Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thành phố Hải Phòng (Có đáp án)

1. STT 28. ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TP. HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: 2 A= 2 8 – 50 2 1 ; x 1 1 B = –  (với x 0; x 1). x –1 x x –1 x +1 a) Rút gọn các biểu thức A, B; b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức A gấp hai lần giá trị biểu thức B . Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm các giá trị của m để cả hai đường thẳng y 2x – m và y m 1 x –1cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = –1. 3x 2 2y 1 0 b) Giải hệ phương trình sau . 3x 2y 2 7 x Câu 3. (2,5 điểm) 1. Cho phương trình: x2 m 1 x m 0 (1) (với x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m 4 ; b) Xác địnhcác giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn điều kiện: x1 3 x2 20 3 3 x2 . 2. Bài toán có nội dung thực tế: “Em có tưởng tượng được hai lá phổi (gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay không? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người: Nam: P 0,057h – 0,022a – 4,23 Nữ: Q 0,041h – 0,018a – 2,69 trong đó: h : chiều cao tính bằng xentimét,
2. a : tuổi tính bằng năm, P ,Q : dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít” (Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, tr. 29). Bạn Hùng (nam) 15 tuổi, số đo chiều cao của bạn được biết qua bài toán sau: Chiều cao của bạn Hùng tính bằng xentimét. Đó là một số tự nhiên có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là 1, chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 2 và hai lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Tính dung tích chuẩn phổi của bạn Hùng. Câu 4. (3,5 điểm) 1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn O; R vẽ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng bốn điểm M , A, O, B cùng nằm trên một đường tròn; b) Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn đó sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D . Tiếp tuyến tại điểm C và điểm D của đường tròn O cắt nhau tại điểm N . Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của CD và ON. Chứng minh rằng OH.OM OK.ON R2 ; c) Chứng minh rằng ba điểm A, B, N thẳng hàng. 2. Hình trụ có đường kính đáy bằng 4cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích hình trụ (lấy 3,14 ). Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 a) Cho hai số x 0, y 0 . Chứng minh rằng  x y 4 x y 1 1 1 b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 16 . a b c 1 1 1 8 Chứng minh rằng:  3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 3 Hết
3. STT 28. LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TP. HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2017-2018 Câu 1. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức: 2 A= 2 8 – 50 2 1 ; x 1 1 B = –  (với x 0; x 1). x –1 x x –1 x +1 a) Rút gọn các biểu thức A, B; b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức A gấp hai lần giá trị biểu thức B . Lời giải a) (1,0 điểm): 2 A= 2 8 – 50 2 1 4 2 5 2 2 1 2 2 1 1 do 2 1 0 . x 1 1 B = –  (với x 0; x 1). x –1 x x –1 x +1 x -1 1 x -1 x +1 1 1 =   . x x –1 x +1 x x –1 x +1 x b) (0,5 điểm) 1 Để giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B thì 1 2. x 2 x 4 (thỏa x mãn điều kiện). Vậy x 4 thì giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B . Câu 2. (1,5 điểm) a) Tìm các giá trị của m để cả hai đường thẳng y 2x – m và y m 1 x –1 cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = –1. 3x 2 2y 1 0 b) Giải hệ phương trình sau . 3x 2y 2 7 x
4. Lời giải a) (0,75 điểm) Do đường thẳng y 2x m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 nên 0 2 m m 2 1 ; Mặt khác đường thẳng y m 1 x 1 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1 nên 0 1 m 1 1 m 2 0 m 2 (2) ; Từ (1) và (2) suy ra m 2 thì cả hai đường thẳng trên cùng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x 1. b) (0,75 điểm) 3x 2 2y 1 0 3x 4y 2 x 2 x 2 . 3x 2y 2 7 x 5x 2y 14 2y 14 10 y 2 x 2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: . y 2
5. Câu 3. (2,5 điểm) 1. Cho phương trình: x2 m 1 x m 0 (1) (với x là ẩn số, m là tham số). a) Giải phương trình (1) với m 4 ; b) Xác địnhcác giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn điều kiện: x1 3 x2 20 3 3 x2 . 2. Bài toán có nội dung thực tế: “Em có tưởng tượng được hai lá phổi (gọi tắt là phổi) của mình chứa khoảng bao nhiêu lít không khí hay không? Dung tích phổi của mỗi người phụ thuộc vào một số yếu tố, trong đó hai yếu tố quan trọng là chiều cao và độ tuổi. Sau đây là một công thức ước tính dung tích chuẩn phổi của mỗi người: Nam: P 0,057h – 0,022a – 4,23 Nữ: Q 0,041h – 0,018a – 2,69 trong đó: h : chiều cao tính bằng xentimét, a : tuổi tính bằng năm, P ,Q : dung tích chuẩn của phổi tính bằng lít” (Toán 7, tập hai, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, tr. 29). Bạn Hùng (nam) 15 tuổi, số đo chiều cao của bạn được biết qua bài toán sau: Chiều cao của bạn Hùng tính bằng xentimét. Đó là một số tự nhiên có 3 chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là 1, chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 2 và hai lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4. Tính dung tích chuẩn phổi của bạn Hùng. Lời giải 3.1 a) (0,5 điểm) Với m 4 phương trình (1) có dạng: x2 3x 4 0. 2 Ta có: 3 4. 4 .1 25 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 1; x2 4 . Vậy khi m 4 thì phương trình (1) có hai nghiệm x1 1; x2 4 . 3.1 b) (1,0 điểm) Tính m 1 2 4m m 1 2 . Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì 0 m 1 2 0 m 1.
6. x1 x2 m 1 Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: . x1.x2 m Theo đầu bài ta có: x1 3 x2 20 3 3 x2 3 x1 x2 x1x2 11 3 m 1 m 11 4m 8 m 2. Vậy m 2; m 1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 3 x2 20 3 3 x2 . 3.2 (1,0 điểm) Gọi chữ số hàng chục là a, điều kiện: a ¥ , 0 a 9 Do chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 2 nên chữ số hàng đơn vị là a 2 . Mặt khác hai lần chữ số hàng chục hơn chữ số hàng đơn vị là 4 nên ta có: 2a a 2 4 . Giải phương trình ta được a 6 . Nên chữ số hàng đơn vị là a 2 8 . Suy ra chiều cao bạn Hùng là 168 cm. Khi đó dung tích phổi của bạn Hùng là: P 0,057.168 0,022.15 4,23 5,016 (lít). Câu 4. (3,5 điểm) 1. Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn O; R vẽ các tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). a) Chứng minh rằng bốn điểm M , A, O, B cùng nằm trên một đường tròn; b) Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O của đường tròn đó sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D . Tiếp tuyến tại điểm C và điểm D của đường tròn O cắt nhau tại điểm N . Gọi H là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của CD và ON. Chứng minh rằng OH.OM OK.ON R2 ; c) Chứng minh rằng ba điểm A, B, N thẳng hàng. 2. Hình trụ có đường kính đáy bằng 4cm và chiều cao bằng đường kính đáy. Tính thể tích hình trụ (lấy 3,14 ).
7. Lời giải A O H M C K D B N (Trường hợp cát tuyến MCD cắt đoạn thẳng OA chứng minh tương tự). 4.1 a (0,75 điểm) + Xét đường tròn O có MA, MB là tiếp tuyến M· AO M· BO 90 + Xét tứ giác MAOB có M· AO M· BO 180 Mà hai góc này ở vị trí đối nhau Suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn. Do đó bốn điểm M , A, O, B cùng nằm trên một đường tròn. 4.1 b (1,0 điểm) Ta có MA MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); Lại có OA OB R OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB OM  AB tại H . Xét AOM vuông tại A, đường cao AH: Theo hệ thức về cạnh góc vuông và đường cao trong tam giác vuông ta có: OH.OM OA2 R2 1 Chứng minh tương tự ta được : OK.ON R2 (2); Từ (1) và (2) suy ra OH.OM OK.ON R2 (đpcm). 4.1 c (0,75 điểm) OK OM Từ câu b) ta có : OH.OM OK.ON . OH ON OK OM  cmt Xét OKM vµ OHN có: OH ON  OKM ∽ OHN c.g.c · · MOK NOH  O· KM O· HN 900 HN  OM tại H 3 ;
8. Mặt khác AB  OM tại H 4 ; + Từ (3) và (4) suy ra ba điểm A, B, N thẳng hàng (đpcm). 4.2. (0,5 điểm) Theo bài ra ta có: r d : 2 4 : 2 2cm h 4cm . Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ, ta có: V = .r2.h = .22.4=50,24 cm3 . Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 a) Cho hai số x 0, y 0 . Chứng minh rằng  x y 4 x y 1 1 1 b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 16 . a b c 1 1 1 8 Chứng minh rằng:  3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 3 Lời giải a) (0,25 điểm) Xét hiệu: 2 2 1 1 1 1 x y 1 x y 4xy x y 0 (do x 0; y 0 ) 4 x y x y 4xy x y 4xy x y 4xy x y 1 1 1 1 Vậy  x y 4 x y Dấu “=” xảy ra x y  b) (0,75 điểm) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có: 1 1 1 1 1 1 ; 3a 2b c 3a 2b c 4 3a 2b c 9 1 1 1 Chứng minh được với a;b;c 0 ta có  a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức trên ta được: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 ; 4 3a 2b c 4 3a 9 b c 4 3a 9b 9c
9. 1 1 1 2 1 Từ (1) và (2) suy ra . 3a 2b c 4 3a 9b 9c Chứng minh tương tự ta được: 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 ; . a 3b 2c 4 9a 3b 9c 2a b 3c 4 9a 9b 3c Cộng theo vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được: 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 8   16 . 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 4 3 a b c 4 3 3 a b c 3 Dấu “=” xảy ra 1 1 1 a b c . 16 16 a b c 1 1 1 8 Vậy (đpcm). 3a 2b c a 3b 2c 2a b 3c 3