Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán dành cho học sinh chuyên tự nhiên - Đề 1 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán dành cho học sinh chuyên tự nhiên - Đề 1 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Nam Định (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NAM ĐỊNH Năm học: 2019 - 2020 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 ĐỀ CHÍNH THỨC Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên Thời gian làm bài: 120 phút; (Đề thi gồm: 01 trang.) Câu 1 ( 2,0 điểm). 2019 3 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P . x 3 x 9 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m2 1 x 7 và đường thẳng y 3x m 5 (với m 1) là hai đường thẳng song song. 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm, BC 10cm. Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC. 4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đáy là 9 cm2 , độ dài đường sinh là 6cm. Tính thể tích hình trụ đó. a 1 a 1 a2 a a Câu 2 (1,5 điểm). Cho biểu thức P 4 a : với a 0, a 1. a 1 a 1 a 1 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên. Câu 3 (2,5 điểm). 1) Cho phương trình x2 2(m 2)x m2 5 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình với m 0. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 x2 ) thỏa mãn | x1 | | x2 1| 5. 2) Giải phương trình x 4 2 4 x 2 2x. Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình bình hành ABCD BD AC . Đường tròn O đường kính AC cắt các tia AB, AD lần lượt tại H, I khác A. Trên dây HI lấy điểm K sao cho H· CK ·ADO. Tiếp tuyến tại C của đường tròn O cắt BD tại E ( D nằm giữa B, E ). Chứng minh rằng: AO.KC 1) CHK # DAO và HK . OB 2) K là trung điểm của đoạn HI. 3) EI.EH 4OB2 AE 2. Câu 5 (1,0 điểm). x y 2 4 3y 5x 2 x 1 y 1 1) Giải hệ phương trình 3xy 5y 6x 11 5. x3 1 2) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019xyz. Chứng minh rằng x2 1 2019x2 1 y2 1 2019y2 1 z2 1 2019z2 1 2019.2020xyz. x y z HẾT
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học: 2019 - 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Nội dung Điểm 2019 3 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P . x 3 x 9 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y m2 1 x 7 và đường Câu 1 thẳng y 3x m 5 (với m 1) là hai đường thẳng song song. (2,0đ) 3) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm, BC 10cm. Tính độ dài đường cao kẻ từ A xuống cạnh BC. 4) Một hình trụ có diện tích hình tròn đáy là 9 cm2 , độ dài đường sinh là 6cm. Tính thể tích khối trụ đó. x 0 Biểu thức xác định khi x 3 0 0,25 1) x 9 x 0 0,25 x 9. Với m 1, ta có đường thẳng y m2 1 x 7 và đường thẳng y 3x m 5 là m2 1 3 0,25 2) hai đường thẳng song song khi và chỉ khi 7 m 5. Tìm được m 2 (thỏa mãn). 0,25 Tính được AC 8cm. 0,25 3) Tính được đường cao 4,8cm. 0,25 4) Thể tích hình trụ là V 54 cm3. 0,5 a 1 a 1 a2 a a Cho biểu thức P 4 a : với a 0, a 1. Câu 2 a 1 a 1 a 1 1,5 1) Rút gọn biểu thức P. 2) Tìm các giá trị nguyên của a để P nhận giá trị là số nguyên. a2 a a Với a 0, a 1 ta có a a. 0,25 a 1 2 2 a 1 a 1 a 1 a 1 4 a a 1 a 1 1) Và 4 a 0,25 a 1 a 1 a 1 a 1 4a a . 0,25 a 1
3. 4a a 1 4 Do đó P . . 0,25 a 1 a a a 1 a 1 4 a 1 2 a 1 1 Với a nguyên thì P nhận giá trị là số nguyên khi và chỉ khi 0,25 a 1 1 a 1 2 a 1 4 2) a 3 a 1 a 0 Đối chiếu với điều kiện ta có a 2,a 3,a 5 (thỏa mãn). 0,25 a 2 a 3 a 5 1) Cho phương trình x2 2(m 2)x m2 5 0 (với m là tham số). a) Giải phương trình với m 0. Câu 3 b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2,5 x1, x2 (giả sử x1 x2 ) thỏa mãn | x1 | | x2 1| 5. 2) Giải phương trình x 4 2 4 x 2 2x. Với m 0 , phương trình trở thành x2 4x 5 0 0,25 1.a) Phương trình có hai nghiệm x 1, x 5. 0,5 2 2 Ta có ' m 2 m 5 0 m nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt 0,25 với mọi m. 1.b) 2 0.25 Mặt khác x1.x2 m 5 0, x1 x2 x1 0 x2. Khi đó 0,25 | x1 | | x2 1| 5 x1 x2 1 5 x1 x2 6 2 m 2 6 m 5. Điều kiện xác định 4 x 4. 0,25 x 4 x 2 Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2x 0,25 x 4 2 2) x 4 x 2 2 x 4 2 0 0,25 x 0 tm ( vì 4 x 2 2 x 4 2 0 với 4 x 4 ). 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x 0. Cho hình bình hành ABCD BD AC . Đường tròn O đường kính AC cắt các tia AB, AD lần lượt tại H, I khác A. Trên dây HI lấy điểm K sao cho H· CK ·ADO. Tiếp Câu 4 tuyến tại C của đường tròn O cắt BD tại E ( D nằm giữa B, E ). Chứng minh rằng: 3,0 đ AO.KC 1) CHK# DAO và HK . OB 2) K là trung điểm của đoạn HI.
4. 3) EI.EH 4OB2 AE 2. Xét CHK và DAO , có H· CK ·ADO và K· HC D· AO 0,25 nên CHK# DAO (g-g). 0,25 1) HK KC Suy ra . 0,25 AO DO AO.KC Mà OB OD suy ra HK.OB AO.KC HK . 0,25 OB Từ ABCD là hình bình hành và O là trung điểm của AC suy ra B,O, D thẳng 0,25 hàng, từ đó suy ra ·AOD ·AOB 180 (1) · · · · Mà IKC HKC 180 và AOD HKC ( vì CHK# DAO ) kết hợp với (1) ta suy 0,25 ra được ·AOB I·KC 2) Chứng minh được AOB# IKC (vì ·AOB I·KC, B· AO K· IC ) AO.KC Suy ra KI (2) . 0,25 OB AO.KC Từ câu 1, ta có HK (3) OB Từ (2) và (3) suy ra HK IK hay K là trung điểm của đoạn HI. 0,25 Chứng minh được I·KC ·AOB C· OE 0,25 Ta có · · · · AOB COE, COE OEC 90 0,25 O· KC O· EC O· KI I·KC O· EC O· KI C· OE O· EC 180 Chứng minh tứ giác CKOE nội tiếp đường tròn. · · 3) Suy ra được OKE OEC 90 từ đó suy ra EK  OK, kết hợp với IK  OK. 0,25 Nên 4 điểm H, K, I, E thẳng hàng. Chứng minh ECI# EHC ( vì H· EC chung, E· CI E· HC ) Từ đó suy ra EI.EH EC 2 0,25 AE 2 AC 2 EI.EH AC 2 AE 2
5. Mà BD AC,OB OD nên EI.EH 4OB2 AE 2 (đpcm). x y 2 4 3y 5x 2 x 1 y 1 1) Giải hệ phương trình 3xy 5y 6x 11 5. 3 Câu 5 x 1 1,0 2) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019xyz. Chứng minh rằng x2 1 2019x2 1 y2 1 2019y2 1 z2 1 2019z2 1 2019.2020xyz. x y z x y 2 4 3y 5x 2 x 1 y 1 (1) 3xy 5y 6x 11 5 (2) x3 1 0,25 x 1 Điều kiện y 1. 2 Phương trình (1) x y 2 2 x 1 y 1 0 y x 2 Thế vào phương trình (2) ta có 3x2 5x 1 5 x 1 x2 x 1 1 x2 x 1 2 x 1 3 x2 x 1 x 1 0 5 37 x 2 2 x x 1 2 x 1 5 37 x . 2 0,25 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm x; y của hệ phương trình là 5 37 9 37 5 37 9 37 ; , ; . 2 2 2 2 1 1 1 Từ giả thiết ta có 2019. xy yz zx Bất đẳng thức đã cho tương đương với 1 1 1 1 1 1 x 2019 y 2019 z 2019 2020(x y z) 0,25 2 x x2 y y2 z z2 1 1 1 1 1 1 2019 2019 2019 2019(x y z) (1) x x2 y y2 z z2 Theo bất đẳng thức Cô si ta có
6. 1 1 1 1 1 1 VT (1) 2019 2019 2019 x x2 y y2 z z2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x xy yz zx x2 y xy yz zx y2 z xy yz zx z2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y x z y y x y z z z x z y 1 1 1 3 . x y z Ta cần chứng minh 1 1 1 3 2019(x y z) x y z 2 3 xy yz zx 2019xyz 0,25 3 xy yz zx x y z 2 0 x y 2 y z 2 z x 2 . Điều phải chứng minh. Lưu ý: + Các cách giải khác đáp án nếu đúng, phù hợp với chương trình THCS, ban giám khảo thống nhất cho điểm thành phần tương ứng. + Điểm toàn bài là tổng điểm của các câu không làm tròn. ___HẾT___