Chuyên đề Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ

Nội dung text: Chuyên đề Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai và một số bài toán phụ

1. Chuyờn đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ I- KIẾN THỨC Lí THUYẾT LIấN QUAN 1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. A.M A a, Tớnh chất về phõn số (phõn thức): (M 0, B 0) B.M B b, Cỏc hằng đẳng thức đỏng nhớ: +) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 +) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 +) A2 - B2 = (A - B)(A + B) +) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 +) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 +) A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2) +) A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x  x2 = a 2)Để A cú nghĩa thỡ A ≥ 0 3) A2 A 4) AB A. B ( với A 0 và B 0 ) A A 5) ( với A 0 và B > 0 ) B B 6) A2 B A B (với B 0 ) 7) A B A2 B ( với A 0 và B 0 ) A B A2 B ( với A 0 ) B B CCAB() 11) ( Với A 0 và A B2 ) AB AB 2 CCAB() 12) ( với A 0, B 0 và A B ) AB AB II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHễNG CHỨA BIẾN
2. 1.1/Rỳt gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức A2 A *)Vớ dụ 1: Rỳt gọn: a) ( 3)2 ( 8)2 ; b) (3 5) 2 c) (1 2)2 (1 2) 2 d) ( 5 3) 2 (2 5) 2 Giải: a) ( 3)2 ( 8) 2 3 8 3 8 11 b) (3 5)2 3 5 3 5 c) (12) 2 (12) 2 1212 12 12 1212 2 d) (53) 2 (2 5) 2 532 5 532 51 *)Vớ dụ 2: Rỳt gọn: a) A= 4 2 3 b) B = 14 8 3 .( 2 2 6 ) ; c) C = 7 4 3 + 7 4 3 d) D = 5 2 7 2 6 Giải: a) A = 3 2 3 1 ( 3 1)2 3 1 3 1 b) B = 14 8 3 .( 2 2 6 ) = 14 2 48 (2 2 6) = 8 2 8. 6 6.( 8 6) = ( 8 6) 2 ( 8 6) ( 8 6)( 8 6) 8 6 2 c) C = 7 4 3 + 7 4 3 = 7 2.2 3 7 2.2 3 (2 3)2 (2 3)2 = 2- 3 + 2 + 3 = 4 d) D = 5 2 7 2 6 2 526261 52(61) 5 2( 6 1) 7 2 6 = ( 6 1)2 6 1
3. *)Vớ dụ 3: Rỳt gọn A = 2 3 2 3 Giải: 2 2 Cỏch1: 2 A = 423 423 3231 3231 31 31 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 Suy ra A = 6 2 Cỏch 2: Ta cú: A = 2 3 2 4 3 2 3 6 Do A > 0 nờn A = 6 *)Bài tập: 2 2 2 Bài 1: Tớnh: a) 1 3 3 b ) 2 3 1 3 Bài 2: Tớnh: a) 8 2 7 b) 4 7 4 7 c) 3 5 3 5 Bài 3: Rỳt gọn A = 3 1 21 12 3 Bài 4: Rỳt gọn A = 6 2 3 2 2 2 6 1.2/ Rỳt gọn vận dụng cỏc quy tắc khai phương, nhõn chia cỏc căn bậc hai: *)Vớ dụ 1:Tớnh 1 3 a) 14. 56 b) 3 . 3 . 12 c) 4 7 . 4 7 2 7 Giải: a) 14. 56 = 14.56 14.14.4 142.4 142. 4 14.2 28 1 3 7 24 7 24 b) 3 . 3 . 12 . . 12 . .12 12 2 12 2 7 2 7 2 7 c) 4 7.4 7 4 74 7 167 93 *)Vớ dụ 2: Rỳt gọn: a)5 20 80 b )3 1232.24
4. Giải: a) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5 b) 3 12 3 2. 24 3 2 3 3.2.2. 3 (1 2 12) 3 15 3 *) Bài tập: 7 24 36 Bài 1: Tớnh: a) 12. 75 b) 2 . 1 . c) 0,04.25; d) 90.6,4 9 25 25 e) 9 17. 9 17 Bài 2: Rỳt gọn: a) 12 5 3 48 b) 5 5 20 3 45 c) 2 32 4 8 5 18 d) 3 12 4 27 5 48 e) 12 75 27 f) 2 18 7 2 162 1.3/ Rỳt gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương phỏp nhõn liờn hợp. *)Vớ dụ 1: Trục căn ở mẫu cỏc biểu thức sau 1 1 1 1 1 a) b) c) d) 3 2 2 3 1 2 1 3 1 3 Giải: 1 3 2 3 2 a) 1; 3 2 ( 3 2)( 3 2) 3 2 1 2 3 b) 2 3 2 3 4 3 1 1 2 c) (1 2) 1 2 1 2 1 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 (1 3) d) = 1 3 1 3 (1 3)(1 3) (1 3)(1 3) 1 3 1 3 2 1 3 1 3 2 3 = 3 2 2 7 11 *)Vớ dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) b) 5 3 2 2 3 1
5. Giải: 7 7 5 3 2 7 5 3 2 a) 5 3 2 5 3 2 (5 3 2) 5 3 2 25 18 11 11 2 3 1 11 2 3 1 b) 2 3 1 2 3 1 (2 3 1) 2 3 1 12 1 *)Vớ dụ 3: Rỳt gọn: 2 2 2 3 A = 4 : 5 3 5 3 3 2 *)Bài tõp: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 1 2 2 3 3 a) 3 b) c) 2 3 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d) 1223344556677889 1.4/ Rỳt gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phõn tớch thành nhõn tử: *) Vớ dụ 1: Rỳt gọn cỏc biểu thức: 3 3 3 6 2 8 a) b) 3 1 1 2 1 2 3 3 3 3 5 7 5 11 11 c) 2 . 2 d) 3 1 3 1 5 1 11 Giải: 3 3 3 3 1 a) 3 3 1 3 1 3 6 2 8 3 1 2 2 1 2 b) 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 c) 2 . 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1
6. 2 3 . 2 3 4 3 1 5 7 5 11 11 5 5 7 11 11 1 d) 5 7 11 5 1 11 5 11 1 *)Bài tõp: Rỳt gọn cỏc biểu thức sau: 15 12 5 5 10 a) b) 5 2 5 1 5 5 5 5 5 2 3 2 5 5 c) 1 . 1 d) 5 1 5 1 2 1 5 2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/CÁC BƯỚC THỰC HIấN PHẦN RÚT GỌN: Bước: Tỡm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toỏn chưa cho)(Phõn tớch mẫu thành nhõn tử, tỡm điều kiện để căn cú nghĩa, cỏc nhõn tử ở mẫu khỏc 0 và phần chia khỏc 0) Bước :Phõn tớch tử và mẫu thành nhõn tử (rồi rỳt gọn nếu được). Bước :Quy đồng, gồm cỏc bước: + Chọn mẫu chung: là tớch củc nhõn tử chung và riờng, mỗi nhõn tử lấy số mũ lớn nhất. + Tỡm nhõn tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhõn tử phụ tương ứng. + Nhõn nhõn tử phụ với tử – Giữ nguyờn mẫu chung. Bước : Bỏ ngoặc: bằng cỏch nhõn đa thức hoặc dựng hằng đẳng thức. Bước : Thu gọn: là cộng trừ cỏc hạng tử đồng dạng. Bước : Phõn tớch tử thành nhõn tử (mẫu giữ nguyờn). Bước :Rỳt gọn. Lưu ý: Bài toỏn rỳt gọn tổng hợp thường cú cỏc bài toỏn phụ: tớnh giỏ trị biểu thức khi cho giỏ trị của ẩn; tỡm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đú; tỡm giỏ trị của biến để biểu thức cú giỏ trị nguyờn; tỡm giỏ
7. trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải ỏp dụng cỏc phương phỏp giải tương ứng, thớch hợp cho từng loại toỏn. 2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP: a a a 2 a *)Vớ dụ 1: Cho biểu thức: A 1 : 1 a 1 a 2 a) Tỡm ĐKXĐ, rỳt gọn A a 0 a 0 Bài giải: ĐKXĐ: a 1 0 a 1 Ta cú: a a a2a a(a1) a(a2) A 1 : 1 1 : 1 a 1 a 2 a 1 a 2 (a 1) : ( a 1) a 1 Vậy A = a 1 b) Tỡm a để A = 5 (Dạng bài toỏn phụ thứ nhất). Phương phỏp: Thay A bởi biểu thức vừa rỳt gọn được vào và giải phương trỡnh: a 1 5 a 1 5( a 1) a 1 5 a 5 4 a 6 a 1 3 9 a a (TMĐK) 2 4 Vậy với a = 9 thỡ A = 5. 4 c) Tớnh giỏ trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toỏn phụ thứ hai). Phương phỏp: Thay giỏ trị của biến vào biểu thức vừa rỳt gọn được rồi thực hiện cỏc phộp tớnh (Lưu ý: Cú thể tớnh giỏ trị a rồi thay vào). Ta cú: a 2 22 1 (2)2 2.2.11 2 (2 1) 2 Suy ra a 2 1 2 1. Do đú thay vào biểu thức A ta được: 2 1 1 2 2 A = 1 2 2 1 1 2
8. d) Tỡm giỏ trị a nguyờn để A nhận giỏ trị nguyờn (Dạng bài toỏn phụ thứ ba). Phương phỏp: Chia tử cho mẫu, tỡm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chỳ ý điều kiện xỏc định. Ta cú: A = a 1 = 1 + 2 a 1 a 1 2 Để A nguyờn thỡ nguyờn, suy ra a 1 là ước của 2 a 1 a 1 1 a 0 a 1 1 a 4 (TMĐK). a 1 2 a 9 a 1 2 Vậy a = 0; 4; 9 thỡ A cú giỏ trị nguyờn. e) Tỡm a để A 0) trong đú N N dựa vào điều kiện ban đầu ta đó biết được M hoặc N dương hay õm, từ đú dễ dàng tỡm được điều kiện của biến. a 1 a 1 a 1 a 1 2 0; x 1. Rỳt gọn x 2 1 x 2 1 A ( ): ( ): x 1 x x x 1 x 1 x( x 1) x 1 (x)2 2 x 1 (x 2)(x 1) x 2 A. x(x1) 1 x(x1) x b)Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toỏn phụ thứ năm).
9. Phương phỏp: Dựa vào điều kiện ban đầu và cỏc bất đẳng thức. x 2 2 Ta cú A= x 2 2 (BĐT Cụsi cho hai số dương) x x 2 A 2 2 x x 2(TMĐK) min x Vậy Amin = 2 2 x 2. 1 1 1 *)Vớ dụ 3: Cho biểu thức A . 1 x 1 x 1 x a) Tỡm ĐKXĐ, và rỳt gọn A. b)Tỡm giỏ trị của x để A A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. 1 1 1 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 2 A . 1 . = A x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 2 b) A A 0 A 1 0 1. x 1 2 )0 x 1 0 x 1 1 x 1 2 2 x 3 ) 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 x 3 0 (vỡ x > 1) x 9 . Vậy x > 9 thỡ AA . x 1 0 x 2 x 1 *)Vớ dụ 4: Cho biểu thức A x 1 x x a) Tỡm ĐKXĐ, rỳt gọn biểu thức A b) Với giỏ trị nào của x thỡ AA Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 A x 1x x 1 x x 1 x x 1 x
10. x 1 b) A A A 0 0 x 1 0 (vỡ x 0) x x 1 x 1. Kết hợp với điều kiện xỏc định 0 0; x 1: 1 1 x 1 1 P 1 . P 2 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 2 b) P.526. x1 x2005 2 3 1 2 2 2 . 2 3.x1 x2005 2 3 x 1 2 3 x 2005 2 3 x 2005 (TMĐK) 2 Vậy x = 2005 thỡ P. 526 x1 x2005 2 3 2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1 1 3 Bài 1: Cho biểu thức A: x 3 x 3 x 3 a) Tỡm điều kiện xỏc định, rỳt gọn biểu thức A 1 b) Với giỏ trị nào của x thỡ A > 3 c) Tỡm x để A đạt giỏ trị lớn nhất. 3 1 1 Bài 2. Cho biểu thức P: 1 x x 1 x 1
11. a) Nờu điều kiện xỏc định và rỳt gọn biểu thức P 5 b) Tỡm cỏc giỏ trị của x để P = 4 x 12 1 c) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: M . x 1 P 2 x x 3x 3 2 x 2 Bài 3. Cho biểu thức: D 1 x 3 x 3x 9 x 3 a) Tỡm ĐKXĐ, rỳt gọn biểu thức 1 b) Tỡm x để D 0
12. 1 1 a 1 a 2 Bài 8. Cho biểu thức P: a 1 a a 2 a 1 a) Tỡm ĐKXĐ, rỳt gọp P b) Tỡm giỏ trị của a để P > 0 Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) x 10 x 5 Cho A , với x 0 và x 25. x 5x 25 x 5 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Tớnh giỏ trị của A khi x = 9. 3) Tớnh x để A 0 và a 1. 1 a 1 a a a) Rỳt gọn biểu thức P. 1 b) Với những giỏ trị nào của a thỡ P > . 2 x2 x x Bài 13. Cho biểu thức: A = với ( x > 0 và x ≠ 1) x 1 x x 1) Rỳt gọn biểu thức A. 2) Tớnh giỏ trị của biểu thức khi x 3 2 2
13. 1 x x Bài 14. Cho biểu thức P = : x x 1 x x a) Rỳt gọn P b) Tớnh GT của P khi x= 4 c) Tỡm GT của x để P = 13 3 (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) x 1 2 x x x Bài 15. Cho biểu thức: A = x 1 x 1 1) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức A 2) Với giỏ trị nào của x thỡ A < -1 x x x x Bài 16. Cho biểu thức: A = (1 )(1 ) (Với x 0; x 1) x 1 x 1 a) Rỳt gọn A b) Tỡm x để A = - 1 1 1 x Bài 17. Cho biểu thức: B = 2 x 2 2 x 2 1 x a) Tỡm ĐKXĐ và rỳt gọn biểu thức B. b) Tớnh giỏ trị của B với x = 3 1 c) Tớnh giỏ trị của x để A 2 x 1 2 x 2 5 x Bài 18. Cho biểu thức: P = x 2 x 2 4 x a) Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn P b) Tỡm x để P = 2 1 1 a 1 a 2 Bài 19. Cho biểu thức: Q = ( ) : ( ) a 1 a a 2 a 1 a) Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn Q. b) Tỡm a để Q dương. c) Tớnh giỏ trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5
14. a 1 a a a a Bài 20. Cho biểu thức: M = 2 2 a a 1 a 1 a) Tỡm TXĐ rồi rỳt gọn M b) Tỡm giỏ trị của a để M = - 4. MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI. Bài 1: Tớnh: 3 3 3 3 a. A 2 3 2 2 2 3 2 2 5 + 5 5 - 5 b. B = + 5 - 5 5 + 5 1 1 c. C = 5. + . 20 + 5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3 3 3 3 a. A . 2 3 2 2 2 3 2 2 2( 3 3) 2( 3 3) 4 2 3 4 4 2 3 4 2( 3 3) 2( 3 3) 3 1 4 3 1 4 2( 3 3)2 2( 3 3) 2 3 9 24 2 4 2 6 5 + 5 5 - 5 (5 + 5 )2 + (5 - 5 )2 b. B = + = 5 - 5 5 + 5 (5 - 5 )(5 + 5 ) 25 + 10 5 + 5 + 25 - 10 5 + 5 60 = = = 3 25 - 5 20 1 1 5 1 c. C = 5. + . 20 + 5 = 5. 2 + . 4.5 + 5 5 2 5 2 5 2 = 5 + 5 + 5 = 3 5 5 2 1 1 x 1 : Bài 2: Cho biểu thức A = 2 x x x 1 x 1 a) Nờu điều kiện xỏc định và rỳt biểu thức A b) Tim giỏ trị của x để A = 1 . 3 c) Tỡm giỏ trị lớn nhất cua biểu thức P = A - 9 x
15. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện 0 x 1 x 1 x 1 x 1 Với điều kiện đú, ta cú: A : x x 1 2 x x 1 1 x 1 1 3 9 b). Để A = thỡ x x (thỏa món điều kiện) 3 x 3 2 4 9 1 Vậy x thỡ A = 4 3 x 1 1 c). Ta cú P = A - 9 x = 9x 9 x 1 x x 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cụ –si cho hai số dương ta cú: 9x 2 9 x . 6 x x 1 1 Suy ra: P 6 1 5 . Đẳng thức xảy ra khi 9 x x x 9 1 P 5 x Vậy giỏ trị lớn nhất của biểu thức khi 9 x 4 Bài 3: 1) Cho biểu thức A . Tớnh giỏ trị của A khi x = 36 x 2 x 4 x 16 2) Rỳt gọn biểu thức B: (với x 0; x 16 ) x 4 x 4 x 2 3) Với cỏc của biểu thức A và B núi trờn, hóy tỡm cỏc giỏ trị của x nguyờn để giỏ trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyờn HƯỚNG DẪN GIẢI: 36 4 10 5 1) Với x = 36 (Thỏa món x >= 0), Ta cú : A = 8 4 36 2 2) Với x 0, x 16 ta cú : x(x 4) 4(x 4) x 2 (x 16)(x 2) x 2 B = x 16 x 16 x 16 = (x 16)(x 16) x 16 x 2 x 4 x 2 2 2 BA 3) Ta cú: ( 1) . 1 . . x 16 x 2 x 16 x 2 x 16 Để BA( 1) nguyờn, x nguyờn thỡ x 16 là ước của 2, mà Ư(2) = 1; 2  Ta cú bảng giỏ trị tương ứng: x 16 1 1 2 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x 0, x 16 , để BA( 1) nguyờn thỡ x 14; 15; 17; 18  Bài 4: Cho biểu thức: x y xy P ( x y )(1 y ) x y ) x 1 x 1 1 y a). Tỡm điều kiện của x và y để P xỏc định . Rỳt gọn P.
16. b). Tỡm x,y nguyờn thỏa món phương trỡnh P = 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: a). Điều kiện để P xỏc định là : x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . x(1 x ) y (1 y ) xy x y ()x y x x y y xy x y P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x x 1 y x 1 y 1 x 1 x x y 1 x 1 y 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y x xy y. 1 y 1 y Vậy P = x xy y. b) ĐKXĐ: x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 P = 2 x xy y. = 2 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay x = 0; 1; 2; 3; 4 vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 và x=2, y=2 (thoả mãn). 2 x 9 2 x 1 x 3 Bài 5:Cho biểu thức M = x 5 x 6 x 3 2 x a. Tỡm điều kiện của x để M cú nghĩa và rỳt gọn M b. Tỡm x để M = 5 c. Tỡm x Z để M Z. HƯỚNG DẪN GIẢI: 2 x 9 2 x 1 x 3 M = x 5 x 6 x 3 2 x a.ĐK x 0; x 4; x 9 0,5đ Rỳt gọn M = 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 x 2 x 3 Biến đổi ta cú kết quả: M = x x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 M = M x 3 x 2 x 3
17. x 1 b. . M 5 5 x 3 x 1 5 x 3 x 1 5 x 15 16 4 x 16 x 4 x 16 4 Đối chiếu ĐK: x 0; x 4; x 9 Vậy x = 16 thỡ M = 5 x 1 x 3 4 4 c. M = 1 x 3 x 3 x 3 Do M z nờn x 3 là ước của 4 x 3 nhận cỏc giỏ trị: -4; -2; -1; 1; 2; 4 Lập bảng giỏ trị ta được: x 1;4;16;25;49 vỡ x 4 x 1;16;25;49 a 1 a - 1 a + 1 Bài 6: Cho biểu thức P = ( - )2 . ( - ) Với a > 0 và a ≠ 1 2 2 a a + 1 a - 1 a) Rỳt gọn biểu thức P b) Tỡm a để P 0 và a ≠ 1 2 2 a a + 1 a - 1 a 1 a 1 a 1 P ( )2 .( ) 2 2 a a 1 a 1 aa1 (a1) 2 (a 1) 2 P(). 2 2 a ( a 1)( a 1) a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 P(). 2 2 a a 1 (a 1)4 a 1 a P 4a a 1 a Vậy P = Với a > 0 và a ≠ 1 a b) Tỡm a để P 0 và a ≠ 1 nờn a > 0 1 - a  P = 1 ( TMĐK) a
18. a a b Bài 7: Cho biểu thức: Q = - ( 1 + ) : a2 - b2 a2 - b2 a - a2 - b2 a) Rỳt gọn Q b) Xỏc định giỏ trị của Q khi a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rỳt gọn: a a b Q = - ( 1 + ) : a2 - b2 a2 - b2 a - a2 - b2 a a2 - b2 + a a - a2 - b2 = - . a2 - b2 a2 - b2 b a b a - b = - = a2 - b2 a2 - b2 a2 - b2 ( a - b )2 a - b = = (a - b)(a + b) a + b 3b - b 2b 1 b) Khi cú a = 3b ta cú: Q = = = 3b + b 4b 2 Bài 8: Cho biểu thức 1 1 2 1 1 x3 y x x y y 3 A . : 3 3 x y x y x y x y xy a ) Rỳt gọn A; b) Biết xy = 16. Tỡm cỏc giỏ trị của x, y để A cú giỏ trị nhỏ nhất, tỡm giỏ trị đú. HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > 0 , y > 0 1 1 2 1 1 x 3 y x x y y 3 a) A . : 3 3 x y x y x y x y xy x y 2 x y x y x xy y xy x y . : xy x y xy xy x y 2 x y x y x y : xy xy xy x y 2 x y xy x y . . xy x y xy
19. 2 b) Ta cú x y 0 x y 2 xy 0 x y 2 xy . x y 2 xy 2 16 Do đú A 1 ( vỡ xy = 16 ) xy xy 16 x y Vậy min A = 1 khi x y 4. xy 16 Bài 9: Cho biểu thức: 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2x x a) Tỡm điều kiện để P cú nghĩa. b) Rỳt gọn biểu thức P. c) Tớnh giỏ trị của P với x 3 2 2. HƯỚNG DẪN GIẢI: x 0 x 1 0 a. Biểu thức P cú nghĩa khi và chỉ khi : 2 x 0 x 1 2 0 x 0 x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 b) Đkxđ : x 1;x 2;x 3 1 x 3 2 x 2 P x x 1 x 1 2 2 x 2 x x x x 1 x 3 x 1 2 2 x 2 x x 1 x x 1 x 1 2 x 1 2 2 x x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x x 2 . x x 1 x 1 2 x 2 x x x 1 x 3 x 1 2 2 x . x x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 . 1 2 x x x 1 x 1 2 . x x x 2 2 x c) Thay x 3 2 2 2 1 vào biểu thức P , ta cú: x
20. 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 P 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Bài 10: Cho biểu thức: 4x 8 x x 1 2 P = ():() 2 x4 x x 2 x x a) Rỳt gọn P b) Tỡm giỏ trị của x để P = -1 c) Tỡm m để với mọi giỏ trị x > 9 ta cú: m( x 3) P x 1 HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta cú: x 2 x x ( x 2) x 0 x 0 x 0 ĐKXĐ: 4 x 0 x 4 x 2 0 Với x > 0 và x 4 ta cú: 4x 8 x x 1 2 P = ():() 2 xx 4 x ( x 2) x 4x ( x 2) 8 x x 1 2( x 2) : (x 2)( x 2) x ( x 2 ) 4x 8 x 8 x x 1 2 x 4 : (x 2)( x 2) x ( x 2) 4x 8 x x 3 : ( Đk: x 9) (x 2 )( x 2 ) x ( x 2 ) 4x ( x 2) x ( x 2) . (x 2)( x 2) 3 x 4x . x ( x 2) (3 x )( x 2) 4x x 3 4x Với x > 0 , x 4,x 9 thỡ P = x 3
21. b) P = - 1 4x 1( ĐK: x > 0, x 4, x 9 ) x 3 4x 3 x 4 x 3 x 0 Đặt x y đk y > 0 Ta cú phương trỡnh: 4y2 y 3 0 Cỏc hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0 3 y 1 ( khụng thoả món ĐKXĐ y > 0), y ( thoả món ĐKXĐ y > 0) 1 2 4 3 9 Với y x thỡ x = ( thoả món đkxđ) 4 16 9 Vậy với x = thỡ P = - 1 16 c) m( x 3) P x 1 (đk: x > 0; x 4, x 9 ) 4 x m( x 3) x 1 x 3 m.4 x x 1 x 1 m 4 x ( Do 4x > 0) x 1 x 1 1 1 Xột 4x 4 x 4 x 4 4 x Cú x > 9 (Thoả món ĐKXĐ) 1 1 ( Hai phõn số dương cựng tử số, phõn số nào cú mẫu số lớn hơn thỡ nhỏ hơn) x 9 1 1 4x 3 6 1 1 1 1 4 4x 4 3 6 1 1 5 4 4x 1 8 5x 1 18 4x 5 Theo kết quả phần trờn ta cú : m x 1 18 m 4x 5 Kết luận: Với m , x 9 thỡ m( x 3) P x 1 18