Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 10 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi thử Tốt nghiệp THPT Toán Lớp 12 - Đề số 10 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1. TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2020-2021 ĐỀ MINH HỌA 2020-2021 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 90 phút) Họ và tên thí sinh: SBD: Mã đề thi 010 Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 10 học sinh? 3 3 3 A. 10 ! B. A10 C. C10 D. 10 . Câu 2: Cho cấp số cộng un có u1 1 và u2 5 . Giá trị của u3 bằng A. 6 B. 9 C. 4 D. 5. Câu 3: Cho hàm số f (x) có bàng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( 2;2) . B. (0;2) . C. ( 2;0) D. ( ; 2) . Câu 4: Cho hàm số f (x) có bàng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x 3. B. x 1. C. x 0 D. x 2. Câu 5: Cho hàm số f (x) có bàng xét dấu của đạo hàm f (x) như sau: Hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 1. C. 2 D. 3 2x 1 Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng: x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 2 D. x 2. Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
2. A. y x3 3x2 3. B. y x 3 3x 2 3 . C. y x 4 2x 2 3. D. y x 4 2x 2 3. Câu 8: Đồ thị của hàm số y x3 4x 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 0 B. 3 . C. 2 . D. 2 Câu 9: Với a là số thực dương tùy ý, log2 (8a) bằng 1 3 A. log a . B. 3log a . C. log a . D. 3 log a . 2 2 2 2 2 Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 3x là: 3x A. y 3x ln 3 . B. y 3x . C. y . D. y x3x 1 . ln 3 Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, a5 bằng 5 2 1 A. a10 . B. a 2 . C. a 5 . D. a10 Câu 12: Nghiệm của phương trình 32x 3 27 là: A. x 3. B. x 2 . C. x 1. D. x 1. Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình log2 x 5 4 . A. x 21 B. x 3 C. x 11 D. x 13 Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f x x3 x là A. x4 x2 C B. 3x2 1 C 1 1 C. x3 x C D. x4 x2 C 4 2 Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos(3x 5) sin(3x 5) A. cos(3x 5)dx 3sin(3x 5) C B. cos(3x 5)dx C 3 sin(3x 5) C. cos(3x 5)dx sin(3x 5) C D. cos(3x 5)dx C 3 1 1 1 Câu 16: Cho f x dx 2 và g x dx 5 , khi f x g x dx bằng 0 0 0 A. 3 B. $12$ C. 8 D. 1
3. 3 Câu 17: Giá trị của dx bằng 0 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z 10 5i là: A. z 10 5i B. z 10 5i C. z 10 5i D. z 5 10i Câu 19: Cho hai số phức z 5 5i và w 2 2i . Số phức z w bằng A. 3 3i B. 3 3i C. 7 3i D. 7 7i Câu 20: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức? A. z 1 2i . B. z 2 i . C. z 1 2i . D. z 2 i Câu 21: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 2 4 A. 4a3 . B. a3 . C. 2a3 . D. a3 . 3 3 Câu 22: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng A. 27a3 B. 3a3 C. a3 D. 9a3 Câu 23: Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là: 1 A. S r2h . B. S rl . C. S rh . D. S 2 rl . xq 3 xq xq xq Câu 24: Thể tích khối trụ có bán kính đáy r a và chiều cao h a 2 bằng a3 2 A. 4 a3 2 . B. a3 2 . C. 2 a3 . D. . 3 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 3; 2 và B 0; 6;4 . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 89 . B. 89 . C. 7 . D. 49 . Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :3x2 3y2 3z2 6x 12y 18z 2 0 . Gọi I a;b;c là tâm của mặt cầu S . Tính T a b c . A. 12 . B. 0 . C. 4 . D. 18. Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A 2020;0;0 , B 0;2021;0 và C 0;0;1 có phương trình là
4. x y z x y z A. 0. B. 1. 2020 2021 1 2020 2021 1 x y z C. 1. D. 2020x 2021y z 0 . 2020 2021 1 Câu 28: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và song song với trục Oz có phương trình là x 1 t x 1 x 1 x t A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 2021t . D. y 2t . z 3 z 3 2021t z 3 z 1 3t Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 2021 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bằng 1010 1011 1010 1 A. . B. . C. . D. . 2021 2021 1011 2 Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ? 2021 A. y . B. y x2 . x C. y 2020x4 2021. D. y x3 3x2 10x 5. 2020 a Câu 31: Biết giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 2x2 trên đoạn 0;1 có dạng với a, b là 2021 b a các số tự nhiên và là phân số tối giản. Tính T a b . b A. T 6062 . B. T 4041. C. T 10104 . D. T 1. 2 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình log 2020 x 0 là 2021 A. ; 11: . B.  1;1. C. 0;1. D.  1;1 \ 0 . 5 5 Câu 33: Nếu 2 f x 1 dx 17 thì f x dx bằng 2 2 A. 14. B. 7 . C. 7 . D. 14. Câu 34: Cho số phức z 1 2i . Mođun của số phức z 2 2i bằng A. 5 . B. 8 . C. 5 . D. 25 . Câu 35: Hình chớp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , BA a , BC a , AD 2a . Cho biết SA  ABCD và SA bằng 2a . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 2 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a , đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a, AD a . Gọi K là điểm thuộc đoạn BC sao cho 3BK 2CK . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK .
5. 135a 2 165a 165a 2 135a A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 0; 2 và mặt phẳng P có phương trình: x 2y 2z 4 0 . Phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là A. x 1 2 y2 z 2 2 3 . B. x 1 2 y2 z 2 2 9 . C. x 1 2 y2 z 2 2 9 . D. x 1 2 y2 z 2 2 3 . Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 1; 2 và mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là x 1 y 1 z 2 x 2 y 1 z 3 A. . B. . 2 1 3 1 1 2 x 1 y 1 z 2 x 2 y 1 z 3 C. . D. . 2 1 3 1 1 2 1 Câu 39: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có f 1 1 , f 1 . Đặt 3 g x f 2 x 4 f x . Cho biết đồ thị của y f x có dạng như hình vẽ dưới đây. Phát biểu nào sau đây đúng A. Hàm số g x có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên ¡ . B. Hàm số g x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ¡ . C. Hàm số g x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên ¡ . D. Hàm số g x không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên ¡ . Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số số m để bất phương trình log5 log x2 1 log mx2 4x m đúng với mọi x ? A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4 .
6. 1 Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục với mọi x 0 thỏa mãn f x 2 f 3x, x 0 . Tính x 2 f x I dx . 1 x 2 3 9 1 4 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 3 Câu 42: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 3i 2 và z2 1 2i 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 A. P 3 34 B. P 3 10 C. P 6 D. P 3 Câu 43: Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB vàOB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất là: a3 2 a3 3 a3 6 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 6 Câu 44: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  5;3 và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng S1, S2 , S3 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và đường cong y g x ax2 bx c lần lượt là m, n, p. 3 Tích phân f x dx bằng 5 208 208 208 208 A. m n p . B. m n p . C. m n p . D. m n p . 45 45 45 45 x 1 t x 2t ' Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y 2 t , d ': y 1 t ' . z t z 2 t ' Đường thẳng cắt d,d ' lần lượt tại 2 điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là: x 1 y 2 z x 4 y z 2 A. B. 2 1 3 2 1 3 x y 3 z 1 x 2 y 1 z 1 C. D. 2 1 3 2 1 3
7. Câu 46: Cho hàm số y f x x3 2m 1 x2 2 m x 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số a a m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị là ;c , (với a, b, c là các số nguyên, là phân b b số tối giản). Giá trị của biểu thức M a2 b2 c2 là A. M 40 . B. M 11. C. M 31. D. M 45 . 2 Câu 47: Tích các giá trị của tham số m để phương trình 3x 2x 1 2 x m log 2 x m 2 có đúng x2 2x 3 ba nghiệm phân biệt là? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 48: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đồ thị đạo hàm f x như hình vẽ. Xét hàm số g x f x x2. Hãy so sánh các giá trị g 1 , g 1 , g 2 ? A. g( 1) g(2) g(1) . B. g( 1) g(2) g(1) . C. g( 1) g(2) (1) . D. g( 1) g(1) g(2) . Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 3 1 f 1 0, f x dx , x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 9 0 36 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 6 9 36 Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm M a;b;c (với a , b , c là các phân số tối giản) thuộc mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 7 0 sao cho biểu thức T 2a 3b 6c đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức P 2a b c bằng 12 51 A. . B. 8 . C. 6 . D. . 7 7 HẾT
8. ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐÁP ÁN THAM KHẢO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C B C C D A A B D A B A A D B A A A A D B A B B C 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 C C B B D A D B C C B C C C C A A C B D D D B B C Câu 1: Có bao nhiêu cách chọn ra 3 học sinh từ một nhóm có 10 học sinh? 3 3 3 A. 10 ! B. A10 C. C10 D. 10 . Lời giải Chọn C Chọn ba học sinh từ 10 học sinh dùng tổ hợp. Câu 2: Cho cấp số cộng un có u1 1 và u2 5 . Giá trị của u3 bằng A. 6 B. 9 C. 4 D. 5. Lời giải Chọn B Ta có: d u2 u1 5 1 4 . u3 u2 d 5 4 9. Câu 3: Cho hàm số f (x) có bàng biến thiên như sau: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. ( 2;2) . B. (0;2) . C. ( 2;0) D. ( ; 2) . Lời giải Chọn C Câu 4: Cho hàm số f (x) có bàng biến thiên như sau: Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là: A. x 3. B. x 1. C. x 0 D. x 2.
9. Lời giải Chọn C Câu 5: Cho hàm số f (x) có bàng xét dấu của đạo hàm f (x) như sau: Hàm số f (x) có bao nhiêu điểm cực trị? A. 4. B. 1. C. 2 D. 3 Lời giải Chọn D Có ba lần đổi dấu. 2x 1 Câu 6: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là đường thẳng: x 1 A. x 1. B. x 1. C. x 2 D. x 2. Lời giải Chọn A Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên? A. y x3 3x2 3. B. y x 3 3x 2 3 . C. y x 4 2x 2 3. D. y x 4 2x 2 3. Lời giải Chọn A Câu 8: Đồ thị của hàm số y x3 4x 3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng A. 0 B. 3 . C. 2 . D. 2 Lời giải Chọn B y x3 4x 3 cắt trục tung là x 0 y 3 . Câu 9: Với a là số thực dương tùy ý, log2 (8a) bằng 1 3 A. log a . B. 3log a . C. log a . D. 3 log a . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 3 log2 (8a) log2 (2 a) 3log2 2 log2 a 3 log2 a. Câu 10: Đạo hàm của hàm số y 3x là:
10. 3x A. y 3x ln 3 . B. y 3x . C. y . D. y x3x 1 . ln 3 Lời giải Chọn A Vận dụng công thức (ax ) ax lna Câu 11: Với a là số thực dương tùy ý, a5 bằng 5 2 1 A. a10 . B. a 2 . C. a 5 . D. a10 Lời giải Chọn B m Ap dụng công thức am a 2 Câu 12: Nghiệm của phương trình 32x 3 27 là: A. x 3. B. x 2 . C. x 1. D. x 1. Lời giải Chọn A 32x 3 27 32x 3 33 2x 3 3 x 3. Câu 13: Tìm nghiệm của phương trình log2 x 5 4 . A. x 21 B. x 3 C. x 11 D. x 13 Lời giải Chọn A ĐK: x 5 0 x 5 Khi đó log2 x 5 4 x 5 16 x 21. Câu 14: Nguyên hàm của hàm số f x x3 x là A. x4 x2 C B. 3x2 1 C 1 1 C. x3 x C D. x4 x2 C 4 2 Lời giải Chọn D 1 1 x3 x2 dx x4 x2 C . 4 2 Câu 15: Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos(3x 5) sin(3x 5) A. cos(3x 5)dx 3sin(3x 5) C B. cos(3x 5)dx C 3 sin(3x 5) C. cos(3x 5)dx sin(3x 5) C D. cos(3x 5)dx C 3 Lời giải Chọn B sin(3x 5) Ta có: cos(3x 5)dx C 3
11. 1 1 1 Câu 16: Cho f x dx 2 và g x dx 5 , khi f x g x dx bằng 0 0 0 A. 3 B. $12$ C. 8 D. 1 Lời giải Chọn A 1 1 1 Có f x g x dx f x dx g x dx 2 5 3. 0 0 0 3 Câu 17: Giá trị của dx bằng 0 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn A 3 dx x 3 3 0 3 Ta có 0 . 0 Câu 18: Số phức liên hợp của số phức z 10 5i là: A. z 10 5i B. z 10 5i C. z 10 5i D. z 5 10i Lời giải Chọn A Ta có z 10 5i Câu 19: Cho hai số phức z 5 5i và w 2 2i . Số phức z w bằng A. 3 3i B. 3 3i C. 7 3i D. 7 7i Lời giải Chọn A Ta có z w 5 5i 2 2i 3 3i Câu 20: Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức? A. z 1 2i . B. z 2 i . C. z 1 2i . D. z 2 i Lời giải Chọn D Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm M biểu diễn số phức z có phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 1. Vậy số phức z 2 i . Câu 21: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 2 4 A. 4a3 . B. a3 . C. 2a3 . D. a3 . 3 3
12. Lời giải Chọn B Diện tích hình vuông cạnh a là B a2 . Chiều cao bằng 2a . 1 1 2 Thể tích khối chóp là V B h a2 2a a3. 3 3 3 Câu 22: Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng A. 27a3 B. 3a3 C. a3 D. 9a3 Lời giải Chọn A 3 Thể tích của khối lập phương cạnh 3a bằng: V 3a 27a3 Câu 23: Gọi l,h,r lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính mặt đáy của hình nón. Diện tích xung quanh S xq của hình nón là: 1 A. S r2h . B. S rl . C. S rh . D. S 2 rl . xq 3 xq xq xq Lời giải Chọn B Diện tích xung quanh của hình nón là Sxq rl . Câu 24: Thể tích khối trụ có bán kính đáy r a và chiều cao h a 2 bằng a3 2 A. 4 a3 2 . B. a3 2 . C. 2 a3 . D. . 3 Lời giải Chọn B Thể tích khối trụ là: V r 2h .a2.a 2 a3 2 . Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 2; 3; 2 và B 0; 6;4 . Độ dài đoạn thẳng AB bằng A. 89 . B. 89 . C. 7 . D. 49 . Lời giải Chọn C 2 2 2 AB 0 2 6 3 4 2 7 . Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S :3x2 3y2 3z2 6x 12y 18z 2 0 . Gọi I a;b;c là tâm của mặt cầu S . Tính T a b c . A. 12 . B. 0 . C. 4 . D. 18. Lời giải Chọn C 2 3x2 3y2 3z2 6x 12y 18z 2 0 x2 y2 z2 2x 4y 6z 0 3
13. I 1; 2;3 T 1 2 3 4 Câu 27: Trong không gian Oxyz , mặt phẳng đi qua ba điểm A 2020;0;0 , B 0;2021;0 và C 0;0;1 có phương trình là x y z x y z A. 0. B. 1. 2020 2021 1 2020 2021 1 x y z C. 1. D. 2020x 2021y z 0 . 2020 2021 1 Lời giải Chọn C Mặt phẳng đi qua ba điểm A 2020;0;0 , B 0;2021;0 và C 0;0;1 x y z ABC : 1 2020 2021 1 Câu 28: Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và song song với trục Oz có phương trình là x 1 t x 1 x 1 x t A. y 2 . B. y 2 . C. y 2 2021t . D. y 2t . z 3 z 3 2021t z 3 z 1 3t Lời giải Chọn B Đường thẳng đi qua điểm A 1;2;3 và song song với trục Oz nên có vtcp là k 0;0;1 , ta chọn vtcp là a 0;0; 2021 x 1 Phương trình tham số: y 2 z 3 2021t Câu 29: Chọn ngẫu nhiên một số trong 2021 số nguyên dương đầu tiên. Xác suất để chọn được số lẻ bằng 1010 1011 1010 1 A. . B. . C. . D. . 2021 2021 1011 2 Lời giải Chọn B 1011 Trong 2021 số nguyên dương đầu tiên có 1011 số lẻ nên xác suất cần tìm bằng 2021 Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ? 2021 A. y . B. y x2 . x C. y 2020x4 2021. D. y x3 3x2 10x 5. Lời giải Chọn D y ' 3x2 6x 10x 0,x nên y x3 3x2 10x 5 đồng biến trên ¡ .
14. 2020 a Câu 31: Biết giá trị lớn nhất của hàm số f x x4 2x2 trên đoạn 0;1 có dạng với a, b là 2021 b a các số tự nhiên và là phân số tối giản. Tính T a b . b A. T 6062 . B. T 4041. C. T 10104 . D. T 1. Lời giải Chọn A f ' x 4x3 4x f ' x 0 x 0 2020 f 0 2021 8083 f 1 2021 a 8083 T a b 6062 . b 2021 2 Câu 32: Tập nghiệm của bất phương trình log 2020 x 0 là 2021 A. ; 11: . B.  1;1. C. 0;1. D.  1;1 \ 0 . Lời giải Chọn D Điều kiện: x2 0 x 0 2 2 Với điều kiện trên: log 2020 x 0 x 1 1 x 1 2021 So điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình là  1;1 \ 0 5 5 Câu 33: Nếu 2 f x 1 dx 17 thì f x dx bằng 2 2 A. 14. B. 7 . C. 7 . D. 14. Lời giải Chọn B 5 5 5 5 5 Ta có: 2 f x 1 dx 17 2 f x dx 1dx 17 2 f x dx 14 f x dx 7 . 2 2 2 2 2 Câu 34: Cho số phức z 1 2i . Mođun của số phức z 2 2i bằng A. 5 . B. 8 . C. 5 . D. 25 . Lời giải Chọn C Ta có: z 2 2i 1 2i 2 2i 3 4i 32 42 5 .
15. Câu 35: Hình chớp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , BA a , BC a , AD 2a . Cho biết SA  ABCD và SA bằng 2a . Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng SCD và ABCD bằng 2 3 3 2 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Lời giải Chọn C +) Gọi E là trung điểm của AD . Khi đó ABCE là hình bình hành ( AE//BC và AE BC ) Lại có AB AE a nên ABCE là hình thoi. Mà B· AE 90 nên ABCE là hình vuông cạnh a . Từ đó tam giác ACD có CE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến, lại có C· AD 45 nên tam giác ACD vuông cân tại C . CD  AC +) Ta có CD  SC . CD  SA SA  ABCD SCD  ABCD CD · · +) AC  CD SCD , ABCD SC, AC S· CA (do SAC vuông tại A SC  CD ). 2 SC SA2 AC 2 2a 2 a 2 a 6 . AC 3 Xét tam giác SAC vuông tại A : cos S· CA . SC 3 3 Vậy cos ·SCD , ABCD . 3 Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a , đáy là hình chữ nhật ABCD có AB 2a, AD a . Gọi K là điểm thuộc đoạn BC sao cho 3BK 2CK . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SK .
16. 135a 2 165a 165a 2 135a A. . B. . C. . D. . 15 15 15 15 Lời giải Chọn B S H A D O B K I C Gọi O AC  BD suy ra SO  ABCD do đóOA OB OC OD . AD P SBC Ta có: d AD, SK d AD, SBC d A, SBC 2d O, SBC . SK  SBC Gọi I là trung điểm của BC OI  BC mà SO  BC BC  SOI . Trong SOI kẻ OH  SI OH  SBC d O, SBC OH . 2 1 2 2 2 a a 15 2 2 a 11 Ta có: OI AB a , SI SB BI 4a , SO SI OI . 2 2 2 2 1 1 1 1 4 15 a 165 Xét tam giác vuông SOI có OH . OH 2 OI 2 SO2 a2 11a2 11a2 15 2 165a Vậy d AD, SK 2OH . 15 Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm I 1; 0; 2 và mặt phẳng P có phương trình: x 2y 2z 4 0 . Phương trình mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P là A. x 1 2 y2 z 2 2 3 . B. x 1 2 y2 z 2 2 9 . C. x 1 2 y2 z 2 2 9 . D. x 1 2 y2 z 2 2 3 . Lời giải Chọn C Mặt cầu S có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng P nên bán kính mặt cầu là
17. 1 0 2 2 4 R d I, P 3. 1 4 4 Vậy phương trình mặt cầu là x 1 2 y2 z 2 2 9 . . Câu 38: Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 1; 2 và mặt phẳng P : 2x y 3z 1 0. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình là x 1 y 1 z 2 x 2 y 1 z 3 A. . B. . 2 1 3 1 1 2 x 1 y 1 z 2 x 2 y 1 z 3 C. . D. . 2 1 3 1 1 2 Lời giải Chọn C Do đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng P nên véctơ pháp tuyến của P là  nP 2; 1;3 cũng là véctơ chỉ phương của . Mặt khác đi qua điểm M 1; 1; 2 nên x 1 y 1 z 2 phương trình chính tắc của là . 2 1 3 1 Câu 39: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và có f 1 1 , f 1 . Đặt 3 g x f 2 x 4 f x . Cho biết đồ thị của y f x có dạng như hình vẽ dưới đây. Phát biểu nào sau đây đúng A. Hàm số g x có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên ¡ . B. Hàm số g x có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên ¡ . C. Hàm số g x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên ¡ . D. Hàm số g x không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất trên ¡ . Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị của y f x , ta có bảng biến thiên của hàm số y f x như sau
18. Suy ra f x 1 với mọi x ¡ . f x 0 Ta có g x 2 f x f x 2 g x 0 . f x 2 0 x 1 f x 0 . x 1 f x 2 0 với mọi x ¡ . Bảng biến thiên của g x f 2 x 4 f x là Vậy hàm số g x có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất trên ¡ . Câu 40: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số số m để bất phương trình log5 log x2 1 log mx2 4x m đúng với mọi x ? A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn C Để bất phương trình đúng với mọi x khi và chỉ khi: ● Bất phương trình xác định với mọi x mx2 4x m 0 x ¡ m 0 m 2 2 1 ' 4 m 0 ● Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x log5 log x2 1 log mx2 4x m x ¡ 5 x2 1 mx2 4x m x ¡ 5 m x2 4x 5 m 0 x ¡ 5 m 0 m 5 2 2 ' m 10m 21 0 Từ 1 và 2 , ta được 2 m 3 . Chọn m 3 .
19. 1 Câu 41: Cho hàm số y f x liên tục với mọi x 0 thỏa mãn f x 2 f 3x, x 0 . Tính x 2 f x I dx . 1 x 2 3 9 1 4 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 3 Lời giải Chọn A 1 f x 2 f 3x, x 0 1 . x 1 3 Nên f 2 f x , x 0 2 . x x 1 3 1 , 2 3 f x f 3x x x 1 1 f x f x 3 . x x 2 2 , 3 f x x . x 2 2 f x 2 2 2 3 I dx 1 dx x 1 x x2 x 2 1 1 2 2 2 Câu 42: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 2 3i 2 và z2 1 2i 1. Tìm giá trị lớn nhất của P z1 z2 A. P 3 34 B. P 3 10 C. P 6 D. P 3 Lời giải Chọn A Gọi M x1; y1 là điểm biểu diễn của số phức z1 , N x2 ; y2 là điểm biểu diễn của số phức z2 . Số phức z1 thỏa z1 2 3i 2 nên điểm M x1; y1 nằm trên đường tròn tâm I 2;3 và bán kính R1 2 Số phức z2 thỏa z2 1 2i 1 nên điểm N x2 ; y2 nằm trên đường tròn tâm J 1; 2 và bán kính R2 1 Ta có P z1 z2 MN đạt giá trị lớn nhất bằng R1 IJ R2 3 34 Câu 43: Cho tam giác OAB đều cạnh a . Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M sao cho OM x . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB vàOB . Gọi N là giao điểm của EF và d . Thể tích tứ diện ABMN có giá trị nhỏ nhất là:
20. a3 2 a3 3 a3 6 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 12 12 6 Lời giải Chọn C M O A E F B N a Do tam giác OAB đều cạnh a F là trung điểm OB OF . 2 AF  OB Ta có AF  MOB AF  MB. AF  MO Mặt khác, MB  AE Suy ra MB  AEF MB  EF. OB OM OB.OF a2 Suy ra OBM ∽ ONF nên ON . ON OF OM 2x Ta có VABMN VABOM VABON 1 1 a2 3 a2 a2 3 a2 a2 3 a2 a3 6 S OAB OM ON . .(x ) x .2 x. . 3 3 4 2x 12 2x 12 2x 12 a2 a 2 a3 6 Đẳng thức xảy ra khi x x . Vậy GTNN V . 2x 2 12 Câu 44: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  5;3 và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích hình phẳng S1, S2 , S3 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và đường cong y g x ax2 bx c lần lượt là m, n, p. 3 Tích phân f x dx bằng 5 208 208 208 208 A. m n p . B. m n p . C. m n p . D. m n p . 45 45 45 45
21. Lời giải Chọn B Đồ thị hàm y g x ax2 bx c đi qua các điểm O 0;0 , A 2;0 , B 3;2 nên suy ra 2 4 g x x2 x. 15 15 Dựa vào đồ thị, ta có 2 0 3 m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx 5 2 0 3 3 f x dx g x dx. 5 5 3 3 208 Suy ra f x dx m n p g x dx m n p . 5 5 45 x 1 t x 2t ' Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : y 2 t , d ': y 1 t ' . z t z 2 t ' Đường thẳng cắt d,d ' lần lượt tại 2 điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng là: x 1 y 2 z x 4 y z 2 A. B. 2 1 3 2 1 3 x y 3 z 1 x 2 y 1 z 1 C. D. 2 1 3 2 1 3 Lời giải Chọn D  d A 1 t;2 t;t ,  d : B 2t ';1 t ';2 t '  1 AB.u 0 2t ' 3t 2 t '   2 AB.u ' 0 6t ' 2t 1 t 1  1 3 Suy ra A 2;1;1 , AB 1; ; 2 2 AB ngắn nhất khi và chỉ khi AB là đoạn vuông góc chung của d, d '  Vậy đi qua A 2;1;1 và có vecto chỉ phương là u 2AB 2;1;3 x 2 y 1 z 1 : 2 1 3 Câu 46: Cho hàm số y f x x3 2m 1 x2 2 m x 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số a a m để hàm số y f x có 5 điểm cực trị là ;c , (với a, b, c là các số nguyên, là phân b b số tối giản). Giá trị của biểu thức M a2 b2 c2 là A. M 40 . B. M 11 . C. M 31. D. M 45 .
22. Lời giải Chọn D Hàm số y f x x3 2m 1 x2 2 m x 2 có đạo hàm là y f x 3x2 2 2m 1 x 2 m - Để hàm số y f x có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x có hai điểm cực trị x1, x2 dương. Tương đương với phương trình f x 0 có 2 nghiệm dương phân biệt. 2 5 2m 1 3 2 m 0 2 m 1 m 4m m 5 0 4 2 2m 1 1 1 5 S 0 m m m 2 . 3 2 2 4 2 m m 2 m 2 P 0 3 a 5 Suy ra b 4 M a2 b2 c2 45. c 2 x2 2x 1 2 x m Câu 47: Tích các giá trị của tham số m để phương trình 3 log 2 2 x m 2 có đúng x 2x 3 ba nghiệm phân biệt là? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn A x2 2x 3 (2 x m 2) ln 2 x m 2 Phương trình tương đương 3 . ln x2 2x 3 2 3x 2x 3.ln x2 2x 3 32 x m 2.ln 2 x m 2 * . Xét hàm đặc trưng f t 3t.ln t , t 2 là hàm số đồng biến nên từ phương trình * suy ra x2 2x 3 2 x m 2 g x x2 2x 2 x m 1 0. x2 4x 2m 1 khi x m 2x 4 khi x m Có g x g x . 2 x 2m 1 khi x m 2x khi x m x 2 khi x m và g x 0 . x 0 khi x m Xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: m 0 ta có bảng biến thiên của g x như sau: Phương trình chỉ có tối đa 2 nghiệm nên không có m thoả mãn. Trường hợp 2: m 2 tương tự.
23. Trường hợp 3: 0 m 2 , bảng biến thiên g x như sau: 2 m 1 m 1 0 1 Phương trình có 3 nghiệm khi 2m 1 0 2m 3 m . 2 2m 1 0 2m 3 3 m 2 3 Cả 3 giá trị trên đều thoả mãn, nên tích của chúng bằng . 4 Câu 48: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ có đồ thị đạo hàm f x như hình vẽ. Xét hàm số g x f x x2. Hãy so sánh các giá trị g 1 , g 1 , g 2 ? A. g( 1) g(2) g(1) . B. g( 1) g(2) g(1) . C. g( 1) g(2) (1) . D. g( 1) g(1) g(2) . Lời giải Chọn B Hình vẽ:
24. Quan sát tinh ý nhận thấy ba điểm $A,B,C$ cùng nằm trên một đường thẳng có phương trình tương ứng là y 2x. Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi f x và đường thẳng tính từ x 1 x 1 Gọi S2 là diện tích giới hạn bởi f x và đường thẳng tính từ x 1 x 2 1 2 1 2 2 2 Ta có S1 S2 f x 2x dx f x 2x dx f x x f x x 1 1 1 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g 2 . Xét hàm số g x f x x2 g x f x 2x. Nhận thấy từ x 1 x 1 , đồ thị f x nằm trên : y 2x, suy ra g x 0. Tương tự, từ x 1 x 2 , đồ thị f x nằm dưới : y 2x, suy ra g x 0. Ta có bảng biến thiên Suy ra: g( 1) g(2) g(1) . Câu 49: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 thỏa mãn 1 1 1 2 1 3 1 f 1 0, f x dx , x f x dx . Tích phân f x dx bằng 0 9 0 36 0 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 6 6 9 36 Lời giải Chọn B
25. Bằng công thức tích phân từng phần ta có 1 1 4x3 f x dx f x d x4 0 0 1 1 x4 f x x4 f x dx 0 0 1 x4 f x dx . 0 1 1 Suy ra x4 f x dx . 0 9 1 2 1 1 Hơn nữa ta tính được x4 dx x8dx . 0 0 9 Do đó 1 1 1 1 2 4 4 2 4 2 f x dx 2 x f x dx x dx 0 f x x dx 0 . 0 0 0 0 x5 1 Suy ra f x x4 , do đó f x C . Vì f 1 0 nên C . 5 5 1 1 x5 1 1 Ta được f x dx dx . 0 0 5 6 Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm M a;b;c (với a , b , c là các phân số tối giản) thuộc mặt cầu S : x2 y2 z2 2x 4y 4z 7 0 sao cho biểu thức T 2a 3b 6c đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức P 2a b c bằng 12 51 A. . B. 8 . C. 6 . D. . 7 7 Lời giải Chọn C x2 y2 z2 2x 4y 4z 7 0 x 1 2 y 2 2 z 2 2 16 . M a;b;c S a 1 2 b 2 2 c 2 2 16 . Ta có: 2 a 1 3 b 2 6 c 2 22 32 62 . a 1 2 b 2 2 c 2 2 . 2a 3b 6c 20 28 2a 3b 6c 20 28 2a 3b 6c 48. 15 a 2a 3b 6c 48 7 2a 3b 6c 48 a 1 b 2 26 Dấu " " xảy ra khi: 3a 2b 1 b 2 3 7 3a c 1 a 1 c 2 38 c 2 6 7 15 26 38 Vậy P 2a b c 2. 6 . 7 7 7