›
›
›

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

docx 44 trang nhungbui22 11/08/2022 2750
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtong_hop_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_thpt_vong_1_chuyen_de.docx

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 7: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

  1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 7 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất Câu 1. (HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Cho ba số thực x, y, z thuộc khoảng 0;3 thỏa 2 3 4 x2 y2 z2 mãn 1 1 1 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . x y z 4 9 16 Lời giải Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng x y z Đặt: a , b , c . 2 3 4 3 3 1 1 1 2 2 2 Khi đó ta có a 0; , b 0;1 , c 0; , thỏa mãn 1 1 1 1 và P a b c . 2 4 a b c 1 1 1 Từ: 1 1 1 1 ab bc ca 2abc a b c 1. a b c 3 a b c Ta có: abc . 3 Do đó: P a b c 2 2 ab bc ca a b c 2 2 a b c 4abc 2 4 3 2 a b c a b c 2 a b c 2 27 13 4 3 2 Đặt t a b c, t 0; . Khi đó: P t t 2t 2. 4 27 4 3 2 13 Xét hàm số f t t t 2t 2, t 0; 27 4 4 3 Ta có: f t t 2 2t 2 ; f t 0 t hoặc t 3 . 9 2 Bảng biến thiên: 3 13 t 0 3 2 4 f t 0 0 2 f t 3 1 211 4 216 3 3 Từ bảng biến thiên suy ra f t , t 0;3 . Dấu bằng xảy ra khi t . 4 2  Trang 124 
  2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 1 3 Khi t ta được: a b c suy ra x 1, y , z 2. 2 2 2 3 3 Do đó: min P x 1, y , z 2. 4 2 Câu 2. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Cho x , y là các số thực thỏa mãn x y x 1 2y 2 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y . Khi đó, giá trị của M m bằng. A. 41. B. 42 . C. 44 . D. 43. Lời giải Tác giả: Lệ Phan, FB: Lệ Phan Chọn D x 1 x y x 1 2 y 1 ; § K : x y 0 y 1 x y 2 1 2 x 1 y 1 x y 2 3 x y 0 x y 3. Đặt t x y 0;3 P x2 y2 2 x 1 y 1 8 4 x y x y 2 2 x y 2 8 4 x y t 2 2t 2 8 4 t Xét f (t) t 2 2t 2 8 4 t với t 0;3 8 2 f t 2t 2 2t 2 1 2 4 t 4 t 4 t 2 2 4 t 4 2t 2 2t 4 t 4 t 4 t 2 1 2t 3 t 2 4 t 2t 1 4 t 2 4 t 4 t 4 t 2 f t 0 t 0;3 min f t f 0 2 8 4 18 Khi x 1; y 1 0;3 max f t f 3 9 6 2 8 25 Khi x 2; y 1 0;3 Vậy M m 25 18 43.  Trang 125 
  3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 3. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có min f x f 2 . ;0 Giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên đoạn 1;3 bằng A. d 2a . B. d 8a . C. d 16a . D. d 11a . Lời giải Tác giả: Bùi Thị Phương Thảo; Fb: Phuong Thao Bui Chọn C c Ta có y 3ax2 c y 0 3ax2 c 0 x2 . 3a Do min f x f 2 nên phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt x1 2 ; x2 2 với a 0 , ;0 c c 0 và 2 c 12a . 3a 3a x1 là điểm cực tiểu của hàm số và x2 là điểm cực đại của hàm số. Khi đó max f x f 2 8a 2c d d 16a . 1;3 Câu 4. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Nhà xe khoán cho hai tài xế taxi Nam và Tiến mỗi người lần lượt nhận 32 lit và 72 lit xăng. Hỏi tổng số ngày ít nhất là bao nhiêu để hai tài xế chạy tiêu thụ hết số xăng của mình được khoán, biết rằng chỉ tiêu cho hai người một ngày tổng cộng chỉ chạy đủ hết 10 lit xăng và mỗi ngày lượng xăng của mỗi người chạy là không thay đổi. A. 20 ngày. B. 25 ngày C. 15 ngày. D. 10 ngày Lời giải Tác giả: Nguyễn Ánh Dung; Fb: Nguyễn Ánh Dung Chọn A Gọi số lit xăng tài xế taxi Nam tiêu thụ mỗi ngày là x lit. Gọi số lit xăng tài xế taxi Tiến tiêu thụ mỗi ngày là y lit. Theo bài ra ta có x y 10 32 Tài xế Nam tiêu thụ hết 32 lit xăng trong số ngày là: ( ngày) x 72 Tài xế Tiến tiêu thụ hết 72 lit xăng trong số ngày là: ( ngày) y 32 72 Số ngày hai tài xế chạy hết số xăng được khóa là: ( ngày) x y 32 72 Đặt M , M 10 ( Vì số lit xăng hai tài xế nhận được là 104 lit, mỗi ngày tiêu thụ hết 10 lit x y xăng) 32 72 32 72 32 10 x 72x 320 40x M x y x 10 x x 10 x 10x x2  Trang 126 
  4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 M 10x x2 320 40x 10Mx Mx2 320 40x Mx2 10x 4 M 320 0 25. 4 M 2 320.M 25. 16 8M M 2 320.M 400 520M 25M 2 5M 52 2 2304 0 5M 52 2 2304 0 5M 52 2304 . 5M 52 2304 5M 52 48 5M 52 48 5M 100 5M 4 M 20 4 M 5 Kết hợp điều kiện M 10 ta có M 20 Vậy tổng số ngày ít nhất để hai tài xế chạy hết số xăng mình được khoán là 20 ngày. Câu 5. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn 5 x3 y3 z3 x y z xy yz zx 15xyz . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 x y z y2 z2 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Minh; Fb:Minh Văn Nguyễn Khi x, y, z dương thì 5 x3 y3 z3 x y z xy yz zx 15xyz 5 x3 y3 z3 3xyz x y z xy yz zx 5 x y z x2 y2 z2 xy yz zx x y z xy yz zx 5 x2 y2 z2 xy yz zx xy yz zx  Trang 127 
  5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 5 x2 y2 z2 6 xy yz zx 5x2 6x y z 6yz 5 y2 z2 . Vì 6 yz 5 y 2 z 2 4 y z 2 y z 2 y z 2 nên 5x2 6xA A2 5x2 6xA A2 0 (với A y z 0) A 1 x A hay y z x y z . 5 5 y z 2 Do đó P 2 x y z y2 z2 2 y z . 2 1 Đặt t y z , t 0 khi đó P 2t t 4 . 2 1 Xét hàm số f t 2t t 4 với t 0 . 2 Ta có f t 2 2t3 0 t 1. Bảng biến thiên x y z 1 3 Suy ra maxP khi t 1 y z 1 1 . 2 y z 2 Câu 6. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019) Cho các số thực dương x, y thay đổi và thỏa điều 2 2 x kiện x y 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T log x x 3log y là: y y A. 19. B. 13. C. 14. D. 15. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Thắng ; Fb: Nguyễn Thắng. Chọn D 4 4 3 Vì x y 1 nên ta có: T 3 log y x 1 2 3. 2 x log y log 1 log x y x x y  Trang 128 
  6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4 3 3t3 9t 2 5t 3 3t 2 2t 3 Đặt t logx y 0 t 1 (vì x y 1 ) thì: T 3 3 . t 1 2 t t t 1 2 t3 2t 2 t 3 2 2 3t 4 4t3 10t 2 12t 3 t 1 3t t 9t 3 3t3 t 2 9t 3 3t 1 t 3 T '(t) t 2 t 1 4 t 2 t 1 4 t 2 t 1 3 t 2 t 1 3 1 T ' 0 t . 3 Ta có bảng biến thiên: Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 15. Cách 2: Của cô Lê Thị Hồng Vân 0 a,b 1 4 3 Đặt a 1 log x y;b log x y và T 2 3 a b 1 a b 4 3 12 12 Áp dụng BĐT Cô – si cho 2 số dương ta có: 2 T 2 3. a2 b a2b a2b 3 a a 2 b a 2 2 1 Ta lại có: Theo BĐT Cô – si cho 3 số dương: .b 4 3 27 4 4 a2b T 2 12 : 3 15. 27 27 2 a,b 0;a b 1 a 3 Dấu ‘=’ xảy ra 4 3 a . ; b 1 a2 b 2 b 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 15. Câu 7. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x4 y4 z4 2y2 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 1 P 2y x z x2 y2 z2 1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Phạm Minh Trí ; Fb: Tri Nguyen  Trang 129 
  7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có : a2 b2 2ab 2(a2 b2 ) a2 b2 2ab 2(a2 b2 ) (a b)2 Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 2 2 2y (x z) 2 2 2 2y 2x 2z 2y(x z) y2 x2 z2 2 2 1 1 Vậy P 2y x z x2 y2 z2 x2 y2 z2 1 x2 y2 z2 1 1 Đặt t x2 y2 z2 thì ta có P t . Ta lại có đánh giá sau đây: t 1 2y2 2 x4 y4 z4 2y2 8 (x4 1) (y4 4) (z4 1) 2x2 4y2 2z2 4 x2 y2 z2 1 Vậy ta có t (0,4] . Xét hàm số f (t) t với t (0,4] , ta có t 1 1 1 1 21 f '(t) 1 0 với mọi t (0,4] nên f (t) f(4) . Vậy P t 4 (t 1)2 t 1 4 4 y x z 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi: x z 1 (x, y, z) (1, 2,1) y 2 21 Vậy P khi (x, y, z) (1, 2,1) max 4 Câu 8. (HSG 12 Yên Lạc 2 Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số cos x 2sin x 3 y . 2cos x sin x 4 Lời giải Tác giả: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen Phản biện: Fb:Hieu Le Với mỗi x ¡ ta có: 2cos x sin x 4 2 cos x 1 1 sin x 1 0 (vì sin x  1;1, cos x  1;1 ) nên cos x 2sin x 3 y y 2cos x sin x 4 cos x 2sin x 3 2cos x sin x 4 y 2 sin x 1 2y cos x 3 4y 0 (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi y 2 2 1 2y 2 3 4y 2 ,  Trang 130 
  8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 tương đương 11y2 24y 4 0 y 2 . 11 2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho lần lượt là m , M 2 . 11 Câu 9. (HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24 m3 . Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất. Lời giải Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y m (Điều kiện: h, x, y 0) h h 4x 4 Theo đề bài ta có x 6 y xyh 24 x2 54 Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của bể là S xy 2xh 2yh 8x2 x Ta đi tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : 27 27 27 27 3 Ta có S 8x2 33 8x2. . 54 . Dấu ‘=’ xảy ra khi x . x x x x 2 3 8 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 54 khi x y . 2 3 54 Cách 2 : Xét hàm số S 8x2 , x 0 . x 54 3 Có S ' 16x ; S ' 0 x . x2 2 Ta có bảng biến thiên : 3 8 Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x y . 2 3 8 Vậy khi chiều dài của bể bẳng m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất. 3 Câu 10. (HSG12 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2x y 0. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Trang 131 
  9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x2 xy y2 P . x2 xy y2 Lời giải Tác giả: Bùi Văn Lượng; Fb: luonghaihaubui t 2 t 1 x 1 Ta có P , với t . t 2 t 1 y 2 t 2 t 1 1 Xét hàm số f t với t . t 2 t 1 2 f t 0 2t 2 2 Tính được f t 2 , 1 t 1. t 2 t 1 t 2 Bảng biến thiên 1 Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng , không có giá trị lớn nhất. 3 Câu 11. (HSG12 Ninh Bình 2018-2019) Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 1, y 1, z 4 và x y z 0 . a) Chứng minh x2 y2 4xy 2 z2 2z . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x2 y2 1 P . x2 y2 4 xy 1 z 3 z x y 2 Tác giả: Nguyễn Đức Bình ; Fb: Nhần Đại Hoa Lời giải a) Do x 1, y 1nên x 1 y 1 0 xy 1 x y . x2 y2 4xy 2 x y 2 2 xy 1 x y 2 2 x y z2 2z . x2 y2 1 x2 y2 1 b) Ta có P x2 y2 4 xy 1 z 3 z x y 2 x2 y2 4xy 2 2 z 3 z x y 2  Trang 132 
  10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 x2 y2 1 x y 2 xy 1 1 z2 2z 1 P 2 2 P 2 2 . z 2z 2 z 2z 2 z 2z 2 z 2z 2 z2 2z 1 Xét f z 2 với 4 z 2 vì z x y 2 . z 2z 2 2 2 2z 2 z 2z 2 2z 2 z 2z 1 4z2 2z 6 f z 2 2 z2 2z 2 z2 2z 2 z 1 Cho f z 0 3 . z 2 3 5 1 Ta có: f 1 0, f 5 , f 4 , f 2 . 2 2 10 Vậy P f z 5 với 4 z 2 . 5 3 5 3 Hay giá trị lớn nhất P 5 khi x; y; z 1; ; hoặc x; y; z ; 1; . 2 2 2 2 Câu 12. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 )Xét hàm số f x x2 ax b với a , b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên 1;3 . Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a 2b . A. 4 . B. 4 . C. 3 . D. 2 . Lời giải Tác giả: Nguyễn Trung Kiên – Lê Minh Triều Chọn A f ( 1) 1 a b ; f (0) b ; f (1) 1 a b 1 a b ; f (2) 4 2a b và f (3) 9 3a b Ta có: f (3) f ( 1) 2 f (1) (9 3a b) (1 a b) 2( 1 a b) 8 9 3a b 2 a 2 Vậy 4M 8 nên M min 2 xảy ra khi 1 a b 2 b 1 1 a b 2 Thử lại khi a 2;b 1, ta có f (x) x2 2x 1 trên đoạn  1;3 2 x 2x 1 khi x 1;1 2  1 2;3 f (x) x2 2x 1 khi x 1 2;1 2  Trang 133 
  11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2x 1 khi x 1;1 2  1 2;3 f (x) 2x 2 khi x 1 2;1 2 f '(x) 0 x 1 f ( 1) 2 ; f (1) 2 ; f (3) 2 ; f (1 2) 0 (thỏa M 2 ). Vậy a 2b 4 . Cách 2: Tác giả: Ngô Minh Ngọc Bảo; Fb: Ngô Minh Ngọc Bảo Chọn C Xét hàm số y = f (x)= x2 trên đoạn [- 1,3]. Trên đồ thị hàm số y = f (x)lấy hai điểm A(- 1,1), B(3,9). x + 1 y - 1 Phương trình đường thẳng AB là: = Û y = 2x + 3. 4 8 Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (x) song song với AB . Giả sử tiếp điểm của tiếp tuyến d là M (a,a2 ). Ta có: 2a = 2 Û a = 1 (do d // AB ). Phương trình đường thẳng d là: y = 2(x - 1)+ 1 Û y = 2x - 1. Đường thẳng - ax - b là đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng d và AB , do đó: ïì - a = 2 ïì a = - 2 íï Û íï Û a + 2b = - 2 + 2.(- 1)= - 4 . îï - b = 1 îï b = - 1 Câu 13. (HSG10 HÀ NAM 2018-2019) Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 x2 y2 1 xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 7 x4 y4 4x2 y2 . Tính M m . Lời giải Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình 2 P 7 x4 y4 4x2 y2 7 x2 y2 2x2 y2 4x2 y2 . 2 2 2 2 2 2 1 xy 2 2 7 2 2 2 2 7 x y 10x y 7 10x y x y 2xy 1 10x y . 2 4 33 7 7 P x2 y2 xy . 4 2 4 Đặt t xy , ta có 1 1 1 xy 2 x2 y2 4xy xy t . 3 3  Trang 134 
  12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 1 1 2 x y 2xy 1 xy 2 x y 1 5xy 0 xy t . 5 5 33 2 7 7 1 1 P t t với t ; 4 2 4 5 3 70 7 7 20 M xảy ra khi t hay xy . Khi đó x2 y2 . 33 33 33 33 34 2 x 33 11 2 34 2 7 33 11 xy y 33 2 Ta có . 2 2 20 34 2 x y 33 33 11 x 2 34 2 33 11 y 2 18 1 1 2 m xảy ra khi t hay xy . Khi đó x2 y2 . 25 5 5 5 5 x 5 1 5 xy y 5 5 Ta có . 2 2 2 5 x y x 5 5 5 y 5 2344 Vậy M m . 825 Câu 14. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên một chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu xe chở 2 3k được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 180 trăm đồng. 2 Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất.  Trang 135 
  13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tính số tiền đó. Lời giải Cách 1. 2 3k Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là T k k 180 với k ¥ , 0 k 50 . 2 2 3k Xét hàm số T k k 180 với k 0;50 . 2 Dễ thấy T k liên tục trên 0;50. 2 3k 3k 3 3k 9k Ta có T k 180 2k 180 180 180 và 2 2 2 2 2 3k 9k k 120 0;50 T k 0 180 180 0 . 2 2 k 40 0;50 Ta tính được T 0 0 , T 50 551250 , T 40 576000 . Do đó maxT k T 40 576000 . 0;50 Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền đó là 57600000 đồng. Cách 2. 3k Với k 0;50 thì k và 180 không âm nên 2 3 3k 3k 2 2 3k 180 180 3k 1 3k 1 2 2 T k k 180 3k 180 576000 . 2 3 2 3 3 3k Đẳng thức xảy ra khi 3k 180 k 40 . 2 Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền đó là 57600000 đồng. Giải các phương trình sau: Câu 15. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một xe khách chất lượng cao đi từ Cần Thơ đến Hà Nội chở được nhiều nhất 50 hành khách trên mỗi chuyến đi. Theo tính toán của nhà xe, nếu chở 2 3k được k khách thì giá tiền mà mỗi khách phải trả khi đi tuyến đường này là 180 trăm đồng. 2 Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe sao cho tổng số tiền thu được từ hành khách nhiều nhất. Tính số tiền đó. Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Dung; Fb: Dung Nguyễn  Trang 136 
  14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 3 Số tiền thu được trên mỗi chuyến xe là: T k 180 k ;0 k 50. 2 2 3 Gọi T(k) k 180 k . 2 2 3 Bài toán trở thành: Tìm k để T(k) k 180 k đạt GTLN, với 0 k 50 . 2 3 9 Ta có: T (k) 180 k 180 k 2 2 k 120 (0;50) T (k) 0 . k 40 Bảng biến thiên: Vậy số tiền thu được nhiều nhất khi xe chở 40 hành khách và số tiền thu được là 576000 trăm đồng ( tức là 576.000.000 đồng) Câu 16. (HSG12 tỉnh Lào Cai năm 2018-2019) Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 bc b2 ca c2 ab P 44 a b c . b c c a a b Lời giải a2 bc a2 bc ab ac a b a c a2 bc a b a c Ta có a a b c b c b c b c b c b2 ca b c b a c2 ab a c c b Tương tự ta có: b ; c c a c a a b a b a b a c b c b a c a c b P a b c 44 a b c b c c a a b ÁP dụng bất đẳng thức AM-GM a b a c b c b a 2 a b b c c a b c b a c a c b 2 b c c a a b c a c b a b a c c a a b b c a b a c b c b a c a c b 2 4 a b c b c c a a b  Trang 137 
  15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 P a b c 44 a b c Đặt t 4 a b c 0 a b c 44 a b c t4 4t . 2 Ta có t4 4t t4 2t2 1 2 t2 2t 1 3 t2 1 3 3 P 3 a b c 1 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c . a b c 3 Câu 17. (HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019) Nhà bạn An muốn đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được 400000 cm3 nước. Biết rằng chiều cao của bể gấp 2 lần chiều rộng của bể . Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm nguyên liệu nhất Lời giải Tác giả: Trần Thị Vân; Fb: Trần Thị Vân Gọi a,b, c lần lượt là chiều rộng , chiều dài , chiều cao của khối hộp chữ nhật a,b,c 0 200000 Theo giả thiết ta có V abc 400000 và c 2a 2a2b 400000 ab a Ta có tổng diện tích xung quanh và diện tích 1 mặt đáy của bể cá là 2 200000 2 1000000 2 250000 2 S ab 2ac 2bc ab 4a 4ab 5. 4a 4a 4 a a a a 125000 125000 2 125000 125000 2 S 4 a 4.33 . .a 30000 a a a a 125000 2 200000 2 Suy ra S đạt giá trị nhỏ nhất khi a a 50 Sđáy ab 4000 cm a a Câu 18. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Một chất điểm chuyển động có phương trình s t t3 3t 2 9t 2 , t 0 , t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật nhỏ nhất? A. 3 giây. B. 1 giây. C. 2 giây. D. 6 giây. Lời giải Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông Chọn B Ta có s t t3 3t 2 9t 2 v t s t 3t 2 6t 9 3 t 1 2 6 6 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 1. Hay tại thời điểm t 1 thì vận tốc của vật nhỏ nhất. Câu 19. (HSG12 HCM năm 2018-2019) Cho các số thực a,b,c 1; thỏa mãn a10 b và loga b 2logb c 5logc a 12 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2loga c 5logc b 10logb a . Lời giải  Trang 138 
  16. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Phan Tran Bao Bao ; Fb: Phan Tran Bao Bao x, y, z 0 x.y.z 1 Đặt x loga b; y logbc; z logc a . Ta có x 10 x 2 y 5z 12 Khi đó : 2 5 10 2 5 100 90 2 5 100 P 33 . . 9 30 9 21 z y x z y x x z y x x.y.z 1 x 10 loga b 10 2 5 100 1 1 2 10 Suy ra Pmin 21 đạt được khi y logb c b c a . z y x 2 2 1 1 x 2 y 5z 12 z log a 5 c 5 Câu 20. (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2sin2 x f (x) . x x sin4 cos4 2 2 Tác giả: Phạm Trung Khuê ; Fb: Phạm Trung Khuê Lời giải x x x x 1 2 sin2 x 1. Ta có sin4 cos4 1 2sin2 cos2 1 sin2 x 0,x 2 2 2 2 2 2 4sin2 x 8 Khi đó f (x) 4 . 2 sin2 x 2 sin2 x 8 Vì 0 sin2 x 1 1 2 sin2 x 2 nên 4 8 . Do đó 0 f (x) 4. 2 sin2 x Ta có f (x) 0 sin x 0 x k k ¢ , f (x) 4 sin2 x 1 sin x 1 x 2k k ¢ . 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của f (x) là 0 đạt được khi x k k ¢ , giá trị lớn nhất của f (x) là 4 đạt được khi x 2k k ¢ . 2 Câu 21. (HSG12 Thành Phố Đà Nẵng 2018-2019)Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên ¡ là f x x x2 1 x2 3 . Giả sử a, b là hai số thực thay đổi sao cho a b 1. Giá trị nhỏ nhất của f a f b bằng  Trang 139 
  17. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 64 33 3 64 3 11 3 A. . B. . C. . D. . 15 15 5 5 Lời giải Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn Phản biện: Đỗ Hữu Nhân; Fb: Do Huu Nhan Chọn B Ta có y f x x x2 1 x2 3 suy ra y f x x x2 1 x2 3dx . Đặt t x2 3 t2 3 x2 xdx tdt . Suy ra t5 4 x x2 1 x2 3dx t 2 4 t 2dt t 4 4t 2 dt t3 C , với C là hằng số. 5 3 2 x2 3 x2 3 4 x2 3 x2 3 Từ đó f x C . Đây là hàm số chẵn trên ¡ . 5 3 2 2 x 0 Mặt khác f x 0 x x 1 x 3 0 . x 1 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét: .Trên khoảng ; 1 hàm số nghịch biến, do đó với a b 1 f a f b nên f a f b 0. min f x f 1 f 1 x  1;1 .Xét trên đoạn  1;1, ta có . Để f a f b đạt GTNN thì f a đạt max f x f 0 x  1;1 a 1 min và f b đạt max. Do đó , vì a b 1. b 0 Hay giá trị nhỏ nhất của f a f b bằng 16.2 16.2 9 3 12 3 33 3 64 f 1 f 0 0 . 5 3 5 3 15 33 3 64 Vậy giá trị nhỏ nhất của f a f b bằng . 15 Câu 22. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Gọi M , N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất  Trang 140 
  18. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 của hàm số y x cos 2x trên ; . 4 4 3 3 2 3 A. .B. .C. 1.D. . 6 2 12 2 4 6 2 Lời giải Chọn A Ta có y x2 cos 2x . x y 2sin 2x,x 0 . x2 +) y không xác định tại x 0 . +) y 0 x 2 x .sin 2x 0 . 1 Với x 0; : y 0 x 2xsin 2x 0 sin 2x x . 4 2 12 1 Với x ;0 : y 0 x 2xsin 2x 0 sin 2x x . 4 2 12 Ta có : y 0 1 3 y 12 12 2 3 y . 12 12 2 y 4 4 y 4 4 3 Suy ra M ; N . 12 2 4 3 3 Vậy M N . 12 2 4 2 6 Câu 23. (HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gà. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí nguyên vật liệu là 80 ngàn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngàn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.  Trang 141 
  19. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x x x a b Tác giả. Lê Thái Bình ,Face: lebinhle80@gmail.com Lời giải. Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x m ; x 0 và chiều dài của phần đất trồng rau và nuôi gà lần lượt là a m ,b m ;a 0;b 0 . Khi đó diện tích của khu đất là S a b x m2 . Mặt khác theo giả thiết tổng chi phí là 20 triệu đồng nên ta có 3x.40000 a b 80000 20000000 3x 4 a b 500 . 2 3x 4 a b 5002 15625 15625 175 250 Ta có 12S 3x.4 a b S MaxS= a b ; x 4 4 3 3 2 3 Câu 24. (HSG10 CẦU GIẤY – THƯỜNG TÍN - HÀ NỘI 2018-2019) Cho tam giác ABC . Đặt a BC , b AC , c AB . Gọi M là điểm tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB2 MC 2 theo a ,b , c . Lời giải Tác giả:Nguyễn Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyễn Phi Thanh Phong.    Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra GA GB GC 0 .  2  2  2 Ta có P MA2 MB 2 MC 2 MA MB MC .  2   2   2 MA MG GA MG2 2.MG.GA GA    2   2 2 2 Với MB MG GB MG 2.MG.GB GB  2   2   2 MC MG GC MG2 2.MG.GC GC  2  2  2 MA MB MC 3MG2 GA2 GB2 GC 2 2 2 2 2 2 Khi đó P 3MG GA GB GC và Pmin MG min MGmin M  G .  Trang 142 
  20. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 2 2 4 2 4 b c a 1 2 2 2 GA ma 2b 2c a 9 9 2 4 9 2 2 2 2 4 2 4 a c b 1 2 2 2 Mặt khác GB mb 2a 2c b . 9 9 2 4 9 4 4 a2 b2 c2 1 2 2 2 2 2 GC mc 2a 2b c 9 9 2 4 9 2 2 2 1 2 2 2 Từ trên, ta được: Pmin GA GB GC a b c . Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi M  G . 3 Câu 25. (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho x , y , z là 3 số thực thỏa mãn x2 y2 z2 1. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy yz 2019zx. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q xy yz 2zx . Lời giải a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy yz 2019zx. Ta có: 0 x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 1 2 xy yz zx . 1 Suy ra xy yz zx . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 0. 2 1 1 z2 x2 1 2018 2019 Do vậy P xy yz zx 2018zx 2018zx 2018 . 2 2 2 2 2 2 x2 y2 z2 1 x y z 0 1 Dấu “=” xảy ra y 0, x z . x z 2 2 2 z x 1 2019 1 Vậy min P khi y 0, x z . 2 2 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcQ xy yz 2zx . Xét các giá trị dương của x, y, z. Vì x2 y2 z2 1 nên ta có thể đặt y cos x sin cos  , với ,  0;  2 z sin sin  Thế thì Q y x z 2xz cos sin cos  sin  2sin2 sin  cos   Vì ,  0; nênQ 2 cos sin sin 2 (1)  2 1 Dấu “=” xảy ra khi cos  sin   2 Biến đổi (1) với dạng  Trang 143 
  21. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 1 cos 2 1 1 1 3 1 3 Q sin 2 2 sin 2 cos 2  2 2 2 2 2 2 2 6 2 1 sin 2 3 Dấu “=” xảy ra sin 2 cos 2 3 2 sin 2 cos 2 3 cos 2 3 3 3 sin 6 3 3 3 3 Suy ra ; tức là y , x z  3 3 6 12 cos 6 1 3 3 3 3 3 Vậy max Q khi y , x z  2 6 12 Câu 26. (HSG11 tỉnh Thanh Hóa năm 2018-2019) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn: 1 2 4x2 4y2 z2 2x 2y z . 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 8x3 8y3 z3 P (2x 2y z)(4xy 2yz 2zx) Lời giải Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran 2x 2y 2z Đặt a ; b ; c . Khi đó a, b, c 0 . 2x 2y z 2x 2y z 2x 2y z 2 2 2 1 2 2 2 2 * Khi đó a b c 1 và điều kiện 4x 4y z 2x 2y z trở thành a b c 1 2 a3 b3 c3 còn P ab bc ca * Ta có: a b c 3 a3 b3 c3 3 a b b c c a a3 b3 c3 3 a b c ab bc ca 3abc thế vào P thì: 1 3 ab bc ca 3abc 1 3abc P P 3 ab bc ca ab bc ca 1 1 Mặt khác từ giả thiết ta có: 1 S 2 2 ab bc ca ab bc ca thế vào P thì ta được: 2 4 11 P 3 4 12abc P 1 12abc . Ta chứng minh P 1 12abc 9 1 * Thật vậy khi đó BĐT 6abc 9  Trang 144 
  22. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 1 2 1 a b 1 2 1 1 2 1 2 1 2 Ta có: a b c 1 c c c 0 c 36 36 3 3 2 18 3 3 9 3 3 2 c 0; 3 2 2 2 2 1 2 1 Xét : Q 6abc 2ab.3c 4ab 2 a b a b 2 1 c c 2 9 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2c c c 0 c2 c 0 c 2 9 9 3 3 1 BĐT đúng nếu ta lấy c là số lớn nhất thì 1 a b c 3c c Ta có điều phải chứng minh. Vậy 3 11 1 1 1 max P tại a b ,c x y z 9 6 3 4 Câu 27. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Tìm giá trị thực của tham số m 0 để hàm số y mx2 2mx 3m 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên ¡ . A. m 2 . B. m 2 . C. m 1. D. m 1. Lời giải Tác giả: TRUONG SON; Fb: Truongson Chọn A a m 0 m 0 Để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 10 trên ¡ b2 4ac 16m2 8m m 2 . 10 10 4a 4m Vậy m 2 . Câu 28. (HSG11 tỉnh Phú Yên năm 2018-2019) Cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x2 y2 z2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xy yz zx A . z x y Lời giải 2 2 2 2 xy yz zx 2 2 2 Ta có A 2 y z x . z x y Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 z2 xy yz zx . Ta được A2 y2 z2 x2 2 y2 z2 x2 3 y2 z2 x2 3. xy yz xz 1 Đẳng thức xảy ra x y z . z x y 3 1 Vậy min A 3 đạt được khi x y z . 3 Câu 29. (HSG12 Cao Bằng năm 2018-2019) Một khách sạn có 50 phòng. Nếu mỗi phòng cho thuê  Trang 145 
  23. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 với giá 400 ngàn đồng một ngày thì toàn bộ phòng được thuê hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá lên 20 ngàn đồng thì có thêm hai phòng bỏ trống không có người thuê. Hỏi giám đốc khách sạn phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất? Lời giải Gọi x ( ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x 400 . Giá thuê phòng chênh lệch sau khi tăng là: x 400 ( ngàn đồng). Số lượng phòng cho thuê giảm đi khi chọn mức giá thuê phòng mới là: x 400 x 400 .2 (phòng). 20 10 x 400 900 x Số phòng cho thuê với giá x là: 50 . 10 10 900 x x2 Tổng doanh thu trong ngày là: x. 90x . 10 10 x2 Xét hàm số f x 90x với x 400 . 10 x f x 90 f x 0 x 450 . 5 Qua bảng biến thiên ta thấy f x đạt giá trị lớn nhất khi x 450 . Vậy nếu thuê với giá 450 ngàn đồng thì khách sạn có doanh thu cao nhất trong ngày. Câu 30. (HSG12 tỉnh Thái Nguyên năm 2018-2019) Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện 8 x2 2y2 . 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 7 x 2 y 4 x 2 2xy 8 y 2 . Lời giải Ta có: 4 x2 2xy 8y2 16x2 32xy 128y2 7 x 2y 2 3x 10y 2 3x 10y (1). Suy ra P 7 x 2y 4 x2 2xy 8y2 7 x 2y 3x 10y 4 x y . 1 1 2 2 Mặt khác: x y 1.x . 2y 1 x 2y 2 P 4.2 8 (2). 2 2  Trang 146 
  24. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 7 x 2y 2 0 4 x x 2y 3 Dấu đẳng thức xảy ra ở (1) và (2) khi và chỉ khi . 1 1 2 y 2 3 8 x2 2y2 3 4 x 3 Vậy GTLN P 8 đạt được khi . 2 y 3 Câu 31. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Với a,b,c là các số thực lớn hơn 1, đặt x loga bc , y logb ca , z logc ab . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y 4z A. 6 . B. 12. C.10. D. 16. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Tuyết Hằng; Fb: Hang Tuyet Chọn C Ta có: x loga bc loga b loga c . y logb ca logb c logb a . z logc ab logc a logc b . Đặt: A loga b, B logb c, C logc a với A,B,C 0 (do a,b,c 1) 1 1 4 1 4 1 Khi đó: P x y 4z A B 4C A B 4C . C A B A B C Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số thực dương: 1 1 A 2 A. 2 . Đẳng thức xảy ra khi A 1 a b . A A 4 4 B 2 B. 4 . Đẳng thức xảy ra khi B 2 log c 2 c b2 . B B b 1 1 1 1 4C 2 4C. 4 . Đẳng thức xảy ra khi C log a a c . C C 2 c 2 Suy ra : P 10 . a b Vậy min P 10 khi 2 2 . c a b  Trang 147 
  25. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 32. (HSG10 Cụm Hà Đông Hà Đức Hà Nội năm 2018-2019) Cho hai tia Ax , By với AB 100 · 0 cm , xAB 45 và By  AB . Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A với vận tốc 3 2 cm / s , cùng lúc đó chất điểm Y chuyển động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4 cm / s . Sau t (giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM , chất điểm Y di chuyển được đoạn đường BN . Tìm giá trị nhỏ nhất của MN . y x N M 450 A B Lời giải Tác giả: Phan Nhật Hùng; Fb: Hùng Phan Nhật Sau t (giây) ta có AM 3 2t (cm) , BN 4t (cm) . y' N M K A H B x' Dựng hệ trục Descartes vuông góc Ax y , A  O(0;0) như hình vẽ trên. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ax và Ay . Với t 0 ( tức M A) ta có AHMK là hình vuông. Suy ra AH AK 3t (cm) . M 3t;3t , N 100;4t . (Nói thêm là trường hợp M  A thì tọa độ M vẫn đúng). 2 2 Khi đó MN 2 100 3t t 2 10t 2 600t 10000 10 t 30 1000 1000, t ¡ . MN 10 10,t ¡ . Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi t 30 . Vậy min MN 10 10 cm khi t 30 giây. Câu 33. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho tam giác ABC . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin A sin B 4 12 sin C . Lời giải Tác giả: Đặng Ngọc Sáng ; Fb: dang ngoc sang  Trang 148 
  26. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 A B A B C A B C Ta có: sin A sin B 2 sin A sin B 4sin cos 4cos cos 4cos 2 2 2 2 2 C C 3 C 3 4 sin A sin B 2 cos P 2 cos 2 sin C 2 2 cos sin C 2 2 4 2 2 Ta lại có: 2 2 C 3 2 C 3 2 3 2 8 3 1 8 cos sin C 2 cos sin C 1 cosC 1 cos C cosC 2 2 2 4 2 3 2 3 3 C 3 2 6 2 cos sin C 2 P 2 4 2 4 2 2 3 3 3 A B 2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2 4 . Dấu " " xảy ra khi: 1 3 C arccos 3 Câu 34. (HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019) Cho các số thực không âm a,b,c thỏa c a,c b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2a c 2b c 64 8 a 1 P a b 2 2 2 2 2 . b c a c ab bc ca a a b Lời giải Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành. 1 1 1 1 1 1 Ta có : 2 4 ; 2 4 ; a2 c2 c b2 c2 c ab bc ca c c a b a . b 2 2 2 2 2 2 c c 4 a 4 b 2 2 2 64 1 Suy ra P a b 4 4 8 a c c c c a b a a b 2 2 2 2 2 2 c c 2 x y 64 1 1 Đặt a x ;b y ; x 0; y 0 . Ta có P x y 4 4 4 4 16 2 4 2 2 y x xy a2 c2 c a 2 3 x y x y x y Hay P 4 2 3 16 16 . y x y x y x x y Đặt t , t 2 . Xét hàm số f t 4 t 2 t3 3t 16 y x 5 Ta có f t 4 4t3 6t 2 6t 10 , f t 0 t 2  Trang 149 
  27. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 63 Lập bảng biến thiên suy ra f t . 4 a 1 a 1 1 1 1 1 Suy ra P và P b 2 hoặc b . Vậy Pmin . 4 4 2 4 c 0 c 0 Câu 35. (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Cho ba số thực a,b,c thoả mãn a3 b3 c3 3abc 32 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b2 c2 a b b c c a . Lời giải Ta có a3 b3 c3 3abc 32 a b c a2 b2 c2 ab bc ca 32 * Đặt t a b c , từ * suy ra t a b c 0 * a b c 3 a2 b2 c2 a b c 2 64 64 2 64 3 a2 b2 c2 a b c t 2 a b c t Ta chứng minh a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a 2 Thật vậy, vì vai trò a,b,c bình đẳng nên không giảm tổng quát giả sử rằng a b c , khi đó a b b c c a a b b c a c 2 a c Ta có 2 a c 2 a b 2 b c 2 c a 2 a c 2 a b 2 b c 2 a b b c 2 a b 2 b c 2 2 a b b c 0 Điều trên luôn đúng với a b c . Vì vậy a b b c c a 2 a b 2 b c 2 c a 2 32 8 2 a b b c c a 4 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 2 a b c t Ta có  Trang 150 
  28. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3P 3 a2 b2 c2 a b b c c a 64 2 8 2 64 64 3P t 8 2 t t 8 2.2 .t t 128 2 t t t t t t 128 2 P 3 128 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là . 3 4 4 2 4 2 2 Đạt được khi a ,b c và các hoán vị của a,b,c . 3 3 Câu 36. (HSG12 Hà Nội năm 2018-2019)Cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a2 b2 c2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a b c 4abc . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai 1 Không mất tính tổng quát giả sử a b c thì từ 1 a2 b2 c2 1 3a 2 a2 . 3 1 2 1 Mặt khác: 2bc b2 c2 1 a2 0 2bc 1 0 bc . 3 3 3 Ta có: 2 P2 a 1 4bc b c .1 a2 b c 2 1 4bc 2 1 1 2bc 1 4bc 2 1 . a Dấu bằng xảy ra khi b c * . 1 bc 1 Đặt t bc 0 t . Suy ra được P2 1 2t 16t 2 8t 2 32t3 4t 2 . 3 6 t 1 3 2 12 Xét hàm số f t 32t 4t 2,t 0; ; f t 96t 4 0 . 3 6 t l 12 1 50 6 f 0 2; f ; f 1,4556 . 3 27 12 1 a c b 0 * 2 Suy ra GTLN f t 2 khi t 0 . c 0 1 a b 2 1 a b Kết luận: max P 2 , đạt được khi 2 , hoặc các hoán vị của nó. c 0  Trang 151 
  29. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 37. (HSG12 tỉnh GIA LAI 2018-2019) Cho a,b,c là các số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện a b c 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 b c 5a M 2 a b c b a c Lời giải 1 1 1 5 Biến đổi M a b c 2 1 1 1 b c a 1 1 2 Ta có bất đẳng thức , x, y 0, xy 1 . 1 x 1 y 1 xy 1 1 2 2 Thật vậy x y xy 1 0 đúng x, y 0, xy 1. 1 x 1 y 1 xy Dấu bằng xảy ra khi x y 1 2 5 a b Do đó M . . Dấu bằng xảy ra . 2 a c b c 1 1 c a a 1 5t 5t 1 Đặt t . Vì a b c nên t 1 t t M c 1 t 1 t t 1 5t 1 4 Xét hàm số f t , ta có: f t 0,t 1; nên f t là hàm số đồng biến trên t 1 t 1 2 1; . Do đó f t f 1 t 1 . Vậy M min f 1 4 khi t 1 a b c . Câu 38. (HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho các số dương a , b , c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 6 P . a ab 3 abc a b c Lời giải Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết a 4b Vì a , b là các số dương nên: a 4b 2 a.4b a 4b 4 ab ab 1 . 4 Đẳng thức xảy ra khi a 4b . Vì a , b , c là các số dương nên: a 4b 16c a 4b 16c 33 a.4b.16c a 4b 16c 12 3 abc 3 abc 2 . 12 Đẳng thức xảy ra khi a 4b 16c . Từ 1 và 2 suy ra:  Trang 152 
  30. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 a 4b a 4b 16c 4 a ab 3 abc a a ab 3 abc a b c 4 12 3 1 3 . a ab 3 abc 4 a b c 3 6 Do đó: P . 4 a b c a b c Đặt: t a b c t 0 . 3 6 3 6 12t 3 Xét: f (t) (t 0) f '(t) . 4t 2 t 2t3 t 2 2t3 1 f '(t) 0 t . 4 Bảng biến thiên: t 0 1 4 f '(t) _ 0 + f (t) 12 1 Từ bảng biến thiên ta có: P f a b c f ( ) 12,a,b,c 0 . 4 1 a 21 a 4b 16c 1 Đẳng thức xảy ra khi: 1 b . a b c 84 4 1 c 336 Vậy min P 12 . Câu 39. (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Cho ba số thực dương a,b,c . Tìm giá trị nhỏ nhất của a b c P 2b 3c 2c 3a 2a 3b Lời giải Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu  Trang 153 
  31. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 a 6u 9v 4w 35 u 2b 3c 1 1) Đặt v 2c 3a b 4u 6v 9w . 35 w 2a 3b 1 c 9u 4v 6w 35 1 6u 9v 4w 4u 6v 9w 9u 4v 6w P 35 u v w 1 9v 4w 4u 9w 9u 4v 18 35 u u v v w w 1 4v 4u 4w 4v 4w 4u 5v 5w 5u 18 35 u v v w u w u v w 1 3 18 2 16 2 16 2 16 3 125 35 5 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là u v w a b c . 5 Câu 40. (HSG12 tỉnh KonTum năm 2018-2019) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn điều kiện 3a2 2b2 c2 6 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 a b c abc . Lời giải 2 Với bốn số a , b , x , y ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ax by a2 b2 x2 y2 1 (Học sinh có thể không cần chứng minh bất đẳng thức 1 ) Áp dụng bất đẳng thức 1 , ta có 2 2 2 P2 a 2 bc 2. 2 b c a2 2 2 bc 2 b c a2 2 b2 2 c2 2 Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 3 2 2 2 1 1 3 a 2 2 b 2 c 2 a2 2 b2 2 c2 2 3 a2 2 .2 b2 2 c2 2 36 6 6 3 Từ đó suy ra P2 36 . Suy ra 6 P 6 . Mặt khác với a 0 , b 1, c 2 thì 3a2 2b2 c2 6 và P 6 . Với a 0 , b 1, c 2 thì 3a2 2b2 c2 6 và P 6 Vậy MinP 6 khi a 0 , b 1, c 2 . MaxP 6 khi a 0 , b 1, c 2 .  Trang 154 
  32. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 41. (HSG10 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019)Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x3 y3 z3 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 xyz x y z 1 P xy yz zx xy yz zx 1 Tác giả. Lê Thái Bình,Face: lebinhle80@gmail.com Lời giải Ta có các đánh giá sau: x3 1 1 3x x3 y3 z3 6 3 x y z x y z 3 . x3 y3 z3 x y z x2 y2 z2 xy yz zx 3xyz 3 x2 y2 z2 xy yz zx 3xyz 1 xyz x2 y2 z2 xy yz zx xyz x y z 2 1 3 xy yz zx . . 0 xy yz zx 3 1 3 xy yz zx 1 .Khi đó ta có P . xy yz zx xy yz zx 1 1 3t 1 1 37 37 Đặt t xy yz zx t 0;3; P 3 . Vậy MinP x y 1 t t 1 t t 1 12 12 Câu 42. (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x y 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y P . 2019 x 2019 y Lời giải Cách 1: Tác giả: Nguyễn Thị Xuân Trinh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh Ta có x y 2019 y 2019 x 1 1 2019 P x y 2019 x 2019 y y x x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y 1 1 x y 2.2019 4038 1 1 4 1 1 4 4 Áp dụng bất đẳng thức , ta có: a b a b x y x y 4038 4 Vậy P 2019. 4038 4038 . 4038  Trang 155 
  33. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x y 2019 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 x y . 2 x y Cách 2: Tác giả: Cô Lê Minh Huệ - QTV Strong Team Toán VD – VDC. Ta có x y x y x2 y2 P 2019 x 2019 y y x x y y x 2 x2 y2 x y 20192 Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số, ta có: x y y x x y y x xy x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y 1 1 x y 2.2019 4038 x y 2019 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: xy 2 2 20192 Vậy P 4038 . 2019 . 4038 2 x y x y y x x y 2019 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y . 1 1 2 x y Câu 43. (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c ab bc ca . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 b2 c2 P a b c . a2 3bc b2 3ca c2 3ab Lời giải Tác giả: Châu Hòa Nhân ; Fb: Hòa Nhânn 2 2 a2 b2 c2 a b c a b c Ta có: a2 3bc b2 3ca c2 3ab a2 3bc b2 3ca c2 3ab a b c 2 ab bc ca Vì a b c ab bc ca nên 2 a2 b2 c2 a b c a b c . a2 3bc b2 3ca c2 3ab a b c 2 a b c a b c 1 a b c Suy ra P a b c . a b c 1  Trang 156 
  34. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Đặt t a b c (hiển nhiên t 0 ). a b c 2 Ta có: a b c ab bc ca a b c 3 . Dấu “=” xảy ra khi a b c . 3 t Vậy có P t với t 3 . t 1 t Hướng 1: Xét hàm số f (t) t với t 3 . t 1 1 1 Ta có: f (t) 0,t 3 và hàm số f (t) liên tục trên [3; ) . t 1 2 2 t 3 hàm số f (t) đồng biến trên [3; ) nên f (t) f (3) 3 , t 3. 4 3 Do đó Min f t f 3 3 . 3; 4 3 a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 t 3 Hướng 2: Ta chứng minh t 3 (*) với t 3 . t 1 4 t 3 t 3 t 3 Thật vậy, (*) t 3 0 0 t 1 4 4 t 1 t 3 1 1 t 3 0 luôn đúng t 3. 4 t 1 t 3 Dấu “=” xảy ra khi t 3 . 3 a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 t 3 Hướng 3: Ta chứng minh t 3 (*) với t 3 . t 1 4 Ta có: t 3 t 3 (1) 1 1 1 1 1 1 t 3 t 3 t 1 4 1 1 (2) t 1 4 t 1 4 t 1 4 t 1 4 Từ (1), (2) suy ra (*) luôn đúng t 3. Dấu “=” xảy ra khi t 3 . 3 a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 khi a b c 1. 4 a b c 3 Câu 44. (HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức  Trang 157 
  35. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 10 P 16 xy 2 10yz 2 10xz 45 x y z Lời giải Tác giả: Phan Quang Sơn Ta có 16 xy 2 10yz 2 10xz 16 xy 2 (2y)(5z) 2 (2x)(5z) 8x 8y 2y 5z 2x 5z 10(x y z) . 1 10 1 10 Vậy ta có P f t , với t x y z 0. 10 x y z 45 x y z 10t t 45 1 10 1 10 Xét f t với t>0. Ta có f (t) ; 10t t 45 10t 2 (45 t)2 t 5 2 t 0 f (t) 0 t 45 100t 2 45  t 5 . t 11 Ta có bảng biến thiên 9 Suy ra P f t t 0 . 50 25 5 x y 9 x y z 12 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi 2 50 5 x y z 5 z 6 Câu 45. (HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Trên sa mạc có một khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 70 km , chiều rộng AD 10 km . Vận tốc trung bình của xe máy trên khu đất này là 20 km/h , riêng đi trên cạnh CD thì vận tốc là 40 km/h . Một người đi xe máy xuất phát từ A lúc8h sáng và muốn đến B sau 3h nữa. Hỏi người đó có thể đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển trên khu đất từ A đến B để hết ít thời gian nhất. Lời giải  Trang 158 
  36. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Cách 1. Trường hợp: xe máy không chạy trên CD, khi đó thời gian ngắn nhất đi từ A đến B là chạy trên AB 70 suy ra t 3,5 h . 20 Trường hợp: xe máy có chạy trên CD. Giả sử xe chạy từ A đến B qua EF. Đặt DE x, FC y, 0 x, y 70 EF 70 (x y); AE x2 100; BF y2 100 . Khi đó thời gian xe chạy là: 2 2 x 100 y 100 70 (x y) 1 2 2 2 2 x y t x 10 y 10 35 20 20 40 20 2  1 2 x y (x y) 400 35 (áp dụng u v u v ) 20 2 a Xét h(a) a2 400 35 ; 0 a 70 2 a 1 20 h' (a) 0 a a2 400 2 3 20 Dựa vào BBT 0 70 a 3 h a – 0 + h a 20 30 7 2 3 h(a) h 35 t (h) 3 3 4 x y 10 tmin 20 x y x y a 3 3 Từ 2 trường hợp trên ta có thể kết luận: Sau 3h xe có thể chạy từ A đến B được, với thời gian chạy 7 2 3 10 ngắn nhất t (h) khi DE CF . 4 3 Cách 2.  Trang 159 
  37. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 KN1: Để đi từ A đến B nếu chỉ di chuyển trên đoạn AB thì hết số giờ là B A S 70 t 3,5 ( giờ), vậy trong trường hợp này V 20 không thể đến B kịp thời gian sau 3 giờ như yêu cầu bài toán. D Vì vận tốc trên khu đất ( trừ cạnh CD) là 20km/h, do C đó chỉ đi theo AB không kịp thời gian thì mọi con E F đường khác mà không đi trên CD đều không kịp thời gian. Do đó ta xét khả năng 2 KN2: Để đi từ A đến B và có đi trên cạnh CD Giả sử đi từ A đến E, từ E đến F và từ F đến B (như hình vẽ). Đặt DE a, FC b 100 a2 100 b2 70 (a b) Khi đó thời gian để di chuyển từ A đến B là t 20 20 40 Áp dụng bđt a2 b2 c2 d 2 (a c)2 (b d)2 100 a2 100 b2 (10 10)2 (a b)2 400 (a b)2 Ta có , 20 20 20 20 dấu “=” xảy ra khi a b 100 a2 100 b2 70 (a b) 400 (a b)2 70 (a b) Vậy t 20 20 40 20 40 Đặt a b x,(0 x 70) 400 x2 70 x Xét f (x) , 0 x 70 20 40 x 1 f '(x) ,0 x 70 20 400 x2 40 20 3 f '(x) 0 400 x2 2x x 3 BBT 2 3 7 Vậy GTNN của f(x) là 4 Cách 3: 1 2 2 2 2 x y 1 2 x y t x 10 y 10 35 (x y) 400 35 . 20 2 20 2 2 2 a 20 3 2 3 7 2 5a 2 Xét A a 400 ; f 0 a 70 A 400 a a 400 . 2 3 4 4  Trang 160 
  38. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 2 2 1 2 1 4a a 400 5a 400 Ta có: a a 400  2a a 400 2 2 2 4 5a2 1 7 2 3 a a2 400 100 A2 300 A 10 3 t 10 3 35 . 4 20 4 Câu 46. (HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y; x z; x2 9 yz xz 9xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9 y x 2 y x 2 y z 2z x P 3 . y x y y z x z Lời giải Tác giả: Nhóm 5 tổ 8 nhóm strong team toán vd – vdc. +/ Ta sẽ chứng minh: 1 1 2 Với mọi a,b dương và ab 1 thì (*) 1 a 1 b 1 ab Thật vậy: 2 (*) a b ab 1 0 (luôn đúng). Đẳng thức xảy ra khi a b hoặc ab 1 . +/ Ta có: x2 9 yz xz 9xy x z x 9 y 0 x 9 y 0 vì x z x z 0 x Đặt t t 1;9 y t 2 y z t 2 1 1 Khi đó P 3 9 t 1 1 3 9 t 2 z x t 1 y z x z t 1 1 1 y z Áp dụng bất đẳng thức đã chứng minh, ta có: t 2 2 t 2 2 P 3 9 t 2 3 9 t 2 t 1 z x t 1 1 t 1 y z t 2 2 Xét hàm số f (t) 3 9 t 2 ,t 1;9 có t 1 1 t 1 1 1 f '(t) 0,t 1;9 2 2 2   3 9 t t 1 t 1 t 18 từ đó suy ra P f (t) f(9) 5  Trang 161 
  39. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 9 y x z x 9 y x 9 y Dấu bằng xảy ra khi z y xy z2 z 3y x z . 1 z y 18 x 9 y Vậy min P khi . 5 z 3y Câu 47. (HSG12 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn x y z và x2 y2 z2 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y y z z x xy yz zx . Lời giải Cách 1: Đặt Q x y y z x z xy yz zx ta có Q P . +) xy yz zx 0 ta có Q 0 . +) xy yz zx 0 đặt t xy yz zx 0 . 2 3 x y y z x z Áp dụng BĐT Côsi ta có x y y z x z x z 1 2 4 2 2 2 Mà 4 x2 y2 z2 xy yz zx 2 x z 2 x y 2 y z 2 2 2 2 2 x z x y y z 3 x z hay 4 5 t 3 x z 0 2 t 5 3 1 4 2 3 2 3 Từ 1 và 2 suy ra Q t 5 t t 5 t . 4 5 9 Xét hàm số f t t 2 5 t 3 với t 0;5 t 2 Ta có 2 f t t 5 t 10 5t , f t 0 t 0 t 5 f 0 0, f 5 0, f 2 108 . Do đó Q 4 nên GTLN của Q là 4 khi x 2, y 1, z 0 . Suy ra P 4 nên GTNN của P là 4 khi x 2, y 1, z 0 . Cách 2: Đặt t xy yz zx x2 y2 z2 t 5. Ta có: 10 2x2 2y2 2z2 x y 2 y z 2 z x 2 2t x y 2 y z 2 z x 2 10 2t  Trang 162 
  40. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 2 2 2 1 2 2 3 2 z x 5 t Mà x y y z z x x y y z z x z x 2 2 4 3 2 2 4 2 x y y z x z 2 2 x z 5 t x y y z x y y z 2 4 16 3 2 2 2 2 2 2 5 t 20 4t 2 4 3 2 Ta có: P x y y z z x . xy yz zx .t 5 t t 3 3 27 Xét hàm số suy ra P2 16 min P 4 tại t 2 khi x 2, y 1, z 0 . Câu 48. (HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Cho x, y,z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 2018. x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 3029 P . 2x y z x 2y z x y 2z 2 Lời giải 1 1 1 1 * Xét bất đẳng thức phụ: với mọi a,b 0 . a b 4 a b * Dùng bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2x y z x y x z 4 x y x z 16 x y z 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương tự ta có: ; x 2y z 16 x y z x y 2z 16 x y z 1 1 1 1 3029 2018 3029 Suy ra: P 2019 . 4 x y z 2 4 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2019 đạt được khi và chỉ khi x y z . 2018 Câu 49. (HSG10 THPT THuận Thành 2018-2019) Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn x y z 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y z x z x y P . 2019 y z 2019 x z 2019 x y Lời giải Tác giả: Trần Thế Mạnh ; Fb: Tắc Kè Bông, thế mạnh Ta có y z x z x y 2019 x 2019 y 2019 z P 2019 y z 2019 x z 2019 x y x y z  Trang 163 
  41. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 1 1 1 2019. x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: x y z 1 1 1 x y z 3.2019 6057 1 1 1 9 1 1 1 9 9 Áp dụng bất đẳng thức , ta có: a b c a b c x y z x y z 6057 9 Vậy P 2019. 6057 6. 673 . 6057 x y z 2019 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 x y z . 3 x y z Vậy Pmin 6. 673 . Câu 50. (HSG10 THPT ĐAN PHƯỢNG 2018-2019) Cho x; y 0 là những số thay đổi thỏa mãn 2018 2019 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y . x y Lời giải Tác giả: Đoàn Công Hoàng; Fb: Đoàn Công Hoàng Tác giả: Đào Thị Thái Hà; Fb:Thái Hà Đào Cách 1 2018 2019 2018y 2019x +Ta có P x y = 2018 2019 . x y x y 2018y 2019x +Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ; ta được x y 2018y 2019x 2 2018.2019 . x y x 0; y 0 2 2018 2019 Do đó P 2018 2019 , dấu bằng xảy ra khi 1 x y 2018y 2019x x y x 2018 2018 2019 . y 2019 2019 2018  Trang 164 
  42. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 2018 2018 2019 2 Vậy GTNN của P bằng 2018 2019 khi . y 2019 2019 2018 Cách 2 Từ giả thiết và áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có 2 2018 2019 2018 2019 P x y x y x y x y 2 P 2018 2019 . x 0; y 0 x 2018 2018 2019 2018 2019 Dấu bằng xảy ra khi 1 . x y y 2019 2019 2018 2018 2019 x y x 2018 2018 2019 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2018 2019 khi . y 2019 2019 2018 Bài toán tổng quát Cho 2n 1 số thực dương cố định a1,a2 , ,an ;b1,b2 , ,bn ;k n ¥ ,n 2 và n số thực dương thay đổi x1, x2 , , xn thỏa mãn a1x1 a2 x2 an xn k . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b b b P 1 2 n . x1 x2 xn Câu 51. (HSG10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2018-2019) Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 b c 4a 3c 12 b c T 2a 3b 2a 3c Lời giải Tác giả: Hoàng Gia Hứng; Fb: Hoàng Gia Hứng 3b 2a 2a 2a 3c 3c 12 b c Ta có T 5 4 2a 3b 3b 2a 2a 3b 2a 3c 3b 2a 1 1 4 2a 3b = 2a 3c . 2a 3b 2a 3b 2a 3c 3a 2b 3a 2b Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 2 . 2 . 2b 3a 2b 3a 1 1 4 1 1 4 Áp dụng BĐT với x, y 0 ta có . x y x y 2a 3b 2a 3b  Trang 165 
  43. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2a 3c 2a 3b Suy ra T 5 2 4 2 4.2 10 . 2a 3b 2a 3c Vậy T 5. Dấu " "xảy ra khi 2a 3b 3c. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 5. Câu 52. (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) x, y, z 2018;2019 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2018.2019 xy 2018.2019 yz 2018.2019 zx f(x, y, z) (x y)z (y z)x (z x)y Lời giải Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran Cách 1: Ta đi chứng minh với: x, y, z a;b,(a 0) ta luôn có ab xy b a x y 2 4(ab xy)2 (x y)2(b a)2 2ab 2xy (x y)(b a)2ab 2xy (x y)(b a) 0 b(2a x y) x(a y) y(a x).a(2b x y) x(b y) y(b x) 0 (đúng) ab xy b a b a Vậy ta có (x y)z 2z 2a Dấu bằng xảy ra khi x y a, z a hay x y z a b a b a b a 3(b a) Áp dụng ta có: f(x, y, z) 2a 2a 2a 2a Dấu bằng xảy ra khi x y z a. 3 Thay a 2018,b 2019 , ta được max f (x,y,z) khi x y z 2018 4036 Cách 2: 2018.2019 xy 2018.2019 xy Ta có (Theo BDT AM-GM). (x y) 2 xy Đặt t xy,(2018 t 2019), do gt x, y 2018;2019 2018.2019 t2 2018.2019 Xét hàm g(t) t , liên tục trên 2018;2019 và nghịch biến trên t t Maxg(t) g(2018) 1 2018;2019 2018;2019 do đó Max g(t) g(2019) g(2018) 1 Ming(t) g(2019) 1 2018;2019 2018;2019 2018.2019 xy 2018.2019 xy 1 1 nên , dấu bằng xảy ra khi x y z 2018 . (x y)z 2 xy.z 2z 4036 Đánh giá tương tư cho 2 biểu thức còn lại.  Trang 166 
  44. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 Tóm lại max f (x,y,z) khi x y z 2018 . 4036 Câu 53. (HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 7 121 A . a2 b2 c2 14 ab bc ca Lời giải 2 2 2 2 1 a b c Ta có 1 a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca ab bc ca 2 7 121 Do đó A . a2 b2 c2 7 1 a2 b2 c2 Đặt t a2 b2 c2 . Vì a, b, c 0 và a b c 1 nên 0 a 1, 0 b 1, 0 c 1. Suy ra t a2 b2 c2 a b c 1. Mặt khác 1 a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 a 2 b2 c 2 . 2 2 2 1 1 Suy ra t a b c . Vậy t ;1 . 3 3 7 121 1 Xét hàm số f t ; t ;1 . t 7(1 t) 3 7 121 f ' t . t 2 7 1 t 2 7 7 f ' t 0 72t 2 98t 49 0 t hoặc t (loại). 18 4 Lập BBT của hàm số f t . 7 324 1 Dựa vào BBT suy ra f t f ;t ;1 18 7 3 324 1 1 1 Vậy min A đạt được khi a ; b ; c . 7 2 3 6  Trang 167 