Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chuyên đề: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chuyên đề: Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I. Định nghĩa Giả sử A và B là hai biểu thức bằng số hoặc bằng chữ. Khi đó + A B; A B; A B; A B được gọi là các bất đẳng thức. + Các bất đẳng thức trên được viết lại như sau A B 0; A B 0; A B 0; A B 0 + Một bất đẳng thức bất kì có thể đúng, cũng có thể sai. Quy ước: Khi nói về một bất đẳng thức mà không nói gì thêm thì ta hiểu đó là một bất đẳng thức đúng. II. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức + Tính chất giao hoán Với các số thực A và B bất kì, ta luôn có A B B A + Tính chất bắc cầu Với các số thực A, B, C bất kì, ta luôn có A B, B C A C + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với các số thực A, B và M bất kì, ta luôn có A B A M B M - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có A B; C D A C B D A B; C D A D B C + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có A B; M 0 A.M B.M A B; M 0 A.M B.M - Với các số thực A, B, C, D bất kì , ta luôn có 0 A B 0 A.C B.D 0 C D + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với các số thực A, B bất kì, ta luôn có A B 0 A n Bn 0, với n là số thực dương. A B A n Bn , với n là số tự nhiên lẻ. A B A n Bn 0, với n là số tự nhiên chẵn. m n 0; A 1 A m A n m n 0; 0 A 1 A m A n + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo 1 1 - Với các số thực dương A, B bất kì, ta luôn có A B A B III. Một số bất đẳng thức cơ bản cần nhớ + A 2 0 với  A
2. + A 2k 0 với  A và k là số tự nhiên + A 0 với A + A B A B + A B A B
3. Chương I – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung cơ bản của chương I gồm: Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên. Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể. Giới thiệu một số bài tập tự luyện. Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A B . Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A B A B 0 + Dạng tổng bình phương: A B mX 2 nY 2 kZ2 0, với các số m, n, k dương. + Dạng tích hai thừa số cùng dấu: A B X.Y 0 hoặc A B X 2n.Y 0 + Xây dựng các bất đẳng thức từ các điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z [a,b] thì ta nghĩ ngay tới một trong các bất đẳng thức đúng sau đây x a x b 0; x a y a z a 0; x b y b z b 0 Một số đẳng thức cần nhớ 2 2 2 a b a b + a b a2 2ab b2; a2 b2 2 2 2 + a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca + a b b c c a a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 2abc + a b c ab bc ca a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3abc + a b b c c a abc a b c ab bc ca + a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 + a 1 b 1 c 1 abc ab bc ca a b c 1 + a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 3 + a b c a3 b3 c3 3 a b b c c a + a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Một số bất đẳng thức cơ bản 2 + a2 b2 2ab; 2 a2 b2 a b 4ab
4. 2 3 a b + a2 b2 ab 4 + a2 b2 c2 ab bc ca 2 + 3 a2 b2 c2 a b c 3 ab bc ca 2 + 3 a4 b4 c4 ab bc ca 3abc a b c + Bất đẳng thức tam giác b c a b c a b c 0 c a b c a b c a 0 a b c a b c a b 0 Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức. + Kỹ thuật sử dụng các hằng đẳng thức. + Kỹ thuật thêm bớt một hằng số, một biểu thức. + Kỹ thuật đặt biến phụ. + Kỹ thuật sắp thứ tự các biến. + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn của các biến. 2. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 c2 3 2 a b c Phân tích: Các bất đẳng thức trên khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2 2 a b b c c a 0 2 Suy ra a2 b2 c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức a2 b2 c2 3 2 a b c a2 2a 1 b2 2b 1 c2 2c 1 2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 Suy ra a2 b2 c2 3 2 a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng:
5. 2 a2 b2 c2 a b c 3 3 Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 2 2 2 2 2 a2 b2 c2 a b c 3 a b c a b c a 3 3 9 2 2 2 a b b c c a 9 2 a2 b2 c2 a b c Suy ra 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất 2 2 2 hiện các đại lượng a b ; b c ; c a với điều kiện dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c . Do đó trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rẳng: a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương. Để được các tích ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 2 2 2 2 a kb a kc a kd a ke 0 Trong trường hợp trên ta có thể chọn k 2, tức là ta phải nhân hai vế với 4. Lời giải Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 4 a2 b2 c2 d2 e2 4 ab ac ad ae 4 a2 4ab 4b2 a2 4ac 4c2 a2 4ad 4d2 a2 4ae 4e2 4 2 2 2 2 a 2b a 2c a 2d a 2e 0 4 Suy ra a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 2b 2c 2d 2e.
6. Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam thức bậc hai để chứng minh. Ví dụ 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c 1. Chứng minh rẳng: 1 1 2 1 1 1 3 a) b) 1 a2 1 b2 1 ab 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương. Chú ý đến giả thiết a, b 1 ab 1 0. Lời giải a) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức 1 1 2 1 1 1 1 1 a2 1 b2 1 ab 1 a2 1 ab 1 b2 1 ab 2 a b ab 1 0 a2 1 b2 1 ab 1 1 1 2 Suy ra 1 a2 1 b2 1 ab Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1. b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc 1 abc Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta được 1 1 1 1 2 2 3 3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc 1 a3b3 1 abc4 4 4 3 3 4 1 abc 1 a b abc 1 1 1 3 Suy ra 1 a3 1 b3 1 c3 1 abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3 b3 a b . Chứng minh rẳng: a2 b2 ab 1 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2 b2 ab . Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức a b . Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức a b a2 b2 ab a3 b3 . Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức a2 b2 ab để làm xuất hiện a3 b3 và a2 b2 ab , khi đó ta được a3 b3 a3 b3 a2 ab b2 . Tới đây chỉ cần chứng minh 1 là xong. a3 b3 a3 b3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được
7. a3 b3 a b a3 b3 a2 ab b2 a b a2 ab b2 a3 b3 a3 b3 a2 ab b2 a3 b3 a2 ab b2 3 3 a b Ta cần chứng minh được a3 b3 1 a3 b3 a3 b3 0 2b3 0 b a3 b3 Do b 0 hiển nhiên đúng. Nên bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b . Chứng minh rằng: a2 b2 2ab b2 a Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa các bình phương, lại có thêm điều kiện a b 0, nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 2 a2 b2 2ab b2 a2 a2 b2 2 a2 b2 . 2ab b2 2ab b2 a2 2b a b 2 a2 b2 . 2ab b2 0 Vì a b 0 nên b a b 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Ví dụ 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a4 b4 c4 abc a b c Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy thừa bậc chẵn. Để ý ta thấy abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a4 b4 c4 a2bc b2ac c2ab 0 2a4 2b4 2c4 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 2 2 2 a2 b2 2a2b2 b2 c2 2b2c2 c2 a2 2a2c2 2a2bc 2b2ac 2c2ab 0 2 2 2 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc bc ac ab ac 0 Suy ra a4 b4 c4 abc a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Ví dụ 8. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rẳng: a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 Phân tích: Để ý ta thấy a10.a2 a8.a4, b10.b2 b8.b4 , do đó ta biến đổi tương đương để thu gọn và chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức
8. a10 b10 a2 b2 a8 b8 a4 b4 a12 a10b2 a2b10 b12 a12 a8b4 a4b8 b12 a8b2 a2 b2 a2b8 b2 a2 0 a2b2 a2 b2 a6 b6 0 2 a2b2 a2 b2 a4 a2b2 b4 0 Bất đẳng thức cuối đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 0 . Chứng minh rằng: ab 2bc 3ca 0 Phân tích: Từ giả thiết a b c 0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn c a b , thay vào biểu thức của bất đẳng thức ta được 3a2 4ab 2b2 là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương. Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức. Lời giải Theo giả thiết thì c a b , nên bất đẳng thức đã cho tương ứng với ab c 2a 3a 0 ab a b 2b 3a 0 2 ab 2ab 3a2 2b2 3ab 0 3a2 4ab 2b2 0 a2 2 a b 0 Từ đó ta có điều phải chứng minh . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 0. 2 a 5 a 1 11 Ví dụ 10. Chứng minh với các số thực a dương, ta có: a2 1 2a 2 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh. Để ý thêm nữa ta thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng 2 a2 1 và 2a làm ta liên tưởng đến hằng đẳng thức a 1 , lại thấy đẳng thức xẩy ra khi a 1 nên suy 2 nghĩ rất tự nhiên là biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a 1 xem có thể 2 a 1 5 a 1 11 1 chứng minh bài toán được không. Với a 1 khi đó ta có ; 5 và 5 nên a2 1 2 2a 2 2 ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức. Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức 2 2 a 5 a 1 11 a 1 5 a 1 5 0 a2 1 2a 2 a2 1 2 2a 2 2 2 a 1 5 a 1 a 1 5 1 0 0 2 2 a2 1 2a 2 a a 1 2 2 2 2 a 1 5a2 a 5 a 1 a 1 9 a 1 . 0 . 0 2 a a2 1 2 2 a2 1 Bất đẳng thức cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1.
9. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a3 b3 b3 c3 c3 a3 2 a b c ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy những đặc điểm sau: + Hai vế của bất đẳng thức cùng có bậc một. + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến một bất bất đẳng thức khá hay dùng x3 y3 xy x y . Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x3 y3 xy x y với x, y là các số dương Thật vậy 2 x3 y3 xy x y x y x2 y2 xy xy x y x y 0 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được a3 b3 b3 c3 c3 a3 ab a b bc b c ca c a 2 a b c ab bc ca ab bc ca a3 b3 b3 c3 c3 a3 Suy ra 2 a b c ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 12. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có 2x 1 . x2 x 1 2x 1 . x2 x 1 Phân tích: Bất đẳng thức chỉ chứa một biến và có chứa căn bậc hai. Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định của các căn thức 2 2 2 1 3 2 1 3 x x 1 x 0 và x x 1 x 0 2 4 2 4 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳng thức trở là 2x 1 . x2 x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2x 1 . x2 x 1 , khi đó nếu nhân hai vế với 1 thì được 2x 1 . x2 x 1 2x 1 . x2 x 1 , tức là bất đẳng thức không thay đổi gì cả. Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp x không âm là được. 1 Với 0 x , ta thấy vế trái luôn dương và vế phải nhỏ hơn hoặc bằng không nên ta có thể 2 1 1 chia nhỏ các trường hợp 0 x và x để chứng minh bất đẳng thức. 2 2 Lời giải 2 2 2 1 3 2 1 3 Vì x x 1 x 0 và x x 1 x 0 2 4 2 4 Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x. Nếu x 0, ta đặt x t, t 0 khi đó bất đẳng thức trở thành.
10. 2t 1 t 2 t 1 2t 1 t 2 t 1 2t 1 t 2 t 1 2t 1 t 2 t 1 Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có t 0. Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x 0 là đủ. Lúc này có hai khả năng xảy ra : 1 + Nếu 0 x thì 2x 1 . x2 x 1 0; 2x 1 . x2 x 1 0 2 suy ra 2x 1 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 . Nên bất đẳng thức đúng. 1 + Nếu x thì hai vế cùng dương, nên bình phương hai vế ta được 2 2 2 2x 1 x2 x 1 2x 1 x2 x 1 4x4 x2 3x 1 4x4 x2 3x 1 x 0 1 Mà x nên bất đẳng thức cuối cùng đúng. 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 13. Cho các số thực a,b,c [0, 1]. Chứng minh rằng: a4 b3 c2 ab bc ac 1 Phân tích: Từ giả thiết a,b,c [0, 1] ta được 0 a,b,c 1, khi đó theo tính chất của lũy thừa ta được a a4; b b3; c c2 . Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng a b c ab bc ca . Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích 1 a 1 b 1 c 0 . Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên. Lời giải Theo giả thiết a,b,c [0, 1] ta có 1 a 1 b 1 c 0 1 a b c ab bc ac abc 0 1 a b c ab bc ac abc Cũng từ giả thiết a,b,c [0, 1] nên abc 0và a a4; b b3; c c2 . Do đó ta suy ra 1 a b c ab bc ac a4 b3 c2 ab bc ac Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 hoặc a 1; b c 0 và các hoán vị. a2 b2 a b Ví dụ 14. Chứng minh rằng với mọi số thực khác không a, b ta có: b2 a2 b a
11. 2 a2 b2 a b Phân tích: Để ý ta thấy 2, do đó ta có thể biến đổi bất đẳng thức thành 2 2 b a b a 2 a b a b 2 0. Đến đây ta có thể phân tích thành tích rồi quy đồng hoặc đặt biến phụ b a b a a b t , chú ý điều kiện t 2 . b a Lời giải Bất đẳng thức đã cho tương đương với 2 a2 b2 a b a b a b a b a b 2 0 1 2 0 2 2 b a b a b a b a b a b a Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên. + Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức 2 a2 b2 ab a b 0 a2b2 2 a b a2 b2 Mà a2 b2 ab 0 2 Do đó bất đẳng thức được chứng minh. 2 a b 2 a b + Hướng 2: Đặt t , khi đó ta được t 4 t 2 b a b a Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành t 1 t 2 0. - Nếu t 2, suy ra t 2 0 nên t 1 t 2 0. - Nếu t 2, suy ra t 1 0; t 2 0 nên t 1 t 2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b Ví dụ 15. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: ab a 2 b 6 12a2 24a 3b2 18b 36 0 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của có sự xuất hiện các đại lượng 2 a a 2 ; b b 6 và chú ý thêm các đại lượng bên ta nhận thấy a a 2 1 a 1 và 2 b b 6 9 b 3 . Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên. 2 2 + Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương a 1 , b 3 . + Thứ hai là đặt biến phụ x a a 2 ; y b b 6 và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh. Lời giải Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có P ab a 2 b 6 12a2 24a 3b2 18b 36 a a 2 b b 6 12 3 b b 6 12 2 2 b b 6 12 a a 2 3 b 3 3 a 1 2 0
12. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 ab a 2 b 6 12 a 1 3 b 3 3 0 2 x a a 2 x 1 a 1 0 Đặt 2 y b b 6 y 9 b 3 0 Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành xy 12 x 1 3 y 9 3 0 x 3 y 12 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì x 1 0; y 3 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 1019a2 18b4 1007c2 30ab2 6b2c 2008ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn và vế phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương. Tuy nhiên vì hệ số khác nhau nên ta cần phải tinh ý khi phân tích. 2 2 2 Sau khi chuyển vế ta phân tích thành m a b2 n b2 c k c a và cần tìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007 . Giải hệ điều kiện trên ta tìm được m 15; n 3; k 1004. Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 15 a2 2ab2 b2 3 b4 2b2c c2 1004 c2 2ca a2 0 2 2 2 15 a b2 3 b2 c 1004 c a 0 Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b2 c. Ví dụ 17. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 1; b 1. Chứng minh rằng: a b 1 b a 1 ab Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và đẳng thức xẩy ra tại a b 2, do đó ta có các ý tưởng chứng minh bất đẳng thức sau đây: + Thứ nhất là đặt biến phụ x a 1; y b 1 để làm mất căn bậc hai và phân tích thành các bình phương. + Thứ hai là khử căn bậc hai bằng một đánh giá quen thuộc x2 y2 2xy . Để ý đến chiều bất đẳng thức và điều kiện dấu bằng xẩy ra tại a b 2 ta đánh giá được a 1 1 a b 1 1 b a 1 a 1 .1 ; b 1 b 1 .1 2 2 2 2 Lời giải Cách 1: Đặt x a 1; y b 1 , khi đó x 0; y 0 . Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x2 1 y y2 1 y x2 1 y2 1
13. x2 1 y y2 1 y x2 1 y2 1 x2 1 y2 1 2 x2 1 y x2 1 y2 1 2 y2 1 x 0 2 2 x2 1 y 1 y2 1 x 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1 hay a b 2. Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được a 1 1 a a 1 a 1 .1 2 2 b 1 1 b b 1 b 1 .1 2 2 ab ab Do đó ta được a b 1 b a 1 ab 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2. Ví dụ 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a4 b4 ab3 a3b 2a2b2 Phân tích: Để ý ta thấy, với a b thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử 2 chung a b . Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a4 2a2b2 b4 a4 a3b b4 ab3 0 a2 b2 a3 b3 a b 0 2 2 2 2 a b a b a2 ab b2 0 a b 3 a b a2 b2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Ví dụ 19. Cho a, b là hai số thực khác không. Chứng minh rằng: 4a2b2 a2 b2 3 2 2 2 a2 b2 b a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy khi a2 b2 thì bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng và 2 2 2 a2 b2 a b 2. Nên ta có các ý tưởng biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau: b2 a2 a2b2 2 + Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung a2 b2 2 2ab + Thứ hai là đặt biến phụ t , chú ý điều kiện 0 t 1. 2 2 a b Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương với.
14. 2 2 2 2 2 4a2b2 a2 b2 4a b a b a4 2a2b2 b4 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 a2 b2 b a a2 b2 a b 2 2 2 2 2 2 a b a b 2 2 2 1 1 0 a b 0 2 2 2 2 2 2 a2 b2 a b a b a2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a2 b2 a4 b4 a2b2 0 0 2 2 a2b2 a2 b2 a2b2 a2 b2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . 2 2 2 4a2b2 a b Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành 5 . 2 2 2 a2 b2 a b 2 2 2 2 2 2ab a b a2 b2 4 Đặt t , khi đó ta được 0 t 1. Suy ra 4 2 2 2 2 a b a b 2ab t Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4 t 5 t 2 5t 4 0 t 1 t 4 0 t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì 0 t 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Ví dụ 20. Cho các số thực dương a, b, m, n m n . Chứng minh rằng: a b 2 na mb mb na m n Phân tích: Nhận thấy bất đẳng thức xẩy ra dấu bằng tại a b, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến biến 2 đổi bất đẳng thức làm xuất hiện a b , chú ý đến điều kiện m n Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a 1 b 1 m a b m a b 0 0 na mb n m nb ma n m na mb n m nb ma n m 2 m a b 1 1 m a b m n 0 . 0 n m na mb nb ma n m na mb nb ma Vì a,b 0 và m n nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a b hoặc m n . Ví dụ 21. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2b 2 a2 2ab 2a3 b3 3 2a2 b2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy ra với a b , khi đó rất tự nhiên ta 2 nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng a b . Mặt khác với a b ta lại có
15. a2b 1 a2 2ab 2 1 ; 1. Để ý là 1 , nên ta ta biến đổi bất đẳng thức thành 2a3 b3 3 2a2 b2 3 3 a2b 1 a2 2ab 1. Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành các bình phương. 2a3 b3 3 2a2 b2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b 2 a2 2ab a2b 1 a2 2ab 1 2a3 b3 3 2a2 b2 2a3 b3 3 2a2 b2 2 2 a b 2a b a b 2 1 2a b a b 0 3 2a3 b3 2a2 b2 2a2 b2 3 2a3 b3 2 a b 3 2a3 b3 2a2 b2 2a b 0 2 4 a b 2a3 2b3 2a2b 2ab2 0 a b a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vật bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . Ví dụ 22. Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: 2ab b2 3 a2 4b2 3a2 2b2 5 2ab 2 b2 1 Phân tích: Dấu đẳng thức xảy ra với a b , khi đó ; . Nên ta ta biến đổi a2 4b2 5 3a2 2b2 5 2 2ab 1 b2 bất đẳng thức thành 0 . Tới đây ta quy đồng hai vế và phân tích thành 5 a2 4b2 5 3a2 2b2 các bình phương. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2ab b2 3 2 2ab 1 b2 0 a2 4b2 3a2 2b2 5 5 a2 4b2 5 3a2 2b2 2a2 10ab 8b2 3a2 3b2 2 a b a 4b 3 a b a b 0 0 a2 4b2 3a2 2b2 a2 4b2 3a2 2b2 a b 2 a 4b 3a2 2b2 3 a b a2 4b2 0 2 2 a b 9a3 21a2b 16ab2 4b3 0 a b 3a 2b 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b hoặc 3a 2b Ví dụ 23. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a) a a b a c b b c b a c c a c b 0 b) a6 b6 c6 a5b b5c c5a Phân tích:
16. a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy a c a b b c do đó bất đẳng thức lúc này 2 tương đương với a a b c a c b c 0. Đến đây chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho c a c b c 0 là xong. b) Tương tự như trên ta có a c a b b c , biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được bất đẳng thức a b a5 b5 a c b5 c5 0. Đến đây ta chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho a c b5 c5 0 là xong. Lời giải a) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a b c 0. Khi đó ta có a a b a c a b c b a c c a c b 0 a a b a b b c b b c b a c c a c b 0 2 a a b a a b b c a b c a b c a c b c 0 2 a b a b c c a c b c 0 Vì a b c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a c 0; b c 0 . Khi đó ta có a6 a5b b6 b5c c6 c5a 0 a5 a b b5 b c c5 c a 0 a5 a b b5 a b c a c5 c a 0 a b a5 b5 a c b5 c5 0 Vì a c 0; b c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 24. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: bc ca ab a b c a b c Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau: 2 2 2 + Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện bc ca ab và vế phải xuất hiện abc a b c ab.bc bc.ca ca.ab . Như vậy chỉ cần chuyển vế trái ta viết được thành tổng các bình phương 2 bc ca c a b + Để ý ta thấy 2c . Như vậy ta cần nhân hai vế với 2 và ghép tương tự. a b ab Lời giải Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau
17. bc ca ab 2 2 2 a b c bc ca ab abc a b c a b c 2 2 2 2 bc 2 ca 2 ab 2abc a b c 0 2 2 2 ab bc bc ca ca ab 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau bc ca ab bc ca ab a b c 2 2 a b c a b c a b c bc ca ca ab ab bc 2c 2a 2b 0 a b b c c a c b2 a2 2ab a c2 b2 2bc b c2 a2 2ca 0 ab bc ca 2 2 2 c a b a b c b c a 0 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 25. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c b c a 2 a2 a b Phân tích: Nhận thấy 2a b . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh. b b Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 2a b 2b c 2c a 0 b c a a2 2ab b2 b2 2bc c2 c2 2ca a2 0 b c a 2 2 2 a b b c c a 0 b c a Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 26. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức. k 1 1 8 2k 2 2 2 2 2 a b a b a b Phân tích: Vì vai trò của a, b như nhau nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b , do đó khi biến đổi 2 bất đẳng thức ta cần làm xuất hiện nhân tử a b . Khi đó bất đẳng thức trở thành 2 a b a2 4ab b2 a2 b2 ka2b2 0. Để tìm k lớn nhất ta cho a b , khi đó ta được 12a4 ka4 0 k 12. Đến đây ta chỉ cần chứng minh k 12 bất đẳng thức đúng là được. Lời giải
18. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với k 1 1 8 2k 2 2 2 2 2 a b a b a b k 2k 1 4 1 4 0 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a a b b a b 2 k a b b a b 3a a b 3a b 0 2 2 2 a2 b2 a b a2 a b b2 a b 2 2 a b a2 4ab b2 k a b 0 2 2 a2b2 a b a2 b2 a b 2 a b a2 4ab b2 a2 b2 ka2b2 0 2 Vì a b 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi a2 4ab b2 a2 b2 ka2b2 0 Cho a b thì bất đẳng thức trên trở thành 12a4 ka4 0 k 12. Ta chứng minh k 12 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k 12 thì ta được a2 4ab b2 a2 b2 ka2b2 0. + Với k 12 thì bất đẳng thức a2 4ab b2 a2 b2 ka2b2 0 trở thành a2 4ab b2 a2 b2 12a2b2 0 2 2 2 a2 b2 4a2b2 4ab a2 b2 2ab 0 a2 b2 4ab a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Vậy hằng số k lớn nhất là 12. Ví dụ 27. Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức k 1 1 16 4k 3 3 3 3 3 a b a b a b Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh ta được k 1 1 16 4k 3 3 3 3 3 a b a b a b k 4k 1 8 1 8 0 3 3 3 3 3 3 3 a b a b a a b b a b 2 a b 7b2 4ab a2 7a2 4ab b2 3k a b a b 0 3 3 3 3 a b b a a3 b3 a b 2 2 a b a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 3k a b 0 a3b3 a2 ab b2 2 a b a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 3ka3b3 0 2 Vì a b 0 nên bất đẳng thức đúng khi và chỉ khi
19. a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 3ka3b3 0 Cho a b thì bất đẳng thức trên trở thành 24a6 3ka6 0 k 8. Ta chứng minh k 8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho. Thật vậy, ta xét các trường hợp sau + Với k 8 thì a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 3ka3b3 0. + Với k 8 thì bất đẳng thức trên được viết lại thành a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 24a3b3 0 Ta có a4 b4 2a2b2; a2 b2 2ab nên a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a4 b4 5ab a2 b2 12a2b2 24a2b2 Và a2 ab b2 ab Do đó ta có a4 5a3b 12a2b2 5ab3 b4 a2 ab b2 24a3b3 Suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Vậy hằng số k lớn nhất là 8. Ví dụ 28. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 3a2 2ab 3b2 2 2 a2 b2 a b Phân tích: Đẳng thức xẩy ra khi a b , do đó ta cố biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng 2 2 a b . Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nên để xuất hiện nhân tử chung có dạng a b ta 2 2 cần chú ý đến phép biến đổi 2 a2 b2 a b a b 2 a b Khi đó ta có 2 a2 b2 a b 2 a2 b2 a b Lời giải Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau 3a2 2ab 3b2 2 2 a2 b2 a b 3a2 2ab 3b2 2 a b 2 2 a2 b2 2 a b a b 2 2 a b 2 a b 0 a b 2 a2 b2 a b 2 a b 2 a2 b2 a b 2 a b 0 4 2 a b a b 2 a2 b2 a b 0 0 2 a2 b2 a b Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 2ab a2 b2 a b ab a b 2 2
20. 2 2 a b 2ab a b 4ab a b Phân tích: Để ý ta thấy 2 a b 2 a b 2 a b 2 2 a b 2 2 2 ab a b a b Lại có ab 2 2 a2 b2 a2 b2 ab 2 ab 2 2 Do đó ta biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi như sau 2 a2 b2 a b 2ab a b 1 1 ab 0 2 2 a b 2 a2 b2 a b ab 2 2 a b 2a 2b 2 a2 b2 2 ab 0 2 Vì a b 0 nên ta cần chứng minh 2a 2b 2 a2 b2 2 ab 0 Thật vậy, ta có 2 a b a b 2 a2 b2 2 a2 b2 a b 2 2 a b a b 2 ab a b 2 a b Do vậy bất đẳng thức trên tương đương với 2 1 1 a b 0 2 2 2 a b 2 a b a b 2 2 2 2 a b 2 a b a b a b 0 2 2 2 2 2 a b 4ab a b 2 a2 b2 2 ab 0 a b 0 2 a2 b2 2 ab 4 2 a b 0 2 a2 b2 2 ab Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b . Ví dụ 30. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 2 ab bc ca b) abc a b c b c a c a b Lời giải a) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có