›
›
›

Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 10: Xác suất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

docx 22 trang nhungbui22 11/08/2022 2950
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 10: Xác suất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtong_hop_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_thpt_vong_1_chuyen_de.docx

Nội dung text: Tổng hợp đề thi học sinh giỏi môn Toán THPT - Vòng 1 - Chuyên đề 10: Xác suất - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

  1. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chuyên đề 10 Xác suất 00 Câu 1. (HSG11 Nguyễn Đức Cảnh Thái Bình 2018-2019) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9 (mỗi thẻ ghi một số).Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên 3 thẻ đó với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ? 5 1 11 5 A. . B. . C. . D. . 42 42 42 84 Lời giải Tác giả: Hoàng Minh Thành; Fb: Hoàng Minh Thành Chọn A 3 Số cách chọn 3 thẻ bất kì là: n() C9 Gọi A là biến cố "Tích của 3 số ghi trên 3 thẻ là một số lẻ" 3 Số phần tử của A là n(A) C5 n(A) 5 Xác suất của biến cố A là: P(A) n() 42 Câu 2. (HSG12 tỉnh Hà Tĩnh năm 2018-2019) Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia ở khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 trong đó có đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan, các đội được chia làm hai bảng, kí hiệu là bảng A và bảng B, mỗi bảng có 5 đội. Việc chia bảng được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau. Lời giải 5 Số phần tử trong không gian mẫu là n() C10 252 . Gọi C là biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau”. 4 TH 1: Đội tuyển Việt Nam ở bảng A, đội tuyển Thái Lan ở bảng. Số cách xếp thỏa mãn là C8 70 . 4 TH 2: Đội tuyển Việt Nam ở bảng B, đội tuyển Thái Lan ở bảngA. Số cách xếp thỏa mãn là C8 70 . Số phần tử của biến cố C là n(C) 140 . Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam và Thái Lan nằm ở hai bảng đấu khác nhau là n(C) 140 5 P(C) . n() 252 9 Câu 3. (HSG11 Nho Quan Ninh Bình 2018-2019) Từ các chữ số 1, 2 , 3, 4 , 5, 6 lập được các số có bốn chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đó có chữ số 4 . 3 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 4 3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy Chọn D  Trang 197 
  2. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 4 Số phần tử không gian mẫu là n  A6 360 . Gọi A là biến cố “số được chọn có chữ số 4”. 3 Ta có n A 4.A5 240 . n A 240 2 Vậy xác suất của biến cố A là P A . n  360 3 Câu 4. (HSG12 tỉnh Bắc Ninh 2018 – 2019 ) Một tổ học sinh có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ. 1 1 7 8 A. . B. . C. . D. . 5 15 15 15 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Hùng; Fb: Hùng Nguyễn Chọn B 2 Số cách chọn 2 người từ 10 người là: C10 45 n  45 . Gọi A : “ 2 người được chọn đều là nữ”. 2 Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 3 học sinh nữ là: C3 3 n A 3. n A 3 1 Vậy xác suất sao cho 2 người được chọn đều là nữ là: P A . n  45 15 Câu 5. (HSG11 Cụm Hà Đông Hoài Đức Hà Nội năm 2018-2019) Trong một hộp kín đựng 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để lấy được ba tấm thẻ mà ba số ghi trên ba tấm thẻ đó lập thành một cấp số cộng. Lời giải Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan 3 Số phần tử của không gian mẫu:  C100 . Gọi ba số lập thành cấp số cộng lần lượt là: u1 , u2 , u3 . Khi đó u1 , u3 phải cùng là hai số chẵn hoặc cùng là hai số lẻ. Từ 1 đến 100 có 50 số chẵn, 50 số lẻ. 2 + Trường hợp 1: u1 , u3 là hai số chẵn, có C50 cách chọn bộ u1; u3. 2 + Trường hợp 2: u1 , u3 là hai số lẻ, có C50 cách chọn bộ u1; u3. Với mỗi cách chọn bộ u1; u3 có duy nhất một cách chọn u2 để u1 , u2 , u3 lập thành cấp số cộng. 2 Suy ra số cách lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là  A 2C50 . Xác suất lấy được 3 thẻ ghi ba số lập thành cấp số cộng là  Trang 198 
  3. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2  A 2C50 1 P A 3 .  C100 66 Câu 6. (HSG11 Hà Tĩnh 2018-2019) Cho lưới ô vuông như hình vẽ, có một con kiến di chuyển từ điểm A đến điểm B bằng cách di chuyển trên cạnh để đi qua các điểm nút của lưới (điểm nút là đỉnh của các hình vuông nhỏ), mỗi bước nó di chuyển xuống dưới hoặc di chuyển sang phải để đến điểm nút gần nhất. Biết rằng nếu đến điểm C thì kiến sẽ bị ăn thị. Gỉa sử kiến di chuyển một cách ngẫu nhiên và nó không biết tại C sẽ gặp nguy hiểm. Tính xác suất để kiến đến được điểm B. Lời giải Kiến muốn đi đến B thì bắt buộc phải qua D . Gọi m là số cách đi từ A đến D. Gọi n là số cách đi từ D đến B. Gọi k là số cách đi từ D đến B mà không đi qua C Ta có số cách đi từ A đến B là m.n ; số cách đi từ A đến B mà không đi qua C là mk . mk k Ta có xác suất mà kiến đi được đến B là p mn n Các cách đi từ D đến B mà có đi qua C là : DCEFB; DCIFB; DCIKB; suy ra số cách đi từ D đến B mà có đi qua C là 3. Vì tính đối xứng của lưới ô vuông 2x2 nên số cách đi từ D đến B mà không qua C là 3. k 1 Suy ra k 3, n 6 . Do đó p . n 2 Câu 7. (HSG11 Nghệ An 2018-2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Xác định số phần tử của S . Lấy ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11. Lời giải Tác giả : Vũ Thị Thảo Facebook: Vũ Thảo 4 Số phần tử của S là: A9 3024 ( số ). Số phần tử của không gian mẫu là n  3024.  Trang 199 
  4. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Gọi A là biến cố ՙՙ số được chọn là số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11 ՙՙ. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau là : abcd , a 0, a b c d . Theo giả thiết ta có : a c b d 11 và a c b d 11suy ra a c 11 và b d 11. Trong các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có các bộ số gồm hai chữ số mà tổng chia hết cho 11 là 2; 9; 3; 8; 4; 7; 5; 6. Chọn cặp số a, c có 4 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Khi đó, chọn cặp số b, d còn 3 khả năng, mỗi khả năng có 2 cách. Vậy n A 4.2.3.2 48(số) n A 48 1 Xác suất cần tìm là P A . n  3024 63 Câu 8. (HSG11 THuận Thành 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. Lời giải 6 5 +) Số phần tử của không gian mẫu: n A10 A9 136080. +) Số các số tự nhiên có 6 chữ số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ: TH1: Số tạo thành không chứa số 0 . 3 ՙLấy ra 3 số chẵn có: C4 cách; 3 ՙLấy ra 3 số lẻ có: C5 cách; ՙSố các hoán vị của 6 số trên: 6! 3 3 ՙSuy ra số các số tạo thành: C4 C5 6! 28800. TH2: Số tạo thành có số 0 . 2 ՙLấy ra hai số chẵn khác 0 : C4 . 3 ՙLấy ra 3 số lẻ: C5 . ՙSố các hoán vị không có số 0 đứng đầu: 6! 5! 5.5! 2 3 Số các số tạo thành: C4 C5 55! 36000 . +) Gọi biến cố A : “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ” Suy ra : nA 28800 36000 64800. nA 64800 10 Xác suất xảy ra biến cố A : PA . n 136080 21 Câu 9. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Một người A đứng tại gốc O của trục số x 'Ox . Do say rượu nên người A bước ngẫu nhiên sang trái hoặc sang phải trên trục tọa độ với độ dài mỗi bước là một đơn vị. Tính xác suất để sau n bước n 2 thì người A quay trở lại gốc tọa độ O . Lời giải  Trang 200 
  5. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tác giả: Tăng Duy Hùng; Fb: Tăng Duy Hùng Phản biện: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng Trường hợp 1: n 2k 1 k N * khi đó xác suất người đó quay trở lại O là : P 0 Trường hợp 2: n 2k k N * . Người đó quay trở về O nếu có k bước sang phải và k bước sang trái. Xác suất bước sang phải là: 0,5 Xác suất bước sang trái là: 0,5 k n Do đó xác suất để quay về O là: P Cn . 0,5 Câu 10. (HSG11 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm năm chữ số được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn có mặt đúng ba chữ số khác nhau. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan Ta có S 75 . Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Suy ra số phần tử của không gian mẫu là  75 . Gọi A là biến cố: “ số được chọn có mặt đúng ba chữ số khác nhau”. 3 Bước 1: Ta chọn ra ba chữ số khác nhau từ tập S , có C7 cách chọn. Bước 2: Ta chia thành hai trường hợp sau TH1: Trong ba chữ số được chọn ra từ bước 1, có một chữ số xuất hiện đúng ba lần, hai chữ số còn C1.5! lại mỗi chữ số xuất hiện đúng một lần, vậy có 3 cách. 3! TH2: Trong ba chữ số được chọn ra từ bước 1, có một chữ số xuất hiện đúng một lần, hai chữ số còn C 2.5! lại mỗi chữ số xuất hiện đúng hai lần, vậy có 3 cách. 2!.2! 1 2 3 C3.5! C3 .5! Suy ra  A C7 . 5250 . 3! 2!.2!  5250 750 Vậy P A A .  75 2401 Câu 11. (HSG12 Cao Bằng năm 2018-2019) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà Toán học nam, 5 nhà Vật lý nữ và 3 nhà Hóa học nữ. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác, tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Lời giải 4 Chọn ngẫu nhiên 4 nhà khoa học trong 16 nhà khoa học có C16 cách.  Trang 201 
  6. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Chọn 4 người đi công tác thỏa mãn yêu cầu bài toán có các trường hợp sau: 2 1 1 Chọn 2 nhà Toán học nam, 1 nhà Vật lỹ nữ, 1 nhà Hóa học nữ có C8 .C5.C3 cách. 1 2 1 Chọn 1 nhà Toán học nam, 2 nhà Vật lỹ nữ, 1 nhà Hóa học nữ có C8.C5 .C3 cách. 1 1 2 Chọn 1 nhà Toán học nam, 1 nhà Vật lỹ nữ, 2 nhà Hóa học nữ có C8.C5.C3 cách. 2 1 1 1 2 1 1 1 2 Số cách chọn đoàn công tác là C8 .C5.C3 C8.C5 .C3 C8.C5.C3 cách. 2 1 1 1 2 1 1 1 2 C8 .C5.C3 C8.C5 .C3 C8.C5.C3 3 Vậy, xác suất cần tìm là: P 4 C16 7 Câu 12. (HSG12 Cụm Thanh Xuân năm 2018-2019) Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 5 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án trả lời đúng, 3 phương án sai. Tính xác suất để mỗi học sinh làm bài thi trả lời đúng được ít nhất 3 câu hỏi? Lời giải Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm 1 3 Xác suất để một học sinh trả lời đúng 1 câu là , trả lời sai 1 câu là . 4 4 3 2 3 1 3 45 Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 3 câu là: C5 . 4 4 512 4 4 1 3 15 Xác suất để một học sinh trả lời đúng đúng 4 câu là: C5 . 4 4 1024 5 5 1 1 Xác suất để một học sinh trả lời đúng cả 5 câu là: C5 . 4 1024 45 15 1 53 Vậy xác suất để một học sinh trả lời đúng ít nhất 3 câu là: . 512 1024 1024 512 Câu 13. (HSG12 Quảng Ngãi 2018-2019) Có hai chiếc hộp chứa bi, mỗi viên bi chỉ mang màu xanh hoặc đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng 1 viên bi. Biết tổng số bi trong hai hộp là 20 và xác suất để 55 lấy được hai viên bi màu xanh là . Tính xác suất để lấy được hai viên bi màu đỏ. 84 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thiện ; Fb:Thien Nguyen Giả sử hộp thứ nhất có x viên bi, trong đó có a viên bi xanh, hộp thứ hai có y viên bi, trong đó có b viên bi xanh (điều kiện x, y,a,b nguyên dương, x y, x a, y b ). x y 20 (1) Từ giả thiết ta có: ab 55 . (2) xy 84 1 Từ (2) 55xy 84ab xy84 , mặt khác: xy (x y)2 100 xy 84 (3) . 4  Trang 202 
  7. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 x 14 Từ (1) và (3) suy ra . y 6 Từ (2) và (3) suy ra ab 55, mà a x 14,b y 6 a 11,b 5 . x a y b 1 Vậy xác suất lấy được hai viên bi đỏ là: P . . x y 28 Câu 14. (HSG12 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12. Lời giải Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là  . 5 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C12 792 . Gọi A là biến cố "Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12". Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là: + 2 tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, một tiết mục khối 11. + 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11. + 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11. 2 2 1 2 1 2 3 1 1 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: n A C4 .C3 .C5 C4 .C3.C5 C4 .C3.C5 330 . n A 330 5 Xác suất cần tìm là P . n  792 12 Câu 15. (HSG12 THPT Thuận Thành năm 2018-2019) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ. Lời giải 6 5 Số phần tử của không gian mẫu: n  A10 A9 136080 . Gọi biến cố A : “Số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”. Trường hợp 1: Số được chọn không chứa chữ số 0 . 3 Lấy ra 3 chữ số chẵn có C4 cách. 3 Lấy ra 3 chữ số lẻ có: C5 cách. Số các hoán vị của 6 chữ số trên là 6!. 3 3 Suy ra số các số tạo thành: C4 .C5 .6! 28800 Trường hợp 1: Số được chọn có chứa chữ số 0 . 2 Lấy ra 2 chữ số chẵn khác 0 có C4 cách.  Trang 203 
  8. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 3 Lấy ra 3 chữ số lẻ có: C5 cách. Số các hoán vị không có chữ số 0 đứng đầu là: 6! 5! 5.5!. 2 3 Số các số tạo thành: C4 .C5 .5.5! 36000. Suy ra: n A 28800 36000 64800 . n A 64800 10 Xác suất xảy ra biến cố A là: P A . n  136080 21 Câu 16. (HSG12 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019) Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập E 1;2;3;4;6;8 (các thẻ khác nhau ghi các số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù. Lời giải Cách của Admin Nguyễn Trung Kiên. 3 3 Lấy ba thẻ từ 6 thẻ có số cách lấy là C6 , nên số phần tử của không gian mẫu là  C6 20 . Gọi biến cố A : “rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của một tam giác có góc tù”. Giả sử rút được bộ ba số là a;b;c , với a b c , do đó 4 c , nên c 4;6;8 . a , b , c là ba cạnh của tam giác ABC , với BC a , CA b , AB c có góc Cµ tù 2 2 2 a b c 2 2 2 cosC 0 a b c 2 2 2ab a b c a b , với c 4;6;8 . 4 c a b 4 c a b +Xét c 4 thì có bộ a;b 2;3 thỏa mãn. +Xét c 6 , do a b c , 6 c a b 2b , nên b 4 và a 3. Suy ra có bộ a;b 3;4 thỏa mãn. +Xét c 8, do a b c , 8 c a b 2b , nên b 6 và a 3 hoặc a 4 . Suy ra có hai bộ a;b 3;6 hoặc a;b 4;6 thỏa mãn. Suy ra số phần tử của biến cố A là  A 4 .  4 1 Nên xác suất cần tìm là p A .  20 5 Câu 17. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho hình vuông cỡ 9.9 tâm O được tạo từ 9.9 hình vuông đơn vị. Hai hình vuông đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có cùng một cạnh chung. Một con bọ ban đầu ở O . Mỗi lần di chuyển con bọ sẽ nhảy ngẫu nhiên từ tâm hình vuông đơn vị nó đứng sang tâm hình vuông đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O . Lời giải Tác giả: Bùi Dũng; Fb: Bùi Dũng Phản biện: Lê Mai Hương; Fb: Lê Mai Hương Khi con bọ nhảy 4 bước thì không gian mẫu là: 4.4.4.4 256  Trang 204 
  9. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ở bước nhảy thứ 2 ta chia các trường hợp sau: TH1: Bước 2 con bọ nhảy qua B1 B2 có 2 cách nhảy Bước 3 có hai cách nhảy về A1 A2 ( nếu từ B1) hoặc nhảy về A1 A4 ( nếu từ B2 ) Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O Có: 4.2.2.1 16 cách TH2: Bước 2 con bọ nhảy qua B3 có 1 cách nhảy Bước 3 có 1 cách nhảy về A1 Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O Có: 4.1.1.1 4 cách TH2: Bước 2 con bọ nhảy về O có 1 cách nhảy Bước 3 có 4 cách nhảy về các ô A1 A2 A3 A4 Bước 4: con bọ có 1 cách nhảy về O Có: 4.1.4.1 16 cách 16 4 16 9 Vậy xác suất để con bọ nhảy 4 bước quay trở về O là: . 256 64 Câu 18. (HSG12 Quảng Ninh 2018-2019) Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau. Lời giải Chuồng thứ nhất bắt ra 1 con thỏ có 20 cách. Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách. Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n  15.20 300 Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu" + TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13. 19 = 247 (cách) + TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1. 2 = 2 (cách) n(A) 249 n(A) 247 2 249 (cách) P(A) n  300 249 17 Do đó xác suất bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau là: 1 . 300 100 Câu 19. (HSG12 tỉnh Bến Tre năm 2018-2019) Bạn An có một đồng xu mà khi tung có xác suất xuất 1 2 hiện mặt ngửa là và bạn Bình có một đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là . 3 5 Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa, ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất  Trang 205 
  10. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 p bạn An thắng là , trong đó p và q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm q p . q Lời giải Giả sử bạn An thắng ở lần gieo thứ n , n ¥ ,n 1 khi đó bạn An và bạn Bình tung đồng xu ở n 1 lần n 1 n 1 n 1 2 3 1 1 2 trước đó đều là sấp, xác suất để điều này xảy ra là    . 3 5 3 3 5 Do n có thể tiến tới dương vô cùng, vậy nên áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta có xác suất để An 2 m p 1 2 2 2 * thắng là:  1   ; m N q 3 5 5 5 2 m 2 2 2 Trong đó S 1   là tổng của cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu u1 1 và 5 5 5 công 2 1 5 p 1 1 5 bội q nên S , suy ra . 0 2 2 5 1 3 q 3 1 9 5 5 Từ đó q 9 ; p 5 suy ra q p 9 5 4. Câu 20. (HSG12 YÊN LẠC 2 năm 2018-2019) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi 5 phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn . 6 Lời giải Trong 9 thẻ đã cho có hai thẻ ghi số 4 và 8 chia hết cho 4, 7 thẻ còn lại ghi số không chia hết cho 4. x Giả sử rút x thẻ với 1 x 9; x ¥ , số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp là C9 . x Do đó số phần tử của không gian mẫu là: n  C9 . Gọi A là biến cố: “ Trong số x tấm thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ”. Suy ra A là biến cố: “ Lấy x tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4 ”. n A C x Số cách chọn tương ứng với biến cố A là 7 . C x C x P A 7 P A 1 7 C x C x Ta có 9 9 . x 5 C7 5 9 x 8 x 5 P A 1 x 1 6 C 6 2 Do đó 9 72 6 x 17x 60 0 5 x 12 . Kết hợp điều kiện: 1 x 9; x ¥ 5 x 9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của x là 6. Số thẻ ít nhất phải rút là 6. Câu 21. (Tổ-25-Lan-2-HSG-Yên-Dũng) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X 0;1;2;3;4;5;6;7 .Rút ngẫu nhiên một số thuộc tập S. Tính xác suất để rút được số mà trong số đó chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước.  Trang 206 
  11. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 2 3 11 3 A. . B. . C. . D. . 7 32 64 16 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hường; Fb:NguyenHuong Chọn D +) Số phần tử của không gian mẫu là n  7.8.8 448. +) Gọi A là biến cố: “Số tự nhiên rút được có chữ số đứng sau luôn lớn hơn hoặc bằng chữ số đứng trước”. Gọi số tự nhiên cần lập là abc,1 a b c;a,b,c 0;1;2;3;4;5;6;7 Đặt a ' a 1;b' b;c ' c 1 Khi đó 0 a ' b' c ' 8 Với mỗi cách chọn được bộ 3 số a ';b';c ' cho tương ứng 1 bộ 3 số a;b;c thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3 Có C9 cách chọn bộ 3 số a ';b';c ' 3 Suy ra số phần tử của biến cố A là n A C9 84 84 3 Vậy xác suất cần tìm là P A . 448 16 Câu 22. (HSG11 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho hình lập phương tâm O được ghép từ 9.9.9 hình lập phương đơn vị. Hai hình lập phương đơn vị được gọi là kề bên nếu chúng có chung một mặt. Con bọ ban đầu ở tâm O . Mỗi bước nhảy con bọ sẽ nhảy từ tâm khối lập phương đơn vị nó đứng sang tâm khối lập phương đơn vị kề bên. Tính xác suất để con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O . Lời giải Tác giả: Lê Mai Hương; Fb:Le Mai Huong Mỗi bước con bọ có thể nhảy ngẫu nhiên qua tâm của 6 hình lập phương đơn vị khác. Do đó không gian mẫu là n(W)= 6 6.6.6 = 64 . Gọi A là biến cố “con bọ sau 4 bước nhảy sẽ quay lại điểm O ”. Xét hệ trục tọa độ không gian gốc O với các trục song song các cạnh hình lập phương. Khi đó có hai trường hợp sau: 2 TH1: Con bọ nhảy trên một đường thẳng (có 3 đường tương ứng 3 trục tọa độ) có 3.C4 = 18 . TH2: Con bọ nhảy không nhảy trên một đường thẳng (trong trường hợp này nó chỉ có thể nhảy trên 2 trục tọa độ) có 3.4!= 72 . n(A) 18+ 72 5 Vậy xác suất của biến cố A là: P(A)= = = . n(W) 64 72 Câu 23. (HSG12 tỉnh Điện Biên năm 2018-2019) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số  Trang 207 
  12. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 khác nhau được chọn từ các số 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9. Xác định số phần tử của S . Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính xác suất để số được chọn là số chẵn. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt 1. Số phần tử của tập S là n S 9.9.8.7.6 27216. Gọi số chẵn thuộc tập S có dạng abcde a 0 . Nếu e {2;4;6;8}, trường hợp này ta có: 8.8.7.6.4 10752 số. Nếu e 0 , trường hợp này ta có: 9.8.7.6 3024 số. 10752 3024 13776 41 Vậy xác suất cần tìm là: P . 27216 27216 81 Câu 24. (HSG12 Tỉnh Đồng Nai 2018-2019) Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh A , B ,C thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn A , B ,C chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác 0 thuộc khoảng 6;6 và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số y ax4 bx2 c ; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh A , B ,C được nhận thưởng. Lời giải Tác giả: Phạm Tiến Long; Fb: Long Pham Tien Số phần tử của không gian mẫu : n  103 . Hàm số có ba điểm cực trị ab 0 . x 0 3 2 Ta có : y ' 4ax 2bx 0 2x 2ax b 0 b . x 2a b b2 b b2 Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A 0;c , B ; c ,C ; c . 2a 4a 2a 4a *)Trường hợp 1: Nếu a 0 thì A là điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành a 0 a 0 a 5; 4; 3; 2; 1 b 0 b 0 b 1;2;3;4;5 có 5.5.5 125 (cách). y 0 c 0 A c 1;2;3;4;5 *)Trường hợp 2: Nếu a 0 thì B ,C là hai điểm cực tiểu nên đồ thị hàm số có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành  Trang 208 
  13. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 a 0 a 0 b 0 b 0 . y 0 B 2 b yC 0 c 4a Suy ra được c 0 và 4a 4;8;12;16;20 . Ta có các khả năng sau: b2 Với c 1 1, b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 1 1, b 2 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 1 1, b 3 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a b2 Với c 1 1, b 4 a 5 có 1 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 3 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 4 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a b2 Với c 2 2 , b 5 a 4;5 có 2 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 4 a 2;3;4;5 có (cách). 4a b2 Với c 3 3 , b 5 a 3;4;5 có 3 (cách). 4a  Trang 209 
  14. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 b2 Với c 4 4 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 4 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 4 4 , b 5 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 1 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 2 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 3 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 4 a 1;2;3;4;5 có 5 (cách). 4a b2 Với c 5 5 , b 5 a 2;3;4;5 có 4 (cách). 4a Trong trường hợp này có 101 (cách). Suy ra có tất cả 125 101 226 (cách). 226 113 Vậy xác suất là . 1000 500 Câu 25. (HSG12 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng ( xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát. Lời giải Tác giả: Nhóm 4 - Tổ 8 nhóm toán team toán vd - vdc Mỗi bước đi quân vua có thể đi đến 8 ô xung quanh, từ đó suy ra số phần tử của không gian mẫu là n  83 .  Trang 210 
  15. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Cách 1. Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ x; y . Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm x; y đến điểm có tọa 2 2 độ x x0 ; y y0 trong đó x0 ; y0 1;0;1; x0 y0 0 . Ví dụ nếu x0 1; y0 0 thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, x0 1; y0 1thì di chuyển xuống ô đường chéo. Giả sử tọa độ ban đầu là 0;0 , thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là x1 x2 x3 0 x1 x2 x3; y1 y2 y3 ; x1, x2 , x3 , y1, y2 , y3 1;0;1 . Để về vị trí ban đầu thì . Suy ra y1 y2 y3 0 các bộ x1; x2 ; x3 và y1; y2 ; y3 là một hoán vị của 1;0;1 . +) x1; x2 ; x3 có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn x1; x2 ; x3 có 4 cách chọn y1; y2 ; y3 vì xi ; yi ,i 1;3 không đồng thời bằng 0 . 24 3 Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là p . 83 64 Cách 2. Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu. Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu. Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo). Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát. Vậy số cách đi ở TH1: 4 4 1 16 cách. Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu. Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc). Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát. Vậy số cách đi ở TH2: 4 2 1 8 cách. 16 8 3 Xác suất cần tìm: p . 83 64 Câu 26. (HSG12 tỉnh QUẢNG NINH 2018-2019)Trong cuộc thi văn nghệ do đoàn thanh niên trường THPT X tổ chức vào tháng 11 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó: có 4 tiết mục lớp 12, có 5 tiết mục khối 11 và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 20 tháng 11 (không tính thứ tự biểu diễn). Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12. Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Minh Nguyệt ; Fb: nguyen nguyet Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là  5 Số phần tử của không gian mẫu là n  C12 792  Trang 211 
  16. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Gọi A là biến cố: ‘‘Chọn 5 tiết mục sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12’’. Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là: + 2 tiết mục khối 12, 2 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11 + 2 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 2 tiết mục khối 11 + 3 tiết mục khối 12, 1 tiết mục khối 10, 1 tiết mục khối 11 2 2 1 2 1 2 3 1 1 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n A C4 .C3 .C5 C4 .C3.C5 C4 .C3.C5 330 330 5 Xác suất cần tìm là P A . 792 12 Câu 27. (HSG12 tỉnh Thái Binh năm 2018-2019)Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2 . Lời giải Tác giả: Duyên Vũ; Fb: Duyên Vũ Cách 1. Số phần tử của không gian mẫu là:  9.105 . Gọi B là biến cố số được chọn chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2. Ta nhận thấy rằng: Số nhỏ nhất có 6 chữ số chia hết cho 13 là: 100009, số lớn nhất có 6 chữ số chia hết cho 13 là: 999999 . Ta có 100009 13 100022 , do đó số có 6 chữ số nhỏ nhất chia hết cho 13 và có tận cùng bằng 2 chính là số 100022. Nhận thấy rằng nếu hai số tự nhiên có 6 chữ số cùng chia hết cho 13 và đều có chữ số tận cùng bằng 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 0 . Số nhỏ nhất ( lớn hơn 0 ) có chữ số tận cùng bằng 0 chia hết cho 13 là 130. Điều này chứng tỏ tất cả các số có 6 chữ số chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 100022 , công sai d 130 . Công thức số hạng tổng quát của dãy là: un u1 (n 1)d . Vì số cần tìm là số có 6 chữ số không vượt quá 999999 nên ta có: 69230 100022 n 1 130 999999 n 6923,9 . 10 Vì n là số tự nhiên nên số hạng lớn nhất trong dãy trên ứng với n 6923. Vậy số phần tử của biến cố B là B 6923. B 6923 Xác suất của biến cố B là: P B .  900000 Cách 2. Số phần tử của không gian mẫu là:  9.105 . Gọi số chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2 là a1a2a3a4a5 2 .  Trang 212 
  17. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có a1a2a3a4a5 2 10.a1a2a3a4a5 2 . Gọi k là số dư của phép chia a1a2a3a4a5 cho 13 k ¥ ,0 k 12 . Khi đó vì a1a2a3a4a5 2 10.a1a2a3a4a5 213 k ¥ ,0 k 12 nên ta có: 10k 213 k ¥ ,0 k 12 10k 2 Do đó tồn tại số tự nhiên t sao cho 10k 2 13t t ¥ , k ¥ ,0 k 12 . 13 Ta có bảng: k 0 10k 2 2 Loại ¥ 13 13 k 1 10k 2 12 Loại ¥ 13 13 k 2 10k 2 22 Loại ¥ 13 13 k 3 10k 2 32 Loại ¥ 13 13 k 4 10k 2 42 Thỏa mãn 4 ¥ 13 13 k 5 10k 2 52 Loại ¥ 13 13 k 6 10k 2 62 Loại ¥ 13 13 k 7 10k 2 72 Loại ¥ 13 13 k 8 10k 2 82 Loại ¥ 13 13 k 9 10k 2 92 Loại ¥ 13 13 k 10 10k 2 102 Loại ¥ 13 13 k 11 10k 2 112 Loại ¥ 13 13 k 12 10k 2 122 Loại ¥ 13 13 Từ bảng trên ta có k 4 là số dư của phép chia a1a2a3a4a5 cho 13. Như vậy, tồn tại số tự nhiên t để 10000 4 99999 4 a a a a a 13t 4 . Vì 10000 a a a a a 99999 nên t , hay 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 13 9996 99995 768,923 t 7691,923 13 13  Trang 213 
  18. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 769 t 7691, t ¥ . Gọi B là biến cố số được chọn chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2. Khi đó số phần tử của biến cố B là B 7691 769 1 6923 . B 6923 Xác suất của biến cố B là: P B .  900000 Câu 28. (HSG12 tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2018-2019) Cho tập A 0;1;2;3;4;5;6. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được chọn từ các phần tử của tập A . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 15. Lời giải Gọi n a1a2a3a4a5 là số tự nhiên cần tìm, trong đó các chữ số lấy từ tập A . Số phần tử của tập S là số các số tự nhiên có 5 chữ số với các chữ số khác nhau lấy từ tập A . 4 Ta có n S 6A6 2160 . Do n chia hết cho 15 nên n chia hết cho 3 và 5. Suy ra a5 0 hoặc a5 5. TH1: a5 0 n a1a2a3a4 0 trong đó 4 số a1, a2 , a3 , a4 lấy từ tập 1;2;3;4;5;6 . Khi đó để n chia hết cho 3 thì a1 a2 a3 a4 chia hết cho 3 Do 4 số a1, a2 , a3 , a4 lấy từ tập 1;2;3;4;5;6 nên xảy ra 2 TH sau: i) Trong 4 số đó gồm hai số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2. 2 Có tất cả A4 .2.2.2 96 số. ii) Trong 4 số đó gồm hai số chia 3 dư 1, hai số chia 3 dư 2. Có tất cả 4! 24 số. TH2: a5 5 n a1a2a3a4 5 trong đó 4 số a1, a2 , a3 , a4 lấy từ tập 0;1;2;3;4;6 . Khi đó để n chia hết cho 3 thì a1 a2 a3 a4 chia 3 dư 1. Do 4 số a1, a2 , a3 , a4 lấy từ tập 0;1;2;3;4;6 nên xảy ra 2 TH sau: iii) Trong 4 số đó gồm ba số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1. * Nếu a1 3 thì a2 ,a3,a4 là các số trong bộ ba số 0;6;1 , 0;6;4 nên có 3! 3! 12 số. * Nếu a1 6 thì a2 ,a3,a4 là các số trong bộ ba số 0;3;1 , 0;3;4 nên có 3! 3! 12 số. * Nếu a1 1 hoặc a1 4 thì a2 ,a3,a4 là các số trong bộ ba số 0;3;6 nên có 3! 3! 12 số. Có tất cả 36 số. iv) Trong 4 số đó gồm một số chia hết cho 3, hai số chia 3 dư 1, một số chia 3 dư 2  Trang 214 
  19. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 * Nếu a1 3 hoặc a1 6 thì a2 ,a3,a4 là các số trong bộ ba số 1;2;4 nên có 3! 3! 12 số. * Nếu a1 1 thì a2 ,a3,a4 là các số trong bộ ba số 2;4;6 , 2;4;3 , 2;4;0 nên có 3.3! 18 số. * Nếu a1 2 hoặc a1 4 thì tương tự đều có 18 số thỏa mãn. Có tất cả 12 18.3 66 số. 96 24 36 66 37 Vậy xác suất cần tính là . 2160 360 Câu 29. (HSG12 tỉnh Cần Thơ năm 2018-2019) Một lớp học trong một trường đại học có 60 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học cả tiếng Anh và tiếng Pháp. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên của lớp học này. Tính xác suất để 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ. Biết rằng trường này chỉ dạy hai loại ngoại ngữ là tiếng Anh và tiếng Pháp. Lời giải Tác giả:Mai Ngọc Thi ; Fb: Mai Ngọc Thi Cách 1: Sử dụng biểu đồ ven như hình vẽ bên dưới Như vậy lớp đại học đã cho có 10 sinh viên không học ngoại ngữ. Ta xét phép thử : Chọn 2 sinh viên bất kỳ trong số 60 sinh viên của lớp học. 2 Số khả năng xảy ra của phép thử là n  C60 . Xét biến cố A : Chọn ra 2 sinh viên không học ngoại ngữ. Như vậy điều kiện thuận lợi của biến cố A là chọn 2 sinh viên trong 10 sinh viên không học ngoại 2 ngữ. Do đó n A C10 . Suy ra xác suất để chọn được 2 sinh viên không học ngoại ngữ là 2 n A C10 3 P A 2 . n  C60 118 Cách 2 : Gọi A , P , K lần lượt là tập hợp sinh viên học tiếng Anh, học tiếng Pháp và không học ngoại ngữ. Khi đó n A P  K 60 , n A 40 , n P 30 , n P 20 .  Trang 215 
  20. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Ta có n A P  K n A n P n K n A P n A K n P  K n A P  K Nên 60 40 30 n K 20 0 0 0 n K 10 . Gọi X là biến cố “ 2 sinh viên được chọn không học ngoại ngữ”. 2 2 Ta có n  C60 ; n X C10 . 2 n X C10 3 Do đó P X 2 . n  C60 118 Câu 30. (HSG12 tỉnh TỈNH VĨNH PHÚC 2018-2019) Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12, ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 ngồi vào một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau. Lời giải Tác giả: Hoàng Minh Thành ; Fb: Hoàng Minh Thành Số cách xếp bất kỳ 10 học sinh là: n() 10! Gọi A là biến cố "Không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau" Số cách xếp 6 học sinh gồm lớp 11 và lớp 10 là : 6!. Vì 6 học sinh được xếp ở trên tạo ra 7 khoảng trống ( 5 khoảng giữa 2 học sinh và 2 khoảng ở vị trí hai đầu) nên chọn 4 trong 7 vị trí đó để xếp 4 4 học sinh lớp 12 có A7 cách 4 Suy ra : n(A) 6!.A7 n(A) 1 Xác suất của biến cố A là : P(A) n() 6 1 Vậy xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau là: . 6 Câu 31. (HSG12 Tân Yên – Bắc Giang Năm 2019) Có 6 bi gồm 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 2 bi xanh (các bi này đôi một khác nhau). Xếp ngẫu nhiên các viên bi thành hàng ngang, tính xác suất để hai viên bi vàng không xếp cạnh nhau? 2 1 5 1 A. P . B. P . C. P . D. P . 3 3 6 5 Lời giải Tác giả:Dương Hồng ; Fb:Dương Hồng Chọn A Cách 1: Số phần tử của không gian mẫu là P6 6! 720 . Xếp 4 viên bi gồm 2 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh thành hàng ngang có 4! cách. Với mỗi cách xếp 4 viên bi nói trên, cứ giữa 2 viên bi có 1 khoảng trống, tính cả khoảng trống 2 đầu 2 hàng ta có 5 khoảng trống. Chọn 2 trong 5 khoảng trống trên để xếp 2 viên bi vàng vào ta có A5 20 cách.  Trang 216 
  21. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Vậy số cách xếp 6 viên bi vào hàng ngang sao cho 2 viên bi vàng không xếp cạnh nhau là 4!.20 480 cách. 480 2 Vậy P . 720 3 Cách 2: Dùng phần bù Số phần tử của không gian mẫu là P6 6! 720 . Coi 2 viên bi vàng là 1 nhóm, xếp cùng 4 viên bi còn lại thành 1 hàng ngang có 5! 120 cách. Hoán vị 2 viên bi vàng trong nhóm trên có 2! 2 cách. Số cách xếp 6 viên bi vào hàng ngang sao cho 2 viên bi vàng xếp cạnh nhau là 2.120 240 cách. Vậy xếp 6 viên bi vào hàng ngang sao cho 2 viên bi vàng không xếp cạnh nhau là 720 240 480 cách. 480 2 Vậy P . 720 3 Câu 32. (HSG12 Tỉnh Nam Định 2018-2019) Cho tập X 1;2; ;8 . Gọi A là tập các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được lập từ X . Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A . Tính xác suất để số được lấy chia hết cho 2222. C 2C 2C 2 192 4!4! 348 A. 8 6 4 .B. . C. . D. . 8! 8! 8! 8! Lời giải Chọn B Ta có n  8!.Gọi số được lấy từ A có dạng a a1a2 a8 . a2 a8 2 Vì 2222 2.1111, hơn nữa 2 và 1111 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên a2222 . a1111 a1111 Từ a1 a2 a8 1 2 8 369 nên a9999 . Lại có a a1a2 a8 10000.a1a2a3a4 a5a6a7a8 9999.a1a2a3a4 a1a2a3a4 a5a6a7a8 suy ra a1a2a3a4 a5a6a7a8 9999 . Nhưng vì 2000 a1a2a3a4 a5a6a7a8 18000 nên a1a2a3a4 a5a6a7a8 9999 hay a1 a5 a2 a6 a3 a7 a4 a8 9. Dễ thấy mỗi số tự nhiên a thỏa mãn điều kiện trên và a8 là số chẵn đều chia hết cho 2222. Chia 8 số từ X thành bốn bộ có tổng bằng 9 là 1;8 , 2;7 , 3;6 , 4;5 . a8 có 4 cách chọn. Mỗi cách chọn a8 ta có duy nhất một cách chọn a4 . Ba bộ còn lại a1 ;a5 , a2 ;a6 , a3 ;a7 có thể hoán vị cho nhau, đồng thời hai phần tử trong mỗi bộ có cũng có thể hoán vị cho nhau nên có tất cả 3!. 2! 3 cách chọn.  Trang 217 
  22. TOÀN CẢNH ĐỀ THI HSG VÒNG 1 – NĂM HỌC – 2018-2019 Tóm lại, ta có n A 4.3!. 2! 3 192 . n A 192 Vậy P A . n  8!  Trang 218 