Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 12 - Bảng B - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ninh (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG BẢNG B TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2020 -2021 Thời gian 180 phút, không tính thời gian phát đề ĐỀ BÀI Câu 1. ( 4 điểm) x 2 a) Cho hàm số y ( a là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số đã x a cho đồng biến trên khoảng ; 4 . b) Cho hàm số y x3 3mx2 1 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABE có diện tích bằng 32 với E 2;1 . Câu 2. Cho đa giác đều H có 24 đỉnh. Gọi 푆 là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 24 đỉnh của H . Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ 푆, tính xác suất để tam giác chọn được không có tam giác vuông. Câu 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B 2sin C và b 2a cosC trong đó R AB c, BC a,CA b . Tính tỉ số , trong đó R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán r kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB với I là trung điểm AC . . 3 3 2 x 8y 3x 4x 2y 2 (1) Câu 4. Cho tìm m để hệ phương trình log 2x2 (m 2)x 4y 11 1 log (2x 4) (2) 4 2 Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB 2a BC a 5 , hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho CH 2AH , tam giác SAC vuông tại S . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . a/ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . b/ Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng IK và AC Câu 6. (2 điểm) Ở một thành phố biển Q có một hòn đảo, trên đảo có một điểm O cố định. Người ta cần xây dựng các con đường nối hai ga xe X và Y trên đất liền với một điểm T cách điểm O một khoảng 13 r 6(km) . Cho biết OX 12(km), OY 15(km), X· OY với là góc nhọn thỏa mãn cos . Dự 18 kiến đường đi từ X tới T là đường thẳng hai làn xe, còn đường từ Y tới T là đường thẳng bốn làn xe. Chi phí xây dựng cho một ki-lô-mét đường hai làn xe và bốn làn xe lần lượt là 1 triệu USD và 2 triệu USD. Tìm vị trí của T sao chi phí xây dựng cả hai con đường là nhỏ nhất và tính chi phí này. .HẾT .
2. HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. x 2 a) Cho hàm số y ( a là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của a để hàm số đã x a cho đồng biến trên khoảng ; 4 . b) Cho hàm số y x3 3mx2 1 1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABE có diện tích bằng 32 với E 2;1 . Giải: a)Tập xác định: D ¡ \ a. a 2 y x a 2 y 0 a 2 a 2 Hàm số đồng biến trên khoảng ; 4 a ; 4 a 4 a 4 2 a 4. Vậy 2 a 4 . 2 b) Ta có y 3x 6mx . y 0 3x2 6mx 0 x 0, x 2m Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị m 0 . Đặt A 0;1 , B 2m; 4m3 1 AB 4m2 16m6 2 m 1 4m4 . Ta có phương trình đường thẳng AB là: y 2m2 x 1 2m2 x y 1 0 . 2 4m 4m2 Khoảng cách từ E đến đường thẳng AB là: d . 4m4 1 4m4 1 1 1 4m2 Diện tích tam giác ABE bằng: S AB.d .2 m 1 4m4 . 4 m m2. 2 2 4m4 1 Theo giả thiết ta có: 4 m m2 32 m m2 8 m 2 ( thỏa mãn). Vậy m 2 . Câu 2. Cho đa giác đều H có 24 đỉnh. Gọi 푆 là tập hợp các tam giác có 3 đỉnh lấy từ 24 đỉnh của H . Chọn ngẫu nhiên một tam giác từ 푆, tính xác suất để tam giác chọn được không có tam giác vuông. Lời giải 3 +) Số phần tử không gian mẫu là n  C24 . +) Gọi biến cố A: “Tam giác được chọn là tam giác vuông”.
3. Khi đó A : “Tam giác được chọn không có tam giác vuông”. +) Để chọn được 1 tam giác vuông thì ta phải chọn 2 đỉnh là hai đầu mút của đường kính. Đỉnh 1 1 còn lại lấy từ 22 đỉnh còn lại nên số cách chọn được tam giác vuông là n A C12.C22 . 1 1 C12.C22 20 Vậy P A 1 P A 1 3 . C24 23 Câu 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A sin B 2sin C và b 2a cosC trong đó R AB c, BC a,CA b . Tính tỉ số , trong đó R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán r kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB với I là trung điểm AC . Lời giải Ta có sin B sin A C sin A.cosC cos A.sin C 1 Gọi R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ta có b 2R1 sin A, a 2R1 sin A Theo giả thiết ta có b 2a cosC 2R1 sin B 4R1 sin AcosC sin B 2sin A.cosC , thay vào 1 ta được: 2sin AcosC sin AcosC cos Asin C sin AcosC cos Asin C 0 sin A C 0 A C Thay tiếp vào giả thiết ta có sin A sin B 2sin C 2sin B 2sin C B C . Vậy tam giác ABC đều. AB a Giả sử tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Ta có R , 2 2 a2 3 1 1 a a 3 3 3 S 3 S ; p AI IB AB a a , suy ra r a . ABC 4 2 2 2 2 4 p 3 3 R 3 3 Vậy . r 2 3
4. 3 3 2 x 8y 3x 4x 2y 2 (1) Câu 4. Cho tìm m để hệ phương trình log 2x2 (m 2)x 4y 11 1 log (2x 4) (2) 4 2 Lời giải + Ta có: (1) (x 1)3 (x 1) ( 2y)3 ( 2y) Xét hàm số f (t) t3 t; f '(t) 3t 2 1 t R hàm số đồng biến trên R Khi đó (1) f (x 1) f ( 2y) x 1 2y 2y x 1 + Với 2y x 1 2 (2) log4 8x 4(m 2)x 16y 44 2log4 (2x 4) x 2 x 2 x 2 2 2 2 2 x 9 8x 4(m 2)x 16y 44 (2x 4) 2x (4 m)x 9 0 m 4 x x2 9 Xét hàm số g(x) 4 (x>2) x x2 9 x 3(tm) g '(x) ;g '(x) 0 x x 3(l) 21 Căn cứ BBT ta thấy: Ycbt 10 m 2 Câu 5. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, biết AB 2a BC a 5 , hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy là điểm H thuộc đoạn thẳng AC sao cho CH 2AH , tam giác SAC vuông tại S . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . a/ Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD . b/ Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng IK và AC Lời giải a/ Ta có: AC AB2 BC 2 3a . Giả sử SH x . Do tam giác SAC vuông tại S ta có:
5. AC 2 SA2 SC 2 9a2 a2 x2 4a2 x2 x a 2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là: B 2a.a 5 a2 2 5 Vậy thể tích khối chóp là: 1 1 a3 2 10 V Bh a2 2 5.a 2 . 3 3 3 b/ Gọi L là trung điểm của AB . Khi đó ta có KL//AC d AC, IK d AC, IKL 1 a 2 Gọi E là trung điểm của AH nên IE//SH và IE SH . 2 2 Kẻ EF  KL , ET  IF . Khi đó ET d E, IKL d AC, IK 1 Ta có EF d B, AC 2 1 1 1 1 1 9 Xét tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 2 2 d B, AC BA BC 4a 5a 20a 2 5 a 5 d B, AC a EF . 3 3 1 1 1 2 9 5 Xét tam giác FIE ta có: ET a ET 2 EI 2 EF 2 a2 5a2 19 5 Vậy ET d AC, IK a . 19 Câu 6. (2 điểm) Ở một thành phố biển Q có một hòn đảo, trên đảo có một điểm O cố định. Người ta cần xây dựng các con đường nối hai ga xe X và Y trên đất liền với một điểm T cách điểm O một khoảng 13 r 6(km) . Cho biết OX 12(km), OY 15(km), X· OY với là góc nhọn thỏa mãn cos . Dự 18 kiến đường đi từ X tới T là đường thẳng hai làn xe, còn đường từ Y tới T là đường thẳng bốn làn xe. Chi phí xây dựng cho một ki-lô-mét đường hai làn xe và bốn làn xe lần lượt là 1 triệu USD và 2 triệu USD. Tìm vị trí của T sao chi phí xây dựng cả hai con đường là nhỏ nhất và tính chi phí này. Lời giải Số tiền cần sử dụng để xây đường tính theo công thức P TX 2TY (triệu USD) Yêu cầu bài toán tìm điểm T trên đường tròn tâm O bán kính r 6 sao cho P TX 2TY nhỏ nhất. Gọi A là giao điểm của OX với đường tròn tâm O và B là trung điểm OA. Khi đó OB OT 1 và B· OT X· OT nên OT OX 2 BOT : TOX . Suy ra TX 2TB do đó P 2TB 2TY 2BY 2 OB2 OY 2 2BO.OY cos 26.
6. Vậy giá trị nhỏ nhất của chi phí để làm đường là 26(triệu USD) đạt được khi T trùng với C giao điểm của BY với đường tròn tâm O bán kính bằng 6km