Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 7: Ứng dụng nguyên lí dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 7: Ứng dụng nguyên lí dirichlet trong chứng minh bất đẳng thức

1. Chương II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề 7. ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nhà toán học Đức P.G.Lejeune Dirichlet (1805-1859) đã nêu ra một định lí mà về sau người ta gọi là Nguyên lí Dirichlet, nguyên lý được phát biểu như sau: “Nếu nhốt vào n chiếc lồng một số chú thỏ mà số lượng lớn hơn n thì ta sẽ tìm được một chiếc lồng mà trong đó có nhiều hơn một con thỏ” Chúng ta biết bất đẳng thức là một dạng toán hay và khó, thường có trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia và Quốc tế. Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp chứng minh bằng phép biến đổi tương đương, phương pháp quy nạp, phương pháp chứng minh bằng phản chứng, dùng các BĐT cổ điển: Cauchy, Bunhiacopxki,... Trong bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá thú vị là ứng dụng nguyên lí Dirichlet. Với phương pháp này, giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo. Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu. Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức. Chẳng hạn đẳng thức xảy ra khi a b c k thì ta có thể giả sử 2 số a k ; b k cùng dấu, khi đó thì (a k)(b k) 0. Chúng ta sẽ tìm hiểu một số ví dụ sau để thấy được ý nghĩa việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet trong việc giải bất đẳng thức như thế nào? Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a2 2 b2 2 c2 2 9 ab bc ca Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 9 ab bc ca 3 a b c . Như vậy ta cần chứng minh 2 a2 2 b2 2 c2 2 3 a b c Quan sát bất đẳng thức trên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki. Như vậy ta cần đánh giá từ 2 a b c làm xuất hiện a2 2, để ý ta thấy 2 a b c a2 1 1 1 b2 c2 a2 2 1 b2 c2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 a2 2 1 b2 c2 a2 2 b2 2 c2 2 3 1 b2 c2 b2 2 c2 2 Biến đổi tương đương ta thu được
2. 3 1 b2 c2 b2 2 c2 2 3 3b2 3c2 b2c2 2b2 2c2 4 b2c2 b2 c2 1 0 b2 1 c2 1 0 Như vậy ta chỉ cần chỉ ra được b2 1 c2 1 0, tuy nhiên vì vai trò của a, b, c như nhau nên theo nguyên lí Dirichlet thì trong ba số a2 1; b2 1; c2 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu và ta hoàn toàn có thể giả sử hai số đó là b2 1; c2 1. Như vậy bài toán được chứng minh xong. Nhận xét: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách khác sau: Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số ab 1; bc 1; ca 1 tồn tại hai số không trái dấu, Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó ta ab 1; bc 1khi đó ta được ab 1 bc 1 0 ab2c 1 ab bc Suy ra a2b2c2 b2 2 2 ab2c 1 2 ab bc Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a2b2c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 8 9 ab bc ca Ta có a2b2c2 b2 2 2 ab bc và 3 a2 b2 c2 3 ab bc ca Lại thấy a2b2 1 2ab nên 2 a2b2 b2c2 c2a2 6 4 ab bc ca Và a2 c2 2ac . Từ các bất đẳng thức trên ta được a2b2c2 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 8 9 ab bc ca Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca Lời giải Trước hết ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra thì a 1; b 1; c 1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ab,abc,... nên ta nghĩ đến tích c a 1 b 1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet. Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a 1; b 1; c 1 luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a 1; b 1, khi đó ta có a 1 b 1 0 c a 1 b 1 0 abc ac bc c 0 Khi đó ta có 2 2 a2 b2 c2 2abc 1 a b 1 c 2 abc ac bc c 2 ab bc ca 2 2 Dễ thấy a b 1 c 2 abc ac bc c 0 nên ta có 2 2 a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca 2 ab bc ca
3. Suy ra a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Nhận xét: Ta có thể chứng minh được bất đẳng thức đúng với mọi số thực nếu thay đổi một chút: a2 b2 c2 a2b2c2 2 2 ab bc ca Theo nguyên lí Dirichlet thì c2 a2 1 b2 1 0 a2b2c2 c2 b2c2 c2a2 Nên ta chỉ cần chứng minh 2 2 2 a2 b2 2 b2c2 c2a2 2 ab bc ca a b bc 1 ca 1 0 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng a2 b2 c2 2abc 3 a 1 b 1 c 1 Lời giải Sau khi nhân 2 vế cho 2 thì bất đẳng thức trên tương đương với 2 a2 b2 c2 2abc 4 2 ab bc ca 2 a b c Theo bài toán 2 ta được a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 2 a2 b2 c2 3 2 a b c a 1 b 1 c 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 2 2 a2 2 (b2 2)(c2 2) 3 a b c abc 1 Lời giải Bất đẳng thức trên tương đương với 2 a2b2 b2c2 c2a2 4 a2 b2 c2 2abc 7 9 ab bc ca Theo bất đẳng thức Cauchy thì 2a2b2 2 2b2c2 2 2c2a2 2 4ab 4bc 4ca Và 3a2 3b2 3c2 3ab 3bc 3ca Từ đó kết hợp với bài toán 2 ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 abc 4 Chứng minh rằng: ab bc ca abc 2 Lời giải Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 Cách 1: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 ; b 1 ; c 1 cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0 thì c a 1 b 1 0 abc bc ca c
4. Mặt khác ta có 4 a2 b2 c2 abc 2ab c2 abc Suy ra 4 c2 2ab abc 2 c ab Suy ra 0 ab bc ca abc 2 c bc ca bc ca c 2 Cách 2: Theo nguyên lý Dirichlet ta có c a 1 b 1 0 abc bc ca c ab bc ca abc ab bc ca ac bc c ab bc ca abc ab c Ta đi chứng minh ab c 2 a2 b2 Từ a2 b2 c2 abc 4 ta được a2 4; b2 4; ab 4. 2 Mặt khác cũng từ a2 b2 c2 abc 4 suy ra c2 abc a2 b2 4 0 Xem đẳng thức trên là là phương trình là bậc hai theo biến c. 2 Khi đó ta được D ab 4 a2 b2 4 4 a2 4 b2 0 Do đó phương trình có hai nghiệm ab 4 a2 4 b2 ab 4 a2 4 b2 c và c 2 2 ab 4 a2 4 b2 Vì c 0 nên c 2 Do đó ta được ab 4 a2 4 b2 ab 4 a2 4 b2 ab 2 ab 2 2 2 2 2 4 ab 4 a2 4 b2 4 ab 4 a2 4 b2 a b 0 Vậy bất đẳng thức phải chứng minh. Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca abc 4. Chứng minh rằng: a b c ab bc ca Lời giải Không mất tính tổng quát, giả sử hai số a 1 và b 1cùng không âm Khi đó ta được c a 1 b 1 0 abc bc ca c Suy ra a b c abc a b c ac bc c a b c abc a b c 1 Mặt khác ta có 2 2 a b c a b 4 ab bc ca abc c a b ab abc c a b 4 4 4 Suy ra c 1 a b c 1 4 a b Do đó ta được a b c abc 4 nên ta có a b c abc ab bc ca abc Hay a b c ab bc ca . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Nhân xét: Ta cũng có thể chứng minh theo cách sau đây
5. Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0. Khi đó c a 1 b 1 0 c ac bc abc . Do đó ta chỉ cần chứng minh a b ab abc 4 ab Từ giả thiết ab bc ca abc 4 suy ra c a b ab Thay vào bất đẳng thức trên ta được bất đẳng thức tương đương là: 4 ab 2 a b ab 1 a b a b ab ab 4 a b a b 0 a b ab Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. Phép chứng minh hoàn tất. Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 2 a b c . a2 b2 c2 Lời giải 1 1 1 Bất đẳng thức được viết lại là P 3 2 a b c 0 a2 b2 c2 Không mất tính tổng quát giả sử a 1 và b 1cùng không âm. Khi đó suy ra a 1 b 1 0. Ta có 2 1 1 1 1 1 2 1 P 3 2 a b c 2 a b c 3 2 2 2 2 a b c a b ab c 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2c a b 2 a b c 3 a b 2a 2b 3 a b a b 2 1 1 2 2 a 1 b 1 ab 1 0 a b Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 a 1 b 1 b 1 c 1 c 1 a 1 3 b c c a a b Lời giải 1 1 1 Đặt x a ; y b ; z c , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành b c a x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 3 Hay ta cần chứng minh xy yz zx 2 x y z Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số x 2 , y 2 ,(z 2) cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử x 2 y 2 0, suy ra xy 4 2x 2y 2 x y z 2z xy 4
6. 1 Lại có xyz abc x y z 2 x y z 2 2 xy z abc Suy ra z xy 1 2 xy 1 z xy 1 2 Từ hai bất đẳng thức trên ta được 2 x y z 2z xy 4 xy yz zx Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 1 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử b 1 c 1 0. Khi đó ta được b2 b 1 c2 c 1 bc b 1 c 1 b2 c2 b c 1 1 2 b2 c2 b c 1 b c b c 1 2 Do đó ta được a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 2 2 1 1 2 2 a a 1 b c b c 1 a a 1 a 4a 5 2 2 Nên ta chỉ cần chứng minh 2 a2 a 1 a2 4a 5 2 a 1 a2 3a 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 abc ac bc c. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 33 abc 3 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a2 b2 c2 3 2 ab bc ca Thật vậy ta có a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 2abc 1 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a2 b2 2ab; c2 1 2c Kết hợp với abc ac bc c ta được a2 b2 c2 3 2ab 2c 2 bc ca c 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng:
7. 1 2 2 2 abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c 2 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử a 1 b 1 0 ab a b 1. Vì vậy để hoàn tất bài toán ta chỉ cần chứng minh 1 2 2 2 c a b 1 2 a 1 b 1 c 1 a b c 2 1 2 2 2 Hay a 1 b 1 c 1 a b 2 1 c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 2 a b 2 2 a 1 b 1 c 1 c 1 2 2 a b 2 1 c 2 a b 2 1 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 12. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 a2 b2 c2 abc 8 5 a b c Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1 b 1 0 abc ac bc c . Suy ra 2 a2 b2 c2 abc 8 2 a2 b2 c2 ac bc c 8 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 a2 b2 c2 ac bc c 8 5 a b c Thật vậy, bất đẳng trên tương đương với 2 2 2 2 2 b c 2 c a 2 3 a 1 3 b 1 2 c 1 0 Bất đẳng thức trên luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi à chỉ khi a b c 1. Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể tổng quát hóa bài toán trên: a). Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: m a2 b2 c2 abc 3m 2 2m 1 a b c . 2 Trong đó m là số thực cho trước thỏa mãn m 2 b) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2m 1 a2 b2 c2 2abc 1 2m ab bc ca . Trong đó m là số thực cho trước thỏa mãn m 1 c) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:
8. abc a2 b2 c2 2 a b c ab bc ca d) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2abc a4 b4 c4 13 6 a b c Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: 5 a3 b3 c3 3abc 9 9 ab bc ca Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 3abc 3ac 3bc 3c. Suy ra 5 a3 b3 c3 3abc 9 5 a3 b3 c3 3ac 3bc 3c 9 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 5 a3 b3 c3 3ac 3bc 3c 9 9 ab bc ca 5 a3 b3 c3 9 9ab 6bc 6ca 3c Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3c 33 c3.1.1 c3 1 1; 6ca 63 c3a3.1 2c3 2a3 2 6bc 63 b3.c3.1 2b3 2c3 2; 9ab 93 a3.b3.1 3a3 3b3 3 Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được 5 a3 b3 c3 9 9ab 6bc 6ca 3c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 9abc 1 4 ab bc ca Lời giải 1 1 1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a , b , c cùng dấu, không mất 3 3 3 1 1 tính tổng quát giả sử a b 0 9abc 3ac 3bc c. 3 3 Suy ra 1 9abc 1 3ac 3bc c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 3ac 3bc c 4 ab bc ca Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với 1 c c a b 4ab 1 c c 1 c 4ab 2 2 2 1 c 4ab a b 4ab a b 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 1 a b c hoặc a b ; c 0 và các hoán vị 3 2 Nhận xét: Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh bài toán: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a b c k . Chứng minh rằng: 9abc k 3 4k ab bc ca
9. Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 2 1 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Lời giải Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính c 1 tổng quát giả sử a 1 b 1 0 a b 1 ab . c Do đó ta được 2 2 c 1 a 1 b 1 c 1 1 a b ab c 1 2 1 ab 1 c c Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1 1 1 1 2 2 1 a 1 b a b 1 ab 1 1 ab 1 b a b a 1 c 1 ab a b 1 ab a b 1 ab c 1 Do đó ta được 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c c 1 c c c 1 1 c 1 2 2 2 c 1 c 1 c 1 c 1 Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1 Bài toán 16. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a b c 1 Lời giải 1 1 1 Trước hết ta chứng minh 2 2 a 1 b 1 1 ab Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2 2 2 2 ab 1 a 1 b 1 a 1 b 1 ab a b ab 1 Như vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. 1 c 1 1 c Mà ta có nên ta có 2 2 1 ab 1 c a 1 b 1 1 c Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được c 1 1 1 2 1 c c 1 a b c 1
10. Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 , c 1 cùng dấu, không mất tính c 1 tổng quát giả sử a 1 b 1 0 a b 1 ab . c Khi đó ta được c 1 1 c 1 1 c c 1 1 c 1 1 c 2 a b c 1 1 c 2 c 1 2 c 1 c 1 c 1 c 1 c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 17. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a 3 b 3 c 3 3 2 2 2 a 1 b 1 c 1 Lời giải Trước tiên ta chứng minh 2 bổ đề sau: 1 1 1 2 Bổ đề 1. 1 1 a 1 b 1 c 1 a b c 1 1 1 1 Bổ đề 2. 1 2 2 2 1 a 1 b 1 c a b c 1 + Bổ đề 1: Bất đẳng thức trên tương đương với 3 ab bc ca 2 a b c 3 a b c a2 b2 c2 3 2 ab bc ca a b c 1 a b c Đánh giá cuối cùng luôn đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy thì a2 b2 c2 33 a2b2c2 3 Vậy bổ đề 1 được chứng minh. + Bổ đề 2: Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a 1 , b 1 ,(c 1) cùng dấu, không mất c 1 tính tổng quát giả sử a 1)(b 1 0 ab 1 a b . c 1 1 1 2 2 Ta có ab 1 a b 0 (đúng) 2 2 1 a 1 b 1 ab 1 1 1 c Do đó ta được 2 2 1 a b 1 1 ab c 1 Suy ra 1 1 1 1 c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 c 1 2 c 1 1 a 1 b 1 c c 1 c 1 c Vậy bổ đề 2 được chứng minh. Trở lại bài toán thì bất đẳng thức cần chứng minhtương đương với 1 1 1 2 2 2 3 2 2 2 1 a 1 b 1 b a 1 b 1 b 1
11. Mà theo bổ đề trên ta có 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 a 1 b 1 b a 1 b 1 b 1 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 2 a 1 b 1 b 1 a b c 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 18. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 b c a c a b a b c 3 2 2 2 a2 b c b2 c a c2 a b 5 Lời giải Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức thành 2 2 2 1 2a 1 2b 1 2c 3 2 2 2 a2 b c b2 c a c2 a b 5 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 2 2 2 1 2b 1 2c 2 2b 2c 2a2 2 2 2 2 2 2 b2 c a c2 a b b2 c2 1 a 1 b b c a 2 2a2 1 2a 3 Ta quy bài toán về chứng minh 2 2 2 b c a a2 b c 5 1 1 1 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số a , b , c cùng dấu, không mất 3 3 3 2 1 1 2 2 1 1 tính tổng quát giả sử b c 0 b c b c . 3 3 3 9 2a2 2a2 18a2 Do đó ta được 2 2 2 2 b c a 2 1 9a 3a 5 a a 3 9 2 2 2a2 1 2a 18a2 1 2a Suy ra 2 2 2 2 2 b c a a2 b c 9a 3a 5 a2 b c Dễ dàng chứng minh được 2 2 18a 1 2a 3 2 3a 1 17a2 8a 5 0 2 2 9a 3a 5 a2 b c 5 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Qua một số bài toán trên, ta thấy rằng nguyên lí Dirichlet không những có ứng dụng trong việc giải toán rời rạc, các bài toán về số học, tổ hợp, mà còn rất có hiệu quả trong việc chứng minh một số
12. bài toán về bất đẳng thức, trong một số trường hợp cho ta lời giải vô cùng đẹp đẽ và trong sáng, góp phần trong việc nâng cao tư duy và tạo sự hứng thú cho các học sinh yêu thích môn toán. Hy vọng rằng, với suy nghĩ và những ví dụ trên sẽ góp phần bổ sung thêm kiến thức và kinh nghiệm trong việc chứng minh bất đẳng thức.
13. Chủ đề 8. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG ĐẲNG THỨC Có bao nhiêu điều bí ẩn mà bạn chưa biết đến ?! Câu trả lời là rất rất nhiều và đôi khi bạn cảm thấy bực bội, khó chịu khi không thể tìm ra một lời giải thích thỏa đáng cho bí ẩn nào đó. Nhưng bạn hãy quan niệm rằng đằng sau bất kì một điều gì luôn hàm chứa một ý nghĩa nhất định. Và cũng không phải ngẫu nhiên mà sự lí giải lại được hình thành. Trong thế giới bất đẳng thức cũng vậy. Đôi khi bạn không thể hiểu được tại sao người ta lại có thể tìm ra một lời giải trông có vẻ “kì cục” như thế !!! Phải chăng là lần mò và may rủi lắm mới tìm ra được ? Câu trả lời lại một lần nữa được nhắc lại là mỗi lời giải đều có sự giải thích của riêng bản thân nó. Việc tìm ra lời giải đó phải đi qua một quá trình lập luận, thử, sai và đúng. Trong bài viết nho nhỏ này chúng tôi muốn giới thiệu đến các bạn một kĩ thuật cơ bản nhưng không kém phần hiệu quả trong việc chứng minh một số dạng của bất đẳng thức. Nó không giúp ta giải quyết tất cả các bài toán mà chỉ giúp ta tìm ra những lời giải ngắn gọn và ấn tượng trong một lớp bài toán nào đó. Một số bài toán tuy dễ đối với phương pháp này nhưng lại là khó đối với kỹ thuật kia. Đây cũng là điều hiển nhiên và dễ hiểu. 1. Ví dụ mở đầu Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 2 a b c 5 a2 b2 c2 3 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 1 1 1 2a2 2b2 2c2 5 a2 b2 c2 3 3 3 Ta chứng minh bất đẳng thức sau đây 1 2a2 7 2a a2 3 3 3 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 a 1 2a2 6a 3 0 3a2 Hiển nhiên đúng với a là số thực dương. 1 2b2 7 2b 1 2c2 7 2c Áp dụng tương tự ta được ; b2 3 3 3 c2 3 3 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 2a2 2b2 2c2 2 a b c 7 5 a2 b2 c2 3 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta. Bài toán trên các biến trong cả hai vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng chỉ từng đó thôi là không đủ. Để ý đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức sau
14. 2 1 2a2 5 a 1 a 1 2a 3 0 a2 3 3 3a2 Tuy nhiên đánh giá trên không hoàn toàn đúng với a thực dương. Để ý là với cách làm trên ta chưa sử dụng điều kiện a b c 3. Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng 1 2a2 5 ma n 1 a2 3 3 Trong đó m và n là các hệ số chưa xác định. Thiết lập tương tự với các biến b và c ta được 1 2b2 5 1 2c2 5 mb n; mc n b2 3 3 c2 3 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có 1 1 1 2a2 2b2 2c2 5 m a b c 3n 5 3 m n a2 b2 c2 3 Như vậy ở đây 2 hệ số m và n phải thỏa mãn điều kiện m n 0 n m . Thế vào (1) dẫn đến 1 2a2 5 m a 1 2 a2 3 3 Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng. Chú ý đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 nên ta cần xác định m sao cho 2 2 1 2a 5 a 1 2a 3 m a 1 a 1 m 0 a2 3 3 3a2 2 a 1 2a 3 2 2 Khi cho a 1 thì ta có từ đó ta dự đoán rằng m để tạo thành đại 3a2 3 3 2 lượng bình phương a 1 trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ 1 2a2 7 2a a2 3 3 3 Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 5a3 b3 5b3 c3 5c3 a3 3 ab 3a2 bc 3b2 ca 3c2 Lời giải 5a3 b3 Ta đi chứng minh bất đẳng thức 2a b ab 3a2 Thật vậy, dễ dàng chứng minh được a3 b3 ab a b , ta biến đổi tương đương bất đẳng thức bên như sau a3 b3 ab a b 5a3 b3 6a3 ab a b 5a3 b3 a 6a2 ab b2 5a3 b3 a 2a b 3a b 5a3 b3 2a b ab 3a2
15. 5b3 c3 5c3 a3 Hoàn toàn tương tự ta được 2b c; 2c a bc 3b2 ca 3c2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 5a3 b3 5b3 c3 5c3 a3 a b c 3 ab 3a2 bc 3b2 ca 3c2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a b c 1. Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như bài toán trên, ta đi tìm hệ số m, n sao cho bất đẳng thức 5a3 b3 ma nb đúng, với m n 1 n 1 m . ab 3a2 Ta viết lại bất đẳng thức trên thành 5a3 1 3 ma 5t 3 1 a b 1 m m t 1 1 với t a 3a2 b t 3t 2 b b b2 Để ý đến đẳng thức xẩy ra tại a b c tức là xẩy ra tại t 1, khi đó ta cần xác định m sao cho 5t 3 1 5t 2 2t 1 m t 1 1 t 1 m 0 2 2 t 3t t 3t 5t 2 2t 1 Cho t 1 thì ta được 2 nên ta chọn m 2 và từ đó ta được n 1. Khi này ta t 3t 2 5a3 b3 đi chứng minh bất đẳng thức 2a b ab 3a2 Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho các bài toán này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy. Phải chăng đó là dự đoán một cách may mắn. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Câu trả lời là hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một qui luật của nó. Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ. Kỹ thuật này có tên là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh Undefined Coefficient Technique hay còn gọi là kỹ thuật hệ số bất định. Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó. 2. Một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định Có thể nói với phương pháp hệ số bất định ta có thể giải quyết được một lớp các bất đẳng thức mà ở đó các biến độc lập với nhau. Dưới đây là một số bài toán áp dụng phương pháp hệ số bất định. Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a2 b c b2 c a c2 a b Lời giải Ở đây ta cần tìm m để bất đẳng thức dưới là đúng 1 1 1 a a 1 m a 1 m a 1 a2 b c a2 a 3 3 3 a2 a 3
16. 1 Tương tự như trên ta dự đoán rằng với m thì bất đẳng thức phụ đúng. Thật vậy 9 2 2 1 4 a a 1 3 a a 1 b c 0 0 a2 a 3 9 9 3 a2 a 3 3 a2 a 3 Hoàn toàn tương tự ta được 1 4 b 1 4 c ; b2 b 3 9 9 c2 c 3 9 9 Cộng theo về các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 4 a b c 1 a2 b c b2 c a c2 a b 3 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3 b3 c3 3. Chứng minh rằng 1 1 1 2 2 2 4 5 a b c 27 a b c Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho 2 4 a 1 5a 5a 4 5a2 9 m a3 1 m a 1 a2 a 1 a a Ta dễ dàng nhận ra đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Khi cho a 1 thì ta có thể dự đoán rằng m 2. Ta sẽ chứng minh rằng với m 2 thì bất đẳng thức phụ trên là đúng. Thật vậy 2 2 4 a 1 2a a 4 5a2 7 2a3 0 a a Do a 3 3 2a2 a 4 0. Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Hoàn toàn tương tự ta được 4 4 5b2 7 2b3; 5c2 7 2c3 b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 5 a b c 21 2 a b c 27 a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài toán 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 3. Chứng minh rằng 1 1 1 4 a b c 7 a b c 3 Lời giải Ta cần tìm hệ số m sao cho 1 4a 7 m a2 1 3ma3 4a2 7 3m a 3 0 a 3 3
17. 1 Dự đoán là đẳng thức xẩy ra tại a b c 1, khi đó ta tìm được m . Như vậy ta đi chứng minh 6 bất đẳng thức 1 4a 1 7 2 a2 1 a 1 6 a 0 a 3 6 3 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì từ a2 b2 c2 3 ta được 0 a, b, c 3 . Hoàn toàn tương tự ta được 1 4b 1 7 1 4c 1 7 b2 1 ; c2 1 b 3 6 3 c 3 6 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 4 a b c 7 a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài toán 4. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 3 và làm cho các biểu thức của bất đẳng thức luôn xác định. Chứng minh rằng: a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 3 Lời giải 5 1 Biểu thức P xác định khi và chỉ khi a, b, c . Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại 2 a b c 1. Khi đó ta đi tìm m để bất đẳng thức sau đúng 1 a2 a 1 ma 2 3 Để ý đẳng thức xẩy ra tại a 1 khi đó ta tìm được m , tức là ta cần phải chứng minh được 2 3a 1 a2 a 1 2 2 2 2 3a 1 5 a 1 3a 1 3a 1 Thật vậy ta có a2 a 1 4 4 2 Chứng minh tương tự ta được 3b 1 3c 1 b2 b 1 ; c2 c 1 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 3 a b c 3 a2 a 1 b2 b 1 c2 c 1 3 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a2 a 3 b2 b 3 c2 c 3
18. Lời giải Vì a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Do đó ta được a, b, c 0; 3 . Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Ta cần tìm m để bất đẳng thức sau đúng 1 4 ma a2 a 3 9 1 Để ý là đẳng thức xẩy ra tại a 1, khi đó ta tìm được m 9 1 a 4 Khi đó ta đi chứng minh a2 a 3 9 9 Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được 1 4 a 2 4 a a2 a 3 9 a 3 a 1 0 a2 a 3 9 Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì a 0; 3 . 1 4 b 1 4 c Chứng minh tương tự ta được ; b2 b 3 9 c2 c 3 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 12 a b c 1 a2 a 3 b2 b 3 c2 c 3 9 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1. Chứng minh rằng: a b c 3 3 b2 c2 c2 a2 a2 b2 2 Lời giải Từ giả thiết a2 b2 c2 1, ta được a b c a b c b2 c2 c2 a2 a2 b2 1 a2 1 b2 1 c2 2 2 2 a 3 3 2a 3 3a 1 a a 3a 2 3a 1 Xét a2 0 1 a2 2 2 1 a2 2 1 a2 a 3 3 Từ đó suy ra a2 , chứng minh tương tự ta được 1 a2 2 b 3 3 c 3 3 b2; c2 1 b2 2 1 c2 2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được 2 2 2 a b c 3 3 a b c 3 3 1 a2 1 b2 1 c2 2 2
19. 1 Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c . 3 Bài toán 7. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng : 1 1 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Lời giải Dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. 1 1 Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a, b, c thuộc khoảng 0; , chẳng hạn 0 a thì ta có 3 3 1 1 1 2 9 a b c a2 b2 c2 nên bài toán được chứng minh, do vậy ta chỉ xét a2 b2 c2 1 7 a, b, c ; . 3 3 1 Khi đó ta đi tìm hệ số m để bất đẳng thức sau đúng a2 m a 1 , Để ý là khi a 1 thì a2 đẳng thức luôn xẩy ra với mọi m, do đó để chọn được m lấy giá trị của a càng gần 1 càng tốt và ta chọn m sao cho đẳng thức gần xẩy ra, bằng cách đó ta chọn được m 4 là giá trị tốt nhất. 1 Ta đi chứng minh bất đẳng thức a2 4a 4 a2 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 a 1 2 a 1 1 a2 4a 4 0 0 a2 a2 1 1 Hoàn toàn tương tự ta được b2 4b 4; c2 4c 4 b2 c2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 a2 b2 c2 4 a b c 12 0 a2 b2 c2 Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1. Bài toán 8. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a4 b4 c4 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 4 ab 4 bc 4 ca Lời giải Ta chưa thể sử dụng phương pháp hệ số bất định cho bài toán này ngay được, ta cần phải biến đổi như thế nào đó để đưa bài toán đã cho về dạng các biến độc lập với nhau a2 b2 Áp dụng bất đẳng thức ab , khi đó hoàn toàn tương tự ta được 2 1 1 1 2 2 2 4 ab 4 bc 4 ca 8 a2 b2 8 b2 c2 8 c2 a2
20. 2 2 2 Tiếp theo đặt x b2 c2 ; y c2 a2 ; z a2 b2 thì ta được x y z 4 a4 b4 c4 12 1 1 1 1 Bài toán quy về chứng minh . 8 x 8 y 8 z 2 1 1 1 Đến đây ta chứng minh bất đẳng thức x 4 . Thật vậy bất đẳng thức tương đương 8 x 144 6 với 2 x 4 1 x 4 x 4 x 4 0 0 144 2 6 x 2 8 x 144 x 2 8 x Vì x y z 12 nên x 0; 12 do đó bất đẳng thức trên hoàn toàn đúng. 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta được y 4 ; z 4 8 y 144 6 8 z 144 6 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 x y z 12 3. 8 x 8 y 8 z 144 6 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi x y z 4 hay a b c 1. Bài toán 9. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a b c d 4. Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 a2 1 b2 1 c2 1 d2 1 Lời giải Ta sẽ xác định hệ số m để bất đẳng thức sau là đúng 2 a 1 a 1 1 m a 1 m a 1 a2 1 a2 1 a 1 a 1 m 0 2 a 1 Để ý là đẳng thức xẩy ra tại a 1, khi ta tìm được m 1. 2 Ta đi chứng minh bất đẳng thức sau đúng 2 a a2 1 Thật vậy 2 2 a a 1 2 a 0 a2 1 a2 1 Hoàn toàn tương tự ta được 2 2 2 2 b; 2 c; 2 d b2 1 c2 1 d2 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được