Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 15 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 15 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2020-2021 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 90 phút) Họ và tên thí sinh: SBD: Mã đề thi 015 Câu 1: Từ tập X 3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau? A. 60 . B. 125. C. 10. D. 6 . Câu 2: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d , n 2. ? A. un u1 d . B.un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d .D. un u1 n 1 d . Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 0 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . Câu 4: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4x 8.2x 4 0 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 8 . Câu 5: Cho hàm số y x3 3x2 4 có đồ thị là C . Điểm cực tiểu của đồ thị C là: A. M 0; 4 . B. M 2; 8 . C. M 1;2 . D. M 5;0 . 1 x Câu 6: Cho hàm số y có đồ thị H . Các đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của H x 2021 là: A. y 1, x 2021. B. y 1, x 2021. C. y 1, x 2021. D. y 1, x 1. Câu 7: Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
2. x 1 A. y . B. y x4 2x2 1. 2x 3 C. y x4 4x2 1. D. y x3 3x2 2. Câu 8: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau: y 3 x 1 -1 O -1 ` Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 4 0 là A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Câu 9: Cho a 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 5 7 a3 4 A. a 6 .B. 7 a5 a 5 . C. a2 a6 . D. a 3 a 4 a . 3 a2 Câu 10: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của chúng x x 1 A. y ln x . B. y e . C. y . D. y log 1 x . 3 5 Câu 11: Cho loga x 2;logb x 3 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Giá trị của biểu thức P log a x là: b2 1 1 A. 6 B. C. D. 6 6 6 Câu 12: Nghiệm của phương trình 22x 2x 2021 bằng A. 2020 B. 2017 C. 2021 D. 2018 Câu 13: Nghiệm của phương trình log(2x)= 1là: 1 A. x = 0 . B. x = 10.C. x = 5. D. x = . 2 Câu 14: Cho hàm số f (x)= 1- 4x3 . Chọn khẳng định đúng? A. ò f (x)dx = x- x4 + C . B. ò f (x)dx = - 12x2 + C . x4 C. f (x)dx = x- + C . D. f (x)dx = - x4 + C . ò 4 ò Câu 15: Cho hàm số f (x)= sin 2x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? 1 A. f (x)dx = - cos2x + C . B. f (x)dx = - cos2x + C . ò 2 ò 1 C. f (x)dx = - 2cos2x + C . D. f (x)dx = cos2x + C . ò ò 2 4 7 7 Câu 16: Cho f (x)dx 6 và f (x)dx 5 , khi đó f (x)dx bằng 0 4 0 A. 30 B. 11 C. 1 D. 11
3. 2 Câu 17: Tích phân òt3dt bằng 0 A. 16. B. 2 .C. 4 . D. 8 . Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z = 3i + 4 là: A. z = 3i- 4 . B. z = 3- 4i .C. z = 4- 3i . D. z = 4+ 3i . Câu 19: Cho hai số phức z = 5- 2i và w = 1+ i . Số Phức z- w bằng A. 4- 3i . B. 4- i . C. 4+ 3i . D. 4+ i . Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn số phức 3- i có toạ độ là A. (3;1).B. (3;- 1). C. (1;3). D. (- 1;3). Câu 21: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 100cm2 và chiều cao bằng 9cm . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 300cm3 . B. 900cm3 . C. 300cm2 . D. 900cm2 . Câu 22: Thể tích của khối lập phương cạnh 10 là A. 1000. B. 100 2 . C. 100. D. 100 3 . Câu 23: Thể tích của khối cầu có bán kính r bằng 1 4 A. r3 B. 2 r 2 C. 4 r 2 D. r3 3 3 Câu 24: Cho khối trụ có chiều cao bằng 5 và bán kính đáy bằng 4. Thể tích của khối trụ bằng 100 80 A. B. 80 C. 100 D. 3 3 Câu 25: Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng Oyz có toạ độ là A. 1;0;0 .B. (0;- 2;3). C. (1;2;- 3). D. (- 1;2;- 3). Câu 26: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 10z 5 0 có tâm là A. I (1;- 2;5). B. I (- 2;4;- 10). C. I (2;- 4;10). D. I (- 1;2;- 5). Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2; 3 và vuông góc với đường x 5 2t thẳng d : y 3 t t ¡ . Phương trình của P là z 4 3t A. 5x + 3y - 4z - 13 = 0 . B. 2x- y + 3z + 9 = 0 . C. 2x- y + 3z + 13 = 0 . D. 5x + 3y - 4z + 20 = 0 . Câu 28: Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm A 1;3; 4 và điểm B 3; 1; 10 ? A. 1;2;3 B. 4;2; 14 C. 2;4;6 D. 1;3; 4 Câu 29: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số ghi trên 4 viên bi lại với nhau. Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng 31 11 16 21 A. . B. .C. . D. . 32 32 33 32 Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó: x æeö x- 5 2 A. y ln x .B. y = ç ÷ . C. y = . D. y = - x + 4x + 3 . èç3ø÷ 2x + 1 2 Câu 31: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 x 3 ,x ¡ . Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;4 bằng A. f (0). B. f (2).C. f (3). D. f (4).
4. x2- x æ1ö x- 4 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình ç ÷ > 2 là èç2ø÷ A. S = (- 2;+ ¥ ).B. (- 2;2). C. (2;+ ¥ ). D. (- ¥ ;2)È(2;+ ¥ ). 2 15x Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x 3 f , x 2 3 9 2 1 f x dx k . Tính I f dx theo k . 3 1 x 2 45 k 45 k 45 k 45 2k A. I . B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 Câu 34. Trên tập số phức cho 2x y 2y x i x 2y 3 y 2x 1 i với x, y ¡ . Tính giá trị của biểu thức P 2x 3y . A. P 1. B. P 7 . C. P 4 . D. P 3. Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết SA a 2 , tính góc giữa SC và (SAB). A. 300. B. 600. C. 900. D. 450. Câu 36. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAC 60 , SA vuông góc với mp ABCD góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ A đến mp SBC bằng: a 2 3a A. . B. 2a . C. . D. a . 3 4 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có tâm I 1;4;2 và có thể tích bằng 256 . Khi đó phương trình mặt cầu S là 3 A. x 1 2 y 4 2 z 2 2 16 . B. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . C. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . D. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1; 3; 4 , B 2; 5; 7 , C 6; 3; 1 . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là x 1 t x 1 t A. y 3 t , t ¡ . B. y 1 3t , t ¡ . z 4 8t z 8 4t x 1 3t x 1 3t C. y 3 4t , t ¡ . D. y 3 2t , t ¡ . z 4 t z 4 11t Câu 39. Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m chỉ có một cực trị:
5. m 0 A. m 1. B. . C. 0 m 1. D. m 0 . m 1 Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 2 9 x 3x m 2.3 x 3x m 2 x 32x 3 có nghiệm? A. 6 B. 4 C. 9 D. 1 3 1 1 Câu 41: Cho biết 1 dx a bln 2 c ln 3 , trong đó a,b,c là những số nguyên. Khi đó 2 x2 (1 x)2 giá trị của biểu thức a b2 3c2 tương ứng bằng A. 6. B. 8. C. 5. D. 9. Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 3 2i 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 i z 1 3i bằng A. 8 . B. 4 13 . C. 2 26 . D. 3 14 . Câu 43: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích V . Gọi M là điểm thuộc AA 'sao cho MA' 3MA , điểm N nằm trên cạnh BB 'sao cho 2BN 3NB ' , điểm P nằm trên cạnh CC' sao cho CP 3C ' P . Các đường thẳng NM và PM cắt các cạnh A' B ' và A'C ' lần lượt tại H và K . Hãy tính theo V thể tích của khối đa diện B 'C ' PNHK ? 139V 283V 311V 133V A. . B. . C. . D. . 280 840 840 280 Câu 44: Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường Parabol bậc 2. Biết rằng khoảng cách đoạn AB 60cm , OH 30cm . Diện tích của chiếc gương bạn An mua là A. 1200 cm2 . B. 1400 cm2 . C. 900 cm2 . D. 1000 cm2 . Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 d : ; d :  1 1 4 2 2 1 1 1 Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d1 và cắt d2 . x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 A. . B. . 1 2 3 2 1 3 x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 C. . D. . 4 1 4 2 1 1 Câu 46. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ.
6. Đồ thị của hàm số g(x) 2 f (x) (x 1)2 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . x, y ¡ x 1 2 2 2 Câu 47. Cho sao cho log2 (x y)(x xy y ) (x y)y 0 . Tìm giá trị nhỏ x, y 1 2y 2 nhất m của biểu thức T 3xy x2 y2 2. A. m 3 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 1. Câu 48. Cho hàm số đa thức bậc bốn y f (x) có đồ thị (C) , biết rằng (C) đi qua điểm A( 1;0) . Tiếp tuyến tại A của đồ thị (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích bằng 56 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 1; x 0 bằng 5 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 10 5 Câu 49. Xét hai số phức z1 , z2 thay đổi thỏa mãn | z1 z2 | | z1 z2 1 2i | 3. Gọi A , B lần lượt là 2 2 giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức | z1 | | z2 | . Giá trị của biểu thức B A là A. 23. B. 23 . C. 6 5 . D. 6 5 . Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 1, BC 2, AA 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C , (P) cắt các tia AB, AD, AA lần lượt tại E, F,G không trùng với A . Tính tổng T AE AF AG khi thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. A. 15. B. 16. C. 17 . D. 18.
7. ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 A D C C B B C A A A A C C A A C C C A B A A D B B 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A C A C B C B A D B C A A B D B C B A D B D A C D Câu 1: Từ tập X 3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau? A. 60 . B. 125. C. 10. D. 6 . Lời giải Chọn A 3 Mỗi một số lập được là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Vì vậy số các số lập được là A5 60 Câu 2: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d , n 2. ? A. un u1 d . B.un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d .D. un u1 n 1 d . Lời giải Chọn D Câu 3: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 3 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 0 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . Lời giải Chọn C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 nên nó nghich biến trên khoảng 1; 0 .
8. Câu 4: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 4x 8.2x 4 0 bằng bao nhiêu? A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 8 . Lời giải Chọn C x 2 4 2 3 x log2 4 2 3 4x 8.2x 4 0 2x 4 2 3 x log 4 2 3 2 Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là log2 4 2 3 log2 4 2 3 2 . Câu 5: Cho hàm số y x3 3x2 4 có đồ thị là C . Điểm cực tiểu của đồ thị C là: A. M 0; 4 . B. M 2; 8 . C. M 1;2 . D. M 5;0 . Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ . 2 x 0 y 3x 6x ; y 0 . x 2 Bảng biến thiên x 0 2 y 0 0 1 y 8 Vậy tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là 2; 8 . 1 x Câu 6: Cho hàm số y có đồ thị H . Các đường tiệm cận ngang, tiệm cận đứng của H x 2021 là: A. y 1, x 2021. B. y 1, x 2021. C. y 1, x 2021. D. y 1, x 1. Lời giải Chọn B Tập xác định D ¡ \ 2021. lim y x 3 là tiệm cận đứng của H . x 2021 lim y 1 y 2 là tiệm cận ngang của H . x Câu 7: Đường cong trong hình là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
9. x 1 A. y . B. y x4 2x2 1. 2x 3 C. y x4 4x2 1. D. y x3 3x2 2. Lời giải Chọn C Đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương có hế số a dương nên đối chiếu các phương án ta chọn đáp án C. Câu 8: Cho hàm số bậc ba y f x có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau: y 3 x 1 -1 O -1 ` Số nghiệm thực của phương trình 2 f x 4 0 là A. 3. B. 1. C. 0. D. 2. Lời giải Chọn A 2 f x 4 0 f (x) 2 Đường thẳng y 2 cắt đồ thị hàm số y f x tại 3 điểm. Vậy phương trình 2 f x 4 0 có 3 nghiệm. Câu 9: Cho a 0 . Đẳng thức nào sau đây đúng? 5 7 a3 4 A. a 6 .B. 7 a5 a 5 . C. a2 a6 . D. a 3 a 4 a . 3 a2 Lời giải Chọn A Vì a 0 ta có: 3 3 2 5 3 2 a a 2 3 6 2 a a 3 a2 a 3 5 7 a5 a 7 2 4 2.4 8 a a a 1 1 1 1 5 a 3 a a 2 .a3 a 2 3 a 6 Câu 10: Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của chúng
10. x x 1 A. y ln x . B. y e . C. y . D. y log 1 x . 3 5 Lời giải Chọn A Hàm số y ln x có cơ số e 1 nên nó đồng biến trên tập xác định. x x 1 x 1 y e ( ) y y log 1 x Hàm số e , 3 , 5 đều nghịch biến trên tập xác định của chúng. Câu 11: Cho loga x 2;logb x 3 với a,b là các số thực lớn hơn 1. Giá trị của biểu thức P log a x là: b2 1 1 A. 6 B. C. D. 6 6 6 Lời giải Chọn B Vì a , b là các số thực lớn hơn 1 nên ta có: 2 3 loga x 2 x a 2 3 3 a b a b a b 2 3 . logb x 3 x b 3 1 a b 2 Do đó b 2 b2 b2 P log a x log 1 x 2logb x 6 vì logb x 3 2 . b2 b Câu 12: Nghiệm của phương trình 22x 2x 2021 bằng A. 2020 B. 2017 C. 2021 D. 2018 Lời giải Chọn C 22x 2x 2021 2x x 2021 x 2021 Câu 13: Nghiệm của phương trình log(2x)= 1là: 1 A. x = 0 . B. x = 10.C. x = 5. D. x = . 2 Lời giải Chọn C log(2x)= 1Û 2x = 10 Û x = 5 . Câu 14: Cho hàm số f (x)= 1- 4x3 . Chọn khẳng định đúng? A. ò f (x)dx = x- x4 + C . B. ò f (x)dx = - 12x2 + C . x4 C. f (x)dx = x- + C . D. f (x)dx = - x4 + C . ò 4 ò Lời giải Chọn A ò f (x)dx = ò(1- 4x3 )dx = x- x4 + C . Câu 15: Cho hàm số f (x)= sin 2x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
11. 1 A. f (x)dx = - cos2x + C . B. f (x)dx = - cos2x + C . ò 2 ò 1 C. f (x)dx = - 2cos2x + C . D. f (x)dx = cos2x + C . ò ò 2 Lời giải Chọn A 1 f (x)dx = (sin 2x)dx = - cos2x + C . ò ò 2 4 7 7 Câu 16: Cho f (x)dx 6 và f (x)dx 5 , khi đó f (x)dx bằng 0 4 0 A. 30 B. 11 C. 1 D. 11 Lời giải Chọn C 7 4 7 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 6 5 1. 0 0 4 2 Câu 17: Tích phân òt3dt bằng 0 A. 16. B. 2 .C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn C 2 2 t 4 òt3dt = = 4 . 0 4 0 Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z = 3i + 4 là: A. z = 3i- 4 . B. z = 3- 4i .C. z = 4- 3i . D. z = 4+ 3i . Lời giải Chọn C z = 3i + 4 = 4- 3i . Câu 19: Cho hai số phức z = 5- 2i và w = 1+ i . Số Phức z- w bằng A. 4- 3i . B. 4- i . C. 4+ 3i . D. 4+ i . Lời giải Chọn A z- w=5- 2i- (1+ i)= 4- 3i . Câu 20: Trong mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn số phức 3- i có toạ độ là A. (3;1).B. (3;- 1). C. (1;3). D. (- 1;3). Lời giải Chọn B Câu 21: Một khối chóp có diện tích đáy bằng 100cm2 và chiều cao bằng 9cm . Thể tích của khối chóp đó bằng A. 300cm3 . B. 900cm3 . C. 300cm2 . D. 900cm2 . Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp
12. 1 1 V = .B.h = .100.9 = 300cm3 . 3 3 Câu 22: Thể tích của khối lập phương cạnh 10 là A. 1000. B. 100 2 . C. 100. D. 100 3 . Lời giải Chọn A Áp dụng công thức tính thể tích khối lập phương V = 103 = 1000 . Câu 23: Thể tích của khối cầu có bán kính r bằng 1 4 A. r3 B. 2 r 2 C. 4 r 2 D. r3 3 3 Lời giải Chọn D Áp dụng công thức tính thể tích khối cầu 4 V r3 3 Câu 24: Cho khối trụ có chiều cao bằng 5 và bán kính đáy bằng 4. Thể tích của khối trụ bằng 100 80 A. B. 80 C. 100 D. 3 3 Lời giải Chọn B Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ V r 2.h .42.5 80 Câu 25: Trong không gian Oxyz , hình chiếu của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng Oyz có toạ độ là A. 1;0;0 .B. (0;- 2;3). C. (1;2;- 3). D. (- 1;2;- 3). Lời giải Chọn B Hình chiếu của điểm A 1; 2;3 lên mặt phẳng Oyz có toạ độ là (0;- 2;3) Câu 26: Trong không gian Oxyz , mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 10z 5 0 có tâm là A. I (1;- 2;5). B. I (- 2;4;- 10). C. I (2;- 4;10). D. I (- 1;2;- 5). Lời giải Chọn A 2 2 2 æ- 2 4 - 10ö Mặt cầu S : x y z 2x 4y 10z 5 0 có tâm là I ç ; ; ÷. Suy ra I (1;- 2;5). èç- 2 - 2 - 2 ø÷ Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng P đi qua điểm M 1;2; 3 và vuông góc với đường x 5 2t thẳng d : y 3 t t ¡ . Phương trình của P là z 4 3t A. 5x + 3y - 4z - 13 = 0 . B. 2x- y + 3z + 9 = 0 . C. 2x- y + 3z + 13 = 0 . D. 5x + 3y - 4z + 20 = 0 . Lời giải Chọn C Mặt phẳng P vuông góc với đường thẳng d nên nhận VTCP của d làm VTPT. Do đó VTPT của P là n 2; 1;3 Phương trình của mặt phẳng P là 2 x 1 y 2 3 z 3 0 2x y 3z 13 0 .
13. Câu 28: Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm A 1;3; 4 và điểm B 3; 1; 10 ? A. 1;2;3 B. 4;2; 14 C. 2;4;6 D. 1;3; 4 Lời giải Chọn A Ta có AB 2; 4; 6 là một VTCP của đường thẳng AB .  Vì u 1;2;3 cùng phương với AB 2; 4; 6 nên u là một VTCP của đường thẳng AB . Câu 29: Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số ghi trên 4 viên bi lại với nhau. Xác suất để kết quả thu được là một số lẻ bằng 31 11 16 21 A. . B. .C. . D. . 32 32 33 32 Lời giải Chọn C 4 Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi trong 11 viên bi thì có C11 cách. Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để tổng 4 số trên 4 viên bi là số lẻ thì có 2 trường hợp: 1 3 - Trường hợp 1: 1 số lẻ và 3 số chẵn thì có C6.C5 cách. 3 1 - Trường hợp 2: 3 số lẻ và 1 số chẵn thì có C6 .C5 cách. 1 3 3 1 C6.C5 C6 .C5 16 Vậy xác suất để kết quả thu được là số lẻ bằng 4 C11 33 Câu 30: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó: x æeö x- 5 2 A. y ln x .B. y = ç ÷ . C. y = . D. y = - x + 4x + 3 . èç3ø÷ 2x + 1 Lời giải Chọn B e æeöx Vì 0 1 nên hàm số y = ç ÷ nghịch biến trên tập xác định ¡ . 3 èç3ø÷ Hàm số y ln x đồng biến trên tập xác định 0; . x- 5 11 1 Hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định vì y 0,x . 2x + 1 2x 1 2 2 Hàm số y = - x2 + 4x + 3 đồng biến trên ;2 và nghịch biến trên 2; . 2 Câu 31: Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x x 2 x 3 ,x ¡ . Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;4 bằng A. f (0). B. f (2).C. f (3). D. f (4). Lời giải Chọn C Ta có bảng biến thiên
14. Dựa vào bảng biến thiên suy ra GTLN của hàm số trên 0;4 là f 3 . x2- x æ1ö x- 4 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình ç ÷ > 2 là èç2ø÷ A. S = (- 2;+ ¥ ).B. (- 2;2). C. (2;+ ¥ ). D. (- ¥ ;2)È(2;+ ¥ ). Lời giải Chọn B x2- x æ1ö x- 4 x x2 x 4 2 2 ç ÷ > 2 2 2 x x x 4 x 4 2 x 2 èç2ø÷ 2 15x Câu 33. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x 3 f , x 2 3 9 2 1 f x dx k . Tính I f dx theo k . 3 1 x 2 45 k 45 k 45 k 45 2k A. I . B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 Lời giải Chọn A 1 x t 1 1 2 Đặt t 2x dx dt . Đổi cận . 2 3 x t 3 2 1 3 2 Khi đó I f dx . 2 1 t 2 15x 2 5x 2 Mà 2 f 3x 3 f f f 3x x 2 x 2 3 1 3 5x 2 5 3 1 3 1 3 Nên I f 3x dx x dx f 3x dx 5 f 3x dx (*) 2 1 2 3 4 1 3 1 3 1 1 x 1 u 3 Đặt u 3x dx dx . Đổi cận . 3 x 3 t 9 1 9 k 45 k Khi đó I 5 f t dt 5 . 9 3 9 9 Câu 34. Trên tập số phức cho 2x y 2y x i x 2y 3 y 2x 1 i với x, y ¡ . Tính giá trị của biểu thức P 2x 3y . A. P 1. B. P 7 . C. P 4 . D. P 3. Lời giải Chọn D 2x y x 2y 3 x 0 Ta có 2x y 2y x i x 2y 3 y 2x 1 i . 2y x y 2x 1 y 1 Vậy P 2x 3y 3. Câu 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, biết SA a 2 , tính góc giữa SC và (SAB). A. 300. B. 600. C. 900. D. 450.
15. Lời giải Chọn B S C A H B Gọi H là trung điểm AB khi đó SH và CH vuông góc với AB. 1 AB. 3 Ta có: AB SA2 SB2 4a2 2a; SH AB a; CH a 3. 2 2 ^ ^ (SAB)  (ABC); CH  AB; (SAB)  (ABC) AB CH  (SAB) SC,(SAB) CSH. Xét tam giác CSH vuông tại H: CH a 3 tan S 3. SH a Vậy góc giữa SC và (SAB) bằng 600. Câu 36. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , góc BAC 60 , SA vuông góc với mp ABCD góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Khoảng cách từ A đến mp SBC bằng: a 2 3a A. . B. 2a . C. . D. a . 3 4 Lời giải Chọn C S H A D B M C + ABCD là hình thoi, góc BAC 60 nên ta có tam giác ABC đều. + Gọi M là trung điểm BC ta có góc giữa SBC và đáy ABCD bằng góc SMA 60 . + Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SM ta có:
16. BC  SA + BC  SAM BC  AH . BC  AM Lại có: AH  SM AH  SBC d A, SBC AH . a 3 + AM . 2 AH 3 a 3 3 3a sin 60 AH . . AM 2 2 2 4 Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu S có tâm I 1;4;2 và có thể tích bằng 256 . Khi đó phương trình mặt cầu S là 3 A. x 1 2 y 4 2 z 2 2 16 . B. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . C. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . D. x 1 2 y 4 2 z 2 2 4 . Lời giải Chọn A 4 Thể tích mặt cầu là V R3 . 3 4 256 Theo đề bài ta có R3 R 4 . 3 3 Phương trình mặt cầu S tâm I 1;4;2 và bán kính R 4 là x 1 2 y 4 2 z 2 2 16 . Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1; 3; 4 , B 2; 5; 7 , C 6; 3; 1 . Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là x 1 t x 1 t A. y 3 t , t ¡ . B. y 1 3t , t ¡ . z 4 8t z 8 4t x 1 3t x 1 3t C. y 3 4t , t ¡ . D. y 3 2t , t ¡ . z 4 t z 4 11t Lời giải Chọn A Tọa độ trung điểm M của BC là M 2; 4; 4 .
17.  Đường thẳng cần tìm qua A 1; 3; 4 , nhận AM 1; 1; 8 là véc tơ chỉ phương nên có x 1 t phương trình y 3 t , t ¡ . z 4 8t Câu 39. Với tất cả giá trị nào của m thì hàm số y mx4 m 1 x2 1 2m chỉ có một cực trị: m 0 A. m 1. B. . C. 0 m 1. D. m 0 . m 1 Lời giải Chọn B * Nếu m 0 thì y x2 1 là hàm bậc hai nên chỉ có duy nhất một cực trị. x 0 3 2 * Khi m 0 , ta có: y ' 4mx 2 m 1 x 2x 2mx m 1 ; y ' 0 1 m . x2 2m 1 m m 1 Để hàm số có một cực trị khi 0 . 2m m 0 m 0 Kết hợp hai trường hợp ta được . m 1 Câu 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình 2 2 9 x 3x m 2.3 x 3x m 2 x 32x 3 có nghiệm? A. 6 B. 4 C. 9 D. 1 Lời giải Chọn D Điều kiện x2 3x m 0 2 x2 3x m x x2 3x m x2 3x m 2 x 2x 3 2 x2 3x m x 1 9 2.3 3 3 .3 0 9 27 2 0 3 x 3x m x 3 2 x2 3x m x 2 x2 3x m x 2 . x2 3x m 0 x2 3x m 0 x 2 0 x 2 4 m 2 m 2 . 2 2 x 3x m x 4x 4 x 4 m Do m nguyên dương nên m 1 thỏa mãn . 3 1 1 Câu 41: Cho biết 1 dx a bln 2 c ln 3 , trong đó a,b,c là những số nguyên. Khi đó 2 x2 (1 x)2 giá trị của biểu thức a b2 3c2 tương ứng bằng A. 6. B. 8. C. 5. D. 9. Giải Chọn B 1 1 æ 1 1ö2 1 1 1 1 Ta có 1+ + = ç1+ - ÷ = 1+ - = 1+ - x2 (1- x)2 èç x - 1 xø÷ x - 1 x x - 1 x
18. 3æ 1 1ö Þ I = ç1+ - ÷dx = 1+ 2ln 2- ln3 = a + bln 2 + cln3 ò2 èç x - 1 xø÷ Suy ra a = 1,b = 2,c = - 1Þ (a + b2 + 3c2 )= 8. Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 3 2i 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức T z 1 i z 1 3i bằng A. 8 . B. 4 13 . C. 2 26 . D. 3 14 . Lời giải Chọn C Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) có tâm I (3;2) và bán kính R = 1. Gọi A(- 1;3), B(- 1;1). Suy ra T = MB + MA Áp dụng bất đẳng thức: T 2 = (MA+ MB)2 £ 2(MA2 + MB2 ). Dấu "= " xảy ra khi MA = MB (1) Gọi H là trung điểm của AB , suy ra tọa độ của H là H (- 1;2). Dễ thấy AB = 2 . Áp dụng công thức trung tuyến, ta có: 2(MA2 + MB2 )- AB2 MH 2 = Û 2(MA2 + MB2 )= 4MH 2 + AB2 = 4MH 2 + 4 . 4 Ta lại có: MH £ MI + IH = R + IH = 1+ 4 = 5 . Ở bài toán này, vị trí điểm H và tâm I rất đặc biệt. Khi MH lớn nhất (vị trí điểm M như hình vẽ) cũng thỏa mãn luôn điều kiện (1), là: MA = MB . Từ đó suy ra: T 2 = (MA+ MB)2 £ 2(MA2 + MB2 )= 4MH 2 + 4 £ 4.52 + 4 = 104 Û T £ 2 26 . Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức T là Tmax = 2 26 . Ta có thể sử dụng kĩ năng lượng giác hóa số phức rồi dùng CASIO chạy bảng TABLE. Câu 43: Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có thể tích V . Gọi M là điểm thuộc AA 'sao cho MA' 3MA , điểm N nằm trên cạnh BB 'sao cho 2BN 3NB ' , điểm P nằm trên cạnh CC' sao cho CP 3C ' P . Các đường thẳng NM và PM cắt các cạnh A' B ' và A'C ' lần lượt tại H và K . Hãy tính theo V thể tích của khối đa diện B 'C ' PNHK ?
19. 139V 283V 311V 133V A. . B. . C. . D. . 280 840 840 280 Lời giải Chọn B 2 1 HB ' NB ' 8 A' H 15 KC ' PC ' 1 KA' 3 Theo Talet, ta có: 5 và 4 HA' MA' 3 15 A' B ' 7 KA' MA' 3 3 A'C ' 2 4 4 1 S .MA' V A' HK 1 A' H A' K MA' 1 15 3 3 45 Suy ra tỉ lệ thể tích: MA' HK 3 . . . . . . . VABC.A' B 'C ' S A' B 'C ' .AA' 3 A' B ' A'C ' AA' 3 7 2 4 56 45 45 Suy ra V .V V MA' HK 56 ABC.A' B 'C ' 56 Với khối lăg trụ lệch: A' B 'C '.MNP ta có VA' B 'C '.MNP 1 MA' NB ' NC ' 1 3 2 1 7 7V VA' B 'C '.MNP . VABC.A' B 'C ' 3 AA' BB ' CC ' 3 4 5 4 15 15 45V 7V 283V Suy ra V V V . B 'C ' PMNK MA' HK A' B 'C '.MNP 56 15 840 Câu 44: Bạn An cần mua một chiếc gương có đường viền là đường Parabol bậc 2. Biết rằng khoảng cách đoạn AB 60cm , OH 30cm . Diện tích của chiếc gương bạn An mua là
20. A. 1200 cm2 . B. 1400 cm2 . C. 900 cm2 . D. 1000 cm2 . Chọn A Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đường viền chiếc gương là đường Parabol y ax2 bx c a 0 có đỉnh H 0;30 và đi qua điểm B 30;0 . c 30 c 30 b Ta có: 0 b 0 . 2a 1 900a 30b c 0 a 30 1 Diện tích chiếc gương là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol y x2 30 và trục 30 hoành. Diện tích chiếc gương là: 30 30 30 1 2 1 2 1 3 2 S x 30 dx 2 x 30 dx 2 x 30x 1200 cm . 30 30 0 30 90 0 Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 1;3 và hai đường thẳng x 4 y 2 z 1 x 2 y 1 z 1 d : ; d :  Phương trình đường thẳng qua A 1 1 4 2 2 1 1 1 vuông góc với d1 và cắt d2 . x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 A. . B. . 1 2 3 2 1 3 x 1 y 1 z 3 x 1 y 1 z 3 C. . D. . 4 1 4 2 1 1 Lời giải Chọn D x 4 t x 2 t Phương trình tham số của đường thẳng d1 : y 2 4t và d2 : y 1 t . z 1 2t z 1 t Phương trình mặt phẳng P qua A vuông góc với d1 là: x 4y 2z 9 0 . Gọi H là giao điểm của P và đường thẳng d2 . H d2 H 2 t; 1 t;1 t H P 2 t 4 1 t 2 1 t 9 0 t 1. Nên giao điểm H 3; 2; 2 .
21. Phương trình đường thẳng qua A vuông góc với d1 và cắt d2 là phương trình đường thẳng  AH qua A 1; 1;3 và nhận AH 2;1;1 làm véctơ chỉ phương. Câu 46. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm liên tục trên ¡ và hàm số y f (x) có đồ thị như hình vẽ. Đồ thị của hàm số g(x) 2 f (x) (x 1)2 có tối đa bao nhiêu điểm cực trị? A. 3 . B. 5 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn B Xét hàm số h(x) 2 f (x) (x 1)2 trên ¡ . Ta có h (x) 2 f (x) 2(x 1) . h (x) 0 f (x) x 1 (*) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (C) : y f n(x) và (d) : y x 1. x 0 x 1 Dựa vào đồ thị (C) và (d) ta có (*) . x 2 x 3 Bảng biến thiên của h(x)
22. Dựa vào bảng biến thiên của y h(x) ta thấy h(x) 0 có nhiều nhất 3 nghiệm. Mặt khác số cực trị hàm số y h(x) bằng với số cực trị hàm y h(x) cộng với số giao điểm của h(x) với trục hoành. Vậy nên y h(x) 2 f (x) (x 1)2 ta thấy hàm số có tối đa 5 cực trị. x, y ¡ x 1 2 2 2 Câu 47. Cho sao cho log2 (x y)(x xy y ) (x y)y 0 . Tìm giá trị nhỏ x, y 1 2y 2 nhất m của biểu thức T 3xy x2 y2 2. A. m 3 . B. m 2 . C. m 4 . D. m 1. Lời giải Chọn D Ta thấy x 1 2 2 2 log2 (x y)(x xy y ) (x y)y 0 2y 2 x y 3 2 2 2 2 3 2 3 log2 x x y xy x y xy y xy y 0 2y 3 2 3 2 log2 (x y) x y x log2 (y y) y y y. (1) 3 2 Xét hàm số f (t) log2 (t y) t y t với t, y 1. 1 Ta thấy f (t) 3t 2 y2 0,t, y 1.Nên hàm số f (t) đồng biến trên [1; ) . (t y)ln 2 Ta thấy rằng (1) f (x) f (y) x y .Ta suy ra T 3x2 2 3 2 1,x 1. Vậy m min[1; ) T T (1) 1. Câu 48. Cho hàm số đa thức bậc bốn y f (x) có đồ thị (C) , biết rằng (C) đi qua điểm A( 1;0) . Tiếp tuyến tại A của đồ thị (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 . Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích bằng 56 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 1; x 0 bằng 5
23. 2 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 5 20 10 5 Lời giải Chọn A Hàm số y ax4 bx2 c . TXĐ: D ¡ . Ta có y 4ax3 2bx . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại A( 1;0) có dạng y ( 4a 2b)(x 1) . Do tiếp tuyến tại A của đồ thị (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 nên phương trình ax4 bx2 c ( 4a 2b)(x 1) nhận ba nghiệm là x 1; x 0; x 2 . c a b c 2a Suy ra . b 3a b 3a Vậy (C) : y ax4 3ax2 2a a(x4 3x2 2) và : y 2a(x 1) . 56 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 0; x 2 bằng nên 5 2 56 |2a(x 1) a(x4 3x2 2) | dx 0 5 2 56 (2a(x 1) a(x4 3x2 2))dx 0 5 2 56 a ( x4 3x2 2x)dx 0 5 5 x 3 2 2 56 a  x x |0 5 5 28 56 a  a 2. 5 5 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị (C) và hai đường thẳng x 1; x 0 là 0 0 x5 2 S |a(x4 3x2 2) 2a(x 1) | dx (2x4 6x2 4x)dx 2 x3 x2 0 . | 1 1 1 5 5 Cách khác: Phương trình đường thẳng : y x 1. Do và (C) cắt nhau tại các điểm có hoành độ 1; 0 ; 2 nên ta có phương trình a(x 1)2  x (x 2) 0. 2 56 Theo bài ta có phương trình a |(x 1)2 x (x 2) | dx a 2 . 0 5
24. 0 2 2 Từ đó ta được S 2 x 1 x. x 2 dx . 1 5 Câu 49. Xét hai số phức z1 , z2 thay đổi thỏa mãn | z1 z2 | | z1 z2 1 2i | 3. Gọi A , B lần lượt là 2 2 giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức | z1 | | z2 | . Giá trị của biểu thức B A là A. 23. B. 23 . C. 6 5 . D. 6 5 . Lời giải Chọn C Xét hình bình hành OMPQ , ở đó O là gốc tọa độ, M , Q lần lượt là điểm đại diện cho hai số phức z1 , z2 , từ đó suy ra điểm P đại diện cho số phức z1 z2 . Do OMPQ là hình bình hành, suy ra OP2 MQ2 2 OM 2 OQ2 2 2 2 2 từ đó suy ra | z1 z2 | | z1 z2 | 2 | z1 | | z2 | . 1 Theo bài ra ta có | z |2 | z |2 9 | z z |2 , suy ra | z |2 | z |2 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 1 2 2 1 2 1 2 nhất khi | z1 z2 | lớn nhất, nhỏ nhất. Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của | z | biết | z (a bi) | R . Dễ thấy quỹ tích điểm đại diện của z là đường tròn tâm I(a;b) và bán kính R . 2 2 2 2 Suy ra | z |min OA | OI R | | a b R | và | z |max OB OI R a b R . Quay lại bài toán ban đầu, do | z1 z2 (1 2i) | 3, suy ra 2 2 2 2 | z1 z2 |min | (1) ( 2) 3| 3 5 và | z1 z2 |max (1) ( 2) 3 5 3. 1 2 23 1 2 23 Từ đó suy ra A 9 3 5 3 5 và B 9 3 5 3 5 . 2 2 2 2 Vậy B A 6 5 . Câu 50. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB 1, BC 2, AA 3. Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C , (P) cắt các tia AB, AD, AA lần lượt tại E, F,G không trùng với A . Tính tổng T AE AF AG khi thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất.
25. A. 15. B. 16. C. 17 . D. 18. Lời giải Chọn D Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC b , AA c . Mặt phẳng (P) thay đổi và luôn đi qua C , (P) cắt các tia AB , AD , AA lần lượt tại E, F,G không trùng với A . Tính tổng T mAE nAF pAG khi thể tích khối tứ diện AEFG nhỏ nhất. Sử dụng phương pháp tọa độ hóa, viết phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn, dạng x y z 1. AE AF AG a b c Thay tọa độ C , được 1. AE AF AG Đánh giá bằng bất đẳng thức AM GM . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A  O(0;0;0), B(1;0;0), D(0;2;0), A (0;0;3) . Khi đó E(AE;0;0) , F(0; AF;0) , G(0;0; AG) , C (1;2;3) . x y z Phương trình mặt phẳng (EFG) có dạng 1. AE AF AG 1 2 3 Vì C (EFG) nên 1. AE AF AG Thể tích của AEFG là 1 1 27 V AE.AF.AG 27 . 1 2 3 3 6 . . 1 2 3 AE AF AG AE AF AG Khi AE 3; AF 6; AG 9 thì xảy ra dấu bằng, nên thể tích AEFG nhỏ nhất khi (P) là mặt phẳng (EFG) trong đó AE 3; AF 6; AG 9.