›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (Có đáp án)

docx 85 trang nhungbui22 12/08/2022 1861
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chuong_3_day_so_cap_so_co.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 3: Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân (Có đáp án)

  1. DÃY SỐ 3 A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 3 B – BÀI TẬP 3 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ 3 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 7 C – HƯỚNG DẪN GIẢI 13 DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ 13 DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 20 CẤP SỐ CỘNG 33 A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 33 B – BÀI TẬP 33 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG 33 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG 39 C– HƯỚNG DẪN GIẢI 41 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG 41 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG 53 CẤP SỐ NHÂN 58 A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 58 B – BÀI TẬP 58 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN 58 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN 64 C – HƯỚNG DẪN GIẢI 65 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN 65 DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN 76 ƠN TẬP CHƯƠNG III 78 ĐÁP ÁN 89
  2. DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1. Phương pháp quy nạp tốn học Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì: + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. 2. Dãy số u : ¥ * ¡ Dạng khai triển: (u ) = u , u , , u , n u(n) n 1 2 n 3. Dãy số tăng, dãy số giảm (un) là dãy số tăng un+1 > un với  n N*. un 1 un+1 – un > 0 với  n N* 1 với n N* ( un > 0). un (un) là dãy số giảm un+1 0). un 4. Dãy số bị chặn (un) là dãy số bị chặn trên M R: un M, n N*. (un) là dãy số bị chặn dưới m R: un m, n N*. (un) là dãy số bị chặn m, M R: m un M, n N*. B – BÀI TẬP DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số cĩ 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10 97 B. u10 71 C. u10 1414 D. u10 971 an2 Câu 2: Cho dãy số u với u (a: hằng số).u là số hạng nào sau đây? n n n 1 n 1 2 2 a. n 1 a. n 1 a.n2 1 an2 A. u . B. u . C. u . D. u . n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 Câu 3: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là:5;10;15;20;25; Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un 5(n 1) . B. un 5n . C. un 5 n . D. un 5.n 1. Câu 4: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là:8,15,22,29,36, Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. u 7n 7 . B. u 7.n n n . C. un 7.n 1. D. un : Khơng viết được dưới dạng cơng thức.
  3. 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ; .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n 1 n n 1 n2 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n 1 n n n n 1 Câu 6: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0,1;0,01;0,001;0,0001; . Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? 1 1 A. u 0,00 01 . B. u 0,00 01 . C. u . D. u . n  n  n 10n 1 n 10n 1 n chữ số 0 n 1 chữ số 0 Câu 7: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng n n 1 A. un 1. B. un 1. C. un ( 1) . D. un 1 . Câu 8: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? A. un 2n . B. un 2 n . C. un 2 (n 1) . D. un 2 2 n 1 . 1 1 1 1 1 Câu 9: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: ; ; ; ; ; .Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35 1 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n 3 3n 1 n 3n 1 n 3n n 3n 1 u1 5 Câu 10: Cho dãy số un với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1 un n (n 1)n (n 1)n A. u . B. u 5 . n 2 n 2 (n 1)n (n 1)(n 2) C. u 5 . D. u 5 . n 2 n 2 u1 1 Câu 11: Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dư un 1 un 1 ới đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . u1 1 Câu 12: Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dư un 1 un 1 ới đây? A. un 2 n . B. un khơng xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n . u 1 Câu 13: Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào d ới n 2 n ư un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6 n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6
  4. u1 2 Câu 14: Cho dãy số u với . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dư n un 1 un 2n 1 n ới đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . u1 2 Câu 15: Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 1 u1 Câu 16: Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 u 1 1 Câu 17: Cho dãy số un với u . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u n n 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 A. un 1 . . B. un 1 . . C. un . D. un 1 . 2 2 2 2 . u1 2 Câu 18: Cho dãy số un với . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này : un 1 2un n 1 n n 1 A. un n . B. un 2 . C. un 2 . D. un 2. 1 u1 Câu19 : Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un 1 1 A. u 2n 1 . B. u . C. u . D. u 2n 2 . n n 2n 1 n 2n n n2 3n 7 Câu 20: Cho dãy số (u ) được xác định bởi u . Viết năm số hạng đầu của dãy; n n n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ;7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Câu 21: Dãy số cĩ bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Khơng cĩ u1 1 Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy; un 2un 1 3 n 2 A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 2 2 un 1 un 2vn Câu 23: Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1 3,v1 2 và với n 2 . vn 1 2un .vn Tìm cơng thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) .
  5. n n 2n 2n 1 2 2 u 2 1 2 1 un 2 1 2 1 n 4 A. n n B. 1 2 2 2n 2n v 2 1 2 1 1 n vn 2 1 2 1 2 2 2 1 2n 2n 1 2n 2n un 2 1 2 1 un 2 1 2 1 2 2 C. D. n n n n 1 2 2 1 2 2 vn 2 1 2 1 vn 2 1 2 1 3 2 2 2
  6. DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 3n2 2n 1 Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n 1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai 2 Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un n n 1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai 3n 1 Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai n 1 n Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai 2n 13 Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 3n 2 A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn C. Dãy số khơng tăng khơng giảm, khơng bị chặn D. Cả A, B, C đều sai n2 3n 1 Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n 1 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 1 n n2 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n! A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 1 1 1 Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u 1 . n n 22 32 n2 A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai 2n 1 Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n 2 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un ( 1) A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 3n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 2 Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 4 3n n A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
  7. n2 n 1 Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n2 n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới n 1 Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un n2 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1 Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 1.3 2.4 n.(n 2) A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới 1 1 1 Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới u1 1 Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u 2 u n 1 , n 2 n un 1 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới u1 1 Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 3 3 un 1 un 1, n 1 A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai u 2 1 Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2 un 1 un 1 n 1 4 A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un 2010 2010 2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai u1 1,u2 2 Câu 22: Cho dãy số (un ) : . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 3 un un 1 un 2 ,n 3 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai an 2 Câu 23: Cho dãy số (u ) :u , n 1. Khi a 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy n n 2n 1 10 14 18 22 A. u 2,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 10 14 18 22 B. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 1 1 18 22 C. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 10 4 8 22 D. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a 2 B. a 2 C. a 4 D. a 4
  8. u1 2 Câu 25: Cho dãy số (un ) : Viết 6 số hạng đầu của dãy un 3un 1 2, n 2,3 A. u1 2,u2 5,u3 10,u4 28,u5 82,u6 244 B. u1 2,u2 4,u3 10,u4 18,u5 82,u6 244 C. u1 2,u2 4,u3 10,u4 28,u5 72,u6 244 D. u1 2,u2 4,u3 10,u4 28,u5 82,u6 244 n 1 n Câu 26: Cho dãy số un 5.2 3 n 2 , n 1,2, Viết 5 số hạng đầu của dãy A. u1 1,u2 3,u3 12,u4 49,u5 170 B. u1 1,u2 3,u3 12,u4 47,u5 170 C. u1 1,u2 3,u3 24,u4 47,u5 170 D. u1 1,u2 3,u3 12,u4 47,u5 178 Câu 27: n n 1. Cho dãy số (un ) : un (1 a) (1 a) ,trong đĩ a (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết cơng thức truy hồi của dãy số u 2 u 2 1 1 A. n n B. n n u u a 1 a 1 a u u 2a 1 a 1 a n 1 n n 1 n u 2 u 2 1 1 C. n n D. n n u 2u a 1 a 1 a u u a 1 a 1 a n 1 n n 1 n b)Xét tính đơn điệu của dãy số A. Dãy (un ) là dãy số tăng. B. Dãy (un ) là dãy số giảm. C. Dãy (un ) là dãy số khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai. u1 1 Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 1 . u 3u 2, n 2 n n 1 2un 1 Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un 0, n 3 47 227 3 17 227 A. u 1,u ,u ,u B. u 1,u ,u ,u 1 2 2 3 6 4 34 1 2 2 3 6 4 34 3 19 227 3 17 2127 C. u 1,u ,u ,u D. u 1,u ,u ,u 1 2 2 3 6 4 34 1 2 2 3 6 4 34 u0 2011 (u ) 2 Câu 29: Cho dãy số n được xác định bởi : un un 1 , n 1,2, un 1 a) Khẳng định nào sau đây đúng A. Dãy (un ) là dãy giảm B. Dãy (un ) là dãy tăng C. Dãy (un ) là dãy khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai b) Tìm phần nguyên của un với 0 n 1006 . A. un  2014 n B. un  2011 n C. un  2013 n D. un  2012 n u1 2,u2 6 Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi: un 2 un 2un 1, n 1,2,
  9. 2 n n a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x 2x 1 0 . Chứng minh rằng: un a b 2 n 1 b) Chứng minh rằng: un 1 un 2un ( 1) .8 . n 1 Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) :u n n n 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên 3 Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :un n 2n 1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u 2 1 Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : u 1 u n , n 2 n 1 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên u1 2,u2 3 Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau: . un 1 un un 1 , n 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên x0 1 n 1 Câu 35: Cho dãy số (xn ) : 2n . Xét dãy số yn xn 1 xn . Khẳng định nào x x , n 2,3, n 2  i (n 1) i 1 đúng về dãy (yn ) A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên n Câu 36: Cho dãy số Un với Un .Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 1 2 3 5 5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. 1 Câu 37: Cho dãy số u với u .Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M . 2 D. Khơng bị chặn. 1 Câu 38: Cho dãy số u với u .Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là : 1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M 1. C. Bị chặn trên bởi số M 0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M 1. n Câu 39: Cho dãy số un với un a.3 ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 A. Dãy số cĩ un 1 a.3 . B. Hiệu số un 1 un 3.a .
  10. C. Với a 0 thì dãy số tăng D. Với a 0 thì dãy số giảm. a 1 Câu 40: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n n2 a 1 a 1 A. Dãy số cĩ un 1 . B. Dãy số cĩ : un 1 . n2 1 n 1 2 C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng. a 1 Câu 41: Cho dãy số u với u ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 a 1 2n 1 A. un 1 . B. Hiệu un 1 un 1 a . . (n 1)2 n 1 2 n2 2n 1 C. Hiệu un 1 un a 1 . . D. Dãy số tăng khi a 1. n 1 2 n2 an2 Câu 42: Cho dãy số u với u ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 a. n 1 2 a. n2 3n 1 A. u . B. u u . n 1 n 2 n 1 n (n 2)(n 1) C. Là dãy số luơn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a 0 . k Câu 43: Cho dãy số u với u ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 3n k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là . B. Số hạng thứ n của dãy số là . 35 3n 1 C. Là dãy số giảm khi k 0 . D. Là dãy số tăng khi k 0 . ( 1)n 1 Câu 44: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M 1. * Câu 45: Cho dãy số un cĩ un n 1 với n N . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 . B. Số hạng un 1 n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 . 2 Câu 45: Cho dãy số un cĩ un n n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 . 2 B. un 1 n n 2 . C. un 1 un 1. D. Là một dãy số giảm. 1 Câu 46: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 1 1 A. un 1 . B. un un 1 . n 1 2 1 C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới. Câu 47: Cho dãy số u với u sin . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 A. Số hạng thứ n 1 của dãy: u sin B. Dãy số bị chặn. n 1 n 2
  11. C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số khơng tăng khơng giảm.
  12. C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số cĩ 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10 97 B. u10 71 C. u10 1414 D. u10 971 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 2 Xét dãy (un ) cĩ dạng: un an bn cn d a b c d 1 8a 4b 2c d 3 Ta cĩ hệ: 27a 9b 3c d 19 64a 16b 4c d 53 Giải hệ trên ta tìm được: a 1,b 0,c 3,d 1 3 un n 3n 1 là một quy luật. Số hạng thứ 10: u10 971. an2 Câu 2: Cho dãy số u với u (a: hằng số).u là số hạng nào sau đây? n n n 1 n 1 2 2 a. n 1 a. n 1 a.n2 1 an2 A. u . B. u . C. u . D. u . n 1 n 2 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. a. n 1 2 a n 1 2 Ta cĩ un 1 . n 1 1 n 2 2 Câu 3: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là:5;10;15;20;25; Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un 5(n 1) . B. un 5n . C. un 5 n . D. un 5.n 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: 5 5.1 10 5.2 15 5.3 20 5.4 25 5.5 Suy ra số hạng tổng quát un 5n . Câu 4: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là:8,15,22,29,36, Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. u 7n 7 . B. u 7.n n n . C. un 7.n 1. D. un : Khơng viết được dưới dạng cơng thức. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: 8 7.1 1 15 7.2 1 22 7.3 1 29 7.4 1 36 7.5 1
  13. Suy ra số hạng tổng quát un 7n 1. 1 2 3 4 Câu 5: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0; ; ; ; ; .Số hạng tổng quát của dãy số này là: 2 3 4 5 n 1 n n 1 n2 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n 1 n n n n 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: 0 0 0 1 1 1 2 1 1 2 2 3 2 1 3 3 4 3 1 4 4 5 4 1 n Suy ra u . n n 1 Câu 6: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 0,1;0,01;0,001;0,0001; . Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? 1 1 A. u 0,00 01 . B. u 0,00 01 . C. u . D. u . n  n  n 10n 1 n 10n 1 n chữ số 0 n 1 chữ số 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: Số hạng thứ 1 cĩ 1 chữ số 0 Số hạng thứ 2 cĩ 2 chữ số 0 Số hạng thứ 3 cĩ 3 chữ số 0 . Suy ra un cĩ n chữ số 0 . Câu 7: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng n n 1 A. un 1. B. un 1. C. un ( 1) . D. un 1 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: 1 2 3 4 5 n Các số hạng đầu của dãy là 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; un 1 . Câu 8: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6; Số hạng tổng quát của dãy số này cĩ dạng? A. un 2n . B. un 2 n . C. un 2 (n 1) . D. un 2 2 n 1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số là dãy số cách đều cĩ khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là 2 nên un 2 2. n 1 . 1 1 1 1 1 Câu 9: Cho dãy số cĩ các số hạng đầu là: ; ; ; ; ; .Số hạng tổng quát của dãy số này là? 3 32 33 34 35
  14. 1 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n 3 3n 1 n 3n 1 n 3n n 3n 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 5 số hạng đầu là ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; nên un n . 31 3 3 3 3 3 u1 5 Câu 10: Cho dãy số un với .Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây? un 1 un n (n 1)n (n 1)n A. u . B. u 5 . n 2 n 2 (n 1)n (n 1)(n 2) C. u 5 . D. u 5 . n 2 n 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. n n 1 Ta cĩ u 5 1 2 3 n 1 5 . n 2 u1 1 Câu 11: Cho dãy số un với 2n . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dư un 1 un 1 ới đây? 2n A. un 1 n . B. un 1 n . C. un 1 1 . D. un n . Hướng dẫn giải: Chọn D. 2n Ta cĩ: un 1 un 1 un 1 u2 2;u3 3;u4 4; Dễ dàng dự đốn được un n . Thật vậy, ta chứng minh được un n * bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n 1 u1 1. Vậy * đúng với n 1 * + Giả sử * đúng với mọi n k k ¥ , ta cĩ: uk k . Ta đi chứng minh * cũng đúng với n k 1, tức là: uk 1 k 1 2k + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số un ta cĩ: uk 1 uk 1 k 1. Vậy * đúng với mọi n ¥ * . u1 1 Câu 12: Cho dãy số un với 2n 1 . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dư un 1 un 1 ới đây? A. un 2 n . B. un khơng xác định. C. un 1 n . D. un n với mọi n . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: u2 0;u3 1;u4 2 , Dễ dàng dự đốn được un 2 n . u 1 Câu 13: Cho dãy số u với 1 . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào d ới n 2 n ư un 1 un n đây? n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 A. u 1 . B. u 1 . n 6 n 6
  15. n n 1 2n 1 n n 1 2n 2 C. u 1 . D. u 1 . n 6 n 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. u1 1 2 u2 u1 1 2 2 2 2 n n 1 2n 1 Ta cĩ: u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được un 1 1 2 n 1 1 6 2 un un 1 n 1 u1 2 Câu 14: Cho dãy số u với . Số hạng tổng quát u của dãy số là số hạng nào dư n un 1 un 2n 1 n ới đây? 2 2 2 2 A. un 2 n 1 . B. un 2 n . C. un 2 n 1 . D. un 2 n 1 . Hướng dẫn giải: Chọn A. u1 2 u u 1 2 1 2 Ta cĩ: u3 u2 3 . Cộng hai vế ta được un 2 1 3 5 2n 3 2 n 1 un un 1 2n 3 u1 2 Câu 15: Cho dãy số un với 1 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u 2 n 1 un n 1 n 1 n 1 n A. u . B. u . C. u . D. u . n n n n n n n n 1 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 4 5 n 1 Ta cĩ: u ;u ;u ; Dễ dàng dự đốn được u . 1 2 2 3 3 4 n n 1 u1 Câu 16: Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: un 1 un 2 1 1 1 1 A. u 2 n 1 . B. u 2 n 1 . C. u 2n . D. u 2n . n 2 n 2 n 2 n 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 u 1 2 u2 u1 2 1 1 Ta cĩ: u3 u2 2 . Cộng hai vế ta được u 2 2 2 2 n 1 . n 2 2 un un 1 2
  16. u 1 1 Câu 17: Cho dãy số un với u . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này là: u n n 1 2 n n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 A. un 1 . . B. un 1 . . C. un . D. un 1 . 2 2 2 2 . Hướng dẫn giải: Chọn D. u1 1 u u 1 2 2 u2 Ta cĩ: u3 . Nhân hai vế ta được 2 u n 1 un 2 n 1 u1.u2.u3 un 1 1 1 u1.u2.u3 un 1 . un 1 . n 1 1 . 2.2.2. 2 2 2 n 1 lan u1 2 Câu 18: Cho dãy số un với . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này : un 1 2un n 1 n n 1 A. un n . B. un 2 . C. un 2 . D. un 2. Hướng dẫn giải: Chọn B. u1 2 u 2u 2 1 n 1 n Ta cĩ: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u1.u2.u3 un 2.2 .u1.u2 un 1 un 2 un 2un 1 1 u1 Câu19 : Cho dãy số un với 2 . Cơng thức số hạng tổng quát của dãy số này: un 1 2un 1 1 A. u 2n 1 . B. u . C. u . D. u 2n 2 . n n 2n 1 n 2n n Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 u 1 2 u2 2u1 1 n 1 n 2 Ta cĩ: u3 2u2 . Nhân hai vế ta được u .u .u u .2 .u .u u u 2 1 2 3 n 2 1 2 n 1 n un 2un 1
  17. n2 3n 7 Câu 20: Cho dãy số (u ) được xác định bởi u . Viết năm số hạng đầu của dãy; n n n 1 11 17 25 47 13 17 25 47 11 14 25 47 11 17 25 47 A. ; ; ;7; B. ; ; ;7; C. ; ; ;7; D. ; ; ;8; 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 2 3 4 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ năm số hạng đầu của dãy 12 3.1 7 11 17 25 47 u , u ,u ,u 7,u 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 Câu 21: Dãy số cĩ bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên. A. 2 B. 4 C. 1 D. Khơng cĩ Hướng dẫn giải: Chọn C. 5 5 Ta cĩ: u n 2 , do đĩ u nguyên khi và chỉ khi nguyên hay n 1 là ước của 5. Điều đĩ n n 1 n n 1 xảy ra khi n 1 5 n 4 Vậy dãy số cĩ duy nhất một số hạng nguyên là u4 7 . u1 1 Câu 22: Cho dãy số (un ) xác định bởi: . Viết năm số hạng đầu của dãy; un 2un 1 3 n 2 A. 1;5;13;28;61 B. 1;5;13;29;61 C. 1;5;17;29;61 D. 1;5;14;29;61 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ 5 số hạng đầu của dãy là: u1 1; u2 2u1 3 5; u3 2u2 3 13; u4 2u3 3 29 u5 2u4 3 61. 2 2 un 1 un 2vn Câu 23: Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1 3,v1 2 và với n 2 . vn 1 2un .vn Tìm cơng thức tổng quát của hai dãy (un ) và (vn ) . n n 2n 2n 1 2 2 u 2 1 2 1 un 2 1 2 1 n 4 A. n n B. 1 2 2 2n 2n v 2 1 2 1 1 n vn 2 1 2 1 2 2 2 1 2n 2n 1 2n 2n un 2 1 2 1 un 2 1 2 1 2 2 C. D. n n n n 1 2 2 1 2 2 vn 2 1 2 1 vn 2 1 2 1 3 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2n Chứng minh un 2vn 2 1 (2)
  18. 2 2 2 Ta cĩ: un 2vn un 1 2vn 1 2 2un 1vn 1 un 1 2vn 1 2 Ta cĩ: u1 2v1 3 2 2 2 1 nên (2) đúng với n 1 2k Giả sử uk 2vk 2 1 , ta cĩ: 2 2k 1 uk 1 2vk 1 uk 2vk 2 1 Vậy (2) đúng với n 1. 2n Theo kết quả bài trên và đề bài ta cĩ: un 2vn 2 1 2n 2n 2un 2 1 2 1 Do đĩ ta suy ra 2n 2n 2 2v 2 1 2 1 n 1 2n 2n un 2 1 2 1 2 Hay . n n 1 2 2 vn 2 1 2 1 2 2
  19. DẠNG 2: DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU, DÃY SỐ BỊ CHẶN 3n2 2n 1 Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n 1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 5n2 10n 2 Ta cĩ: u u 0 nên dãy (u ) là dãy tăng n 1 n n 1 n 2 n 2 Câu 2: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: un n n 1 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: 1 1 Ta cĩ: un 1 un 0 n 1 n 1 2 1 n n2 1 Chọn B. Nên dãy (un ) giảm. 3n 1 Câu 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n 2n A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 3n 1 Ta cĩ: u u u u 0 dãy (u ) tăng. n 1 n n 1 n 2n 1 n n 1 n Câu 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: u n n2 A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm C. Dãy số khơng tăng khơng giảm D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 2 u2 u1 Ta cĩ: u1 0;u2 ;u3 Dãy số khơng tăng khơng giảm. 2 9 u3 u2 2n 13 Câu 5: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n 3n 2 A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số giảm, bị chặn C. Dãy số khơng tăng khơng giảm, khơng bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 2n 11 2n 13 34 Ta cĩ: u u 0 với mọi n 1. n 1 n 3n 1 3n 2 (3n 1)(3n 2) Suy ra un 1 un n 1 dãy (un ) là dãy tăng.
  20. 2 35 2 Mặt khác: u 11 u n 1 n 3 3(3n 2) n 3 Vậy dãy (un ) là dãy bị chặn. n2 3n 1 Câu 6: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n 1 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. (n 1)2 3(n 1) 1 n2 3n 1 Ta cĩ: u u n 1 n n 2 n 1 n2 5n 5 n2 3n 1 n 2 n 1 (n2 5n 5)(n 1) (n2 3n 1)(n 2) (n 1)(n 2) n2 3n 3 0 n 1 (n 1)(n 2) un 1 un n 1 dãy (un ) là dãy số tăng. n2 2n 1 u n 1 2 dãy (u ) bị chặn dưới. n n 1 n 1 Câu 7: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết: un 1 n n2 A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: un 0 n 1 u n2 n 1 n2 n 1 n 1 1 n ¥ * 2 2 un (n 1) (n 1) 1 n 3n 3 un 1 un  1 dãy (un ) là dãy số giảm. Mặt khác: 0 un 1 dãy (un ) là dãy bị chặn. 2n Câu 8: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n! A. Dãy số tăng, bị chặn trên B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1 n n 1 un 1 2 2 2 n! 2 Ta cĩ: : . n 1 n 1 un (n 1)! n! (n 1)! 2 n 1 Mà un 0 n un 1 un n 1 dãy (un ) là dãy số giảm. Vì 0 un u1 2 n 1 dãy (un ) là dãy bị chặn. 1 1 1 Câu 9: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u 1 . n n 22 32 n2
  21. A. Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới C. Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Ta cĩ: u u 0 dãy (u ) là dãy số tăng. n 1 n (n 1)2 n 1 1 1 1 Do u 1 2 n 1.2 2.3 (n 1)n n 1 un 3 n 1 dãy (un ) là dãy bị chặn. 2n 1 Câu 10: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n 2 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ 0 un 2 n nên dãy (un ) bị chặn n Câu 11: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un ( 1) A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: 1 un 1 (un ) là dãy bị chặn Câu 12: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 3n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Ta cĩ: un 2 n (un ) bị chặn dưới; dãy (un ) khơng bị chặn trên. 2 Câu 13: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un 4 3n n A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn C. 25 3 25 Ta cĩ: u (n )2 (u ) bị chặn trên; dãy (u ) khơng bị chặn dưới. n 4 2 4 n n n2 n 1 Câu 14: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n n2 n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: 1 un 2 n (un ) bị chặn n 1 Câu 15: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: un n2 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: 0 un 2 n (un ) bị chặn
  22. 1 1 1 Câu 16: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 1.3 2.4 n.(n 2) A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 Ta cĩ: 0 u 1 1 n 1.2 2.3 n.(n 1) n 1 Dãy (un ) bị chặn. 1 1 1 Câu 17: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. n Ta cĩ: u 0 u 1, dãy (u ) bị chặn. n 2n 1 n n u1 1 Câu 18: Xét tính bị chặn của các dãy số sau: u 2 u n 1 , n 2 n un 1 1 A. Bị chặn B. Khơng bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới Hướng dẫn giải: Chọn A. Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 un 2 nên dãy (un ) bị chặn. u1 1 Câu 19: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 3 3 un 1 un 1, n 1 A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 3 3 3 Ta cĩ: un 1 un 1 un 1 un un n dãy số tăng u 2 1 Câu 20: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 2 un 1 un 1 n 1 4 A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn B. u2 4u 1 Ta cĩ: u u n n n 1 n 4 Bằng quy nạp ta chứng minh được 2 3 un 2 n un 1 un 0 . Dãy (un ) giảm. Câu 21: dãy số (un ) xác định bởi un 2010 2010 2010 (n dấu căn)Khẳng định nào sau đây là đúng?
  23. A. Tăng B. Giảm C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 2 2 Ta cĩ un 1 2010 un un 1 un un 1 un 1 2010 1 8041 Bằng quy nạp ta chứng minh được u n n 2 Suy ra un 1 un 0 dãy (un ) là dãy tăng. u1 1,u2 2 Câu 22: Cho dãy số (un ) : . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 3 un un 1 un 2 ,n 3 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 3 3 3 Chứng minh bằng quy nạp : uk 1 uk uk 2 uk 1 uk 2 uk Ta chứng minh: 0 un 3. an 2 Câu 23: Cho dãy số (u ) :u , n 1. Khi a 4 , hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy n n 2n 1 10 14 18 22 A. u 2,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 10 14 18 22 B. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 1 1 18 22 C. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 10 4 8 22 D. u 6,u ,u ,u ,u 1 2 3 3 5 4 7 5 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. 4n 2 Với a 4 ta cĩ: u . Ta cĩ: 5 số hạng đầu của dãy là n 2n 1 10 14 18 22 u 6,u ,u ,u ,u . 1 2 3 3 5 4 7 5 9 Câu 24: Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng. A. a 2 B. a 2 C. a 4 D. a 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ dãy số (un ) tăng khi và chỉ khi: a 4 u u 0, n ¥ * a 4 0 a 4 . n 1 n (2n 1)(2n 1) u1 2 Câu 25: Cho dãy số (un ) : Viết 6 số hạng đầu của dãy un 3un 1 2, n 2,3 A. u1 2,u2 5,u3 10,u4 28,u5 82,u6 244 B. u1 2,u2 4,u3 10,u4 18,u5 82,u6 244 C. u1 2,u2 4,u3 10,u4 28,u5 72,u6 244 D. u1 2,u2 4,u3 10,u4 28,u5 82,u6 244
  24. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ: u1 2,u2 4,u3 10,u4 28,u5 82,u6 244 n 1 n Câu 26: Cho dãy số un 5.2 3 n 2 , n 1,2, Viết 5 số hạng đầu của dãy A. u1 1,u2 3,u3 12,u4 49,u5 170 B. u1 1,u2 3,u3 12,u4 47,u5 170 C. u1 1,u2 3,u3 24,u4 47,u5 170 D. u1 1,u2 3,u3 12,u4 47,u5 178 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: u1 1,u2 3,u3 12,u4 47,u5 170 Câu 27: n n 1. Cho dãy số (un ) : un (1 a) (1 a) ,trong đĩ a (0;1) và n là số nguyên dương. a)Viết cơng thức truy hồi của dãy số u 2 u 2 1 1 A. n n B. n n u u a 1 a 1 a u u 2a 1 a 1 a n 1 n n 1 n u 2 u 2 1 1 C. n n D. n n u 2u a 1 a 1 a u u a 1 a 1 a n 1 n n 1 n b)Xét tính đơn điệu của dãy số A. Dãy (un ) là dãy số tăng. B. Dãy (un ) là dãy số giảm. C. Dãy (un ) là dãy số khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai. Hướng dẫn giải: u 2 1 a) Ta cĩ: n n u u a 1 a 1 a n 1 n b) Dãy (un ) là dãy số tăng. u1 1 Câu 28: Cho dãy số (un ) được xác định như sau: 1 . u 3u 2, n 2 n n 1 2un 1 Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un 0, n 3 47 227 3 17 227 A. u 1,u ,u ,u B. u 1,u ,u ,u 1 2 2 3 6 4 34 1 2 2 3 6 4 34 3 19 227 3 17 2127 C. u 1,u ,u ,u D. u 1,u ,u ,u 1 2 2 3 6 4 34 1 2 2 3 6 4 34 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 17 227 Ta cĩ: u 1,u ,u ,u . 1 2 2 3 6 4 34 Ta chứng minh un 0, n bằng quy nạp. 1 1 Giả sử un 0 , khi đĩ: 2un 2 2un . 2 2un 2un
  25. 1 Nên un 1 un 2un 2 un 0 . 2un u0 2011 (u ) 2 Câu 29: Cho dãy số n được xác định bởi : un un 1 , n 1,2, un 1 a) Khẳng định nào sau đây đúng A. Dãy (un ) là dãy giảm B. Dãy (un ) là dãy tăng C. Dãy (un ) là dãy khơng tăng, khơng giảm D. A, B, C đều sai b) Tìm phần nguyên của un với 0 n 1006 . A. un  2014 n B. un  2011 n C. un  2013 n D. un  2012 n Hướng dẫn giải: un a) Ta cĩ: un 1 un 0, n nên dãy (un ) là dãy giảm un 1 un 1 b) Ta cĩ: un un 1 un 1 1 u0 n un 1 1 Suy ra: un 1 u0 (n 1) 2012 n Mặt khác: un un un 1 (un 1 un 2 ) (u1 u0 ) u0 u0 u1 un 1 u0 u0 1 u1 1 un 1 1 1 1 1 u0 n u0 1 u1 1 un 1 1 Mà: 1 1 1 n n 0 1 u0 1 u1 1 un 1 1 un 1 1 2013 n Với mọi n 2,1006 . Suy ra un u0 n 1 2012 n Do đĩ: 2011 n un 2012 n un  2011 n với n 2,1006 . 20112 Vì u 2011 và u 2010,000497 0 1 2012 nên u0  2011 0, u1  2010 2011 1 Vậy un  2011 n, n 0,1006 . u1 2,u2 6 Câu 30: Cho dãy số (un ) được xác định bởi: un 2 un 2un 1, n 1,2, 2 n n a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x 2x 1 0 . Chứng minh rằng: un a b 2 n 1 b) Chứng minh rằng: un 1 un 2un ( 1) .8 . Hướng dẫn giải: a) Ta chứng minh bài tốn bằng quy nạp Với n 1 u1 a b 2
  26. n n Giả sử un a b , n k k k k 1 k 1 Khi đĩ:uk 1 2uk uk 1 2 a b a b (a b) ak bk ak 1 bk 1 ak 1 bk 1 ab(ak 1 bk 1) ak 1 bk 1 ak 1 bk 1 (ak 1 bk 1) ak 1 bk 1 ak 1 bk 1 . b) Ta cĩ: 2 2 un 1 un 2un un 1 2un 1 un .un 2 2 n 1 2 n un 1 un 1 2un un (un un 1un 1) ( 1) u2 u3u1 ( 1) .8 . n 1 Câu 31: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (u ) :u n n n 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. n 2 n 1 (n 2)2 (n 3)(n 1) Ta cĩ u u n 1 n n 3 n 2 (n 2)(n 3) 1 0, n . (n 2)(n 3) 1 Mặt khác: u 1 0 u 1, n n n 2 n Vậy dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn. 3 Câu 32: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) :un n 2n 1 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: 3 3 Ta cĩ: un 1 un (n 1) 2(n 1) n 2n 3n2 3n 3 0, n Mặt khác: un 1, n và khi n càng lớn thì un càng lớn. Vậy dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn dưới. u 2 1 Câu 33: Xét tính tăng giảm và bị chặn của dãy số sau: (un ) : u 1 u n , n 2 n 1 2 A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn B. Trước hết bằng quy nạp ta chứng minh: 1 un 2, n Điều này đúng với n 1, giả sử 1 un 2 ta cĩ: u 1 1 u n 2 nên ta cĩ đpcm. n 1 2 1 u Mà u u n 0, n . n 1 n 2 Vậy dãy (un ) là dãy giảm và bị chặn. u1 2,u2 3 Câu 34: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau: . un 1 un un 1 , n 2
  27. A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. Trước hết ta chứng minh 1 un 4, n Điều này hiển nhiên đúng với n 1. Giả sử 1 un 4 , ta cĩ: 1 un 1 un un 1 4 4 4 Ta chứng minh (un ) là dãy tăng Ta cĩ: u1 u2 , giả sử un 1 un , n k . uk uk 1 Khi đĩ: uk uk 1 uk 1 uk 2 uk 1 uk uk 1 uk 2 Vậy dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn. x0 1 n 1 Câu 35: Cho dãy số (xn ) : 2n . Xét dãy số yn xn 1 xn . Khẳng định nào x x , n 2,3, n 2  i (n 1) i 1 đúng về dãy (yn ) A. Tăng, bị chặn B. Giảm, bị chặn C. Tăng, chặn dưới D. Giảm, chặn trên Hướng dẫn giải: Chọn A. 2(n 1) n 2(n 1) n 1 x x x x Ta cĩ: n 1 2  i 2 n  i n i 1 n i 1 2(n 1) (n 1)2 (n 1)(n2 1) 2 xn xn 3 xn . n 2n n n2 n 1 Do đĩ: y x x x n n 1 n n3 n Ta chứng minh dãy (yn ) tăng. (n 1)2 n 2 (n 1)(n2 1) n2 n 1 Ta cĩ: y y . x x n 1 n (n 1)3 n3 n n3 n (n2 3n 3)(n2 1) (n2 n 1)(n2 2n 1) x n3 (n 1)2 n 2x n 0 , n 1,2, n3 (n 1)2 Ta chứng minh dãy (yn ) bị chặn. Trước hết ta chứng minh: xn 4(n 1) (1) với n 2,3 * Với n 2 , ta cĩ: x2 4x1 4 nên (1) đúng với n 2 * Giả sử (1) đúng với n , tức là: xn 4(n 1) , ta cĩ (n 1)(n2 1) 4(n4 1) x x 4n n 1 n3 n n3 Nên (1) đúng với n 1. Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra (1) đúng n2 n 1 4(n 1)(n2 n 1) 4(n3 1) Ta cĩ: y x 4 n n3 n n3 n3 Vậy bài tốn được chứng minh.
  28. n Câu 36: Cho dãy số Un với Un .Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 1 2 3 5 5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; 2 3 4 5 6 . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2 3 4 5 Thay n lần lượt bằng 1,2,3,4,5 ta được 5 số hạng đầu tiên là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 Câu 37: Cho dãy số u với u .Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 n 1 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là: ; ; ; ; ; 2 6 12 20 30 B. Là dãy số tăng. 1 C. Bị chặn trên bởi số M . 2 D. Khơng bị chặn. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 1 1 2 Ta cĩ un 1 un 0 với n 1. n 1 2 n 1 n2 n n 1 n 2 n n 1 n n 1 n 2 Do đĩ un là dãy giảm. 1 Câu 38: Cho dãy số u với u .Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 1 A. Năm số hạng đầu của dãy là : 1; ; ; ; 2 3 4 5 . B. Bị chặn trên bởi số M 1. C. Bị chặn trên bởi số M 0 . D. Là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi số m M 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 Nhận xét : u 1. n n 1 Dãy số un bị chặn dưới bởi M 1. n Câu 39: Cho dãy số un với un a.3 ( a : hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai? n 1 A. Dãy số cĩ un 1 a.3 . B. Hiệu số un 1 un 3.a . C. Với a 0 thì dãy số tăng D. Với a 0 thì dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn B. n 1 n n n Ta cĩ un 1 un a.3 a.3 a.3 3 1 2a.3 . a 1 Câu 40: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n n2
  29. a 1 a 1 A. Dãy số cĩ un 1 . B. Dãy số cĩ : un 1 . n2 1 n 1 2 C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng. Hướng dẫn giải: Chọn B. a 1 Ta cĩ un 1 . n 1 2 a 1 Câu 41: Cho dãy số u với u ( a : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 a 1 2n 1 A. un 1 . B. Hiệu un 1 un 1 a . . (n 1)2 n 1 2 n2 2n 1 C. Hiệu un 1 un a 1 . . D. Dãy số tăng khi a 1. n 1 2 n2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 2n 1 2n 1 Ta cĩ u u a 1 . a 1 . 1 a . . n 1 n 2 2 2 2 2 2 n 1 n n n 1 n n 1 an2 Câu 42: Cho dãy số u với u ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 a. n 1 2 a. n2 3n 1 A. u . B. u u . n 1 n 2 n 1 n (n 2)(n 1) C. Là dãy số luơn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a 0 . Hướng dẫn giải: Chọn C. Chọn a 0 thì un 0 ,dãy un khơng tăng, khơng giảm. k Câu 43: Cho dãy số u với u ( k : hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai? n n 3n k k A. Số hạng thứ 5 của dãy số là . B. Số hạng thứ n của dãy số là . 35 3n 1 C. Là dãy số giảm khi k 0 . D. Là dãy số tăng khi k 0 . Hướng dẫn giải: Chọn B. k Số hạng thứ n của dãy là u . n 3n ( 1)n 1 Câu 44: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là . B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Dãy un là một dãy đan dấu. * Câu 45: Cho dãy số un cĩ un n 1 với n N . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 . B. Số hạng un 1 n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 .
  30. Hướng dẫn giải: Chọn A. 5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 . 2 Câu 45: Cho dãy số un cĩ un n n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 1;1;5; 5; 11; 19 . 2 B. un 1 n n 2 . C. un 1 un 1. D. Là một dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ : u u n 1 2 n 1 1 n2 n 1 n2 2n 1 n 2 n2 n 1 2n 0 n 1Do đĩ n 1 n un là một dãy giảm. 1 Câu 46: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n2 1 1 A. un 1 . B. un un 1 . n 1 2 1 C. Đây là một dãy số tăng. D. Bị chặn dưới. Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 47: Cho dãy số u với u sin . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 A. Số hạng thứ n 1 của dãy: u sin B. Dãy số bị chặn. n 1 n 2 C. Đây là một dãy số tăng. D. Dãy số khơng tăng khơng giảm. Hướng dẫn giải: Chọn D. Dãy số khơng tăng khơng giảm.
  31. CẤP SỐ CỘNG A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng un+1 = un + d, n N* (d: cơng sai) 2. Số hạng tổng quát: un u1 (n 1)d với n 2 u u 3. Tính chất các số hạng: u k 1 k 1 với k 2 k 2 n(u u ) n2u (n 1)d  4. Tổng n số hạng đầu tiên: S u u u 1 n = 1 n 1 2 n 2 2 B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp: Dãy số (un ) là một cấp số cộng un 1 un d khơng phụ thuộc vào n và d là cơng sai. Ba số a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành cấp số cộng a c 2b . Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và cơng sai. Do đĩ, ta thường biểu diễn giả thiết của bài tốn qua u1 và d . Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 u 1 1 3 1 2 A. Dãy số ;0; ;1; ; là một cấp số cộng: . 2 2 2 1 d 2 1 u 1 1 1 1 2 B. Dãy số ; ; ; là một cấp số cộng: . 2 22 23 1 d ;n 3 2 u1 2 C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng . d 0 D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; khơng phải là một cấp số cộng. 1 1 Câu 2: Cho một cấp số cộng cĩ u ; d . Hãy chọn kết quả đúng 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển : ;0;1; ;1 B. Dạng khai triển : ;0; ;0; 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ;2; ; D. Dạng khai triển: ;0; ;1; 2 2 2 2 2 2 Câu 3. Cho một cấp số cộng cĩ u1 3; u6 27 . Tìm d ? A. d 5. B. d 7 . C. d 6 . D. d 8. 1 Câu 4: Cho một cấp số cộng cĩ u ; u 26 Tìm d ? 1 3 8 11 3 10 3 A. d .B. d . C. d . D. d . 3 11 3 10 Câu 5: Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1,6 .B. 6 .C. 0,5.D. 0,6 .
  32. Câu 6. Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,1; d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này khơng cĩ hai số 0,5 và 0,6. C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9. Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. A. 1,5,6,8 B. 2,4,6,8 C. 1,4,6,9 D. 1,4,7,8 u2 u3 u5 10 Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa : u4 u6 26 1. Xác định cơng sai và; A. d 2 B. d 4 C. d 3 D. d 5 2. cơng thức tổng quát của cấp số A. un 3n 2 B. un 3n 4 C. un 3n 3 D. un 3n 1 2. Tính S u1 u4 u7 u2011 . A. S 673015 B. S 6734134 C. S 673044 D. S = 141 u5 3u3 u2 21 Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa: . 3u7 2u4 34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100 243 B. u100 295 C. u100 231 D. u100 294 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S15 244 B. S15 274 C. S15 253 D. S15 285 3. Tính S u4 u5 u30 . A. S 1286 B. S 1276 C. S 1242 D. S 1222 u2 u3 u5 10 Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 u6 26 1. Xác định cơng sai? A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4 2. Tính tổng S u5 u7  u2011 A. S 3028123 B. S 3021233 C. S 3028057 D. S 3028332 1 Câu 11: Cho dãy số u với :u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1 A. Dãy số này khơng phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1: u n . n 1 2 1 C. Hiệu :u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S 12. n 1 n 2 5 Câu 12. Cho dãy số un với : un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng cĩ d = – 2.B. Là cấp số cộng cĩ d = 2. C. Số hạng thứ n + 1:un 1 2n 7 .D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4 40 1 Câu 13. Cho dãy số u cĩ:u 3;d . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 2
  33. 1 1 A. u 3 n 1 .B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. un 3 n 1 . D. un n 3 n 1 . 2 4 1 1 Câu 14. Cho dãy số u cĩ:u ;d . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 4 4 5 4 5 4 A. S5 . B. S5 . C. S5 . D. S5 . 4 5 4 5 Câu 15. Cho dãy số un cĩ d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? 1 1 A. u1 16 B.u1 16 C. u1 D. u1 16 16 Câu 16. Cho dãy số un cĩ d 0,1;S5 0,5.Tính u1 ? 10 10 A. u 0,3. B.u . C. u . D. u 0,3. 1 1 3 1 3 1 Câu 17. Cho dãy số un cĩ u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? A. n 20 . B. n 21. C. n 22 .D. n 23 . Câu 18: Cho một cấp số cộng (un ) cĩ u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S B. S C. S 123 D. S 246 23 246 Câu 19: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số cộng khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng sai ? Biết: 1. un 2n 3 A. d 2 B. d 3 C. d 5 D. d 2 2. un 3n 1 A. d 2 B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 3. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 4. u n n 1 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 2 Câu 20: Xét xem các dãy số sau cĩ phải là cấp số cộng hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng sai. 1. un 3n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2. un 4 5n A. d  B. d 3 C. d 5 D. d 1 2n 3 3. u n 5
  34. 2 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 5 n 1 4. u n n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 n 5. u n 2n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 6. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 Câu 21: Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5. C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7. Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng cĩ 5 số hạng. A. 7; 12; 17 .B. 6; 10;14.C. 8;13;18 .D. 6;12;18. 1 16 Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng cĩ 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; .B. ; ; ; .C. ; ; ; .D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Câu 24: Cho dãy số un với : un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 3 số hạng đầu của dãy:u 1 5;u2 3;u3 1. B. Số hạng thứ n + 1: un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng cĩ d = – 2. D. Số hạng thứ 4: u4 1. Câu 25: Cho dãy số un cĩ u1 2;d 2;S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng. Câu 26: Cơng thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 , cơng sai d, n 2. ? A. un u1 d .B. un u1 n 1 d C. un u1 n 1 d D. un u1 n 1 d . Câu 27: Cho cấp số cộng un cĩ u4 12;u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 20,d 3 .B. u1 22,d 3. C. u1 21,d 3. D. u1 21,d 3. Câu 28: Cho cấp số cộng un cĩu4 12;u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24.B. S = –24. C. S = 26.D. S = –25. Câu 29: Cho cấp số cộng un cĩ u5 15;u20 60 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 35,d 5. B.u1 35,d 5. C. u1 35,d 5 D. u1 35,d 5 . Câu 30: Cho cấp số cộng un cĩ u5 15;u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S20 = 200B. S 20 = –200 C. S20 = 250D. S 20 = –25 Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) cĩ u u 20, u u 29 . Tìm u ,d ? n 2 3 5 7 1 A. u1 20;d 7 . B. u1 20,5;d 7 .C. u1 20,5;d 7 . D.u1 20,5;d 7 .
  35. Câu 32: Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14; Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên? A. d 3;S20 510 . B. d 3;S20 610. C. d 3;S20 610 . D. d 3;S20 610 . 1 1 3 5 Câu 33: Cho dãy số u : ; - ; - ; - ; Khẳng định nào sau đây sai? n 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng.B. cĩ d 1. C. Số hạng u20 19,5.D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . 2n 1 Câu 34: Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây đúng? n n 3 1 2 1 2 A. (un) là cấp số cộng cĩ u1 = ; d .B. (u n) là cấp số cộng cĩ u1 = ; d . 3 3 3 3 C. (un) khơng phải là cấp số cộng.D. (u n) là dãy số giảm và bị chặn. 1 Câu 35: Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n n 2 A. Các số hạng của dãy luơn dương.B. là một dãy số giảm dần. 1 C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M = . 2 2n2 1 Câu 36: Cho dãy số u (un) cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n 3 1 2 2(n 1)2 1 A. Là cấp số cộng cĩ u ; d ; B. Số hạng thứ n+1: u 1 3 3 n 1 3 2(2n 1) C. Hiệu u u D. Khơng phải là một cấp số cộng. n 1 n 3 Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 gĩc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và gĩc A bằng 30o. Tìm các gĩc cịn lại? A. 75o ; 120o; 165o.B. 72 o ; 114o; 156o.C. 70 o ; 110o; 150o.D. 80 o ; 110o; 135o. Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A. 1;2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1 Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đĩ ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đĩ. A. b 15,c 20,d 25,a 12 B. b 16,c 20,d 25,a 12 C. b 15,c 25,d 25,a 12 D. b 16,c 20,d 25,a 18 u7 u3 8 Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm u1,d ? u2.u7 75 d 2 d 2 d 2 d 2 A. B. C. D. u1 2,u1 17 u1 3,u1 7 u1 3,u1 17 u1 3,u1 17 u31 u34 11 Câu 41: Cho cấp số cộng (un) cĩ cơng sai d 0 ; 2 2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp u31 u34 101 số cộng đĩ. A. un 3n 9 B. un 3n 2 C. un 3n 92 D. un 3n 66 Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 gĩc của tam giác lập thành một cấp số cộng và cĩ một gĩc bằng 25o. Tìm 2 gĩc cịn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o.C. 60 o ; 95o. D. 60o ; 90o.
  36. Câu 43: Tam giác ABC cĩ ba gĩc A, B,C theo thứ tự đĩ lập thành cấp số cộng và C 5A . Xác định số đo các gĩc A, B,C . A 100 A 150 A 50 A 200 0 0 0 0 A. B 120 B. B 105 C. B 60 D. B 60 0 0 0 0 C 50 C 60 C 25 C 100 Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba gĩc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 sin A sin B sin C tính các gĩc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200 D. 400 ,600 ,800
  37. DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp: a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành CSC a c 2b Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc .B. a2 c2 2ab 2bc . C. a2 c2 2ab 2bc .D. a2 c2 ab bc . Câu 2: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc 2ac .B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac .D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Câu 3: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2b2 ,a,c2 . B. 2b, 2a, 2c .C. 2b,a,c .D. 2b, a, c . Câu 4: Xác định x để 3 số : 1 x; x2 ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Khơng cĩ giá trị nào của x .B. x 2. C. x 1.D. x 0 . Câu 5: Xác định x để 3 số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3 A. x 3. B. x . 2 3 C. x . D. Khơng cĩ giá trị nào của x . 4 Câu 6: Xác định a để 3 số : 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Khơng cĩ giá trị nào của a .B. a 0 . C. a 1 D. a 2 . Câu 7: Tìm x biết : 1. x2 1, x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ; A. x 4, x 3 B. x 2, x 3 C. x 2, x 5 D. x 2, x 1 Câu 8: Cho các số 5x y, 2x 3y, x 2y lập thành cấp số cộng ; các số y 1 2 , xy 1, x 1 2 lập thành cấp số nhân.Tính x, y 1 4 3 3 10 4 3 3 A. (x; y) 0;0 ; ; ; ; B. (x; y) 0;0 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 11 4 3 3 10 4 13 13 C. (x; y) 1;0 ; ; ; ; D. (x; y) 0;1 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x 5y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số y 1 2 , xy 1, x 1 2 lập thành cấp số nhân. 3 3 3 3 A. (x; y) 3; ; 3; B. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2 3 3 3 3 C. (x; y) 3; ; 3; D. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2
  38. Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số 5 x y, y 1,2x 3y lập thành cấp số nhân. 3 3 1 1 1 A. (x; y) 3; 1 ; ; B. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 3 1 12 1 C. (x; y) 3;1 ; ; D. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 Câu 11: Xác định a,b để phương trình x3 ax b 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. b 0,a 0 B. b 0,a 1 C. b 0,a 0 D. b 0,a 0 Câu 12: Tìm m để phương trình: mx4 2 m 1 x2 m 1 0 cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m B. m 1 C. m D. m 16 16 12 Câu 13: Tìm m để phương trình: x3 3mx2 4mx m 2 0 cĩ ba nghiệm lập thành cấp số nhân 1 10 10 m m m 1 m A. 27 B. 7 C. D. 27 m 0 m 0 m 0 m 0 Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình x3 3x2 9x m 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m 16 B. m 11 C. m 13 D. m 12 2. Phương trình x4 2 m 1 x2 2m 1 0 (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4 A. m 2 hoặc m B. m 4 hoặc m 9 9 C. m 4 hoặc m 2 D. m 3 hoặc m 1
  39. C– HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG Phương pháp: Dãy số (un ) là một cấp số cộng un 1 un d khơng phụ thuộc vào n và d là cơng sai. Ba số a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành cấp số cộng a c 2b . Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và cơng sai. Do đĩ, ta thường biểu diễn giả thiết của bài tốn qua u1 và d . Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? 1 u 1 1 3 1 2 A. Dãy số ;0; ;1; ; là một cấp số cộng: . 2 2 2 1 d 2 1 u 1 1 1 1 2 B. Dãy số ; ; ; là một cấp số cộng: . 2 22 23 1 d ;n 3 2 u1 2 C. Dãy số : – 2; – 2; – 2; – 2;  là cấp số cộng . d 0 D. Dãy số: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; khơng phải là một cấp số cộng. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 u 1 1 1 1 2 Dãy số ; ; ; khơng phải cấp số cộng do u2 1. 2 22 23 1 d 2 1 1 Câu 2: Cho một cấp số cộng cĩ u ; d . Hãy chọn kết quả đúng 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển : ;0;1; ;1 B. Dạng khai triển : ;0; ;0; 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ;2; ; D. Dạng khai triển: ;0; ;1; 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Câu 3. Cho một cấp số cộng cĩ u1 3; u6 27 . Tìm d ? A. d 5. B. d 7 . C. d 6 . D. d 8. Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: u6 27 u1 5d 27 3 5d 27 d 6 1 Câu 4: Cho một cấp số cộng cĩ u ; u 26 Tìm d ? 1 3 8 11 3 10 3 A. d .B. d . C. d . D. d . 3 11 3 10 Hướng dẫn giải: Chọn A.
  40. 1 11 Ta cĩ: u 26 u 7d 26 7d 26 d 8 1 3 3 Câu 5: Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,1; d 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: A. 1,6 .B. 6 .C. 0,5.D. 0,6 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u u n 1 .0,1 u 0,1 7 1 .0,1 n n 1 7 2 Câu 6. Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,1; d 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6. B. Cấp số cộng này khơng cĩ hai số 0,5 và 0,6. C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5 D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9. Hướng dẫn giải: Chọn B. 11 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u 0,1 n 1 .1 n . n n 10 11 8 Giả sử tồn tại k ¥ * sao cho u 0,5 k 0,5 k (loại). Tương tự số 0,6 k 10 5 Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120. A. 1,5,6,8 B. 2,4,6,8 C. 1,4,6,9 D. 1,4,7,8 Hướng dẫn giải: Giả sử bốn số hạng đĩ là a 3x;a x;a x;a 3x với cơng sai là d 2x .Khi đĩ, ta cĩ: a 3x a x a x a 3x 20 2 2 2 2 a 3x a x a x a 3x 120 4a 20 a 5 2 2 4a 20x 120 x 1 Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 . Chú ý: * Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài tốn gọn hơn. * Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi cơng sai d x , là chẵn thì gọi cơng sai d 2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng. a1 a2 an p * Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: 2 2 2 2 thì: a1 a2 an s 2 2 1 n n 1 12 ns p và d . a1 p .d 2 2 n 2 n n 1 u2 u3 u5 10 Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa : u4 u6 26 1. Xác định cơng sai và; A. d 2 B. d 4 C. d 3 D. d 5 2. cơng thức tổng quát của cấp số A. un 3n 2 B. un 3n 4 C. un 3n 3 D. un 3n 1 2. Tính S u1 u4 u7 u2011 . A. S 673015 B. S 6734134 C. S 673044 D. S = 141
  41. Hướng dẫn giải: Gọi d là cơng sai của CSC, ta cĩ: (u1 d) (u1 2d) (u1 4d) 10 u1 3d 10 u1 1 (u1 3d) (u1 5d) 26 u1 4d 13 d 3 1. Ta cĩ cơng sai d 3 và số hạng tổng quát : un u1 (n 1)d 3n 2 . 2. Ta cĩ các số hạng u1,u4 ,u7 , ,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với cơng sai d ' 3d , nên 670 ta cĩ: S 2u 669d ' 673015 2 1 u5 3u3 u2 21 Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa: . 3u7 2u4 34 1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ; A. u100 243 B. u100 295 C. u100 231 D. u100 294 2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ; A. S15 244 B. S15 274 C. S15 253 D. S15 285 3. Tính S u4 u5 u30 . A. S 1286 B. S 1276 C. S 1242 D. S 1222 Hướng dẫn giải: u1 4d 3(u1 2d) (u1 d) 21 Từ giả thiết bài tốn, ta cĩ: 3(u1 6d) 2(u1 3d) 34 u1 3d 7 u1 2 . u1 12d 34 d 3 1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 u1 99d 295 15 2. Tổng của 15 số hạng đầu: S 2u 14d  285 15 2 1 27 3. Ta cĩ: S u u u 2u 26d  4 5 30 2 4 27 u1 16d 1242 . Chú ý: Ta cĩ thể tính S theo cách sau: 3 S S S 15 2u 29d 2u 2d 1242 . 30 3 1 2 1 u2 u3 u5 10 Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn u4 u6 26 1. Xác định cơng sai? A. d=3 B. d=5 C. d=6 D. d=4 2. Tính tổng S u5 u7  u2011 A. S 3028123 B. S 3021233 C. S 3028057 D. S 3028332 Hướng dẫn giải: u1 d (u1 2d) u1 4d 10 u1 3d 10 1. Ta cĩ: u1 3d u1 5d 26 u1 4d 13 u1 1,d 3;u5 u1 4d 1 12 13
  42. 2. Ta cĩ u5 ,u7 , ,u2011 lập thành CSC với cơng sai d 6 và cĩ 1003 số hạng nên 1003 S 2u 1002.6 3028057 . 2 5 1 Câu 11: Cho dãy số u với :u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1 A. Dãy số này khơng phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1: u n . n 1 2 1 C. Hiệu :u u . D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S 12. n 1 n 2 5 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 Ta cĩ: u n 1 1 n 1 u n ¥ * Đáp án C đúng. n 1 2 2 2 n 2 Câu 12. Cho dãy số un với : un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng cĩ d = – 2.B. Là cấp số cộng cĩ d = 2. C. Số hạng thứ n + 1:un 1 2n 7 .D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4 40 Hướng dẫn giải: Chọn A. Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai. * Thật vậy un 1 2 n 1 5 2n 5 2 un +2 n ¥ đáp án A sai. 1 Câu 13. Cho dãy số u cĩ:u 3;d . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 2 1 1 A. u 3 n 1 .B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. un 3 n 1 . D. un n 3 n 1 . 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 Sử dụng cơng thức SHTQ u u n 1 d n 2 . Ta cĩ: u 3 n 1 n 1 n 2 1 1 Câu 14. Cho dãy số u cĩ:u ;d . Khẳng định nào sau đây đúng? n 1 4 4 5 4 5 4 A. S5 . B. S5 . C. S5 . D. S5 . 4 5 4 5 Hướng dẫn giải:. Chọn C. n 2u n 1 d 1 n u1 un * Sử dụng cơng thức tính tổng n số hạng đầu tiên: S , n ¥ n 2 2 5 Tính được: S 5 4 Câu 15. Cho dãy số un cĩ d = –2; S8 = 72. Tính u1 ? 1 1 A. u1 16 B.u1 16 C. u1 D. u1 16 16 Hướng dẫn giải: Chọn A.
  43. n u1 un Sn 2 u1 u8 2S8 :8 u8 u1 18 u1 16. u u u u 7d u u 14 Ta cĩ: d n 1 8 1 8 1 n 1 Câu 16. Cho dãy số un cĩ d 0,1;S5 0,5.Tính u1 ? 10 10 A. u 0,3. B.u . C. u . D. u 0,3. 1 1 3 1 3 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. un u1 n 1 d u5 u1 4.0,1 2S u1 0,3 Ta cĩ : n u u 0,25 . Suy ra chọn đáp án D. un u1 5 1 n Câu 17. Cho dãy số un cĩ u1 1;d 2;Sn 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng? A. n 20 . B. n 21. C. n 22 .D. n 23 . Hướng dẫn giải: Chọn D. n 2u n 1 d 1 2 n 23 Ta cĩ: Sn 2.483 n. 2. 1 n 1 .2 n 2n 483 0 2 n 21 Do n N * n 23. Câu 18: Cho một cấp số cộng (un ) cĩ u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S B. S C. S 123 D. S 246 23 246 Hướng dẫn giải: Gọi d là cơng sai của cấp số đã cho 497 2u Ta cĩ: S 50 2u 99d 24850 d 1 5 100 1 99 5 5 5 5S u1u2 u2u3 u49u50 u u u u u u 2 1 3 2 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1 u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245 u1 u50 u1 u1 49d 246 49 S . 246 Câu 19: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số cộng khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng sai ? Biết: 1. un 2n 3 A. d 2 B. d 3 C. d 5 D. d 2 2. un 3n 1 A. d 2 B. d 3 C. d 3 D. d 1
  44. 2 3. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 4. u n n 1 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 2 Hướng dẫn giải: 1. Ta cĩ: un 1 un 2(n 1) 3 (2n 3) 2 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với cơng sai d 2 . 2. Ta cĩ: un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3 là hằng số Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với cơng sai d 3. 2 2 3. Ta cĩ: un 1 un (n 1) 1 (n 1) 2n 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) khơng phải là cấp số cộng. 2 2 2 4. Ta cĩ: u u phụ thuộc vào n n 1 n n 1 n n(n 1) Vậy dãy (un ) khơng phải là cấp số cộng. Câu 20: Xét xem các dãy số sau cĩ phải là cấp số cộng hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng sai. 1. un 3n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2. un 4 5n A. d  B. d 3 C. d 5 D. d 1 2n 3 3. u n 5 2 A. d  B. d C. d 3 D. d 1 5 n 1 4. u n n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 n 5. u n 2n A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 2 6. un n 1 A. d  B. d 3 C. d 3 D. d 1 Hướng dẫn giải: 1. Ta cĩ: un 1 un 3(n 1) 1 3n 1 3 Dãy (un ) là CSC cĩ cơng sai d 3. 2. Ta cĩ: un 1 un 5
  45. Dãy (un ) là CSC cĩ cơng sai d 5 2 2 3. Ta cĩ: u u . Dãy (u ) là CSC cĩ cơng sai d n 1 n 5 n 5 1 4. Ta cĩ: u u (u ) khơng là CSC n 1 n n(n 1) n 5. Tương tự ý 4 dãy (un ) khơng là CSC 6. Tương tự ý 4 dãy (un ) khơng là CSC. Câu 21: Cho cấp số cộng un cĩ: u1 0,3; u8 8 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5. C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6. D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7. Hướng dẫn giải: Chọn D. 11 Ta cĩ: u 8 u 7d 8 0,3 7d 8 d 8 1 10 11 Số hạng tổng quát của cấp số cộng u là: u 0,3 n 1 u 6,9 n n 10 7 Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng cĩ 5 số hạng. A. 7; 12; 17 .B. 6; 10;14.C. 8;13;18 .D. 6;12;18. Hướng dẫn giải: Chọn A. u2 2 5 7 u1 2 Khi đĩ 22 u1 4d d 5 u3 7 5 12 u5 22 u4 12 5 17 1 16 Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số và để được cấp số cộng cĩ 6 số hạng. 3 3 4 5 6 7 4 7 10 13 4 7 11 14 3 7 11 15 A. ; ; ; .B. ; ; ; .C. ; ; ; .D. ; ; ; . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 1 4 4 7 u u 1 ;u 1 1 3 16 2 3 3 3 3 3 Ta cĩ u1 5d d 1 . 16 3 10 13 u u ;u 6 3 4 3 5 3 Câu 24: Cho dãy số un với : un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 3 số hạng đầu của dãy:u 1 5;u2 3;u3 1. B. Số hạng thứ n + 1: un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng cĩ d = – 2. D. Số hạng thứ 4: u4 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Thay n 1;2;3;4 đáp án A, D đúng * un 1 7 2 n 1 5 2n 7 2n ( 2) un ( 2)n ¥ . suy ra đáp án B sai Câu 25: Cho dãy số un cĩ u1 2;d 2;S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng. B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng. C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng. D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng. Hướng dẫn giải:
  46. Chọn B. n 2u n 1 d 1 2 n 6 Ta cĩ: Sn 2.21 2 n. 2. 2 n 1 . 2 n n 21 0 2 n 7 Do n N * n 6 . Suy ra chọn đáp án B. Câu 26: Cơng thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 , cơng sai d, n 2. ? A. un u1 d .B. un u1 n 1 d C. un u1 n 1 d D. un u1 n 1 d . Hướng dẫn giải: Chọn D. Cơng thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d , n 2 . Câu 27: Cho cấp số cộng un cĩ u4 12;u14 18 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 20,d 3 .B. u1 22,d 3. C. u1 21,d 3. D. u1 21,d 3. Hướng dẫn giải: Chọn C. u4 u1 3d u1 3d 12 d 3 Ta cĩ : . Suy ra chọn đáp án C u14 u1 13d u1 13d 18 u1 21 Câu 28: Cho cấp số cộng un cĩu4 12;u14 18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S = 24.B. S = –24. C. S = 26.D. S = –25. Hướng dẫn giải: Chọn A. n 2u n 1 d 16 2. 21 15.3 Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S 1 S 24. n 2 16 2 Câu 29: Cho cấp số cộng un cĩ u5 15;u20 60 . Tìm u1, d của cấp số cộng? A. u1 35,d 5. B.u1 35,d 5. C. u1 35,d 5 D. u1 35,d 5 . Hướng dẫn giải: Chọn B. u5 u1 4d u1 4d 15 d 5 Ta cĩ : u20 u1 19d u1 19d 60 u1 35 Câu 30: Cho cấp số cộng un cĩ u5 15;u20 60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: A. S20 = 200B. S 20 = –200 C. S20 = 250D. S 20 = –25 Hướng dẫn giải: Chọn C. n 2u n 1 d 20 2. 35 19.5 Sử dụng kết quả bài 17. Tính được S 1 S 250. n 2 20 2 Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) cĩ u u 20, u u 29 . Tìm u ,d ? n 2 3 5 7 1 A. u1 20;d 7 . B. u1 20,5;d 7 .C. u1 20,5;d 7 . D.u1 20,5;d 7 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2u1 3d 20 u1 20,5 Áp dụng cơng thức un u1 (n 1)d ta cĩ . 2u1 10d 29 d 7 Câu 32: Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14; Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên? A. d 3;S20 510 . B. d 3;S20 610. C. d 3;S20 610 . D. d 3;S20 610 .
  47. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ 5 2 ( 3); 8 5 ( 3); 11 8 ( 3); 14 11 ( 3); nên d 3. n(n 1) Áp dụng cơng thức S nu d , ta cĩ S 610 . n 1 2 20 1 1 3 5 Câu 33: Cho dãy số u : ; - ; - ; - ; Khẳng định nào sau đây sai? n 2 2 2 2 A. (un) là một cấp số cộng.B. cĩ d 1. C. Số hạng u20 19,5.D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là 180 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 3 1 5 3 Ta cĩ ( 1); - ( 1); - ( 1); Vậy dãy số trên là cấp số cộng với cơng sai 2 2 2 2 2 2 d 1. Ta cĩ u20 u1 19d 18,5 . 2n 1 Câu 34: Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây đúng? n n 3 1 2 1 2 A. (un) là cấp số cộng cĩ u1 = ; d .B. (u n) là cấp số cộng cĩ u1 = ; d . 3 3 3 3 C. (un) khơng phải là cấp số cộng.D. (u n) là dãy số giảm và bị chặn. Hướng dẫn giải: Chọn B. 2(n 1) 1 2n 1 2 1 Ta cĩ u u và u . n 1 n 3 3 3 1 3 1 Câu 35: Cho dãy số u cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n n 2 A. Các số hạng của dãy luơn dương.B. là một dãy số giảm dần. 1 C. là một cấp số cộng. D. bị chặn trên bởi M = . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 Ta cĩ u ; u ; u . u u u u nên dãy số khơng phải là cấp số cộng. 1 3 2 4 3 5 2 1 3 2 2n2 1 Câu 36: Cho dãy số u (un) cĩ u . Khẳng định nào sau đây sai? n n 3 1 2 2(n 1)2 1 A. Là cấp số cộng cĩ u ; d ; B. Số hạng thứ n+1: u 1 3 3 n 1 3 2(2n 1) C. Hiệu u u D. Khơng phải là một cấp số cộng. n 1 n 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 2(n 1)2 1 2n2 1 2(2n 1) Ta cĩ u u . Vậy dãy số trên khơng phải cấp số cộng. n 1 n 3 3 3 Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 gĩc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và gĩc A bằng 30o. Tìm các gĩc cịn lại? A. 75o ; 120o; 165o.B. 72 o ; 114o; 156o.C. 70 o ; 110o; 150o.D. 80 o ; 110o; 135o. Hướng dẫn giải: Chọn C.
  48. Ta cĩ: u1 u2 u3 u4 360 30 30 d 30 2d 30 3d 360 d 40 . Vâỵu2 70; u3 110; u4 150 . Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. A. 1;2;3 B. 4; 3; 2 C. 2; 1;0 D. 3; 2; 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi ba số hạng của CSC là a 2x;a;a 2x với d 2x a 3 a 2x a a 2x 9 Ta cĩ: 2 2 2 1 . (a 2x) a (a 2x) 29 x 2 Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đĩ ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đĩ. A. b 15,c 20,d 25,a 12 B. b 16,c 20,d 25,a 12 C. b 15,c 25,d 25,a 12 D. b 16,c 20,d 25,a 18 Hướng dẫn giải: Chọn B. a d 37 a 37 d c b 36 c 36 b Gọi bốn số đĩ là a,b,c,d ta cĩ hệ : a c 2b d 73 3b 2 2 bd c b(73 3b) (36 b) b 16,c 20,d 25,a 12 . u7 u3 8 Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm u1,d ? u2.u7 75 d 2 d 2 d 2 d 2 A. B. C. D. u1 2,u1 17 u1 3,u1 7 u1 3,u1 17 u1 3,u1 17 Hướng dẫn giải: Chọn C. u1 6d u1 2d 8 d 2 Ta cĩ: (u1 d)(u1 6d) 75 u1 3,u1 17 u31 u34 11 Câu 41: Cho cấp số cộng (un) cĩ cơng sai d 0 ; 2 2 . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp u31 u34 101 số cộng đĩ. A. un 3n 9 B. un 3n 2 C. un 3n 92 D. un 3n 66 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2u 63d 11 u 89 Ta cĩ: 1 1 2 2 (u1 30d) (u1 33d) 101 d 3 Vậy un 3(n 1) 89 3n 92 .
  49. Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 gĩc của tam giác lập thành một cấp số cộng và cĩ một gĩc bằng 25o. Tìm 2 gĩc cịn lại? A. 65o ; 90o. B. 75o ; 80o.C. 60 o ; 95o. D. 60o ; 90o. Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ :u1 u2 u3 180 25 25 d 25 2d 180 d 35 . Vâỵ u2 60; u3 90. Câu 43: Tam giác ABC cĩ ba gĩc A, B,C theo thứ tự đĩ lập thành cấp số cộng và C 5A . Xác định số đo các gĩc A, B,C . A 100 A 150 A 50 A 200 0 0 0 0 A. B 120 B. B 105 C. B 60 D. B 60 0 0 0 0 C 50 C 60 C 25 C 100 Hướng dẫn giải: Chọn D. Từ giả thiết bài tốn ta cĩ hệ phương trình : A B C 1800 C 5A A 200 0 A C 2B B 3A B 60 . C 5A 0 0 9A 180 C 100 Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba gĩc tam giác lập thành cấp số cộng và 3 3 sin A sin B sin C tính các gĩc của tam giác 2 A. 300 ,600 ,900 B. 200 ,600 ,1000 C. 100 ,500 ,1200 D. 400 ,600 ,800 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba gĩc của tam giác: 300 ,600 ,900
  50. DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG Phương pháp: a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành CSC a c 2b Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc .B. a2 c2 2ab 2bc . C. a2 c2 2ab 2bc .D. a2 c2 ab bc . Hướng dẫn giải: Chọn B. a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi: b a c b b a 2 c b 2 a2 c2 2ab 2bc . Suy ra chọn đáp án B. Câu 2: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng? A. a2 c2 2ab 2bc 2ac .B. a2 c2 2ab 2bc 2ac . C. a2 c2 2ab 2bc 2ac .D. a2 c2 2ab 2bc 2ac . Hướng dẫn giải: Chọn C. a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi b a c b b a 2 c b 2 a2 c2 2ab 2bc a2 c2 2c2 2ab 2bc 2ab 2c c b 2ab 2c b a 2ab 2bc 2ac Câu 3: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng ? A. 2b2 ,a,c2 . B. 2b, 2a, 2c .C. 2b,a,c .D. 2b, a, c . Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a c 2b 2 b c 2.2a 2b 2c 2 2a 2b, 2a, 2c lập thành một cấp số cộng Câu 4: Xác định x để 3 số : 1 x; x2 ;1 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Khơng cĩ giá trị nào của x .B. x 2. C. x 1.D. x 0 . Hướng dẫn giải: : Chọn C. Ba số : 1 x; x2 ;1 x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x2 1 x 1 x x2 2x2 2 x 1 suy ra chọn đáp án C. Câu 5: Xác định x để 3 số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? 3 A. x 3. B. x . 2 3 C. x . D. Khơng cĩ giá trị nào của x . 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ba số :1 2x;2x2 1; 2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi 2x2 1 1 2x 2x 2x2 1
  51. 3 4x2 3 x . Suy ra chọn đáp án B. 2 Câu 6: Xác định a để 3 số : 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng? A. Khơng cĩ giá trị nào của a .B. a 0 . C. a 1 D. a 2 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ba số : 1 3a;a2 5;1 a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a2 5 1 3a 1 a a2 5 a2 3a 4 a2 a 4 a2 a 4 0 . PT vơ nghiệm Suy ra chọn đáp án A. Câu 7: Tìm x biết : 1. x2 1, x 2,1 3x lập thành cấp số cộng ; A. x 4, x 3 B. x 2, x 3 C. x 2, x 5 D. x 2, x 1 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ: x2 1, x 2,1 3x lập thành cấp số cộng x2 1 1 3x 2(x 2) x2 5x 6 0 x 2; x 3 Vậy x 2, x 3 là những giá trị cần tìm. Câu 8: Cho các số 5x y, 2x 3y, x 2y lập thành cấp số cộng ; các số y 1 2 , xy 1, x 1 2 lập thành cấp số nhân.Tính x, y 1 4 3 3 10 4 3 3 A. (x; y) 0;0 ; ; ; ; B. (x; y) 0;0 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 11 4 3 3 10 4 13 13 C. (x; y) 1;0 ; ; ; ; D. (x; y) 0;1 ; ; ; ; 3 3 4 10 3 3 4 10 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ các số 5x y, 2x 3y, x 2y lập thành CSC nên suy ra 2 2x 3y 5x y x 2y hay 2x 5y (1) Các số y 1 2 , xy 1, x 1 2 lập thành CSN suy ra xy 1 2 y 1 2 x 1 2 4 2y 2x 4xy 2x 2y 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được : 4 2y 5y 10y2 5y 2y 0 4 3 y 4 3y 10y 3 0 y 0, y , y . 3 10 10 4 3 3 Vậy (x; y) 0;0 ; ; ; ; . 3 3 4 10 Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x 5y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số y 1 2 , xy 1, x 1 2 lập thành cấp số nhân. 3 3 3 3 A. (x; y) 3; ; 3; B. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2
  52. 3 3 3 3 C. (x; y) 3; ; 3; D. (x; y) 3; ; 3; 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x 5y 8x y 2(5x 2y) Ta cĩ hệ: giải hệ này ta tìm được 2 2 2 (x 1) (y 1) (xy 1) 3 3 . (x; y) 3; ; 3; 2 2 Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số 5 x y, y 1,2x 3y lập thành cấp số nhân. 3 3 1 1 1 A. (x; y) 3; 1 ; ; B. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 3 1 12 1 C. (x; y) 3;1 ; ; D. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. x 6y 8x y 2(5x 2y) Ta cĩ hệ: giải hệ này ta tìm được 5 2 (x y)(2x 3y) (y 1) 3 3 1 (x; y) 3; 1 ; ; . 8 8 Câu 11: Xác định a,b để phương trình x3 ax b 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. b 0,a 0 B. b 0,a 1 C. b 0,a 0 D. b 0,a 0 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đáp số: b 0,a 0 . Khi đĩ phương trình cĩ ba nghiệm lập thành CSC là x 0, x a . Câu 12: Tìm m để phương trình: mx4 2 m 1 x2 m 1 0 cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 9 7 9 A. m B. m 1 C. m D. m 16 16 12 Hướng dẫn giải: Chọn A. 9 Đáp số : m 16 Câu 13: Tìm m để phương trình: x3 3mx2 4mx m 2 0 cĩ ba nghiệm lập thành cấp số nhân 1 10 10 m m m 1 m A. 27 B. 7 C. D. 27 m 0 m 0 m 0 m 0 Hướng dẫn giải:
  53. Chọn D. Giả sử phương trình cĩ ba nghiệm a,b,c lập thành CSN abc 2 m m 2 b3 Suy ra 2 thay vào phương trình ta cĩ b ac 4 10 b m (3b 4)(b3 2) 0 3 27 3 b 2 m 0 Thay ngược lại ta thấy khơng cĩ giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài tốn. Câu 14: Xác định m để: 1. Phương trình x3 3x2 9x m 0 cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. A. m 16 B. m 11 C. m 13 D. m 12 2. Phương trình x4 2 m 1 x2 2m 1 0 (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. 4 4 A. m 2 hoặc m B. m 4 hoặc m 9 9 C. m 4 hoặc m 2 D. m 3 hoặc m 1 Hướng dẫn giải: 1. Giải sử phương trình cĩ ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Khi đĩ: x1 x3 2x2 , x1 x2 x3 3 x2 1 Thay vào phương trình ta cĩ : m 11. Với m 11 ta cĩ phương trình : x3 3x2 9x 11 0 2 x 1 x 2x 11 0 x1 1 12, x2 1, x3 1 12 Ba nghiệm này lập thành CSC. Vậy m 11 là giá trị cần tìm. 2. Đặt t x2 ,t 0 . Phương trình trở thành: t2 2 m 1 t 2m 1 0 (2) Phương trình (1) cĩ bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT (2) cĩ hai nghiệm dương phân biệt t2 t1 0 . 2 ' 0 m 1 2m 1 0 1 P 0 2m 1 0 m 0 2 S 0 2 m 1 0 Khi đĩ PT(2) cĩ bốn nghiệm là: t2 ; t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng khi : t2 t1 2 t1 t2 3 t1 t2 9t1 t1 t2 2 t1 m 4 t1 t2 2 m 1 t1 9t1 2 m 1 2 Theo định lý viet thì : 9m 32m 16 0 4 . t1t2 2m 1 t1 9t1 2m 1 m 9 4 Vậy m 4 hoặc m là những giá trị cần tìm. 9
  54. CẤP SỐ NHÂN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân un+1 = un.q với n N* (q: cơng bội) n 1 2. Số hạng tổng quát: un u1.q với n 2 2 3. Tính chất các số hạng: uk uk 1.uk 1 với k 2 Sn nu1 với q 1 4. Tổng n số hạng đầu tiên: n u1(1 q ) Sn với q 1 1 q B – BÀI TẬP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: un 1 Dãy số (un ) là một cấp số nhân q khơng phụ thuộc vào n và q là cơng bội. un Ba số a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành cấp số nhân ac b2 . Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và cơng bội. Do đĩ, ta thường biểu diễn giả thiết của bài tốn qua u1 và q . Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? n A. Dãy số này khơng phải là cấp số nhânB. Số hạng tổng quát u n = 1 =1 2n C. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u1= –1, q = –1D. Số hạng tổng quát u n = (–1) . 1 1 1 1 Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ; ; Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = . 2 2n 1 1 C. Số hạng tổng quát un = .D. Dãy số này là dãy số giảm. 2n Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này khơng phải là cấp số nhân.B. Là cấp số nhân cĩ u1 1; q=1. n C. Số hạng tổng quát un ( 1) . D. Là dãy số giảm. 1 1 1 1 Câu 4. Cho dãy số : 1; ; ; ; . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81 A. Dãy số khơng phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u 1; q= . 1 3 n 1 C. Số hạng tổng quát.u 1 . n 3n 1 D. Là dãy số khơng tăng, khơng giảm. 1 Câu 5. Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Tìm q ? n 1 2 7 1 A. q .B. q 2 .C. q 4 .D. q 1. 2 Câu 6. Cho cấp số nhân un vớiu1 2; q=-5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 10; 50; 250; 2 5 n 1 .B. 10; 50; 250; 2. 5n 1 .
  55. C. 10; 50; 250; 2 .5n .D. 10; 50; 250; 2 5 n 1 . Câu 7. Cho cấp số nhân un vớiu1 4; q 4. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 16; 64; 256; 4 n .B. 16; 64; 256; 4 n . C. 16; 64; 256; 4 4 n . D. 16; 64; 256; 4n . Câu 8. Cho cấp số nhân un với u1 1; q=0,00001. Tìm q và un ? 1 1 1 A. q ; u B. q ; u 10n 1 10 n 10n 1 10 n 1 1 1 ( 1)n C. q ; u D. q ; u 10 n 10n 1 10 n 10n 1 1 1 Câu 9. Cho cấp số nhân u với u 1; q . Số là số hạng thứ mấy của u ? n 1 10 10103 n A. Số hạng thứ 103B. Số hạng thứ 104 C. Số hạng thứ 105 D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho. Câu 10. Cho cấp số nhân un vớiu1 3; q= 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của un ? A. Số hạng thứ 5.B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho. 1 Câu 11. Cho cấp số nhân u với u 3; q . Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n 1 2 n A. Số hạng thứ 11B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9 D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho u1 u2 u3 u4 15 Câu 12: Cho cấp số nhân (un) cĩ các số hạng khác khơng, tìm u1 biết: 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 85 A. u1 1,u1 2 B. u1 1,u1 8 C. u1 1,u1 5 D. u1 1,u1 9 u u u u u 11 1 2 3 4 5 Câu 13: Cho cấp số nhân (un) cĩ các số hạng khác khơng, tìm u biết: 82 1 u u 1 5 11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u ,u B. u ,u C. u ,u D. u ,u 1 11 1 11 1 12 1 12 1 13 1 13 1 11 1 11 Câu 14: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: un 2n A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 15: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: n un 4.3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 16: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: 2 u . n n 1 A. q 3 B. q C. q 4 D. q  2
  56. Câu 17: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 1. Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. n un 2 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 18: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 3n 1 u n 5 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 19: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. un 3n 1 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 20: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 2n 1 u n 3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Câu 21: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 3 un n . A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  n 1 2 Câu 22: Cho dãy số (un ) với un 3 1. Tìm cơng bội của dãy số (un). 3 1 A. q B. q 3 C. q D. q 3 2 2 2. Tính tổng S u2 u4 u6  u20 9 9 9 7 A. S (320 1) B. S (320 1) C. S (310 1) D. S (310 1) 2 2 2 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17 Câu 23: 1. Cho cấp số nhân cĩ 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng cịn lại của CSN đĩ. 2 2 A. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 5 3 5 6 7 2 2 B. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 7 2 3 3 5 6 7
  57. 2 2 C. u ;u ;u 2;u 21;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2 2 D. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2 u4 Câu 24: Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 27 . u3 243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2 A. u 2,u ,u ;u ,u B. u 1,u ,u ;u ,u C. 1 2 5 3 9 4 27 5 81 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2 2 2 2 2 2 2 2 u 2,u ,u ;u ,u D. u 2,u ,u ;u ,u 1 2 3 3 9 4 27 5 64 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 1359048 59048 A. S B. S C. S D. S 10 12383 10 19683 10 3319683 10 19683 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 C. 9 D. 3 Câu 25: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 u u 1 1 2 u1 1; u2 2 A. 2 B. 2 C.un n 1 D. 2 un 1 un 1.un un 1 un un 1 2 . un Câu 26: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với n n 1 1 A. un là dãy số tăng.B. un là dãy số tăng. 4 4 n n C. un 4 là dãy số tăng. D. un 4 là dãy số tăng. Câu 27: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây. Cấp số nhân với 1 3 A. u là dãy số giảm.B. u là dãy số giảm. n 10n n 10n n n C. un 10 là dãy số giảm.D. un 10 là dãy số giảm. Câu 28: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây: 5 1 A. Cấp số nhân: 2; 2,3; 2,9; cĩ u6 2 . 3 6 B. Cấp số nhân: 2; 6; 18; cĩ u6 2. 3 . C. Cấp số nhân: 1; 2; 2; cĩ u6 2 2. D. Cấp số nhân: 1; 2; 2; cĩ u6 4 2. Câu 29: Cho cấp số nhân un cĩ cơng bội q . Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: u u A. u u .u B. u k 1 k 1 C. u u .qk 1. D. k k 1 k 2 k 2 k 1 uk u1 k 1 q.
  58. u 2 1 Câu 30: Cho dãy số un xác định bởi : 1 . Chọn hệ thức đúng: u .u n 1 10 n 1 1 A. u là cấp số nhân cĩ cơng bội q . B. u ( 2) . n 10 n 10n 1 u u C. u n 1 n 1 n 2 . D. u u .u n 2 . n 2 n n 1 n 1 2 3 Câu 31: Cho dãy số un :1; x; x ; x ; (với x R , x 1, x 0 ). Chọn mệnh đề đúng: n A. un là cấp số nhân cĩ un x . B. un là cấp số nhân cĩu1 1; q x. C. un khơng phải là cấp số nhân.D. un là một dãy số tăng. 3 5 7 Câu 32: Cho dãy số un : x; x ; x ; x ; (với x R , x 1, x 0 ). Chọn mệnh đề sai: n 1 2n 1 A. un là dãy số khơng tăng, khơng giảm.B. un là cấp số nhân cĩ un 1 .x . x(1 x2n 1) C. u cĩ tổng S D. u là cấp số nhân cĩ u x , q x2. n n 1 x2 n 1 Câu 33: Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau: A. 1; 0,2; 0,04; 0,0008; B. 2; 22; 222;2222; C. x; 2x; 3x; 4x; D. 1; x2 ; x4 ; x6 ; 2 Câu 34: Cho cấp số nhân cĩ u 3, q . Chọn kết quả đúng: 1 3 4 8 16 A. Bốn số hạng tiếp theo của cấp số là: 2; ; ; . 3 3 3 n 1 2 B. un 3. . 3 n 2 C. Sn 9. 9. 3 D. un là một dãy số tăng. 2 Câu 35: Cho cấp số nhân cĩ u 3, q . Tính u ? 1 3 5 27 16 16 27 A. u . B. u . C. u . D. u . 5 16 5 27 5 27 5 16 2 96 Câu 36: Cho cấp số nhân cĩ u 3, q . Số là số hạng thứ mấy của cấp số này? 1 3 243 A. Thứ 5.B. Thứ 6. C. Thứ 7. D. Khơng phải là số hạng của cấp số. 1 Câu 37: Cho cấp số nhân cĩ u ; u 16 . Tìm q và u . 2 4 5 1 1 1 1 1 A. q ; u . B. q ; u . 2 1 2 2 1 2 1 1 C. q 4; u . D. q 4; u . 1 16 1 16 u u u u u 11 1 2 3 4 5 Câu 38: Cho CSN (u ) thỏa: 82 n u u 1 5 11 1. Tìm cơng bội và số hạng tổng quát của cấp số
  59. 3n 1 1 81 1 A. q 3;u B. q ;u . C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai n 11 3 n 11 3n 1 2. Tính tổng S2011 1 243 1 1 2011 A. q ;S2011 1 2011 B. q 3;S2011 3 1 3 22 3 22 C. Cả A, B đúng D. Cả A, B sai 1 3. Trên khoảng ;1 cĩ bao nhiêu số hạng của cấp số. 2 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
  60. DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành CSN ac b2 . 1 Câu 1: Cho dãy số ; b; 2 . Chọn b để dãy số đã cho lập thành cấp số nhân? 2 A. b 1.B. b 1. C. b 2 .D. Khơng cĩ giá trị nào của b. 1 1 Câu 2: Cho cấp số nhân: ; a; . Giá trị của a là: 5 125 1 1 1 A. a . B. a . C. a . D. a 5. 5 25 5 Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64 . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân? A. Khơng cĩ giá trị nào của x. B. x 0,008. C. x 0,008. D. x 0,004. Câu 4: Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 1 1 A. u 1 B. u C. u n2 D. u n2 n 4n n 4n 2 n 4 n 4 Câu 5: Xác định x để 3 số 2x 1; x; 2x 1 lập thành một cấp số nhân: 1 A. x . B. x 3. 3 1 C. x . D. Khơng cĩ giá trị nào của x . 3 Câu 6: Xác định x để 3 số x 2; x 1; 3 x lập thành một cấp số nhân: A. Khơng cĩ giá trị nào của x. B. x 1. C. x 2. D. x 3. Câu 7: Tìm x biết : 1, x2 ,6 x2 lập thành cấp số nhân. A. x 1 B. x 2 C. x 2 D. x 3 5 Câu 8: Các số x 6y,5x 2y,8x y lập thành cấp số cộng và các số x y, y 1,2x 3y lập thành 3 cấp số nhân. 3 1 1 1 A. (x; y) 3; 1 ; ; B. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 3 1 12 1 C. (x; y) 3;1 ; ; D. (x; y) 3; 1 ; ; 8 8 8 8 Câu 9: Phương trình x3 2x2 m 1 x 2 m 1 0 cĩ ba nghiệm lập thành cấp số nhân. A. m 1,m 3,m 4 B. m 1,m 13,m 4 C. m 1,m 3,m 4 D. m 1,m 3,m 4
  61. C – HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ NHÂN VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ NHÂN Phương pháp: un 1 Dãy số (un ) là một cấp số nhân q khơng phụ thuộc vào n và q là cơng bội. un Ba số a,b,c theo thứ tự đĩ lập thành cấp số nhân ac b2 . Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và cơng bội. Do đĩ, ta thường biểu diễn giả thiết của bài tốn qua u1 và q . Câu 1: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? n A. Dãy số này khơng phải là cấp số nhânB. Số hạng tổng quát u n = 1 =1 2n C. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u1= –1, q = –1D. Số hạng tổng quát u n = (–1) . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ 1 1( 1); 1 1( 1) . Vậy dãy số trên là cấp số nhân với u1 1; q= 1. 1 1 1 1 Câu 2. Cho dãy số : 1; ; ; ; ; Khẳng định nào sau đây là sai? 2 4 8 16 1 1 A. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u1= 1, q = . B. Số hạng tổng quát un = . 2 2n 1 1 C. Số hạng tổng quát un = .D. Dãy số này là dãy số giảm. 2n Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cĩ 1. ; . ; . ; . ; Vậy daỹ số trên là cấp số nhân với u 1; q= . 2 2 4 2 2 8 4 2 16 8 2 1 2 n 1 n 1 1 1 Áp dụng cơng thức số hạng tổng quát cấp số nân ta cĩ :un u1q n 1 . 2 2 Câu 3. Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Dãy số này khơng phải là cấp số nhân.B. Là cấp số nhân cĩ u1 1; q=1. n C. Số hạng tổng quát un ( 1) . D. Là dãy số giảm. Hướng dẫn giải: Chọn B. Các số hạng trong dãy giống nhau nên gọi là cấp số nhân với u1 1; q=1. 1 1 1 1 Câu 4. Cho dãy số : 1; ; ; ; . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81 A. Dãy số khơng phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân cĩ u 1; q= . 1 3 n 1 C. Số hạng tổng quát.u 1 . n 3n 1 D. Là dãy số khơng tăng, khơng giảm. Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta cĩ: 1. ; . ; . ; Vậy dãy số trên là cấp số nhân với 3 3 9 3 3 27 9 3 1 u 1; q=- . 1 3
  62. n 1 n 1 1 n 1 Áp dụng cơng thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta cĩ un u1q 1 1 . n 1 . 3 3 1 Câu 5. Cho cấp số nhân u với u ; u 32 . Tìm q ? n 1 2 7 1 A. q .B. q 2 .C. q 4 .D. q 1. 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. n 1 6 6 q 2 Áp dụng cơng thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta cĩ un u1q u7 u1.q q 64 q 2 . Câu 6. Cho cấp số nhân un vớiu1 2; q=-5. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 10; 50; 250; 2 5 n 1 .B. 10; 50; 250; 2. 5n 1 . C. 10; 50; 250; 2 .5n .D. 10; 50; 250; 2 5 n 1 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Ta cĩ u2 u1.q 2 . 5 10; u3 u2.q 10. 5 50; u4 u3.q 50. 5 250 . n 1 n 1 Số hạng tổng quát un u1.q 2 . 5 . Câu 7. Cho cấp số nhân un vớiu1 4; q 4. Viết 3 số hạng tiếp theo và số hạng tổng quát un ? A. 16; 64; 256; 4 n .B. 16; 64; 256; 4 n . C. 16; 64; 256; 4 4 n . D. 16; 64; 256; 4n . Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ u2 u1.q 4. 4 16; u3 u2.q 16. 4 64; u4 u3.q 64. 4 256 . n 1 n 1 Số hạng tổng quát un u1.q 4. 4 . Câu 8. Cho cấp số nhân un với u1 1; q=0,00001. Tìm q và un ? 1 1 1 A. q ; u B. q ; u 10n 1 10 n 10n 1 10 n 1 1 1 ( 1)n C. q ; u D. q ; u 10 n 10n 1 10 n 10n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 Ta cĩ u u .q5 0,00001 1.q5 q . 6 1 10 n 1 n n 1 1 1 Số hạng tổng quát un u1.q 1. n 1 . 10 10 1 1 Câu 9. Cho cấp số nhân u với u 1; q . Số là số hạng thứ mấy của u ? n 1 10 10103 n A. Số hạng thứ 103B. Số hạng thứ 104 C. Số hạng thứ 105 D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho. Hướng dẫn giải: Chọn B.
  63. n 1 n 1 1 1 Ta cĩ un u1.q 103 1. n 1 103 n 104 . 10 10 Câu 10. Cho cấp số nhân un vớiu1 3; q= 2. Số 192 là số hạng thứ mấy của un ? A. Số hạng thứ 5.B. Số hạng thứ 6. C. Số hạng thứ 7. D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho. Hướng dẫn giải: Chọn C. n 1 n 1 n 1 Ta cĩ un u1.q 192 3. 2 2 64 n 1 6 n 7 . 1 Câu 11. Cho cấp số nhân u với u 3; q . Số 222 là số hạng thứ mấy của u ? n 1 2 n A. Số hạng thứ 11B. Số hạng thứ 12 C. Số hạng thứ 9 D. Khơng là số hạng của cấp số đã cho Hướng dẫn giải: Chọn D. n 1 n 1 n 1 1 1 Ta cĩ un u1.q 222 3. 74 . Vậy 222 khơng là số hạng của cấp số đã cho. 2 2 u1 u2 u3 u4 15 Câu 12: Cho cấp số nhân (un) cĩ các số hạng khác khơng, tìm u1 biết: 2 2 2 2 u1 u2 u3 u4 85 A. u1 1,u1 2 B. u1 1,u1 8 C. u1 1,u1 5 D. u1 1,u1 9 Hướng dẫn giải: Chọn B. q4 1 2 3 u1 15 u1(1 q q q ) 15 q 1 Ta cĩ: u2 1 q2 q4 q6 85 8 1 2 q 1 u1 2 85 q 1 4 2 2 4 q 2 q 1 q 1 45 (q 1)(q 1) 45 8 4 1 q 1 q 1 17 (q 1)(q 1) 17 q 2 Từ đĩ ta tìm được u1 1,u1 8 . u u u u u 11 1 2 3 4 5 Câu 13: Cho cấp số nhân (un) cĩ các số hạng khác khơng, tìm u biết: 82 1 u u 1 5 11 1 81 1 81 1 81 2 81 A. u ,u B. u ,u C. u ,u D. u ,u 1 11 1 11 1 12 1 12 1 13 1 13 1 11 1 11 Hướng dẫn giải: 2 3 4 2 39 u1 1 q q q q 11 u1q(1 q q ) 11 Ta cĩ: 4 82 4 82 u1(1 q ) u (1 q ) 11 1 11 q4 1 82 1 q 3,q . q3 q2 q 39 3
  64. Câu 14: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: un 2n A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn D. un 1 n 1 Ta cĩ: phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) khơng phải là cấp số nhân. un n Câu 15: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: n un 4.3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn A. n 1 un 1 4.3 Ta cĩ: n 3 khơng phụ thuộc vào n suy ra dãy (un ) là một cấp số nhân với cơng bội q 3 un 4.3 . Câu 16: Dãy số (un ) cĩ phải là cấp số nhân khơng ? Nếu phải hãy xác định số cơng bội ? Biết: 2 u . n n 1 A. q 3 B. q C. q 4 D. q  2 Hướng dẫn giải: Chọn D. u 2 2 n Ta cĩ: n 1 : phụ thuộc vào n . un n 1 n n 1 Suy ra dãy (un ) khơng phải là cấp số nhân. Câu 17: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 1. Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. n un 2 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn B. un 1 Ta cĩ: 2 (un ) là CSN với cơng bội q 2 un Câu 18: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 3n 1 u n 5 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn A.
  65. un 1 Ta cĩ: 3 (un ) là CSN với cơng bội q 3 un Câu 19: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. un 3n 1 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn D. un 1 3n 2 Ta cĩ: (un ) khơng phải là CSN un 3n 1 Câu 20: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 2n 1 u n 3 A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn D. n 1 un 1 2 1 Ta cĩ: n (un ) khơng phải là CSN un 2 1 Câu 21: Xét xem dãy số sau cĩ phải là cấp số nhân hay khơng? Nếu phải hãy xác định cơng bội. 3 un n . A. q 3 B. q 2 C. q 4 D. q  Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 un 1 (n 1) Ta cĩ: 3 (un ) khơng phải là CSN. un n n 1 2 Câu 22: Cho dãy số (un ) với un 3 1. Tìm cơng bội của dãy số (un). 3 1 A. q B. q 3 C. q D. q 3 2 2 2. Tính tổng S u2 u4 u6  u20 9 9 9 7 A. S (320 1) B. S (320 1) C. S (310 1) D. S (310 1) 2 2 2 2 3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số. A. 15 B. 16 C. 19 D. 17 Hướng dẫn giải: n 1 1 2 un 1 3 * 1. Ta cĩ: n 3 ,n N Dãy số là cấp số nhân với u1 3 3;q 3 . u 1 n 32 2. Ta cĩ u2 ;u4 ;u6 ;;u20 lập thành cấp số nhân số hạng đầu u2 9;q 3 và cĩ 10 số hạng nên
  66. 1 310 310 1 9 S u . 9. (310 1) 2 1 3 2 2 n 1 n 3. Ta cĩ : u 19683 32 39 1 9 n 16 n 2 Vậy số 19683 là số hạng thứ 16 của cấp số. Câu 23: 1. Cho cấp số nhân cĩ 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng cịn lại của CSN đĩ. 2 2 A. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 5 3 5 6 7 2 2 B. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 7 2 3 3 5 6 7 2 2 C. u ;u ;u 2;u 21;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2 2 D. u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 Hướng dẫn giải: Chọn D. Gọi CSN đĩ là (un), n 1, 7 . Theo đề bài ta cĩ : 3 2 u4 6 u1.q 6 u1 6 9 u7 243u2 u1.q 243u1.q q 3 Do đĩ các số hạng cịn lại của cấp số nhân là 2 2 u ;u ;u 2;u 18;u 54;u 162 1 9 2 3 3 5 6 7 2 u4 Câu 24: Cho cấp số nhân (un ) thỏa: 27 . u3 243u8 1. Viết năm số hạng đầu của cấp số; 2 2 2 2 2 2 2 2 A. u 2,u ,u ;u ,u B. u 1,u ,u ;u ,u C. 1 2 5 3 9 4 27 5 81 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2 2 2 2 2 2 2 2 u 2,u ,u ;u ,u D. u 2,u ,u ;u ,u 1 2 3 3 9 4 27 5 64 1 2 3 3 9 4 27 5 81 2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số; 59048 59123148 1359048 59048 A. S B. S C. S D. S 10 12383 10 19683 10 3319683 10 19683 2 3. Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ? 6561 A. 41 B. 12 C. 9 D. 3 Hướng dẫn giải: Gọi q là cơng bội của cấp số. Theo giả thiết ta cĩ: