›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Phần 2A: Phương trình tiếp tuyến

doc 47 trang nhungbui22 12/08/2022 2080
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Phần 2A: Phương trình tiếp tuyến", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_11_chuong_5_dao_ham_phan_2a_phuong_trinh.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Phần 2A: Phương trình tiếp tuyến

  1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 13 LỜI TÂM SỰ Ở tài liệu tiếp tuyến này, tôi chia thành 3 tập nhỏ, vì đảm bảo chất lượng bố cục, và công tác trình bày, vì vậy mong quý vị bạn đọc theo dõi một cách thường xuyên để luôn được cập nhật tài liệu hay và chất lượng của chúng tôi. Thân ái. 1
  2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f (x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 x0 ; f (x0 ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 x0 ; f (x0 ) là: y – y0 f (x0 ).(x – x0 ) y0 f (x0 ) Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f (x) và C2 : y g(x) tiếp xúc nhau f (x0 ) g(x0 ) tại điểm có hoành độ x0 là hệ phương trình có nghiệm x0 f '(x0 ) g'(x0 ) Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2 Nếu (C1 ) : y px q và C2 : y ax bx c thì 2 (C1 ) và C2 iếp xúc nhau phương trình ax bx c px q có nghiệm kép. Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M x0 ; y0 , hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 . - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A xA ; yA cho trước. - Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó. Phương pháp: Cho hàm số y f x có đồ thị C và M x0 ; y0 là điểm trên C . Tiếp tuyến với đồ thị C tại M x0 ; y0 có: - Hệ số góc: k f ' x0 - Phương trình: y y0 k x x0 , hay y y0 f ' x0 x x0 Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M x0 ; y0 chúng ta cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 f x0 ) - Hệ số góc k f ' x0 Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết tiếp điểm. 2
  3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương pháp: Bài toán 1 : Hai đường cong C : y f x và C' : y g x tiếp xúc nhau tại M x0 ; y0 .Khi điểm M C  C' và tiếp tuyến tại M của C trùng với tiếp tuyến tại M của C' chỉ khi f x0 g x0 hệ phương trình sau: có nghiệm x . 0 f ' x0 g' x0 Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp: C : y f x tiếp xúc nhau f x ax b 0 có nghiệm kép . d : y ax b k 1 k Hàm f x nhận x0 làm nghiệm bội k nếu f x0 f ' x0 f x0 0 và f x0 0 . Nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 chứ không phải nghiệm kép. Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung không bảo toàn số bội của nghiệm. Ví dụ 1. Đường cong y x không tiếp xúc với trục hoành tại 0 , tức là phương trình x 0 không nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 . Khi đó đồ thị C : y x3 của hàm số tiếp xúc với trục hoành tại x 0 nhưng phương trình x3 0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 . Ví dụ 2. Đồ thị C : y sin x của hàm số tiếp xúc với đường thẳng d : y x tại x 0 nhưng phương trình sin x x 0 thì không thể có nghiệm kép. Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo toàn tập nghiệm, chứ không chắc bảo toàn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến. Bài toán 2 : * Đường cong C : y f x có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hàm số y f x khả vi tại x0 . Trong trường hợp C có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ' x0 . * Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x tại điểm M x0 ; f x0 có dạng : y f ' x0 x x0 f x0 Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M(x0 ; f (x0 )) . Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f (x) tại M(x0 ; y0 )là: y f '(x0 )(x x0 ) y0 . 3
  4. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài toán 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm x x0 . Giải: Tính y0 f (x0 ), y'(x0 ) phương trình tiếp tuyến: y f '(x0 )(x x0 ) y0 Bài toán 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Giải. Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm Giải phương trình f (x) y0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y'(x0 ) và thay vào phương trình (1). Các ví dụ Ví dụ 1 : Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm M 1; 3 ; 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; 3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;. 4. Tại giao điểm (C) với trục tung ; 5. Có hệ số góc là 9 ; 6. Song song với đường thẳng (d ): 27x 3y 5 0 ; 7. Vuông góc với đường thẳng (d’ ) : x 9y 2013 0 . Lời giải: Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2 6x 1. Phương trình tiếp tuyến t tại M 1; 3 có phương trình : y y' 1 x 1 3 Ta có: y' 1 3 , khi đó phương trình t là: y 3x 6 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M x0 ; f x0 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0 ; y0 là: y f ' x0 x x0 y0 2. Thay x 2 vào đồ thị của (C) ta được y 21. Tương tự câu 1, phương trình t là: y 24x 27 Chú ý: 4
  5. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết hoành độ tiếp điểm x x0 , y0 f x0 , y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f ' x0 x x0 y0 3. Thay y 1 vào đồ thị của (C) ta được x2 x 3 0 x 0 hoặc x 3 . Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1, y 9x 28 Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x biết tung độ tiếp điểm bằng y0 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Giải phương trình f x y0 ta tìm được các nghiệm x0 . Tính y' x0 phương trình tiếp tuyến: y f ' x0 x x0 y0 4. Trục tung Oy : x 0 y 1 .Tương tự câu 1, phương trình t là: y 1 5. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 2 2 Ta có : y' x0 3x0 6x0 , theo giả thiết y' x0 9 , tức là 3x0 6x0 9 x0 3 hoặc x0 1 . Tương tự câu 1 6. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 5 Theo bài toán: t P d : y 9x y' x 9 . Tương tự câu 1 3 0 7. Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp tuyến t . 1 2013 Theo bài toán: t  d' : y x y' x 9 . Tương tự câu 1 9 9 0 Ví dụ 2 . 1. Cho hàm số: y x3 m 1 x2 3m 1 x m 2 . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A 2; 1 . 2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y x3 (2m 1)x2 (m 3)x 3 và (d) là tiếp tuyến của (C) 7 tại điểm có hoành độ x = 2. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng . 17 Lời giải: 1. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 m 1 x 3m 1 Với x 1 y 1 3m 1 y' 1 m 6 Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x 1: y m 6 x 1 3m 1 5
  6. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Tiếp tuyến này đi qua A 2; 1 nên có: 1 m 6 3m 1 m 2 Vậy, m 2 là giá trị cần tìm. 2. Hàm số đã cho xác định với x ¡ . Ta có: y' 3x2 2 2m 1 x m 3. Phương trình tiếp tuyến (d) : y y'(2)(x 2) y(2) y 11– 7m x – 2 7 – 6m 11– 7m x 8m – 15 (11 7m)x y 8m 15 0 8m 15 7 d(0,(d)) 17(8m 15)2 49[(11 7m)2 1] (11 7m)2 1 17 2153 1313m2 3466m 2153 0 m 1, m 1313 Ví dụ 3 : 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x4 x2 6 , biết tiếp tuyến vuông góc 1 với đường thẳng y x 1 . 6 1 2 2. Cho hàm số y x3 x có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp 3 3 1 2 tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng y x . 3 3 Lời giải: 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ Gọi t là tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số và t vuông góc với đường thẳng 1 y x 1 , nên đường thẳng t có hệ số góc bằng 6 . 6 Cách 1: Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến t và đồ thị C của hàm số . 3 Khi đó, ta có phương trình: y' x0 6 4x0 2x0 6 2 2 x0 1 2x0 2x0 3 0 . Vì 2x0 2x0 3 0,x0 ¡ nên phương trình x0 1 y0 y 1 4 M 1; 4 . Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 6 x 1 4 6x 10 . Cách 2: Phương trình t có dạng y 6x m t tiếp xúc C tại điểm M x0 ; y0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 6
  7. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x4 x2 6 6x m x 1 0 0 0 có nghiệm x 0 3 0 m 10 4x0 2x0 6 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' x2 1 1 2 Gọi M(x ; y ) (C) y x3 x , 0 0 0 3 0 0 3 2 Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0 ) x0 1 1 2 1 Đường thẳng d: y x có hệ số góc k 3 3 2 3 4 2 1 2 x0 2 y0  d k1.k2 1 (x0 1) 1 x0 4 3 3 x0 2 y0 0 4 Vậy, có 2 điểm M 2;0 , 2; là tọa độ cần tìm. 3 Ví dụ 4 3 x 1. Cho hàm số y (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai x 2 điểm A 1; 2 và B 1;0 . 2. Cho hàm số y x3 6x2 9x 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A 2;7 và B 2;7 . Lời giải: 1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng y f '(x0 )(x x0 ) f (x0 ) ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)). 5 3 x 5 ( x2 6x 6) 0 0 0 = 2 (x x0 ) 2 x 2 (x0 2) x0 2 (x0 2) (x0 2) 2 2 5x (x0 2) y x0 6x0 6 0 5 2(x 2)2 x2 6x 6 5 x2 6x 6 d(A,(d)) d(B,(d)) 0 0 0 0 0 4 4 25 (x0 2) 25 (x0 2) 7
  8. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x2 14x 19 x2 6x 1 x2 14x 19 x2 6x 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 x0 14x0 19 x0 6x0 1 x 1 0 2 x0 1. x0 4x0 9 0 Vậy phương trình d : y 5x – 1 Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của đoạn AB. * Trường hợp 1: (d) //AB. yA yB Hệ số góc của đường thẳng AB: kAB 1. xA xB 5 (d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x0 1 2 1(*) . Phương trình (*) vô (x0 2) nghiệm do đó trường hợp này không xảy ra. * Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB. Phương trình (d) có dạng y = kx – 1. 3 x0 kx0 1 (2) x 2 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x 0 có nghiệm x . 0 5 0 k (3) 2 (x0 2) 5 3 x 5 0 Thay k 2 vào (2) ta đươc 2 1 (x0 2) x0 2 (x0 2) x 2 x 2 0 0 x 1 2 0 (3 x0 )(x0 2) 5 (x0 2) x0 1 Thay x0 1vào (2) ta được k 5 . Vậy phương trình d : y 5x – 1 2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng : 2 3 2 2 3 2 y (3x0 12x0 9)(x x0 ) x0 6x0 9x0 1 (3x0 12x0 9)x 2x0 6x0 1 2 3 2 (3x0 12x0 9)x y 2x0 6x0 1 0 (*) d(A,(D)) d(B,(D)) 2(3x2 12x 9) 7 2x3 6x2 1 2(3x2 12x 9) 7 2x3 6x2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 (3x0 12x0 9) 1 (3x0 12x0 9) 1 8
  9. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 2x3 12x2 24x 10 2x3 24x 26 (1) 0 0 0 0 0 3 2 3 2x0 12x0 24x0 10 2x0 24x0 26 (2) 12x2 48x 36 0 x 3  x 1 0 0 0 0 3 2 x 1  x 2 4x0 12x0 16 0 0 0 Lần lượt thay x0 3  x0 1 x0 1  x0 2 vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến (D) là y 1 0, y 3 0, y 24x 7, y 3x 7. Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : 1. y x3 3x2 2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn: OB 9OA . 2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x 2 tại điểm M, biết M cùng 2 điểm cực trị của C tạo thành tam giác có diện tích bằng 6. Lời giải: 1. Gọi M x0 ; y x0 là toạ độ tiếp điểm. Theo bài toán, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt A,B . Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox , do đó d có hệ số góc k tan OB Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan 9 OA Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là 9 , nghĩa là ta luôn có: 2 y' x0 9 3x 6x 9 0 0 0 x2 2x 3 0 x 1 hoặc x 3 vì 2 0 0 0 0 y' x0 9 3x0 6x0 9 0 2 x0 2x0 3 0,x0 ¡ . Với x0 1 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 7 Với x0 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y 9x 25 Vậy, có 2 tiếp tuyến y 9x 7 , y 9x 25 thỏa đề bài . 2. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A 1; 2 , B 3; 2 và đường thẳng đi qua 2 cực trị là AB : 2x y 4 0 . Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C của hàm số và tiếp tuyến d cần tìm. 3 2 Khi đó y0 x0 6x0 9x0 2 2x y 4 Ta có: AB 2 5 , d M; AB 0 0 5 9
  10. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 Giả thiết S 6 .AB.d M; AB 6 2x y 4 6 MAB 2 0 0 2x0 y0 10 hoặc 2x0 y0 2 2x y 2 y0 2 2x0 y 2 TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 0 0 0 3 2 x x2 6x 11 0 x 0 y0 x0 6x0 9x0 2 0 0 0 0 hay M 0; 2 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 2 . 2x0 y0 10 TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: 3 2 y0 x0 6x0 9x0 2 y0 10 2x0 y 2 0 hay M 4; 2 x 4 x2 6x 11 0 x 4 0 0 0 0 Tiếp tuyến tại M là: y 9x 34 . Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 9x 2 và y 9x 34 x 1 Ví dụ 6 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . x 3 1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của (C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối xứng của (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết: i) IA = 4IB. ii) IA + IB nhỏ nhất Lời giải: 1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 yM 5 . y 5 7 M (C) M x TH1: x 1 M 3 y 5 5 M M y 5 xM 3 M y 5 M (C) M x 4 TH2: x 1 M M yM 5 5 yM 5 xM 3 7 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M ; 5 là y 9x 16. 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 4; 5 là y 4x 21. 10
  11. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2. i) Ta có A· BI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục hoành suy ra hệ số góc IA của (d) là k tan A· BI 4 IB Phương trình tiếp tuyến d : y 4x 5 hoặc y 4x 21. ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 4 x 1 4 x2 2x 3 0 0 0 y 2 (x x0 ) 2 x 2 . (x0 3) x0 3 (x0 3) (x0 3) Tiệm cận đứng của (C) : D1 : x 3 Tiệm cận ngang của (C) : D2 : y 1. x2 2x 15 0 0 A là giao điểm của (d) và D1 yA 2 (x0 3) B là giao điểm của (C) với D2 xB 2x0 3 . x2 2x 15 8 0 0 IA IB yA yI xB xI 2 1 2x0 6 2x0 6 (x0 3) x0 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có 8 IA IB 2 2x0 6 8 . x0 3 8 2 x0 1 IA IB 8 2x0 6 (x0 3) 4 x0 3 x0 5 min IA IB 8 d: y x, y x 8 Ví dụ 7 3 2 1. Biết rằng trên đồ thị y x m 1 x 4m 2 x 1 , Cm tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 10y 2013 0 .Viết phương trình tiếp tuyến của Cm tại điểm đó 2x 3 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y tại những điểm thuộc đồ thị có x 1 khoảng cách đến đường thẳng d : 3x 4y 2 0 bằng 2. Lời giải: 1. Gọi tiếp điểm là M a;b , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k y' a 3a2 2 m 1 a 4m 2 , theo giả thiết suy ra k 10 11
  12. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình 3a2 2 m 1 a 4m 8 0 có nghiệm kép hay ' 0 tức m 5 , thay vào ta được a 2 M 2; 29 . Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y 10x 9 2x0 3 2. Gọi M x0 ; y0 là điểm thuộc đồ thị C , khi đó: y0 y x0 x0 1 3x 4y 2 0 0 Ta có: d M, d 2 2 3x0 4y0 12 0 hoặc 32 42 3x0 4y0 8 0 2x0 3 2 TH1: 3x0 4y0 12 0 3x0 4 12 0 3x0 x0 0 x0 0 x0 1 1 hoặc x 0 3 2x0 3 2 TH2: 3x0 4y0 8 0 3x0 4 8 0 3x0 19x0 20 0 x0 1 4 x 5 hoặc x 0 0 3 Phương trình tiếp tuyến d tại M thuộc đồ thị C có dạng: 1 y y' x0 x x0 y x0 trong đó và y' x0 2 , x0 1. x0 1 Phương trình tiếp tuyến d1 tại M1 0; 3 là y x 3. 1 11 9 47 Phương trình tiếp tuyến d2 tại M2 ; là y x . 3 4 16 16 7 1 23 Phương trình tiếp tuyến d3 tại M3 5; là y x . 4 16 16 4 Phương trình tiếp tuyến d4 tại M4 ; 1 là y 9x 13 . 3 Vậy, có 4 tiếp tuyến thỏa đề bài: 9 47 1 23 y x 3, y x , y x , y 9x 13 . 16 16 16 16 Ví dụ 8 12
  13. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x 3 1. Cho hàm số y C và đường thẳng d : y 2x m. Tìm m để đường thẳng d x 2 m m cắt C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tâm đối xứng I của C cách đều hai tiếp tuyến với C tại các điểm A, B. 2. Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị là C . Tìm trên đồ thị hai điểm A, B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua 10 hai điểm A, B bằng . 5 Lời giải: 1. D ¡ \ 2. Hoành độ giao điểm của đường thẳng dm và C là nghiệm của phương trình x 3 2x m 2x2 m 5 x 2m 3 0 x 2 x 2 Để dm cắt C tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có: 2 2 0 m 5 4.2. 2m 3 0 m 3 40 0 m ¡ g 2 0 2 2.2 2 m 5 2m 3 0 15 0 Các tiếp tuyến: 5 5 5 5 : y x x 1 , : y x x 1 1 2 1 x 2 1 2 2 x 2 x1 2 1 x2 2 2 2 2 x 2 x 2 25 d I; d I; 1 2 m 3. 1 2 2 2 x1 2 x2 2 Vậy, m 3 là giá trị cần tìm. 3 2 3 2 2. Gọi A x1 ; y1 x1 3x1 1 , B x2 ; y2 x2 3x2 1 là 2 điểm cần tìm với x1 x2 Ta có y' 3x2 6x Hệ số góc của các tiếp tuyến của C tại A và B lần lượt là 2 2 k1 3x1 6x1 ,k2 3x2 6x2 Tiếp tuyến của C tại A và B song song với nhau nên 2 2 k1 k2 3x1 6x1 3x2 6x2 13
  14. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3(x1 x2 ) x1 x2 6(x1 x2 ) 0 x1 x2 2 0 x2 2 x1 y y x3 x3 3(x2 x2 ) Hệ số góc của đường thẳng AB là k 2 1 1 2 1 2 x2 x1 x2 x1 2 k x1 x2 x1x2 3 x1 x2 4 x1(2 x1 ) 6 2x1 2 3 2 Phương trình đường thẳng AB là y ( 2x1 2)(x x1 ) x1 3x1 1 ( 2x1 2)x y 2x1 1 0 2 2 x1 2x1 1 x1 2x1 1 10 2 d O,AB 2 2 2 2 5 5 x1 2x1 2 1 x1 2x1 1 1 1 2 2 2 5 x1 2x1 1 2 x1 2x1 1 1 1 .Bình phương 2 vế và rút gọn được: 2 2 2 3 x1 2x1 1 4 x1 2x1 1 4 0 2 x2 2x 1 2 1 hoặc x2 2x 1 2 1 1 1 1 3 Giải 1 ta được x1 1 x2 1 3 2 6 3 2 6 Giải 2 ta được x hoặc x 1 3 1 3 3 2 6 9 2 6 3 2 6 9 2 6 Vậy, các điểm cần tìm là A ; ,B ; hoặc ngược lại. 3 9 3 9 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 1 A. y 3x 6 B. y 3x 7 C. y 3x 4 D. y 3x 5 Lời giải: Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . Ta có: x0 1 y0 1, y'(1) 3 Phương trình tiếp tuyến là: y y'(x0 )(x x0 ) y0 3(x 1) 1 3x 4 14
  15. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 9 y 18x 81 y x 81 y 18x 1 y x 81 A. y 9x B. y 9x C. y 9x D. y 9x y 9x 27 y 9x 2 y 9x 7 y 9x 2 Lời giải: Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . 3 2 Ta có: y0 9 x0 3x0 6x0 8 0 x0 1,x0 2,x0 4 . x0 4 y'(x0 ) 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 4) 9 18x 81 x0 1 y'(x0 ) 9 . Phương trình tiếp tuyến là: y 9(x 1) 9 9x x0 2 y'(x0 ) 18 . Phương trình tiếp tuyến là: y 18(x 2) 9 18x 27 . 1 Câu 3. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 1 18 A. : y 18x 8 và y 18x 27 .B. : y 18x 8 và y 18x 2 . C. : y 18x 81 và y 18x 2 .D. : y 18x 81 và y 18x 27 . Lời giải: Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 1 nên 18 2 Ta có: y'(x0 ) 15 x0 2x0 8 0 x0 4,x0 2 Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 18x 81 và y 18x 27 . Câu 4. Tiếp tuyến đi qua điểm N(0;1) . 33 33 33 33 A. y x 11 B. y x 12 C. y x 1 D. y x 2 4 4 4 4 Lời giải: Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: y' 3x2 6x 6 . 2 3 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y (3x0 6x0 6)(x x0 ) x0 3x0 6x0 1 15
  16. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vì tiếp tuyến đi qua N(0;1) nên ta có: 2 3 2 1 (3x0 6x0 6)( x0 ) x0 3x0 6x0 1 3 2x3 3x2 0 x 0,x 0 0 0 0 2 x0 0 y'(x0 ) 6 . Phương trình tiếp tuyến: y 6x 1. 3 107 33 x y , y'(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 2 0 8 0 4 33 3 107 33 y' x x 1. 4 2 8 4 Bài 2. Cho hàm số y x3 3x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Hoành độ tiếp điểm bằng 0 A. y 3x 12 B. y 3x 11 C. y 3x 1 D. y 3x 2 Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Ta có: x0 0 y0 1, y'(x0 ) 3 Phương trình tiếp tuyến: y 3x 1. Câu 2. Tung độ tiếp điểm bằng 3 A. y 9x 1 hay y 3 B. y 9x 4 hay y 3 C. y 9x 3 hay y 3 D. y 9x 13 hay y 2 Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 3 Ta có: y0 3 x0 3x0 2 0 x0 2,x0 1 x0 1 y'(x0 ) 0 . Phương trình tiếp tuyến: y 3 x0 2 y'(x0 ) 9 . Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13 . Câu 3. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9 A. y 9x 1 hay y 9x 17 B. y 9x 1 hay y 9x 1 C. y 9x 13 hay y 9x 1 D. y 9x 13 hay y 9x 17 16
  17. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 2 Ta có: y'(x0 ) 9 3x0 3 9 x0 2 x0 2 y0 3. Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 3 9x 13 . x0 2 y0 1. Phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 1 9x 17 . Câu 4. Tiếp tuyến vuông góc với trục Oy. A. y 2, y 1 B. y 3, y 1 C. y 3, y 2 D. x 3,x 1 Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 3 . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Vì tiếp tuyến vuông góc với Oy nên ta có: y'(x0 ) 0 Hay x0 1. Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 3, y 1. Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 2x4 4x2 1 biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 y 1 y 1 y 1 y 1 A. y 8 2x 5 B. y 8 2x 15 C. y 8 2x 1 D. y 8 2x 10 y 8 2x 5 y 8 2x 15 y 8 2x 1 y 8 2x 10 Lời giải: . Ta có: y' 8x3 8x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. 4 2 Ta có: y0 1 2x0 4x0 0 x0 0,x0 2 x0 0 y'(x0 ) 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y 1 x0 2 y'(x0 ) 8 2 . Phương trình tiếp tuyến y 8 2 x 2 1 8 2x 15 x0 2 y'(x0 ) 8 2 . Phương trình tiếp tuyến y 8 2 x 2 1 8 2x 15 . 17
  18. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 48x 1 . A. y 48x 9 B. y 48x 7 C. y 48x 10 D. y 48x 79 Lời giải: . Ta có: y' 8x3 8x Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 48x 1 3 Nên ta có: y'(x0 ) 48 x0 x0 6 0 x0 2 Suy ra y0 17 . Phương trình tiếp tuyến là: y 48(x 2) 17 48x 79 . Bài 4. Cho hàm số y x4 x2 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết: Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 1 A. y 2 B. y 1 C. y 3 D. y 4 Lời giải: 3 Ta có: y' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm 4 2 Ta có y0 1 x0 x0 0 x0 0 , y'(x0 ) 0 Phương trình tiếp tuyến: y 1 Câu 2. Tiếp tuyến song song với đường thng y 6x 1 A. y 6x 2 B. y 6x 7 C. y 6x 8 D. y 6x 3 Lời giải: 3 Ta có: y' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y 6x 1 nên ta có: 3 y'(x0 ) 6 4x0 2x0 6 x0 1 y0 3 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3 . Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm M 1; 3 . A. y 6x 2 B. y 6x 9 C. y 6x 3 D. y 6x 8 Lời giải: 18
  19. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 Ta có: y' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến có dạng: 3 4 2 y 4x0 2x0 x x0 x0 x0 1 Vì tiếp tuyến đi qua M 1; 3 nên ta có: 3 4 2 4 3 2 3 4x0 2x0 1 x0 x0 x0 1 3x0 4x0 x0 2x0 2 0 2 2 (x0 1) (3x0 2x0 2) 0 x0 1 y0 3, y'(x0 ) 6 Phương trình tiếp tuyến: y 6x 3 . 2x 2 Bài 5. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết: x 1 Câu 1. Tung độ tiếp điểm bằng 2 . y x 7 y x 7 y x 27 y x 27 A. B. C. D. y x 1 y x 21 y x 21 y x 1 4 2x 2 0 : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Lời giải: 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y' (x 1)2 Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 nên ta có 4 2 1 x0 3,x0 1 (x0 1) x0 2 y0 4 : y x 7 x0 1 y0 0 : y x 1 Câu 2. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1 . y 4x 2 y 4x 21 y 4x 2 y 4x 12 A. B. C. D. y 4x 14 y 4x 14 y 4x 1 y 4x 14 Lời giải: 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y' (x 1)2 19
  20. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y 4x 1 nên ta có: 4 y'(x0 ) 4 2 4 x0 0,x0 2 . (x0 1) x0 0 y0 2 : y 4x 2 x0 2 y0 6 : y 4x 14 . Câu 3. Tiếp tuyến đi qua điểm A(4; 3) 1 1 1 31 1 1 1 31 y x y x y x y x A. 9 9 B. 9 9 C. 9 9 D. 9 9 1 1 1 31 1 31 1 1 y x y x y x y x 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải: 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y' (x 1)2 Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): 4 2x 2 0 Vì tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có: 3 2 4 x0 (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) 4(x0 4) 2(x0 1) x0 10x0 21 0 x0 3,x0 7 8 1 x 7 y , y'(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 0 3 0 9 1 8 1 31 y x 7 x . 9 3 9 9 1 x 3 y 1, y'(x ) . Phương trình tiếp tuyến 0 0 0 4 1 1 1 y x 3 1 x . 4 4 4 Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân. y x 11 y x 11 y x 1 y x 1 A. B. C. D. y x 7 y x 17 y x 17 y x 7 Lời giải: 4 Hàm số xác định với mọi x 1. Ta có: y' (x 1)2 20
  21. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Gọi M(x0 ; y0 ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C): Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến phải vuông góc với một trong hai đường phân giác y x , do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 hay y'(x0 ) 1. Mà y' 0, x 1 nên ta có 4 y'(x0 ) 1 2 1 x0 1,x0 3 (x0 1) x0 1 y0 0 : y x 1 x0 3 y0 4 : y x 7 . 2x 1 Bài 6. Cho hàm số y (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết: x 1 1 Câu 1. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y x 2 3 A. y 3x 11 hay y 3x 11 B. y 3x 11 hay y 3x 1 C. y 3x 1 hay y 3x 1 D. y 3x 1 hay y 3x 11 Lời giải: 3 Ta có y' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (x 1)2 0 0 1 y x 2 nên ta có 3 3 y'(x0 ) 3 2 3 x0 0,x0 2 (x0 1) x0 0 y0 1, phương trình tiếp tuyến là: y 3x 1 x0 2 y0 5, phương trình tiếp tuyến là: y 3(x 2) 5 3x 11 . 1 Câu 2. Tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 6 4 1 A. y 3x 1, y 3x 1, y 12x 2, y x 3 3 4 2 B. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3 21
  22. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 4 3 C. y 3x 11, y 3x 11, y 12x, y x 3 4 4 2 D. y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x 3 3 Lời giải: 3 Ta có y' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: (x 1)2 0 0 3 2x 1 0 y 2 x x0 . (x0 1) x0 1 y 0 Ox A : 3 2x 1 (x x ) 0 0 2 0 (x0 1) x0 1 2 2x0 2x0 1 Suy ra A ;0 . 3 x 0 Oy B : 3x 2x 1 y 0 0 2 (x0 1) x0 1 2x2 2x 1 Suy ra: B 0; 0 0 2 (x0 1) 2 1 1 2x2 2x 1 Diện tích tam giác OAB: S OA.OB 0 0 2 6 x0 1 2 1 2x2 2x 1 Suy ra S 0 0 1 OAB 6 x0 1 1 2 2 x 0,x 2x 2x 1 x 1 2x x 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2x2 2x 1 x 1 2x2 3x 2 0 1 0 0 0 0 0 x ,x 2 0 2 0 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: 4 2 y 3x 1, y 3x 11, y 12x 2, y x . 3 3 Câu 3. Tiếp tuyến đi qua A 7; 5 . 3 1 3 29 3 1 3 2 A. y x , y x B. y x , y x 4 4 16 16 4 2 16 16 22
  23. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 1 3 9 3 1 3 29 C. y x , y x D. y x , y x 4 4 16 16 4 4 16 16 Lời giải: 3 Ta có y' . Gọi M x ; y là tiếp điểm. Do tiếp tuyến đi qua A 7; 5 nên ta có: (x 1)2 0 0 3 2x 1 2 x 1 5 7 x 0 x 4x 5 0 0 2 0 0 0 (x0 1) x0 1 x0 5 3 1 3 29 Từ đó ta tìm được các tiếp tuyến là: y x , y x . 4 4 16 16 4 2 Bài 7. Cho hàm số y x 8x m 1 (Cm ) . Giả sử rằng tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 luôn cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt. Tìm tọa độ các giao điểm. A. A(1; m 6), B 1 3; m 18 3 B. A(1; m 6), B 1 7; m 18  7 C. A(1; m 6), B 1 2; m 18 2 D. A(1; m 6), B 1 6; m 18  6 Lời giải: Ta có: y' 4x3 16x Vì x0 1 y0 m 6, y'(x0 ) 12 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 1 là: y 12(x 1) m 6 12x m 6 . Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với d x4 8x2 m 1 12x m 6 x4 8x2 12x 5 0 (x 1)2 (x2 2x 5) 0 x 1,x 1 6 Vậy d và (Cm) luôn cắt nhau tại ba điểm phân biệt A(1; m 6), B 1 6; m 18  6 2x m 1 Bài 8. Cho hàm số y (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) x 1 Câu 1. Tại điểm có hoành độ x0 0 đi qua A(4; 3) 16 6 1 16 A. m B. m C. m D. m 5 5 5 15 Lời giải: m 3 Ta có: y' (x 1)2 23
  24. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vì x0 0 y0 m 1, y'(x0 ) m 3 . Phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 0 là: y ( m 3)x m 1 16 Tiếp tuyến đi qua A khi và chỉ khi: 3 ( m 3)4 m 1 m . 5 Câu 2. Tại điểm có hoành độ x0 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 25 . 2 23 23 23 m 2; m m 2; m m 2; m A. 9 B. 9 C. 9 D. 28 28 28 m 7; m m 7; m m 7; m 9 9 9 23 m 2; m 9 28 m 7; m 9 Lời giải: m 3 Ta có: y' (x 1)2 Ta có x0 2 y0 m 5, y'(x0 ) m 3. Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x0 2 là: y ( m 3)(x 2) m 5 ( m 3)x 3m 11. 3m 11 Ox A A ;0 , với m 3 0 m 3 Oy B B 0; 3m 11 1 1 (3m 11)2 Suy ra diện tích tam giác OAB là: S OA.OB 2 2 m 3 1 (3m 11)2 25 Theo giả thiết bài toán ta suy ra: 2 m 3 2 9m2 66m 121 25m 75 (3m 11)2 25 m 3 2 9m 66m 121 25m 75 24
  25. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 23 2 m 2; m 9m 41m 46 0 9 . 9m2 91m 196 0 28 m 7; m 9 f (x) Bài 9. Giả sử tiếp tuyến của ba đồ thị y f (x), y g(x), y tại điểm của hoành độ g(x) x 0 bằng nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. 1 1 1 1 A. f (0) B. f (0) C. f (0) D. f (0) 4 4 4 4 Lời giải: f '(0).g(0) g'(0) f (0) Theo giả thiết ta có: f '(0) g'(0) g2 (0) f '(0) g'(0) 2 1 1 1 g(0) f (0) f (0) g(0) g2 (0) g(0) 1 2 4 2 4 g (0) Bài 10: Câu 1. Tìm trên (C) : y 2x3 3x2 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M( 1; 4) B. M( 2; 27) C. M(1;0) D. M(2; 5) Lời giải: 3 2 2 Giả sử M(x0 ; y0 ) (C) y0 2x0 3x0 1. Ta có: y 3x 6x . 2 3 2 Phương trình tiếp tuyến tại M: y (6x0 6x0 )(x x0 ) 2x0 3x0 1 . 3 2 đi qua P(0;8) 8 4x0 3x0 1 x0 1. Vậy M( 1; 4) . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 6x2 11x 1 tại điểm có tung độ bằng 5. A. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 1 B. y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 2 C. y 2x 1 ; y x 2 ; y 2x 2 D. y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 1 Lời giải: Ta có: y 5 x3 6x2 11x 6 0 x 1; x 2; x 3 25
  26. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình các tiếp tuyến: y 2x 3 ; y x 7 ; y 2x 1 1 1 4 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 x2 2x , biết tiếp 3 2 3 tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 . 7 2 73 A. y 4x ; y 4x B. y 4x ; 6 3 6 26 y 4x 3 73 2 7 C. y 4x ; y 4x D. y 4x ; 6 3 6 26 y 4x 3 Lời giải: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0 1 1 y x Tiếp tuyến có hệ số góc k 4 4 4 y' 4 x2 x 6 0 x 3; x 2 1 73 * x 3 Phương trình tiếp tuyến y 4(x 3) 4x 6 6 2 26 * x 2 Phương trình tiếp tuyến y 4(x 2) 4x 3 3 2x 1 Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị C : y biết d cách đều 2 điểm x 1 A 2; 4 và B 4; 2 . 1 1 1 5 A. y x , y x 3 , y x 1 B. y x , y x 5 , y x 4 4 4 4 2 1 5 1 5 C. y x , y x 4 , y x 1 D. y x , y x 5 , y x 1 4 4 4 4 Lời giải: Gọi M x0 ; y x0 , x0 1 là tọa độ tiếp điểm của d và C 1 Khi đó d có hệ số góc y' x0 2 và có phương trình là : x0 1 26
  27. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 1 y x x 2 2 0 x 1 x0 1 0 Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm I 1;1 của AB hoặc cùng phương với AB . TH1: d đi qua trung điểm I 1;1 , thì ta luôn có: 1 1 1 1 x 2 , phương trình này có nghiệm x 1 2 0 x 1 0 x0 1 0 1 5 Với x 1 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x . 0 4 4 TH2: d cùng phương với AB , tức là d và AB có cùng hệ số góc, khi đó y y 1 y' x k B A 1 hay 1 x 2 hoặc x 0 0 AB x x 2 0 0 B A x0 1 Với x0 2 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 5 . Với x0 0 ta có phương trình tiếp tuyến d : y x 1. 1 5 Vậy, có 3 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x , y x 5 , y x 1 4 4 Câu 5. Tìm m ¡ để từ điểm M 1; 2 kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2 Cm : y x 2x m 1 x 2m . 10 100 10 100 A. m ,m 3 B. m ,m 3 C. m ,m 3 D. m ,m 3 81 81 81 81 Lời giải: Gọi N x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến d của A tại N là: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 x x0 x0 2x0 m 1 x0 2m 3 2 M d 2x0 5x0 4x0 3 3m Dễ thấy là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y 3 3m và 3 2 f x0 2x0 5x0 4x0 . 3 2 2 Xét hàm số f x0 2x0 5x0 4x0 có f ' x0 6x0 10x0 4 1 f ' x 0 x 2 hoặc x . 0 0 0 3 27
  28. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 100 Lập bảng biến thiên, suy ra m ,m 3 81 3m 1 x m2 m Câu 6. Cho hàm số y có đồ thị là C , m ¡ và m 0 .Với giá trị nào x m m của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x y 10 0 . 1 1 1 1 A. m 1; m B. m 1; m C. m 1; m D. m 1; m 5 5 5 5 Lời giải: Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là nghiệm phương trình: 2 3m 1 x m m x m,m 0 0,m 0 2 x m 3m 1 x m m 0 1 1 x m,m 0,m m 0,m 2 3 3 4m . Mà y' m2 m m2 m 2 x x m x m 3m 1 3m 1 m2 m 4m2 y' 2 . Tiếp tuyến song song với đường thẳng x y 10 0 nên 3m 1 m2 m m 3m 1 m2 m 1 y' 1 m 1 hoặc m 3m 1 5 m 1 giao điểm là A 1;0 , tiếp tuyến là y x 1. 1 3 3 m giao điểm là B ;0 , tiếp tuyến là y x . 5 5 5 Câu 7. Tìm m ¡ để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của Cm : y x3 2x2 m 1 x 2m vuông góc với đường thẳng y x 10 1 10 A. m B. m C. m D. m 1 3 3 13 Lời giải: 28
  29. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 2 2 7 7 7 7 2 y' 3x 4x m 1 3 x m m y' m y' m khi x .Theo 3 3 3 3 3 3 7 10 bài toán ta có: y' 1 1 m 1 1 m . 3 3 1 Câu 8. Tìm m để đồ thị : y mx3 m 1 x2 3m 4 x 1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó 3 vuông góc với đường thẳng x y 2013 0 . 1 1 1 A. m 1 B. m C. m 1 D. m 1 2 2 2 Lời giải: Để tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đthẳng x y 2012 0 khi và chỉ khi y'.1 1 hay 1 mx2 m 1 x 3m 3 0 có nghiệm  ¡ . Đáp số: m 1. 2 Câu 9. Cho hàm số y x3 3x 1 có đồ thị là C . Giả sử d là tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ x 2 , đồng thời d cắt đồ thị C tại N, tìm tọa độ N . A. N 1; 1 B. N 2; 3 C. N 4; 51 D. N 3;19 Lời giải: Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị C có hoành độ x0 2 y0 3 2 Ta có y'(x) 3x 3 y'(x0 ) y'(2) 9 Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị C là y y'(x0 )(x x0 ) y0 y 9(x 2) 3 y 9x 15 Xét phương trình x3 3x 1 9x 15 x3 12x 16 0 x 2 x2 2x 8 0 x 4 hoặc x 2 ( không thỏa ) Vậy N 4; 51 là điểm cần tìm Bài 11: Câu 1. Cho hàm số y x3 2x2 8x 5 có đồ thị là C . Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau 29
  30. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN C. Hàm số đi qua điểm M 1;17 D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: Ta có y'(x) 3x2 4x 8 Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị C vuông góc với nhau. Gọi x1 ,x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. Gọi k1 ,k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên C có hoành độ x1 ,x2 . ' ' 2 2 Khi đó k1 ,k2 1 y x1 .y x2 1 3x1 4x1 8 3x2 4x2 8 1 1 Tam thức f t 3t2 4t 8 có ' 0 nên f t 0t R từ đó và từ 1 suy ra mâu thuẫn. Vậy, giả thiết phản chứng là sai, suy ra (đpcm) Câu 2. Cho hàm số y x4 2x2 3 . Tìm phương trình tiếp tuyến của hàm số có khoảng 5 cách đến điểm M 0; 3 bằng . 65 A. y 2x 1 B. y 3x 2 C. y 7x 6 D.Đáp án khác Lời giải: Gọi A C A a; a4 2a2 3 Ta có: y' 4x3 4x y' a 4a3 4a Phương trình tiếp tuyến t : 4a3 4a x y 3a4 2a2 3 0 5 3a4 2a2 5 d M; t hay hay 2 65 4a3 4a 1 65 5 a 1 a 1 117a6 193a4 85a2 5 0 Giải tìm a, sau đó thế vào phương trình (t) suy ra các phương trình tiếp tuyến cần tìm. Câu 3. Tìm m để đồ thị y x3 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y 7 0 1 góc sao cho cos . 26 A. m 2 B. m 3 C. m 1, m 4 D. Đáp án khác Lời giải: 30
  31. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến n k; 1 , d có vec  1 tơ pháp tuyến n2 1;1   n1 n2 1 k 1 3 2 Ta có cos   k hoặc k 2 2 3 n1 n2 26 2 k 1 Yêu cầu bài toán ít nhất một trong hai phương trình y' k1 hoặc y' k2 có nghiệm x 2 3 3x 2 1 2m x 2 m có nghiêm tức 2 . Tìm điều kiện có nghiệm suy ra m. Bạn tự 2 3x2 2 1 2m x 2 m có nghiêm 3 giải tiếp, hí hí. Câu 4. Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y x4 2mx2 2m 1 tại A 1;0 và 15 B 1;0 hợp với nhau một góc  sao cho cos . 17 5 7 15 17 A. m 0, m 2, m , m .B. m 0, m 2, m , m . 16 6 16 16 15 7 5 7 C. m 0, m 2, m , m .D. m 0, m 2, m , m . 16 16 6 6 Lời giải: Dễ thấy, A, B là 2 điểm thuộc đồ thị với m ¡ . Tiếp tuyến d1 tại A : 4m 4 x y 4m 4 0 Tiếp tuyến d2 tại B : 4m 4 x y 4m 4 0 15 17 Đáp số: m 0, m 2, m , m . 16 16 2x 2 Bài 12. Cho hàm số: y có đồ thị C . x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) . Câu a. Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 . A. y x 2, y x 7 .B. y x 5, y x 6 . C. y x 1, y x 4 .D. y x 1, y x 7 . 31
  32. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lời giải: 4  Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y' 2 x 1 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 4 Nên có: 2 1 x0 3, x0 1 x 1 Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 2 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . Câu b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1 . A. y 4x 3, y 4x 4 . B. y 4x 2, y 4x 44 . C. y 4x 2, y 4x 1.D. y 4x 2, y 4x 14 . Lời giải: 4  Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y' 2 x 1 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y 4x 1 . 4 Nên có: y' x0 4 2 4 x0 0 hoặc x0 2 x0 1 Với x0 0 y0 2 : y 4x 2 Với x0 2 y0 6 : y 4x 14 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y 4x 2, y 4x 14 . Câu c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân. 32
  33. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. y x 1, y x 6 .B. y x 2 y x 7 . C. y x 1, y x 5.D. y x 1, y x 7 . Lời giải: 4  . Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y' 2 x 1 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1 . Mặt khác: y' x0 0 , nên có: y' x0 1 4 Tức 2 1 x0 1 hoặc x0 3 . x0 1 Với x0 1 y0 0 : y x 1 Với x0 3 y0 4 : y x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài: y x 1, y x 7 . Câu d. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến trục Oy bằng 2 . 4 1 4 2 A. y x , y 4x 14 .B. y x , y 4x 1 . 9 9 9 9 4 1 4 2 C. y x , y 4x 1 . D. y x , y 4x 14 . 9 9 9 9 Lời giải: 4  Hàm số đã cho xác định với x 1. Ta có: y' 2 x 1 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của C : 4 2x 2 4 2x 2 y x x 0 với y' x và y 0 2 0 x 1 0 2 0 x 1 x0 1 0 x0 1 0 2 Khoảng cách từ M x0 ; y0 đến trục Oy bằng 2 suy ra x0 2 , hay M 2; , M 2;6 . 3 33
  34. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 4 2 Phương trình tiếp tuyến tại M 2; là: y x 3 9 9 Phương trình tiếp tuyến tại M 2;6 là: y 4x 14 4 2 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y 4x 14 . 9 9 2x Bài 13. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y , biết: x 1 Câu a. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2 A. y 2x 1, y 2x B. y 2x 2, y 2x 4 C. y 2x 9, y 2x D. y 2x 8, y 2x Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 2 Theo giải thiết, ta có: y' x0 2 2 2 x0 1 2 x0 1 1 x0 2 y0 4 x0 1 1 x0 1 1 x0 0 y0 0 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y 2x 8, y 2x Câu b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x 2y 0 1 7 1 7 1 27 1 7 A. y x , y x B. y x , y x 2 4 2 4 2 4 2 4 1 2 1 7 1 27 1 7 C. y x , y x D. y x , y x 2 4 2 4 2 4 2 4 Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 34
  35. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 1 2 1 Theo giải thiết, ta có: x 1 2 2 0 4 x0 1 1 27 1 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y x 2 4 2 4 Câu c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 9x 2y 1 0 2 2 2 8 2 32 2 8 A. y x , y x B. y x , y x 9 9 9 9 9 9 9 9 2 1 2 8 2 32 2 4 C. y x , y x D. y x , y x 9 9 9 9 9 9 9 9 Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 2 2 2 1 Theo giải thiết, ta có: x 1 2 9 0 9 x0 1 2 32 2 8 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y x , y x 9 9 9 9 Câu d. Tạo với đường thẳng d' : 4x 3y 2012 0 góc 450 1 2 A. y 2x 3 B. y x 3 C. y x 3 D. Đáp án khác 4 3 Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 Tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y k x x0 y x0 với k y' x0 0 , có  vectơ pháp tuyến là n k; 1 , d' có vectơ pháp tuyến là m 4; 3 35
  36. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN  n.m 4k 3 1 1 cos 450  k thỏa đề bài. n m k2 1.5 2 7 2 Câu e. Tạo với chiều dương của trục hoành một góc sao cho cos 5 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4 Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục hoành ,khi đó tồn tại 0; để tan 0 2 1 1 1 và tan . Ta có: tan2 1 tan , nên có: 2 cos2 4 2 x0 1 2 1 2 x 1 4 2 2 0 x0 1 Câu f. Tại điểm M thuộc đồ thị và vuông góc với IM ( I là giao điểm 2 tiệm cận ) 1 3 1 3 1 13 A. y x B. y x C. y x D. Đáp án khác 5 4 5 4 5 4 Lời giải: 2 x 1 2x 2 Ta có: y' 2 2 . Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm, hệ số góc x 1 x 1 2 tiếp tuyến tại x0 ; y0 bằng y' x0 2 x0 1 2 2 kIM 2 , theo bài toán nên có: kIM .y' x0 1 x0 1 4 x0 1 x4 x2 Bài 14: Cho hàm số y 2 có đồ thị (C). 4 2 36
  37. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : y 2x 2 . 3 1 3 A. y 2x B. y 2x C. y 2x D. y 2x 1 4 4 4 Lời giải: y'(x0 ) 2 (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (t) với (C)). 3 3 x0 x0 2 x0 x0 2 0 x0 1. 11 3 Phương trình (t): y y'(1)(x 1) y(1) 2(x 1) 2x 4 4 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết khoảng cách từ điểm A(0;3) đến (d) 9 bằng . 4 5 1 3 A. y 2x , y 2x B. 4 4 3 3 y 2x , y 2x 4 14 3 3 C. y 2x , y 2x D. 4 4 3 3 y 2x , y 2x 14 4 Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : y y'(x0 )(x x0 y(x0 ) (trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C)). x4 x2 3 1 Phương trình (d): y (x3 x )(x x ) 0 0 2 (x3 x )x x4 x2 2 0 0 0 4 2 0 0 4 0 2 0 3 1 (x3 x )x y x4 x2 2 0. 0 0 4 0 2 0 3 1 x4 x2 1 9 4 0 2 0 9 d(A;(d)) 3 2 4 5 (x0 x0 ) 1 4 5 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 3x0 2x0 4 5 9 x0 (x0 1) 1 5(3x0 2x0 4) 81[x0 (x0 1) 1] 2 2 2 2 Đặt t x0 , t 0 . Phương trình (1) trở thành: 5(3t 2t 4) 81[t(t 1) 1] 5(9t4 4t2 16 12t3 24t2 16t) 81t3 162t2 81t 81 37
  38. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 45t4 21t3 22t2 t 1 0 (t 1)(45t3 24t2 2t 1) 0 t 1 (do t 0 nên 45t3 24t2 2t 1 0) 2 Với t 1 ,ta có x0 1 x0 1 . 3 3 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d): y 2x , y 2x 4 4 Bài 15: ax b Câu 1. Cho hàm số y , có đồ thị là C . Tìm a,b biết tiếp tuyến của đồ thị C tại x 2 1 giao điểm của C và trục Ox có phương trình là y x 2 2 A. a 1, b 1 B. a 1, b 2 C. a 1, b 3 D. a 1, b 4 Lời giải: 1 1 Giao điểm của tiếp tuyến d : y x 2 với trục Ox là A 4;0 ,hệ số góc của d : k 2 2 4a b và A 4;0 , (C) 0 4a b 0 . 2 2a b 2a b Ta có: y' y 4 (x 2)2 4 1 1 2a b 1 Theo bài toán thì: k y'(4) 2a b 2 2 2 4 2 4a b 0 Giải hệ ta được a 1, b 4 2a b 2 Câu 2. Cho hàm số y ax4 bx2 c (a 0) , có đồ thị là C . Tìm a,b,c biết C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0; 3 và tiếp tuyến d của C tại giao điểm của C với trục Ox có phương trình là y 8 3x 24 . A. a 1, b 2, c 3 B. a 1, b 21, c 3 C. a 1, b 21, c 13 D. a 12, b 22, c 3 Lời giải: a 0 ,b 0 C có ba điểm cực trị , điểm cực tiểu của C có tọa độ là 0; 3 c 3 Giao điểm của tiếp tuyến d và trục Ox là B 3;0 và hệ số góc của d là 8 3 38
  39. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 9a 3b c 0 B (C) 9a 3b c 0 3 . y' 3 8 3 4a 3 2b 3 8 3 6a b 4 c 3 Giải hệ 9a 3b c 0 ta được a 1, b 2, c 3 y x4 2x2 3 6a b 4 Bài 16: Cho hàm số y 2x4 4x2 1 có đồ thị là (C). Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 . A. : y 48x 81 B. : y 48x 81 C. : y 48x 1 D. : y 48x 8 Lời giải: Ta có y' 8x3 8x Gọi M(x0 ; y0 ). Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1 .Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0 1 Nên ta có: y'(x ). 1 y'(x ) 48 0 48 0 3 x0 x0 6 0 x0 2 y0 15. Phương trình : y 48(x 2) 15 48x 81 . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(1; 3) . 64 1 64 1 A. : y 3 hay : y x B. : y 3 hay : y x 27 81 27 8 64 51 64 51 C. : y 3 hay : y x D. : y 3 hay : y x 27 2 27 81 Lời giải: Ta có y' 8x3 8x Gọi M(x0 ; y0 ). Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1 .Vì tiếp tuyến đi qua A(1; 3) nên ta có 3 4 2 3 (8x0 8x0 )(1 x0 ) 2x0 4x0 1 4 3 2 2 3x0 4x0 2x0 4x0 1 0 (x0 1) (x0 1)(3x0 1) 0 39
  40. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x0 1 : y 3 1 64 51 x : y x . 0 3 27 81 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt. A. : y 3 B. : y 4 C. : y 3 D. : y 4 Lời giải: Ta có y' 8x3 8x Gọi M(x0 ; y0 ). Tiếp tuyến tại M có phương trình: 3 4 2 y (8x0 8x0 )(x x0 ) 2x0 4x0 1 .Giả sử tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai N(n; 2n4 4n2 1) Suy ra: : y (8n3 8n)(x n) 2n4 4n2 1 8x3 8x 8n3 8n x2 nx n2 1 0 Nên ta có: 0 0 0 0 4 2 4 2 2 2 6x0 4x0 1 6n 4n 1 (x0 n)(3x0 3n 2) 0 x2 x n n2 1 0 x2 x n n2 1 0 0 0 (I) hoặc 0 0 (II) 2 2 x0 n 0 3x0 3n 2 0 2 x2 n2 0 x0 n 3 Ta có (I) ; (II) vô nghiệm. Vậy : y 3 . n 1 1 x n 0 3 x3 Bài 17: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x2 2x 1. 3 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. A. y 2x 1 B. y 22x 1 C. y 2x 3 D. y 2x 4 x Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y 2 . 5 2 8 A. y = 5x + hoặc y = 5x – 8B. y = 5x + hoặc y = 5x – 9 3 3 8 8 C. y = 5x + hoặc y = 5x – 5D. y = 5x + hoặc y = 5x – 8 3 3 40
  41. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Lời giải: x Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng y 2 ,suy ra phương 5 trình (d) có dạng : y = 5x + m. x3 x2 2x 1 5x m (1) (d) tiếp xúc với (C) 3 có nghiệm. 2 x 2x 2 5 (2) Giải hệ trên, (2) x = -1  x = 3. 8 Thay x = - 1 vào (1) ta được m = . 3 Thay x = 3 vào (1) ta được m = - 8 . 8 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + hoặc y = 5x – 8 . 3 x Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y 2 suy ra hệ số góc của (d) : k = 5 5. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C) ,ta có : 2 k f '(x0 ) 5 x0 2x0 2 x0 1,x0 3 . 8 y 5(x 1) f (1) 5x Suy ra phương trình (d): . 3 y 5(x 3) f (3) 5x 8 Câu 3.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ). 1 4 4 4 A. y = x + . B. y = x + . C. y = x + .D. y = x - . 3 3 13 3 Lời giải: Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O , khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 450 ,suy ra hệ số góc của (D) là kD 1 Trường hợp kD 1 ,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a 0) x3 x2 2x 1 x a (3) (D) tiếp xúc (C) 3 có nghiệm. 2 x 2x 2 1 (4) (4) x2 2x 1 0 x 1. 41
  42. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 4 Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = . 3 4 Vậy trong trường hợp này ,phương trình (D): y = x 3 Trường hợp kD 1, khi đó phương trình (D): y = - x + a . x3 x2 2x 1 x a (5) (D) tiếp xúc với (C) 3 có nghiệm 2 x 2x 2 1 (6) (6) x2 2x 3 0 .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy ra (D) : y = - x + a không tiếp xúc với (C). 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x + . 3 3 2 Bài 18: Cho hàm số y x 2x (m 1)x 2m có đồ thị là (Cm ) . Câu 1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 song song với đường thẳng y 3x 10 . A. m 2 B. m 4 C. m 0 D.Không tồn tại m Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 4x m 1. Tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm có hoành độ x 1 có phương trình y (m 2)(x 1) 3m 2 (m 2)x 2m m 2 3 Yêu cầu bài toán vô nghiệm. 2m 10 Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị (Cm ) vuông góc với đường thẳng : y 2x 1 . 11 6 A. m 1 B. m 2 C. m D. m 6 11 Lời giải: Ta có: y' 3x2 4x m 1.Ta có: 2 2 4 4 7 2 7 7 y' 3 x x m 3 x m y' m . 3 9 3 3 3 3 42
  43. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có giá trị : 3 7 k m . 3 7 11 Yêu cầu bài toán k.2 1 m .2 1 m . 3 6 Câu 3. Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm ) đúng hai tiếp tuyến. m 3 m 3 m 3 m 3 A. 10 B. 100 C. 10 D. 100 m m m m 81 81 81 81 Lời giải: 2 Ta có: y' 3x 4x m 1. Gọi A(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại A: 2 3 2 y 3x0 4x0 m 1 (x x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 2 3 2 M 2 3x0 4x0 m 1 (1 x0 ) x0 2x0 (m 1)x0 2m 3 2 2x0 5x0 4x0 3m 3 0 (*) Yêu cầu bài toán (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1) Xét hàm số: h(t) 2t3 5t2 4t, t ¡ 1 Ta có: h'(t) 6t2 10t 4 h'(t) 0 t ,t 2 3 Bảng biến thiên x 1 2 3 y' 0 0 12 y 19 27 3 3m 12 m 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) 19 100 là những giá trị cần tìm. 3 3m m 27 81 43
  44. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài 19: Tìm m để đồ thị : 1 Câu 1. y mx3 m 1 x2 4 3m x 1 tồn tại đúng 2 điểm có hoành độ dương mà 3 tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 7 A. m 0;  ; B. m 0;  ; 4 2 3 4 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; D. m 0;  ; 2 2 3 2 2 3 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên ¡ . Ta có: y' mx2 2 m 1 x 4 3m . 1 Từ yêu cầu bái toán dẫn đến phương trình y 1 có đúng 2 nghiệm dương phân 2 m 0 m 0 1 m 2 ' 0 2 biệt, tức mx 2 m 1 x 2 3m 0 có đúng 2 dương phân biệt S 0 0 m 1 P 0 2 0 m 3 1 1 2 hay m 0;  ; . 2 2 3 x2 2mx 2m2 1 Câu 2. y cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và các tiếp tuyến với x 1 Cm tại hai điểm này vuông góc với nhau. 2 2 A. m B. m 1 C. m , m 1 D. m 0 3 3 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên ¡ \ 1 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của Cm và trục hoành: x2 2mx 2m2 1 0 x2 2mx 2m2 1 0, x 1 1 x 1 44
  45. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Để Cm cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B thì phương trình 1 phải có hai ' m2 2m2 1 0 1 m 1 m 0 nghiệm phân biệt khác 1 . Tức là ta phải có: hay 2 1 2m 2m 1 0 2m m 1 0 1 m 1 tức 2 . m 0 2 Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của 1 . Theo định lý Vi – ét , ta có: x1 x2 2m, x1.x2 2m 1 Giả sử I x0 ;0 là giao điểm của Cm và trục hoành. Tiếp tuyến của Cm tại điểm I có 2 2 2x0 2m x0 1 x0 2mx0 2m 1 2x 2m hệ số góc y' x 0 0 2 x 1 x0 1 0 2x1 2m 2x2 2m Như vậy, tiếp tuyến tại A,B lần lượt có hệ số góc là y' x1 , y' x2 . x1 1 x2 1 Tiếp tuyến tại A,B vuông góc nhau khi và chỉ khi y' x1 y' x2 1 hay 2x1 2m 2x2 2m 2 2 1 5x1.x2 4m 1 x1 x2 4m 1 0 tức 3m m 2 0 x1 1 x2 1 2 2 m 1 hoặc m . Đối chiếu điều kiện chỉ có m thỏa mãn. 3 3 2x 1 Bài 20: Tìm điểm M trên đồ thị C : y sao cho khoảng cách từ M đến đường x 1 thẳng : x 3y 3 0 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 7 A. M 2;1 B. M 2; 5 C. M 1; D. M 3; 2 2 Lời giải: 2m 1 Gọi M m; là tọa độ điểm cần tìm m 1 . m 1 2m 1 m 3 3 m 1 Khoảng cách từ M đến đường thẳng là: d hay 12 32 1 m2 2m 6 d . 10 m 1 45
  46. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM. TẬP 2A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN m2 2m 6 khi m 1 m2 2m 6 m 1 Xét hàm số: f m m 1 m2 2m 6 khi m 1 m 1 Ta có: f ' m 0 m 2 thỏa m 1 hoặc m 4 thỏa m 1. 2 Lập bảng biến thiên suy ra min d khi m 2 tức M 2;1 . 10 1 1 Tiếp tuyến tại M là y x , tiếp tuyến này song song với . 3 3 46