Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Hàm số lượng gisc và phương trình lượng giác

73 trang nhungbui22 12/08/2022 2424

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Hàm số lượng gisc và phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

ly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_nang_cao_ham_so_luong_gis.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 nâng cao - Hàm số lượng gisc và phương trình lượng giác

Lượng giác Nâng Cao
Lượng giác Nâng Cao HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT CHUNG CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG I. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN sin2 x 1 cos2 x  sin2 x cos2 x 1 2 2 cos x 1 sin x 1 1  1 tan2 x tan2 x 1 cos2 x cos2 x 1 1  1 cot2 x cot2 x 1 sin2 x sin2 x 1  tan x.cot x 1 cot x tan x sin4 x cos4 x 1 2sin2 x cos2 x  6 6 2 2 sin x cos x 1 3sin x cos x 3 3 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x  3 3 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Gĩc I Gĩc II Gĩc III Gĩc IV sin x + + cos x + + tan x + + cot x + + III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƯỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT  Hai cung đối nhau cos x cos x sin x sin x tan x tan x cot x cot x  Hai cung bù nhau sin x sin x cos x cos x tan x tan x cot x cot x  Hai cung phụ nhau sin x cos x cos x sin x 2 2 tan x cot x cot x tan x 2 2  Hai cung hơn nhau sin x sin x cos x cos x tan x tan x cot x cot x  Hai cung hơn nhau 2 sin x cos x cos x sin x 2 2
Lượng giác Nâng Cao tan x cot x cot x cot x 2 2  Với k là số nguyên thì ta cĩ: sin x k2 sin x cos x k2 cos x tan x k tan x cot x k cot x IV. CƠNG THỨC CỘNG sin x y sin x cos y cos xsin y sin x y sin x cos y cos xsin y cos x y cos x cos y sin xsin y cos x y cos x cos y sin xsin y tan x tan y tan x tan y tan x y tan x y 1 tan x tan y 1 tan x tan y Đặc biệt: sin 2x 2sin x cos x 2 2 2 2 TH1: Cơng thức gĩc nhân đơi: cos 2x cos x sin x 2cos x 1 1 2sin x 2 tan x tan 2x 1 tan2 x 1 cos 2x 1 cos 2x Hệ quả: Cơng thức hạ bậc 2: sin2 x ;cos2 x 2 2 sin 3x 3sin x 4sin3 x TH2: Cơng thức gĩc nhân ba: 3 cos3x 4cos x 3cos x V. CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG x y x y 1 cos x cos y 2cos cos cos x cos y cos x y cos x y 2 2 2 x y x y 1 cos x cos y 2sin cos sin xsin y cos x y cos x y 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2sin cos sin x cos y sin x y sin x y 2 2 2 x y x y 1 sin x sin y 2cos sin cos xsin y sin x y sin x y 2 2 2 Chú ý:  sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4  sin x cos x 2 sin x 2 cos x 4 4 u v 2k u v k2  sin u sin v  cosu cosv u v k2 u v k2 u v k u v k  cot u cot v  tan u tan v u k u k 2 Đặc biệt: sin x 0 x k cos x 0 x k 2
Lượng giác Nâng Cao sin x 1 x k2 cos x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 cos x 1 x k2 2 Chú ý:  Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình sin x m và cos x m là: 1 m 1  Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau về phương trình cơ bản: sin u cosv sin u sin v cosu sin v cosu cos v 2 2 sin u sin v sin u sin v cosu cosv cosu cos v cos2 x 1 cos x 1  Đối với phương trình khơng nên giải trực tiếp vì khi đĩ phải giải 4 2 sin x 1 sin x 1 phương trình cơ bản thành phần, khi đĩ việc kết hợp nghiệm sẽ rất khĩ khăn. Ta nên dựa vào cơng cos2 x 1 sin x 0 thức sin2 x cos2 x 1 để biến đổi như sau: sin 2x 0 2 sin x 1 cos x 0 2 1 cos x 2 2 2cos x 1 0  Tương tự đối với phương trình cos 2x 0 2 2 1 1 2sin x 0 sin x 2 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Hàm số sin Hàm số y sin x xác định trên ¡ nhận giá trị trên  1;1 và: • Là hàm số lẻ vì sin x sin x , x ¡ • Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y sin x nhận các giá trị đặc biệt • sin x 0 khi x k , k ¢ • sin x 1 khi x k2 , k ¢ 2 • sin x 1 khi x k2 , k ¢ 2 Đồ thị hàm số y sin x : 2. Hàm số cơsin Hàm số y cos x xác định trên ¡ , nhận giá trị trên  1;1 và:
Lượng giác Nâng Cao • Là hàm số chẵn vì cos x cos x , x ¡ • Là hàm số tuần hồn với chu kì 2 Hàm số y cos x nhận các giá trị đặc biệt: • cos x 0 khi x k , k ¢ 2 • cos x 1 khi x k2 , k ¢ • cos x 1 khi x k2 , k ¢ Đồ thị hàm số y cos x : 3. Hàm số tang sin x  Hàm số y tan x xác định trên ¡ / k ,k ¢  , nhận giá trị trên ¡ và: cos x 2   • Là hàm số lẻ vì tan x tan x , x ¡ / k ,k ¢  2  • Là hàm số tuần hồn với chu kì Hàm số y tan x nhận giá trị đặc biệt • tan x 0 khi x k , k ¢ • tan x 1khi x k , k ¢ 4 • tan x 1 khi x k , k ¢ 4 Đồ thị hàm số y tan x : 4. Hàm số cơ tang cos x Hàm số y cot x xác định trên ¡ \ k ,k ¢  , nhận giá trị trên ¡ và: sin x • Là hàm số lẻ vì: cot x cot x , x ¡ \ k ,k ¢  • Là hàm số tuần hồn với chu kì Hàm số y cot x nhận các giá trị đặc biệt • cot x 0 khi x k ,k ¢ 2
Lượng giác Nâng Cao • cot x 1 khi x k ,k ¢ 4 • cot x 1 khi x k ,k ¢ 4 Đồ thị hàm số y cot x : MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX 1. Phương trình sin x a 1 • a 1: Phương trình vơ nghiệm • a 1 : Gọi là một cung sao cho sin a . Khi đĩ 1 sin x sin và 1 cĩ các nghiệm x k2 , k ¢ và x k2 , k ¢ Chú ý: Khi và sin a thì ta viết arcsin a 2 2 Phương trình sin x sin  cĩ các nghiệm: x  k360 , k ¢ và x 180  360 , k ¢ Trong một cơng thức nghiệm của phương trình lượng giác, hơng dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 2. Phương trình cos x a 1 • a 1: Phương trình 2 vơ nghiệm • a 1: Gọi là một cung sao cho cos a . Khi đĩ 2 cos x cos vì 2 cĩ các nghiệm : x k2 , k ¢ Chú ý: Khi 0 và cos a thì ta viết arccos a Phương trình cos x cos  cĩ các nghiệm x  k360 , k ¢ 3. Phương trình tan x a 3 • Phương trình 3 xác định khi x k , k ¢ 2 • a ¡ , tồn tại cung sao cho tan a . Khi đĩ 3 tan x tan và 3 cĩ nghiệm x k , k ¢ . Chú ý: Khi và tan a thì ta viết arctan a 2 2 Phương trình tan x tan  cĩ các nghiệm x  k180 , k ¢ 4. Phương trình cot x 4
Lượng giác Nâng Cao • Phương trình 4 xác định khi x k , k ¢ • a ¡ , tồn tại cung sao cho cot a . Khi đĩ 4 cot x cot và 4 cĩ nghiệm x k . k ¢ Chú ý: Khi 0 và cot a thì ta viết arccot a Phương trình c ot x cot  cĩ các nghiệm x  k180 , k ¢ DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin x bcos x c  Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a2 b2 a b c sin x cos x a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b c C1: Đặt cos , sin . Khi đĩ PT sin x x ? a2 b2 a2 b2 a2 b2 a b c C2: Đặt sin , cos  . Khi đĩ PT cos x  x ? a2 b2 a2 b2 a2 b2  Điều kiện cĩ nghiệm của phương trình: a2 b2 c2  Chú ý: Khi phương trình cĩ a c hoặc b c thì dùng cơng thức gĩc nhân đơi và sử dụng phép nhĩm nhân tử chung. DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin2 x bsin x cos x c.cos2 x d 0  Cách giải: Cách 1: + Xét cos x 0 cĩ là nghiệm phương trình khơng? + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: a tan2 x b tan x c d 1 tan2 x 0 tan x x Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1) DẠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: asin3 x bcos3 x csin2 x cos x d cos2 xsin x esin x f cos x 0  Cách giải: + Xét cos x 0 cĩ là nghiệm phương trình khơng? 1 + Xét cos x 0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x với chú ý: 1 tan2 x cos2 x DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX  Dạng phương trình: f sin x cos x,sin x cos x 0  Cách giải: t 2 1 + Đặt t sin x cos x sin x cos x 2 1 t 2 + Đặt t sin x cos x sin x cos x . Đưa về phương trình ẩn t. 2 Chú ý: Nếu t sin x cos x 2 sin x thì 2 t 2 4 DẠNG 6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH  Dạng phương trình:
Lượng giác Nâng Cao k 2 k A f 2 x B f x C 0 , với f x sin x,cos x (1) 2 f x f x hoặc A a2 tan2 x b2 cot2 x B a tan x bcot x C 0 (2). k  Cách giải: Đối với phương trình (1): Đặt t f x f x  Đối với phương trình (2): Đặt t a tan x bcot x
Lượng giác Nâng Cao B – BÀI TẬP HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x cos x Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y lần lượt là: 2sin x cos x 3 1 1 A. m 1; M . B. m 1; M 2. C. m ; M 1. D. m 1; M 2. 2 2 1 1 Câu 2: Hàm số y tan x cot x khơng xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây? 3 A. k2 ; k2 . B. k2 ; k2 . 2 2 C. k2 ; k2 . D. k2 ;2 k2 . 2 2 Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y 5 2cot x sin x cot x . 2 k  k  A. D ¡ \ ,k ¢  . B. D ¡ \ ,k ¢  . 2  2  C. D ¡ . D. D ¡ \ k ,k ¢ . Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào cĩ đồ thị đối xứng qua trục tung? 1 A. y 2 . B. y sin x . C. y 2 cos x .D. y sin 2x . sin x 4 4 Câu 5: Số giờ cĩ ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số y 4sin t 60 10 , với t Z và 0 t 365. Vào ngày nào trong năm thì 178 thành phố A cĩ nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi cơng thức t h 3cos 12 . Mực nước của kênh cao nhất khi: 7 8 4 A. t 13 (giờ). B. t 14 (giờ). C. t 15 (giờ). D. t 16 (giờ). 3 1 tan2 x Câu 7: Hàm số y 4cot2 2x đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 . B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 1. Câu 8: Hàm số y 2cos x sin x đạt giá trị lớn nhất là 4 A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin4 x cos4 x sin x cos x là 9 5 4 A. . B. . C. 1. D. . 8 4 3 Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là A. 0 . B. 2 . C. 4 2 . D. 6 . 2sin 2x cos 2x Câu 11: Hàm số y cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Lượng giác Nâng Cao Câu 12: Cho hàm số h x sin4 x cos4 x 2msin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên tồn trục số) là 1 1 1 1 1 A. m . B. 0 m . C. m 0 . D. m . 2 2 2 2 2 3x Câu 13: Tìm m để hàm số y xác định trên ¡ . 2sin2 x msin x 1 A. m [ 2 2;2 2]. B. m 2 2;2 2 . C. m ; 2 2  2 2; . D. m 2 2;2 2 . 1 1 Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos2 x 5 2sin2 x 2 2 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 1 5 . 2 2 2 1 1 Câu 15: Cho hàm số y với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 cos x 1 cos x 2 4 2 A. min y khi x k ,k ¢ T B. min y khi x 3 3 3 3 0; 0; 2 2 2 4 C. min y khi x k2 ,k ¢ D. min y khi x . 3 3 3 3 0; 0; 2 2 Câu 16: Cho x, y, z 0 và x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y 1 tan x.tan y 1 tan y.tan z 1 tan z.tan x A. ymax 1 2 2 . B. ymax 3 3 . C. ymax 4 . D. ymax 2 3 . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 17: Hỏi trên đoạn  2017;2017 , phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. 3 Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x 4 2 bằng: A. . B. . C. . D. . 9 6 6 9 7 Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin6 x cos6 x là: 16 5 7 A. , B. . C. . D. . 6 2 6 6 Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2 x sin 2x 2 sin2 x trên khoảng 0;2 . 7 21 11 3 A. T . B. T . C. T . D. T . 8 8 4 4 3 Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x.
Lượng giác Nâng Cao A. x . B. x . C. x . D. x . 0 2 0 18 0 24 0 54 Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là? 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 23: Giải phương trình 3 cos x sin x 2sin 2x. 2 2 5 7 x k2 x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 2 x k x k 18 3 18 3 5 2 x k2 x k 6 18 3 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 7 2 x k2 x k 6 18 3 Câu 24: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos7x sin 7x 3 cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 ;0 . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 6 12 3 6 2 3 Câu 25: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 12 6 6 3 3 2 Câu 26: Gọi a,b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos x sin 2x 3 , ta cĩ: 2cos2 x sinx 1 11 2 11 2 2 A. .a b 0 B. . abC. . D. . ab ab 6 6 36 3 1 Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x ở cung phần tư thứ I và cos x sin x thứ III của đường trịn lượng giác là: A. .2 B. . 4 C. . 6 D. . 8 1 Câu 28: Số nghiệm của phương trình 3 1 cot x 3 1 0 trên 0; là? sin2 x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T . B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . 4 5 Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 x 4cos x thuộc 0;2  là? 3 6 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. x x Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin4 cos4 1 2sin x là: 2 2 A. .2 07046 B. . 2C.06 .4 03 D. . 205761 204603
Lượng giác Nâng Cao 3 Câu 32: Phương trình 3sin 3x 3 cos9x 2cos x 4sin 3x cĩ số nghiệm trên 0; là: 2 A. .2 B. . 3 C. . 4 D. . 5 Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây? A. .s in x 0 B. . coC.s x . 0 D. . sin 9x 0 cos 2x 0 5 7 Câu 34: Phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc 2 2 ;3 ? 2 A. .4 B. . 5 C. . 6 D. . 7 Câu 35: Phương trình sin x 4cos x 2 sin 2x cĩ số nghiệm trên 0;2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 36: Phương trình 2sin x 1 4cos 4x 2sin x 4cos3 x 3 nhận các giá trị x arccos m k 2 (k ¢ ) làm nghiệm thì giá trị m là: 1 1 1 1 A. .m B. . C. m D. . m 4 4 16 16 sin 5x Câu 37: Phương trình 1 cĩ số nghiệm là: 5sin x A. 0 B. 1 C. 2 D. vơ số Câu 38: Phương trình 3cot 2 x 2 2 sin 2 x (2 3 2) cos x cĩ các nghiệm dạng x k2 ; x  k2 ,k Z,0 ,  thì . bằng: 2 2 2 7 2 A. B. - C. D. 12 12 12 122 1 1 1 Câu 39: Phương trình cĩ tổng các nghiệm trên (0; ) là: cos x sin 2x sin 4x 2 A. B. C. D. 6 6 3 sin 2x 2cos x sin x 1 Câu 40: Phương trình 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? tan x 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (1 sin x cos 2x)sin(x ) 1 Câu 41: Phương trình 4 cos x cĩ các nghiệm dạng 1 tan x 2 2 2 x k2 ; x  k2 , ;k Z, ,  thì  là: 2 35 2 13 2 15 2 A. B. C. D. 36 36 18 18 sin4 2x cos4 2x Câu 42: Phương trình cos4 x 1 cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tan x tan x 4 4 trịn lượng giác là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
Lượng giác Nâng Cao 2 x x Câu 43: Phương trình sin cos 3 cos x 2 cĩ nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm 2 2 lớn nhất là b thì a b là: A. . B. . C. . D. . 2 3 3 4 4 3 Câu 44: Phương trình cos x sin x cos x sin 3x 0 cĩ tổng 2 nghiệm âm lớn 4 4 2 nhất liên tiếp là: 3 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 cos2 x cos3 x 1 Câu 45: Phương trình cos 2x tan2 x cĩ bao nhiêu nghiệm trên 1;70? cos2 x A. 32 . B. 33 . C. 34 . D. 35 . Câu 46: Phương trình cos x cos3x 2cos5x 0 cĩ các nghiệm là x k và 2 1 x arccos m k . Giá trị của m là: 2 1 17 1 17 1 17 1 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 8 16 8 16 Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3x sin x sin 2x 0 trên đường trịn lượng giác là: A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. 4 4 1 Câu 48: Phương trình sin x cos x cĩ bao nghiêu nghiệm trên 2 ;3 ? 4 4 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Câu 49: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin3 x sin x cos x 0 bằng: 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 Câu 50: Phương trình 1 3tan x 2sin 2x cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác là: A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 3 3 3 Câu 51: Từ phương trình 1 sin x cos x sin 2x , ta tìm được cos x cĩ giá trị bằng: 2 4 2 2 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Câu 52: Các nghiệm của phương trình tan x cot x 2sin 2x cos 2x là: x k x k 4 2 2 A. . B. . k ¢ k ¢ 1 1 1 1 x arc cot k x arc cot k 2 2 2 2 2 x k x k 4 2 4 2 C. . D. . k ¢ k ¢ 1 1 1 x arctan k x arctan k 2 2 2 4 2 Câu 53: Phương trình 1 sin x cos x sin 2x 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0; ? 2
Lượng giác Nâng Cao A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 2 Câu 54: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình. 3 3 A. cot x 3 . B. cot 3x 3 . C. tan x 3 . D. tan 3x 3 . Câu 55: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 4x Câu 56: Giải phương trình cos cos2 x . 3 x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 . 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 cos 2x Câu 57: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 1 1 Câu 58: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 12 4 4 2 Câu 59: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x cĩ nghiệm là:. 4 x k x k x 2k x k 6 12 12 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 7 5 x k x k x 2k x k 6 12 12 24 2 Câu 60: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 61: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 . B. x . 2 2 C. x k . D. x k , x k2 . 2 2
Lượng giác Nâng Cao sin 3x cos3x 3 cos 2x Câu 62: Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình 1 2sin 2x 5 thuộc khoảng 0;2 là: 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Câu 63: Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Phương trình 1 cos x cos 2x cos3x 0 cĩ số điểm biểu diễn trên vịng trịn lượng giác là: A. .2 B. . 3 C. . 4 D. . 5 Câu 64: Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Cho phương trình cos x cos5x cos 2x cos 4x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là: A. .3 B. . 4 C. . 6 D. . 8 Câu 65: Sử dụng cơng thức nhân ba Cho phương trình cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ? A. .3 B. . 4 C. . 5 D. . 6 Câu 66: Sử dụng cơng thức các cung cĩ liên quan đặc biệt 5 7 Phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc 2 2 ;3 ? 2 A. .4 B. . 5 C. . 6 D. . 7 Câu 67: Sử dụng cơng thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau: 17 1 sin8 x cos8 x cos2 2x 16 17 2 sin8 x cos8 x 32 97 3 sin8 x cos8 x 128 1 4 sin8 2x cos8 2x 8 Phương trình khơng tương đương với một trong các phương trình cịn lại là: A. . 1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng khơng âm Phương trình cos 2x cos6x 4 3sin x 4sin3 x 1 0 cĩ phương trình tương đương là: A. .c os x 0 B. . sin 3x 1 0 C. .c os x(sin 3x 1) 0 D. . sin x 1 0 Câu 69: Đặt ẩn phụ - cơng thức nhân ba 3 x 1 3x Phương trình sin sin cĩ tổng các nghiệm trên 0;2  là: 10 2 2 10 2 9 9 10 10 A. . B. . C. . D. . 5 15 3 6 Câu 70: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn
Lượng giác Nâng Cao 4 x 2 x Phương trình sin sin sin x 3 sin x 2 0 cĩ các nghiệm là: 2 2 A. .x k2B. ; .k ¢ . C. x k ;k ¢ . D. . x 2k 1 ;k ¢ . x k ;k ¢ . 2 Câu 71: Phương pháp đánh giá 2 Với phương trình 3cos 4x cos 2x sin x 7 (*) thì: A. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 1 nghiệm. B. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 2 nghiệm C. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 3 nghiệm. D. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 4nghiệm. Câu 72: Phương pháp hàm số 2 2 Phương trình sin x 1 2 sin x cos x 1 (*) cĩ tổng các nghiệm trong 4 khoảng là:0; 2 A. .0 B. . C. D. . 2 4 3 Câu 73: Phương trình 1 cos x sin x cos 2x sin 2x 0 cĩ các nghiệm dạng x1 a k2 , x2 b k2 , x3 c k2 , x4 d k2 . Với 0 a,b,c,d 2 thì a b c d là: 7 5 9 A. 0 . B. . C. D. . 2 4 2 Câu 74: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2x cos2 2x asin2 x 0 cĩ nghiệm x 0; ? 6 A. 0 . B. .1 C. 2 D. . 3 Câu 75: Phương trình sin 2x 2cos x cos 2x sin x là phương trình hệ quả của phương trình: 1 1 A. sin(x ) B. sin 2x 0 C. sin x cos x D. 4 2 2 1 sin x cos x 2 1 1 k Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 1 đúng vớix (0; ) sin2 x x2 2 2 . Khi đĩ giá trị của k là A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 Câu 77: Cĩ bao nhiêu giá trị của trong 0;2  để ba phần tử của S sin ,sin 2 ,sin 3  trùng với ba phần tử của T cos ,cos 2 ,cos3  . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SĨ Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x mcot x 8 cĩ nghiệm. A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16.
Lượng giác Nâng Cao Câu 79: Biến đổi phương trình cos3x sin x 3 cos x sin 3x về dạng sin ax b sin cx d b d b d với , thuộc khoảng ; . Tính . 2 2 A. b d . B. b d . C. b d . D. b d . 12 4 3 2 Câu 80: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình sin x 3 cos x 2m vơ nghiệm. 3 3 A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x sin x 2 m2 1 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m  1;1. C. m ; D. m ;0  0; . Câu 82: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình m 1 sin x mcos x 1 m cĩ nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Câu 83: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình m 1 sin2 x sin 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Câu 84: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2x cos2 2x asin2 x 0 cĩ nghiệm x 0; ? 6 A. 0 . B. .1 C. 2 D. . 3 3 Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x 2m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; là 2 2 m a;b thì a b là: A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 . 6 6 Câu 86: Phương trình sin x cos x 3sin x cos x m 2 0 cĩ nghiệm khi m a;b thì tích a.b bằng: 9 9 75 15 A. . B. . C. . D. . 4 2 16 4 m Câu 87: phương trình msin x (m 1)cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 cos x để phương trình cĩ nghiệm là: A. 9. B. 8. C. 10. D. 7 Câu 88: Phương trình sin 4x tan x cĩ nghiệm dạng x k và x marccos n k k ¢ thì m n bằng: 3 3 1 3 1 3 A. m n . B. m n . C. m n . D. m n . 2 2 2 2 Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 3 cĩ nghiệm trên khoảng ; . 2 2
Lượng giác Nâng Cao 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m . 2 2 2 Câu 90: Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin x 5m 1 sin x 2m 2m 0 cĩ đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2 1 3 7 3 2 A. m 3. B. m . C. m0 ; . D. m0 ; . 2 5 10 5 5 Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2cos 3x 3 2m cos3x m 2 0 cĩ đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3 A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2. Câu 92: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 93: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:sin 2x 2 sin x m 0 cĩ 4 nghiệm. A. .3 B. . 4 C. . 5 D. . 6 Câu 94: Phương trình cos3 x sin3 x cos2x cĩ tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Câu 95: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình 11sin2 x m 2 sin 2x 3cos2 x 2 cĩ nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Câu 96: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình sin2 x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos2 x m cĩ nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vơ số. 2 2 Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình asin x asin x cos x bcos x 0 với a 0 cĩ nghiệm. 4b 4b A. a 4b . B. a 4b . C. 1. D. 1. a a Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. 4 4 4 4 A. 0 m . B. m 0 , m . C. 0 m . D. m , m 0 . 3 3 3 3 Câu 99: Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 cĩ nghiệm. A. 3. B. 7 . C. 6 . D. 4 . Câu 100:Để phương trình sin6 x cos6 x a | sin 2x | cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0 a . B. a . C. a . D. a . 8 8 8 4 4 Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x sin x cos x m 0 , trong đĩ m là tham số thực. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:. 1 1 1 1 A. 2 m 2 . B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 2 m 1 2 2 2 2 .
Lượng giác Nâng Cao Câu 102: Cho phương trình: 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 3 A. m 4 hay m 0 . B. m 1. C. 2 m . D. 2 2 m 2 hay m 0 . sin6 x cos6 x Câu 103: Cho phương trình: 2m.tan 2x , trong đĩ m là tham số. Để phương trình cĩ cos2 x sin2 x nghiệm, các giá trị thích hợp của m là: 1 1 1 1 1 1 A. m hay m . B. m hay m . C. m hay m . D. m 1 hay m 1 8 8 8 8 2 2 . 1 4 tan x Câu 104: Cho phương trình cos 4x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của tham số m 2 1 tan2 x phải thỏa mãn điều kiện:. 5 3 A. m 0 . B. 0 m 1. C. 1 m . D. 2 2 5 3 m hay m . 2 2 2 Câu 105:Để phương trình: 4sin x .cos x a 3 sin 2x cos 2x cĩ nghiệm, tham số a 3 6 phải thỏa điều kiện: 1 1 A. 1 a 1. B. 2 a 2 . C. a . D. 3 a 3. 2 2 a2 sin2 x a2 2 Câu 106:Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos 2x A. | a | 1. B. | a | 2 . C. | a | 3 . D. a 1,a 3 . Câu 107: Tìm m để phương trình cos x 1 cos 2x mcos x msin2 x cĩ đúng 2 nghiệm 2 x 0; . 3 1 1 1 A. 1 m 1. B. 0 m . C. 1 m - . D. m 1. 2 2 2 Câu 108: Tìm m để phương trình cos2x 2m 1 cosx m 1 0 cĩ đúng 2 nghiệm x ; . 2 2 A. 1 m 0 . B. 0 m 1. C. 0 m 1. D. 1 m 1. Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x mcos x 1 m cĩ nghiệm x ; . 2 2 A. 3 m 1. B. 2 m 6 . C. 1 m 3 D. 1 m 3. Câu 110: Cĩ bao nhiêu số nguyên m để phương trình m sin m sin 3x sin 3sin x 4sin3 x cĩ nghiệm thực? A. 9 B. 5 C. 4 D. 8 Câu 111: Cho phương trình: cos x 1 cos 2x mcos x msin2 x . Phương trình cĩ đúng hai nghiệm 2 thuộc đoạn 0; khi: 3 1 A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. 1 m . 2
Lượng giác Nâng Cao 3sin 2x cos 2x Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình m 1 đúng với mọi sin 2x 4cos2 x 1 x ¡ 3 5 3 5 9 65 9 65 9 A. m B. m C. m D. m 4 4 2 4 Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình cos x 1 4cos 2x mcos x msin2 x cĩ 2 đúng 2 nghiệm x 0; là: 3 A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Câu 114: Gọi a,b là các số nguyên thỏa mãn 1 tan10 1 tan 20 1 tan 430 2a. 1 tan b0 đồng thời a,b 0;90. Tính P a b ? A. 22 B. 46 C. 27 D. 44 Câu 115: Tìm m để phương trình m 1 cos x m 1 sin x 2m 3 cĩ hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x x . 1 2 3 A. m 2 3 B. m 2 3 C. m 2 3 D. Khơng tồn tại m Câu 116: Các giá trị của m a;b để phương trình cos 2x sin2 x 3cos x m 5 cĩ nghiệm thì: A. a b 2 . B. a b 12 . C. a.b 8. D. a.b 8. m Câu 117: Cho phương trình msin x m 1 cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ cos x hơn 10 để phương trình cĩ nghiệm là: A. 8. B. 9. C. 10. D. 7 . Câu 118: Phương trình cos 2x 2m 1 sin x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; khi tất cả các giá 2 trị thỏa mãn: A. m  . B. m ¡ . C. m  1;1. D. m 1;1 . Câu 119: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình 3 3tan2 x tan x cot x m cĩ nghiệm? sin2 x A. 2000 . B. 2001. C. 2010 . D. 2011.
Lượng giác Nâng Cao C - HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC sin x cos x Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y lần lượt là: 2sin x cos x 3 1 1 A. m 1; M . B. m 1; M 2. C. m ; M 1. D. m 1; M 2. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A + TXĐ: ¡ . sin x cos x + y 2y 1 sin x y 1 cos x 3y (1) 2sin x cos x 3 + Điều kiện để phương trình (1) cĩ nghiệm x là 2y 1 2 y 1 2 9y2 1 4y2 2y 2 0 1 y . 2 1 + Vậy max y ;min y 1. ¡ 2 ¡ 1 1 Câu 2: Hàm số y tan x cot x khơng xác định trong khoảng nào trong các khoảng sin x cos x sau đây? 3 A. k2 ; k2 . B. k2 ; k2 . 2 2 C. k2 ; k2 . D. k2 ;2 k2 . 2 Hướng dẫn giải Chọn D sin x 0 k Hàm số xác định khi và chỉ khi sin 2x 0 x ,k ¢ . cos x 0 2 3 3 Ta chọn k 3 x nhưng điểm thuộc khoảng k2 ;2 k2 . 2 2 Vậy hàm số khơng xác định trong khoảng k2 ;2 k2 . 2 Câu 3: Tìm tập xác định D của hàm số y 5 2cot x sin x cot x . 2 k  k  A. D ¡ \ ,k ¢  . B. D ¡ \ ,k ¢  . 2  2  C. D ¡ . D. D ¡ \ k ,k ¢ . Hướng dẫn giải Chọn A Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời. 2 5 2cot x sin x 0 , cot x xác định và cot x xác định. 2 Ta cĩ 2 5 2cot x sin x 0 2 5 2cot x sin x 0,x ¡ . 1 sin 2x 0 5 sin x 0
Lượng giác Nâng Cao cot x xác định sin x 0 x k x k ,k ¢ . 2 2 2 2 cot x xác đinh sin x 0 x k ,k ¢ . x k k Do đĩ hàm số xác đinh 2 x ,k ¢ . 2 x k k  Vậy tập xác định D ¡ \ ,k ¢  . 2  Câu 4: Trong các hàm số sau, hàm số nào cĩ đồ thị đối xứng qua trục tung? 1 A. y 2 . B. y sin x . C. y 2 cos x .D. y sin 2x . sin x 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Viết lại đáp án B y sin x sin x cos x . 4 2 Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên cĩ đồ thị đối xứng qua trục tung. Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số khơng chẵn, khơng lẻ. Xét đáp án D. Hàm số xác định sin 2x 0 2x k2 ; k2  x k ; k . 2  D k ; k k ¢ 2 Chọn x D nhưng x D. Vậy y sin 2x khơng chẵn, khơng lẻ. 4 4 Câu 5: Số giờ cĩ ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một hàm số y 4sin t 60 10 , với t Z và 0 t 365. Vào ngày nào trong năm thì 178 thành phố A cĩ nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?. A. 28 tháng 5. B. 29 tháng 5. C. 30 tháng 5. D. 31 tháng 5. Hướng dẫn giải Chọn B. Vì sin t 60 1 y 4sin t 60 10 14 . 178 178 Ngày cĩ ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất y 14 sin t 60 1 t 60 k2 t 149 356k . 178 178 2 149 54 Mà 0 t 365 0 149 356k 365 k . 356 89 Vì k ¢ nên k 0 . Với k 0 t 149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 cĩ 31 ngày, tháng 4 cĩ 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì khơng phải năm nhuận nên tháng 2 cĩ 28 ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0 t 365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ cĩ 28 ngày). Câu 6: Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi cơng thức t h 3cos 12 . Mực nước của kênh cao nhất khi: 7 8 4 A. t 13 (giờ). B. t 14 (giờ). C. t 15 (giờ). D. t 16 (giờ).
Lượng giác Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn B. Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất t t cos 1 k2 với 0 t 24 và k ¢ . 8 4 8 4 Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn. t Vì với t 14 thì 2 (đúng với k 1 ¢ ). 8 4 3 1 tan2 x Câu 7: Hàm số y 4cot2 2x đạt giá trị nhỏ nhất là tan x A. 0 . B. 3 2 3 . C. 2 2 2 . D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D 1 tan2 x Ta cĩ cot 2x 2 tan x 2 3 1 tan2 x Từ đĩ suy ra y 3cot2 2x 3cot2 2x 2 3 cot 2x 2 tan x 2 3 cot 2x 1 1 1,x ¡ . 1 Vậy min y 1 cot 2x . 3 Câu 8: Hàm số y 2cos x sin x đạt giá trị lớn nhất là 4 A. 5 2 2 . B. 5 2 2 . C. 5 2 2 . D. 5 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 Ta cĩ y 2cos x sin x 2cos x 2 sin x 2cos x sin x cos x 4 2 4 2 1 1 2 cos x sin x . 2 2 2 2 2 1 1 2 Ta cĩ y 2 y 5 2 2 . 2 2 Do đĩ ta cĩ 5 2 2 y 5 2 2 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 2 2 . Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin4 x cos4 x sin x cos x là 9 5 4 A. . B. . C. 1. D. . 8 4 3 Hướng dẫn giải Chọn A Ta cĩ y sin4 x cos4 x sin x cos x y 1 2sin2 x cos2 x sin x cos x . 1 1 y 1 sin2 2x sin 2x 2 2 2 2 1 1 1 9 1 1 9 y 1 sin 2x y sin 2x . 2 2 4 8 2 2 8
Lượng giác Nâng Cao 1 Dấu bằng xảy ra khi sin 2x . 2 Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x cos x cos x sin x là A. 0 . B. 2 . C. 4 2 . D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta cĩ sin x cos x cos x sin x 2 sin x cos x sin x cos x 1 1 y 2 sin 2x sin 2x 0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 0 . 2 2 2sin 2x cos 2x Câu 11: Hàm số y cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên? sin 2x cos 2x 3 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn B 2sin 2x cos 2x Ta cĩ y y 2 sin 2x y 1 cos 2x 3y sin 2x cos 2x 3 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm y 2 2 y 1 2 3y 2 7y2 2y 5 0 . 5 1 y y ¢ y 1;0 nên cĩ 2 giá trị nguyên. 7 Câu 12: Cho hàm số h x sin4 x cos4 x 2msin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số xác định với mọi số thực x (trên tồn trục số) là 1 1 1 1 1 A. m . B. 0 m . C. m 0 . D. m . 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 Xét hàm số g x sin2 x cos2 x msin 2x 2 sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x msin 2x 1 1 sin2 2x msin 2x . 2 Đặt t sin 2x t  1;1 . 1 Hàm số h x xác định với mọi x ¡ g x 0,x ¡ t 2 mt 1 0,t  1;1 2 t 2 2mt 2 0,t  1;1. Đặt f t t 2 2mt 2 trên  1;1. Đồ thị hàm số cĩ thể là một trong ba đồ thị trên. Ta thấy max f t f 1 hoặc max f t f 1  1;1  1;1
Lượng giác Nâng Cao f 1 0 Ycbt f t t 2 2mt 2 0,t  1;1 max f t 0  1;1 f 1 0 1 2m 0 1 1 m . 1 2m 0 2 2 3x Câu 13: Tìm m để hàm số y xác định trên ¡ . 2sin2 x msin x 1 A. m [ 2 2;2 2]. B. m 2 2;2 2 . C. m ; 2 2  2 2; . D. m 2 2;2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. Hàm số xác định trên ¡ khi và chỉ khi 2sin2 x msin x 1 0,x ¡ . Đặt t sin x t  1;1 Lúc này ta đi tìm điều kiện của m để f t 2t 2 mt 1 0,t  1;1 2 Ta cĩ t m 8 2 TH 1: t 0 m 8 0 2 2 m 2 2 . Khi đĩ f t 0,t (thỏa mãn). 2 m 2 2 TH 2: t 0 m 8 0 (thử lại thì cả hai trường hợp đều khơng thỏa m 2 2 mãn). 2 m 2 2 2 TH 3: t 0 m 8 0 khi đĩ tam thức f t 2t mt 1 cĩ hai m 2 2 nghiệm phân biệt t1;t2 t1 t2 . m m2 8 t 1 1 m2 8 m 4 VN 1 4 Để f t 0,t  1;1 thì . m m2 8 t 1 1 m2 8 m 4 VN 2 4 Vậy m 2 2;2 2 thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chú ý: Với các bài tốn dạng này ta cần chia ba trường hợp để tìm đủ các giá trị của m . Ở bài tốn trên trong TH3 đã áp dụng qui tắc xét dấu tam thức bậc hai “trong trái ngồi cùng”. Tức là trong khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với hệ số a , cịn khoảng hai nghiệm thì trái dấu với hệ số a . 1 1 Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 1 cos2 x 5 2sin2 x 2 2 5 22 11 A. 1 . B. . C. . D. 1 5 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 1 5 1 Ta cĩ y 1 cos2 x 5 2sin2 x y 1 cos2 x sin2 x 2 2 2 4 2 1 5 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho 4 số: 1; 1; 1 cos2 x ; sin2 x ta cĩ: 2 4 2
Lượng giác Nâng Cao 1 5 1 1 5 1 9 1 22 1. 1 cos2 x 1. sin2 x 12 12 . 1 cos2 x sin2 x 2. 2 4 2 2 4 2 4 2.1 2 22 Hay y 2 1 5 1 Dấu bằng xảy ra khi 1 cos2 x sin2 x x k ,k ¢ 2 4 2 6 1 1 Câu 15: Cho hàm số y với x 0; . Kết luận nào sau đây là đúng? 2 cos x 1 cos x 2 4 2 A. min y khi x k ,k ¢ T B. min y khi x 3 3 3 3 0; 0; 2 2 2 4 C. min y khi x k2 ,k ¢ D. min y khi x . 3 3 3 3 0; 0; 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 Cách 1: Ta thấy 2 cos x 0,x R và 1 cos x 0,x 0; . Suy ra và 2 2 cos x 1 là hai số dương. Áp dụng vất đẳng thức AM- GM cho hai số dương ta cĩ 1 cos x 1 1 2 2 cos x 1 cos x 2 cos x 1 cos x Mặt khác tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta cĩ 2 cos x 1 cos x 3 2 cos x 1 cos x 2 2 2 4 y 2 cos x 1 cos x 3 Câu 16: Cho x, y, z 0 và x y z . Tìm giá trị lớn nhất của 2 y 1 tan x.tan y 1 tan y.tan z 1 tan z.tan x A. ymax 1 2 2 . B. ymax 3 3 . C. ymax 4 . D. ymax 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. tan x tan y 1 Ta cĩ x y z x y z tan x y tan z 2 2 2 1 tan x.tan y tan z tan x.tan z tan y.tan z 1 tan x.tan y tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y 1 Ta thấy tan x.tan z; tan y.tan z; tan x.tan y lần lượt xuất hiện trong hàm số đề cho dưới căn thức, tương tự như ví dụ 8, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho 6 số ta cĩ: 1. 1 tan x.tan y 1. 1 tan y.tan z 1. 1 tan z.tan x 12 12 12 . 1.tan x.tan z 1.tan y.tan z 1.tan x.tan y 3 3 tan x.tan z tan y.tan z tan x.tan y 2 3 Vậy ymax 2 3
Lượng giác Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Câu 17: Hỏi trên đoạn  2017;2017 , phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm? A. 4034. B. 4035. C. 641. D. 642. Hướng dẫn giải sin x 1 Phương trình sin x 1 x k2 k ¢ . sin x 2 vo nghiem 2 2017 2017 Theo giả thiết 2017 k2 2017 2 k 2 2 2 2 xap xi 320,765 k 321,265 k ¢ k 320; 319; ;321. Vậy cĩ tất cả 642 giá trị nguyên của k tương úng với cĩ 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn D. 3 Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x 4 2 bằng: A. . B. . C. . D. . 9 6 6 9 Hướng dẫn giải 3x k2 3 4 3 Ta cĩ sin 3x sin 3x sin 4 2 4 3 3x k2 4 3 7 7 k2 3x k2 x 12 36 3 k ¢ . 11 11 k2 3x k2 x 12 36 3 7 7 x 0 k kmin 0 x 7 k2 Cho 24 36 TH1. Với x  . 36 3 7 17 x 0 k k 1 x 24 max 36 11 11 x 0 k kmin 0 x 11 k2 Cho 24 36 TH2. Với x  . 36 3 11 13 x 0 k k 1 x 24 max 36 13 So sánh bốn nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất là x và nghiệm dương nhỏ nhất là 36 7 13 7 x . Khi đĩ tổng hai nghiệm này bằng . 36 36 36 6 Chọn B. 7 Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin6 x cos6 x là: 16
Lượng giác Nâng Cao 5 7 A. , B. . C. . D. . 6 2 6 6 Hướng dẫn giải Chọn B Ta cĩ: sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin4 x sin2 x cos2 x cos4 x 3 3 1 cos 4x 5 3cos 4x sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 1 . 4 4 2 8 5 3cos 4x 7 1 2 cos 4x cos 4x cos 8 16 2 3 2 4x k2 x k 3 6 2 k ¢ 2 4x k2 x k 3 6 2 Suy ra phương trình cĩ 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x và x Vậy x x 1 6 2 3 1 2 2 Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos2 x sin 2x 2 sin2 x trên khoảng 0;2 . 7 21 11 3 A. T . B. T . C. T . D. T . 8 8 4 4 Hướng dẫn giải Phương trình cos2 x sin2 x sin 2x 2 cos 2x sin 2x 2 cos 2x 1 2x k2 x k k ¢ . 4 4 8 7 k 1 x 1 17 k 8 Do 0 x 2  0 k 2 k ¢ 8 8 8 15 k 2 x 8 7 15 11  T . 8 8 4 Chọn C. 3 Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x 3 cos9x 1 4sin 3x. A. x . B. x . C. x . D. x . 0 2 0 18 0 24 0 54 Hướng dẫn giải Phương trình 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1 1 3 1 1 sin 9x cos9x sin 9x 2 2 2 3 2 k2 9x k2 x 3 6 18 9 sin 9x sin 3 6 7 k2 9x k2 x 3 6 54 9 k2 1 k ¢ 0 k  kmin 0 x Cho 0 18 9 4 18  . 7 k2 7 7 0 k k ¢ k 0 x 54 9 12 min 54
Lượng giác Nâng Cao So sánh hai nghiệm ta được nghiệm dương nhỏ nhất là x . 18 Chọn B. Cách trắc nghiệm. Thử từng nghiệm của đáp án vào phương trình và so sánh nghiệm nào thỏa mãn phương trình đồng thời là nhỏ nhất thì ta chọn. Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x 3 cos5x 2sin 7x trên khoảng 0; là? 2 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải 1 3 Phương trình sin 5x cos5x sin 7x sin 5x sin 7x 2 2 3 7x 5x k2 x k 3 6 sin 7x sin 5x k ¢ . 3 k 7x 5x k2 x 3 18 6 1 1 0 k k k ¢ k 0 x . 6 2 6 3 6 k 0 x 18 1 8 2 0 k k k ¢ k 1 x . 18 6 2 3 3 9 7 k 2 x 18 Vậy cĩ 4 nghiệm thỏa mãn. Chọn D. Câu 23: Giải phương trình 3 cos x sin x 2sin 2x. 2 2 5 7 x k2 x k2 6 6 A. , k ¢ . B. , k ¢ . 2 2 x k x k 18 3 18 3 5 2 x k2 x k 6 18 3 C. , k ¢ . D. , k ¢ . 7 2 x k2 x k 6 18 3 Hướng dẫn giải Ta cĩ cos x sin x và sin x cos x . 2 2 Do đĩ phương trình 3 sin x cos x 2sin 2x 3 sin x cos x 2sin 2x 3 1 sin x cos x sin 2x sin x sin 2x sin x sin 2x 2 2 6 6 2 x 2x k2 x k 6 18 3 k ¢ . 5 x 2x k2 x k2 6 6
Lượng giác Nâng Cao 5 7 Xét nghiệm x k2 k 1 k' x k '2 . 6 k ¢ , k ' ¢ 6 2 7 Vậy phương trình cĩ nghiệm x k , x k '2 k,k ' ¢ . 18 3 6 Chọn B. Câu 24: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin 9x 3 cos7x sin 7x 3 cos9x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 ;0 . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 6 12 3 6 2 3 Hướng dẫn giải Phương trình sin 9x 3 cos9x sin 7x 3 cos7x 9x 7x k2 x k 3 3 sin 9x sin 7x 5 k 3 3 x 9x 7x k2 48 8 3 3 k ¢ k 0 k 0  kmax 1 x Cho 0  5 k 5 . So sánh hai nghiệm ta được 0 k k ¢ k 1 x 48 8 6 max 48 nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x ;0 . 48 12 Chọn A. Câu 25: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cos x 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. x0 0; . B. x0 ; . C. x0 ; . D. x0 ; . 12 12 6 6 3 3 2 Hướng dẫn giải. 1 3 3 1 Phương trình cos 2x sin 2x sin x cos x 1 2 2 2 2 sin 2x sin x 1. 6 6 Đặt t x  x t 2x 2t 2x 2t . 6 6 3 6 2 Phương trình trở thành sin 2t sin t 1 cos 2t sin t 1 2 2sin2 t sin t 0 sin t 2sin t 1 0. 1 sin t 0 t k  x k 0 k k ¢ k 0 x . 6 6 min 6 1 t k2  x k2 0 k k ¢ k 0 x . 1 6 3 6 min 3 sin t 2 5 1 t k2  x k2 0 k k ¢ k 0 x . 6 2 min Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x ; . 6 12 6 Chọn B.
Lượng giác Nâng Cao Câu 26: Gọi a,b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình cos x sin 2x 3 , ta cĩ: 2cos2 x sinx 1 11 2 11 2 2 A. .a b 0 B. . abC. . D. . ab ab 6 6 36 Hướng dẫn giải: Chọn C. + Điều kiện: 2cos2 x sinx 1 0 2sin2 x sinx 1 0 x k2 2 sinx 1 1 x k2 k ¢ sinx 6 2 5 x k2 6 + Phương trình cos x sin 2x 3 2cos2 x 1 sin x cos x sin 2x 3 cos 2x sinx 3 1 1 3 3 sinx cos x sin 2x 3 cos 2x sinx cos x sin 2x cos 2x 2 2 2 2 cos sinx sin cos x cos sin 2x sin cos 2x sin x sin 2x 6 6 3 3 6 3 x 2x k2 x k2 6 3 6 k ¢ x 2x k2 x 2k 2 6 3 6 3 Kết hợp điều kiện suy ra phương trình cĩ các nghiệm x k2 k ¢ 6 11 11 2 Chọn k 1 a ;k 0 b a.b 6 6 36 3 1 Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x ở cung phần tư thứ I và cos x sin x thứ III của đường trịn lượng giác là: A. .2 B. . 4 C. . 6 D. . 8 Hướng dẫn giải Chọn B. sin x 0 Điều kiện: x k k ¢ cos x 0 2 Phương trình 8sin2 x cos x 3 sin x cos x (cùng bậc lẻ) Chia 2 vế cho cos3 x 0 (do điều kiện) 1 1 Phương trình 8tan2 x 3 tan x. cos2 x cos2 x 8tan2 x 3 tan x 1 tan2 x 1 tan2 x 3 tan3 x 7 tan2 x 3 tan x 1 0
Lượng giác Nâng Cao 1 2 tan x 3 tan x 6 tan x 3 0 3 1 tan x x k 3 6 tan x 3 2 x arctan 3 2 k k ¢ . tan x 3 2 x arctan 3 2 k Dựa vào việc biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác, ta thấy số điểm biểu diễn nghiệm cần tìm là 4 Đáp án B. 1 Câu 28: Số nghiệm của phương trình 3 1 cot x 3 1 0 trên 0; là? sin2 x A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải Điều kiện: sin x 0 x k k ¢ . Phương trình 1 cot2 x 3 1 cot x 3 1 0 cot2 x 3 1 cot x 3 0 x 0; 3 cot x cot x k  x thỏa mãn cot x 1 4 4 4 . cot x 3 x 0; cot x cot x k  x thỏa mãn 6 6 6 Vậy phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm thỏa mãn. Chọn B. Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 trên đoạn 0;3  . 17 A. T . B. T 2 . C. T 4 . D. T 6 . 4 Hướng dẫn giải Phương trình 2cos 2x 2cos x 2 0 2 2cos2 x 1 2cos x 2 0 2 cos x 2 2 2 4cos x 2cos x 2 2 0 cos x 2 1 2 cos x loại 2 x 0;3 9 x k2   x ; x 4 4 4 9 7 17  T . 7 4 4 4 4 x k2 x 0;3  x 4 4 Chọn A. 5 Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2 x 4cos x thuộc 0;2  là? 3 6 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải 2 2 Ta cĩ cos 2 x 1 2sin x 1 2cos x . 3 3 6
Lượng giác Nâng Cao 2 3 Do đĩ phương trình 2cos x 4cos x 0 6 6 2 1 cos x x k2 6 2 1 6 cos x x k2 , k ¢ 3 6 2 6 3 cos x loại x k2 6 2 2 . 11 Ta cĩ x k2 x 0;2  x ; x k2 x 0;2  x . 6 6 2 2 Vậy cĩ hai nghiệm thỏa mãn. Chọn B. x x Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng 0;2018 của phương trình sin4 cos4 1 2sin x là: 2 2 A. .2 07046 B. 206403 . C. .2 05761 D. . 204603 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 x 2 x 2 x 2 x Phương trình sin cos 2sin cos 1 2sin x 2 2 2 2 1 2 1 2 sinx 0 1 sin x 1 2sin x sin x 2sin x 0 x k k ¢ 2 2 sinx 4(VN) 2018 0 x 2018 0 kx 2018 0 k k 1,2,3, ,642 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là: 642 642 1 S 2 3 642 1 2 3 642 206403 2 3 Câu 32: Phương trình 3sin 3x 3 cos9x 2cos x 4sin 3x cĩ số nghiệm trên 0; là: 2 A. .2 B. . 3 C. . 4 D. 5 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Phương trình 3sin 3x 4sin3 3x 3 cos9x 2cos x 1 3 sin 9x 3 cos9x 2cos x sin 9x cos9x cos x 2 2 sin sin 9x cos cos9x cos x cos 9x cos x 6 6 6 9x x k2 x k 6 48 4 k ¢ 9x x k2 x k 6 60 5 13  - TH1: x k . Chọn k 0;1 x ;   0; 48 4 48 48  2 13 5  - TH2: x k . Chọn k 0;1;2 x ; ;   0; 60 5 60 60 12  2 Vậy phương trình cĩ 5 nghiệm thuộc 0; 2
Lượng giác Nâng Cao Câu 33: Phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x khơng phải là phương trình hệ quả của phương trình nào sau đây? A. .s in x 0 B. . coC.s x . 0 D. sin 9x 0 cos 2x 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 2 2 2 2 cos12x cos10x cos8x cos6x 0 2cos11x cos x cos7x cos x 0 hơng cos x 0 2cos x cos11x cos7x 0 4cos xsin 9xsin 2x 0 sin 9x 0 cos 2x 0 sin 2x 0 phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. 5 7 Câu 34: Phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc 2 2 ;3 ? 2 A. .4 B. 5 . C. .6 D. . 7 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình sin 2x 2 3cos x 4 1 2sin x 2 2 sin 2x 3cos x 1 2sin x cos2x 3sin x 1 2sin x 2 2 1 2sin2 x 3sin x 1 2sin x 2sin2 x sin x 0 x k sin x 0 1 x k2 k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 13 5 17  Mà x ;3 nên x ;2 ; ; ;  2 6 6 6  Vậy phương trình cĩ 5 nghiệm trên ;3 . 2 Câu 35: Phương trình sin x 4cos x 2 sin 2x cĩ số nghiệm trên 0;2 là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình sin x 4cos x 2 2sin x cos x
Lượng giác Nâng Cao sin x 1 2cos x 2 1 2cos x 0 sin x 2 1 2cos x 0 sin x 2(VN) sin x 2 0 1 x k2 ,(k ¢ ) 1 2cos x 0 cos x 3 2 5 Vậy phương trình cĩ 2 nghiệm trên 0;2 là x và x . 3 3 y π 3 O x 5π 3 Câu 36: Phương trình 2sin x 1 4cos 4x 2sin x 4cos3 x 3 nhận các giá trị x arccos m k 2 (k ¢ ) làm nghiệm thì giá trị m là: 1 1 1 1 A. .m B. . C. m D. .m 4 4 16 16 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình 2sin x 1 4cos 4x 2sin x 4 1 sin2 x 3 0 2sin x 1 4cos 4x 2sin x 1 2sin x 1 2sin x 0 2sin x 1 4cos 4x 1 0. x k2 6 1 7 sin x x k2 2 6 (k Z) 1 1 1 cos 4x x arccos( ) k 4 4 4 2 1 1 x arccos( ) k 4 4 2 1 Vậy m 4 sin 5x Câu 37: Phương trình 1 cĩ số nghiệm là: 5sin x A. 0 B. 1 C. 2 D. vơ số Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: sin x 0 cos x 1 Pt sin 5x 5sin x 0 sin 5x sin x 4sin x 0 2cos3x.sin 2x 4sin x 0 2cos3x.2sin x cos x 4sin x 0
Lượng giác Nâng Cao sin x 0(l) 4sin x(cos3x cos x 1) 0 1 (cos 2x cos 4x) 1 0 2 cos 2x 1 2 2 cos 2x 2cos 2x 1 2 0 2cos 2x cos 2x 3 0 3 cos 2x (VN) 2 Với cos 2x 1 1 2sin2 x 1 sin x 0 (loại vì khơng TMĐK) Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm Câu 38: Phương trình 3cot 2 x 2 2 sin 2 x (2 3 2) cos x cĩ các nghiệm dạng x k2 ; x  k2 ,k Z,0 ,  thì . bằng: 2 2 2 7 2 A. B. - C. D. 12 12 12 122 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện: sin x 0 cos x 1 Pt 3cos2 x 2 2 sin4 x 2cos x.sin2 x 3 2 cos x.sin2 x 3cos x(cos x 2 sin2 x) 2sin2 x(cos x 2 sin2 x) 0 (cos x 2 sin 2 x)(3cos x 2sin 2 x) 0 2 cos2 x cos x 2 0(1) 2 2cos x 3cos x 2 0(2) 2 cos x (1) 2 x k2 (k Z) 4 cos x 2(VN) 1 cos x (1) 2 x k2 (k Z) 3 cos x 2(VN) 2 Vậy ; ; . 4 3 12 1 1 1 Câu 39: Phương trình cĩ tổng các nghiệm trên (0; ) là: cos x sin 2x sin 4x 2 A. B. C. D. 6 6 3 Hướng dẫn giải Chọn D cos x 0 cos x 0 cos x 0 sin x 1 Điều kiện: sin 2x 0 sin x 0 sin x 0 sin x 0 sin 4x 0 cos 2x 0 2 2 sin x sin x 2 2
Lượng giác Nâng Cao 1 1 1 Pt cos x 2sin x cos x 4sin x cos x cos 2x 2sin x cos 2x cos 2x 1 0 2sin x(1 2sin2 x) 1 2sin2 x 1 0 2sin x(1 2sin2 x sin x) 0 sin x 1 l x k2 sin x 0 l 6 k Z 2 1 1 2sin x sin x 0 sin x 5 2 x k2 6 5 =>cĩ 2 nghiệm trên (0; ) là x= và x= 6 6 5 Vậy tổng các nghiệm trên (0; ) là: 6 6 sin 2x 2cos x sin x 1 Câu 40: Phương trình 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ? tan x 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn B cos x 0 Điều kiện: * tan x 3 Pt sin 2x cos 2x sin x 1 0 2sin x cos x sin x 2cos x 1 0 sin x 1 x k2 2 (2cos x 1)(sin x 1) 0 1 k Z cos x 2 x k2 3 Kết hợp điều kiện (*)=>Nghiệm của phương trình là x k2 3 7 Vậy cĩ hai nghiệm thuộc (0;3 ) là x và x 3 3 (1 sin x cos 2x)sin(x ) 1 Câu 41: Phương trình 4 cos x cĩ các nghiệm dạng 1 tan x 2 2 2 x k2 ; x  k2 , ;k Z, ,  thì  là: 2 35 2 13 2 15 2 A. B. C. D. 36 36 18 18 Hướng dẫn giải Chọn C cos x 0 Điều kiện: * tan x 1 (1 sin x cos 2x) 2 sin(x ) Pt 4 cos x sin x cos x cos x
Lượng giác Nâng Cao (1 sin x 1 2sin2 x) 2 sin(x ) 4 1 2 sin(x ) 4 sin x 1 2 2 2 sin x 2sin x 1 2sin x sin x 1 0 1 sin x 2 x k2 6 Kết hợp điều kiện(*) ta cĩ nghiệm của pt là k Z 5 x k2 6 2 25 2 26 2 13 2 2  2 36 36 36 18 sin4 2x cos4 2x Câu 42: Phương trình cos4 x 1 cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tan x tan x 4 4 trịn lượng giác là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Hướng dẫn giải Chọn B sin(x ) 0 x k 4 4 sin( x) 0 x k 4 4 Điều kiện: cos(x ) 0 x k 4 4 cos( x) 0 x k 4 4 tan tan x tan tan x 1 tan x 1 tan x Ta cĩ: tan x tan x 4 . 4 . 1 4 4 1 tan tan x 1 tan tan x 1 tan x 1 tan x 4 4 1 sin4 2x cos4 2x cos4 4x 1 sin2 4x 1 sin2 4x sin2 4x 0 . 2 sin 2x 0 sin 4x 0 2sin 2x cos x 0 x k k ¢ . cos x 0(L) 2 Kết hợp điều kiện ⇒ nghiệm của phương trình (1) là x k (k Z) 2 Vậy số điểm biểu diễn cần tìm là 4. Lưu ý: Ở bài nầy điều kiện bài tốn cĩ thể gộp thành x k (k Z) 4 2 2 x x Câu 43: Phương trình sin cos 3 cos x 2 cĩ nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm 2 2 lớn nhất là b thì a b là: A. . B. . C. . D. . 2 3 3
Lượng giác Nâng Cao Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x x sin cos 3 cos x 2 2 2 x x 1 2sin .cos 3 cos x 2 2 2 1 sin x 3 cos x 1 sin x 3 2 x k2 x k2 3 6 6 k ¢ 5 x k2 x k2 3 6 2 Nghiệm dương nhỏ nhất là , nghiệm âm lớn nhất là . 2 6 Vậy a b . 3 4 4 3 Câu 44: Phương trình cos x sin x cos x sin 3x 0 cĩ tổng 2 nghiệm âm lớn 4 4 2 nhất liên tiếp là: 3 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 4 4 3 cos x sin x cos x .sin 3x 0 4 4 2 2 2 1 3 1 2sin x.cos x sin 4x sin 2x 0 2 2 2 2 sin2 2x cos 4x sin 2x 3 0 2 sin2 2x 1 2sin2 2x sin 2x 3 0 sin2 2x sin 2x 2 0 sin 2x 2 vn 2x k2 x k k ¢ . sin 2x 1 2 4 3 7 5 Vậy tổng hai nghiệm âm lớn nhất là . 4 4 2 cos2 x cos3 x 1 Câu 45: Phương trình cos 2x tan2 x cĩ bao nhiêu nghiệm trên 1;70? cos2 x A. 32 . B. 33 . C. 34 . D. 35 . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: cos x 0 x k ;k Z 2 PT: cos 2x tan2 x 1 cos x 1 tan2 x cos x 1 2 2cos x cos x 1 0 1 cos x 2
Lượng giác Nâng Cao x k2 2 x k k Z x k2 3 3 3 2 Mà x 1;70 1 k 70 3 3 3 1 105 1 k 2 2 2 k 0;1;2; ;32} Vậy PT cĩ 33 nghiệm trên 1;70 Câu 46: Phương trình cos x cos3x 2cos5x 0 cĩ các nghiệm là x k và 2 1 x arccos m k . Giá trị của m là: 2 1 17 1 17 1 17 1 17 A. m . B. m . C. m . D. m . 8 16 8 16 Hướng dẫn giải Chọn A. cos x cos3x 2cos5x 0 cos5x cos x cos5x cos3x 0 2cos3x.cos 2x 2cos 4x.cos x 0 4cos3 x 3cos x cos 2x cos 4x.cos x 0 2 cos x 4cos x 3cos x cos 2x cos 4x 0 2 cos x 2cos 2x 1 cos 2x 2cos 2x 1 0 cos x 4cos2 2x cos 2x 1 0 cos x 0 1 17 cos 2x 8 x k 2 k ¢ . 1 1 17 x arccos k2 2 8 1 17 Vậy m . 8 Câu 47: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3x sin x sin 2x 0 trên đường trịn lượng giác là: A. 2 . B. 3. C. 4 . D. 5. Hướng dẫn giải Chọn C. sin 3x sin x sin 2x 0 2cos 2x.sin x 2sin x.cos x 0 sin x 2cos2 x cos x 1 0
Lượng giác Nâng Cao sin x 0 x k cos x 1 x k2 k ¢ 1 cos x x k2 2 3 Vậy cĩ 4 điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác. 4 4 1 Câu 48: Phương trình sin x cos x cĩ bao nghiêu nghiệm trên 2 ;3 ? 4 4 A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải Chọn A. 2 2 1 cos x 4 4 1 1 cos 2x 2 1 sin x cos x 4 4 2 2 4 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 2 1 cos 2x 2 1 sin 2x 2 1 1 2cos 2x cos2 2x 1 2sin 2x sin2 2x 1 3 2cos 2x 2sin 2x 1 sin 2x cos 2x 1 2 sin 2x 1 sin 2x sin 4 4 4 x k k ¢ . x k 4 Vậy phương trình cĩ 1 nghiệm thuộc 2 ;3 . Câu 49: Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin3 x sin x cos x 0 bằng: 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 sin x 1 Trường hợp 1: cos x 0 sin x 1 sin x 1 Với sin x 1 phương trình 3 0 (vơ nghiệm). Với sin x 1 phương trình 5 0 (vơ nghiệm). Vậy cos x 0 khơng thỏa mãn phương trình. Trường hợp 2: cos x 0 , chia 2 vế cho cos2 x ta được: sin3 x sin x 1 1 Phương trình 4. . 0 cos3 x cos x cos2 x cos2 x 4 tan3 x tan x 1 tan2 x 1 tan2 x 0 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 tan x 1 2 3tan x 2 tan x 1 0(VN)
Lượng giác Nâng Cao tan x 1 x k 4 3 7 Với k 1 x . Với k 2 x . 4 4 3 7 5 Vậy tổng 2 nghiệm âm lớn nhất là . 4 4 2 Câu 50: Phương trình 1 3tan x 2sin 2x cĩ số điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác là: A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: cos x 0 x k k ¢ . 2 sin x Phương trình 1 3 4sin x cos x cos x cos x 3sin x 4sin x cos2 x (*) Đến đây ta thấy phương trình (*) cĩ cùng bậc lẻ cao nhất là 3 , ta chia 2 vế cho cos3 x 0 (do điều kiện) 1 1 * 3tan x. 4 tan x cos2 x cos2 x 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 tan x 1 3tan2 x 2 tan x 1 0 tan x 1 x k k ¢ (TMĐK) 4 Số điểm biểu diễn nghiệm trên đường trịn lượng giác là 2 . 3 3 3 Câu 51: Từ phương trình 1 sin x cos x sin 2x , ta tìm được cos x cĩ giá trị bằng: 2 4 2 2 2 A. 1. B. . C. . D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải 3 Phương trình 1 sin x cos x 1 sin x cos x sin 2x 2 2 sin x cos x 2 sin 2x 3sin 2x. t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 Phương trình trở thành 2 t 2 t 2 1 3 t 2 1 t 1 t3 3t 2 3t 5 0 . t 1 6 loại 1 Với t 1, ta được sin x cos x 1 sin x . 4 2 2 2 2 1 2 Mà sin x cos x 1 cos x cos x . 4 4 4 2 4 2 Chọn D. Câu 52: Các nghiệm của phương trình tan x cot x 2sin 2x cos 2x là:
Lượng giác Nâng Cao x k x k 4 2 2 A. . B. . k ¢ k ¢ 1 1 1 1 x arc cot k x arc cot k 2 2 2 2 2 x k x k 4 2 4 2 C. . D. . k ¢ k ¢ 1 1 1 x arctan k x arctan k 2 2 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn A. sin x 0 Điều kiện: x k k ¢ . cos x 0 2 sin x cos x Phương trình 2sin 2x cos 2x cos x sin x sin2 x cos2 x 2sin x cos xsin 2x sin x cos x cos 2x 1 1 sin2 2x sin 2x cos 2x (*)(đây là phương trình bậc 2) 2 Chia 2 vế cho sin2 2x 0 (do điều kiện) ta được: 1 1 Phương trình (*) 1 cot 2x sin2 2x 2 cot 2x 0 2 1 1 cot 2x 1 cot 2x 1 2 cot 2x 2 2x k x k 2 4 2 k ¢ (TMĐK) 1 1 1 2x arc cot k x arc cot k 2 2 2 2 Câu 53: Phương trình 1 sin x cos x sin 2x 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0; ? 2 A. .1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn C. Đặt t sin x cos x 2 sin x . Điều kiện: t 2; 2 . 4 t 2 sin2 x cos2 x 2sin x cos x 1 sin 2x sin 2x 1 t 2 . 2 2 t 0 Phương trình 1 t 1 t 0 t t 0 (TMĐK) t 1 Với t 0 2 sin x 0 x k x k k ¢ . 4 4 4 1 Với t 1 2 sin x 1 2 sin x 4 4 2
Lượng giác Nâng Cao x k2 x k2 4 4 3 k ¢ 5 x k2 x k2 2 4 4 cĩ 2 nghiệm thuộc 0; là x 0 và x . 2 4 2 Câu 54: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình. 3 3 A. cot x 3 . B. cot 3x 3 . C. tan x 3 . D. tan 3x 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. cos x 0 Điều kiện: cos x 0 3 2 cos x 0 3 sin x sin 2x sin x 2sin 2x pt 3 3 3 3 cos x 2 cos x cos x cos x cos 2x cos 3 3 3 sin x 4sin 2x sin x 2sin x cos 2x 4sin 2x cos x 3 3 3 3 cos x 1 2cos 2x cos x 1 2cos 2x sin x sin 3x sin x 2sin 3x 2sin x 3 3 3tan 3x 3 3 tan 3x 3 cos x cos x cos3x Câu 55: Phương trình 2cot 2x 3cot 3x tan 2x cĩ nghiệm là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện của phương trình sin 2x 0,sin 3x 0,cos 2x 0 . Phương trình tương đương 2cot 2x tan 2x 3cot 3x sin 2x 0 cos 2x sin 2x cos3x 2 3 cos 2x 0 sin 2x cos 2x sin 3x sin 3x 0 2cos2 2x sin2 2x cos3x 1 3cos 4x cos3x 3 3 sin 2x.cos 2x sin 3x sin 4x sin 3x sin 3x 3sin 3x cos 4x 3cos3xsin 4x sin 3x 3sin x 3sin x 4sin3 x 3sin x sin x 0 x k ( loại do sin 2x 0 ) Vậy phương trình vơ nghiệm. 4x Câu 56: Giải phương trình cos cos2 x . 3
Lượng giác Nâng Cao x k3 x k x k3 x k3 A. x k3 . B. x k . C. . D. 5 . 4 4 x k3 x k3 5 5 4 4 x k3 x k 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A 4x 4x 1 cos 2x 2x 2x cos cos2 x cos 2cos 2. 1 cos3. 3 3 2 3 3 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2 2cos2 1 1 4cos3 3cos 4cos3 4cos2 3cos 3 0 3 3 3 3 3 3 2x k2 2x 3 x k3 cos 1 3 2x k2 x k3 . 2x 3 3 6 4 cos 2x 5 5 3 2 k2 x k3 3 6 4 cos 2x Câu 57: Phương trình cos x sin x cĩ nghiệm là: 1 sin 2x 3 5 x k2 x k2 x k x k 4 4 4 4 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 8 2 2 8 x k x k2 x k x k 2 4 Hướng dẫn giải Chon C. ĐK sin 2x 1 cos 2x cos2 x sin2 x cos x sin x cos x sin x 1 sin 2x sin x cos x 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x cos x 2 cos x sin x 1 cos x sin x cos x sin x 1 0 sin x cos x sin x cos x 2 sin x 0 cos x sin x 0 4 sin x cos x 1 2 sin x 1 4
Lượng giác Nâng Cao 3 x k x k 4 x k 4 4 x k2 k ¢ x k2 k ¢ x k2 k ¢ . 4 4 2 3 5 x k2 x k2 x k2 2 4 4 1 1 Câu 58: Phương trình 2sin 3x 2cos3x cĩ nghiệm là: sin x cos x 3 3 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 12 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A ĐK sin 2x 0 1 1 1 1 2sin 3x 2cos3x 2 sin 3x cos3x sin x cos x cos x sin x sin x cos x 2 3sin x 4sin3 x 4cos3 x 3cos x sin x cos x sin x cos x 2 3 sin x cos x 4 sin3 x cos3 x sin x cos x sin x cos x 2 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin2 x sin x cos x cos2 x sin x cos x sin x cos x 2 3 sin x cos x 4 sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin x cos x 3 4 1 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x 6 8 1 sin x cos x 0 sin x cos x 1 sin x cos x 2 8sin x cos x 0 sin x cos x 2 2 sin x 2sin x cos x 8 sin x cos x 1 0 4 2 sin x 2sin 2x sin 2x 1 0 4 x k x k 4 4 sin x 0 4 2x k2 x k 2 4 sin 2x 1 k ¢ k ¢ . Khơng cĩ đáp án 1 2x k2 x k sin 2x 6 12 2 7 7 2x k2 x k 6 12 nào đúng. 2 Câu 59: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x cĩ nghiệm là:. 4
Lượng giác Nâng Cao x k x k x 2k x k 6 12 12 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 7 5 x k x k x 2k x k 6 12 12 24 Hướng dẫn giải Chọn C sin 3x 0 2 4 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x 4 2 2 4sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x * 4 1 cos 6x 2 1 cos 4x * 4 1 8sin 2x 2 2 2 1 sin 6x 1 4sin 2x 4sin 2x cos 4x 2 2sin 6x 1 4sin 2x 2 sin 6x sin 2x 2sin 2x 1 0 2x k2 x k 1 1 6 12 sin 2x k ¢ k ¢ 2 5 5 2x k2 x k 2 6 12 + k chẵn thì 1 x 2n sin 3x 1 0 12 4 11 + k lẻ thì 1 x 2n 1 2n sin 3x 1 0 12 12 4 5 + k chẵn thì 2 x 2n sin 3x 1 0 12 4 5 7 + k lẻ thì 2 x 2n 1 2n sin 3x 1 0 12 12 4 x 2k 12 Vậy tập nghiệm là . 7 x 2k 12 2 Câu 60: Phương trình: 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 cĩ các nghiệm là: 3 3 2 x k x k x k2 6 3 4 x k2 2 A. . B. . C. 3 . D. . 2 x k x k x k x k 3 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A. 2 4sin x.sin x .sin x cos3x 1 2sin x cos cos 2x cos3x 1 3 3 3 1 2sin x cos 2x cos3x 1 sin x sin 3x sin x cos3x 1 2
Lượng giác Nâng Cao sin 3x cos3x 1 2 sin 3x 1 4 2 x k 3 sin 3x sin k ¢ . 4 4 2 x k 6 3 sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x Câu 61: Giải phương trình . 4 4cos2 2x sin2 2x k A. x k2 , x k2 . B. x . 2 2 C. x k . D. x k , x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. Ta cĩ 4cos2 2x sin2 2x 3cos2 2x 1 0,x ¡ . sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x sin10 x cos10 x sin6 x cos6 x 2 2 2 4 4cos 2x sin 2x 4 4 cos2 x sin2 x 4sin2 x.cos2 x 2 2 4 2 2 4 sin10 x cos10 x sin x cos x sin x sin x.cos x cos x 4 4 cos4 x sin2 x.cos2 x cos4 x sin10 x cos10 x 1 1 . sin10 x sin2 x Ta cĩ sin10 x cos10 x sin2 x cos2 x 1 10 2 cos x cos x Do đĩ sin2 x 1 2 sin10 x sin2 x sin x 0 sin2 x 0 k 1 sin 2x 0 2x k x . 10 2 2 cos x cos x cos2 x 1 cos x 0 2 2 cos x 0 sin 3x cos3x 3 cos 2x Câu 62: Cho phương trình: sin x . Các nghiệm của phương trình 1 2sin 2x 5 thuộc khoảng 0;2 là: 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 12 12 6 6 4 4 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Điều kiện: 1 2sin 2x 0 sin x 2sin xsin 2x sin 3x cos3x Phương trình tương đương 5 3 cos 2x 1 2sin 2x
Lượng giác Nâng Cao sin x cos x cos3x sin 3x cos3x 5 3 cos 2x 1 2sin 2x 1 2sin 2x cos x 5 3 cos 2x 1 2sin 2x 5cos x 3 cos 2x 2cos2 x 5cos x 2 0 1 cos x 2 x k 3 cos x 2 (loai) 5 Vì x 0;2 x , x (thỏa điều kiện). 3 3 Câu 63: Sử dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích Phương trình 1 cos x cos 2x cos3x 0 cĩ số điểm biểu diễn trên vịng trịn lượng giác là: A. .2 B. . 3 C. . 4 D. . 5 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 1 cos x cos 2x cos3x 0 cos3x cos x 1 cos 2x 0 2cos2x cos x 2cos2 x 0 2cosx cos2x cosx 0 x k cosx 0 2 x k 3x x 3x 3x 2 4cosxcos cos 0 cos 0 k k ¢ 2 2 2 2 2 2 x k x x 3 3 cos 0 k 2 2 2 Dựa vào điểm biểu diễn trên vịng trịn lượng giác Vậy ta cĩ 5 điểm. Câu 64: Sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng Cho phương trình cos x cos5x cos 2x cos 4x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường trịn lượng giác là: A. .3 B. . 4 C. . 6 D. . 8 Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 Phương trình cos x cos5x cos 2x cos 4x cos6x cos 4x cos6x cos 2x 2 2 x k 4x 2x k2 k2 cos 4x cos 2x x k k ¢ 4x 2x k2 x k 3 6 3 Vậy số điểm biểu diễn nghiệm là 6. Câu 65: Sử dụng cơng thức nhân ba
Lượng giác Nâng Cao Cho phương trình cos3x 4cos 2x 3cos x 4 0 cĩ bao nhiêu nghiệm trên 0;14 ? A. .3 B. . 4 C. . 5 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình 4cos3 x 3cos x 4 2cos2 x 1 3cos x 4 0 4cos3 x 8cos2 x 0 cosx 0 x k k ¢ 2 1 14 1 Mà x 0;14 0 k 14 k k 0;1;2;3 2 2 2 Vậy phương trình cĩ 4 nghiệm thuộc 0;14 . Câu 66: Sử dụng cơng thức các cung cĩ liên quan đặc biệt 5 7 Phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x cĩ bao nhiêu nghiệm thuộc 2 2 ;3 ? 2 A. .4 B. . 5 C. . 6 D. . 7 Hướng dẫn giải Chọn B. Phương trình sin 2x 2 3cos x 4 1 2sin x 2 2 sin 2x 3cos x 1 2sin x cos2x 3sin x 1 2sin x 2 2 1 2sin2 x 3sin x 1 2sin x 2sin2 x sin x 0 x k sin x 0 1 x k2 k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 13 5 17  Mà x ;3 nên x ;2 ; ; ;  2 6 6 6  Vậy phương trình cĩ 5 nghiệm trên ;3 . 2 Câu 67: Sử dụng cơng thức hạ bậc cao Cho các phương trình sau: 17 1 sin8 x cos8 x cos2 2x 16 17 2 sin8 x cos8 x 32 97 3 sin8 x cos8 x 128 1 4 sin8 2x cos8 2x 8 Phương trình khơng tương đương với một trong các phương trình cịn lại là:
Lượng giác Nâng Cao A. . 1 B. . 2 C. . 3 D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta cĩ 4 4 8 8 2 4 2 4 1 cos2x 1 cos2x 1 4 2 sin x cos x sin x cos x cos 2x 6cos 2x 1 2 2 8 1 17 1 Giải 1 : cos4 2x 6cos2 2x 1 cos2 2x 2cos4 2x 5cos2 2x 2 0 cos2 2x 8 16 2 1 17 1 Giải 2 : cos4 2x 6cos2 2x 1 4cos4 2x 24cos2 2x 13 0 cos2 2x 8 32 2 1 97 81 3 Giải 3 : cos4 2x 6cos2 2x 1 2cos4 2x 12cos2 2x 0 cos2 2x 8 128 8 4 1 1 Giải 4 : cos4 4x 6cos2 4x 1 2cos4 4x 12cos2 4x 0 cos2 4x 0 8 8 2 1 2cos2 2x 1 0 cos2 2x . 2 Vậy phương trình (3) khơng tương đương với các phương trình cịn lại. Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng khơng âm Phương trình cos 2x cos6x 4 3sin x 4sin3 x 1 0 cĩ phương trình tương đương là: A. .c os x 0 B. . sin 3x 1 0 C. .c oD.s x (sin 3x 1) 0 sin x 1 0 . Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 2cos2 x 1 1 2sin2 3x 4 sin 3x 1 0. 2cos2 x 2sin2 3x 4sin 3x 2 0 cos2 x 2 sin 3x 1 2 0 sin x 1 cos x 0 sin x 1 sin x 1 sin x 1 0. sin 3x 1 0 3 4sin x sin 3x 1 0 Câu 69: Đặt ẩn phụ - cơng thức nhân ba 3 x 1 3x Phương trình sin sin cĩ tổng các nghiệm trên 0;2  là: 10 2 2 10 2 9 9 10 10 A. . B. . C. . D. . 5 15 3 6 Hướng dẫn giải Chọn A. 3 x x 3 3x 9 Đặt t t 3t 10 2 2 10 2 10 1 9 1 1 Phương trình sin t sin 3t sin t sin 3t sin t sin 3t 2 10 10 2 2
Lượng giác Nâng Cao 2sin t 3sint 4sin3t sin t 1 4sin2t 0 sint 0 t k (k ¢ ) t k 1 1 (k ¢ ) sin2t cos 2t t k 4 2 6 3 3 x k2 x 0;2  5 5 14 14 x k2 x 0;2  15 15 4 4 x k2 x 0;2  15 15 3 14 14 9 Vậy tổng các nghiệm trên 0;2  của phương trình là: . 5 15 15 5 Câu 70: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 4 x 2 x Phương trình sin sin sin x 3 sin x 2 0 cĩ các nghiệm là: 2 2 A. .x k2B. ; .k ¢ . C. x k ;k ¢ . x 2k 1 ;k ¢ .D. .x k ;k ¢ . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. x Đặt t sin2 t 0;1,x ¡ . 2 2 t 1 (1) Phương trình tương đương t sin x 3 t sin x 2 0 t sin x 2(2) + Với x 1 cos x t 1 sin2 1 1 cos x 1 x k2 x (2k 1) ,(k ¢ ) 2 2 x + Với t sin x 2 sin2 sin x 2 2 2 x 2 x sin 1 2 x sin 1 cos x 1 2 sin sin x 2 2 (vơ nghiệm) 2 sin x 1 sin x 2 1 sin x 2 1 Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là x (2k 1) ,(k ¢ ) . Nhận xét: + Với phương trình này hồn tồn cĩ thể giải bằng phương pháp đưa về dạng tích A 0 A.B 0 . B 0 x + Với phương trình sin2 sin x 2 (2) cĩ thể giải cách khác như sau: 2 1 cos x (2) sin x 2 2sin x cos x 3 , phương trình này vơ nghiệm do 2 22 12 3 2 . Câu 71: Phương pháp đánh giá 2 Với phương trình 3cos 4x cos 2x sin x 7 (*) thì: A. trên đoạn 0;2  phương trình cĩ 1 nghiệm.
Lượng giác Nâng Cao B. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 2 nghiệm C. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 3 nghiệm. D. trên đoạn phương0;2  trình cĩ 4nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta cĩ 3cos 4x 3 2 cos 2x sin x 2 cos 2x sin x 2 cos 2x sin x 22 cos 2x sin x 2 4 3cos 4x cos 2x sin x 2 7 Phương trình (*) xảy ra cos4x 1 cos4x 1 cos2x 1 (I) 3cos4x 3 cos2x sin x 2(1) sin x 1 2 cos2x sin x 4 cos4x 1 cos4x 1 cos2x sin x 2(2) cos2x 1 (II) sin x 1 2cos2 2x 1 1 cos2 2x 1 cos 2x 1 1 2sin2 x 1 sin x 0 + Giải (I): cos 2x 1 cos 2x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 sin x 1 (vơ nghiệm) + Giải (II): cos2 2x 1 cos 2x 1 1 2sin2 x 1 cos 2x 1 sin x 1 x k2 (k ¢ ) sin x 1 sin x 1 2 sin x 1 Vậy phương trình ban đầu cĩ 1 nghiệm thuộc 0;2  . Chú ý: Cĩ thể giải phương trình này bằng cách đưa về phương trình bậc 4 với sin x sẽ tự nhiên hơn. Tuy nhiên với ví dụ này tơi muốn minh họa thêm cho các bạn một phương pháp giải khác để linh hoạt khi làm bài. Câu 72: Phương pháp hàm số 2 2 Phương trình sin x 1 2 sin x cos x 1 (*) cĩ tổng các nghiệm trong 4 khoảng là:0; 2 A. .0 B. . C. D. . 2 4 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Phương trình sin2 x 1 sinx cos x cos2 x 1 sin2 x 1 sinx cos x cos2 x 1 (1) Xét hàm số f (t) t 2 1 t trên 0;1 .
Lượng giác Nâng Cao Với t1,t2 0;1 va t1 t2 ta xét biểu thức f (t ) f (t ) t 2 1 t t 2 1 t t 2 t 2 t t 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 t1 t2 t1 t2 t 1 t 1 t t t1 t2 1 2 1 2 t 2 t 2 1 2 1 0. t 2 1 t 2 1 t t 1 2 1 2 Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên 0;1 , Suy ra phương trình (1) tuuongw đương f (sinx) f (cos x) sinx cos x tan x 1 x k , k ¢ 4 Vậy phương trình (*) cĩ 1 nghiệm thuộc 0; là . 2 4 Một số phương trình lượng giác đưa về dạng tích Câu 73: Phương trình 1 cos x sin x cos 2x sin 2x 0 cĩ các nghiệm dạng x1 a k2 , x2 b k2 , x3 c k2 , x4 d k2 . Với 0 a,b,c,d 2 thì a b c d là: 7 5 9 A. 0 . B. . C. D. . 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Phương trình 1 sin 2x cos x sin x cos2 x sin2 x 0 cos x sin x 2 cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0 cos x sin x cos x sin x 1 cos x sin x 0 2 sin x 0 x k cos x sin x 0 4 4 (k ¢ ) 2cos x 1 0 1 2 cos x x k2 2 3 Nghiệm trên biểu diễn trên đường trịn lượng giác ta viết lại các nghiệm phương trình là 3 7 2 4 3 7 2 4 9 x k2 v x k2 v x k2 v x k2 a b c d . 4 4 3 3 4 4 3 3 2 Câu 74: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2x cos2 2x asin2 x 0 cĩ nghiệm x 0; ? 6 A. 0 . B. 1. C. 2 D. .3 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cos 2x Phương trình cos3 2x cos2 2x a 0 2 cos 2x 1(1) 3 2 2 2cos 2x 2cos 2x a cos 2x a 0 cos 2x 1 2cos 2x a 0 a cos2 2x (2) 2 -Giải (1) 2x k2 x k (k ¢ ) , các nghiệm này khơng thuộc 0; . 6
Lượng giác Nâng Cao 1 1 2 -Giải (2) cĩ x 0; 2x 0; cos 2x 1 cos 2x 1 6 3 2 4 1 a 1 Suy ra phương trình (2) cĩ nghiệm thuộc 0; 1 2 a . 6 4 2 2 Vậy cĩ 1 giá trị nguyên của a là 1. Câu 75: Phương trình sin 2x 2cos x cos 2x sin x là phương trình hệ quả của phương trình: 1 1 A. sin(x ) B. sin 2x 0 C. sin x cos x D. 4 2 2 1 sin x cos x 2 Hướng dẫn giải Chọn C pt 2sin x cos x 2cos x 2sin x2 sin x 1 sin x 1 (sin x 1)(2cos x 2sin x 1) 0 1 cos x sin x 2 1 1 k Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 1 đúng vớix (0; ) sin2 x x2 2 2 . Khi đĩ giá trị của k là A. 5 B. 2 C. 4 D. 6 Hướng dẫn giải: 1 1 k 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 k 2 2 1 k . f (x) với f (x) 2 2 1. sin x x x sin x x sin x 2 2cos x Xét hàm số f (x) trên 0; , ta cĩ f '(x) 3 3 0 x o; . 2 x sin x 2 Bảng biến thiên: 2 Từ bảng biến thiên suy ra k . f (x) x 0; k 4. 2 Câu 77: Cĩ bao nhiêu giá trị của trong 0;2  để ba phần tử của S sin ,sin 2 ,sin 3  trùng với ba phần tử của T cos ,cos 2 ,cos3  . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Ta cĩ: sin sin 2 sin 3 cos cos 2 cos3 . 2 1 k2 cos 3 2cos 1 sin 2 2cos 1 cos 2 2 . k tan 2 1 8 2 Khi sin 2 cos 2 thì ta cĩ thể chia các trường hợp sau:
Lượng giác Nâng Cao k sin cos 4 +) (Loại) sin 3 cos3 k 12 3 sin cos3 3 k2 2 +) . k sin 3 cos 8 2 Chọn D.
Lượng giác Nâng Cao PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SĨ Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x mcot x 8 cĩ nghiệm. A. m 16. B. m 16. C. m 16. D. m 16. Hướng dẫn giải m Phương trình tan x mcot x 8 tan x 8 tan2 x 8tan x m 0 . tan x Để phương trình đã cho cĩ nghiệm khi và chỉ khi 4 2 m 0 m 16 . Chọn D. Câu 79: Biến đổi phương trình cos3x sin x 3 cos x sin 3x về dạng sin ax b sin cx d b d b d với , thuộc khoảng ; . Tính . 2 2 A. b d . B. b d . C. b d . D. b d . 12 4 3 2 Hướng dẫn giải Phương trình 3 sin 3x cos3x sin x 3 cos x 3 1 1 3 sin 3x cos3x sin x cos x sin 3x sin x . 2 2 2 2 6 3 Suy ra b d . 6 3 2 Chọn D. Câu 80: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình sin x 3 cos x 2m vơ nghiệm. 3 3 A. 21. B. 20. C. 18. D. 9. Hướng dẫn giải 2 2 2 2 m 1 Phương trình vơ nghiệm 1 3 2m 4m 4 0 m 1 m ¢ cĩ 18 giá trị. m  10;10 m 10; 9; 8; ; 2;2; ;8;9;10  Chọn C. Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x sin x 2 m2 1 vơ nghiệm. A. m ; 1  1; . B. m  1;1. C. m ; D. m ;0  0; . Hướng dẫn giải 2 2 2 2 Phương trình vơ nghiệm 1 1 2 m 1 m4 2m2 0 m2 m2 2 0 m2 0 m 0. Chọn D. Câu 82: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình m 1 sin x mcos x 1 m cĩ nghiệm. A. 21. B. 20. C. 18. D. 11. Hướng dẫn giải
Lượng giác Nâng Cao 2 2 2 2 m 0 Phương trình cĩ nghiệm m 1 m 1 m m 4m 0 m 4 m ¢ cĩ 18 giá trị. m  10;10 m 10; 9; 8; ; 4;0;1;2; ;8;9;10  Chọn C. Câu 83: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình m 1 sin2 x sin 2x cos 2x 0 cĩ nghiệm. A. 4037. B. 4036. C. 2019. D. 2020. Hướng dẫn giải 1 cos 2x Phương trình m 1 sin 2x cos 2x 0 2 2sin 2x 1 m cos 2x m 1. Phương trình cĩ nghiệm 2 2 1 m 2 m 1 2 4m 4 m 1 m ¢ cĩ 2020 giá trị. m  2018;2018 m 2018; 2017; ;0;1  Chọn D. Câu 84: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2x cos2 2x asin2 x 0 cĩ nghiệm x 0; ? 6 A. 0 . B. 1. C. 2 D. .3 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cos 2x Phương trình cos3 2x cos2 2x a 0 2 cos 2x 1(1) 3 2 2 2cos 2x 2cos 2x a cos 2x a 0 cos 2x 1 2cos 2x a 0 a cos2 2x (2) 2 -Giải (1) 2x k2 x k (k ¢ ) , các nghiệm này khơng thuộc 0; . 6 1 1 2 -Giải (2) cĩ x 0; 2x 0; cos 2x 1 cos 2x 1 6 3 2 4 1 a 1 Suy ra phương trình (2) cĩ nghiệm thuộc 0; 1 2 a . 6 4 2 2 Vậy cĩ 1 giá trị nguyên của a là 1. 3 Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2x 2m 1 cos x m 1 0 cĩ nghiệm trên ; là 2 2 m a;b thì a b là: A. 0 . B. 1. C. 1. D. 2 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 cos x cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 2cos2 x 2m 1 cos x m 0 2 cos x m 3 1 3 x ; cos x  1;0 cos x khơng cĩ nghiệm thỏa mãn ; . 2 2 2 2 2
Lượng giác Nâng Cao 3 Phương trình cĩ nghiệm trên ; 1 m 0 a b 1. 2 2 6 6 Câu 86: Phương trình sin x cos x 3sin x cos x m 2 0 cĩ nghiệm khi m a;b thì tích a.b bằng: 9 9 75 15 A. . B. . C. . D. . 4 2 16 4 Hướng dẫn giải Chọn C. sin6 x cos6 x 3sin x.cos x m 2 0 3 3 1 sin2 2x sin 2x m 2 0 (*) 4 2 4m 3sin2 2x 6sin 2x 12 Đặt t sin 2x,t  1;1. Xét f t 3t 2 6t 12 trên  1;1. 3 15 Suy ra (*) cĩ nghiệm 3 4m 15 m . 4 4 75 Vậy ab . 16 m Câu 87: phương trình msin x (m 1)cos x . Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 cos x để phương trình cĩ nghiệm là: A. 9. B. 8. C. 10. D. 7 Hướng dẫn giải Chọn A +) Điều kiện: cos x 0 Khi đĩ, phương trình tương đương với m 2 2 m tan x m 1 2 m tan x m 1 m 1 tan x m tan x m tan x 1 0 cos x Nhận xét: Với m = 0 thì phương trình vơ nghiệm. m 0 Nên phương trình cĩ nghiệm kh và chỉ khi 0 m 4 Vì 0 m 10 nên m 1,2, 9 . Vậy cĩ 9 giá trị. Câu 88: Phương trình sin 4x tan x cĩ nghiệm dạng x k và x marccos n k k ¢ thì m n bằng: 3 3 1 3 1 3 A. m n . B. m n . C. m n . D. m n . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A.
Lượng giác Nâng Cao Điều kiện: cos x 0 x k ;k ¢ 2 Phương trình sin 4x.cos x sin x 2sin 2x.cos 2x.cos x sin x 0 4sin x.cos2 x.cos 2x sin x 0 4cos2 x.cos 2x 1 sin x 0 sin x 0 sin x 0 1 3 cos 2x 2cos2 2x 2cos 2x 1 0 2 1 3 cos 2x VN 2 x k 1 1 3 k Z x arccos k 2 2 1 1 3 3 m n 2 2 2 Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2x 2m 1 cos x m 1 0 3 cĩ nghiệm trên khoảng ; . 2 2 1 A. 1 m 0 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m . 2 Hướng dẫn giải. 1 cos x Phương trình 2cos2 x 2m 1 cos x m 0 2 . cos x m sin cos O 1 m 2 1 3 Nhận thấy phương trình cos x khơng cĩ nghiệm trên khoảng ; (Hình vẽ). Do 2 2 2 3 đĩ yêu cầu bài tốn cos x m cĩ nghiệm thuộc khoảng ; 1 m 0 . 2 2 Chọn B. 2 2 Câu 90: Biết rằng khi m m0 thì phương trình 2sin x 5m 1 sin x 2m 2m 0 cĩ đúng 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3 . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2
Lượng giác Nâng Cao 1 3 7 3 2 A. m 3. B. m . C. m0 ; . D. m0 ; . 2 5 10 5 5 Hướng dẫn giải Đặt t sin x 1 t 1 . Phương trình trở thành 2t 2 5m 1 2m2 2m 0. * sin sin t2 cos cos O O t2 Hình 1 Hình 2 Yêu cầu bài tốn tương đương với: TH1: Phương trình * cĩ một nghiệm t1 1 (cĩ một nghiệm x ) và một nghiệm 0 t2 1 (cĩ bốn nghiệm x ) (Hình 1). c Do t 1 t m2 m . 1 2 a m 3  t2 6 0;1 loại Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 1 1 . m  t 0;1 thỏa 2 2 4 TH2: Phương trình * cĩ một nghiệm t1 1 (cĩ hai nghiệm x ) và một nghiệm 1 t2 0 (cĩ ba nghiệm x ) (Hình 2). c Do t 1 t m2 m . 1 2 a m 1 t2 2 1;0 loại Thay t1 1 vào phương trình * , ta được 1 3 . m  t 1;0 loại 2 2 4 1 1 3 2 Vậy m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Do m ; . 2 2 5 5 Chọn D. Chú ý: Ta cĩ thể sử dụng cách tìm nghiệm t theo m rồi cho t thỏa mãn ycbt Câu 91: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 2cos 3x 3 2m cos3x m 2 0 cĩ đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ; . 6 3 A. 1 m 1. B. 1 m 2. C. 1 m 2. D. 1 m 2. Hướng dẫn giải Đặt t cos x 1 t 1 . Phương trình trở thành 2t 2 3 2m t m 2 0. 1 2 t Ta cĩ 2m 5 . Suy ra phương trình cĩ hai nghiệm 1 2 . t2 m 2
Lượng giác Nâng Cao sin cos O 1 t2 t = 1 2 1 Ta thấy ứng với một nghiệm t1 thì cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ; . Do đĩ 2 6 3 yêu cầu bài tốn 1 t2 0 1 m 2 0 1 m 2. Chọn B. Cách 2. Yêu cầu bài tốn tương đươn với phương trình 2t 2 3 2m t m 2 0 cĩ hai P 0 nghiệm t1, t2 thỏa mãn 1 t2 0 t1 1 a. f 1 0 . a. f 1 0 Chú ý: Ta cĩ thể sử dụng cách tìm nghiệm t theo m rồi cho t thỏa mãn ycbt Câu 92: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin x cos x sin x cos x m 0 cĩ nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải t 2 1 Đặt t sin x cos x 2 t 2  sin x cos x . 2 2 t 1 2 Phương trình trở thành t m 0 2m t 2 2t 1 t 1 2m 2 . 2 Do 2 t 2  2 1 t 1 2 1 0 t 1 2 3 2 2 . 1 2 2 Vậy để phương trình cĩ nghiệm 0 2m 2 3 2 2 m 1 2 m ¢ m 1;0;1. Chọn C. Câu 93: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:sin 2x 2 sin x m 0 cĩ 4 nghiệm. A. .3 B. . 4 C. . 5 D. . 6 Hướng dẫn giải Chọn B. sin 2x 2 sin x m 0 sin 2x sin x cosx m 0 4 Đặt t sin x cosx 2 sin x t 2; 2 ,x ¡ 4 t 2 1 2sin xcosx sin 2x 1 t 2 m 1 t 2 t m 0 Ta đi tìm để phương trình cĩ nghiệm t 2; 2
Lượng giác Nâng Cao 1 t 2 t m cĩ nghiệm t 2; 2 f t 1 t 2 t Xét trên 2; 2 5 Suy ra 1 2 f t ,t 2; 2 4 m f t Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm cĩ nghiệm trên 2; 2 5 m 1 2; mà m ¢ m 2; 1;0;1 4 Vậy cĩ 4 giá trị m thỏa mãn. Câu 94: Phương trình cos3 x sin3 x cos2x cĩ tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất là: 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A. cos3 x sin3 x cos 2x cos x sin x cos2 x cos xsin x sin2 x cos2 x sin2 x cos x sin x 1 cos xsin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 0 (1) 1 cos xsin x cos x sin x 2 Giải 1 2 sin x 0 x k k ¢ 4 4 Giải 2 :1 cos xsin x sin x cos x 0 Đặt t sin x cosx 2 sin x t 2; 2 ,x ¡ 4 t 2 1 2sin xcosx sin 2x 1 t 2 1 t 2 2 1 t 0 t 2 2t 1 0 t 1 2 x k2 2 sin x 1 3 k ¢ 4 x k2 2 x k2 4 Vậy nghiệm của phương trình là x k2 k ¢ 3 x k2 2 Biểu diễn nghiệm này trên vịng trịn lượng giác
Lượng giác Nâng Cao 3 ta suy ra nghiệm lớn nhất là x và nghiệm bé nhất là x 1 4 2 4 Vậy x x . 1 2 2 Câu 95: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10 để phương trình 11sin2 x m 2 sin 2x 3cos2 x 2 cĩ nghiệm? A. 16. B. 21. C. 15. D. 6. Hướng dẫn giải Phương trình 9sin2 x m 2 sin 2x cos2 x 0 1 cos 2x 1 cos 2x 9. m 2 sin 2x 0 m 2 sin 2x 4cos 2x 5. 2 2 2 2 m 5 Phương trình cĩ nghiệm m 2 16 25 m 2 9 m 1 m ¢ cĩ 16 giá trị nguyên. m  10;10 m 10; 9; ; 1;5;6; ;10  Chọn A. Câu 96: Cĩ bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình sin2 x 2 m 1 sin x cos x m 1 cos2 x m cĩ nghiệm? A. 2. B. 1. C. 0. D. Vơ số. Hướng dẫn giải Phương trình 1 m sin2 x 2 m 1 sin x cos x 2m 1 cos2 x 0 1 cos 2x 1 cos 2x 1 m . m 1 sin 2x 2m 1 . 0 2 2 2 m 1 sin 2x mcos 2x 2 3m. Phương trình cĩ nghiệm 4 m 1 2 m2 2 3m 2 4m2 4m 0 0 m 1 m ¢ m 0;1  cĩ 2 giá trị nguyên. Chọn A. 2 2 Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình asin x asin x cos x bcos x 0 với a 0 cĩ nghiệm. 4b 4b A. a 4b . B. a 4b . C. 1. D. 1. a a Hướng dẫn giải Phương trình a tan2 x a tan x b 0 . Phương trình cĩ nghiệm a2 4ab 0 a a 4b 0 4b a 4b a 4b a 0 0 1. a a Chọn C. Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin2 x msin 2x 2m vơ nghiệm. 4 4 4 4 A. 0 m . B. m 0 , m . C. 0 m . D. m , m 0 . 3 3 3 3
Lượng giác Nâng Cao Hướng dẫn giải 1 cos 2x Phương trình 2. msin 2x 2m msin 2x cos 2x 2m 1. 2 m 0 2 Phương trình vơ nghiệm m2 1 2m 1 3m2 4m 0 4 . m 3 Chọn B. Câu 99: Cĩ tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình m2 2 cos2 x 2msin 2x 1 0 cĩ nghiệm. A. 3. B. 7 . C. 6 . D. 4 . Hướng dẫn giải 1 cos 2x Phương trình m2 2 . 2msin 2x 1 0 2 4msin 2x m2 2 cos 2x m2 4 . 2 2 Phương trình cĩ nghiệm 16m2 m2 2 m2 4 12m2 12 m2 1 m 1 m ¢ cĩ 6 giá trị nguyên. m  3;3 m 3; 2; 1;1;2;3  Chọn C. Câu 100:Để phương trình sin6 x cos6 x a | sin 2x | cĩ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: 1 1 3 1 1 A. 0 a . B. a . C. a . D. a . 8 8 8 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. 3 sin6 x cos6 x a | sin 2x | sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x a | sin 2x | 3 1 sin2 2x a | sin 2x | 0 3sin2 2x 4a | sin 2x | 4 0 4 Đặt sin 2x t t 0;1 . Khi đĩ ta cĩ phương trình3t 2 4t 4 0 1 Phương trình đã cho cĩ nghiệm khi phương trình 1 cĩ nghiệm 4a2 12 0 1 t 0;1 f 0 1 0 a . 4 f 1 4a 1 0 Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x sin x cos x m 0 , trong đĩ m là tham số thực. Để phương trình cĩ nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:. 1 1 1 1 A. 2 m 2 . B. 2 m 1. C. 1 m 2 . D. 2 m 1 2 2 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn D. t 2 1 Đặt sin x cos x t t 2 sin x cos x . Khi đĩ ta cĩ phương trình 2 t 2 1 t m 0 t 2 2t 2m 1 0 * 2
Lượng giác Nâng Cao Phương trình đã cho cĩ nghiệm khi phương trình * cĩ nghiệm 2 2m 0 s 2 1 2 m 1 2 1 t 2; 2 1 2 m 1. f 2 1 2 2 2m 0 m 2 2 2 f 2 1 2 2 2m 0 Câu 102: Cho phương trình: 4 sin4 x cos4 x 8 sin6 x cos6 x 4sin2 4x m trong đĩ m là tham số. Để phương trình là vơ nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là: 3 3 A. m 4 hay m 0 . B. m 1. C. 2 m . D. 2 2 m 2 hay m 0 . Hướng dẫn giải Chọn A Ta cĩ: 2 1 sin4 x cos4 x sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 2 3 3 sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x 3sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 1 sin2 2x 4 Phương trình đã cho trở thành 1 2 3 2 2 2 4 1 sin 2x 8 1 sin 2x 16sin 2x cos 2x m 2 4 4sin2 2x 16sin2 2x 1 sin2 2x 4 m 16sin4 2x 12sin2 2x 4 m 0 Đặtsin2 2x t t 0;1 . Khi đĩ phương trình trở thành16t 2 12t m 4 0 * * vơ nghiệm khi và chỉ khi: 25 TH1: 100 16m 0 m . 4 25 100 16m 0 m 4 TH2: 4 . f 0 f 1 m m 4 0 m 0 Vậy các giá trị cần tìm m 4 hay m 0 . Khơng cĩ đáp án đúng. sin6 x cos6 x Câu 103: Cho phương trình: 2m.tan 2x , trong đĩ m là tham số. Để phương trình cĩ cos2 x sin2 x nghiệm, các giá trị thích hợp của m là: 1 1 1 1 1 1 A. m hay m . B. m hay m . C. m hay m . D. m 1 hay m 1 8 8 8 8 2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B ĐK: cos 2x 0 2 2 3 2 2 2 2 sin6 x cos6 x sin x cos x 3sin x cos x sin x cos x 2m.tan 2x 2m tan 2x cos2 x sin2 x cos 2x
Lượng giác Nâng Cao 3 1 sin2 2x 3 4 2m tan 2x 1 sin2 2x 2msin 2x 3sin2 2x 8msin 2x 4 0. cos 2x 4 Đặtsin 2x t t 1;1 .Khi đĩ phương trình trở thành: 3t 2 8mt 4 0 * Phương trình đã cho cĩ nghiệm khi phương trình * cĩ nghiệmt 1;1 1 m 8 t 1;1 f 1 f 1 0 8m 1 8m 1 0 TH1: * cĩ 1 nghiệm 1 m 8 . 2 1 16m 12 0 m 8 f 1 8m 1 0 1 TH2: * cĩ 2 nghiệmt 1;1 f 1 8m 1 0 m VN . 8 s 4m 1 1 3 3 m 2 3 4 4 1 4 tan x Câu 104: Cho phương trình cos 4x m . Để phương trình vơ nghiệm, các giá trị của tham số m 2 1 tan2 x phải thỏa mãn điều kiện:. 5 3 A. m 0 . B. 0 m 1. C. 1 m . D. 2 2 5 3 m hay m . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. ĐK: cos x 0. 1 4 tan x 1 4 tan x 1 cos 4x m cos 4x m cos 4x 4sin x cos x m 2 1 tan2 x 2 1 2 cos2 x 1 1 1 2sin2 2x 2sin 2x m sin2 2x 2sin 2x m 0 2 2 1 Đặt sin 2x t t  1;1 . Khi đĩ phương trình trở thành: t 2 2t m 0(*) 2 Phương trình (*) vơ nghiệm: 3 3 TH1: m 0 m . 2 2 3 m 2 0 5 5 TH2: 5 3 m m . f 1 f 1 m m 0 2 2 2 2 3 m 2 2 Câu 105:Để phương trình: 4sin x .cos x a 3 sin 2x cos 2x cĩ nghiệm, tham số a 3 6 phải thỏa điều kiện:
Lượng giác Nâng Cao 1 1 A. 1 a 1. B. 2 a 2 . C. a . D. 3 a 3. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Phương trình tương đương 2 sin 2x sin a 2sin 2x 6 2 6 2 2 sin 2x 1 a 2sin 2x 6 6 2 2 sin 2x sin 2x a 2 6 6 4.cos 2x.sin a2 2 6 a2 2 cos 2x 2 a2 2 Để phương trìnhcĩ nghiệm thì 1 1 2 a 2 . 2 a2 sin2 x a2 2 Câu 106:Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos 2x A. | a | 1. B. | a | 2 . C. | a | 3 . D. a 1,a 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện của phương trình cos x 0,cos 2x 0, tan2 x 1 sin2 x a2 2 sin2 x a2 2 2 2 a 2 2 a 2 2 Phương trình tương đương cos x cos x cos x cos x 1 tan2 x sin2 x 1 tan2 x sin2 x 1 1 cos2 x cos2 x a2 tan2 x (a2 2)(1 tan2 x) (a2 1) tan2 x 2 • Nếu a2 1 0 | a | 1 (1) vơ nghiệm. 2 2 • Nếu a 1: (1) tan2 x . Phương trình cĩ nghiệm khi 1 a 3 . a2 1 a2 1 Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm khi a 1,a 3 Câu 107: Tìm m để phương trình cos x 1 cos 2x mcos x msin2 x cĩ đúng 2 nghiệm 2 x 0; . 3 1 1 1 A. 1 m 1. B. 0 m . C. 1 m - . D. m 1. 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta cĩ cos x 1 cos 2x mcos x msin2 x cos x 1 cos 2x mcos x m 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x 1 cos 2x mcos x m mcos x cos 2x m