›
›
›

Đề cương ôn tập môn Toán Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số - Tiết 1,2: Hàm số bậc nhất và đồ thị

docx 73 trang Thương Thanh 24/07/2023 1460
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số - Tiết 1,2: Hàm số bậc nhất và đồ thị", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxde_cuong_on_tap_mon_toan_chuyen_de_ham_so_bac_nhat_he_phuong.docx

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số - Tiết 1,2: Hàm số bậc nhất và đồ thị

  1. CHUYÊN ĐỀ : HÀM SỐ BẬC NHẤT, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ TIẾT 1,2. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Khái niệm hàm số bậc nhất - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a 0 2. Tính chất Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau: - Đồng biến trên R khi a > 0 - Nghịch biến trên R khi a < 0 3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng - Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b - Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0 4. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0). Khi đó a a ' + d // d ' b b' + d ' d ' A a a ' a a ' + d  d ' b b' + d  d ' a.a ' 1 5. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0) 1. Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương 2. Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b -Hệ số a trong y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b 6. Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó 2 2 - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức AB (xB xA ) (yB yA ) - Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức x x y y x A B ; y A B M 2 M 2
  2. B. CÁC DẠNG BÀI THƯỜNG Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( xo;yo) và điểm B( x1;y1). Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là : y = ax + b (d) . - Vì (d) đi qua điểm A( xo;yo). Ta có : y0 = axo + b (1) . - Vì (d) đi qua điểm B( x1;y1). Ta có : y1 = ax1 + b (2) . yo axo b Từ (1) và (2) ta có hệ: y1 ax1 b Giải hệ phương trình tìm được a và b. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = * Ví dụ: 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2) và B(-3;-2). 2. Cho đường thẳng y= (m-2)x+n (m 2) (d) Tìm các giá trị của m và n khi đường thẳng (d) đi qua 2 điểm A(-1;2) và B(3;-4). 3. Chứng minh rằng ba điểm A (2;3), B (1;-1); C (-1;-9) thẳng hàng. Giải: 1. Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b (d); - Vì ( d) đi qua A(1;2) nên ta có : a + b = 2 (1) - Vì ( d) đi qua B(-3;-2) nên ta có : -3a + b =- 2 (2) a b 2 Kết hợp (1) và (2) ta có hệ: 3a b 2 Giải hệ phương trình ta được a = 1 và b = 1; Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = x + 1. 2. Vì (d) đi qua điểm A(-1;2) nên ta có : 2 = (m-2).(-1)+n Vì (d) đi qua điểm B(3;-4) nên ta có - 4 = (m-2).3+n 2 (m 2).( 1) n m n 0 Giải hệ phương trình: 4 (m 2).3 n 3m n 2 Giải hệ phương trình tìm được m = n =1/2. 3 1 Vậy phương trình đường thẳng (d) là y = - x 2 2 3. Chứng minh rằng ba điểm A (2;3), B (1;-1); C (-1;-9) thẳng hàng. Gọi phương trình đường thẳng AB là : y = ax + b ( d) - vì (d) đi qua điểm A(2;3) nên ta có : 2a + b =3 (1) - vì (d) đi qua điểm B(1;-1) nên ta có : a + b =-1 (2) 2a b 3 a 4 Từ (1) và (2) ta có hệ: a b 1 b 5 => Phương trình đường thẳng AB có dạng là y = f(x) = 4x - 5. Xét khi x = -1. Ta có f (-1) = 4.(-1) -5= -9 = yC. Vậy toạ độ của C thoả mãn phương trình đường thẳng AB.
  3. Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng. * BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Tìm a và b để đồ thị hàm số y = ax + b ( d) đi qua hai điểm : A ( -1;-3) và B(2;5). Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (1;3 2 ) và N (2;4 2 ). Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + m2 - 2m đi qua điểm E(1;2). 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(xA;yA) và song song với đường thẳng y = mx + n (m≠0) (d). Phương pháp giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là : y = ax + b (d'). - Vì (d') // (d) => a = m do đó phương trình đường thẳng cần tìm là y=mx +b . Vì đường thẳng đi qua điểm A(xA;yA) nên ta có : yA = mxA + b => b = yA - mxA. Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là : y= mx+(yA-mxA). Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A (1;7) và song song với đường thẳng y = 3x - 2 (d) Giải Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là : y = ax + b ( d') - Vì (d') // (d) => a=3; Do đó phương trình đường thẳng (d') có dạng y = 3x + b. Vì (d') đi qua điểm A ( 1;7) nên ta có 7 = 3.1 + b => b = 7 - 3 => b=4 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 3x+ 4 * BÀI TẬP ÁP DỤNG Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;3) và song song với đường thẳng: a) y =-2x+3 b) y =3x-4 c) y = mx+ 3m + 1 ( m là hằng số) d) x-2y = 3. 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A (x A;yA), và vuông góc với đường thẳng y = mx + n ( d). Phương pháp giải Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b (d') Vì (d')  (d) => a.m = -1 => a= -1/m. Do đó phương trình đường thẳng (d') là: 1 y = x b m 1 1 - Vì (d') đi qua điểm A (xA; yA). Ta có yA = x b => b =yA+ x m A m A 1 1 Vậy phương trình đường thẳng (d') cần tìm là y = x (y x ) m A m A * Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;1) và vuông góc với đường thẳng y 1 = x 3 (d) 2
  4. Giải Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y = ax + b (d') 1 Vì (d')  (d) => a. = -1 => a= 2. Do đó phương trình đường thẳng (d') có dạng : y = 2 2x + b. - Vì (d') đi qua điểm A (1;1) nên ta có 1 = 2.1+ b => b= -1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y = 2x - 1 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A( 2;3) và vuông góc với đường thẳng: a) y = 2x -1 b) 3x + 5y = 8 Bài 2 : Tìm m để đồ thị hàm số y = (m - 2)x + 3 vuông góc với đường thẳng có phương trình là: x-2y = 3 3. Dạng 2 -Tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng : y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d') Phương pháp : Cách 1 : ( áp dụng cho các đường thẳng cho bởi dạng ax +by=c) Gọi toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d ) và (d') là A(x A;yA); nên ta có xA;yA là nghiệm của hệ phương trình sau : axA b yA xA a'xA b' yA yA Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d') là A(xA;yA) Cách 2 : ' Gọi điểm A (xA;yA) là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d). Ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d') là : axA + b = a'xA+ b' b' b xA = a a' Thay giá trị tìm được của xA vào phương trình của (d) hoặc (d') để tìm ra giá trị tương ứng của yA . Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d') là: A(xA;yA) Ví dụ :Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng: y = 2x + 3 ( d) và y = x+ 5 ( d'); Giải Gọi giao điểm của (d) và (d') là A(x;y). . Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và (d') là: 2x + 3 = x + 5 x= 2 Thay x = 2 vào phương trình của đường thẳng (d) ta có : y = 2.2 +3 y=7. Vậy toạ độ giao điểm của (d) và (d') là A( 2; 7 ) BÀI TẬP ÁP DỤNG:
  5. Bài 1 Tìm toạ giao điểm của các đường thẳng: a) y = x+3 và y = -2x+1 1 3 b) y = -x + 5 và y = x 2 4 c) 2x+3y=5 và y=-x+1. Bài 2 Cho hai đường thẳng 2x-3y=8 và 5x+4y=-3 a) Xác định toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng trên và: b1) Song song với đường thẳng : y = 2x-1. b2) Vuông góc với đường thẳng: y = -2x+5. Bài 3 (dành cho học sinh giỏi) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đây đồng qui trên mặt phẳng toạ độ: y = 2x - 5; y = x + 2 và y= mx - 12. Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y= ax + b (a 0) luôn luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m (a, b chứa tham số m). Phương pháp giải: Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là : M(x0;y0). - Do đồ thị hàm số luôn đi qua điểm M (x 0;y0) với mọi giá trị của m. Nên phương trình y 0 = ax0+ b (1) phải nghiệm đúng với mọi giá trị của m. - Từ phương trình (1) chuyển về phương trình đối với ẩn là m. Từ đó tìm ra được x0 và y0. Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là M (x0 ;y0). Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số : y = (2m+1)x - 3m + 2 luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m. Giải: Gọi điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn luôn đi qua với mọi giá trị của m là : A(xA;yA). - Do đồ thị hàm số luôn đi qua điểm A(x A;yA) với mọi giá trị của m. Nên phương trình y A = (2m+1)xA- 3m + 2 nghiệm đúng với mọi giá trị của m. yA=2mxA- 3m + 2 + xA (2 xA-3)m + xA - yA+ 2 = 0 (*) Để phương trình (*) có nghiệm đúng với mọi giá trị của m. Thì : 3 xA 2xA 3 0 2 7 xA yA 2 0 yA 2 3 7 Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là: A( ; ); 2 2 * BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1:
  6. Chứng minh rằng: Khi m thay đổi, các đường thẳng sau luôn luôn đi qua một điểm cố định . Tìm toạ độ điểm cố định đó: a) (m+1)x - 2y = 1 b) y = (m-1)x + 3m - 2 c ) 2x+my =1. Bài 2: Xét các đường thẳng có phương trình: (m+2)x+ (m-3)y-m+8=0. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m các đường thẳng đó luôn luôn đi qua điểm A(-1;2). C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Dạng Vẽ đồ thị hàm số. Tìm tọa độ giao điểm. Tính toán trên hình vẽ. Bài 1. a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x + 1 và y = - x + 3 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b ) Hai đường thẳng y = x + 1 và y = - x + 3 cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c ) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. (đơn vị trên các trục tọa độ là cm). Bài 2. a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ : y = 0,5x + 2 và y = 5 – 2x. b) Hai đường thẳng trên cắt nhau tại C và cắt trục Ox theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, và BC. d) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = 0,5x + 2 với trục Ox. Dạng Tìm công thức hàm số. phương trình đường thẳng. Bài 1.Biết đồ thị của hàm số là đường thẳng đi qua gốc tọa độ, hãy xác định hàm số trong mỗi trường hợp sau : a) Đi qua điểm A(3 ; 2) b) Song song với đường thẳng y = 3x + 1. Bài 2. Hãy xác định hàm số y = ax + b biết : a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -3 b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = -3x và cắt trục tung tại điểm có tung độ = 2. c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = x – 3 và cắt đường thẳng y = -2x +1 tại điểm có hoành độ bằng 1 d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt đường thẳng y = x +1 tại điểm có tung độ bằng 2. e) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x – 3 và đi qua điểm A(1 ; 1). f) Đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y = 3x +1 và đi qua điểm M(1 ; 2). g) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm P(2 ; 1) và Q(-1 ; 4). Dạng Tìm giá trị của tham số thỏa mãn điều kiện cho trước. Bài 1. Cho hàm số y = (2m – 2)x + n. Tìm điều kiện của m và n để : a) Hàm số là hàm số bậc nhất. b) Hàm số đồng biến. c) Hàm số nghịch biến. d) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = 2x – 1 . e) Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = - 3x + 2.
  7. f) Đồ thị hàm số trùng đường thẳng y = 3x – 2. g) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 4) . h) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2 . 2 1 3 5 Bài 2. Cho ba đường thẳng sau y x ; y x ; y kx 3,5. Tìm giá trị của k 5 2 5 2 để ba đường thẳng đồng quy tại một điểm. Bài 3. Cho hàm số y kx 2k 1 (d). a) Tìm k để (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 3 . b) Tìm k để (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. c) Chứng minh rằng, với mọi giá trị k 0 , các đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. hãy xác định tọa độ điểm cố định đó. Dạng Toán tổng hợp. Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m. c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bài 2. a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ : y = 2x (1) ; y = 0,5x (2) và y = –x + 6 (3). b) Giao điểm của đường thẳng (3) cắt đường thẳng (1) và (2) theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B. c) Tính khoảng cách AB. d) Tính các góc của tam giác OAB. 1 Bài 3. Cho hàm số y x có đồ thị là (d1) và hàm số y 3x 2 có đồ thị là (d2). 3 a) Vẽ đồ thị (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm m để đường thẳng y = (2m – 3)x + 3m – 2 cắt (d2) tại điểm có hoành độ bằng 1. c) Xác định đường thẳng (d3): y = ax + b biết (d3) // (d1) và cắt (d2) tại điểm có hoành độ = 2 Bài 4. Cho (d1) : y = 2x – 1 và (d2) : y = x – 2 . a) Vẽ đồ thị (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Xác định tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính. c) Tính góc tạo bởi (d1) và (d2) với trục Ox. (làm tròn đến phút) d) Viết phương trình đường thẳng (d3) biết (d3) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 4/3 và (d1), (d2), (d3) đồng quy. 1 Bài 5: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d1) y x 2 (d2). 2 a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
  8. b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đường thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm của đường thẳng (d1) và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C. c. Tính diện tích tam giác ABC.
  9. Tiết 3,4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: a. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a hoặc b 0) b. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax by c • Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R a ' x b' y c ' • Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có ✓ (d) // (d’) thì hệ vô nghiệm ✓ (d)  (d’) = A thì hệ có nghiệm duy nhất ✓ (d)  (d’) thì hệ có vô số nghiệm c. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế d. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2x y 3 2x y 3 5y 5 x 1 a) x 3y 4 2x 6y 8 x 3y 4 y 1 3x 2y 1 3 3y 2 2y 1 7y 7 y 1 b) . x 3y 2 x 3y 2 x 3y 2 x 1 6x 3 2y 5 y 1 x 1 c) Đk: x -1; y 1 4x 2 4y 2 y 1 x 1 u 2 2x 1 y 3u 2v 5 +/ Đặt u ,v . Hệ đó cho trở thành 1 y 1 x 1 2u 4v 2 v 2 2x 1 2 x 0 y 1 2x 2y 1 1  +/ Ta trở lại : 1 (T /m) Vậy S 0;  y 1 x 2y 1 y 2  2 x 1 2 x(y 2) (x 2)(y 4) xy 2x xy 2y 4x 8 x y 4 x -2 d) (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) 2xy 6y 7x 21 2xy 7y 6x 21 x y 0 y 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (-2; 2) 2x y m 1 Bài 2: Xác định các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa 3x y 4m 1 mãn điều kiện x + y > 1. 2x y m 1 5x 5m x m x m 3x y 4m 1 2x y m 1 2m y m 1 y m 1
  10. Mà x + y > 1 suy ra m + m + 1 > 1 2m > 0 m > 0. Vậy với m > 0 thì hpt có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện x + y > 1. B. MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Giải các hệ phương trình (x 2)(y 2) xy (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) 4 (x 5)(y 2) xy a. b. c. (x 4)(y 3) xy 6 (x 3)(y 1) (x 3)(y 5) 18 (x 5)(y 12) xy d. 9x 2y 4x 3 28 x y 2x 5y 1 x 2y 7 3 5 16 e. f. 11 3 3x 12y 15 9y 15 x 3y 7x y 2(x 1) 2 5 14 31 5 3 5 1 4 1 4 3 13 10 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y 36 g. h. i. 1 3 20 3 6 10 18 1 1 x 1 y 1 x 2y x 2y x y Bài 2. Giải các hệ phương trình x 1 y 2 1 x2 10x 25 x 5 x 2 2 y 1 9 a. b. c. x 1 3y 3 2 x y 1 1 x 10x 25 5 x Bài 3. Cho hệ phương trình 3x y m 2 9x m y 3 3 a. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm b. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình c. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất mx y 4 Bài 4. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình x my 1 8 Có nghiệm thỏa mãn điều kiện x y . Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y. m2 1 Bài 5. Cho ba đường thẳng (d1): y = 2x - 5 (d2): y = 1 (d3): y = (2m - 3)x -1 Tìm các giá trị của m để ba đường thẳng đồng quy x ay 2 Bài 6. Cho hệ phương trình ax 2y 1 Tìm các giá trị của a để hệ phương trình đã cho có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0
  11. TIẾT 5-8 CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ I. Kiến thức cơ bản cần nhớ Xét phương trình bậc hai ẩn x: ax2 + bx + c = 0 (a, b, c R, a ≠ 0) 1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Với biểu thức ∆ = b2 – 4ac + Trường hợp 1: Nếu ∆ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ― ± √∆ 1, 2 2 2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai Khi b = 2 ′. Xét biểu thức ∆′ = ′2 ― + Trường hợp 1: Nếu ∆′ 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x = ― ′ ± √∆′ 1, 2 3. Phương trình quy về phương trình bậc 2 + Phương trình trùng phương + Phương trình chứa ẩn ở mẫu + Phương trình đưa về dạng tích II. Bài tập và các dạng toán. * Dạng 1: Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc 2 một ẩn cho trước. Phương pháp giải: Ta có thể dùng phương pháp sau: Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích. Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là 1 bình phương còn vế phải là 1 hằng số. Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3x2 - 6x = 0 c) 3x2 - 9 = 0 3 7 b) x2 - 5x + 6 = 0 d) 2 + 5 + 4 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: ―7 1 a) x2 - 3x = 0 c) 2 √3 2 + 7 = 0 b) x2 - 6x + 5 = 0 d) 5x2 - 10 = 0 * Dạng 2: Giải phương trình bậc 2 bằng cách sử dụng công thức nghiệm
  12. Phương pháp giải: sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 để giải Bài 1: Giải các phương trình sau: a) x2 - 6x + 8 = 0 c) 3x2 - 2√3x + 1 = 0 b) 6x2 + x + 5 = 0 d) √3x2 - (1 - √3)x - 1 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau: a) 3x2 + 6x + 5 = 0 c) 2x2 - 2√2x + 1 = 0 b) 9x2 - 12x + 4 = 0 d) x2 - (2 + √3)x + 2√3 = 0 * Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai + Dạng 3.1: Giải phương trình trùng phương Phương pháp giải: Xét phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0) Bước 1: Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta được phương trình bậc hai: at2 + bt + c = 0 Bước 2: Giải phương trình bậc hai ẩn t, từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình trùng phương đã cho Bài tập: Giải các phương trình sau: a) x4 – 8x2 – 9 = 0 c) 6x4 – 7x2 + 1 = 0 b) x4 +5x2 – 6 = 0 d) x4 – 7x2 – 144 = 0 + Dạng 3.2: PT chứa ẩn ở mẫu Phương pháp giải: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của ẩn của PT Bước 2: Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu Bước 3: Giải PT vừa nhận được ở bước 2 Bước 4: So sánh các nghiệm tìm được ở bước 3 với điều kiện xác định và kết luận Bài tập: Giải các PT sau: 4 + 1 2 5 5 a) c) + 2 = ― 2 ― 2 ― ― 3 = 2 ― 5 + 6 2 ― 1 3 ― 1 ― 7 2 8 + 8 b) d) + 1 + + 2 = ― 1 +4 ― 2 ― + 4 = 2 + 2 ― 8 + Dạng 3.3. PT đưa về dạng tích Phương pháp giải: Bước 1: Phân tích vế trái thành nhân tử, vế phải bằng 0 Bước 2: Xét từng nhân tử bằng 0 để tìm nghiệm Bài tập: Giải các PT sau: a) 3x2 + 6x2 - 4x = 0 d) (x2 + x +1)2 = (4x – 1)2 b) x3 +3x2 -2x - 6 = 0 e) (x2 + 3x +2)2 = 6(x2 +3x +2) c) (2x2 +3)2 -10x3 -15x = 0 + Dạng 3.4: Giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu có)
  13. Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải PT theo ẩn mới Bước 3: Tìm nghiệm ban đầu và so sánh với điều kiện xác định ở bước 1 để kết luận nghiệm Bài tập: Giải các PT sau: a) (4x - 5)2 - 6(4x-5) + 8 = 0 c) (2x2 +x -2)2 +10x2 +5x -16 = 0 b) (x2 +3x -1)2 +2(x2 +3x -1) - 8 = 0 d) (x2 -3x +4) (x2 -3x +2) = 3 + Dạng 3.5: PT chứa biểu thức trong dấu căn Phương pháp giải: Làm mất dấu căn bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa 2 vế. Lưu ý: = ↔ ≥ 0 A = B2 Bài tập: Giải các PT sau: a) ― 1 = x - 3 c) ― 1 + 7 + 1= 14 ― 6 b) 2 + + 1 = 3 - x * Dạng 4: Xác định số nghiệm của PT bậc 2 Phương pháp giải: Xét PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 1) PT có nghiệm kép ↔ ≠ 0 ∆ = 0 2) PT có 2 nghiệm phân biệt ↔ ≠ 0 ∆ > 0 3) PT có đúng 1 nghiệm ↔ = 0, ≠ 0 ≠ 0, ∆ = 0 4) PT vô nghiệm ↔ = 0, = 0, ≠ 0 ≠ 0, ∆ < 0 Bài 1: Với giá trị nào của m thì các PT sau có các nghiệm kép a) x2 – 7x – m – 3 = 0 b) (m + 5)x2 + x – 1 = 0 Bài 2: Với giá trị nào của m thì các PT sau vô nghiệm a) x2 – 11x – m – 9 = 0 b) (m + 2)x2 + 2x + m = 0 Bài 3: Với giá trị nào của m thì các PT sau có 2 nghiệm phân biệt a) x2 + x + m - 2 = 0 b) (m + 1)x2 + x + 1 = 0 Bài 4: Cho PT: mx2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m là tham số) 1) Tìm giá trị của m để PT: a) Có nghiệm b) Có nghiệm kép c) Có đúng 1 nghiệm d) Có 2 nghiệm phân biệt e) Vô nghiệm 2) Giải và biện luận phương trình
  14. Tiết 9;10 CHUYÊN ĐỀ 5: HỆ THỨC VI-ÉT Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (*) b b Có hai nghiệm x ; x 1 2a 2 2a b b 2b b Suy ra: x x 1 2 2a 2a a ( b )( b ) b2 4ac c x x 1 2 4a2 4a2 4a2 a b Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S = x x 1 2 a c - Tích nghiệm là P : P = x x 1 2 a I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0 c Như vây phương trình có một nghiệm x 1 và nghiệm còn lại là x 1 2 a b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a b + c = 0 c Như vậy phương trình có một nghiệm là x 1 và nghiệm còn lại là x 1 2 a Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: 1. 35x2 37x 2 0 2. 7x2 500x 507 0 3. x2 49x 50 0 4. 4321x2 21x 4300 0 2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình x2 2 px 5 0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai. b) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai. c) Cho phương trình : x2 7x q 0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình. d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx 50 0 , biết phương trình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Bài giải: a) Thay x1 2 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 1 4 4 p 5 0 p 4
  15. 5 5 T ừ x1x2 5 suy ra x2 x1 2 b) Thay x1 5 v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc 25 25 q 0 q 50 50 50 T ừ x1x2 50 suy ra x2 10 x1 5 c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 x2 11 và theo VI-ÉT ta có x1 x2 11 x1 9 x1 x2 7 , ta giải hệ sau: x1 x2 7 x2 2 Suy ra q x1x2 18 d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử x1 2x2 và theo VI-ÉT ta có x1x2 50 . Suy ra 2 2 2 x2 5 2x2 50 x2 5 x2 5 Với x2 5 th ì x1 10 Với x2 5 th ì x1 10 II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 3; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: P x1x2 6 x2 Sx P 0 x2 5x 6 0 Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 vµ x2 = -3 2. x1 = 3a vµ x2 = a 3. x1 = 36 vµ x2 = -104 4. x1 = 1 2 vµ x2 = 1 2 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: 2 V í dụ: Cho phương trình : x 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình 1 1 trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 và y2 x1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 1 1 1 1 x1 x2 3 9 S y1 y2 x2 x1 (x1 x2 ) (x1 x2 ) 3 x1 x2 x1 x2 x1x2 2 2
  16. 1 1 1 1 9 P y1 y2 (x2 )(x1 ) x1x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1x2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0 9 9 hay y2 y 0 2y2 9y 9 0 2 2 Bài tập áp dụng: 2 1/ Cho phương trình 3x 5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình, Hãy 1 1 lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 và y2 x2 x2 x1 5 1 (Đáp số: y2 y 0 hay 6y2 5y 3 0 ) 6 2 2 2/ Cho phương trình : x 5x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả 4 4 mãn y1 x1 và y2 x2 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : y2 727y 1 0 ) 2 2 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2x m 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho : a) y1 x1 3 và y2 x2 3 b) y1 2x1 1 và y2 2x2 1 (Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x2 3x 4 0 giải phương trình trên ta được x1 1 và x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P = 2 2. S = 3 và P = 6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30
  17. Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. 2 2 2 81 a b T ừ a b 9 a b 81 a2 2ab b2 81 ab 20 2 2 x1 4 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x 9x 20 0 x2 5 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = 5 và a.c = 36 2 x1 4 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x 5x 36 0 x2 9 Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b = 9 nếu a = 9 thì c = 4 nên b = 4 Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 2 4ab 169 2 2 a b 13 a b 13 a b 13 2 x1 4 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 4 thì b = 9 2 x1 4 *) Với a b 13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x 13x 36 0 x2 9 Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: a b 11 2 2 2 2 2 2 T ừ: a + b = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 11 a b 11 2 x1 5 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x 11x 30 0 x2 6 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 2 x1 5 *) Nếu a b 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x 11x 30 0 x2 6 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM
  18. Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1 x2 ) và x1x2 2 2 2 2 2 Ví dụ 1 a) x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 b) x3 x3 x x x2 x x x2 x x x x 2 3x x 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c) x1 x2 (x1 ) (x2 ) x1 x2 2x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x1 x2 1 1 x x d) 1 2 x1 x2 x1x2 Ví dụ 2 x1 x2 ? 2 2 2 Ta biết x1 x2 x1 x2 4x1x2 x1 x2 x1 x2 4x1x2 Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 2 2 1. x1 x2 ( x1 x2 x1 x2 = .) 2 2. x3 x3 ( = x x x2 x x x2 x x x x x x = . ) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 2 2 2 2 3. x1 x2 ( = x1 x2 x1 x2 = ) 6 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 4. x1 x2 ( = (x1 ) (x2 ) x1 x2 x1 x1 x2 x2 = ) Bài tập áp dụng 6 6 5 5 7 7 1 1 5. x1 x2 6. x1 x2 7. x1 x2 8. x1 1 x2 1 2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm a) Cho phương trình : x2 8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính 2 2 1 1 8 1. x1 x2 (34) 2. x1 x2 15 x1 x2 34 2 3. 4. x1 x2 (46) x2 x1 15 b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 9 2 2 1. 2. x1 x2 (65) x1 x2 8 c) Cho phương trình : x2 14x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 14 2 2 1. 2. x1 x2 (138) x1 x2 29 d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 1 x 1 x 1. (3) 2. 1 2 (1) x1 x2 x1 x2
  19. 2 2 x1 x2 5 3. x1 x2 (1) 4. x2 1 x1 1 6 2 e) Cho phương trình x 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 2 2 6x1 10x1x2 6x2 Q 3 3 5x1x2 5x1 x2 6x2 10x x 6x2 6(x x )2 2x x 6.(4 3)2 2.8 17 HD: Q 1 1 2 2 1 2 1 2 3 3 2 2 5x1x2 5x1 x2 5x x x x 2x x 5.8 (4 3) 2.8 80 1 2 1 2 1 2 V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. 2 Ví dụ 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 4 V' 0 m (m 1)(m 4) 0 5m 4 0 m 5 Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 2m 2 x x x x 2 (1) 1 2 m 1 1 2 m 1 m 4 3 x .x x .x 1 (2) 1 2 m 1 1 2 m 1 Rút m từ (1) ta có : 2 2 x1 x2 2 m 1 (3) m 1 x1 x2 2 Rút m từ (2) ta có : 3 3 1 x1x2 m 1 (4) m 1 1 x1x2 Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 2 3 2 1 x1x2 3 x1 x2 2 3 x1 x2 2x1x2 8 0 x1 x2 2 1 x1x2
  20. 2 Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình : m 1 x 2mx m 4 0 . Chứng minh rằng biểu thức A 3 x1 x2 2x1x2 8 không phụ thuộc giá trị của m. Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : m 1 m 1 0 m 1 m 1 2 4 V' 0 m (m 1)(m 4) 0 5m 4 0 m 5 Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x x 1 2 m 1 thay v ào A ta c ó: m 4 x .x 1 2 m 1 2m m 4 6m 2m 8 8(m 1) 0 A 3 x x 2x x 8 3. 2. 8 0 1 2 1 2 m 1 m 1 m 1 m 1 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 5 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng: 2 1. Cho phương trình : x m 2 x 2m 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1; x2 sao cho x1; x2 độc lập đối với m. Hướng dẫn: Dễ thấy m 2 2 4 2m 1 m2 4m 8 m 2 2 4 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có m x1 x2 2(1) x1 x2 m 2 x1x2 1 x1.x2 2m 1 m (2) 2 Từ (1) và (2) ta có: x x 1 x x 2 1 2 2 x x x x 5 0 1 2 2 1 2 1 2 2. Cho phương trình : x2 4m 1 x 2 m 4 0 . Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Hướng dẫn: Dễ thấy (4m 1)2 4.2(m 4) 16m2 33 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có x1 x2 (4m 1) 4m (x1 x2 ) 1(1) x1.x2 2(m 4) 4m 2x1x2 16(2)
  21. Từ (1) và (2) ta có: (x1 x2 ) 1 2x1x2 16 2x1x2 (x1 x2 ) 17 0 VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : m 0 m 0 m 0 m 0 2 ' 9 m2 2m 1 9m2 27 0 ' 9 m 1 0 m 1 ' 3 m 21 9(m 3)m 0 6(m 1) x x 1 2 m Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: v à t ừ gi ả thi ết: x1 x2 x1x2 . Suy ra: 9(m 3) x x 1 2 m 6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 6 9m 27 3m 21 m 7 m m (thoả mãn điều kiện xác định ) Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m 1 x m2 2 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 & x2 là : ' (2m 1)2 4(m2 2) 0 4m2 4m 1 4m2 8 0 7 4m 7 0 m 4 x1 x2 2m 1 Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 2 và từ giả thiết 3x1x2 5 x1 x2 7 0 . Suy ra x1x2 m 2 3(m2 2) 5(2m 1) 7 0 3m2 6 10m 5 7 0 m 2(TM ) 3m2 10m 8 0 4 m (KTM ) 3
  22. Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1x2 5 x1 x2 7 0 Bài tập áp dụng 1. Cho phương trình : mx2 2 m 4 x m 7 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0 2. Cho phương trình : x2 m 1 x 5m 6 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 3x2 1 3. Cho phương trình : 3x2 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6 Hướng dẫn cách giải: Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác biệt so với bài tập ở Ví dụ 1 và ví dụ 2 ở chỗ + Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m. + Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x1x2 rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2. 16 BT1: - ĐKX Đ: m 0 & m 15 (m 4) x x 1 2 m -Theo VI-ÉT: (1) m 7 x x 1 2 m x1 x2 3x2 2 - Từ x1 2x2 0 Suy ra: 2(x1 x2 ) 9x1x2 (2) 2(x1 x2 ) 3x1 2 - Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau: m 127m 128 0 m1 1;m2 128 BT2: - ĐKXĐ: m2 22m 25 0 11 96 m 11 96 x1 x2 1 m - Theo VI-ÉT: (1) x1x2 5m 6 x1 1 3(x1 x2 ) x1x2 1 3(x1 x2 ).4(x1 x2 ) 1 - Từ : 4x1 3x2 1 . Suy ra: x2 4(x1 x2 ) 1 (2) 2 x1x2 7(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 1 m 0 - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m 1) 0 (thoả mãn ĐKXĐ) m 1 BT3: - Vì (3m 2)2 4.3(3m 1) 9m2 24m 16 (3m 4)2 0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
  23. 3m 2 x x 1 2 3 - -Theo VI-ÉT: (1) (3m 1) x x 1 2 3 8x1 5(x1 x2 ) 6 64x1x2 5(x1 x2 ) 6.3(x1 x2 ) 6 - Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 . Suy ra: 8x2 3(x1 x2 ) 6 (2) 2 64x1x2 15(x1 x2 ) 12(x1 x2 ) 36 m 0 - Thế (1) vào (2) ta được phương trình: m(45m 96) 0 32 (thoả mãn ) m 15 VII. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax2 bx c 0 (a 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm . Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S x1 x2 P x1x2 Điều kiện chung trái dấu  P 0 0 0 ; P > 0 cùng dương, + + S > 0 P > 0 0 0 ; P > 0 ; S > 0 cùng âm S 0 0 0 ; P > 0 ; S < 0. Ví dụ: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 3m 1 x m2 m 6 0 có 2 nghiệm trái dấu. Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì (3m 1)2 4.2.(m2 m 6) 0 0 (m 7)2 0m m2 m 6 2 m 3 P 0 P 0 P (m 3)(m 2) 0 2 Vậy với 2 m 3 thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu. Bài tập tham khảo: 1. mx2 2 m 2 x 3 m 2 0 có 2 nghiệm cùng dấu. 2. 3mx2 2 2m 1 x m 0 có 2 nghiệm âm. 3. có ít nhất một nghiệm không âm. VIII. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A m C (trong đó A, B là các biểu thức không âm ; m, k là hằng số) (*) k B Thì ta thấy : C m (v ì A 0) min C m A 0
  24. C k (v ì B 0) max C k B 0 Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m 1 x m 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm m để : 2 2 A x1 x2 6x1x2 có giá trị nhỏ nhất. x1 x2 (2m 1) 2 Bài giải: Theo VI-ÉT: m 1 x 2x m 0 x1x2 m A x2 x2 6x x x x 2 8x x Theo đ ề b ài : 1 2 1 2 1 2 1 2 2m 1 2 8m 4m2 12m 1 (2m 3)2 8 8 3 Suy ra: min A 8 2m 3 0 hay m 2 Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 2x1x2 3 B 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 x1 x2 m Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì : x1x2 m 1 2x1x2 3 2x1x2 3 2(m 1) 3 2m 1 B 2 2 2 2 2 x1 x2 2 x1x2 1 (x1 x2 ) 2 m 2 m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn Ta biến đổi B như sau: m2 2 m2 2m 1 m 1 2 B 1 m2 2 m2 2 2 2 m 1 Vì m 1 0 0 B 1 m2 2 Vậy max B=1 m = 1 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 1 1 1 m2 2m 1 m2 m2 4m 4 m2 2 2 m 2 1 B 2 2 2 2 m2 2 m2 2 2 m2 2 2
  25. 2 2 m 2 1 Vì m 2 0 0 B 2 m2 2 2 1 Vậy min B m 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m 1 B Bm2 2m 2B 1 0 (Với m là ẩn, B là tham số) ( ) m2 2 Ta có: 1 B(2B 1) 1 2B2 B Để phương trình ( ) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay 2B2 B 1 0 2B2 B 1 0 2B 1 B 1 0 1 B 2B 1 0 2 B 1 0 B 1 1 B 1 2B 1 0 1 2 B B 1 0 2 B 1 Vậy: max B=1 m = 1 1 min B m 2 2 Bài tập áp dụng 2 2 1. Cho phương trình : x 4m 1 x 2 m 4 0 .Tìm m để biểu thức A x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. 2 2. Cho phương trình x 2(m 1)x 3 m 0 . Tìm m sao cho nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện 2 2 x1 x2 10 . 2 2 3. Cho phương trình : x 2(m 4)x m 8 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn a) A x1 x2 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất 2 2 b) B x1 x2 x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 2 2 4. Cho phương trình : x (m 1)x m m 2 0. Với giá trị nào của m, biểu thức C x1 x2 dạt giá trị nhỏ nhất.
  26. Tiết 11;12;13;14 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG TH ẲNG VÀ PARABOL NHẮC LẠI LÝ THUYẾT: - Toạ độ điểm chung của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y = ax2 là nghiệm của hệ y bx c phương trình: 2 y ax - Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình ax2 = bx+c (1) + (d) không giao nhau với (P) Phương trình (1) vô nghiệm + (d) tiếp xúc (P) Phương trình (1) có một nghiệm kép + (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt + Khi (d) tiếp xúc với(P) ta nói (d) là tiếp tuyến của (P) Dạng 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = bx + c và Parabol (P): y= ax2 *) Phương pháp giải: Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 = bx +c ax2 - bx - c = 0 (1) Giải phương trình (1) Bước 2: Thay nghiệm vừa tìm được (nếu có) vào một trong hai công thức y=bx+c hoặc y= ax 2 để tìm tung độ giao điểm. Từ đó tìm được tọa độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P). *) Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho hai hàm số y = 1 x2 và y = x – 1 2 2 1) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ. 2 ) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị đó. Hướng dẫn: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là : 1 1 2 1 x2 = x – x 2x 1 0 Giải phương trình ta được : x 1 y 2 2 . 2 1 Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là : 1; 2 Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): y = - x2 Xác định toạ độ các giao điểm A, B của đường thẳng (d): y = -x – 2 và (P). Tìm toạ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB cân tại M. Hướng dẫn: Viết phương trình đường trung trực (d’) của AB, tìm giao điểm của (d’) và (P), ta tìm được hai điểm M: Hoành độ các giao điểm A, B của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: – x2 = – x – 2 x2 – x – 2 =0 x= -1 hoặc x = 2 + Với x = -1, thay vào (P), ta có: y = –(-1)2 = -1, ta có: A(-1; -1) + Với x = 2, thay vào (P), ta có: y = –(2)2 = -4, ta có: B(2; -4)
  27. 1 2 1 ( 4) 1 5 Suy ra trung điểm I của AB là: I( ; ) hay I( ; ) 2 2 2 2 Đường thẳng (d’) vuông góc với (d) có dạng: y = x + b; 5 1 Vì (d’): y = x + b đi qua I nên: b b 3 2 2 Vậy (d’): y = x -3 1 13 Phương trình hoành độ của (d’) và (P) là: x2 + x - 3 = 0 x 2 2 1 13 1 13 7 13 + Với x y 2 2 2 2 1 13 1 13 7 13 + Với x y 2 2 2 1 13 7 13 1 13 7 13 Vậy có hai điểm M cần tìm là: ; và ; 2 2 2 2 Ví dụ 3: Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x 2 . 1. Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. 2. Bằng phép tính, xác định tọa độ các giao điểm A, B của (P) và (d). 3. Tìm tọa độ điểm M trên cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất. Hướng dẫn: 2. Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 x 2 x2 x 2 0 Ta có: a b c 1 1 2 0 c 2 Phương trình có hai nghiệm: x 1; x 2 1 2 a 1 Với x 1 y 1 2 1 x 2 y 2 2 4 Vậy: Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là: A(1;1) và B(–2;4) 2 3. Tìm tọa độ điểm M: (P) : y x (d ) : y x 2 Để AMB có diện tích lớn nhất thì điểm M là tiếp điểm của tiếp tuyến (d’) song song với (d) và tiếp xúc (P) tại M. Phương trình đường thẳng có dạng: d ' : y ax b Ta có: d ' / / d a 1 (d ') : y x b Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d’) là: x2 x b x2 x b 0 (1) (d’) tiếp xúc (P) (1) có nghiệm kép
  28. 1 12 4.1. b 1 4b 0 1 4b 0 b 4 1 Phương trình đường thẳng (d ') : y x 4 2 1 1 1 1 1 Hoành độ tiếp điểm là: x1 x2 Với x y 2.1 2 2 2 4 1 1 Vậy: M ; thì tam giác AMB có diện tích lớn nhất. 2 4 *) Bài tập tự luyện: 1 Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (P) là đồ thị của hàm số y x2 2 3 a) Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d1): y 2x 2 7 b) Cho đường thẳng (d2): y m 1 x 2m . Tìm m để (d2) tiếp xúc với (P). 2 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d) : y x 2 . a) Hãy vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy . b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) . c) Viết phương trình đường thẳng (d1) : y ax b . Biết rằng (d1) song song với (d và) cắt (P) tại điểm A có hoành độ là 2 . Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y = x + 2. a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d). c) Tính độ dài đoạn thẳng AB. Bài 4: Cho các hàm số y = x2 có đồ thị là (P) và y = 2x + 3 có đồ thị là (d). a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc (đơn vị trên các trục bằng nhau). b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d). c) Tìm các điểm I thuộc (P) và I cách đều các trục tọa độ Ox, Oy (I khác gốc tọa độ O) . Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để (d ): y= bx+c và (P): y= ax2 cắt nhau; tiếp xúc nhau; không giao nhau. *) Phương pháp giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 - bx - c = 0 (1) +) (d) và (P) cắt nhau phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 0 +) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (1) có nghiệm kép 0 +) (d) và (P) không giao nhau phương trình (1) vô nghiệm 0 *) Ví dụ minh họa
  29. x 2 Ví dụ 1: Cho Parabol (P) y= và đường thẳng (d): y=mx- m -1(m là tham số ) 2 2 a.Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b.Với giá trị nào của m thì (d) là tiếp tuyến của (P) viết phương trình tiếp tuyến và tìm toạ độ tiếp điểm. c. Viết các phương trình đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến của (P) tại các tiếp điểm. Nêu sự tương giao của hai đường thẳng đó với (P) Hướng dẫn: a. Hoành độ các giao điểm (d) và (P) là nghiệm của phương trình: x 2 m = mx - - 1 x2- 2mx + m + 2 = 0 (1) 2 2 Xét ’=(- m)2- (m + 2)= m2- m - 2 Do đó (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ’>0 m2 – m –2 > 0 (m+1)(m-2) > 0 m > 2 hoặc m 2 hoặc m< - 1 thì (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt m x 2 b. (d): y= mx - -1 là tiếp tuyến (P) : y= khi phương trình: 2 2 x2- 2mx + m+2= 0 (1) có một nghiệm kép . ’= 0 m2 – m – 2 = 0 (m+1)(m-2) = 0 m =2 hoặc m =-1 Vậy với m =-1 hoặc m=2 thì (d) là tiếp tuyến của (P) . 1 + Với m=-1 ta có phương trình tiếp tuyến (d ): y= - x - 1 2 Phương trình (1) có nghiệm kép là x1 x2 m 1 1 1 Khi x= -1 ta có y= nên toạ độ tiếp điểm là (-1; ) 2 2 + Với m = 2 phương trình tiếp tuyến (d2): y = 2x – 2 Phương trình (1) có nghiệm kép là x1 x2 m 2 Với x=2 ta có y=2 nên toạ độ tiếp điểm thứ là (2;2) c. Gọi (q1) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d1) của (P). Phương trình đường thẳng (q1) có dạng y =ax +b 1 Do (q ) vuông góc với (d ) y=- x- nên a(-1)=-1 a=1 1 1 2
  30. 1 1 3 Do (q ) đi qua tiếp điểm (-1; ) nên ta có : =1(-1) +b b = 1 2 2 2 3 Vậy phương trình (q ) có dạng: y = x + 1 2 Hoành độ giao điểm của (q1) với (P) là nghiệm của phương trình x 2 = x + 3 x 2- 2x – 3 = 0 2 2 Do các hệ số 1;-3 trái dấu nên phương trình x 2 –2x –3 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt vì vậy đường thẳng (q1) cắt (P) tại hai điểm phân biệt - Gọi (q 2) là đường thẳng vuông góc với tiếp tuyến (d 2) . Phương trình đường thẳng (q 2) có dạng: y= ax + b 1 Vì (q ) vuông góc với (d ) nên a. 2 =-1 a=- 2 2 2 1 Vì (q2) đi qua tiếp điểm (2;2) nên: 2 =- .2 + b b = 3 2 1 Vậy phương trình (q2) có dạng: y = - x + 3. 2 x 2 1 Hoành độ giao điểm của (q2) với (P) là nghiệm của phương trình = - x + 3 2 2 x2 +x –6 =0 2 Có hệ số 1 ;-6 trái dấu nên phương trình x + x- 6 =0 luôn có hai nghiệm phân biệt do đó đường thẳng (q2) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt Ví dụ 2: Cho parabol (P) : y x2 và đường thẳng (d ) : y 4x m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để (d) và (P) có đúng một điểm chung. x2 4x m x2 4x m 0 (*) 16 4m (d) và (P) có đúng một điểm chung 0 m 4 . Vậy khi m = -4 thì (d) và (P) có đúng một điểm chung. Ví dụ 3: Cho parapol (P)y=2x2 và đường thẳng (d): y = x – m +1 ( m là tham số) a. Tìm tất cả các giá trị của m để (d) và (P) có đúng một điểm chung. b. Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ. Hướng dẫn: a.Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2x2 – x + m – 1 = 0 (*) Ta có (P) và (d) có đúng một điểm chung (P) và (d) tiếp xúc nhau phương trình (*) có nghiệm kép 9 9 8m 0 m 8
  31. Vậy m = 9 thì (P) và (d) có đúng một điểm chung. 8 1 b. Goi các điểm M(xM;yM) (P) thỏa mãn xM = 2yM hay y x M 2 M xM 0 2 1 2 Từ y = 2x xM 2xM xM 4xM 1 0 1 2 x M 4 Với xM = 0 yM = 0 = > M1( 0;0) ; 1 1 1 1 Với xM = yM = => M2(;) 4 8 4 8 *) Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho parabol (P): y=3 x2 và đường thẳng (d): y= x + m (với m là tham số) 4 1) Vẽ parabol (P) 2) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. x2 Bài 2: 1) Vẽ đồ thị (P) hàm số y 4 2) Xác định a, b để đường thẳng y ax b đi qua gốc tọa độ và cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng –3. Bài 3: Cho parabol(P): y = x2 Xác định hệ số n để đường thẳng y=2x+n tiếp xúc (P). Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = 2x 2 và đường thẳng (d): y = mx - 2. a). Vẽ đồ thị (P). b) Xác định giá trị của m sao cho (d) và (P) có một điểm chung duy nhất. Tìm tọa độ điểm chung này. Bài 5. Cho Parabol (P) y=x2 và đường thẳng (d) : y= x+ m (m là tham số) a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt b.Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với(d) và tiếp xúc với (P) Bài 6. Cho đường thẳng (d):y=mx–2m–1 (m là tham số) và Parabol(P) :y=-1 x2 4 a.Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt b.Tìm m để (d) là tiếp tuyến của (P) . Tìm toạ độ tiếp điểm c.Viết phương trình tiếp tuyến của (P) tại A(2;-1) Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (P): y= ax2 *) Phương pháp giải : Bước 1: Nêu dạng tổng quát của phương trình đường thẳng : y = bx + c (d) Bước 2: Dựa vào các giả thiết của đề bài xác định hệ số góc của đường thẳng, từ đó suy ra b = k Bước 3: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): ax2 = kx + c (1) Bước 4: (d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (*)
  32. Giải (*) tìm c Bước 5: Kết luận: Thay giá trị tìm được của c vào (d) ta được phương trình đường thẳng cần lập. *) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d):y =2x+1 và Parabol (P):y=x2 a. Tìm phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và tiếp xúc với (P) b. Tìm phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) Hướng dẫn a. Phương trình đường thẳng (d1) có dạng: y = ax + b Đường thẳng (d1) song song với đường thẳng (d): y= 2x + 1 a = 2 và b 1 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (P): x = 2x + b x –2x - b = 0 (1) Đường thẳng (d1) tiếp xúc với Parabol (P) khi phương trình (1) có nghiệm kép ’= 0 1+ b = 0 b = -1 Vậy phương trình đường thẳng(d1) có dạng y =2x- 1 b. Phương trình đường thẳng (d2) có dạng: y = ax + b Đường thẳng (d2) vuông góc với đường thẳng (d): y= 2x + 1 1 a.2= -1 a= 2 1 2 Đường thẳng (d2):y= x + b tiếp xúc với(P):y=x khi phương trình: 2 1 x2= x + b 2x2 + x – 2b = 0 (2) có một nghiệm kép 2 1 = 1+ 16b= 0 b = 16 1 1 Vậy phương trình đường thẳng (d2) cần tìm có dạng:y= x 2 16 Ví dụ 2: Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) y=2x+1 và tiếp xúc với parabol y = -x2 Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b (d1) (d1) song song (d) a = 2. 2 (d1) tiếp xúc với parabol y = -x nên phương trình : -x2 = 2x + b = 0 x2 + 2x +b = 0 có nghiệm kép ’ = 1 – b = 0 1 – b = 0 b = 1 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là (d1): y = 2x + 1 *) Bài tập tự luyện: . 3 Bài 1: Cho đường thẳng (d): 3x + 2y =- 12 và Parabol (P): y= x2 4
  33. a. Chứng tỏ rằng (d) và (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm toạ độ giao điểm. b. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và là tiếp tuyến của (P) c.Viết phương trình đường thẳng (d2) là tiếp tuyến của (P) và vuông góc với (d) 1 Bài 2 : Cho hàm số y x2 2 a) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN. b) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và tiếp xúc với (P). Bài 3. Cho đường thẳng (d): y=1 x +1 và Parabol (P) y =1 x2 2 2 a. Chứng tỏ rằng (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt .Tìm toạ độ các giao điểm b. Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và tiếp xúc với (P) tìm toạ độ tiếp điểm c. Viết phương trình đường thẳng (d2) vuông góc với (d1) và tiếp xúc với(P) Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng (d): y = bx+c cắt parabol (P): y = ax 2 tại hai điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. *) Phương pháp giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là : ax2 - bx - c = 0 (1) • Nếu hệ thức điều kiện cho trước đối xứng: - Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là >=0 - Theo hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2 và P = x1 x2 - Biến đổi biểu thức điều kiện đã cho để sử dụng bước 2. Từ đó giải ra m. - So sánh m với điều kiện và kết luận. • Nếu hệ thức điều kiện cho trước không đối xứng: - Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x2 là >=0 - Theo hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2 và P = x1 x2 - Kết hợp biểu thức điều kiện và S = x1 + x2 Từ đó giải ra x1; x2 theo m - Thay x1; x2 vào P = x1 x2 để tìm ra m. - So sánh m với điều kiện và kết luận. *) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + m2 + 2m (m là tham số, m R). a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; 3). b) Chứng minh rằng parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 2 2 là hoành độ hai điểm A, B, Tìm m sao cho: x1 +x2 +6x1x2>2016 Hướng dẫn: a) Đường thẳng (d): y = 2(m - 1)x + m2 + 2m đi qua điểm I(1; 3) 3 = 2(m - 1).1 + m2 + 2m m2 +4m -5 = 0 Ta có : a + b + c = 1 + 4 – 5 = 0 nên phương trình trên có hai nghiệm : m1 1; m2 5
  34. Vậy m = 1 hoặc m = -5 thì đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; 3). b) Phương trình hoành dộ giao điểm của parapol (P) và đường thẳng (d) là : x2 = 2(m - 1)x + m2 + 2m x2 2(m 1)x m2 2m = 0 (*) Phương trình (*) có : ' m 1 2 1( m2 2m) 2m2 1 > 0 với mọi m . Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Do đó parapol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi x1, x2 là hoành độ hai điểm A, B thì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) Theo hệ thức x1 x2 2m 2 Vi –ét ta có : 2 x1.x2 m 2m 2 2 Theo giả thiết , ta có : x1 +x2 + 6x1x2 > 2016 2 (x1 x 2 ) 4x1x 2 2016 (2m 2)2 4(-m2 2m) 2016 4m2 8m 4 4m2 8m 2016 16m 2012 503 m 4 503 Vậy m là giá trị cần tìm. 4 1 1 Ví dụ 2: Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (d): y mx m2 m 1 2 2 a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B của ( d) và ( P) b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho: x1 x2 2 Hướng dẫn: 3 a) Khi m = 1 ta có (d): y x 2 1 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 x x2 2x 3 0 2 2 Ta có a-b+c=1+2-3=0 phương trình có hai nghiệm: x1 = - 1 và x2 = 3 Xác định được tọa giao điểm là : ( -1 ; ½ ) và ( 3 ; 9/2 ) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 1 1 x2 mx m2 m 1 x2 2mx m2 2m 2 0 (*) 2 2 Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt x1 , x2 thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó ' m2 m2 2m 2 0 m 1 2 Khi: m > -1, từ (*) ta có: x1 x2 2m; x1.x2 m 2m 2 (định lý Vi-et) 2 2 Nên: x1 x2 2 x1 x2 2x1x 2 4
  35. 2 (x1 x2 ) 4x1x 2 4 4m2 4(m2 2m 2) 4 1 8m 4 m 2 Ví dụ 3: Cho Parabol (P):y x2 và đường thẳng (d):y (m 1)x m 4 (tham số m) 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d). 2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Hướng dẫn: 1) Với m = 2, ta có phương trình đường thẳng (d) là: y = x + 6 Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình 2 2 x 2 x x 6 x x 6 0 x 3 * x 2 y 4 * x 3 y 9 Vậy m = 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A 2;4 và B 3;9 2) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình x2 m 1 x m 4 x2 m 1 x m 4 0 (*) (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu 1. m 4 4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d): y = mx + 1 luôn cắt parabol 2 (P): y = x tại hai điểm phân biệt. Khi đó tìm m để y1 y2 y1.y2 7 , với y1, y2 là tung độ của các giao điểm. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao diểm của (P) và (d) là:mx 1 x2 x2 mx 1 0 (1) ( m)2 4.( 1) m2 4 0m Phương trình (1) luôn có 2 ghiệm phân biệt với mọi giá trị của m => Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Ta có x1 x2 m; x1x2 1 2 2 2 2 2 2 y1 y2 y 1 y2 x1 x2 x1 .x2 x1 x2 2x1x2 x1x2 7 2 2 2 m 2.( 1) ( 1) 7 m 4 m1 2,m2 2 Vậy m= 2 là giá trị cần tìm *) Bài tập tự luyện:
  36. Bài 1: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có pt: y = 2(m+1)x - 3m + 2 a) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) với m = 3. b) C/m rằng (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A; B với mọi m. 2 2 c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ của A;B . Tìm m để x1 + x2 = 20. 1 Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y = x2 2 Gọi A(x1, y1) và B(x2;y2) là hoành độ giao điểm của (P) và (d): y = x – 4. Chứng minh: y1 y2 5(x1 x2 ) 0 Bài 3: Gọi đồ thị hàm số y x2 là parabol (P), đồ thị hàm số y m 4 x 2m 5 là đường thẳng (d). a. Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt. b. Khi (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là x1 ; x .2 Tìm 3 3 các giá trị của m sao cho x1 x2 0 . 1 1 Bài 4:Cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D): y x m2 (m là tham số). 4 2 a. Cho m 2 . Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao điểm của chúng. b. Tìm m để (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2 ; y2 ) sao cho 3 y y x2 x2 9 1 2 1 2 2 Bài 5:Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y= (2m-3)x-m(m-3) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 2x1- x2=4 Bài 6: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m + 3 (với m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x3x x x3 6 1 2 1 2 Bài 7: Cho parabol(P):y = x 2 (1) và đường thẳng (d): y = 5x m 1 (m là tham số).Tìm m để (d) 2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: (x1 x2 - 1) = 20(x1 + x2 ) Bài 8: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x - 1 + m Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 1 1 5 x1x2 4 0. x1 x2 Dạng 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x 0; y0) và tiếp xúc với (P): y= ax2 *) Phương pháp giải: + Nêu dạng phương trình đường thẳng cần lập: y = bx + c (d)
  37. + (d) đi qua M (x0; y0) nên y0 = b.x0 + c (1) + (d) tiếp xúc với y = ax2 nên phương trình : ax2 = bx + c có nghiệm kép = 0 (2) Giải hệ hai phương trình (1) và (2) tìm b, c phương trình đường thẳng cần lập *) Ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập phương trình đường thẳng đi qua M(-1; 2) và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x2. Hướng dẫn: Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax + b. (d) (d) đi qua M (-1; 2) nên ta có: 2 = -a + b (1) (d) tiếp xúc với (P): y = 2x2 nên phương trình : 2x2 = ax + b có nghiệm kép 2x2 – ax – b = 0 có nghiệm kép = a2 + 8b =0 a2 + 8b = 0 (2) a b 2 1 Từ (1) và (2) ta có hệ: 2 a 8b 0 2 Từ (1) b = 2 + a (*) thay vào (2) ta được : a2 + 8a + 16 = 0 (a + 4)2 = 0 a = - 4 Thay a = -4 vào (*) ta được b = -2 Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = -4x – 2 2 Ví dụ 2: Cho Parabol (P):y= -2x . Trên (P) lấy hai điểm A; B có hoành độ xA=-1 và xB=2 . a. Viết phương trình đường thẳng AB . b. Viết phương trình các tiếp tuyến của (P) tại A và B Hướng dẫn: 2 a. Điểm A thuộc (P): y =- 2x và có hoành độ xA=- 1 nên yA=- 2 do đó A(-1;-2) 2 Điểm B thuộc (P): y=- 2x và có hoành độ xB= 2 nên yA=- 8 do đó B(2;-8) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b . a b 2 a 2 Đường thẳng đi qua A và B nên ta có hệ phương trình: 2a b 8 b 4 Vậy phương trình đường thẳng AB có dạng y= - 2x- 4 b. Phương trình tiếp tuyến (d1) của (P) tại A(-1;-2) có dạng y = ax + b 2 2 Do (d1) tiếp xúc với (P): y= -2x tại điểm A nên phương trình :- 2x = ax + b 2 2x +ax+ b = 0 có một nghiệm kép là xA= -1 . a a Phương trình có nghiệm kép là: x1= x2= - . Do đó - =-1 a = 4. 4 4 Khi xA= -1 thì yA= -2 nên ta có – 2 = 4(-1) + b b = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến (d1) của (P) tại A(-1;-2) là: y = 4x + 2 +) Phương trình tiếp tuyến (d2) của (P) tại B(2;-8) có dạng y = ax +b 2 Vì (d2 ) tiếp xúc với (P) y= -2x nên phương trình:
  38. 2 a 2x +ax +b = 0 có một nghiệm kép xB = 2 do đó ta có - =2 a = - 8 4 Khi xB=2 thì yB=- 8 nên :- 8=(- 8).2+ b b = 8 Vậy tiếp tuyến (d2) của (P) tại B(2;-8) là: y= - 8x + 8 *) Bài tập tự luyện: Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y = 1 x2 2 a) Vẽ đồ thị Parabol (P). b)Tìm a và b để đường thẳng (d): y=ax+b đi qua điểm 0; 1 và tiếp xúc với (P). x 2 Bài 2 .Cho (P) y = và đường thẳng y =mx+n. 4 Xác định các hệ số m, n để đường thẳng đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với parabol.
  39. TIẾT 15-22 CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. Lý thuyết. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình (hoặc hệ phương trình) Bước 1: Lập phương trình : - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết - Lập phương trình (hoặc hệ phương trình) biểu thị sự tương quan gữa các đại lượng Bước 2: Giải phương trình (hoặc hệ phương trình) Bước 3: Trả lời : Chọn kết quả thích hợp và trả lời II. Bài tập. A. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Toán về quan hệ số ➢ Công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư); (Số dư < số chia) ➢ Cách viết số dưới dạng một tổng (cấu tạo số) ✓ Số có hai, chữ số được ký hiệu là ab Giá trị của số: ab 10a b (1 a 9,0 b 9;a,b ¥ ) ✓ Số có ba, chữ số được ký hiệu là abc Giá trị của số: abc 100a 10b c (1 a 9,0 b 9,0 c 9;a,b,c ¥ ) Bài 1: Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được sốmới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho. ĐS: 68 Bài 2: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữsố hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị. ĐS: 38 2 1 Bài 3: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng số thứ nhất thì bằng số thứ hai. 5 6 ĐS: 15 và 36 Bài 4: Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và dư là 124. ĐS: 712 và 294
  40. Toán chuyển động ➢ Toán chuyển động có ba đại lượng: ✓ s v.t Quãng đường Vận tốc Thời gian , S: quãng đường s ✓ v Vận tốc Quãng đường : Thời gian, v: vận tốc t s ✓ t Thời gian Quãng đường : Vận tốc, t: thời gian v ➢ Các đơn vị của ba đại lượng phải phù hợp với nhau. Nếu quãng đường tính bằng ki-lô- mét, vận tốc tính bằng ki-lô-mét/giờ thì thời gian phải tính bằng giờ. ➢ Chú ý: ✓ Hai xe đi ngược chiều cùng lúc từ hai địa điểm A và B. D A • B => Khi gặp nhau tại D thì: txe 1 đi AD = txe 2 đi BD và AD + BD = AB ✓ Hai xe xuất phát cùng lúc từ A đến B Nếu hai vật đến B cùng lúc thì thời gian hai vật đi từ A đến B là như nhau. Nếu vật 1 đến B sớm hơn vật 2 một khoảng thời gian t thì: tvật 2 từ A đến B – tvật 1 từ A đến B = t ✓ Hai xe xuất phát khác thời điểm từ A Xe 1 xuất phát trước xe 2 một khoảng thời gian t và xe 2 đuổi theo xe 1 (v2> v1). Khi xe 2 đuổi kịp xe 1 (hai xe gặp nhau) thì: Sxe 2 đi từ A → gặp nhau = Sxe 1 đi từ A → gặp nhau txe 1 từ thời điểm xuất phát tới thời điểm gặp nhau - t = txe 2 từ thời điểm xuất phát tới thời điểm gặp nhau. ✓ Chuyển động với ngoại lực tác động (thường áp dụng với chuyển động cùng dòng nước với các vật như ca nô, tàu xuồng, thuyền): Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng. Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước Vận tốc của dòng nước là vận tốc của một vật trôi tự nhiên theo dòng nước (Vận tốc riêng của vật đó bằng 0) Bài 5: Một ôtô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 20km/h thì thời gian sẽ giảm đi 1h, nếu vận tốc giảm bớt 10km/h thì thời gian đi tăng thêm 1h. Tính vận tốc và thời gian đi của ôtô đó. (ĐS: 40km/h và 3h) Bài 6: Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A? ĐS: 350km và 4 giờ sáng
  41. Bài 7: Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A.Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vân tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10 km/h và khoảngcách AB 195 km. Tính vận tốc mỗi xe. ĐS: 60 km/h, 50 km/h. Bài 8: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6km khởi hành cùng một lúc và đi ngược chiều và gặp nhau ở điểm cách A 2km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trên, nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính vận tốc mỗi xe. ĐS: 4,5km/h, 3,6km/h Bài 9: Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gianchạy ngược dòng 54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàukhông đổi). ĐS: 30 km/h, 3 km/h Bài 10:Một ca nô xuôi dòng một quãng sông dài 12km rồi ngược dòng quãng sôngđó mất 2 giờ 30phút. Nếu cũng quãng đường sông ấy, ca nô xuôi dòng 4km rồi ngượcdòng 8km thì hết 1giờ 20 phút. Biết rằng vận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng củadòng nước là không đổi, tính cận tốc riêng của ca nô và vận tốc riêng của dòng nước. ĐS: 10km/h và 2 km/h Toán về năng suất – khối lượng công việc - % ➢ Tổng sản phầm và số sản phẩm dự định và thực tế làm trong một ngày Tổng sản phẩm dự định làm = Số sản phẩm dư định X Thời gian hoàn làm trong 1 ngày (giờ) thành Tổng sản phẩm thực tế làm = Số sản phẩm thực tế X làm trong 1 ngày (giờ) Thời gian hoàn ➢ Tổng sản phầm và vượt mức % thành ✓ Nếu tháng II vượt mức a% so với tháng I thì: Số sản phẩm của tháng II = Số sản phẩm tháng I + a% (Số sản phẩm tháng I) Bài 11:Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm. Nhờ tăng năngsuất lao động tổ 1 làm vượt mức10% và tổ hai làm vượt mức 20% so với kế hoạch củamỗi tổ, nên cả hai tổ làm được 685sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kếhoạch. ĐS: 350 sản phẩm và 250 sản phẩm Bài 12:Trong tháng thanh niên Đoàn trường phát động và giao chỉ tiêu mỗi chiđoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ. Để nâng cao tinh thần thi đua bí thưchi đoàn 10A chia các đoàn viên trong lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn. Cả hai tổ đều rất tích cực. Tổ 1 thu gom vượt chỉ tiêu 30%, tổ hai gom vượt chỉ tiêu 20%nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu được là 12,5 kg. Hỏi mỗi tổ được bí thư chi đoàn giaochỉ tiêu thu gom bao nhiêu kg giấy vụn?
  42. ĐS:5 kg và 5 kg Bài 13:Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹthuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sảnxuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiếtmáy? ĐS: 400 chi tiết máy và 500 chitiết máy. Toán về làm chung – làm riêng và vòi nước chảy ➢ Khi công việc không được đo bằng số lượng cụ thể, ta xem toàn bộ công việc là 1. ✓ Nếu đội nào làm xong công việc trong x (ngày) thì trong 1 ngày đội đó làm được 1 (công việc) x 1 ✓ Nếu vòi nào chảy riêng một mình đầy bể trong x (giờ) thì trong 1 giờ vòi đó chảy được x (bể) Bài 14:Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi 2 thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được bểnước. Hỏi nếu mỗi 3 vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể. ĐS: 7,5 giờ và 15 giờ. Bài 15:Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngườithứ nhất làm 1 trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được công việc.Hỏi mỗi công 4 nhân làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc. ĐS: 24 giờ và 48 giờ Bài 16:Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảoLý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ. Nếu cả haicùng làm chung thì 20 thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là giờ.Hỏi nếu làm riêng một 7 mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lêntàu trong thời gian bao lâu? ĐS: 4 giờ và10 giờ Toán có nội dung hình học ➢ Diện tích hình chữ nhật: Shcn = a.b (a: chiều dài ; b: chiều rộng) 2 ➢ Diện tích hình vuông cạnh a là: Shv = a 1 ➢ Diện tích tam giác (có đường cao h ứng với cạnh đáy a) là: S∆ = a.h 2 2 ➢ Diện tích hình tròn bán kính R là: Shình tròn = 훑.R ➢ Chu vi hình chữ nhật là: Chcn = 2(a + b)
  43. ➢ Chu vi hình vuông cạnh a là: Chv = 4a ➢ Chu vi tam giác ABC là: CABC = AB + BC + AC ➢ Chu vi hình tròn bán kính R là: Chình tròn = 2πR ➢ Độ dài cạnh huyền: c2 a2 b2 (clà độ dài cạnh huyền a,b là độ dài các cạnh g.vuông) 2 ➢ Thể tích hình trụ (đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao là h): V trụ = Sđáy.h = 훑.R .h Bài 17:Một hình chữ nhật ban đầu có cho vi bằng 2010 cm. Biết rằng nều tăngchiều dài của hình chữ nhật thêm 20 cm và tăng chiều rộng thêm 10 cm thì diện tíchhình chữ nhật ban đầu tăng lên 13 300 cm2. Tính chiều dài, chiều rộng của hình chữnhật ban đầu. (ĐS: 700 cm, 305 cm) Bài 18:Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. Nếugiảm chiều dài 2 lần tăng chiều rộng lên 3 lần thì chu vi không đổi. Tính diện tíchmảnh đất. (ĐS: 900) Dạng toán khác Bài 19:Anh Bình đến siêu thị để mua một cái bàn ủi và một cái quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết là 850 ngàn đồng. Tuy nhiên, thực tế khi trả tiền, nhờsiêu thị khuyến mãi để tri ân khách hàng nên giá của bàn ủi và quạt điện đã lần lượtgiảm bớt 10% và 20% so với giá niêm yết. Do đó, anh Bình đã trả ít hơn 125 ngàn đồngkhi mua hai sản phẩm trên. Hỏi số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bánthực tế của từng loại sản phẩm mà anh Bình đã mua là bao nhiêu? ĐS: 45 và 80 (ngàn đồng) Bài 20:Số tiền mua 1 quả dừa và một quả thanh long là 25 nghìn đồng. Số tiền mua 5 quả dừa và 4 quả thanh long là 120 nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quả dừa và giámỗi quả thanh long là bao nhiêu ? Biết rằng mỗi quả dừa có giá như nhau và mỗi quả thanh long có giá như nhau. ĐS: Giá 1 quả dừa 20 nghìn, giá 1 quả thanh long 5 nghìn. Bài 21:Có hai can đựng dầu, can thứ nhất đang chứa 38 lít và can thứ hai đangchứa 22 lít. Nếu rót từ can thứ nhất sang cho đầy can thứ hai thì lượng dầu trong canthứ nhất chỉ còn lại một nửa thể tích của nó. Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy canthứ nhất thì lượng dầu trong can thứ hai chỉ còn lại một phần ba thể tích của nó. Tínhthể tích của mỗi can. ĐS: thể tích của can thứ nhất và can thứ hai lần lượt là 48 lít và 36 lít Bài 22: Đội tuyển học sinh giỏi toán của 1 trường THCS được trường tặng cho một số vở. Số vở này được chia đều cho các em học sinh theo cách như sau: Bạn thứ nhất được 1 quyển vở và 1 số vở còn lại. 11 Bạn thứ hai được 2 quyển vở và 1 số vở còn lại. 11 Bạn thứ ba được 3 quyển vở và 1 số vở còn lại. 11 Cứ tiếp tục như vậy cho đến bạn thứ n nhận được n cuốn vở và 1 số vở còn lại. 11
  44. Hỏi đội tuyển có bao nhiêu học sinh và số vở được thưởng là bao nhiêu. HD giải: Gọi số học sinh trong đội tuyển là x (HS) Gọi số vở mà đội được thưởng là y (quyển) (ĐK: x, y ¥ ) 1 Số vở mà học sinh thứ nhất được thưởng: 1+ (y-1) ( quyển) 11 1 1 Số vở mà học sinh thứ hai được thưởng: 2+ {y-[1+2+ (y-1)] ( quyển) 11 11 Vậy số học sinh trong đội tuyển là 10 HS Số vở đội được thưởng là 100 quyển. Bài 23: An đếm số bài kiểm tra một tiết đạt điểm 9 và điểm 10của mình thấy nhiều hơn16 bài. Tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đạt điểm 9 và điểm 10 đó là 160. Hỏi An được bao nhiêu bài điểm 9 và bao nhiêu bài điểm 10? HD giải: Gọi số bài điểm 9 và điểm 10của An đạt được lần lượt là x,y (bài)(x,y Î ¥ ) x + y > 16 . Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là 160 nên 9x + 10y = 160. 160 160 = 9x + 10y ³ 9(x + y) Þ x + y £ Ta có 9 . 160 Do x + y Î ¥ và 16 < x + y £ nên x + y = 17. 9 ì ì ì ï x + y = 17 ï x = 17- y ï x = 10 í Û íï Û í ï 9x + 10y = 160 ï 9(17 - y)+ 10y = 160 ï y = 7 Ta có hệ îï îï îï (thỏa mãn). Vậy An được 10 bài điểm 9 và 7 bài điểm 10
  45. B. Giải bài toán bằng cách lập phương trình DẠNG 1: TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Bài 24:Một ô tô đi quãng đường AB dài 150km trong một thời gian đã định. Sau khi xe đi được nửa quãng đường, ô tô dừng lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn xe phải tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc dự định của ô tô và thời gian xe lăn bánh trên đường. (Đ/s: vận tốc dự định của ô tô là 45km/h và thời gian xe lăn bánh trên đường là 3 giờ 10 phút) Bài 25: Một người dự định đi xe đạp từ địa điểm A tới địa điểm B cách nhau 36km trong một thời gian nhất định. Sau khi đi được nửa quãng đường, người đó dừng lại nghỉ 18 phút. Do đó để đến B đúng hạn, người đó đã tăng thêm vận tốc 2km trên quãng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu và thời gian xe lăn bánh trên đường. 18 18 (Vận tốc ban đầu là 10 km / h . Thời gian xe lăn bánh trên đường là 3.3 h 10 12 Bài 26:Lúc 7h, một người đi xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc 40km/h. Lúc 8h30 phút cùng ngày, một người khác cũng đi xe máy từ B để đến A với vận tốc 60km/h; Hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường . Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ? Và quãng đường AB dài bao nhiêu km? (Đ/s : Hai người gặp nhau lúc11 giờ 30 phút và quãng đường AB dài 360 km) Bài 27:Một người đi xe đạp khởi hành từ địa điểm A đến điểm B cách nhau 60km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng khởi hành từ A đi đến B. Người đi xe máy đến B trước người đi xe đạp 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 25 km/h. (Đ/S : Vận tốc người đi xe đạp là 15 km/h, vận tốc người đi xe máy là 40 km/h.) Bài 28:Một tàu thủy chạy xuôi dòng một khúc sông dài 72km, sau đó chạy ngược dòng khúc sông ấy 54km hết tất cả 6 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy biết vận tốc dòng nước là 3km/h.(Đ/S: vận tốc riêng của tàu thủy là 21 km/h.) Bài 29: Một ca nô đi xuôi dòng nước từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ đi từ bến A dọc theo bờ sông về hướng B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay trở lại và gặp người đi bộ tại địa điểm C cách bến A 18km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và vận tốc dòng nước đều bằng 4km/h.(Đ/S: vận tốc riêng của cano là 20/3 km/h.) DẠNG 2: TOÁN NĂNG SUẤT – CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG - VÒI NƯỚC CHẢY Bài 30:Một tổ sản xuất phải may xong 800 áo trong một thời gian quy định. Nhưng sau khi đã làm được 600 áo, tổ đó đã tăng năng suất lao động thêm 10 áo trong một ngày nên đã hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Hỏi theo quy định, mỗi ngày tổ đó phải may bao nhiêu áo.(Đ/S: Theo quy định trong một ngày tổ sản xuất may 40 áo) Bài 31:Một nhóm học sinh của trường THCS Trần Phú tham gia quét dọn đường phố. Theo kế hoạch đội phải quét 75km đường trong một số tuần lễ. Vì các em học sinh tham gia rất nhiệt
  46. tình và năng nổ nên mỗi tuần đều quét dọn vượt mức 5km so với kế hoạch, kết quả là đã quét dọn được 80km đường và hoàn thành công việc sớm hơn 1 tuần. Hỏi theo kế hoạch, đội tình nguyện của trường THCS Trần Phú phải quét dọn bao nhiêu km đường mỗi tuần?( Đ/s : 15 km) Bài 32: Hưởng ứng phong trào trồng cây xanh vì môi trường xanh, sạch, đẹp; một chi đoàn thanh niên dự định trồng 900 cây xanh trong một thời gian quy định. Do mỗi ngày chi đoàn trồng được nhiều hơn dự định là 50 cây nên công việc được hoàn thành sớm hơn quy định 3 ngày. Tính số cây mà chi đoàn dự định trồng trong một ngày. (Đ/s: số cây mà chi đoàn dự định trồng trong một ngày là 100 cây) Bài 33: Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch.Vì thế 5 ngày trước khi hết hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu áo? (Đ/S:Mỗi ngày xưởng phải may theo kế hoạch là 100 áo) Bài 34:Một đoàn xe vận tải nhận chở 15 tấn hàng gửi tới đồng bào miền Trung bị bão lụt. Khi sắp khởi hành thì có 1 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển? (Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở là như nhau) (Đ/S: Thực tế có 5 xe tham gia vận chuyển) Bài 35:Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 8 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc đó, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn so với đội thứ hai là 12 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu? (Đ/s: thời gian làm một mình xong việc của đội thứ nhất là 12 giờ; đội thứ hai là 24 giờ) Bài 36:Bạn An dự định thực hiện công việc quét sơn cho 40m2 tường trong một thời gian nhất định. Tuy nhiên, khi thực hiện mỗi giờ bạn An quét được ít hơn dự định là 2m2 , do đó bạn đã hoàn thành công việc chậm hơn so với kế hoạch là một giờ. Hỏi nếu đúng kế hoạch thì bạn An hoàn thành công việc trong bao lâu? (Đ/s: 4 giờ) Bài 37:Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 48 phút thì xong. Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc nhiều hơn thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc là 4 giờ. Hỏi mỗi người làm một mình trong bao lâu hoàn thành công việc?(Đáp án: thời gian làm một mình xong việc của đội thứ nhất là 8 giờ; đội thứ hai là 12 giờ) Bài 38:Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu đề chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?( Đ/s: Vòi thứ nhất : 2 giờ; Vòi thứ hai: 4 giờ ) DẠNG 3: TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC Bài 39:Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m và độ dài đường chéo bằng 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét ( Đ/S chiều dài:8m; rộng: 6 m) 3 Bài 40:Một tam giác có chiều cao bằng cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng 3dm và cạnh đáy giảm 4 2dm thì diện tích tam giác tăng 12dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. (Đ/S chiều cao: 15dmvà cạnh đáy: 20dm )
  47. Bài 41:Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 13 cm .Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7 cm.Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. (Đ/S12m; 5m) DẠNG 4: TOÁN VỀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SÔ Bài 42:Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4; Biết tổng các bình phương hai chữ số của số đó bằng 80.( số cần tìm là 48) Bài 43:Lớp 9A được phân công trồng 480 cây xanh. Lớp dự định chia đều cho số học sinh, nhưng khi lao động có 8 bạn vắng mặt nên mỗi bạn phải trồng thêm 3 cây mới xong. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu bạn học sinh ( Đ/S: Lớp 9A có 40 bạn học sinh) Bài 44:Một phòng họp dự định có 120 người dự họp, nhưng khi họp có 160 người tham dự nên phải kê thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy phải kê thêm 1 ghế nữa thì vừa đủ. Tính số dãy ghế dự định lúc đầu. Biết rằng số dãy ghế lúc đầu trong phòng nhiều hơn 20 dãy ghế và số ghế trên mỗi dãy ghế là bằng nhau.(Đ/S : Số dãy ghế dự định lúc đầu là 30 dãy ghế.) TIẾT 23-26 CHUY£N §Ò 1: RóT GäN BIÓU THøC Vµ C¸C BµI TO¸N LI£N QUAN
  48. PHẦN 1: TÓM TẮT LÍ THUYẾT CẦN NHỚ 1) Căn bậc hai: - căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 =a - Với a 0 thì ( a)2 a - Với A thì A 0 2) Các công thức biến đổi: • A2 A • A.B A. B ( với A 0; B 0 ) A A • ( Với A 0; B>0 ) B B • A2 B | A | . B ( B 0 ) •A B A2 .B ( Với với A 0; B 0 ) •A B A2 .B ( Với với A < 0; B 0 ) m m( A B) • ( Với với A 0; B 0 , A ≠ B) A B A B m m( A B) • ( Với với A 0; B 0 , A ≠ B) A B A B PHẦN 2 : BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1: Rút gọn, tính giá trị của biểu thức P(x) tại x = m Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn biểu thức P Bước 2: Thay x = m (TMĐK) vào P và tính giá trị (Lưu ý: Nếu x = m là một biểu thức phức tạp thì phải biến đổi trước khi thay) x x 2 2 x Bài 1: Cho biểu thức M : với x 0 và x 1. x 1 x 1 x x x x a) Rút gọn biểu thức M b) Tính giá trị của M tại x 4 x x 1 1 Bài 2: Cho biểu thức P với x 0 và x 9. x 9 x 3 x 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P tại x 25 c) Tính giá trị của P tại x 6 4 2 6 4 2 1 7 x 1 Bài 3: Cho biểu thức Q : 1 với x 0 và x 4 . x 2 x 4 x 2 a) Rút gọn biểu thức Q
  49. b) Tính giá trị của Q tại x 9 2 2 c) Tính giá trị của Q tại x 2 3 2 3 DẠNG 2: Rút gọn biểu thức P, tìm x để P=m Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn P Bước 2: Giải phương trình P = m tìm ra x Bước 3: Đối chiếu x với điều kiện và kết luận. x 2 4x 2 x x 3 Bµi 1: Cho biÓu thøc: P = : 2 x x 4 x 2 2 x x a) Rót gän biÓu thøc P b)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 2 Bµi 2: Cho biÓu thøc : 2 x 1 2 x 6 x 5 A = 1 : 2 3 x 1 1 9x 3 x 1 a) Rót gän biÓu thøc A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A = x Bµi 3: Cho biÓu thøc 2x 3 x 2 x 3 x 2x 2 A = vµ B = x 2 x 2 a) Rót gän A vµ B b) T×m x ®Ó A=B 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bµi 4: Cho biÓu thøc A = x 2 x 3 1 x x 3 a) Rót gän A b) T×m x ®Ó |A|=1 x x 1 1 Bµi 5: Cho biÓu thøc A = với x 0; x ≠9 x 9 x 3 x 3 3 a) Rót gän biÓu thøc A b) Tính giá trị của A khi x =4 c) Tìm x để A = 4 Bµi 6: Cho biÓu thøc : x 1 1 8 x 3 x 2 A = : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 6 a)Rót gän biÓu thøc A b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó A = 5 DẠNG 3: Tìm x để P>m; P m; P 2
  50. 2 x 2 x 4x 2 x 3 Bµi 2:Cho biÓu thøc:B : 2 x 2 x x 4 2 x 2 x x a) Rót gän B b) T×m x ®Ó B > 0 c) T×m x ®Ó B = -1. x 3 x 9 x x 3 x 2 Bµi 3: ChobiÓu thøc: P = 1 : x 9 x x 6 2 x x 3 a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P 0 ; x ≠9 x 9 x 3 x 3 1 a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 27 10 2 18 8 2 c) So s¸nh A víi 3 1 a a 1 a a Bµi 7 : Cho biÓu thøc P = a a 1 a 1 a a) Rót gän biÓu thøc P b) T×m a ®Ó P m; P 0 thì kết luận P>m Nếu P-m 0 thì kết luận P m Nếu P-m 0 x x x 1 x 1 M 1 1. Rót gän biÓu thøc M. 2.TÝnh gi¸ trÞ cña N t¹i x= 9 3. Chøng minh N 2
  51. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bµi 3: Cho biÓu thøc C = x 2 x 3 1 x x 3 1 2 a/ Rót gän C b/ T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho C = c/ Chøng minh C ≤ 2 3 DẠNG 5: Rút gọn P - So sánh P với m Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn P Bước 2: Tính hiệu P-m Bước 3: Nếu P-m>0 thì kết luận P>m Nếu P-m 0 thì kết luận P m Nếu P-m 0 , x 4 x 2 x 2 x 2 4 x a, Rót gän P b, So s¸nh P víi 1 2 x x 1 x 2 Bµi 2: Cho biÓu thøc B = : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän biÓu thøc B b) TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x = 25 c) T×m x ®Ó B 6. x 1 x x x 1 1 x Bµi 3: Cho biểu thức G = : x 1 x 1 1 x x 1 x 1 2 3 1 a) Rút gọn G b) Tính giá trị G để x = c) So sánh G với d) Tìm x để G = 0 2 2 x 2 1 1 Bµi 4: Cho M = víi x>0 x 2 x x x 2 1. Rót gän M 2. So s¸nh M víi 1 2a a 1 2a a a a a a Bµi 5: Cho biÓu thøc: M = 1+ 1 a 1 a a 2 a 1 6 2 a) Rót gän M . b) T×m gi¸ trÞ cña a biÕt M = . c). So s¸nh gi¸ trÞ cña M víi . 1 6 3 DẠNG 6: Rót gän biÓu thøc, t×m gi¸ trÞ cña x nguyªn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn P Bước 2: m 2.1) Nếu P có dạng P = thì P Z f (x) Ư( m) f (x) + Cho f(x) bằng các giá trị ước của m để giải ra tìm x
  52. + Đối chiếu với ĐK và KL g(x) 2.2) Nếu P có dạng P= f (x) m + Viết P dưới dạng P = h(x) + f (x) + Lập luận đưa về dạng 2.1 2x 1 1 x 4 Bµi 1: Cho biÓu thøc P = : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bµi 2. Cho biÓu thøc P = x 5 x 6 x 2 3 x a) Rót gän P. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P < 1. c)T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3 . Cho biÓu thøc: 3x 9x 3 x 1 x 2 1 P = 1 x x 2 x 2 x 1 x a) Rót gän P. b)T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. c)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P = x 3a 9a 3 a 2 1 Bµi 4. Cho biÓu thøc P = 1 a a 2 a 1 a 2 b) a) Rót gän P. b) T×m a ®Ó P 1 c) T×m c¸c gi¸ trÞ a N ®Ó P N 1 1 x2 x x x x Bµi 5: Cho biÓu thøc. A = x ; x 0, x 1. x 1 x 1 x x 1 x 1 1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A lµ sè nguyªn. a 2 5 1 Bµi 6: Cho P = a 3 a a 6 2 a a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 1 c) T×m P biÕt | a -1 |= 5 d) T×m aЄ Z ®Ó P Є Z; 2 x 9 2 x 1 x 3 Bµi 7: Cho biÓu thøc. A = ; x 0, x 4, x 9 x 5 x 6 x 3 2 x b) 1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A lµ sè nguyªn. DẠNG 7: Tìm tất cả các giá trị x để P nhận giá trị nguyên Cách giải tổng quát: Bước 1: Tìm được a≤ P ≤ b Bước 2: Cho P bằng các giá trị nguyên trong đoạn từ a đến b Bước 3: Tìm ra x ; đối chiếu ĐK và KL 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bµi 1 : Cho D = víi x≥0 ; x≠1 x 2 x 3 1 x 3 x 1 a) Rót gän D b) T×m gi¸ trÞ cña D nÕu x = 16 c ) T×m x để D = 2
  53. d) T×m tất cả c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó D cã gi¸ trÞ nguyªn x 5 x 25 x x 3 x 5 Bµi 2: Cho biÓu thøc A = 1 : với x≥0; x≠9; x≠25 x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rót gän A. b) Chứng minh A 0; x≠1 x 1 x x 1 a) Rót gän A b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña x > ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn 9 1 1 3 x 3 Bµi 6: Cho M = ( ). víi x > 0 vµ x ≠ 1 x 1 x x 1 x x a) Rót gän M b) T×m x ®Ó M nhËn gi¸ trÞ nguyªn DẠNG 8: Rút gọn và tìm GTLN, GTNN Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn Bước 2: m 2.1) Nếu P Có dạng P = f (x) m m + Nếu có f(x) ≥ a thì P ≤ P= là GTLN a a m m + Nếu có f(x) ≤ a thì P ≥ P= là GTNN a a g(x) m 2.2 ) Nếu P Có dạng P = thì viết P = h(x) + f (x) f (x) + Nếu h(x) là hằng số thì trở về dạng 2.1 + Nếu h(x) là đa thức chứa biến thì biến đổi h(x) về giống f(x) rồi áp dụng bất đẳng thức Cosi x 2 x x 1 1 2 x 2 Cho biÓu thøc A = : Bµi 1: 2 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m x ®Ó A > 1 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 2 x x 3x 3 2 x 2 Bµi 2: Cho biÓu thøc P = : 1 x 3 x 3 x 9 x 3
  54. 1 a) Rót gän biÓu thøc P. b) T×m x ®Ó P 1, h·y so s¸nh A víi A . c) T×m a ®Ó A =2. d)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A x x 26 x 19 2 x x 3 Bµi 6: Cho biÓu thøc P = x 2 x 3 x 1 x 3 a/ Rót gän P b/ TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 7 - 4 3 c/ Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. y x x y x y 1 1 1 Bµi 7: Cho A =  2 x 2 y 2 x 2 y x y y x y a) Rót gän A b) TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x = 3 + 2 2 vµ y = 3 - 2 2 1 4 c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A biÕt : 50 x y 1 5 x 2 Bµi 8: Cho biÓu thøc. A = x 2 x x 6 3 x 1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A lµ sè nguyªn. 3. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A. 1 x x Bµi tËp 9 Cho biÓu thøc A= : 1 víi x≥ 0 . x ≠ 1 x 1 x 1 x 1 3 1. Rót gän A 2. T×m x ®Ó A= 3. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A 2 x x 2 2 x Bµi tËp 10 Cho P= : víi x>0 , x≠ 1 x 1 x 1 x x( x 1) 1. Rót gän P 2. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x= 3 3. Khi P x¸c ®Þnh, h·y t×m GTNN cña P Bµi 11: Cho biÓu thøc. 2x x x x x x x 1 x A = . x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1
  55. 1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt x x 3 2 x 3 x 3 Bµi 12: Cho biÓu thøc. A = x 2 x 3 x 1 3 x 1.Rót gän biÓu thøc A. 2. TÝnh A biÕt x 14 6 5 . 3. T×m x, biÕt A = 8. 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A lµ sè nguyªn. 5. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. 1 2 x 2 1 2 Bµi 13: Cho biÓu thøc: A : víi x ≥ 0; x ≠ 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 1. Rót gän biÓu thøc A. 2. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 2 x 1 2 x 1 Bµi 14: Cho biểu thức D = : 3 x 3 x 4 x 1 x 1 2 a) Rút gọn D b) Tính giá trị của D khi x = c) Tìm giá trị lớn nhất của D 2 3 1 1 1 1 1 Bµi 15: A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x a) Rót gän biÓu thøc A . b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = 7 4 3 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A ®¹t GTNN x 2 1 4 x Bµi 16: Cho P = ( ( ). víi x ≥ 0 x x 1 x 1 3 8 a) Rót gän P b) t×m x ®Ó P = c) T×m GTLN vµ GTNN cña P 9 x 1 3 x x 3 Bµi 17: Cho A = vµ B = víi x ≥0; x≠1 x 1 x 2 x x 2 x 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña B khi x= 36 b) Rót gän A c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc S = A.B 2 x 2 2 x x 3x 3 Bµi 18: Cho biÓu thøc : A= vµ biÓu thøc B= x 3 x 3 x 3 x 9 ( Víi x≥ 0; x≠ 9) 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 25 2) Rót gän biÓu thøc B 3) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P= B A 1 DẠNG 9: Rút gọn P và tìm m để có x thỏa mãn điều kiện cho trước Cách giải tổng quát: Bước 1: Rút gọn P Bước 2: Rút x theo m Bước 3: Tìm điều kiện để có x, sau đó cho x thỏa mãn các điều kiện của đề bài 1 5 x 4 2 x x Bµi 1: Cho biÓu thøc P = : víi x>0; x≠4 x 2 2 x x x x 2
  56. 3 5 1) Rót gän P 2) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 3) T×m m ®Ó cã x tháa m·n P= mx x 2mx 1 2 x 1 1 2 Bµi 2: Cho biÓu thøc Q= : víi x>0; x≠1 x 1 x x x 1 x 1 1) Rót gän Q 2) T×m x ®Ó Q >0 3) T×m m ®Ó cã Q tháa m·n Q x m x
  57. HÌNH HỌC TIẾT 1-10 HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên đề 7: Góc với đường tròn Phần I: Góc với đường tròn 1.Hệ thống lý thuyết:
  58. 2.Hệ thống bài tập: Bài 1. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn đó lấy 2 điểm M và N sao cho A¼M M¼ N = N»B . Gọi giao điểm của AM với BN là P, của AN với BM là H. Chứng minh: a) PH  AB b) Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao? Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn (O) ở M, đường cao BK cắt đường tròn (O) ở N. Chứng minh rằng: a) C¼M = C»N b) AC là tia phân giác của M· AN . Bài 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, đường phân giác của Aµ cắt đường tròn ở P, đường cao AH cắt cạnh BC ở H. Chứng minh. a) OP//AH b) AP là phân giác của O· AH . Bài 4: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác của góc B và góc C cắt đường tròn ở D và E. a) So sánh hai tam giác ACE và ABD. b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tứ giác ADIE là hình gì? Vì sao ? Bài 5 : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác. Tia AO cắt đường tròn ở D. a) Tứ giác BHCD là hình gì? Tại sao? 1 b) Gọi I là trung điểm BC, chứng minh OI = AH. 2 Bài 6: Cho đường trong (O) dây MN và tiếp tuyến Mx. Trên Mx lấy điểm T sao cho MT = MN. Tia TN cắt đường trong (O) ở S. Chứng minh: a) SM = ST b) TM2 = TN.TS. Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C nằm trên nửa đường tròn. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường vuông góc với AB cắt BC ở F, cắt AC ở E. Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở C cắt EF ở I. Chứng minh: a) I là trung điểm của EF b) Đường thẳng OC là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF. Bài 8. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây AC, tiếp tuyến Ax. Phân giác của C· Ax cắt BC ở D, cắt nửa đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của AC với BE. Chứng minh. a) OE  AC b) E là trung điểm của AD c) DH  AB. Bài 9. Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là 1 điểm trên cạnh BC, tia AD cắt đường tròn ở E. Chứng minh. a) AB2 = AD.AE b) AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED. Bài 10. Cho nửa đường tròn (O; R) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MT với nửa đường tròn (T là tiếp điểm) và cát tuyến MAB (A nằm giữa M và B). Chứng minh MT2 = MA . MB. Bài 11. Cho đường tròn (O ; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia CO lấy điểm S. SA cắt đường tròn ở M, tiếp tuyến của đường tròng ở M cắt CD ở P, BM cắt CD ở T. Chứng minh: a) PT. MA = MT.OA b) PS = PM = PT;
  59. c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R. Bài 12. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và dây AC của nửa đường tròn. Gọi D là điểm chính giữa cung AC. Giao điểm của AD và BC là E. Tia BD cắt AC và Ax theo thứ tự tại K và F. Chứng minh: Tam giác ABE cân; AB vuông góc với EK; Tứ giác AKEF là hình thoi; 1 Cho sin B· AC . Chứng minh rằng AK = 2.CK 2 Bài 13: Từ 1 điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD. Tia phân giác của B· AC cắt BC, BD lần lượt tại M và N. Vẽ dây BF  MN cắt MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh rằng: a) BMN cân b) FD2 = EF.FB Bài 14. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA, SA’ (A và A’ là tiếp điểm) và cát tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác của B· AC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’, G là giao điểm OE và BC còn F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh: a) SAD là tam giác cân. b) SA2 = SF.SG Bài 15. Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ tiếp tuyến PA với đường tròn. Qua trung điểm B của đoạn thẳng PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD cắt đường tròn (O) lần lượt ở E và F. Chứng minh : a) D· CE D· PE C· AF b) AP // EF Bài 16: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B, C là các tiếp điểm). Vẽ dây CD // AB. Đường thẳng AD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Tia CE cắt AB tại M. a) Chứng minh MB2 = MC.ME. b) Kẻ đường kính BI, chứng minh rằng CI // AO. c) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB. Bài 17: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm D di chuyển trên cung AC. Gọi E là giao điểm của AC và BD, gọi F là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) A· FB A· BD b) Tích AE.BF không đổi. Bài 18: Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là một điểm trên cạnh BC, tia AD cắt đường tròn ở E. Chứng minh. a) AB2 = AD.AE b) AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED Bài 19: Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO’ cắt các đường tròn (O) và (O’) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E (O), F’ (O’). Gọi M là giao điểm của AE và DF, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) MENF là hình chữ nhật b) MN vuông góc với AD. c) ME.MA = MF.MD Bài 20: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó ( E A, B). Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
  60. a) Chứng minh KAF ∽ KEA. b) Gọi I là giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE. Chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F. c) Chứng minh MN // AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE, BE với đường tròn (I). Phần 2: Tứ giác nội tiếp 1.Hệ thống lý thuyết: 2.Hệ thống bài tập: Bài 1. Cho đường tròn (O) và một đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn. Từ O kẻ OH  d, qua H kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) ở A và B. Tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt đường thẳng d lần lượt ở D và E. Chứng minh bốn điểm A, O, D, H cùng thuộc một đường tròn và bốn điểm O, H, B, E cùng thuộc một đường tròn. So sánh các góc A· DO ; A· HO ; B· EO Chứng minh H là trung điểm của DE. Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là điểm nằm giữa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E. Chứng minh tứ giác ACMD và BCME là tứ giác nội tiếp. So sánh M· DC với M· AB và M· EC với M· BA . Chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A, AB < AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB = HD. Từ C kẻ CE  AD. Chứng minh: Tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp. CB là tia phân giác của góc A· CE . Tam giác AHE là tam giác cân. Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cắt B’C’ ở I. Chứng minh: Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp.
  61. AB’C’ ∽ ABC. Tứ giác B’IDC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh AD  B’C’ Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là giao điểm các phân giác của góc Bµ và Cµ , còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc Bµ vàCµ , M là giao điểm của AE với đường tròn (O). Chứng minh: Tứ giác BICE là tứ giác nội tiếp. M là trung điểm của IE. Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O; R). Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được đường tròn b) Gọi I và K lần lượt là giao của các tia BD và CE với đường tròn (O) Chứng minh: Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp và KI // ED c) Chứng minh: OA vuông góc với ED d) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH = 2. OM Bài 7: Cho đường tròn (O;R), dây cung EF không đi qua tâm. Trên tia đối của tia EF lấy điểm M, qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) , MO cắt AB tại I. a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp b) Chứng minh OM  AB và OI.OM = R2 c) Gọi H là trung điểm của EF đường thẳng OH cắt AB tại N. Chứng minh OHI ∽ OMN d) Khi M di chuyển trên tia đối của tia EF. Chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Bài 8: Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MPQ với đường tròn (A, B là các tiếp điểm, P nằm giữa M và Q). a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh MA2 = MP . MQ c) Gọi E là trung điểm của dây PQ và F là giao điểm thứ hai của đường thẳng AE với đường tròn. Chứng minh BF // PQ d) AB cắt MO tại H, AB cắt ME tại K. C/m MH . MO = MK. ME e) Xác định vị trí của cát tuyến MPQ để diện tích MFQ lớn nhất. Bài 9: Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài đường tròn (C nằm trên tia BA). Từ điểm P chính giữa của cung AB, kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại D. Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I. Các dây AB và QI cắt nhau tại K. Chứng minh tứ giác PDKI là tứ giác nội tiếp Chứng minh CI.CP = CK.CD Chứng minh: IC là đường phân giác ngoài tại đỉnh I của AIB Giả sử A, B, C cố định, Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định. Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đường tròn tại E, F và cắt AC tại I. a) Chứng minh D· OC B· AC b) Chứng minh 4 điểm O, I, C, D nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh IE = IF