Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 1+2: Parabol và bài toán quy hoạch - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 1+2: Parabol và bài toán quy hoạch - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN CÁC TỈNH THÀNH NĂM 2018-2019 Mục lục Chuyên đề 1+2:Parabol và bài toán quy hoạch 2 Chuyên đề 3:Phương trình 8 Chuyên đề 4:Bất hương trình 46 Chuyên đề 5:Hệ phương trình 56 Chuyên đề 6:Bất đẳng thức 101 Chuyên đề 7:Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất 124 Chuyên đề 8:Lượng giác 168 Chuyên đề 9:Bài toán đếm 193 Chuyên đề 10:Xác suất 197 Chuyên đề 11:Nhị thức Newton 218 Chuyên đề 12:Dãy số, giới hạn 229 Chuyên đề 13:Hàm số liên tục, đạo hàm 264 Chuyên đề 14:Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 271 Chuyên đề 15:Mũ, Logarit 343 Chuyên đề 16:Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng của tích phân 353 Chuyên đề 17:Số phức 368 Chuyên đề 18:Véc tơ và hình học phẳng 372 Chuyên đề 19:Tọa độ trong mặt phẳng 409 Chuyên đề 20:Hình học không gian thuần túy 451 Chuyên đề 21: Nón, trụ, cầu 577 Chuyên đề 22:Tọa độ trong không gian 591 Chuyên đề 23:Số học 606 Lời nói đầu Với mục đích giáo viên, sinh viên, học sinh có cái nhìn tổng quan về kỳ thi HSG toán cấp tỉnh vòng 1. Tôi xin bạo gan làm "Toàn cảnh đề thi HSG môn toán năm học 2018-2019 vòng 1". Lời giải trong tài liệu do các thành viên nhóm STRONG TEAM TOÁN VD-VDC thực hiện. Ngày 29/09/2019 Vũ Ngọc Thành Bản vàng Pheo- Mường So-Phong Thổ-Lai Châu  Trang 1 
2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 1 Parabol và bài toán quy hoạch Câu 1. (HSG10 PHÙNG KHẮC KHOAN- HÀ NỘI 2018-2019) Cho hàm số y x2 x 1 có đồ thị là (P) . Tìm m để đường thẳng d : y 2x m cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O (với O là gốc toạ độ). Lời giải Tác giả:Trần Thị Huệ ; Fb:Tran Hue Xét phương trình hoành độ giao điểm : x2 x 1 2x m x2 3x m 1 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A , B thì phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 13 0 9 4m 4 0 13 4m 0 m .(*) 4 Khi đó giả sử A(x1; 2x1 m) ; B(x2 ; 2x2 m) x1 x2 3 Theo hệ thức Vi-et ta có: x1.x2 m 1   Tam giác OAB vuông tại O OA.OB 0 x1.x2 (2x1 m)(2x2 m) 0 2 2 2 5x1.x2 2m(x1 x2 ) m 0 5(m 1) 6m m 0 m m 5 0 1 21 m 2 1 21 Kết hợp điều kiện (*) ta có m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 Câu 2. (HSG10 YÊN PHONG 2 năm 2018-2019) Cho hàm số y x2 2m 3 x 2m 2 1 1)Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 khi m 0 . 2)Xác định m để đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x 1 tại hai điểm A, B phân biệt sao cho OAB vuông tại O (với O là gốc tọa độ ). Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền 2 1)Khi m 0 ta được hàm số y x 3x 2 *) Tập xác định: D ¡ 3 1 *) Tọa độ đỉnh: I ; 2 4 3 *) Sự biến thiên: Vì a 1 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng ; , nghịch biến trên 2 3 khoảng ; . 2 *) Bảng biến thiên  Trang 2 
3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 *) Điểm đặc biệt 3 1 *) Đồ thị : Đồ thị là 1 đường parabol có đỉnh I ; , hướng bề lõm lên trên và nhận đường 2 4 3 thẳng x làm trục đối xứng. 2 2)Phương trình hoành độ giao điểm của ĐTHS 1 và đường thẳng y 3x 1là: x2 2m 3 x 2m 2 3x 1 x2 2mx 2m 3 0 * Để ĐTHS 1 cắt đường thẳng y 3x 1tại 2 điểm phân biệt A, B phương trình * có 2 nghiệm m 3 phân biệt 0 m 1 x1 x2 2m Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình * ,ta có x1.x2 2m 3 Đặt A x1 ;3x1 1 , B x2 ;3x2 1   OAB vuông tại O OA.OB 0 10x1x2 3 x1 x2 1 0 26m 31 0 31 m ( thỏa mãn) 26  Trang 3 
4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 31 Vậy m . 26 Câu 3. (HSG10 Kim Liên 2018-2019)Một cầu treo có dây truyền đỡ là Parabol ACB như hình vẽ. Đầu, cuối của dây được gắn vào các điểm A, B trên mỗi trục AA' và BB' với độ cao 30 m. Chiều dài đoạn A' B' trên nền cầu bằng 200 m. Độ cao ngắn nhất của dây truyền trên cầu là CC ' 5 m. Gọi Q' , P' , H ' , C ' , I ' , J ' , K ' là các điểm chia đoạn A' B' thành các phần bằng nhau. Các thanh thẳng đứng nối nền cầu với đáy dây truyền QQ' , PP' , HH ' ,CC ' , II ' , JJ ' , KK ' gọi là các dây cáp treo. Tính tổng độ dài của các dây cáp treo ? Lời giải Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ. Giả sử Parabol có dạng : y ax2 bx c, a 0 . Vì Parabol đi qua điểm A 100;30 và đỉnh C 0;5 nên ta có hệ phương trình: 1 10000a 100b c 30 a 400 b 0 b 0 . 2a c 5 c 5 1 Vậy (P): y x2 5. 400 Đoạn A' B' chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần có độ dài là 25 m. Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo là: 1 2 1 2 1 2 OC 2y1 2y2 2y3 5 2 .25 5 2 .50 5 2 .75 5 =78,75 m. 400 400 400  Trang 4 
5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Câu 4. (HSG12 huyện Lương Tài Bắc Ninh năm 2019) Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M1, M 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu I; II . Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy M1 trong 3 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy M1 trong 1 giờ và máy M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai sản phẩm trên. Máy M1 làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Tổng số tiền lãi là lớn nhất có thể đạt được là: A. 4,0 triệu. B. 7,2 triệu. C. 6,8 triệu. D. 5,7 triệu. Lời giải Tác giả: Trịnh Thanh Hải; Fb: Trịnh Thanh Hải Chọn C Giả sử phân xưởng sản xuất trong một ngày được x (tấn) sản phẩm loại I và y (tấn) sản phẩm loại II . Số giờ làm việc của máy M1 là: 3x y . Số giờ làm việc của máy M2 là: x y . Số tiền lãi của phân xưởng mỗi ngày là T 2x 1,6y (triệu) 3x y 6 x y 4 Theo đề bài ta có hệ bất phương trình: x 0 y 0 Ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC T đạt giá trị lớn nhất khi nó nằm trong miền tứ giác OABC , chỉ đạt được khi tại các đỉnh. Thử lại ta thấy T đạt giá trị lớn nhất khi (x, y) là tọa độ của điểm B(1;3) . Vậy T 2.1 3.1,6 6,8 (triệu) Câu 5. (HSG10 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019)Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần  Trang 5 
6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ. Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ. Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất. Lời giải Giả sử sản xuất x(kg) sản phẩm loại I và y(kg) sản phẩm loại II. Điều kiện x 0, y 0 và 2x 4y 200 x 2y 100 Tổng số giờ máy làm việc: 3x 1,5y Ta có 3x 1,5y 120 Số tiền lãi thu được là T 300000x 400000y (đồng). x 0, y 0 Ta cần tìm x, y thoả mãn: x 2y 100 (I) sao cho T 300000x 400000y đạt giá trị lớn 3x 1,5y 120 nhất. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng d1 : x 2y 100; d2 : 3x 1,5y 120 y D B E x O C A Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm A(100;0) , cắt trục tung tại điểm B(0;50) . Đường thẳng d2 cắt trục hoành tại điểm C(40;0) , cắt trục tung tại điểm D 0;80 . Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E 20;40 . Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC . x 0 x 0 x 20 x 40 T 0; T 20000000 ; T 22000000 ; T 12000000 y 0 y 50 y 40 y 0 Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm loại I và 40kg sản phẩm loại II Câu 6. (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A 0;9 , 2x y a 0 B 3;6 . Gọi D là miền nghiệm của hệ phương trình . Tìm tất cả các giá trị của a để 6x 3y 5a 0 AB  D . Lời giải  Trang 6 
7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Phương trình đường thẳng AB :x y 9 0 . Trường hợp 1: Nếu AB là đường thẳng. a 2x y Xét hệ . 5a 6x 3y a 12 a 12 Dễ thấy điểm C 7;2 AB nhưng C D vì 48 a  . 5a 48 a 5 a 2x y Trường hợp 2: Nếu AB là đoạn thẳng. Ta thay y 9 x x 0;3 vào hệ 5a 6x 3y a 9 3x 3x 27 Ta được: 3x 27 a 9 3x (*) a 5 5 27 (*) đúng x 0;3 a 0 . 5 27 Vậy a 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 5  Trang 7 