›
›
›

Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 2 phần 4 (Có đáp án)

doc 49 trang nhungbui22 12/08/2022 2741
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 2 phần 4 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctong_hop_cau_hoi_hinh_hoc_lop_11_duoc_tach_tu_de_luyen_thi_t.doc

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 2 phần 4 (Có đáp án)

  1. Câu 1: (SGD Thanh Hóa – năm 2017 – 2018) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a 2 tính khoảng cách của hai đường thẳng CC và BD. a 2 a 2 A. .B. .C. a.D. a 2 . 2 3 Lời giải Chọn C A' D' B' C' A D O B C OC  BD Ta có vì ABCD.A B C D OC  CC OC là khoảng cách của hai đường thẳng CC và BD Mà ABCD là hình vuông có cạnh bằng a 2 AC 2a OC a . Câu 2: (Tạp chí THTT – Tháng 4 năm 2017 – 2018) Cho tứ diện SABC có các góc phẳng tại đỉnh S đều vuông. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABC là A. trực tâm tam giác ABC .B. trọng tâm tam giác ABC . C. tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC .D. tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Lời giải Chọn A A H C S I B SA  SB  Ta có:  SA  SBC . SA  SC BC  SA   BC  SAH BC  AH 1 . BC  SH  SC  SA Tương tự, ta có:  SC  SAB . SC  SB AB  SC   AB  SCH AB  CH 2 . AB  SH  Từ 1 và 2 suy ra H là trực tâm tam giác ABC .
  2. Câu 3: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình – Lần 5 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng A. 90 .B. 60 .C. 45.D. 75 . Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm SA thì IMNC là hình bình hành nên MN // IC . Ta có BD  SAC BD  IC mà MN // IC BD  MN nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90 .   Cách khác: có thể dùng hệ trục tọa độ của lớp 12, tính tích vô hướng BD.MN 0 . Câu 4: (THPT Chuyên Hùng Vương – Gia Lai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vuông góc. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn. C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn. Lời giải Chọn A Chọn tứ diện vuông: có ba mặt là tam giác vuông; một mặt là tam giác nhọn. Câu 5: (THPT Chuyên Lương Thế Vinh - Hà Nội – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a . Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 ( tham khảo hình vẽ bên). Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là. 1 1 1 2 3 A. .B. .C. .D. . 3 13 2 3 13 Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm cạnh BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
  3. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy ABC là 600 a 3 Þ S· AO 600 Þ SO OA.tan 600 . 3 a . 3 Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC là S·MO . a 3 OM OM 1 Ta có cos S·MO 6 . SM 2 2 2 SO OM a 3 13 a2 6 Câu 6: (SGD Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 0;0; 3 , B 2;0; 1 và mặt phẳng P :3x 8y 7z 1 0 . Điểm C a;b;c là điểm nằm trên mặt phẳng P , có hoành độ dương để tam giác ABC đều. Tính a b 3c A. 7 .B. 9 .C. 5 .D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn C    Gọi I là trung điểm AB I 1;0; 2 . AC a;b;c 3 , AB 2;0;2 , IC a 1;b;c 2 a C P b 1 3a 8b 7c 1 0 2   Ta có: IC.AB 0 2 a 1 2 c 2 0 c a 1 AC AB 2 2 2 2 a b c 3 8 2 a 2 a 1 a 2 8 1 2 a 2 N Giải 1 ta được 2 . a L 3 Với a 2 b 2 , c 3. Vậy a b 3c 5. Câu 7: (THPT Nghèn – Hà Tĩnh – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình a 6 vuông cạnh a và SA  ABCD . Biết SA . Góc giữa SC và ABCD là: 3 A. 45.B. 30 . C. 75 .D. 60 . Lời giải Chọn B
  4. S a 6 3 A D a B a C Ta có: SA  ABCD . Do đó AC là hình chiếu của SC lên ABCD . SC, ABCD SC, AC S· CA. a 6 SA 3 Xét tam giác SAC vuông tại A có tan S· CA 3 . AC a 2 3 S· CA 30 . Vậy góc giữa SC và ABCD là 30 . Câu 8: (THPT Chu Văn An – Hà Nội - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa AM và BD bằng A. 45.B. 30 .C. 90 .D. 60 . Lời giải Chọn D S N M D A B C Gọi N là trung điểm của SD khi đó ta có MN // BD AM , BD AM , MN . 1 a 2 1 a 2 1 a 2 Theo giả thiết ta có AM SB ; AN SD ; MN BD AMN 2 2 2 2 2 2 đều ·AMN 60 . Vậy AM , BD 60 . Câu 9: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , tam giác ABC đều cạnh a và SA a . Tang của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAB bằng
  5. 3 3 1 A. .B. .C. 1.D. . 5 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi M là trung điểm AB thì CM  AB CM  SAB . Ta có SM là hình chiếu của SC trên SAB S·C, SAC S·C, SM M· SC . a 3 a 5 MC 3 Ta có MC , SM SA2 AM 2 . Vậy tan M· SC . . 2 2 SM 5 Câu 10: (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp – Quảng Bình - năm 2017-2018) Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC (tham khảo hình vẽ bên). Côsin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng 3 3 3 1 A. .B. . C. .D. . 6 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A AB Kẻ MN //AB , suy ra MN là đường trung bình của ABC . Suy ra MN . 2
  6. Suy ra: ·AB, DM ·MN, DM D· MN . Gọi tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . a a 3 MN 2 DM 2 DN 2 3 MN , DN DM cos . 2 2 2.MN.DM 6 Câu 11: (SGD Bắc Ninh – Lần 2 - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình   bình hành, SA SB 2a , AB a . Gọi là góc giữa hai véc tơ CD và AS . Tính cos ? 7 1 7 1 A. cos .B. cos .C. cos .D. cos . 8 4 8 4 Lời giải Chọn B   2   Ta có SB2 AS AB SB2 AS 2 2AS.AB AB2       SB2 SA2 AB2 a2 AS.CD AS.BA AS.AB . 2 2 a2     CD.AS 1 Vậy cos cos CD, AS 2 . CD.AS a.2a 4 Câu 12: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABCA B C có đáy ABC là tam giác cân AB AC a , B· AC 120 , cạnh bên AA a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và BC . A. 90 .B. 30 .C. 45. D. 60 . Lời giải Chọn D
  7. B C A B C D A Trong ABC : kẻ AD sao cho ACBD là hình bình hành. Ta có: BC // AD Nên AB ; BC AB ; AD B· AD . Ta có AD BC a 3 , AB AB2 AB 2 a 3 , DB BB 2 AC2 a 3 . Vậy tam giác B AD đều nên B· AD 60 . Câu 13: (THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An - năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA  ABCD và SA a 2 . Gọi M là trung điểm SB . Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD . 5 2 2 10 A. .B. . C. .D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn D S M A D N B C Gọi N là trung điểm AB . 1 a 2 Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên MN//SA và MN SA . 2 2 Lại có: SA  ABCD . Do đó MN  ABCD 1 . Suy ra MN  DN .
  8. Ta có: N là hình chiếu vuông góc của M lên ABCD (do 1 ) và D là hình chiếu vuông góc của D lên ABCD . Suy ra DM ; ABCD DM ; ND M· DN ( M· DN nhọn vì MND vuông tại N ). a 5 Ta có: DN AD2 AN 2 . 2 Xét MND vuông tại N , có: MN 10 tan MDN . DN 5 10 Vậy tan DM ; ABCD . 5 Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình thang vuông có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC , đồng thời đường cao AB BC a . Biết SA a 3 , khi đó khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là. 2a 5 a 10 A. a 10 .B. 2a .C. .D. . 5 5 Câu 15: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a 0 . Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC là a 3 a 3 a 2 a 6 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 3 Câu 16: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 0 . Khi đó khoảng cách từ đỉnh A đến mp BCD bằng a 6 a 3 a 8 a 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , ABCD là hình thang vuông có đáy lớn AD gấp đôi đáy nhỏ BC , đồng thời đường cao AB BC a . Biết SA a 3 , khi đó khoảng cách từ đỉnh B đến đường thẳng SC là. 2a 5 a 10 A. a 10 .B. 2a .C. .D. . 5 5 Lời giải Chọn C
  9. BC  AB Ta có: BC  SB SBC vuông tại B . BC  SA Trong SBC dựng đường cao BH d B;SC BH . 1 1 1 BS.BC 2a 5 SB 2a ; 2 2 2 BH . BH SB BC BS 2 BC 2 5 Câu 18: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh là a 0 . Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC là a 3 a 3 a 2 a 6 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 3 Lời giải Chọn B Cách 1: Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ. B 0;0;0 , A a;0;0 , B 0;0;a , C 0;a;a .  Ta có: AB a;0;0   AB a;0;a AB có một VTCP là u 1;0;1 .   1 BC 0;a;a BC có một VTCP là u2 0;1;1 .   u ,u 1;1; 1 . 1 2    u ,u .AB 1 2 a a 3 Suy ra: d AB , BC   . u ,u 3 3 1 2 Cách 2: Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng ACC A , kẻ CH  C O tại H , mà CH  BD (do BD  ACC A ) nên CH  C BD d C;C BD CH Ta có: AB // C BD d AB , BC d AB , C BD d A, C BD d C, C BD CH Xét C CO vuông tại C , đường cao CH : 1 1 1 3 a 3 CH . CH 2 CO2 CC 2 a2 3 Câu 19: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a 0 . Khi đó khoảng cách từ đỉnh A đến mp BCD bằng a 6 a 3 a 8 a 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A
  10. Gọi O là trọng tâm tam giác BCD AO  BCD d A; BCD AO . Gọi I là trung điểm CD . 2 a 3 a 6 Ta có: BO BI , AO AB2 BO2 . 3 3 3 a 6 Vậy d A; BCD . 3 Câu 20: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi O là trung điểm của của A C . Tính tan với là góc tạo bởi BO và mặt phẳng ABCD . 2 A. 3 .B. 2 . C. 1. D. . 2 Lời giải Chọn B Đặt cạnh hình lập phương bằng a . Ta có B·O , ABCD B·O , A B C D . Ta có O B là hình chiếu của BO trên A B C D BB a B·O , ABCD B·O , B O B· O B , tan 2 . O B a 2 Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của BC . Cho SA a và hợp với đáy một góc 30 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng
  11. a 3 a 2 2a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 4 Câu 22: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , ·ABC 120, AA 4a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và BB . a 3 a a A. .B. a 3 .C. .D. . 2 2 3 Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm của BC . Cho SA a và hợp với đáy một góc 30o . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng a 3 a 2 2a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 2 3 3 4 Lời giải Chọn D S H B A I C Nhận xét: SA và BC là hai đường thẳng chéo nhau Kẻ IH  SA với H SA (1) BC  AI BC  SAI BC  IH (2) BC  SI Từ (1) và (2) IH là đoạn vuông góc giữa hai đường thẳng SA và BC chéo nhau. a 3 a 3 1 a 3 d SA, BC IH IA.sin S· AI .sin30o . 2 2 2 4 Câu 24: Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , ·ABC 120, AA 4a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A C và BB . a 3 a a A. .B. a 3 .C. .D. . 2 2 3 Lời giải Chọn C
  12. B' C' A' D' B O A C B C O D A D Ta có A AC là mặt phẳng chứa A C và song song với BB d BB , A C d(B,(AA C)) . Gọi O là tâm hình thoi ABCD BO  AC . Do ABCD.A B C D là hình hộp đứng nên AA  ABCD AA  BO . BO  AC BO  AA C d(B,(AA C)) BO . BO  AA Hình thoi ABCD có ·ABC 120 ABC là tam giác đều BD AB a a BO . 2 a Vậy d BB , A C d(B,(AA C)) BO 2 Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi AE , AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SC  AED .B. SC  ACE .C. SC  AFB .D. SC  AEF . Câu 26: Trong không gian Oxyz , Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có A trùng với gốc tọa độ O . Biết rằng B m;0;0 , D 0;m;0 , A 0;0;n với m , n là các số dương và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện BDA M bằng 245 9 64 75 A. .B. .C. .D. . 108 4 27 32 Câu 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . Gọi M là trung điểm của SC . Góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD bằng A. 90 . B. 30 .C. 45.D. 60 . Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD . Gọi AE , AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SC  AED .B. SC  ACE .C. SC  AFB .D. SC  AEF .
  13. Lời giải Chọn D S F E D A B C BC  AB Ta có BC  SAB BC  AE (1). BC  SA Mặt khác ta có AE  SB (2). Từ (1) và (2) ta có AE  SBC AE  SC (*). Chứng minh tương tự ta cũng có AF  SDC AF  SC ( ). Từ (*) và ( ) ta có SC  AEF . Câu 29: Trong không gian Oxyz , Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có A trùng với gốc tọa độ O . Biết rằng B m;0;0 , D 0;m;0 , A 0;0;n với m , n là các số dương và m n 4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện BDA M bằng 245 9 64 75 A. .B. .C. .D. . 108 4 27 32 Lời giải Chọn C Ta có: A 0;0;0 , B m;0;0 , D 0;m;0 , A 0;0;n suy ra C m;m;0 , B m;0;n , n C m;m;n , D 0;m;n , M m;m; . 2
  14.    n BD m;m;0 , BA m;0;n , BM 0;m; . 2 1    1 1 1 1 m m 8 2m 3 2 2 VBDA M BD, BA .BM m .n m . 4 m m.m. 8 2m 6 4 4 8 8 3 64 . 27 Câu 30: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a . Gọi M là trung điểm của SC . Góc giữa hai mặt phẳng MBD và ABCD bằng A. 90 . B. 30 .C. 45.D. 60 . Lời giải Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD , Ta có: BD  SO BD  SOC BD  OM . BD  AC MBD  ABCD BD · BD  OM MBD , ABCD O·M ,OC M· OC . BD  OC SC a a 2 OM MC MOC cân tại M ; OC . 2 2 2 a 2 OC 2 cos M· OC cos M· CO 2 M· OC 45 . SC a 2 Vậy ·MBD , ABCD 45 .
  15. Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng: a 2 a a 3 A. .B. 2a .C. .D. . 2 2 2 Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD bằng: a 2 a a 3 A. .B. 2a .C. .D. . 2 2 2 Lời giải Chọn D S H  A B D C Ta có: SB; ABCD SB; AB S· AB 60 SA AB.tan 60 a 3 . SBC là mặt phẳng chứa SC và song song với AD nên: d SC; AD d AD; SBC d A; SBC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB thì H cũng là hình chiếu vuông góc của A lên SBC nên d A; SBC AH. 1 1 1 a 3 Xét tam giác SAB vuông tại A ta có: AH AH 2 AB2 AS 2 2 a 3 d SC; AD AH . 2 Câu 33: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA , BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một (như hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây sai?
  16. A B D C A. Góc giữa AD và ABC là góc ·ADB .B. Góc giữa CD và ABD là góc C· DB . C. Góc giữa AC và BCD là góc ·ACB . D. Góc giữa AC và ABD là góc C· AB . Câu 34: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA , BC , BD vuông góc với nhau từng đôi một (như hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây sai? A B D C A. Góc giữa AD và ABC là góc ·ADB .B. Góc giữa CD và ABD là góc C· DB . C. Góc giữa AC và BCD là góc ·ACB . D. Góc giữa AC và ABD là góc C· AB . Lời giải Chọn A Ta có CB  ABD nên góc giữa CD và ABD là góc C· DB , góc giữa AC và ABD là góc C· AB . Ta lại có AB  BCD nên góc giữa AC và BCD là góc ·ACB . Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD có đáy 0;5 là hình chữ nhật, S cạnh AB a , AD 3a . Cạnh bên SA a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt A D phẳng SAC bằng B C A. 75 .B. 60 .C. 45.D. 30 . Câu 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a 5 , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng 2a 5 4a 5 a 15 2a 15 A. .B. .C. . D. . 5 5 5 5 Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy 0;5 là hình chữ nhật, cạnh AB a , AD 3a . Cạnh bên SA a 2 và vuông góc mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC bằng
  17. S A D B C A. 75 .B. 60 .C. 45.D. 30 . Lời giải Chọn D S A D H B C Kẻ BH  AC và H AC BH  SAC . SH là hình chiếu của BH trên mặt phẳng SAC . Góc giữa SB và mặt phẳng SAC là B· SH . AB.BC a 3 Ta có BH , SB SA2 AB2 a 3 . AB2 BC 2 2 BH 1 Trong tam giác vuông SBH ta có sin B· SH B· SH 30. SB 2 Câu 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA a 5 , mặt bên SAB là tam giác cân đỉnh S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách gữa hai đường thẳng AD và SC bằng S D A A D BB CC 2a 5 4a 5 a 15 2a 15 A. .B. .C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B
  18. S K D A H B C Gọi H là trung điểm của cạnh AB . Do tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy nên SH  ABCD . Theo giả thiết ta có AB 2a AH a . Mà ta lại có SA a 5 nên SH SA2 AH 2 2a Ta có AD // BC AD // SBC d AD, SC d AD, SBC d A, SBC 2d H, SBC . Do mặt phẳng SBC  SAB nên từ H kẻ HK  SB thì HK d H, SBC . SH.HB 2a.a 2a 5 Ta có HK SB a 5 5 4a 5 Vậy d AD, SC 2HK . 5 Câu 39: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất các cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C . a 15 a 3 A. . B. a 2 .C. .D. a . 2 2 Câu 40: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có tất các cạnh bằng a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và B C . a 15 a 3 A. . B. a 2 .C. .D. a . 2 2 Lời giải Chọn C
  19. A' C' B' A C I B a 3 AA song song với mặt phẳng BB C C do đó d AA , B C d A, BB C C AI 2 Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm của cạnh BC . Biết SBC đều, tính góc giữa SA và ABC . A. 60 .B. 45.C. 90 .D. 30 . Câu 42: Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C là tam giác đều cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . A. 2 3 .B. 1. C. 4 . D. 3 . Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S lên ABC là trung điểm của cạnh BC . Biết SBC đều, tính góc giữa SA và ABC . A. 60 .B. 45.C. 90 .D. 30 . Lời giải Chọn B S B M C A Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó góc giữa SA và ABC là góc giữa SA và MA . a 3 Tam giác SAM vuông tại M có SM AM nên S·AM 45 . 2
  20. Câu 44: Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C là tam giác đều cạnh bằng 4 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC . A. 2 3 .B. 1. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A A' C' B' A C M B Gọi M là trung điểm của BC . Khi đó AM  AA tại A , AM  BC tại M . Do đó AM là đoạn vuông góc chung giữa AA và BC , 4 3 suy ra d AA , BC AM 2 3 . 2 Câu 45: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA  ABCD và mặt bên SCD hợp với mặt đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng a 3 a 2 a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 2 Câu 46: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . SA  ABCD và mặt bên SCD hợp với mặt đáy ABCD một góc 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD bằng a 3 a 2 a 2 a 3 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 2 Lời giải Chọn D
  21. Ta có góc giữa SCD và mặt đáy là góc S· DA 60 . Kẻ AH  SD , do CD  SAD CD  AH AH  SCD a 3 nên d A, SCD AH AD.sin 60 . 2 Câu 47: Cho hình chóp tứ giác đều S.A BCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng: A. , với cot 3 .B. 30 .C. 60 .D. 45 . Câu 48: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BD bằng: A. 30° .B. 90° . C. 45°.D. 60° . Câu 49: Cho hình chóp tứ giác đều S.A BCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng: A. , với cot 3 .B. 30 .C. 60 .D. 45 . Lời giải Chọn D AO 2 Ta có : cos S· AO . SA 2 Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ABCD bằng 45 . Câu 50: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Góc giữa hai mặt phẳng ABC và A BD bằng: A. 30° .B. 90° .C. 45°.D. 60° . Lời giải
  22. Chọn D B C D A J I B' C' A' D' Gọi I , J lần lượt là trung điểm của A B và BC . Khi đó B I  A BD , B J  ABC nên góc giữa mặt phẳng ABC và A BD là góc giữa B I và B J . AB 2 Tam giác B IJ đều vì có ba cạnh bằng nhau và bằng . Do đó I·B J 60. 2 Câu 51: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng .a Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B C , là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D . Giá trị sin bằng: 1 2 5 2 5 A. .B. .C. .D. 2 5 2 2 Câu 52: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , VABC vuông tại A . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: 3 A. .B. .C. .D. . 4 4 3 2 Câu 53: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AC và B C , là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D . Giá trị sin bằng: 1 2 5 2 5 A. .B. .C. .D. 2 5 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B
  23. A D M B C A' D' M' B' N C' Gọi M là trung điểm cạnh A C ,ta có MM  A B C D nên hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng A B C D là M N a 5 MM ' 2 5 M· NM , MN sin . 2 MN 5 Câu 54: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , VABC vuông tại A . Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng: 3 A. .B. .C. .D. . 4 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1:          AB.SC AB.(AC AS) AB.AC AB.AS 0   AB.SC cos(AB, SC) 0 AB, SC . AB.SC 2 Cách 2: Ta có AB  SA và AB  AC AB  SAC AB  SC
  24. Câu 55: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng 5 . Số đo góc giữa hai mặt phẳng A1BC là A. 30 .B. .C. .D. . 90 45 60 Câu 56: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2 , SB 6 , SC 9 . Độ dài cạnh SD là A. .5B. .C. 8 7 .D. . 11 Câu 57: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng 2 , độ dài đường chéo các mặt bên bằng 5 . Số đo góc giữa hai mặt phẳng A1BC và ABC là A. 30 .B. 90 .C. 45.D. 60 . Hướng dẫn giải Chọn A A 1 C1 B1 A C H B Gọi H là trung điểm của BC , do tam giác ABC đều nên AH  BC khi đó ta có BC  AHA ·A BC , ABC ·AH, A H ·AHA . 1 1 1 1 2 2 2 Xét tam giác vuông A1 AB có AA1 A1B AB 5 4 1. Mặt khác AH là đường cao của tam giác đều ABC cạnh AB 2 nên AH 3 . AA 1 Xét tam giác vuông AA H có tan ·AHA 1 ·AHA 30 1 1 AH 3 1 ·A BC , ABC 30. 1 Câu 58: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA 2 , SB 6, SC 9 . Độ dài cạnh SD là A. 5 .B. 8 .C. 7 .D. 11. Hướng dẫn giải Chọn C
  25. Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD 2 SA2 SC 2 AC 2 2 SB2 SD2 BD2 Ta có SO2 4 4 Mà BD AC SA2 SC 2 SB2 SD2 SD2 49 SD 7 . Câu 59: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 3a 3a A. .B. .C. .D. . 2 4 2 4 Câu 60: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a a 3a 3a A. .B. .C. .D. . 2 4 2 4 Lời giải Chọn D Gọi: O là trọng tâm tam giác ABC SO  ABC I là trung điểm BC BC  OI · Ta có: BC  SOI SBC , ABC S· IO 60 . BC  SO Dựng OH  SI H SI OH  SBC d O; SBC OH a 3 3 a Tam giác OHI vuông tại H có OH OI sin 60 . 6 2 4
  26. 3a Vì AI 3OI d A; SBC 3d O; SBC 3OH . 4 Câu 61: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ). Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng BDA và ABCD bằng 6 3 6 3 A. .B. .C. .D. . 4 3 3 4 Câu 62: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a ,AD a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ABCD bằng S M A D B C a 3a A. .B. .C. .D. . 2a 3 a 3 2 2 Câu 63: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 3a a 3 a 2 A. .B. .C. .D. a . 2 2 2 Câu 64: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ).
  27. Giá trị sin của góc giữa hai mặt phẳng BDA và ABCD bằng 6 3 6 3 A. .B. .C. .D. . 4 3 3 4 Hướng dẫn giải Chọn C A' D' B' C' A O D B C Ta thấy góc giữa hai mặt phẳng A BD và ABCD là góc ·A OA AA AA a 6 sin ·A OA . A O AA 2 AO2 a2 3 a2 2 Câu 65: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB a , AD a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng 60 . Gọi M là trung điểm của cạnh SB (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ABCD bằng S M A D B C
  28. a 3a A. .B. .C. 2a 3 .D. a 3 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B S M A D H B C Vì SA  ABCD nên góc giữa SC và ABCD là góc S· CA . Do đó S· CA 60 . SA AC.tan S· CA AB2 AD2 tan 60 3a . Trong mặt phẳng SAB dựng đường thẳng qua M song song với SA cắt . AB . tại H . SA 3a Suy ra MH  ABCD . Vậy d M , ABCD MH . 2 2 Câu 66: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 3a a 3 a 2 A. .B. a .C. .D. . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB và CD . AB  DM CD  AN AB  MN ; CD  MN . AB  CM CD  BN Hay MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD . a 2 Khi đó: d AB;CD MN . 2
  29. Câu 67: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a , SA  ABCD ; SA a 3 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng: a 3 a 3 A. a 3 .B. .C. 2a 3 .D. . 2 4 Câu 68: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là: A. 90o .B. 60o .C. 30o .D. 45o . Câu 69: Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a , SA  ABCD ; SA a 3 . Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng: a 3 a 3 A. a 3 .B. .C. 2a 3 .D. . 2 4 Lời giải Chọn B S H a 3 A D B a C Ta có: AB // SCD d B, SCD d A, SCD . Kẻ AH  SD 1 . CD  SA , CD  AD CD  SAD  AH CD  AH 2 . Từ 1 , 2 ta có: AH  SCD d A, SCD AH . 1 1 1 3a2 a 3 Trong tam giác vuông SAD : AH 2 AH . AH 2 SA2 AD2 4 2 Câu 70: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Số đo của góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là: A. 90o .B. 60o .C. 30o .D. 45o . Lời giải Chọn B
  30. A' B' D' C' H A B D C Dễ thấy A DC A BC , ·A BC ·A DC 90o . Dựng DH  A C BH  A C . Vậy góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C là góc HD, HC . a 6 Xét tam giác DHC có BD a 2 , DH BH . 3 HD2 HB2 BD2 HD2 HB2 BD2 1 cos D·HB . 2HD.HB 2HD.HB 2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng BA C và DA C bằng 60o . Câu 71: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh 1 , AA 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC bằng 3 15 2 15 3 A. .B. .C. .D. . 2 5 5 4 Câu 72: Cho lăng trụ ABC.A B C có A ABC là tứ diện đều. Biết rằng diện tích tứ giác BCC Bbằng 2a2 . Tính chiều cao của hình lăng trụ. a 6 2a 3 3a A. h .B. .C.h .D. . h h a 6 3 4 Câu 73: Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh 1, AA 3 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC bằng 3 15 2 15 3 A. .B. .C. .D. . 2 5 5 4 Lời giải Chọn B
  31. Gọi M là trung điểm của BC AM  BC , Do AA  ABC AA  BC suy ra BC  AA M . Kẻ AH  A M AH  BC . Do đó AH  A BC hay d A; A BC AH . 3 Ta có AM (đường cao của tam giác đều cạnh bằng 1). 2 1 1 1 1 4 5 3 15 Suy ra AH . AH 2 AA 2 AM 2 3 3 3 5 5 15 Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng A BC bằng . 5 Câu 74: Cho lăng trụ ABC.A B C có A ABC là tứ diện đều. Biết rằng diện tích tứ giác BCC B bằng 2a2 . Tính chiều cao của hình lăng trụ. a 6 2a 3 3a A. h .B. h .C. h .D. h a . 6 3 4 Lời giải Chọn B A' C' B' I C A H M B Gọi cạnh của tam giác ABC là x , chiều cao của hình lăng trụ là h . Gọi I là giao điểm của BC và B C . Ta có: A B A C A B A C BB CC BC B C x nên A I  B C; A I  BC 2 A I  BCC B do đó tứ giác BCC B là hình vuông nên x.x 2a x a 2 x2 x 3 2 x 3 Trong tam giác ABC có AM x2 AH AM . 4 2 3 3 x2 x 6 2a 3 Do đó: h A H AA 2 AH 2 x2 . 3 3 3 Câu 75: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a ,đường thẳng SA vuông góc với phẳng đáy tại và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD . A. 2a .B. a 2 . C. a 3 . D. a . Câu 76: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a ,đường thẳng SA vuông góc với phẳng đáy tại và SA a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD . A. 2a .B. a 2 . C. a 3 .D. a . Lời giải
  32. Chọn D BC  AB BC  CD , BC  SAB BC  SB d SB,CD BC a . BC  SA Câu 77: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng SAC xấp xỉ A. 16 . B. 35 .C. 14 .D. 33 . Câu 78: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA SC và SB SD . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SO  ABCD .B. CD  SBD .C. AB  SAC .D. BC  SAC . Câu 79: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD và SA a 6 . Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng SAC xấp xỉ A. 16 . B. 35 .C. 14 .D. 33 . Lời giải Chọn A S A D H O B C BO  AC Ta có BO  SAC suy ra SO là hình chiếu của SB trên SAC . BO  SA Vậy ·SB, SAC = B· SO = φ . a 2 BO OB 14 sin 2 16 . SB AB2 AS 2 a 7 14 Câu 80: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O . Biết SA SC và SB SD . Khẳng định nào sau đây đúng ? A. SO  ABCD .B. CD  SBD .C. AB  SAC .D. BC  SAC .
  33. Lời giải Chọn A SO  AC Ta có SO  ABCD . SO  BD Câu 81: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng 2a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D . 2a 5 2a 3 4a 3 A. .aB. 3 .C. .D. . 5 3 3 Câu 82: Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45 . Tính sin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 2 5 5 1 3 A. .B. .C. .D. . 5 5 2 2 Câu 83: Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh bằng 2a . Gọi K là trung điểm của DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và A D . 2a 5 2a 3 4a 3 A. a 3 .B. .C. .D. . 5 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B A' D' B' C' E K I A D B C Gọi E là trung điểm của AA Ta có A D / / CKEB . d CK, A D d A D , CKEB d A , CKEB d A, CKEB Hạ AI  BE . Khi đó d A, CKEB AI . AE.AB 2a.a 2a2 2a 5 AI . AE 2 AB2 4a2 a2 a 5 5 Câu 84: Cho hình chóp tam giác đều có góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45. Tính sin của góc giữa mặt bên và mặt đáy. 2 5 5 1 3 A. .B. .C. .D. . 5 5 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A
  34. S A 45 C G M B Gọi M , G lần lượt là trung điểm BC và là trọng tâm của tam giác ABC . Ta có: S·A, ABC S· AG 45 và ·SBC , ABC S·MG . SG 1 SG SG Ta có tan S· AG tan 45 1 mà MG AG nên tan S·MG 2 . AG 2 MG 0,5.AG 1 2 5 Vậy sin S·MG 1 cos2 S·MG 1 . 1 tan2 S·MG 5 Câu 85: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC 2a , AA 3a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ACD và ABCD . Giá trị tan bằng 6 5 3 5 3 2 A. .B. .C. 3. D. . 2 2 5 Câu 86: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và a 6 AB , AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng 2 AB và CE bằng A. 30o .B. 60o .C. 45o . D. 90o . Câu 87: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D có AB a , BC 2a , AA 3a . Gọi là góc giữa hai mặt phẳng ACD và ABCD . Giá trị tan bằng 6 5 3 5 3 2 A. .B. .C. 3. D. . 2 2 5 Lời giải Chọn B DC.DA 2a 5 Vẽ DE  AC tại E AC  DD E AC  D E , DE . DC 2 DA2 5
  35. Ta có DE  AC , ED  AC , ABCD  ACD AC DD 3a 3 5 ·ABCD , ACD D·E, D E D· ED , tan . DE 2a 5 2 5 Ghi chú: đề gốc sai đã sửa đề lại là gọi là góc giữa hai mặt phẳng ACD và ABCD thay vì gọi là góc giữa hai mặt phẳng ABD và ABCD . a 6 Câu 88: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với BCD . Biết tam giác BCD vuông tại C và AB , 2 AC a 2 , CD a . Gọi E là trung điểm của AD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CE bằng A. 30o .B. 60o .C. 45o .D. 90o . Lời giải Chọn C a 2 a 6 Ta có BC AC 2 AB2 , BD . 2 2 1 a 6 BD a 6 Gọi M là trung điểm BD ME // AB , ME AB , CM 2 4 2 4 CME vuông cân tại M . Ta có ·AB,CE E·M ,CE C· EM 45o . Câu 89: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1. (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BD bằng
  36. 1 2 A. .B. .C. .D. 1 2 . 2 2 Câu 90: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1. (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BD bằng 1 2 A. .B. 1.C. 2 .D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 d AA , BD d AA , BDD B d A, BDD B AO 2 ( với O là trung điểm của BD ). Câu 91: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD,C D . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và CP .
  37. B C M A D N B' C' P A' D' 3 10 1 15 A. .B. .C. .D. . 10 5 10 5 Câu 92: Cho hình lập phương ABCD.A B C D . Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD,C D . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng MN và CP . B C M A D N B' C' P A' D' 3 10 1 15 A. .B. .C. .D. . 10 5 10 5 Lời giải Chọn C Gọi Q là trung điểm B C . Khi đó PQ // MN . a 5 Ta có MN,CP PQ,CP C· PQ vì tam giác CPQ cân tại C do CP CQ . 2 a 2 a 2 Gọi H trung điểm PQ nên CH  PQ ; PQ PH . 2 4 PH a 2 2 1 Vậy cosC· PH . . CP 4 a 5 10 Câu 93: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và đáy ABCD là hình vuông (tham khảo hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?
  38. A. BD  SAD .B. BD  SCD . C. BD  SAC .D. SB  ABCD . Câu 94: Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và đáy ABCD là hình vuông (tham khảo hình vẽ). S A D O B C Khẳng định nào sau đây đúng? A. BD  SAD .B. BD  SCD .C. BD  SAC .D. SB  ABCD . Lời giải Chọn C S A D O B C Gọi O AC  BD . Khi đó do hình chóp S.ABCD đều nên SO  ABCD SO  BD . Do AC  BD BD  SAC . Câu 95: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2a , AD DC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính số đo của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SAC . A. 45.B. 60 .C. 30 .D. 90 . Câu 96: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB a , BC 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . A. a 6 .B. a 5 .C. a .D. 2a . A D Câu 97: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Gọi M , N B lần lượt là trung điểm của cạnh AA và A B . Tính số đo góc giữa hai M C đường thẳng MN và BD . A. 45.B. 30 . A D C. 60 .D. 90 . N B C Câu 98: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D , AB 2a , AD DC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính số đo của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng SAC . A. 45.B. 60 .C. 30 .D. 90 . Lời giải Chọn D
  39. S A B D C BC  SA · Ta có: BC  SAC BC, SAC 90 . BC  AC Câu 99: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB a , BC 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . A. a 6 .B. a 5 .C. a .D. 2a . Lời giải Chọn D S A D B C AD  SA Ta có AD là đoạn vuông góc chung của AD và SA . AD  CD Do đó d SA,CD AD 2a . Câu 100: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh AA và A B . Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD . A D B M C A N D B C A. 45.B. 30 .C. 60 .D. 90 . Lời giải Chọn C
  40. A D B C M A P N D' B' C' Gọi P là trung điềm cạnh AD . Vì ABCD.A B C D là hình lập phương cạnh a nên a 2 AB B D D A a 2 suy ra MN NP PM M· N, BD M· N, NP 60. 2 Câu 101: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC bằng 2a 5 a a 3 A. .B. a 3 .C. .D. . 5 2 2 Câu 102: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng A. 60 .B. 30 .C. 90 .D. 45. Câu 103: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA a 3 . Khoảng cách từ D đến mặt phẳng SBC bằng 2a 5 a a 3 A. .B. a 3 .C. .D. . 5 2 2 Lời giải Chọn D Ta có BC  SAB SBC  SAB , vẽ AH  SB tại H AH  SBC . SA.AB a 3.a a 3 Ta có AD // BC d D, SBC d A, SBC AH SA2 AB2 3a2 a2 2 Câu 104: Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a . Góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng A. 60 .B. 30 .C. 90 .D. 45. Lời giải
  41. Chọn C AB  A B  Cách 1: Có  A B  AB C A B  AC . B C  A B Vậy góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng 90 . Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , chuẩn hóa a 1 sao cho B 0;0;0 , A 1;0;0 , C 0;1;0 , B 0;0;1 , A 1;0;1 , C 0;1;1 . Ta có đường thẳng A B có vtcp u 1;0;1 , AC có vtcp k 1;1;1 . u.k Gọi là góc giữa hai đường thẳng A B và AC thì cos 0 . u . k Vậy góc giữa hai đường thẳng A B và AC bằng 90 . Câu 105: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính góc tạo bởi SA và CD . A. 30 .B. 90 .C. 120 .D. 60 . Câu 106: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính   AB .BC .   1   1     A. AB .BC a2 .B. AB .BC a2 .C. AB .BC a2 .D. AB .BC a2 . 2 2 Câu 107: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . a 3 a 2 a a A. . B. .C. .D. . 2 2 2 3 Câu 108: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a . Tính góc tạo bởi SA và CD . A. 30 .B. 90 .C. 120 .D. 60 . Lời giải Chọn D Ta có: CD // AB ·SA,CD ·SA, AB S· AB 60 (vì tam giác SAB đều).
  42. Câu 109: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A B C có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính   AB .BC .   1   1     A. AB .BC a2 .B. AB .BC a2 .C. AB .BC a2 .D. AB .BC a2 . 2 2 Lời giải Chọn A      Ta có: AB .BC AB BB .BC .     AB.BC BB .BC .       AB.BC (vì BB  BC nên BB .BC 0 ).   BA.BC . 1 1 AB.BC.cos60 a.a. a2 . 2 2 Câu 110: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a 3 và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . a 3 a 2 a a A. . B. .C. .D. . 2 2 2 3 Lời giải Chọn A
  43. S H D A B C Do SA  ABCD SA  BC mà AB  BC BC  SAB . Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Khi đó BC  AH AH  SBC . 1 1 1 a 3 a 3 Ta có AH d A, SBC . AH 2 SA2 AB2 2 2 Câu 111: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA a , SB a 3 , SAB  ABCD . Gọi M , N lượt lần là trung điểm của AB, AC . Tính côsin góc giữa SM và DN . 5 2 5 1 A. cos .B. cos . C. cos .D. cos . 4 4 4 2 Câu 112: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a , SA a , SB a 3 , SAB  ABCD . Gọi M , N lượt lần là trung điểm của AB, AC . Tính côsin góc giữa SM và DN . 5 2 5 1 A. cos .B. cos . C. cos .D. cos . 4 4 4 2 Lời giải Chọn B S a a 3 A P H D M N 2a B C Gọi P là trung điểm của AD , H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống AB . Theo giả thiết SAB  ABCD nên SH  ABCD . Xét tam giác SAB có AB2 SA2 SB2 SAB vuông tại S . Ta có: MP / /DN do đó góc giữa SM và DN là góc giữa SM và MP . 1 SA.SB a 3 a Xét tam giác SAB có: SM AB a và SH AH SA2 SH 2 . 2 AB 2 2 1 a 5 Ta lại có: MP BD a 2 . Mặt khác: HP HA2 AP2 . 2 2 Do đó: SP SH 2 HP2 a 2 . SM 2 MP2 SP2 a2 2a2 2a2 1 2 Xét tam giác SHP có cos S· MP . 2.SM.MP 2.a.a 2 2 2 4   Câu 113: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , BC AD b , CA BD c . Giá trị cos BC, DA là:
  44. a2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 A. .B. .C. .D. . b2 b2 b2 b2   Câu 114: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , BC AD b , CA BD c . Giá trị cos BC, DA là: a2 c2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 A. .B. . C. . D. . b2 b2 b2 b2 Lời giải Chọn A A a b c c B D b a C AB2 AD2 BD2 a2 b2 c2 Tam giác ABD có cos BAD . 2AB.AD 2a.b AC 2 AD2 CD2 c2 b2 a2 Tam giác ACD có cosCAD . 2AC.AD 2c.b            BC.DA AC AB .DA AC.AD AB.AD Khi đó cos BC, DA BC.DA BC.DA BC.DA AC.AD.cosCAD AB.AD.cos BAD BC.DA c2 b2 a2 a2 b2 c2 c.b. a.b. 2 2 a c 2c.b 2a.b . b2 b2 Câu 115: Cho hình lập phương ABCD.A B C D (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng ADD A bằng 3 6 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 6 Câu 116: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên).
  45. Côsin góc giữa hai đường thẳng BM và AD bằng. 55 155 3 5 3 5 A. .B. .C. . D. . 10 20 10 20 Câu 117: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OB OC. Gọi M là trung điểm BC , OM a (tham khảo hình vẽ bên). A O B M C Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng. a 2 a 3 A. 2a .B. a . C. .D. . 2 2 Câu 118: Cho hình lập phương ABCD.A B C D (tham khảo hình vẽ bên) Tang góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng ADD A bằng 3 6 2 2 A. .B. .C. .D. . 3 3 2 6 Lời giải Chọn C Dễ thấy BA  ADD A nên góc giữa BD và mặt phẳng ADD A là ·AD B . AB 2 Đặt AB a AD a 2 . Do đó tan ·AD B . AD 2
  46. Câu 119: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M là trung điểm của SD (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng BM và AD bằng. 55 155 3 5 3 5 A. .B. .C. .D. . 10 20 10 20 Lời giải Chọn C Ta có AD // BC ·AD, BM ·BC, BM . Gọi cạnh của hình chóp là a . 2 2 SB2 BD2 SD2 a a 2 a2 5a2 a 5 BM 2 BM . 2 4 2 4 4 2 a 3 CM . 2 5a2 3a2 a2 BM 2 BC 2 CM 2 3 5 cos ·BC, BM cos 4 4 . 2BM.BC a 5 10 2 .a 2 Câu 120: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OB OC. Gọi M là trung điểm BC , OM a (tham khảo hình vẽ bên).
  47. A O B M C Khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC bằng. a 2 a 3 A. 2a .B. a .C. .D. . 2 2 Lời giải Chọn B OA  OB Ta có OA  OBC OA  OM . OA  OC Mà OB OC OBC cân tại O OM  BC . Vậy d OA, BC OM a . Câu 121: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn chứa một đường thẳng cố định. D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Câu 122: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC . a a 3 A. .B. .C. .D. a 2 a . 2 2 Câu 123: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m . Diện tích xung quanh của kim tự tháp này là? A. .1B1.0 0 346 m2 4400 346 m2 .C. .D.2 .200 346 m2 2420000 m3 Câu 124: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước. B. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn chứa một đường thẳng cố định. D. Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải Chọn C
  48. A sai vì qua một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng P thì có vô số mặt phẳng khác vuông góc với P . B sai vì chúng có thể trùng nhau. C đúng D sai vì nếu dựng hai mặt phẳng như câu A (đã nói ở trên) thì ta thấy sẽ có hai mặt phẳng bất kì cùng vuông góc với mặt phẳng P . Câu 125: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng 2a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 30 . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC . a a 3 A. .B. . C. a 2 .D. a . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi G là tâm tam giác đều ABC thì SG  ABC , S· AG 30 . SG 1 SG Ta có sin S· AG SG a . SA 2 2a Câu 126: Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 trước Công nguyên. Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 150m , cạnh đáy dài 220m . Diện tích xung quanh của kim tự tháp này là? A. 1100 346 m2 .B. 4400 346 m2 .C. 2200 346 m2 .D. 2420000 m3 . Hướng dẫn giải Chọn B
  49. Gọi khối chóp tứ giác đều là S.ABCD có O là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm của BC , SO 150 m , BC 220 m , OM 110 m , SM SO2 OM 2 10 346 m . Diện tích xung quanh của kim tự tháp: 1 2 Sxq 4SSBC 4. SM.BC 2SM.BC 4400 346 m . 2