Chuyên đề Hàm số và đồ thị - Trường THCS Nguyễn Văn Cừ

Nội dung text: Chuyên đề Hàm số và đồ thị - Trường THCS Nguyễn Văn Cừ

1. 1 TRƯỜNG THCS NGUYỄN VĂN CỪ CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. Kiến thức cơ bản 1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a 0) a) Định nghĩa: - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cơng thức y = ax + b, trong đĩ a, b là các số cho trước và a 0. - Hàm số bậc nhất xác định với mọi x thuộc R b) Tính chất hàm số bậc nhất : - Hàm số đồng biến nếu a > 0, nghịch biến nếu a 0 thì đường thẳng “đi lên” từ trái qua phải. Nếu a < 0 thì đường thẳng “đi xuống” từ trái qua phải. d) Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng y= ax + b (a 0) và đường thẳng y = a’x + b’(a’ 0) *Hai đường thẳng song song với nhau  a = a’và b b’ *Hai đường thẳng trùng nhau  a = a’và b = b’
2. 2 *Hai đường thẳng cắt nhau  a a’ Trường hợp riêng : Hai đường thẳng vuơng gĩc với nhau  a . a’= -1 e) Hệ số gĩc của đường thẳng: - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng y = ax + b (a 0). Khi ta nĩi gĩc α là gĩc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox, ta hiểu đĩ là gĩc tạo bởi tia A x và tia AT, trong đĩ A là giao điểm của đường thẳng y= ax + b và trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y= ax+b cĩ tung độ dương. - đường thẳng y= ax + b cĩ hệ số gĩc bằng a Ta cĩ : *Nếu a > 0 thì α là gĩc nhọn và a càng lớn thì gĩc càng lớn. (0° 0 thì tan α = a. Nếu a 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x 0. b) Lưu ý về giá trị của hàm số : - Nếu a > 0 thì ta cĩ y = ax2 0 với mọi x ∈ R (y = 0 khi x = 0), nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 đạt được khi x = 0. - Nếu a 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh và nhận O là điểm thấp nhất của đồ thị.
3. 3 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh và nhận O là điểm cao nhất của đồ thị. 3. Một số đường thẳng cĩ phương trình đặc biệt : a) Đường thẳng cĩ dạng y = m - Nếu m 0 thì y = m là phương trình của đường thẳng song song với trục hồnh. - Nếu m = 0 thì y = 0 là phương trình của trục hồnh. b) Đường thẳng cĩ dạng x = n - Nếu n 0 thì x = n là phương trình của đường thẳng song song với trục tung. - Nếu n = 0 thì x = 0 là phương trình của trục tung II. Luyện tập các dạng đề/bài/ câu hỏi thường gặp thi vào lớp 10 THPT 1) Dạng bài tập liên quan đến tính chất của hàm số : a) Kiến thức cần áp dụng : Tính đồng biến, nghịch biến của từng loại hàm số. b) Ví dụ : * Ví dụ 1 : Tìm m để hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên R ? Hướng dẫn : Hàm số y = (m - 2)x + 1 nghịch biến trên R m – 2 < 0 m < 2 * Ví dụ 2 : Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x dương và nghịch biến khi x âm? 2 2 1 2 A. y 2 3 x B. y = 5x – 3 C. y 2 2 3 x D. y 1 x 2 Trả lời : Phương án D (Cần lưu ý : Hàm số bậc nhất chỉ luơn đồng biến hoặc luơn nghịch biến. Do đĩ ta chỉ cần xét xem hàm số bậc hai nào cĩ hệ số a dương) * Ví dụ 3 : Cho f(x) = (3a - 7) x2 và g(x) = (2a – 1)x2. Tìm a thuộc Z để khi x < 0 thì hàm số y = f(x) đồng biến và hàm số y = g(x) nghịch biến.
4. 4 1 7 Hướng dẫn : Điều kiện để yêu cầu được thỏa mãn là: 3a – 7 0 a 2 3 Mặt khác:. Vậy a =1, a = 2 Đáp số: a = 1, a = 2 2) Dạng bài tập vẽ đồ thị của hàm số : 2.1. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) a) Cách làm : * Nếu b = 0: Khi đĩ ta cĩ hàm số y = ax. Xác định một điểm thuộc đồ thị của hàm số mà khác với gốc tọa độ, chẳng hạn điểm A (1; a). Vẽ đường thẳng OA ta được đồ thị của hàm số * Nếu b 0 : Xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số. Thơng thường: Xác b định điểm A(0 ; b) là giao điểm với trục tung. Xác định điểm B( ; 0) là giao điểm với a trục hồnh. -Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B ta được đồ thị của hàm số. b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số: a, y = 2x - Cho x = 0 thì y = 0; ta được điểm O(0; 0) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung. - Cho x = 1 thì y = 2; ta được điểm A(1; 2) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hồnh. - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O (0; 4)và A (1;2) ta được đồ thị của hàm số y = 2x b, y= -3x+3 Cho x=0 thì y=3, ta được điểm P(0; 3) thuộc trục tung Oy Cho y=0 thì x=1, ta được điểm Q(1; 0) thuộc trục hồnh Ox Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y= -3x+3 2.2. Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0) : a) Cách làm : - Lập bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y (thường là 5 hoặc 7 cặp giá trị ; trong đĩ x lấy giá trị 0 và các giá trị là số nguyên đối nhau gần 0), chẳng hạn :
5. 5 x -2 -1 0 1 2 y = ax2 4a a 0 A 4a - Biểu diễn các cặp giá trị tương ứng giữa x và y trong bảng trên mặt phẳng tọa độ, vẽ đường cong đi qua các điểm đĩ ta được đồ thị của hàm số đã cho. b) Ví dụ : Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x2 - Bảng một số cặp giá trị tương ứng giữa x và y : x -2 -1 0 1 2 y = 2x2 8 2 0 2 8 - Đồ thị của hàm số đã cho là một parabol đi qua các điểm (-2; 8); (-1; 2); (0; 0); (1; 2) và (2; 8). 3) Dạng bài tập viết phương trình của đường thẳng (d) khi biết một số điều kiện : ’ a) Biết (d) song song với đường thẳng (d ) : y = ax + b (a 0) và đi qua điểm A(x0; y0) * Cách giải : - Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d’) nên phương trình của đường thẳng (d) cĩ dạng y = ax + b’ (b’ 0 ). ’ ’ - Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0; y0) nên ta cĩ : y0 = ax0 + b . Từ đĩ suy ra b , ta so sánh với điều kiện b’ 0. - Kết luận về phương trình của đường thẳng (d). * Ví dụ : Viết phương trình của đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 và đi qua điểm A(1; 2). Hướng dẫn : - Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = 2x + 1 nên phương trình của đường thẳng (d) cĩ dạng y = 2x + b (với b 1) - Vì đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 2) nên khi x = 1 thì y = 2, do đĩ ta cĩ : 2 = 2.1 + b b = 0 (Thỏa mãn b 1) Vậy phương trình của đường thẳng (d) là y = 2x.
6. 6 b) Biết (d) đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) : * Cách giải : - Phương trình của đường thẳng (d) cĩ dạng y = ax + b - Vì (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên ta cĩ : y1 = ax1 + b Vì (d) đi qua điểm B(x2; y2) nên ta cĩ : y2 = ax2 + b y1 ax1 b Do đĩ ta cĩ hệ phương trình y2 ax2 b - Giải hệ phương trình trên ta tìm được a và b, sau đĩ kết luận về phương trình của đường thẳng (d). * Ví dụ : Xác định hàm số y = ax + b , biết rằng đồ thị của hàm số đi qua hai điểm A(1; 3) và B(-1; -1). Hướng dẫn : - Vì đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A(1; 3) nên ta cĩ : 3 = a.1 + b hay a + b = 3 (1) Lại cĩ đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm B(-1; -1) nên ta cĩ : -1 = a(-1) + b hay –a + b = -1 (2) a b 3 Từ (1) và (2) ta cĩ hệ phương trình : a b 1 - Giải hệ phương trình trên ta được a = 2 và b = 1 Vậy hàm số cần tìm là y = 2x + 1 (Lưu ý : Nếu biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng y0 thì cĩ nghĩa là đồ thị hàm số đi qua điểm (0; y0). Đồ thị của hàm số cắt trục hồnh tại điểm cĩ hồnh độ bằng x0 cĩ nghĩa là đồ thị của hàm số đi qua điểm (x0; 0)) 4) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của hai đường thẳng : a) Cách giải : Dựa vào điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau (đã nêu ở phần kiến thức cơ bản ) để làm. Lưu ý : - Muốn tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng đĩ
7. 7 - Muốn tìm điều kiện để ba đường thẳng đồng quy, trước hết ta tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đã cĩ phương trình cụ thể, sau đĩ ta tìm điều kiện để đường thẳng cịn lại cũng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đĩ. b) Ví dụ : Xác định m để hai đường thẳng y = (m2 - 2)x + m + 3 và y = (2m - 2)x + 2m + 1 song song với nhau. Hướng dẫn : Điều kiện để hai đường thẳng đã cho song song với nhau là : 2 2 m 0 m 2 2m 2 m 2m 0 m 2 m 0 m 3 2m 1 m 2 m 2 Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng đã cho song song với nhau. 5) Dạng bài tập liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng và parabol : a) Lý thuyết: Vị trí tương đối của Parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n 1. Hồnh độ giao điểm của parabol y = ax 2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm của phương trình:ax2 = mx + n ax2 - mx - n = 0 1 * *Nếu phương trình (1) cĩ > 0 thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt, đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (Hình 1). Muốn tìm tọa độ của giao điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra hồnh độ của hai giao điểm .Thay các giá trị vừa tìm được vào cơng thức của parabol hoặc cơng thức của đường thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ giao điểm. * Nếu phương trình (1) cĩ = 0 thì phương trình (1) cĩ nghiệm kép, đường thẳng tiếp xúc với parabol (Khi đĩ đường thẳng và parabol chỉ cĩ một điểm chung , điểm đĩ được gọi là tiếp điểm – Hình 2). Muốn tìm tọa độ của tiếp điểm ,ta giải phương trình (1) để tìm ra
8. 8 hồnh độ của tiếp điểm. Thay giá trị vừa tìm được vào cơng thức của parabol hoặc cơng thức của đường thẳng để tìm tung độ tương ứng , rồi kết luận về tọa độ của tiếp điểm. * Nếu phương trình (1) cĩ < 0 thì phương trình (1) vơ nghiệm, đường thẳng và parabol khơng cĩ điểm chung(Hình 3). Chú ý : Một đường thẳng được gọi là tiếp xúc với parabol nếu cĩ một điểm chung duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng. Trường hợp đường thẳng x = m cũng chỉ cĩ một điểm chung duy nhất với parabol nhưng ta khơng gọi là tiếp xúc với parabol (Hình 4). 2. Tọa độ giao điểm của parabol y = ax2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n là nghiệm y mx n y mx n y mx n của hệ phương trình : (I) 2 2 2 y ax ax mx n ax mx n 0 * * Nếu phương trinh (*) cĩ hai nghiệm phân biệt thì hệ (I) cĩ hai nghiệm phân biệt. Khi đĩ đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt, hai nghiệm của hệ (I) chính là tọa độ của hai giao điểm. * Nếu phương trình (*) cĩ nghiệm kép thì hệ (I) cĩ nghiệm duy nhất. Khi đĩ đường thẳng và parabol tiếp xúc với nhau, nghiệm duy nhất của hệ (I) chính là tọa độ của tiếp điểm * Nếu phương trình (*) vơ nghiệm thì hệ (I) vơ nghiệm. Khi đĩ đường thẳng và parabol khơng giao nhau. b) Ví dụ : Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = 2x2 (P) và đường thẳng y = 2x + 4 (d). Hướng dẫn : Hồnh độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (D) là nghiệm của phương trình : 2x2 = 2x + 4 x2 – x – 2 = 0. Giải phương trình này ta được hai ngiệm x1 = -1; x2 = 2 - Với x = -1 ta cĩ y = 2(-1)2 = 2 - Với x = 2 ta cĩ y = 2.22 = 8 Vậy tọa độ các hai giao điểm của (P) và (d) là (-1; 2) và (2; 8). 6) Dạng bài tập tìm điểm cố định của đường thẳng :
9. 9 a) Cách giải : Giả sử phương trình của đường thẳng (d) cĩ dạng ax + by = c, trong đĩ ít nhất một trong các hệ số a, b, c cĩ chứa tham số m chẳng hạn. Bài tốn yêu cầu tìm điểm cố định của đường thẳng (d). Khi đĩ ta làm như sau : - Giả sử điểm M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng (d) luơn đi qua thì phương trình ax0 + by0 = c phải luơn đúng với mọi m. - Tìm giá trị của x0 và y0 để cho phương trình ax0 + by0 = c luơn đúng với mọi m. - Kết luận. b) Ví dụ : Cho đường thẳng 2(k + 1)x + y + 3 + k = 0 (d), với tham số k. Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng (d) luơn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đĩ Hướng dẫn: Giả sử M(x0; y0) là một điểm cố định mà mọi đường thẳng đã cho luơn đi qua thì phương trình 2( k + 1)x0 + y0 + 3 + k = 0 (1) luơn đúng với mọi k Ta cĩ (1) (2x0 + 1)k + 2x0 + y0 + 3 = 0, điều kiện để phương trình này luơn đúng với 1 2x0 1 0 x0 mọi k là : 2 2x0 y0 3 0 y0 2 1 Đáp số : Điểm cố định cần tìm là M( ; 2 ) 2 7) Dạng bài tập lập phương trình đường thẳng: 7.1.Bài tốn 1: Lập phương trình đường thẳng cĩ hệ số gĩc k cho trước và đi qua điểm M (x0; y0): * Cách giải: - Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b - Thay a = k và toạ độ điểm M (x0; y0) vào phương trình đường thẳng để tìm b  Phương trình đường thẳng cần lập Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y =4x
10. 10 Giải Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng y = ax + b ,song song với đường thẳng y= 4x  a = 4. Đi qua M( 2;-3) nên ta cĩ : -3 = 4.2 + b  b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11 Áp dụng: Bài 1: Cho (P) y = 2. Tìm điểm A thuộc (P) sao cho tiếp tuyến với (P) tại A song song với đường thẳng y = 4x + 5. Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua B(0;1) cĩ hệ số gĩc k. 2.Bài tốn 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x1;y1)và B(x2 ; y2 ): * Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b y1 ax1 b + Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng : y2 ax2 b + Giải hệ phương trình tìm a và b => Phương trình đường thẳng cần lập 4.Bài tốn 3: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0; y0) và tiếp xúc với đường cong y = a’x2 (P) ➢ Cách giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d) + Đi qua M (x0; y0) nên  y0 = a.x0 + b (1) + Tiếp xúc với y = a’x2 nên phương trình : a’x2 = ax + b cĩ nghiệm kép  Δ = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm a, b  phương trình đường thẳng cần lập
11. 11 Ví dụ : Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2. Giải Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng: y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta cĩ: 2 = -a + b (1). Tiếp xúc với đường cong y = 2x 2 nên phương trình: 2x 2 = ax + b cĩ nghiệm kép  2x 2 – ax – b = 0 cĩ nghiệm kép  Δ = a 2 + 8b . Δ = 0  a2 + 8b = 0 (2) . Từ (1)  b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : a2 + 8a + 16 = 0  (a + 4)2 = 0  a = -4. Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 .Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 Dạng IV. Bài tốn tính khoảng cách giữa hai điểm, chu vi, diện tích tam giác.  Phương pháp: - Khoảng cách giữa hai điểm: Từ hai điểm kẻ các đường thẳng vuơng gĩc với hai trục tọa độ để tạo ra các tam giác vuơng, sau đĩ dùng định lý Pitago. - Chu vi tam giác bằng tổng các độ dài các cạnh đa giác. - Diện tích: Ta đưa về các hình thường gặp. Ví dụ 1: Cho đường thẳng : y = 4x (d). Viết phương trình đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8. Giải: + Đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) nên cĩ phương trình: y = 4x + b. + (s) cắt trục hồnh tại A, nên ta cĩ: = 0⟹ = ― . Do đĩ: A ― ;0 . + 4 4 (s)cắt trục tung tại B, ta cĩ: = 0⟹ = . Do đĩ: B(0; ) + Tam 1 2 giác AOB vuơng ở O nên: 푆 = ― = = 8⟹ = ± 8 Vậy cĩ hai 2| 4| 8 đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8. Áp dụng: Bài 1: Cho (P): y = 2 và đường thẳng (d) cĩ phương trình y = mx + 1. Xác định m để tam giác OAB cĩ diện tích bằng 3.
12. 12 3 Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x – 4 (d) m ≠ . Tìm m để đường thẳng (d) cắt đường 2 thẳng (d’) cĩ phương trình: x – y + 2 = 0 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P = y2 ― 2 x2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 3: Cho hàm số y = x2 cĩ đồ thị (P) và hai điểm A, B thuộc (P) cĩ hồnh độ lần lượt là - 1 và 2. Vẽ đồ thị (P) và tìm tọa độ điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB cĩ diện tích lớn nhất. Bài 4: Tọa độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D, C lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A, B lên trục hồnh. Tính diện tích tứ giác ABCD. 1 Bài 5: Cho (P): y = - 2 và điểm M(0; 2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua M và cĩ hệ số 2x gĩc là k. Tìm k sao cho (D) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt thỏa mãn AB = 12 và hồnh độ của A và B là các số dương. Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: 2kx + (k - 1)y = 2 (k là thamsố). 1) Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x 3? Khi đĩ hãy tính gĩc tạo bởi (d) với tia Ox. 2) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. x2 Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) cĩ phương trình y = - . Gọi (d) là 2 đường thẳng đi qua I(0; -2) và hệ số gĩc k. Gọi H và K theo thứ tự là hình chiếu vuơng gĩc của A và B lên trục hồnh. Chứng minh rằng tam giác IHK vuơng tại I. Bài 8: Cho Parabol (P) y = x2 và đường thẳng (d) đi qua A(1; 2) cĩ hệ số gĩc là 2. Chứng minh rằng (d) cắt (P) tại hai điểm nhận A làm trung điểm. III. Những lỗi học sinh thường mắc Khi làm bài tập dạng đồ thị và hàm số, học sinh thường mắc các lỗi: – Nhận diện sai đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai: vẽ đồ thị bậc hai là đường thẳng.
13. 13 – Nhầm hồnh độ và tung độ, các điểm thuộc trục tung thì hồnh độ phải bằng 0 và ngược lại. – Nhầm lẫn hồnh độ giao điểm là nghiệm hệ phương trình, tọa độ giao điểm là nghiệm của phương trình. – Trong chương trình thi tốn chung vào lớp 10, học sinh khơng được sử dụng cơng thức tính độ dài đoạn thẳng, khơng được sử dụng điều kiện hai đường thẳng vuơng gĩc. IV) Bài tập vân dụng Bài 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Với các hàm số bậc nhất, hãy cho biết hàm số đĩ đồng biến hay nghịch biến? a) y 5 2x b) y x 2 1 c) y 2(x 1) 2x 2 1 d) y 3(x 1) x e) y x f) y x 3 x Hướng dẫn: Các hàm số bậc nhất là hàm số: a, d, e Hàm số y = 5 -2x là hàm số nghịch biến trên R do a= -2 0 2 2 Hàm số y= là hàm số nghịch biến trên R do a= <0 3 3 Bài 2: Cho hàm số y 3 2 x 2. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? b) Tính các giá trị tương ứng của y khi x nhận các giá trị sau: 0; 1; 3 2; 3 2 . c) Tính các giá trị tương ứng của x khi y nhận các giá trị sau: 0; 1; 5 2; 5 2 . Hướng dẫn: y 3 2 x 2. a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R b)
14. 14 x 0 1 3+ 2 3 - 2 y 2 5 - 2 5 13- 6 2 c) Y 0 1 5+ 2 5 - 2 X 2 1 1 3 + 2 2 ― 3 2 ― 3 3 ― 2 Bài 3. Cho hàm số ( ) = 2 +5 ― 9 . Tìm k để hàm số là hàm số bậc nhất. Khi đĩ hàm số đồng biến hay nghịch biến? Hướng dẫn: Hàm số bậc nhất là hàm số cĩ dạng y = ax + b (a 0); hàm số đồng biến trên R  a> 0; hàm số nghịch biến trên R  a 3 hoặc k<-3; hàm số nghịch biến  -3< k < 3 Bài 4. Cho hàm số = ( ) = 6 +2 a. Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R. b. Tính xo biết ( 표) = 14. 2 c. Tính xo biết ( 표) = 4. Hướng dẫn: a. Hàm số đồng biến trên tập R. b. ( 표) = 1  6x0 +2 = 14 x0 = 2 2 2 c. ( 표) = 8 + 2 15  (6 + 2) = 4 Giải phương trình trên ta được x0 = 0 hoặc x0 = ―2/3 Bài 5.Cho hai hàm số: f (x) x2 và g(x) 3 x . 1 a) Tính f ( 3), f , f (0), g(1), g(2), g(3) . b) Xác định a để 2 f (a) g(a). 2 Hướng dẫn: 1 1 a, f(-3) = 9; f( ; f(0) = 0; g (1) = 2; g(2) = 1; g(3) = 0 2 ) = 4 b, 2 f (a) g(a) 2 2 = 3 ― . Giải phương trình ta được a=1 hoặc a = -3/2 Bài 6. Cho hàm số y (m 2)x2 (m 2) .
15. 15 Tìm giá trị của m để: a) Hàm số đồng biến với x -2 1 Bài 7. Cho parabol y x2 (P). Xác định m để các điểm sau nằm trên parabol: 4 A 2;m B 2;m 3 a) b) c) C m; 4 Hướng dẫn: 1 2 1 a, Để điểm A ( nằm trên parabol (p)  m =  m = 2; ) 4.( 2) 2 1 b, m = 2 c, m = ± 3 Bài 8. Xác định m để đồ thị hàm số y (m2 2)x2 (p) đi qua điểm A(1;2) . Với m tìm được, đồ thị hàm số cĩ đi qua điểm B(2;9) hay khơng? Hướng dẫn: +/ Để điểm A (1;2) nằm trên parabol (p)  2 = ( 2 ― 2).12  m = ± 2 +/ với m = 2 ta được y = 2 2 khơng đi qua điểm B(2;9) vì 9 ≠ 8
16. 16 +/ với m = -2 ta được y = 2 2 khơng đi qua điểm B(2;9) vì 9 ≠ 8 Bài 9. Cho hàm số y = x2 ― 1(P) a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số. b) Các điểm sau cĩ thuộc đồ thị hay khơng A(1;3); B(2;3); C(0; -1); D(-2; 5) Hướng dẫn: a, Cho x=0 thì y= -1, ta được điểm P(0; -1) Cho x = -1 thì y = 0, ta được điểm Q(-1; 0) Cho x= -2 thì y= 4, ta được điểm R(-2; 4) Cho x = 2 thì y = 4, ta được điểm S(2; 4) Vẽ đường cong parapol đi qua hai điểm P, Q, R, S ta vẽ đồ thị b. Thay x=1; y=3 vào P ta được 9 ≠ 0 => A(1;3) khơng thuộc (P) B(2;3), C(0;-1) thuộc (P); D(-2;5) khơng thuộc (P) Bài 10. Cho đường thẳng d: ( ― 2) ― (2 ― 1) +3 ― 5 = 0 Tìm m để đường thẳng d: a. Song song Ox b. Song song Oy Hướng dẫn: a) Trục Ox cĩ phương trình là y=0 Để d song song với Ox thì: ⇒{m−2=0y≠0⇒{m=23m−52m−1≠0⇒{m=2m≠53;m≠12⇒{m−2=0y≠0⇒{m=23m−52m− 1≠0⇒{m=2m≠53;m≠12 Vậy m=2 thì d song song với Ox b) d song song với Oy cĩ pt: x=0 thì:
17. 17 {2m−1=0x≠0⇒{m=125−3mm−2≠0⇒{m=12m≠53;m≠2⇒m=12{2m−1=0x≠0⇒{m=125− 3mm−2≠0⇒{m=12m≠53;m≠2⇒m=12 Vậy m=1/2 thì d song song với Oy Bài 11. a) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ O và điểm M(2;4). b) Viết phương trình parabol dạng y ax2 và đi qua điểm M(2;4). Hướng dẫn: a) Gọi pt đường thẳng cần tìm là : y=ax+b (d) Do đường thẳng (d) đi qua O(0;0) nên ta cĩ :b=0 Do đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;4), nên: 2a+b=4 Thay b= 0, ta cĩ : a=2 Vậy pt đường thẳng cần tìm là : y = 2x+0 b, Để parabol y ax2 đi qua điểm M(2;4) thì : 4 = .22 => a =1 phương trình paraobol là y = 2 Bài 12. Cho parabol (P): y 2x2 và đường thẳng (d): y=x-m+1( với m là tham số). a)Vẽ Parabol (P) b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P)cắt (d) cĩ đúng một điểm chung. Hướng dẫn: a, Cho x= 0 thì y= 0, ta được điểm P(0; 0) Cho x = -1 thì y = 2, ta được điểm Q(-1; 2) Cho x= 1 thì y= 2, ta được điểm R(1; 2) Cho x = 2 thì y = 8, ta được điểm S(2; 8) Cho x = -2 thì y = 8, ta được điểm T(-2; 8) Vẽ đường cong parapol đi qua hai điểm P, Q, R, S ta vẽ đồ thị b, Hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: 2 2 = ― + 1  2 2 ― + ― 1 = 0 (*)
18. 18 Để (P) cắt (d) cĩ đúng một điểm chung  Pt (*) cĩ 1 nghiệm duy nhất ∆ = 0  1-2(m-1)=0  2-2m = 0 m =1 Bài 13. Cho hai hàm số y = -2x2 và y = x a)Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng toạ độ b)Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số bằng phép tính Hướng dẫn: a, hs tự làm b, Hịanh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: -2x2 = x giải pt trên ta sẽ được 2 nghiệm là 0 và -1/2 từ đĩ ta sẽ tìm được tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (0;0) và (-1/2; -1/2) Bài 14. a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 và đường thẳng (d): y 2x 3 trên cùng một hệ trục toạ độ. c) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d) ở bài trên bằng phép tính. Hướng dẫn: a, hs tự làm b, Hịanh độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x2 = 2x+3 giải pt trên ta sẽ được 2 nghiệm là 3 và -1 từ đĩ ta sẽ tìm được tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (3;9) và (-1; 1) Bài 15. Cho đường thẳng d cĩ phương trình: ax + (2a - 1) y + 3 = 0. Tìm a để đường thẳng d đi qua điểm M (1, -1). Khi đĩ, hãy tìm hệ số gĩc của đường thẳng d Hướng dẫn: +/ Đường thăng d đi qua điểm M(1;-1) => x =1; y =-1. Thay vào phương trình của đường thẳng d ta được: a.1+(2a-1).(-1)+3=0 => a = 4
19. 19 +/ thay a = 4 vào phương trình d ta được 4x+(2.4-1).y+3=0  4x+7y+3=0  y=(-4/7)x-3/7  Hệ số gĩc của đường thẳng d là -4/7 Bài 15. Cho hàm số y 0,4x2 . Các điểm sau đây, điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào khơng thuộc đồ thị hàm số: A(-2; 1,6), B(3; 3,5), C( 5 ; 0,2) Giải - Điểm A(-2; 1,6) Thay x = -2 vào hàm số ta cĩ: y 0,4 2 2 1,6 , do đĩ điểm A thuộc đồ thị hs - Điểm B(3; 3,5) Thay x = 3 vào hs ta cĩ: y 0,4.32 3,6 3,5 do đĩ điểm B khơng thuộc đồ thị hs - Điểm C( 5 ; 0,2) 2 Thay x = 5 vào hs ta cĩ: y 0,4. 5 2 0,2 do đĩ điểm C khơng thuộc đồ thị hs Bài 16.Cho đường thẳng (d) : 2(m - 1)x + (m - 2)y = 2. Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi. Giải Gọi M(x0;y0) là điểm cố định của họ đường thẳng (d) đi qua. Vì M thuộc (d) nên ta suy ra: 2(m - 1)x0 + (m - 2) y0 = 0 ⟺ 2m x0 - 2x0 + my0 - 2y0 = 0 ⟺ m(2x0 + y0) – 2 (x0 + y0 ) = 0 (với mọi m)
20. 20 2x + y = 0 x = 0 ⟺ 0 0 ⟺ 0 x0 + y0 = 0 y0 = 0 Vậy khi m thay đổi (d) luơn đi qua M(0;0). Bài 17. a) Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol y = 2x2. b) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y = 2x + 1 và tiếp xúc với parabol y = -x2 c) Lập phương trình đường thẳng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4). d) Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x Giải a) Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng: y = ax + b. Đi qua M (-1; 2) nên ta cĩ: 2 = -a + b (1) Tiếp xúc với đường cong y = 2x2 nên phương trình : 2x2 = ax + b cĩ nghiệm kép  2x2 – ax – b = 0 cĩ nghiệm kép Δ = a2 + 8b . Δ = 0  a2 + 8b = 0 (2) Từ (1) và (2) ta cĩ hệ: -a + b = 2 (1) a2 + 8b = 0 (2) Từ (1)  b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được :
21. 21 a2 + 8a + 16 = 0  (a + 4)2 = 0  a = -4 Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 b) Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng: y = ax + b. song song với đường thẳng y = 2x + 1  a = 2. Tiếp xúc với parabol y = -x2 nên phương trình : -x2 = 2x + b cĩ nghiệm kép  x2 + 2x +b = 0 cĩ nghiệm kép  Δ’ = 1 – b ; Δ = 0  1 – b = 0  b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 2x + 1 c) Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng: y = ax + b Đi qua A (2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1) Đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)  1 – 2a = 3a – 4  5a = 5  a = 1. Thay a = 1 vào (1)  b = -1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1 d) Giả sử phương trình đường thẳng cần lập cĩ dạng y = ax + b , song song với đường thẳng y = 4x  a = 4. Đi qua M( 2;-3) nên ta cĩ : -3 = 4.2 + b  b = -11 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = 4x – 11 Bài 18. Cho đường thẳng : y = 4x (d). Viết phương trình đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) cắt Ox tại A, cắt Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
22. 22 Giải + Đường thẳng (s) song song với đường thẳng (d) nên cĩ phương trình: y = 4x + b. + (s) cắt trục hồnh tại A, nên ta cĩ: b b y = 0⟹x = ― . Do đĩ: A ― ;0 . A A 4 4 + (s) cắt trục tung tại B, ta cĩ: xB = 0⟹yB = b. Do đĩ: B(0;b) . 1 b b2 + Tam giác AOB vuơng ở O nên: S = ― b = = 8⟹b =± 8 AOB 2| 4| 8 Vậy cĩ hai đường thẳng (s): y = 4x + 8 và y = 4x – 8. Bài 19. Cho hàm số y ax2 a) Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 2) b) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị của a vừa tìm được Giải 1 a) Vì đồ thị hs đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta cĩ: 2 a.22 a 2 1 b) Với a = ½ ta cĩ hàm số sau: y x2 2
23. 23 14 12 10 1 8 f x = x2 2 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 1 Bài 20. Cho 2 hàm số y x2 và y = 2x – 2 2 a) Vẽ đồ thị 2 hàm số trên trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị Giải a) Vẽ đồ thị 14 12 10 8 1 2 f x = x g x = 2x-2 2 6 4 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 1 b) pt hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị: x2 2x 2 x x 2 2 1 2
24. 24 thay x = 2 vào 1 trong 2 hs ta được: y = 2.2 – 2 = 2. Vậy tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là M(2; 2) Bài 21. Cho hàm số y ax2 a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -3x + 4 tại điểm A cĩ hồnh độ bằng -2. b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị Giải a) tung độ của điểm A là: y = -3.(-2) + 4 = 10. Vậy tọa độ điểm A(-2; 10) vì đồ thị hs y ax2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta cĩ: 2 5 5 10 a 2 a . Khi đĩ hs cĩ dạng: y x2 2 2 b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ 10 8 6 5 h x = x2 2 4 2 q x = -3x+4 -10 -5 5 10 15 20 -2 -4 -6 5 4 c) pt hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị: x2 3x 4 x ; x 2 2 1 5 2 4 4 8 4 8 + Với x y 3. 4 tọa độ điểm A( ; ) 1 5 1 5 5 5 5 + Với x1 2 y1 3. 2 4 10 tọa độ điểm B(-2; 10)
25. 25 Bài 22. Cho hàm số y ax2 a) Xác định a biết rằng đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -2x + 3 tại điểm A cĩ hồnh độ bằng 1. b) Với giá trị của a vừa tìm được, vẽ đồ thị 2 hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ c) Tìm tọa độ giao điểm của 2 đồ thị. Giải a) tung độ của điểm A là: y = -2.1 + 3 = 1, do đĩ tọa độ của điểm A là A(1; 1) vì đồ thị hs y ax2 đi qua điểm A nên tọa độ điểm A thỏa mãn hs, ta cĩ: 1 a.12 a 1. Khi đĩ hs cĩ dạng: y x2 b) vẽ đồ thị 2 hs trên cùng mặt phẳng tọa độ 14 12 10 8 6 g x = -2x+3 4 f x = x2 2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 2 c) pt hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị: x 2x 3 x1 1; x2 3 + Với x1 1 y1 2.1 3 1 tọa độ điểm A(1; 1) + Với x1 3 y1 2. 3 3 9 tọa độ điểm B(-3; 9) Bài 23. Cho 2 hàm số (P): y x2 và (d): y = 2x + 1. a) Vẽ trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị 2 hàm số trên
26. 26 b) Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết rằng đồ thị của nĩ đi qua điểm A(-2; -1) và song song với (d). Giải a) vẽ đồ thị 2 hs 6 4 2 q x = 2x+1 -15 -10 -5 5 10 15 -2 -4 h x = -x2 -6 -8 -10 2 b) Pt hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị: x 2x 1 x1 x2 1 2 + Với x1 1 y1 1 1 tọa độ điểm A(-1; -1) c) vì (d1) // (d) nên a = 2. khi đĩ (d1) cĩ dạng: y = 2x + b mặt khác (d1) đi qua A nên tọa độ của A thỏa mãn (d1), ta cĩ: -1 = 2.(-2) + b => b = 3 vậy hàm số (d1): y = 2x + 3 Bài 24.Trên cùng 1 mặt phẳng tọa độ, cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y x 2 a) Vẽ (P) và (d) b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
27. 27 c) Tìm hàm số (d1): y = ax + b biết rằng đồ thị của nĩ song song với (d) và cắt (P) tại điểm M cĩ hồnh độ bằng 2 Giải a) vẽ đồ thị 14 12 10 8 6 4 r x = x2 2 s x = -x+2 -15 -10 -5 5 10 15 -2 2 b) pt hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị: x x 2 x1 1; x2 2 2 + Với x1 1 y1 1 1 tọa độ điểm A(1; 1) 2 + Với x1 2 y1 2 4 tọa độ điểm A(-2; 4) c) vì d1 // d nên a = -1, do đĩ d1 cĩ dạng: y = -x + b + tung độ của điểm M là: y = 22 = 4. Tọa độ điểm M(2; 4) + mặt khác d1 đi qua M nên ta cĩ: 4 = -2 + b => b = 6 Vậy pt d1: y = -x + 6 Bài 25. Cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) cĩ hệ số gĩc m đi qua điểm M(-1 ; -2) . a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luơn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
28. 28 Giải a). Đường thẳng (d) cĩ hệ số gĩc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phương trình đường thẳng (d) là : y = mx + m – 2. Hồnh độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: - x2 = mx + m – 2 x2 + mx + m – 2 = 0 (*) Và phương trình (*) cĩ m 2 4m 8 m 2 2 4 0 m nên phương trình (*) luơn cĩ hai nghiệm phân biệt , do đĩ (d) và (P) luơn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b). A và B nằm về hai phía của trục tung phương trình : x2 + mx + m – 2 = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2. Bài 26.Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx 1 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luơn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi x1, x2 lần lượt là hồnh độ các giao điểm của đường thẳng (d) và 2 2 parabol (P). Tìm giá trị của m để : x1 x2 x2x1 x1x2 3 Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là: – x2 = mx – 1 x2 + mx – 1 = 0 (1), phương trình (1) cĩ a.c = –1 < 0 với mọi m (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi m (d) luơn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. b) Ta cĩ x1, x2 là nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viét ta cĩ: x1 + x2 = – m và x1. x2 = – 1 2 2 Theo giả thiết: x1 x2 x2 x1 x1x2 3 x1 x2 (x1 x2 1) 3 1( m 1) 3 m + 1 = 3 m = 2 Vậy với m = 2 thì hồnh độ giao điểm của (d) và (P) thỏa mãn đẳng thức trên.
29. 29 2 Bài 27.Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) : y = x và đường thẳng (D) 4 đi qua điểm 3 I = ; 1 cĩ hệ số gĩc m. 2 a) Viết phương trình của (d). b) Tìm m sao cho (d) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt. Giải 3 Phương trình đường thẳng (D) cĩ dạng y = mx + b. (d) đi qua I = ; 1 nên tọa độ 2 điểm I thỏa mãn 3 3 3 1 = m + b b = 1 m. Vậy (D) : y = mx 1 m 2 2 2 c) Ta cĩ: phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và (d) là: x2 3 mx 1 m x2 4mx 6m 4 0 (1) 4 2 Để (d) và (P) cĩ hai điểm chung phân biệt thì phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt 1 = 16m2 24m 16 > 0 m > 2 hoặc m 2 hoặc m < thì (D) cắt (P) tại hai điểm. 2 1 Bài 28.Trong cùng một mặt phẳng toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường 4 thẳng (D) : y = mx 2m 1 .Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P). Lời giải Ta cĩ: phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và (d) là:
30. 30 1 x2 mx 2m 1 x2 4mx (8m 4) 0 (1) 4 (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) cĩ nghiệm kép ' (2m)2 8m 4 0 4(m + 1)2 = 0  m = 1. Vậy: Với m = 1 thì (d) tiếp xúc với (P) Bài 29. Cho hàm số số y = ax2 ( a 0 ) a) Xác định hàm số y = ax2 biết đồ thị của nĩ đi qua A ( 2; 2 ). b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số vừa tìm tại hai điểm c) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm được. Hãy tìm tiếp điểm đĩ. Giải a) Vì đồ thị của hàm số y = ax2 đi qua điểm A ( 2; 2 ) nên ta cĩ : 1 1 2 = a.22 a = . Vậy hàm số cần xác định là : y = x2 2 2 1 b) Để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm thì hệ 2 phương trình y 2x m 1 1 cĩ 2 nghiệm x2 = 2x + m cĩ hai nghiệm phân biệt y x2 2 2 1 1 x2 + 2x + m = 0 cĩ 2 nghiệm phân = 4 – 4. .m > 0 m < 2. 2 2 1 Vậy khi m < 2 thì hàm số y = 2x + m cắt đồ thị hàm số y = x2 tại hai điểm phân 2 biệt.
31. 31 1 c) Để đường thẳng y = 2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x2 thì hệ phương 2 1 trình hồnh độ gia điểm: x2 = 2x + m cĩ nghiệm kép 2 1 x2 + 2x + m = 0 cĩ nghiệm kép = 0 m = 2 2 Gọi M (x; y) là tiếp điểm cần tìm : y 2x m y 2x 2 x 2 1 2 1 2 y x y x y 2 Thay m = 2 vào hệ 2 2 1 Bài 30. Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d): y mx 2m 3 2 a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luơn đi qua một điểm cố định. b) Chứng minh rằng với mọi m, (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi. Lời giải a) Gọi A(x0 ; y0) là điểm cố định cần tìm, ta cĩ x0 2 0 x0 2 (x0 2)m 3 y0 0, đúng với m 3 y0 0 y0 3 Do (d) luơn đi qua điểm cố định A(2 ; 3) với mọi m. b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 x2 mx 2m 3 x2 2mx 4m 6 0 (*) 2 2 Ta cĩ: ' m2 ( 4m 6) m2 4m 6 m 2 2 0, vớim Vậy phương trình (*) cĩ hai nghiệm phân biệt với mọi m, tức là (d) luơn cắt (P) tại hai điểm phân biệt M , N. Đặt M(x1;y1), N(x2;y2 ) và I(x;y) là trung
32. 32 điểm của MN, với x 1 , x2 là hai nghiệm của (*). Khi đĩ, kết hợp với hệ thức x x x 1 2 m 2 Vi-ét ta suy ra: y y m(x x ) 4m 6 y 1 2 1 2 2 2 x m hay y x2 2x 3 2 y (m 2m 3) Vậy tập hợp trung điểm I (x ; y) của đoạn thẳng MN khi m thay đổi là những điểm trong mặt phẳng Oxy cĩ tọa độ thỏa mãn hệ thức: y x2 2x 3