Tài liệu ôn thi Toán vào 10: Hàm số bậc nhất

Nội dung text: Tài liệu ôn thi Toán vào 10: Hàm số bậc nhất

1. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÀM SỐ BẬC NHẤT Dạng 1: Chứng tỏ đồ thị hàm số là hàm số bậc 1, tìm điều kiện để hàm số là hàm số bậc 1. Bài 1: Tìm điều kiện để các hàm số sau là hàm số bậc nhất: a) y =(m-2)x+3m-1 b) y = + 1 .x+m-2 c) y=( m2+5m+6)x –m+3 HD: Để hàm số là hàm số bậc nhất thì: a) m-2 ≠ 0  m ≠ 2. b) m+1 >0  m> -1. c) m2+5m+6 ≠ 0  (m+2)(m+3) ≠ 0  m ≠ -2; m ≠ -3. Bài 2: Chứng minh các hàm số sau luôn là hàm số bậc nhất với mọi m: a) y =(m2+1)x+3m-1 b) y = ( 2 + 2 + 10) x+m-2 HD: a) Vì a= m2+1 ≠ 0 với mọi m nên hàm số luôn là hàm số bậc 1. Câu b tương tự. b) m2+2m+10 =(m+1)2+9 Bài 3: Tìm a, b để hàm số là hàm số bậc nhất. y = (a2 -4)x2 +(b-3a)(b+2a)x -2 HD: Hàm số là hàm số bậc nhất khi: a2 − 4 = 0 a = ±2  b − 3a b + 2a ≠ 0 b − 3a b + 2a ≠ 0 (1) TH1: a =2. Thay vào (1) ta được: b − 6 b + 4 ≠ 0  b ≠ 6; b ≠ -4. TH2: a= -2. Thay vào (1) ta được: b + 6 b − 4 ≠ 0  b ≠ - 6; b ≠ 4. Dạng 2: Tìm m để hàm số đồng biến ( tạo với trục Ox một góc nhọn hoặc đường thẳng có hướng đi lên) , nghịch biến(tạo với trục Ox một góc tù hoặc đường thẳng có hướng đi xuống ) Phương pháp: Đồ thị hàm số y=ax+b đồng biến khi a>0; nghịch biến khi a<0. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
2. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 BÀI TẬP: Bài 1: Tìm m để: a) y =(m-1)x+3m đồng biến b) y =(m2-1)x+2m-1 có hướng đi xuống c) y =(m2+2m+5)x -3m-2 nghịch biến d) y = (m2-5m+6) có hướng đi lên e) y= (m+1)x +2+m tạo với trục Ox một góc nhọn f) y =( 1-4m)x+4m-2 tạo với trục Ox một góc tù. HD: a) Hàm số đồng biến khi m -1 >0  m>1. b) Đường thẳng có hướng đi xuống khi m2-1 0  (m-2)(m-3) > 0  m>3 hoặc m 0  m> -1. f) Hàm số tạo với trục Ox một góc α tù khi tanα = 1-4m 1/4. Dạng 3: Hệ số góc của đường thẳng y = ax+b. Phương pháp: Nếu đường thẳng có dạng y =ax+b thì hệ số góc là a. ( a = tan훼 với 훼 là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương trục Ox ) Bài 1: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2m-3. Tìm m biết: a) Hệ số góc của đường thẳng là 3. b) Đường thẳng tạo với trục Ox một góc 450 HD: a) Vì hệ số góc của đường thẳng là 3 nên m-1 =3  m= 4. b) Vì đường thẳng tạo với trục Ox góc 450 nên hệ số góc của đường thẳng là: m-1 = tan450  m-1 =1  m= 2. Dạng 4: Vẽ đồ thị hàm số y=ax+b. Phương pháp: Để vẽ đồ thị hàm số, ta tìm hai điểm mà đồ thị hàm số đi qua rồi nối Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
3. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI chúng lại ( thường tìm giao với hai trục tọa độ). Tìm giao điểm với Ox: Ta cho y =0 để tìm x rồi suy ra giao điểm. Tìm giao điểm với Oy: Ta cho x =0 để tìm y rồi suy ra giao điểm. BÀI TẬP: Bài 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: y = x -3 Giải: * y= x-3: Giao điểm của đồ thị với Ox: y=0, suy ra x-3=0 x=3. Vậy đồ thị cắt Ox tại A(3;0). Giao điểm của đồ thị với Oy: x =0, suy ra y = 0-3=-3. Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0;-3). Nối hai điểm A và B ta được đồ thị hàm số y =x-3. y 3 O 3 x -3 Dạng 5: Tìm giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và y=g(x). Phương pháp: Xét hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn phương trình: f(x)=g(x) ta tìm được x; y và suy ra giao điểm. Chú ý: Tìm giao điểm của đồ thị với Ox: cho y=0 suy ra x Tìm giao điểm của đồ thị với Oy: cho x=0 suy ra y. BÀI TẬP: Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau: y=3x-1 và y=x+5. Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị thỏa mãn: 3x-1=x+5  x = 3 suy ra y= 8. ( bằng cách thay x=3 vào y=3x-1 hoặc y=x+5) . Vậy hai đồ thị giao nhau tại A(3;8). Bài 2: Tìm giao điểm của đồ thị y=2x-4 với Ox và Oy: Giải: Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
4. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Đồ thị giao Ox : y=0 suy ra 2x-4=0  x=2. Vậy đồ thị cắt Ox tại A(2;0) Đồ thị giao Oy : x=0 suy ra y= -4. Vậy đồ thị cắt Oy tại B(0; -4) Bài 3: Tìm m biết đường thẳng y = (2m-1)x-2m+2 a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1. Giải: a) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị đi qua A(3; 0). Thay x =3; y=0 vào đồ thị ta được: 0=(2m-1).3-2m+2  6m-3-2m+2=0  m= 1/4. b) Tương tự. Thay x =0; y =-1 vào đồ thị ta được: -1 =(2m-1).0-2m+2  m =3/2. Bài 4: Tìm giao điểm của hai đồ thị: y =2x2 và y = x+1. Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình: 1 2x2 = x+1  2x2 –x-1 =0  (x-1)(2x+1) =0  x =1 hoặc x = − 2 Với x =1 suy ra y =2. 1 1 Với x = − suy ra y = 2 2 1 1 Vậy hai đồ thị giao nhau tại hai điểm A(1;2) và B(− ; ) 2 2 Dạng 6: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, vuông góc, song song, trùng nhau: Phương pháp: BÀI TẬP: Bài 1. Tìm m để hai đường thẳng y=(m-3)x+3 và y= 2mx+2 song song, cắt nhau, vuông góc. HD: Điều kiện: m ≠ 3. Hai đường thẳng cắt nhau khi: m-3 ≠ 2m  m ≠ -3. Vậy Hai đường thẳng song song khi : m-3 = 2m  m = -3. Vậy 6± 28 Hai đường thẳng vuông góc khi : (m-3).2m = -1  2m2-6m+1 =0  m = . 4 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
5. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Dạng 7: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau thỏa mãn điều kiện K. Phương pháp chung: - Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau (1) - Tìm giao điểm của hai đường thẳng là x =f(m); y= g(m). - Thay x, y vào điều kiện K để tìm m, đối chiếu với điều kiện (1) và kết luận. a) Hai đường thẳng cắt nhau thuộc góc phần tư thứ nhất, thứ hai: > 0 - Thuộc góc phần tư thứ I: và ≠ > 0 1 2 0 1 2 0 - Thuộc góc phần tư thứ IV: và ≠ 0 > 0 −4 − 4 > 0  −10   m >10. > 0 > 0 − 10 > 0 −4 Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc góc phần tư thứ 2 khi: 3 0 > 0 − 10 < 0 −4 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
6. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI b) Hai đường thẳng 풚 = 풙 + và 풚 = 풙 + cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành Ox - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : 1 ≠ 2 - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: = 0; = − 1 suy ra A(− 1 ; 0 ) 1 1 - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Ox: = 0; = − 2 suy ra B(− 2 ; 0) 2 2 1 ≠ 2 - Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox thì A ≡ B nên : 1 = 2 1 2 Bài 1. Tìm m để y= x+ m-3 và y= 2x+3m-1 Cắt nhau tại một điểm thuộc Ox. HD: Vì a1= 1; a2 = 2 nên hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm. b) Giao điểm của y= x+ m-3 với Ox là : y=0 ; x = 3-m suy ra giao điểm C(3-m;0) 1−3m 1−3m Giao điểm của y= 2x+3m-1 với Ox là: y=0; x = suy ra giao điểm D( ; 0) 2 2 1−3m Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên Ox thì C ≡ D. Suy ra = 3 − m 2  m= -5. Vậy m= -5 thì hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Ox. c) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung Oy - Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau : 1 ≠ 2 - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: x= 0; = 1 suy ra A(0; 1 ) - Tìm giao điểm của đường thẳng thứ nhất với Oy: = 0; = 2 suy ra B(0; 2 ) ≠ - Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm thuộc Oy thì A ≡ B nên : 1 2 1 = 2 Bài 1. Tìm m để y= x+ m-3 và y= 2x+3m-1 Cắt nhau tại một điểm thuộc Oy. HD: Vì a1= 1; a2 = 2 nên hai đường thẳng luôn cắt nhau tại một điểm. Giao điểm của y= x+ m-3 với Oy là : A(0; m-3) Giao điểm của y= 2x+3m-1 với Oy là B(0; 3m-1). Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm nằm trên Oy thì A ≡ B. Suy ra m-3 = 3m-1  m= -1. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
7. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI d) Hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ m: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 1 ≠ 2 Bước 2: Thay x =m vào đường thẳng thứ nhất để tìm y. Bước 3: Thay x= m và y tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm m. Bước 4: Kết hợp các điều kiện để kết luận. Bài 1. Tìm m để y =x+3m-1 và y=(m-1)x +m cắt nhau tại một điểm có hoành độ x =1. HD: Hai đường thẳng cắt nhau khi : m-1 ≠ 1  m ≠ 2. Thay x=1 vào y =x+3m-1 ta được: y=3m. Thay x =1 ; y=3m vào y=(m-1)x +m ta được 3m =(m-1).1+m  m= -1. Vậy m = -1 thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1. e) Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ y=m. Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: 1 ≠ 2 Bước 2: Thay y =m vào đường thẳng thứ nhất để tìm x. Bước 3: Thay y= m và x tìm được ở bước 2 vào đường thẳng thứ 2 để tìm m. Bước 4: Kết hợp các điều kiện để kết luận. Bài 1. Tìm m để y= x+2m+1 và y= (m-1)x +3 cắt nhau tại một điểm có tung độ là 3 HD: Hai đường thẳng cắt nhau khi : m-1 ≠ 1  m ≠ 2. Thay y =3 vào y= x+2m+1 ta được 3 = x+2m+1  x= 2-2m. Thay y=3; x= 2- 2m vào y= (m-1)x +3 ta được: 3= (m-1)(2-2m)+3  (m-1)(2-2m) =0  m=1. Vậy m=1 thì hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 3. f) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên: Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: Bước 2: Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tìm x, y theo m. Bước 3: Dùng tính chất chia hết để tìm m, đối chiếu với điều kiện và kết luận. Bài 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có tọa độ nguyên: Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
8. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI mx+2y=5 (1) và 2x+y=1 (2) 2 Hai đường thẳng cắt nhau khi: ≠  m ≠ 4. 2 1 3 Từ (2) suy ra y=1-2x thay vào (1) ta được: mx+2-4x=5  x = . Để x nguyên thì 3 ⋮ −4 (m-4) hay m-4={-3; -1; 1; 3}. m-4 -3 -1 1 3 m 1 3 5 7 Vậy m = { 1;3;5;7} g) Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau ( Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng nằm trên một đường cố định) Phương pháp: - Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau. - Dùng phương pháp cộng để tìm tọa độ giao điểm x, y theo m. - Khử m trong biểu thức tọa độ x, y để tìm quỹ tích. Bài 1: Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau và tìm quỹ tích giao điểm của hai đường thẳng đó d1: mx+2y=m+1 d2: 2x+my= 2m-1. Hai đường thẳng cắt nhau khi: 2 ≠  m ≠ ± 2. 2 +1− −1 2 +1 Thay y= từ d vào d ta tìm được x = suy ra y= 2 1 2 +2 +2 −1 2 +1 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là A( ; ) +2 +2 −1 3 2 +1 3 Ta thấy: x = = 1 − ; y= = 2 − suy ra x-y=-1. Vậy quỹ tích giao +2 +2 +2 +2 điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng x-y= -1 Dạng 8: Các dạng lập phương trình đường thẳng a) Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A(풙 , 풚 ); B(풙 , 풚 ) Phương pháp: −풙 −풚 Cách 1: (nâng cao) Phương trình đường thẳng là: = 풙 −풙 풚 −풚 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
9. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Cách 2: giả sử phương trình đường thẳng là y=a.x+b (1) - Thay tọa độ của A( 1, 1); B( 2, 2) vào (1) ta được hệ phương trình: = . + 1 1 từ hệ phương trình trên tìm được a,b thay vào (1) ta được phương 2 = . 2 + trình đường thẳng. Bài 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -1) và B(2;1) HD: Cách 1: − − −1 + 1 Phương trình đường thẳng AB có dạng: = hay =  2(x-1) − − 2−1 1+1 =1(y+1) hay y=2x-3. Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng AB là y=ax+b. Thay tọa độ A(1; -1) và B(2;1) vào đường thẳng ta được: −1 = . 1 + Suy ra : a=2; b=-3. Vậy đường thẳng AB là: y=2x-3. 1 = . 2 + Bài 2: Tìm đường thẳng y=ax+b biết đường thẳng cắt trục tung tại 4 và cắt trục hoành tại -2. HD: Vì đường thẳng cắt trục tung tại 4 nên điểm A(0;4) thuộc đồ thị. thay x=0; y=4 vào đồ thị ta được: 4= a.0+b nên b=4. Vì đường thẳng cắt trục hoành tại -2 nên đường thẳng đi qua B(-2; 0). Thay x=-2; y=0 vào đường thẳng ta được: 0= -2a+4. suy ra a=2. Vậy đường thẳng cần tìm là y=2x+4. Bài 3: Tìm m và n biết y =(m-1)x+2n đi qua điểm A(1;3) và B(-3; -1). HD: Thay tọa độ A(1;3) và B(-3;-1) vào đường thẳng y =(m-1)x+2n ta được: 3 = m − 1 . 1 + 2n m + 2n = 4 m = 2   −1 = m − 1 . −3 + 2n −3m + 2n = −4 n = 1 b) Lập phương trình đường thẳng qua A(풙 , 풚 ) và có hệ số góc là k Phương pháp: Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
10. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI - Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=k(x- 1) + 1 ( nâng cao) - Cách 2: Gọi đường thẳng là y=ax+b. Vì hệ số góc là k nên a=k. Vì đường thẳng qua A( 1, 1) nên thay tọa độ A vào đường thẳng để tìm b. BÀI TẬP: Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2; 1) có hệ số góc là 3. Cách 1: Phương trình đường thẳng là: y=3(x-2)+1=3x-5. Cách 2: Gọi phương trình đường thẳng là y=ax+b. Vì hệ số góc là 3 nên a=3. Điểm A(2;1) thuộc đường thẳng nên thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: 1=2.a+b mà a=3 suy ra b=-5. Vậy đường thẳng cần tìm là: y=3x-5. Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +2n-3. Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc là 3 và đi qua A( 2;1) HD: Vì hệ số góc là 3 nên m-1 =3  m=4. Vì đường thẳng qua A(2;1) thay x=2; y=1 vào đường thẳng ta được: 1 = (m-1).2 +2n-3  2m+2n = 6. Mà m =4 nên n= -1. c) Lập phương trình đường thẳng qua A(풙 , 풚 ) và tạo với trục Ox một góc 휶 Phương pháp: Gọi phương trình đường thẳng là: y= ax+b. Vì đường thẳng tạo với trục Ox một góc 훼 nên a = tan훼. Thay tọa độ điểm A( 1, 1) vào đường thẳng để tìm b. Từ đó suy ra đường thẳng. BÀI TẬP: Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua A(2;1) và tạo với trục Ox một góc 300 Gọi đường thẳng cần tìm là y= ax+b. 3 Vì đường thẳng tạo với trục Ox một góc 300 nên a =tan300 = 3 Vì đường thẳng qua A(2;1) nên thay x =2; y=1 vào đường thẳng ta được: 3 3−2 3 1 = . 2 +  = . 3 3 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
11. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI 3 3−2 3 Vậy đường thẳng cần tìm là: = + 3 3 d) Lập phương trình đường thẳng qua A(풙 , 풚 ) và song song với y=a.x+b Phương pháp: - Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là: y=k.x+c (d). Vì (d)// y=ax+b nên k=a. Thay tọa độ điểm A( 1, 1) vào đường thẳng ta được : 1 = . 1 + , từ đó tính được c. Bài 1: Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(1;3) và song song với đường thẳng y=-4x+3. Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d). Vì (d)//y= - 4x+3 nên a= - 4. (d) qua M(1;3) nên thay x=1; y=3 vào đường thẳng ta được: 3=a.1+b mà a= -4 nên b=7. Vậy đường thẳng cần tìm là y= -4x+7 Bài 2: Cho đường thẳng y =(m+1)x +2n -3. Tìm m , n biết đường thẳng song song y =x+1 và đi qua A(2;2). Vì đường thẳng song song y =x+1 nên m+1 =1  m=0. Vì đường thẳng qua A(2;2) nên thay x =2; y=2 vào đường thẳng ta được: 2 =(m+1).2 +2n-3  2m+2n = 3  n =1,5 ( vì m=0). e) Lập phương trình đường thẳng qua A(풙 , 풚 ) và vuông góc với y=a.x+b Phương pháp: −1 - Phương trình đường thẳng có dạng: y=k.x+c (d). Vì (d) vuông góc y=ax+b nên = . −1 Thay tọa độ điểm A( , ) vào đường thẳng ta được : = . + , từ đó tính được 1 1 1 1 c. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua N(2; -1) và vuông góc với y= 4x+5. −1 Gọi đường thẳng cần tìm là y=ax+b (d). Vì (d) vuông góc y= 4x+5 nên a= = - 0,25 ( 4 hai đường thẳng vuông góc thì a1.a2 = -1) (d) qua N(2;-1) nên thay x=2; y= -1 vào đường thẳng ta được: -1=a.2+b mà a= -0,25 nên b= -0,5. Vậy đường thẳng cần tìm là y= -0,25x -0,5 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
12. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Bài 2: Cho đường thẳng y =(m-1)x +n -3. Tìm m , n biết đường thẳng vuông góc y = x+1 và đi qua A(1;2). Vì đường thẳng vuông góc y = x+1 nên m-1 = -1  m=0. Vì đường thẳng qua A(1;2) nên thay x =1; y=2 vào đường thẳng ta được: 2 =(m-1).1 +n-3  m+n = 6  n =6 ( vì m=0). Dạng 9: Các bài toán về góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox, với một đường thẳng khác. Phương pháp: Góc tạo bởi đường thẳng y=ax+b với trục Ox là α sao cho: tanα =a. Nếu a >0. Đường thẳng tạo với trục Ox một góc nhọn, a 0 hay m-1>0 suy ra m >1. góc α là góc tù thì tanα <0 hay m-1< 0 suy ra m < 1. Bài 2: Cho đường thẳng y= (m+1)x-2m. Tìm m để đường thẳng tạo với trục Ox một góc là 450. Góc tạo bởi đường thẳng với trục Ox là 450 nên ta có: tan450 = m+1  1= m+1 m=0. Vậy m=0 thì đường thẳng tạo với Ox một góc 450. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
13. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI 0 Bài 3: Tìm m để góc tạo bởi hai đường thẳng sau là 60 : d1: y= (m-1) x+2 và d2: y=2x-1. −1−2 −3 Ta có: 푡 푛600 =  = 3. 1+( −2).2 2 −3 −3 3−3 3 * Với = 3  m= 2 −3 1−2 3 −3 3+3 3 * Với = − 3  m= 2 −3 1+2 3 Dạng 10: Khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đên đường thẳng bằng A, lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Phương pháp: Cách 1: (Nâng cao)- Khoảng cách từ một điểm A( 1, 1) đến đường thẳng ax+by+c=0 là: │ . + + │ d = 1 1 2+ 2 2 2 - Khoảng cách giữa 2 điểm A( 1, 1) và B( 2, 2) là: AB= ( 2 − 1) + ( 2 − 1) + + - Tọa độ trung điểm của AB là I( 2 1 ; 2 1). 2 2 Cách 2: Để tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến một đường thẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng với hai trục Ox và Oy là A và B. Từ O kẻ OH vuông góc AB rồi tính OH dựa vào tam giác vuông OAB. Sau khi tính được khoảng cách, ta đi tìm Min, Max của khoảng cách. Bài 1: Cho đường thẳng d : y= 3x-1. Điểm A(2;3) và B(1;2). Tìm trung điểm I của đoạn AB, tính độ dài AB, tính khoảng cách từ điểm O(0;0) tới đường thẳng d. 2+1 3+2 Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: I( ; ) hay I(1,5; 2,5) 2 2 Độ dài AB= (1 − 2)2 + (2 − 3)2 = 2. Khoảng cách: Cách 1: Đường thẳng d: 3x-y-1=0. Khoảng cách từ O(0;0) tới d là: |3.0−0−1| 1 10 h= = = 32+(−1)2 10 10 1 Cách 2: Giao điểm của đường thẳng với Ox là D( ; 0). 3 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
14. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Giao điểm của đường thẳng với Oy là C(0; -1). y D x 0 1 3 H C -1 Từ hình vẽ, kẻ OH vuông góc CD. Suy ra khoảng cách từ O tới d là OH. 1 10 Áp dụng định lí Pytago cho tam giác OCD: CD2 = OD2+OC2 = + 1 = nên CD = 9 9 10 3 OC .OD 10 Trong tam giác vuông OCD: CD.OH= OC.OD  OH = = CD 10 Dạng 11: Tìm điểm cố định của y=f(x,m) (chứng minh đồ thị luôn đi qua điểm cố định hoặc tìm điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m ): Phương pháp: Bước 1: Chuyển y=f(x,m) về dạng: f(x,m)-y=0 Bước 2: nhóm các số chứa m lại với nhau: m.f(x)+g(x,y)=0 = 0 =? Bước 3: Gọi I(x,y) là điểm cố định, suy ra => suy ra điểm cố , = 0 =? định I. BÀI TẬP: Bài 1: Tìm điểm cố định của đường thẳng sau: y=(m-2)x+2m-3. Ta có: mx-2x+2m-3-y=0  m(x+2) -2x-3-y=0 (1) Gọi I(x;y) là điểm cố định thì phương trình (1) đúng với mọi m. Suy ra : + 2 = 0 suy ra x= -2; y=1. Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định I(-2; −2 − 3 − = 0 1). Dạng 12: Chứng minh 3 điểm trên tọa độ không thẳng hàng (thẳng hàng). Tìm m Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
15. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI để 3 điểm thẳng hàng: Phương pháp: Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm, thay tọa độ điểm thứ 3 vào, nếu thỏa mãn thì 3 điểm thẳng hàng, nếu không thỏa mãn thì 3 điểm không thẳng hàng. Cách 2: Tính hệ số góc của đường thẳng AB và AC. Nếu KAB=KAC thì 3 điểm thẳng hàng và ngược lại. BÀI TẬP: Bài 1: a) Chứng minh 3 điểm A(1;2); B(-2;-1) ; C(0;1) thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm A, B, C. b) Tìm m để 3 điểm A(1;2); B(-2;-1) và D(m; 3m-1) thẳng hàng. a) Cách 1: Đường thẳng qua hai điểm A và B là y=x+1. ( xem lại cách làm dạng 9a) Thay tọa độ C(0;1) vào đường thẳng AB ta được: 1=1.0+1 luôn đúng nên C nằm trên đường thẳng AB hay A, B, C thẳng hàng. Đường thẳng đi qua 3 điểm là: y =x+1. Cách 2: Hệ số góc của đường thẳng AB − −1−2 KAB = = = 1 − −2−1 Hệ số góc của đường thẳng AC − 1−2 KAC = = = 1. Vì KAB= KAC nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng. − 0−1 Đường thẳng đi qua 3 điểm là: y = 1(x-1)+2= x+1. b) Để A,B,D thẳng hàng thì D( m; 3m-1) phải nằm trên đường thẳng AB: y=x+1. Thay x=m; y=3m-1 vào đường thẳng AB ta được: 3m-1=m+1  m=1. Vậy với m=1 thì A,B,D thẳng hàng. Dạng 13: Tìm m để 3 đường thẳng đồng quy ( cùng đi qua 1 điểm): Phương pháp: Tìm giao điểm của 2 đường thẳng ( 2 đường thẳng không chứa m) để 3 đường thẳng đồng quy thì giao điểm đó khi thay vào đường thẳng số 3 phải thỏa mãn, từ đó tìm được m; BÀI TẬP: Bài 1: Tìm m để 3 đường thẳng sau đồng quy ( cùng đi qua 1 điểm). (d1): y=2x-1 (d2) : y=x+1 (d3): y=(m+2)x - m +3 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
16. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Xét hoành độ giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) thỏa mãn: 2x-1=x+1 suy ra x=2; y=3. Vậy (d1) giao (d2) tại A(2;3). Để 3 đường thẳng đồng quy thì A(2;3) thuộc (d3) suy ra: 3=(m+2).2 – m+3  m= -4. Vậy m= -4 thì 3 đường thẳng đồng quy. Dạng 14: Tìm a để khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất: Phương pháp: Dùng công thức tính khoảng cách ( hoặc dùng các tính chất của tam giác vuông để tính khoảng cách) từ điểm M tới d. Sau đó tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức khoảng cách. BÀI TẬP: Bài 1: Cho đường thẳng (d): 2kx+(k-1)y =2. Tìm m để khoảng cách từ tâm O tới đường thẳng (d) là lớn nhất. Cách 1: Sử dụng công thức tính khoảng cách: Khoảng cách từ O(0;0) tới đường thẳng (d) là: −2 H= . 2 2+ −1 2 2 2 2 Để Hmin thì (2k) +(k-1) nhỏ nhất. Hay 5k -2k+1 nhỏ nhất. 1 4 4 2 1 Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k − )2 + ≥ . Vậy Hmin = = 5 khi k = 5 5 5 4 5 5 Cách 2: Sử dụng công thức trong tam giác vuông: 1 2 Đường thẳng giao Ox tại ( ; 0) ; giao Oy tại B(0; ). k k−1 Từ O kẻ OH vuông góc AB: Tam giác OAB vuông tại O nên: Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
17. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Y 2 B(0; k-1 ) H 1 A( k ;0) O x 1 1 1 1 (k−1)2 5k2−2k+1 = +  = k2 + = . OH 2 OA 2 OB 2 OH 2 4 4 Để OH nhỏ nhất thì 5k2-2k+1 lớn nhất. 1 4 4 2 1 Ta có: 5k2-2k+1 = 5(k − )2 + ≥ . Vậy Hmin = = 5 khi k = 5 5 5 4 5 5 Cách 3: Dựa vào điểm cố định: Bước 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là A. Bước 2: Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy là B và C. Bước 3: Để khoảng cách từ O đến đường thẳng là lớn nhất thì OA vuông góc BC. Từ đó tìm m. Dạng 15: Tìm a để đồ thị cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB=S, tam giác ABC vuông, cân hoặc đều. Phương pháp: Tìm giao điểm của đồ thị với Ox và Oy ta được tọa độ điểm A và B. . Nếu bài cho diện tích OAB: Dùng công thức tính diện tích : 푆 = để tìm a. 2 Nếu cho tam giác OAB cân, vuông, đều: Ta dùng công thức tính khoảng cách AB; OB; OA rồi sử dụng tính chất tam giác cân, vuông , đều để tìm a. BÀI TẬP: Bài 1: Cho đường thẳng y= (m-1)x +m+3. Tìm m để đường thẳng cắt Ox, Oy tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB = 1đvdt. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
18. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI +3 +3 Giao điểm của đường thẳng với Ox : y=0 => x= Suy ra A( ; 0 ) 1− 1− Giao điểm của đường thẳng với Oy: x=0 => y=m+3. Suy ra B( 0; m+3). . 1 +3 푆 = = . . + 3 = 1đ푣 푡. 2 2 1− +3 ∗ . + 3 = 2  m=-1 hoặc m=-7. 1− +3 ∗ . + 3 = −2 ( vô nghiệm). 1− Vậy m= -1 hoặc m= -7. Bài 2: Cho y=ax +b. Tìm a và b biết đường thẳng song song với đường thẳng y=x+2 và tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2. Vì đường thẳng song song với y= x+ 2 nên a=1. Suy ra y= x+b ( b ≠ 2) Giao của đồ thị với Ox là A(-b; 0). Đồ thị giao Oy tại B(0; b). Vì 푆 = 2 nên |-b.b|=4 hay b=-2. ( vì b ≠ 2) Vậy đường thẳng cần tìm là: y= x -2. Dạng 16: Cho tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC vuông, cân, đều là tính diện tích tam giác. Phương pháp: Tìm tọa độ 3 đỉnh ABC, dùng Pitago để tính độ dài 3 cạnh và chỉ ra tam giác đó vuông, cân, đều. Để tính diện tích tam giác ABC: Cách 1: Tính trực tiếp khi biết đáy và đường cao của tam giác. Cách 2: Tính gián tiếp thông qua các hình . Cách 3: Dùng công thức tính khoảng cách. BÀI TẬP: Bài 1. Cho A(1;2); B(-1;0); C(2;0). Tính diện tích và chu vi tam giác ABC. Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
19. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI Y 3 A 2 1 B D C -1 O 1 2 3 x -3 -1 Dùng định lí Pytago để tính các cạnh, rồi suy ra diện tích và chu vi. Bài 2. Cho đường thẳng y =2x+5. Giao điểm của đường thẳng với Ox và Oy lần lượt là E, F. a) Tính diện tích tam giác OEF. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho MEFC là hình bình hành, biết C(3;3). HD: a) Cho x =0 suy ra y =5. Đồ thị giao Oy tại F(0;5) Cho y =0 suy ra x = -2,5. Đồ thị giao Ox tại E(-2,5; 0) Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất
20. DAYTOAN.NET - BLOG HỌC TOÁN CẤP 2 HÃY CHO ĐI ĐỂ NHẬN LẠI F 5 3 C y= 2x+5 I E -2,5 O 1 3 x -2 M . 퐹 5.2,5 Diện tích OEF là: 푆 = = = 6,25 (đvdt) 퐹 2 2 −2,5+3 0+3 1 3 b) Gọi I là trung điểm EC suy ra I( ; ) hay I( ; ) 2 2 2 2 1 0 + = 2. 퐹 + = 2 2 = 1 Vì I là trung điểm FM mà  3  퐹 + = 2 5 + = 2. = −2 2 Gv: Nguyễn Chí Thành 0975705122 Hãy ghé thăm thường xuyên để cập nhật bài giảng, đề thi mới nhất