Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 9: Bài toán đếm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 9: Bài toán đếm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 9 Bài toán đếm Câu 1. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cần gửi thư cho 4 người bạn, mỗi người 1 thư. Hỏi Hoa có bao nhiêu cách chọn ra 4 bì thư và 4 tem thư, sau đó dán mỗi tem thư lên mỗi bì thư để gửi đi? Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Loan; Fb: Nguyễn Loan. 4 Chọn 4 bì thư từ 11 bì thư: có C11 cách. 4 Chọn 4 tem thư từ 7 tem thư: có C7 cách. Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừa chọn: có 4!cách. Gửi 4 bì thư đã dán 4 tem thư cho 4 người bạn: có 4!cách. 4 4 Vậy có tất cả: C11.C7 .4!.4! 6652800 cách. Câu 2. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Tính tổng tất cả các số đó. A. 120. B. 42000. C. 2331.D. 46620. Lời giải Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy Chọn D Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 lập được tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là: 6.5.4 120 (số). Vì vai trò các chữ số giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số ở mỗi hàng là như nhau và bằng: 120 : 6 20 (lần). Tổng tất cả các số lập được là: 1 2 3 4 5 6 .20.111 46620. Câu 3. (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 . Từ 8 chữ số trên lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho tổng 4 chữ số đầu bằng tổng 4 chữ số cuối? Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng Do 0 1 2 3 4 5 6 7 28, nên để tổng 4 chữ số đầu và tổng 4 chữ số cuối bằng nhau là tổng đó bằng 14 . Ta lập 4 bộ số có tổng là 14 và có chữ số 0 là: 0;1;6;7 ; 0;2;5;7 ; 0;3;4;7 ; 0;3;5;6 . Với mỗi bộ số có số 0 trên ứng với một bộ còn lại không có số 0 và có tổng bằng 14. TH1: Bộ có số 0 đứng trước: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có: +) Xếp 4 số đầu có 3.3! cách.  Trang 193 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 +) Xếp 4 số cuối có 4! cách. Áp dụng qui tắc nhân có 4.3.3!.4! 1728 số. TH2: Bộ có số 0 đứng sau: có 4 bộ có chữ số 0, ứng với mỗi bộ có: +) Xếp bộ không có chữ số 0 đứng trước có 4! cách. +) Xếp bộ có chữ số 0 đứng sau có 4! cách. Áp dụng qui tắc nhân có 4.4!.4! 2304 số. Vậy có 1728 2304 4032 số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 4. (HSG11 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Từ 2018 số nguyên dương đầu tiên lấy ra 6 số xếp thành một dãy số có dạng a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,a6 . Hỏi có bao nhiêu dãy số dạng trên biết a1,a2 ,a3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Lời giải Tác giả: Võ Quang Anh; Fb:Anh Võ Quang. a a a ,a ,a là cấp số cộng nên a 1 3 . Suy ra a , a cùng tính chẵn lẻ. 1 2 3 2 2 1 3 TH1: a1, a3 cùng lẻ. 2 a1, a3 chọn trong các số 1,3,5, ,2017 nên số cách là A1009 . a a a 1 3 nên a có 1 cách. 2 2 2 3 a4 ,a5 ,a6 chọn trong 2018 số loại đi ba số a1,a2 ,a3 nên số cách là A2015 . 2 3 Do đó số cách là A1009.A2015 . 2 3 TH2: a1, a3 cùng chẵn.Làm tương tự TH1 có A1009.A2015 cách. 2 3 Vậy có 2.A1009.A2015 cách lập thành dãy số thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây bưởi và 10 loại cây khác 5 loại cây trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại. Lời giải Tác giả:Nguyễn Huyền; Fb: Huyen Nguyen  Trang 194 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 5 Trường hợp 1: Chọn 5 cây nhóm II.Số cách chọn là C10 252 (cách chọn). Trường hợp 2 : Chọn 4 cây nhóm II, chọn 1 cây nhóm I. 4 1 1 Số cách chọn là C10.C5.C2 2100 (cách chọn). Trường hợp 3: Chọn 3 cây nhóm II, chọn 2 cây nhóm I. 3 2 1 2 Số cách chọn là C10.C5 . C2 4800 (cách chọn). Trường hợp 4 : Chọn 2 cây nhóm II, chọn 3 cây nhóm I. 2 3 1 3 Số cách chọn là C10.C5 . C2 3600 (cách chọn). Trường hợp 5: Chọn 1 cây nhóm II, chọn 4 cây nhóm I. 1 4 1 4 Số cách chọn là C10.C5 . C2 800 (cách chọn). 5 1 5 Trường hợp 6 : Chọn 5 cây nhóm I.Số cách chọn là C5 . C2 32 (cách chọn). Vậy số cách chọn cây thỏa mãn yêu cầu bài ra là: 252 2100 4800 3600 800 32 11584 (cách chọn). Câu 6. (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau mà có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn, trong đó mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần? Lời giải Tác giả:Phạm Thị Cảnh; Fb: Pham Linh Canh Gọi các chữ số lẻ khác nhau là x, y thuộc A {1;3;5;7;9} và ba chữ số chẵn khác nhau là a,b,c thuộc B {0;2;4;6;8}. + TH1: Nếu chọn một chữ số x lẻ đứng đầu thì có 5 cách chọn, chữ số y lẻ còn lại và ba chữ số chẵn 3 thì số cách chọn là 4.C5 và chọn lại bộ (a;b;c) có một cách. Bây giờ ta sắp xếp vị trí cho bộ 7 chữ số 7! (không kể số lẻ x đứng đầu) thì có các cách khác nhau là: 4.C3 .1. ( Ta nói x có 5 cách chọn 5 2!.2!.2! nghĩa là đã xếp vị trí cho x, việc còn lại là sắp xếp vị trí cho bộ 7 chữ số còn lại). 7! Vậy trường hợp 1 có các số thỏa mãn bài toán là: 5.4.C3 . 126000 (số) 5 2!.2!.2!  Trang 195 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 + TH2: Nếu chọn 1 chữ số chẵn a đứng đầu thì có 4 cách, hai chữ số b,c có C4 cách, chọn lại chữ số 2 a có 4 cách, chọn lại cặp (b;c) có một cách. Chọn hai chữ số lẻ có C5 cách. Bây giờ ta sắp xếp vị trí 7! cho bộ 7 chữ số (không tính a) thì có các cách khác nhau là: C 2 .1.1.C 2 . 75600 4 5 1!.2!.2! Vậy trường hợp 2 có các số thỏa mãn bài toán là: 4.75600 302400 (số) Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 126000 302400 428400 số. Cách 2. Gọi các chữ số lẻ khác nhau là x, y thuộc A {1;3;5;7;9} và ba chữ số chẵn khác nhau là a,b,c thuộc B {0;2;4;6;8}. + TH1: Bộ 3 chữ số chẵn (a;b;c) không có chữ số 0. 3 2 Số cách chọn bộ 3 số chẵn C4 cách. Số cách chọn 2 số lẻ x, y là C5 . Bây giờ ta sẽ sắp các chữ số vào 8 2 vị trí: Chọn 2 vị trí trong 8 vị trí để xếp chữ số chẵn thứ nhất có C8 cách, chọn 2 vị trí trong số 6 vị trí 2 còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 2 có C6 , chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 3 có 2 C4 cách, hai vị trí còn lại sắp 2 chữ số lẻ có 2! cách. 3 2 2 2 2 Vậy số các số thõa mãn trường hợp 1: C4 .C5 .C8 .C6 .C4 .2! 201600 (số) + TH2: Bộ 3 chữ số chẵn (a;b;c) có chữ số 0. 2 2 Số cách chọn 2 số chẵn còn lại C4 . Số cách chọn 2 số lẻ x, y là C5 . Bây giờ ta sẽ sắp các chữ số vào 8 2 vị trí: Chọn 2 vị trí trong 7 vị trí để xếp chữ số 0 (trừ vị trí đầu tiên) có C7 cách, chọn 2 vị trí trong số 2 6 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn thứ 2 có C6 , chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại để xếp chữ số chẵn 2 thứ 3 có C4 cách, hai vị trí còn lại sắp 2 chữ số lẻ có 2! cách. 2 2 2 2 2 Vậy số các số thõa mãn trường hợp 2: C4 .C5 .C7 .C6 .C4 .2! 226800 (số). Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 201600 226800 428400 số. Câu 7. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Khi phân tích số 1000! thành tích các thừa số nguyên tố, số các thừa số 3 là: A. 499 .B. 500C. 501D. 498. Lời giải Tác giả:Hồ Thanh Nhân; Fb: Nhan Ho Thanh Chọn D Số các số chỉ chia hết cho 3 là 333-111=222; Số các số chỉ chia hết cho 32 là 111-37=74; Số các số chỉ chia hết cho 33 là 37-12=25; Số các số chỉ chia hết cho 34 là 12- 4= 8; Số các số chỉ chia hết cho 35 là 4- 1= 3; Số các số chỉ chia hết cho 36 là 1. Vậy số các thừa số 3 là: 222.1+74.2+25.3+8.4+3.5+1.6=498.  Trang 196 