 39 6a 13 a 39 a 13 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: S Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H nên SH  (ABCD) . Kẻ HM  CD(M CD) , ta có: A (ABCD)  (SCD) CD  D (SHM )  CD · · 0  (ABCD),(SCD) SMH 60 Ta có: 3a (SHM )  (ABCD) HM I 600 H M (SHM )  (SCD) SM B  2a C AD / /BC AD / /(SBC) và d(AD,SC) d(A,(SBC)) 3d(H,(SBC)) Kẻ HI  SB (I SB) , ta có: HI  (SBC) và d(H,(SBC)) HI Ta có: SH HM.tan 600 2a. 3 và SB SH 2 HB2 a 13 SH.HB 2a 39 6a 39 Suy ra: IH . Vậy d(AD,SC) 3HI . Chọn A. SB 13 13 Câu 61: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB 5a; BC 4a. Cạnh SA vuông góc với đáy và góc giữa mặt phẳng SBC với mặt đáy ABC bằng 60 . Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BC là: 3a 39 3a 13 a 13 a 39 A. . B. . C. . D. . 13 13 13 13 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm AC , ta có: BC / /(SMD) S d(BC,SD) d(C,(SMD)) d(A,(SMD)) Kẻ AH  SM (H SM ) , ta có: AH  (SMD) SA.AM 3a 39 d(A,(SMD)) AH SM 13 H 3a 13 A D B Với SM SA2 AM 2 . 5a 2 M Chọn A. 4a Câu 62: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở C A và B, AB BC a, AD 2a, tam giác SAB cân tại đỉnh S nằm
  33. trong mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng SCD tạo với đáy một góc 60 . Khoảng cách AB và SD là: a 177 6a 177 2a 177 3a 177 A. . B. . C. . D. . 59 59 59 59 Hướng dẫn giải: S Dựng hình chữ nhật ABED , ta có tam giác ACD vuông cân I tại C . D Gọi H, K lần lượt là trung điểm AB, ED , ta có: A 2a SH  (ABCD) . H K Gọi F là đối xứng của A qua B, kẻ HM  DF (M DF) a B a E · · 0 C Suy ra: (SHM )  DF và (SCD),(ABCD) SMH 60 M 3 3a 2 F Ta có: HM / / AC HM AC 4 4 Ta có: AB / /ED AB / /(SED) và d(AB,SD) d(H,(SED)) Kẻ HI  SK , ta có: HI  (SED) và d(H,(SED)) HI a 59 Ta có: SK SH 2 HK 2 2 2 SI.IK 6a 3 6a 177 Suy ra: HI . SK 59 59 Chọn B. Câu 63: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) , góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 60 , M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC là: 4a 51 2a 51 a 51 a 51 A. . B. . C. . D. . 51 3 51 17 Hướng dẫn giải: Gọi N, I lần lượt là trung điểm của AC, BC . S MN là đường trung bình của ABC MN€ BC BC€ SMN Ta có: d BC;SM d BC; SMN d I; SMN d A; SMN . K Dễ thấy A C BC  SAI MN  SAI SMN  SAI theo giao tuyến SH N . H Trong mặt phẳng SAI kẻ AK  SH AK  SMN M I Vậy d BC;SM d A; SMN AK B a 3 1 a 3 Ta có: AI AH AI 2 2 4 Vì SA  ABC nên SB; ABC SB; AB S· BA 60 SA AB.tan 60 a 3. 1 1 1 1 16 17 AK 2 SA2 AH 2 3a2 3a2 3a2
  34. a 51 AK . 17 Câu 64: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bằng 2a. Mặt bên SAB là tam giác đều, SI vuông góc với SCD và I là trung điểm AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SO và AB là: 3a 3 a 2 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 3 Kẻ MN / / AB S d SO, AB d AB, SMN d I,(SMN) Ta có AB  SI MN  SI, AB  OI MN  OI MN  (SOI) SMN  SOI .Kẻ a 3 IH  SO IH  SMN H IH d I; SMN A D Gọi J là trung điểm của CD N JI J Do SI  SCD SI  SJ SO a I O 2 C + Do SIO cân tại O . kẻ OE  SI B 2a M 3a2 a OE OI 2 IE 2 a2 4 2 1 1 a a2 3 2S a 3 + S OE.SI .a 3 IH OSI IH OSI 2 2 2 4 SO 2 Câu 65: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB a, AD 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh AB và N là trung điểm đoạn MI. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng ABCD trùng với điểm N. Biết góc tạo bởi đường thẳng SB với mặt phẳng ABCD bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD theo a là: a 6 a 6 a 6 A. a 6 . B. . C. . D. . 2 3 6 Hướng dẫn giải: S MN / / AD MN / / SAD d MN, SD Do d(MN,(SAD)) d(N,(SAD)) Kẻ NE  AD, SN  AD AD  SNE SAD  SNE H NH  SE NH  (SAD) Kẻ A 2a d N, SAD d MN,(SAD) NH E D a · · 0 Ta có : SB; ABCD SBN 45 M N I 45° Xét BMN C B a2 a2 a 2 a 2 BN BM 2 NM 2 SN 4 4 2 2
  35. a a 2 . NE.NS a 6 Do NH 2 2 NE 2 NS 2 a 3 6 2 Câu 66: hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B ; AB BC a; AD 2a ; SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 . Gọi M là trung điểm của cạnh AD . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BD là: a 22 a 2 a 11 a 11 A. . B. . C. . D. . 11 11 22 2 Hướng dẫn giải: Ta có : S·C, ABCD S· CA 450 Gọi E, K lần lượt là giao điểm của AC với BD, NM Kẻ MN / /BD BD / / SMN d SM , BD d BD, SMN d E, SMN Do MN / /BD K trung điểm AE d E; SMN d A, SMN Kẻ AE  MN, SA  MN MN  SAE SAE  SMN Kẻ AF  SE FA  SMN d A,(SMN) FA S Xét ABC AC a 2 SA a 2 a .a AN.AM a 5 AE 2 AN 2 AM 2 a2 5 a2 4 F 2a a 5 A D a 2. M SA.AE 5 a 22 a FA K 2 2 11 E SA AE 55 N 45° 5 E B a C Câu 67: Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc B· AD 60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, a 6 SG  (ABCD) và SG . Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng 3 AB và SM theo a . a 2 a 3 a 5 a 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta có: Gọi J, K lần lượt là hình chiếu của H lên DC, SJ 3 d AB, SM d AB, SDC d A, SDC d G, SDC 2 3 3 SG.GJ 3 SG.GC.sin G· CJ GK . . 2 2 SJ 2 SG2 GJ 2
  36. 3 SG.GC.sin G· CJ . 2 2 S SG2 GC.sin G· CJ a 6 2 . .AC.sin 300 3 . 3 3 2 2 2 a 6 2 0 .AC.sin 30 3 3 a 6 2 0 . .2AO.sin 30 a 6 3 3 3 . 3 2 2 2 a 6 2 0 .2AO.sin 30 K 3 3 A H a 6 2 a 3 0 B . .2. .sin 300 60 3 a 2 G . 3 3 2 2 2 2 2 O a 6 2 a 3 .2. .sin 300 D 3 3 2 J M C Câu 68: Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông tại S và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết SA a và cạnh bên SB tạo với mặt đáy ABCD một góc 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là: a 21 2a 7 2a 21 a 7 A. . B. . C. . D. . 7 7 7 7 Hướng dẫn giải: S Chọn C. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC a Gọi L, M lần lượt là hình chiếu của H lên d, SL M d SA, BD d BD, SAL d B, SAL L A 300 BA BA B .d H, SAL .HM H HA HA O BA SH.HL BA SH.HL D . . C HA SL HA 2 2 SH HL . a 0 sin 30 SH.HL SH.HL 0 SH 3 0 . 4. sin 60 SH a a.cos60 SH 2 HL2 SH 2 HL2 SA 2 HL HL sin L· AH sin ·ABO AH AH AH a cos600 AH SA 2 a 3 2 . .a AO HL AO.AH 2 2 SH.HL 2 21 HL AH a 4. 4. 2 4 a AB AH AB 2 4 2 2 3 1 7 SH HL a2 a2 4 8
  37. Câu 69: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 2 . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ; góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SD là : 2a 5 2a 10 a 5 2a 2 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn D. Vì H là trung điểm của cạnh AB ; tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên SH  ABCD . S A a B H a 2 I O D C Gọi I là hình chiếu của H trên AC suy ra góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABCD là góc S· IH 600 . IH BC a 2 a a 6 Ta có ABC : AIH IH . . AH AC a 3 2 6 a 2 Trong SHI vuông tại H có SH IH 3 . 2 Gọi K là điểm đối xứng của H qua A ta có tứ giác CDKH là hình bình hành suy ra CH song song với mặt phẳng SDK  SD . Nên ta có: d CH,SD d CH, SDK d H, SDK Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên DK và SE. Khi đó ta có d H, SDK HF. a .a 2 BH.BC 2a 2 Ta có HE 2d B,HC 2 2 2 BH 2 BC 2 a 2 3 2a2 4 a 2 2a 2 SH.HE 2a2 3 2 2a 2 Trong SHE vuông tại H có HF 2 3 . .Chọn D. SH 2 HE 2 a2 8a2 3 5a 5 2 9 Câu 70: hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 2a , tam giác SAB cân 2a tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến SBC bằng . Khoảng 3 cách giữa hai đường thẳng SB và AC là :
  38. a 10 a 10 2a 10 2a 5 A. . B. . C. . D. . 10 5 5 5 Hướng dẫn giải: S Chọn B. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với AC Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H lên d, SK L 2a 2a d D, SBC d A, SBc I 3 3 a a d H, SBC HI A K 3 3 2a a H B O 1 1 1 D 2 2 2 C HI SH HB 9 1 4 1 5 a 5 SH a2 SH 2 a2 SH 2 a2 5 HK HK sin K· BH sin C· AB HB HB a .2a CB HK HB.CB 5a HK 2 AC HB AC 5.a 5 d AC, SB d A, SBK 2d H, SBK 2HL SH.HK SH.HK SH 2 SH a 10 = 2 2 2. 2 SK SH 2 HK 2 SH 2 2 5 Câu 71: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a, có SH  (ABC) với H thuộc cạnh AB sao cho AB 3AH. Góc tạo bởi SA và mặt phẳng ABC bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là: a 5 3a 15 a 15 3a 5 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BC S Gọi F,G lần lượt là hình chiếu của H lên d, SF SH tan 600 SH a 3 a HF HF a 3 sin F· AH sin 600 HF AH a 2 G a 3 a 3. F SH.HF 15 600 HG 2 a A 2 2 3 5 H B SH HF 3a2 a2 4 3a d BC, SA d B, SAF C 15 3d H, SAF 3HG 3 a 5
  39. Câu 72: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AD, góc giữa đường thẳng SB và mặt đáy bằng 60 . Gọi M là trung điểm của DC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM là : a 285 3a 285 a 285 2a 285 A. . B. . C. . D. . 9 19 19 9 Hướng dẫn giải: S Chọn C. Vẽ đường thẳng d qua A và song song với BM Gọi O,P lần lượt là hình chiếu của H lên d, SO P Ta có: a2 a 5 2 2 2 O BH AB AH a A N D 4 2 H 600 M B SH a 15 C tan 600 SH BH 2 a a . OH OH CM OH CM.AH 5 sin O· AH sin M· BC OH 2 2 a AH AH BM AH BM a2 10 a2 4 2 2 a 15 a 5 95a 2 2 SO SH OH 2 10 5 a 15 a 5 . SH.OH 285 d SA, BM d N, SAO 4d H, SAO 4HP 4. 4. 2 10 a SO 95a 19 5