›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Phần 1: Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số

doc 75 trang nhungbui22 12/08/2022 1900
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Phần 1: Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_11_chuong_4_gioi_han_van_de_1_gioi_han_da.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Phần 1: Giới hạn dãy số và giới hạn hàm số

  1. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN TẬP I. GIỚI HẠN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của dãy số 1.1. Định nghĩa: Dãy số (un ) được gọi là có giới hạn bằng 0 khi n tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số , kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá tri tuyệt dối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: lim u 0 .Hay là: lim u 0 khi và chỉ x n x 0 n khi với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên n0 sao cho: un , n n0 . lim u a lim u a 0 , tức là: Với mọi  0 nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên x n x n n0 sao cho un a , n n0 . Dãy số (un) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 1.2. Một số giới hạn đặc biệt 1 lim 0 với k ¥ * nk Nếu q 1 thì lim qn 0 n Nếu u c (với c là hằng số) thì lim u lim c c n n n n Chú ý: Ta viết lim u a thay cho cách viết lim u a . n n n 2. Một số định lí về giới hạn Định lí 1. Nếu dãy số (un) thỏa un vn kể từ số hạng nào đó trở đi và lim vn 0 thì lim un 0 . Định lí 2. Cho lim un a, lim vn b . Ta có: lim(un vn ) a b lim(un vn ) a b un a lim(un .vn ) a.b lim (b 0) vn b Nếu un 0 n thì lim un a 3. Tổng của CSN lùi vô hạn Cho CSN (un ) có công bội q thỏa q 1. Khi đó tổng S u1 u2 un gọi là tổng vô hạn của CSN và 1
  2. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 u (1 qn ) u S limS lim 1 1 . n 1 q 1 q 4. Giới hạn vô cực 4.1. Định nghĩa: lim u với mỗi số dương tuỳ ý cho trước , mọi số hạng của dãy số , kể từ một n n số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó . lim u lim u . n n n n 4.2. Một số kết quả đặc biệt lim nk với mọi k 0 lim qn với mọi q 1. 4.3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cựC. Quy tắc 1: Nếu lim un , lim vn thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un lim vn lim(unvn ) Quy tắc 2: Nếu lim un , lim vn l thì lim(un .vn ) được cho như sau; lim un Dấu của l lim(unvn ) Quy tắc 3: Nếu lim un l , lim vn 0 và vn 0 hoặc vn 0 kể từ một số hạng nào dó trở u đi thì lim n được coi như sau; vn Dấu của l Dấu của v u n lim n vn 2
  3. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Để chứng minh lim un 0 ta chứng minh với mọi số a 0 nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số na sao cho un a n na . Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un l) 0 . Để chứng minh lim un ta chứng minh với mọi số M 0 lớn tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên nM sao cho un M n nM . Để chứng minh lim un ta chứng minh lim( un ) . Một dãy số nếu có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. Các ví dụ Ví dụ 1. Chứng minh rằng: n 2 n2 1 1 1 2n 1. lim 1 2. lim 2 3. lim 2 n 1 2n 1 2 n2 1 Lời giải: 1 1. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1, ta có: a a n 2 1 1 1 a với n na n 1 n 1 na 1 n 2 n 2 Suy ra lim 1 0 lim 1. n 1 n 1 3 2. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 , ta có: a a n2 1 1 3 3  2 2 2 a với n na 2n 1 2 n 1 na 1 n2 1 1 n2 1 1 Suy ra lim 0 lim . 2n2 1 2 2n2 1 2 9 3. Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 , ta có: a a2 3
  4. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 2n 1 2n 2 n2 1 1 2n 2(n 1) 3 3 2 a với n n . 2 2 2 2 2 a n 1 n 1 n 1 n 1 na 1 1 2n 1 2n Suy ra lim 2 0 lim 2 . n2 1 n2 1 n Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) : un ( 1) không có giới hạn. Lời giải: Ta có: u2n 1 lim u2n 1; u2n 1 1 lim u2n 1 1 Vì giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất nên ta suy ra dãy (un) không có giới hạn. Ví dụ 3. Chứng minh các giới hạn sau: n2 1 2 n 1. lim 2. lim n n Lời giải: 1. Với mọi số thực dương M lớn tùy ý, ta có: n2 1 M M 2 4 M n2 Mn 1 0 n n 2 M M 2 4 n2 1 Ta chọn n0 thì ta có: M, n n0 2 n n2 1 Do đó: lim . n 2. Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta có: 2 n 2 M M 2 8 M n M n 2 0 n n 2 2 2 M M 8 n 2 Ta chọn n0 thì ta có: M, n n0 2 n 2 n Do đó: lim . n CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 Bài 1. Giá trị của lim bằng: n 1 A. 0 B.1C.2 D. 3 4
  5. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 1 1 1 1 Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 ta có a n na nên có lim 0 . a n 1 na 1 n 1 1 Bài 2. Giá trị của lim (k ¥ *) bằng: nk A. 0 B.2C.4 D. 5 Lời giải: 1 1 1 1 k  Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na ta có k k a n na nên có lim k 0 . a n na n sin2 n Bài 3. Giá trị của lim bằng: n 2 A. 0 B.3C.5 D. 8 Lời giải: 1 sin2 n 1 1 Với a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 2 ta có a n na nên có a n 2 n 2 na 2 sin2 n lim 0 . n 2 Bài 4. Giá trị của lim(2n 1) bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: M 1 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn n M 2 Ta có: 2n 1 2nM 1 M n nM lim(2n 1) . 1 n2 Bài 5. Giá trị của lim bằng: n A. B. C.0D. 1 Lời giải: 2 nM 1 Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa M nM M M 2 4 n . M 2 n2 1 n2 1 Ta có: M n n lim n M n 5
  6. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 n2 Vậy lim . n 2 Bài 6. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: 2 Với mọi a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 1 1 a 2 2 Suy ra a n n lim 0 . n 1 a n 1 cosn sin n Bài 7. Giá trị của lim bằng: n2 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: cosn sin n 2 1 cosn sin n Ta có mà lim 0 lim 0 n2 n2 n2 n2 1 n 1 Bài 8. Giá trị của lim bằng: n 2 A. B. C.0D. 1 Lời giải: 1 Với mọi số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na 2 1 1 a n 1 1 n 1 Ta có: a n na lim 0 . n 2 n 1 n 2 3n3 n Bài 9. Giá trị của lim bằng: n2 A. B. C.0D. 1 Lời giải: M Với mọi M 0 lớn tùy ý, ta chọn nM 1 3 3n3 n 1 Ta có: 3n M n n n2 n M 6
  7. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3n3 n Vậy lim . n2 2 n Bài 10. Giá trị của lim bằng: n 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: 2 1 Với mọi M 0 lớn tùy ý , ta chọn nM 3 1 a n 2 3 Ta có: n 1 1 n 3 M n nM 1 n n 1 2 n Suy ra lim . n 1 2n 1 Bài 11. Giá trị của A lim bằng: n 2 A. B. C.2D. 1 Lời giải: 5 Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 2 2 a a 2n 1 5 5 Ta có: 2 a n na n 2 n 2 na 2 Vậy A 2 . 2n 3 Bài 12. Giá trị của B lim bằng: n2 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: 2n 3 a Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2 a na 1 1 a2 4a 13 n a a 2n 3 Ta có: a n n B 0 . n2 1 a n2 1 Bài 13. Giá trị của C lim bằng: n 1 A. B. C.0D. 1 7
  8. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 1 Với số thực a 0 nhỏ tùy ý, ta chọn n 1 a a n2 1 n 2 1 Ta có: 1 1 a n na n 1 n 1 na 1 Vậy C 1 . n 2 n Bài 14. Giá trị của A lim bằng: 2n 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 1 A 2 nsin n 3n2 Bài 15. Giá trị của B lim bằng: n2 A. B. C. 3 D. 1 Lời giải: B 3 1 Bài 16. Giá trị của C lim bằng: n2 2 n 7 A. B. C.0D. 1 Lời giải: C 0 4n 1 Bài 17. Giá trị của D lim bằng: n2 3n 2 A. B. C.0D. 4 Lời giải: D 4 an Bài 18. Giá trị của lim 0 bằng: n! A. B. C.0D. 1 Lời giải: Gọi m là số tự nhiên thỏa: m 1 a . Khi đó với mọi n m 1 8
  9. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 m n m an a a a a a a a Ta có: 0 . . . n! 1 2 m m 1 n m! m 1 n m a an Mà lim 0 . Từ đó suy ra: lim 0 . m 1 n! Bài 19. Giá trị của lim n a với a 0 bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: Nếu a 1 thì ta có đpcm n Giả sử a 1. Khi đó: a 1 n a 1 n n a 1 a Suy ra: 0 n a 1 0 nên lim n a 1 n 1 1 Với 0 a 1 thì 1 lim n 1 lim n a 1. a a Tóm lại ta luôn có: lim n a 1 với a 0 . Vấn đề 2. Tìm giới hạn của dãy số dựa vào các định lý và các giới hạn cơ bản Phương pháp: Sử dụng các định lí về giới hạn, biến đổi đưa về các giới hạn cơ bản. f (n) Khi tìm lim ta thường chia cả tử và mẫu cho nk , trong đó k là bậc lớn nhất của g(n) tử và mẫu. k m Khi tìm lim f (n) g(n) trong đó lim f (n) lim g(n) ta thường tách và sử dụng phương pháp nhân lượng liên hơn. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau : n 1 3 5 (2n 1) 1 2 n n 1. A lim 2 2. B lim 2n 1 3 12 22 n2 2n Lời giải: 1. Ta có: 1 3 5 2n 1 n2 9
  10. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n2 1 1 Suy ra A lim lim . 2n2 1 1 2 2 n2 n(n 1) 2. Ta có: 1 2 n ; 2 n(n 1)(2n 1) 12 22 n2 6 2 1 n 1 n(n 1) n 1 n n 1 Suy ra : B lim 2 lim 2 2 . n(n 1)(2n 1) 3 1 1 1 3 2n n 1 2 3 2 6 3 n n 3 2n 6 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau : 1 1 1 1 1 1 1 1. C lim 1 2 1 2 1 2 2. D lim 2 3 n 1.2 2.3 3.4 n(n 1) Lời giải: 1 (k 1)(k 1) 1. Ta có: 1 nên suy ra k2 k2 1 1 1 1.3 2.4 (n 1)(n 1) n 1 1 1 1 . 22 32 n2 22 32 n2 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2. Ta có nên suy ra 1 k(k 1) k k 1 1.2 2.3 3.4 n(n 1) n 1 1 Vậy D lim 1 1 . n 1 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau : 4n 1 5n 1 4.3n 2 2.7n 1 1. A lim 2. B lim 4n 5n 4n 7n 1 Lời giải: 10
  11. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n 4 4 5 n 5 4 n 1. Chia cả tử và mẫu cho 5 ta có: A lim n 5 ( do lim 0 ). 4 5 1 5 n 4 2 36 7 7 2 2. Ta có: B lim n . 4 49 7 7 1 1 1 Ví dụ 4. Tìm giới hạn sau :C lim 1 2 1 2 1 2 2 3 n Lời giải: 1 (k 1)(k 1) Ta có: 1 nên suy ra k2 k2 1 1 1 1.3 2.4 (n 1)(n 1) n 1 1 1 1 . 22 32 n2 22 32 n2 2n n 1 1 Do vậy C lim . 2n 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2n2 3n 1 Bài 1. Giá trị của A lim bằng: 3n2 n 2 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 3 1 2 2 2 Ta có: A lim n n . 1 2 3 3 n n2 n2 2n Bài 2. Giá trị của B lim bằng: n 3n2 1 1 A. B. C.0D. 1 3 Lời giải: 11
  12. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n2 n 1 1 1 Ta có: B lim n lim n n 3n2 1 1 1 3 1 3 n n2 4 9 2n2 1 n 2 Bài 3. Giá trị của C lim bằng: n17 1 A. B. C.16D. 1 Lời giải: 1 2 1 2 8 4 9 9 4 9 n (2 2 ) .n (1 ) (2 2 ) .(1 ) Ta có: C lim n n lim n n 1 1 n17 (1 ) 1 n17 n17 Suy ra C 16 . n2 1 3 3n3 2 Bài 4. Giá trị của D lim bằng: 4 2n4 n 2 n 1 3 3 A. B. C. D. 1 4 2 1 Lời giải: 1 2 n 1 3 3 2 3 3 n n 1 3 Ta có: D lim . 1 2 4 2 1 n 4 2 1 3 4 n n Bài 5. Giá trị của A lim n2 6n n bằng: A. B. C.3D. 1 Lời giải: n2 6n n2 Ta có A lim n2 6n n lim 2 n 6n n 6n 6 lim lim 3 n2 6n n 6 1 1 n Bài 6. Giá trị của B lim 3 n3 9n2 n bằng: 12
  13. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 A. B. C.0D. 3 Lời giải: Ta có: B lim 3 n3 9n2 n 9n2 lim 2 3 n3 9n2 n 3 n3 9n2 n2 9 lim 3. 2 9 9 3 1 1 1 n n 3.2n 3n Bài 7. Giá trị của C lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: n 2 n n 3. 1 3.2 3 3 1 Ta có: C lim n 1 n 1 lim n 2 3 2 3 2. 3 3 Bài 8. Giá trị của D lim n2 2n 3 n3 2n2 bằng: 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: Ta có: D lim n2 2n n lim 3 n3 2n2 n 2n 2n2 lim lim n2 2n n 3 (n3 2n2 )2 n 3 n3 2n2 n2 2 2 1 lim lim . 2 2 2 3 1 1 3 (1 )2 3 1 1 n n n Bài 9. Giá trị của A lim n2 2n 2 n bằng: A. B. C.2D. 1 Lời giải: 13
  14. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 2 Ta có A lim n 1 1 2 n n 2 2 Do lim n ;lim 1 1 2 . 2 n n Bài 10. Giá trị của B lim 2n2 1 n bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: 1 Ta có: B lim n 2 1 n 4 3n3 1 n Bài 11. Giá trị của C lim bằng: 2n4 3n 1 n A. B. C.0D. 1 3 1 1 4 5 8 3. Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có đượcC lim n n n 0 . 3 1 1 2 n3 n4 n a nk a n a k 1 0 Bài 12. Giá trị của D lim p (Trong đó k, p là các số nguyên dương; bpn b1n b0 akbp 0 ) . bằng: A. B. C.Đáp án khácD. 1 Lời giải: Ta xét ba trường hợp sau a a k 1 0 ak k if a b 0 k n k p k p . Chia cả tử và mẫu cho n ta có: D lim n . bp b if akbp 0 0 np k nk a a a k 1 0 k k a k p . Chia cả tử và mẫu cho nk ta có: D lim n n k . b b b 0 k k nk 14
  15. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 a a k 0 p k p k p . Chia cả tử và mẫu cho np : D lim n n 0 . b b 0 p np (n 2)7 (2n 1)3 Bài 18. Giá trị của. F lim bằng: (n2 2)5 A. B. C.8D. 1 Lời giải: 7 3 2 1 1 2 n n Ta có: F lim 5 8 5 1 2 n Bài 19. Giá trị của. H lim n2 n 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 1 1 n 1 1 Ta có: H lim lim n n2 n 1 n 1 1 2 1 1 n n2 Bài 20. Giá trị của. M lim 3 1 n2 8n3 2n bằng: 1 A. B. C.0D. 1 12 Lời giải: 1 n2 1 Ta có: M lim 3 (1 n2 8n3 )2 2n 3 1 n2 8n3 4n2 12 Bài 21. Giá trị của. N lim 4n2 1 3 8n3 n bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: Ta có: N lim 4n2 1 2n lim 3 8n3 n 2n 1 Mà: lim 4n2 1 2n lim 0 2 4n 1 2n 15
  16. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n lim 3 8n2 n 2n lim 0 2 2 3 2 2 3 (8n n) 2n 8n n 4n Vậy N 0 . Bài 22. Giá trị của. K lim 3 n3 n2 1 3 4n2 n 1 5n bằng: 5 A. B. C. D. 1 12 Lời giải: Ta có: K lim 3 n3 n2 1 n 3lim 4n2 n 1 2n 1 1 Mà: lim 3 n3 n2 1 n ; lim 4n2 n 1 2n 3 4 1 3 5 Do đó: K 3 4 12 2n 1 Bài 23. Giá trị của. A lim bằng: 1 3n 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 2 A 3 4n2 3n 1 Bài 24. Giá trị của. B lim bằng: (3n 1)2 4 A. B. C. D. 1 9 Lời giải: 4 B 9 n3 1 Bài 25. Giá trị của. C lim bằng: n(2n 1)2 1 A. B. C. D. 1 4 Lời giải: 1 C 4 16
  17. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n3 3n2 2 Bài 26. Giá trị của. D lim bằng: n4 4n3 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: D 0 n3 2n 1 Bài 27. Giá trị của. E lim bằng: n 2 A. B. C.0D. 1 Lời giải: E 4 n4 2n 1 2n Bài 28. Giá trị của. F lim bằng: 3 3n3 n n 3 A. B. C. D. 1 3 3 1 Lời giải: 3 F 3 3 1 Bài 29. Giá trị của. M lim n2 6n n bằng: A. B. C.3D. 1 Lời giải: 6n M lim 3 n2 6n n Bài 30. Giá trị của. N lim 3 n3 3n2 1 n bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: 3n2 1 N lim 1 3 (n3 3n2 1)2 n.3 n3 3n2 1 n2 Bài 31. Giá trị của. H lim n 3 8n3 n 4n2 3 bằng: 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 17
  18. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 H lim n 3 8n3 n 2n lim n 4n2 3 2n 3 3.2n 3n Bài 32. Giá trị của. K lim bằng: 2n 1 3n 1 1 A. B. C.2D. 1 3 Lời giải: n 2 3 1 3 1 K lim n 2 3 2 3 3 2n3 sin 2n 1 Bài 33. Giá trị của. A lim bằng: n3 1 A. B. C.2D. 1 Lời giải: sin 2n 1 2 3 A lim n 2 1 1 n3 n n! Bài 34. Giá trị của. B lim bằng: n3 2n A. B. C.0D. 1 Lời giải: n n! n nn n Ta có: 0 B 0 n3 2n n3 2n n3 2n 3.3n 4n Bài 35. Giá trị của. C lim bằng: 3n 1 4n 1 1 A. B. C.0D. 1 2 Lời giải: 1 C 2 n 1 Bài 36. Giá trị của. D lim bằng: n2 ( 3n2 2 3n2 1) 18
  19. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 2 3 D 3 Bài 37. Giá trị của. E lim( n2 n 1 2n) bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: E Bài 38. Giá trị của. F lim n 1 n bằng: A. B. C.0D. 1 Lời giải: F p Bài 39. Giá trị của. H lim( k n2 1 n2 1) bằng: A. B. C.Đáp án khácD. 1 Lời giải: Xét các trường hợp TH1: k p H TH 2: k p H TH 3: k p H 0 . Bài 40. Giá trị của K lim n n2 1 n bằng: 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 1 K 2 1 1 1 Bài 41. Tính giới hạn của dãy số un : 2 1 2 3 2 2 3 (n 1) n n n 1 A. B. C.0D. 1 Lời giải: 1 1 1 Ta có: (k 1) k k k 1 k k 1 19
  20. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 Suy ra un 1 lim un 1 n 1 (n 1) 13 23 n3 Bài 42. Tính giới hạn của dãy số u : n 3n3 n 2 1 A. B. C. D. 1 9 Lời giải: 2 3 3 3 n(n 1) Ta có: 1 2 n 3 n(n 1)2 1 Suy ra u lim u . n 3(3n3 n 2) n 9 1 1 1 n(n 1) Bài 43. Tính giới hạn của dãy số un (1 )(1 ) (1 ) trong đó Tn . : T1 T2 Tn 2 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 1 2 (k 1)(k 2) Ta có: 1 1 Tk k(k 1) k(k 1) 1 n 2 1 Suy ra u . lim u . n 3 n n 3 23 1 33 1 n3 1 Bài 44. Tính giới hạn của dãy số u . . : n 23 1 33 1 n3 1 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: k3 1 (k 1)(k2 k 1) Ta có k3 1 (k 1)[(k 1)2 (k 1) 1] 2 n2 n 1 2 Suy ra u . lim u n 3 (n 1)n n 3 n 2k 1 Bài 45. Tính giới hạn của dãy số un  k . : k 1 2 A. B. C.3D. 1 Lời giải: 20
  21. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 1 2n 1 Ta có: un un 2 2 2 22 2n 1 2n 1 1 3 2n 1 u lim u 3 . 2 n 2 2n 1 n 2 n Bài 46. Tính giới hạn của dãy số un q 2q nq với q 1 . : q q A. B. C. 2 D. 2 1 q 1 q Lời giải: 2 3 n n 1 Ta có: un qun q q q q nq 1 qn q n 1 (1 q)un q nq . Suy ra lim un 2 . 1 q 1 q n n Bài 47. Tính giới hạn của dãy số un  2 . : k 1 n k A. B. C.3D. 1 Lời giải: n n n 1 Ta có: n u n u 1 n2 n n n2 1 n2 1 n n2 1 n u 1 0 lim u 1 . n n2 1 n a .nk a nk 1 a n a k k 1 1 0 Bài 48. Tính giới hạn của dãy số A lim p p 1 với akbp 0 . : bp .n bp 1n b1n b0 A. B. C.Đáp án khácD. 1 Lời giải: Ta chia làm các trường hợp sau a a a k 1 0 k k a TH 1: n k , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được A lim n n k . b b b b p 1 0 p p n nk TH 2: k p , chia cả tử và mẫu cho nk , ta được a a k 1 0 ak k khi a b 0 n k p A lim n bp bp 1 b khi akbp 0 0 nk p nk p 1 nk 21
  22. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 a a a k k 1 0 p k p k 1 p TH 3: k p , chia cả tử và mẫu cho np , ta được A lim n n n 0 . b b b p 1 0 p n np 3 n6 n 1 4 n4 2n 1 Bài 49. Tính giới hạn của dãy số B lim . : (2n 3)2 3 A. B. C.3D. 4 Lời giải: Chia cả tử và mẫu cho n2 ta có được: 1 1 2 1 3 1 4 1 5 6 3 4 1 4 3 n n n n B lim 2 . 3 4 4 2 n Bài 50. Tính giới hạn của dãy số C lim 4n2 n 1 2n . : 1 A. B. C.3D. 4 Lời giải: 1 1 n 1 1 Ta có: C lim lim n 4n2 n 1 2n 1 1 4 4 2 n n2 Bài 51. Tính giới hạn của dãy số D lim n2 n 1 2 3 n3 n2 1 n . : 1 A. B. C. D. 1 6 Lời giải: Ta có: D lim n2 n 1 n 2lim 3 n3 n2 1 n 1 1 n 1 1 Mà: lim n2 n 1 n lim lim n 2 n n 1 n 1 1 2 1 1 n n2 22
  23. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 n2 1 lim 3 n3 n2 1 n lim 3 2 2 3 3 2 2 3 (n n 1) n. n n 1 n 1 1 2 1 lim n 2 1 1 1 1 3 3 3 1 4 6 1 3 1 n n n n 1 2 1 Vậy D . 2 3 6 1 a a2 an Bài 52 . Cho các số thực a,b thỏa a 1; b 1. Tìm giới hạn I lim . 1 b b2 bn 1 b A. B. C. D. 1 1 a Lời giải: 1 an 1 Ta có 1,a,a2 , ,an là một cấp số nhân công bội a 1 a a2 an 1 a 1 bn 1 Tương tự 1 b b2 bn 1 b 1 an 1 1 b Suy ra lim I lim 1 a 1 bn 1 1 a 1 b ( Vì a 1, b 1 lim an 1 lim bn 1 0 ). 1 Bài 53. Cho dãy số (x ) xác định bởi x ,x x2 x ,n 1 n 1 2 n 1 n n 1 1 1 Đặt Sn  . Tính limSn . x1 1 x2 1 xn 1 A. B. C.2D. 1 Lời giải: Từ công thức truy hồi ta có: xn 1 xn , n 1,2, Nên dãy (xn ) là dãy số tăng. Giả sử dãy (xn ) là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn x 2 Với x là nghiệm của phương trình : x x x x 0 x1 vô lí Do đó dãy (xn ) không bị chặn, hay lim xn . 23
  24. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 Mặt khác: xn 1 xn (xn 1) xn xn 1 1 1 1 Suy ra: xn 1 xn xn 1 1 1 1 1 Dẫn tới: Sn 2 limSn 2 lim 2 x1 xn 1 xn 1 xn 1 1 2 k Bài 54. Cho dãy (x ) được xác định như sau: x k k 2! 3! (k 1)! n n n n Tìm lim un với un x1 x2 x2011 . 1 1 A. B. C. 1 D. 1 2012! 2012! Lời giải: k 1 1 1 Ta có: nên x 1 (k 1)! k! (k 1)! k (k 1)! 1 1 Suy ra x x 0 x x k k 1 (k 2)! (k 1)! k k 1 n n n n n Mà: x2011 x1 x2 x2011 2011x2011 1 Mặt khác: lim x lim n 2011x x 1 2011 2011 2011 2012! 1 Vậy lim u 1 . n 2012! u 2011 0 u3 Bài 55. Cho dãy số (u ) được xác định bởi: 1 . Tìm lim n . n u u n 1 n 2 n un A. B. C.3D. 1 Lời giải: Ta thấy un 0, n 3 1 3 3 Ta có: un 1 un 3 3 6 (1) un un 3 3 3 3 Suy ra: un un 1 3 un u0 3n (2) 24
  25. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 3 3 3 Từ (1) và (2), suy ra: un 1 un 3 3 2 un 3 2 3 u0 3n 3n 9n u0 3n 1 n 1 1 n 1 3 3 Do đó: un u0 3n   2 (3) 3 k 1 k 9 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 n 1 Lại có:  2 1 2 2 .  n  2 2n k 1 k 1.2 2.3 (n 1)n n k 1 k k 1 k 2 2n Nên: u3 3n u3 u3 3n 0 n 0 9 3 u3 u3 u3 2 2 Hay 3 0 n 3 0 . n n n 9n 3 n u3 Vậy lim n 3. n x 1 1 Bài 57. Cho dãy x 0 xác định như sau: f (x) . Tìm 0; . x A. B. C.2010D. 1 Lời giải: 2 un un 1 un un Ta có un 1 un 2010 un 1.un 2010un 1 u 1 1 n 2010. un 1 un un 1 u 1 1 1 Ta có  n 2010( ) 2010(1 ) un 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác ta chứng minh được: lim un . u Nên lim( u ) 2010 . un 1 n. 1 3 5 (2n 1) Bài 60. Tìm lim u biết u n n 2n2 1 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 1 Ta có: 1 3 5 2n 1 n2 nên lim u n 2 25
  26. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 x 2 2x 1 khi x 1 Bài 61. Tìm lim un biết f (x) x 1 3m 2 khi x 1 3 6 A. B. C.2D. 2 Lời giải: n(n 1) n(n 1)(2n 1) Ta có: 1 2 n và 12 22 n2 2 6 3 6 Nên lim un 2 x 1 1 khi x 0 Bài 62. Tìm lim un biết f (x) x 2 2x 3m 1 khi x 0 A. B. C.2D. 1 Lời giải: 1 1 1 1 Ta có: Suy ra un 1 lim un 1 (k 1) k k k 1 k k 1 n 1 2x 4 3 khi x 2 Bài 63. Tìm lim un biết f (x) x 1 trong đó x 1. khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 1 2 (k 1)(k 2) 1 n 2 1 Ta có: 1 1 Suy ra un . lim un . Tk k(k 1) k(k 1) 3 n 3 n 1 Bài 68. Tìm lim u biết u n n  2 k 1 n k A. B. C.3D. 1 Lời giải: 1 1 1 n n Ta có: , k 1,2, ,n Suy ra un n2 n n2 k n2 1 n2 n n2 1 n n Mà lim lim 1 nên suy ra lim un 1. n2 n n2 1 26
  27. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Bài 69. Tìm lim u biết u 2 2 2 n n  n dau can A. B. C.2D. 1 Lời giải: n n 1 1 1 1 1 1 1 2 22 2n 2 2 Ta có: un 2 2 ,nên lim un lim 2 2 . Bài 70. Gọi g(x) 0, x 2 là dãy số xác định bởi . Tìm lim f (x) lim 2x 4 3 3 . x 2 x 2 4 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 4 8 4 8 Ta có 0 u u u 3u 3u u nên dãy (u ) là dãy tăng. 1 2 3 9 9 1 9 9 2 3 n 4 4 Dễ dàng chứng minh được u ,n ¥ * .Từ đó tính được lim u . n 3 n 3 2 2 2 1 1 2 1 2 2 Bài 71. Cho dãy số A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 được xác định như 2 4 2 sau x1 x2 . 3 Đặt x . Tìm x3 2x 3 3 2x 4 0 . 2 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 2 2 2 2 Ta có: un 1 (un 3un )(un 3un 2) 1 (un 3un 1) 2 un 3un 1 1 1 1 Suy ra: un 1 1 (un 1)(un 2) un 1 1 un 1 un 2 1 1 1 Suy ra: un 2 un 1 un 1 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó, suy ra: vn  i 1 ui 1 ui 1 1 u1 1 un 1 1 2 un 1 1 2 n Mặt khác, từ un 1 un 3un 1 ta suy ra: un 1 3 . 27
  28. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 Nên lim 0 . Vậy lim vn . un 1 1 2 å å å Bài 72. Cho a,b ¥ ,(a,b) 1;n ab 1,ab 2,  . Kí hiệu rn là số cặp số (u,v) ¥ ¥ r 1 sao cho n au bv . Tìm lim n . n n ab 1 A. B. C. D. ab 1 ab Lời giải: n 1 Xét phương trình 0; (1). n Gọi (u0 ,v0 ) là một nghiệm nguyên dương của (1). Giả sử (u,v) là một nghiệm nguyên dương khác (u0 ,v0 ) của (1). Ta có au0 bv0 n,au bv n suy ra a(u u0 ) b(v v0 ) 0 do đó tồn tại k nguyên dương v 1 sao cho u u kb,v v ka . Do v là số nguyên dương nên v ka 1 k 0 . (2) 0 0 0 a Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số k nguyên v0 1 n u0 1 dương cộng với 1. Do đó rn 1 1. a ab b a n u 1 n u 1 Từ đó ta thu được bất đẳng thức sau: 0 r 0 1. ab b a n ab b a 1 u 1 r 1 u 1 1 Từ đó suy ra : 0 n 0 . ab nb na n ab nb na n r 1 Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay lim n . n n ab GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x0 . Ta nói rằng hàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn ) bất kì, xn K\{x0 } và xn x0 , ta có: f (xn ) L . Ta kí hiệu: lim f (x) L hay f (x) L khi x x0 . x x0 1.2.Giới hạn một bên: 28
  29. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 * Cho hàm số y f (x) xác định trên(x0 ;b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f (x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn ) : x0 xn b mà xn x0 thì ta có: f (xn ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . x x0 * Cho hàm số y f (x) xác định trên(a; x0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f (x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy (xn ) : a xn x0 mà xn x0 thì ta có: f (xn ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . x x0 Chú ý: lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L . x x0 x x x x 0 0 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số y f (x) xác định trên (a; ) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (x ) : x a và x thì f (x ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . n n n n x * Ta nói hàm số y f (x) xác định trên ( ;b) có giới hạn là L khi x nếu với mọi dãy số (x ) : x b và x thì f (x ) L . Kí hiệu: lim f (x) L . n n n n x 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số y f (x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn x0 thì f (xn ) . Kí hiệu: lim f (x) . x x0 * Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x0 bởi hoặc . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Gới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L 0 ) khi x x0 (hay x ; x ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x x0 (hay x ; x ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số f (x), g(x),h(x) xác định trên K chứa điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0 ). Nếu g(x) f (x) h(x) x K và lim g(x) lim h(x) L thì lim f (x) L . x x0 x x0 x x0 3. Một số gới hạn đặc biệt * lim x2k ; lim x2k 1 ( ) x x (x ) (x ) 29
  30. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 k * lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) . x x x x 0 0 f (x) Vấn đề 1. Tìm giới hạn bằng định nghĩa Phương pháp: Sử dụng định nghĩa chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm giới hạn các hàm số sau bằng định nghĩa : x3 1 x 2 2 1. A lim(3x2 x 1) 2. B lim 3. C lim 4. x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 3x 2 D lim x x 1 Lời giải: 1. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 1 ta có: 2 A lim 3xn xn 1 3 1 1 5 2. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 1 và xn 1 n ta có: 2 (xn 1)(xn xn 1) 2 B lim lim xn xn 1 3 . xn 1 3. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn 2 và xn 2 n ta có: x 2 2 (x 2) 1 1 B lim n lim n lim x 2 x 2 2 4 n (xn 2) xn 2 2 n 4. Với mọi dãy (xn ) mà lim xn ta có: 2 3 3x 2 x D lim n lim n 3 . x 1 1 n 1 xn Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số sau không có giới hạn: 1 1. f (x) sin khi x 0 2. f (x) cos5 2x khi x x . Lời giải: 30
  31. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1. Xét hai dãy (xn ) : xn 2 ,(yn ) : yn 2 (n ) n2 2 Ta có: lim xn lim yn 0 và lim f (xn ) 1; lim f (yn ) 0 . Nên hàm số không có giới hạn khi x 0 . 2. Tương tự ý 1 xét hai dãy: x n ; y n n n 4 Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu lim f (x) 0 thì lim f (x) 0 . x x0 x x0 Lời giải: Với mọi dãy (xn ) : lim xn x0 ta có: lim f (xn ) 0 lim f (xn ) 0 lim f (x) 0 . x x0 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 1 Bài 1 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: x 1 x 1 Với mọi dãy (x ) : lim x 1 ta có: lim n 2 Vậy lim 2 . n n x 1 xn 2 x 2 Bài 2 Tìm giới hạn hàm số lim x3 1 bằng định nghĩA. x 2 A. B. C.9 D. 1 Lời giải: lim x3 1 9 x 2 x 3 2 Bài 3. Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 x 1 1 A. B. C. 2 D. 4 Lời giải: x 3 2 1 lim x 1 x 1 4 x 3 Bài 4 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x x 2 31
  32. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: x 3 lim 1 x x 2 2x2 x 1 Bài 5 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x x 2 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: 2x2 x 1 lim x x 2 3x 2 Bài 6 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 2x 1 A. B. C.5D. 1 Lời giải: 3x 2 3x 2 3.1 2 Với mọi dãy x : lim x 2 ta có: lim lim n 5 n n x 1 2x 1 2xn 1 2.1 1 x 4 2 Bài 7 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 0 2x 1 A. B. C. 2 D. 1 8 Lời giải: Với mọi dãy xn : lim xn 0 ta có: x 4 2 x 4 2 x 1 1 lim lim n lim n lim . x 0 2x 2x 8 n 2xn xn 4 2 2 xn 4 2 4x 3 Bài 8 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: 4x 3 4xn 3 Với mọi dãy (xn ) : xn 1, n và lim xn 1 ta có: lim lim . x 1 x 1 xn 1 3x 1 Bài 9 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 2 x 2 32
  33. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: 3x 1 3xn 1 . Với mọi dãy (xn ) : xn 2, n và lim xn 2 ta có: lim lim . x 2 x 2 xn 2 2x2 x 3 Bài 10 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 x 1 A. B. 5 C. 2 D. 1 Lời giải: 2x2 x 3 2x2 x 3 Với mọi dãy (x ) : lim x 1 ta có: lim lim n n lim 2x 3 5 . n n x 1 n x 1 xn 1 x 1 Bài 11 Tìm giới hạn hàm số lim 4 bằng định nghĩA. x 2 2 x A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: x 1 Đáp số: lim 4 x 2 2 x 3x2 Bài 12 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 2x2 1 3 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 3x2 3 Đáp số: lim x 2x2 1 2 Bài 13 Tìm giới hạn hàm số lim x2 x 1 bằng định nghĩA. x A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: Đáp số: lim x2 x 1 x x2 4 Bài 14 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 2 x4 1 2 x A. B. C.0D. 1 Lời giải: 33
  34. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 x2 4 Đáp số: lim 0 x 2 x4 1 2 x x2 3x 2 Bài 15 Tìm giới hạn hàm số lim bằng định nghĩA. x 1 x 1 A. B. C. 2 D. 1 Lời giải: x2 3x 2 Do x 1 x 1 (x 1) . Đáp số: lim 1. x 1 x 1 Vấn đề 2. Tìm giới hạn của hàm số Bài toán 01: Tìm lim f (x) biết f (x) xác định tại x0 . x x0 Phương pháp: * Nếu f (x) là hàm số cho bởi một công thức thì giá trị giới hạn bằng f (x0 ) * Nếu f (x) cho bởi nhiều công thức, khi đó ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn trái bằng giới hạn phải). Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: sin 2x 3cos x x x2 3 2x 1. lim 2. lim x 0 2x cos2 3x x 2 3 x 6 2x 1 Lời giải: sin 2x 3cos x x sin 0 3cos0 0 1. Ta có: lim 3 x 0 2x cos2 3x 2.0 cos2 0 x2 3 2x 22 3 2.2 7 4 2. Ta có: lim . x 2 3 x 6 2x 1 3 2 6 2.2 1 5 Ví dụ 2. Xét xem các hàm số sau có giới hạn tại các điểm chỉ ra hay không? Nếu có hay tìm giới hạn đó? x2 3x 1 khi x 1 2 1. f (x) x 2 khi x 1; 3x 2 khi x 1 3 34
  35. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2x2 3x 1 khi x 0 2. f (x) khi x 0 2 x 3x 2 khi x 0 Lời giải: 3x 2 5 1. Ta có: lim f (x) lim . x 1 x 1 3 3 x2 3x 1 5 5 lim f (x) lim lim f (x) lim f (x) . 2 x 1 x 1 x 2 3 x 1 x 1 3 5 Vậy lim f (x) . x 1 3 2. Ta có: lim f (x) lim(2x2 3x 1) 1. x 0 x 0 lim f (x) lim( x2 3x 2) 2 lim f (x) lim f (x) . x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy hàm số f (x) không có giới hạn khi x 0 . Ví dụ 3. Tim m để các hàm số: x2 mx 2m 1 khi x 0 x 1 1. f (x) có giới hạn khi x 0 . 2x 3m 1 khi x 0 1 x 2 x2 x 2 mx 1 khi x 1 2. f (x) 1 x có giới hạn khi x 1. 3mx 2m 1 khi x 1 Lời giải: x2 mx 2m 1 1. Ta có: lim f (x) lim 2m 1 x 0 x 0 x 1 2x 3m 1 3m 1 lim f (x) lim x 0 x 0 1 x 2 3 Hàm số có giới hạn khi x 0 khi và chỉ khi lim f (x) lim f (x) x 0 x 0 3m 1 4 2m 1 m . 3 3 2. Ta có: lim f (x) lim(3mx 2m 1) 5m 1 x 1 x 1 x2 x 2 lim f (x) lim mx 1 x 1 x 1 1 x 35
  36. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 lim (x 2) 1 x mx 1 m 1 x 1 Hàm số có giới hạn khi x 1 khi và chỉ khi lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 1 5m 1 m 1 m . 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x2 x 1 Bài 1 Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩA. x 1 x 1 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: x2 x 1 1 1 1 1 Ta có: A lim . x 1 x 1 1 1 2 2 tan x 1 Bài 2 Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩA. x sin x 1 6 4 3 6 A. B. C. D. 1 9 Lời giải: 2 tan 1 2 tan x 1 4 3 6 Ta có B lim 6 . x sin x 1 9 6 sin 1 6 3 x 2 x 1 Bài 3 Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩA. x 0 3x 1 A. B. C. 3 2 1 D. 1 Lời giải: 3 x 2 x 1 Ta có: C lim 3 2 1 . x 0 3x 1 3 7x 1 1 Bài 4 Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩA. x 1 x 2 A. B. C. 2 D. 3 Lời giải: 3 7x 1 1 3 8 1 Ta có: D lim 3 . x 1 x 2 1 2 36
  37. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 x 1 Bài 5 Tìm giới hạn hàm số A lim bằng định nghĩA. x 2 x2 x 4 1 A. B. C. D. 1 6 Lời giải: 1 A 6 sin2 2x 3cos x Bài 6 Tìm giới hạn hàm số B lim bằng định nghĩA. x tan x 6 3 3 9 A. B. C. D. 1 4 2 Lời giải: 3 3 9 B 4 2 2x2 x 1 3 2x 3 Bài 7 Tìm giới hạn hàm số C lim bằng định nghĩA. x 1 3x2 2 3 3 9 A. B. C. D. 2 3 5 4 2 Lời giải: C 2 3 5 3x 1 2 Bài 8 Tìm giới hạn hàm số D lim bằng định nghĩA. x 1 3 3x 1 2 1 A. B. C. D.0 6 Lời giải: D 0 x2 ax 1 khi x 2 Bài 9. Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x 2 f (x) . 2 2x x 1 khi x 2 1 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: Ta có: lim f (x) lim(x2 ax 2) 2a 6 . lim f (x) lim(2x2 x 1) 7 . x 2 x 2 x 2 x 2 37
  38. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 Hàm số có giới hạn khi x 2 lim f (x) lim f (x) 2a 6 7 a . Vậy a là giá x 2 x 2 2 2 trị cần tìm. Bài.10 Tìm a để hàm số sau có giới hạn tại 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 x 0 f (x) . 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 2 Ta có lim f (x) 2a 1 1 2 lim f (x) a . x 0 x 0 2 2 5ax 3x 2a 1 khi x 0 Bài 11 Tìm a để hàm số . f (x) có giới hạn tại x 0 2 1 x x x 2 khi x 0 2 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: Ta có: lim f (x) lim 5ax2 3x 2a 1 2a 1 x 0 x 0 lim f (x) lim 1 x x2 x 2 1 2 x 0 x 0 2 Vậy 2a 1 1 2 a . 2 x2 ax 1 khi x 1 Bài 12 Tìm a để hàm số . f (x) có giới hạn khi x 1. 2 2x x 3a khi x 1 1 A. B. C. D. 1 6 Lời giải: Ta có: lim f (x) lim(x2 ax 2) a 3 . x 1 x 1 lim f (x) lim(2x2 x 3a) 3a 1 . x 1 x 1 Hàm số có giới hạn khi x 1 lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 a 3 3a 1 a 1. Vậy a 1là giá trị cần tìm. 38
  39. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 f (x) Bài toán 02. Tìm A lim trong đó f (x ) g(x ) 0 . x x 0 0 0 g(x) 0 Dạng này ta gọi là dạng vô định . 0 Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức: Định lí: Nếu đa thức f (x) có nghiệm x x0 thì ta có : f (x) (x x0 ) f1(x) . *Nếu f (x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích f (x) (x x0 ) f1(x) và f1(x) 0 g(x) (x x0 )g1(x) . Khi đó A lim , nếu giới hạn này có dạng thì ta tiếp tục quá x x0 g1(x) 0 trình như trên. 2 Chú ý :Nếu tam thức bậc hai ax bx+c có hai nghiệm x1 ,x2 thì ta luôn có sự phân tích 2 ax bx c a(x x1 )(x x2 ) . * Nếu f (x) và g(x) là các hàm chứa căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích các đa thức như trên. Các lượng liên hợp: 1. ( a b)( a b) a b 2. ( 3 a 3 b)( 3 a2  3 ab 3 b2 ) a b 3. ( n a n b)( n an 1 n an 2b n bn 1 ) a b * Nếu f (x) và g(x) là các hàm chứa căn thức không đồng bậc ta sử dụng phương pháp tách, chẳng hạn: Nếu n u(x), m v(x) c thì ta phân tích: n u(x) m v(x) ( n u(x) c) (m v(x) c) . Trong nhiều trường hợp việc phân tích như trên không đi đến kết quả ta phải phân tích như sau: n u(x) m v(x) ( n u(x) m(x)) (m v(x) m(x)) , trong đó m(x) c . * Một đẳng thức cần lưu ý: an bn (a b)(an 1 an 2b abn 2 bn 1 ) . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: xn 1 x5 5x3 2x2 6x 4 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x 1 x3 x2 x 1 39
  40. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 1. Ta có: xn 1 (x 1)(xn 1 xn 2 x 1) xn 1 Suy ra: xn 1 xn 2 x 1 x 1 Do đó: A lim xn 1 xn 2 x 1 n . x 1 2. Ta có: x5 5x3 2x2 6x 4 (x 1)2 (x 2)(x2 2) x3 x2 x 1 (x 1)2 (x 1) (x 2)(x2 2) 3 Do đó: B lim . x 1 x 1 2 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: (1 mx)n (1 nx)m (1 2x)2 (1 3x)3 1 1. C lim 2. D lim x 0 x2 x 0 x Lời giải: m2n(n 1)x2 1. Ta có: (1 mx)n 1 mnx m3x3 .A 2 3 4 n 3 n Với A Cn mxCn mx Cn 2 2 m n m(m 1)x 1 nx 1 mnx n3x3B 2 3 4 m 3 m Với B Cm nxCm nx Cm 2 2 m n(n 1) n m(m 1) 3 3 Do đó: C lim x m A n B x 0 2 m2n(n 1) n2m(m 1) mn(n m) . 2 2 3 2 3 1 2x2 1 3x 1 1 2x 1 3x 1 2. Ta có: x x 2 (1 2x) 1 2 1 2x 9 27x 27x2 (4 4x) x 2 Suy ra: D lim 1 2x 9 27x 27x2 (4 4x) 5 x 0 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau: 2x 1 x 3 3x 2 x 1. A lim 2. B lim x 1 x2 1 x 2 3x 2 2 40
  41. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 2x 1 x2 (x 1) 1. Ta có: A lim lim 0 x 1 (x 1)(x 1)( 2x 1 x) x 1 (x 1)( 2x 1 x) (3x 2 x3 )( 3x 2 2) 2. Ta có: B lim x 2 3(x 2)( 3 (3x 2)2 2 3 3x 2 4) (x2 2x 1)( 3x 2 2) lim 1 . x 2 3( 3 (3x 2)2 2 3 3x 2 4) Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau: 3 2x 1 1 2x 1.3 3x 2.4 4x 3 1 1. B lim 2. C lim x 1 x 1 x 1 x 1 Lời giải: 3 2t 1 1 2 1. Đặt t x 1 ta có: B lim t 0 t 3 2. Ta có: 2x 1.3 3x 2.4 4x 3 1 2x 1.3 3x 2 4 4x 3 1 2x 1 3 3x 2 1 2x 1 1 2x 1 1 3 3x 2 1 4 4x 3 1 Mà: lim lim lim 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Nên ta có: C 1 1 1 3 . Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau: 3 7x 1 5x 1 x 2 3 x 20 1. A lim 2. B lim x 1 x 1 x 7 4 x 9 2 Lời giải: 3 7x 1 2 ( 5x 1 2) 3 7x 1 2 5x 1 2 1. Ta có: A lim lim lim I J x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 7(x 1) 7 7 I lim lim . x 1 (x 1)( 3 (7x 1)2 2 3 7x 1 4) x 1 3 (7x 1)2 2 3 7x 1 4 12 5(x 1) 5 5 J lim lim x 1 (x 1)( 5x 1 1) x 1 5x 1 1 3 2 Vậy A . 3 41
  42. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 x 2 3 3 x 20 3 x 2 3 x 20 2. Ta có: B lim lim x 7 x 7 x 7 4 x 9 2 x 7 4 x 9 2 x 7 x 2 3 1 1 Mà: lim lim x 7 x 7 x 7 x 2 3 6 3 x 20 3 1 1 lim lim x 7 x 7 x 7 ( 3 x 20)2 3 3 x 20 9 27 4 x 9 2 1 1 lim lim . x 7 x 7 x 7 ( 4 x 9)3 2( 4 x 9)2 4 4 x 9 8 32 1 1 112 Vậy B 6 27 . 1 27 32 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x3 3x2 2 Bài 1 Tìm giới hạn A lim : x 1 x2 4x 3 3 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: x3 3x2 2 (x 1)(x2 2x 2) x2 2x 2 3 Ta có: A lim lim lim . x 1 x2 4x 3 x 1 (x 1)(x 3) x 1 x 3 2 x4 5x2 4 Bài 2 Tìm giới hạn B lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 1 6 Lời giải: Ta có: x4 5x2 4 (x2 1)(x2 4) (x2 1)(x 2)(x 2) (x2 1)(x 2) B lim lim lim lim 1. x 2 x3 8 x 2 x3 23 x 2 (x 2)(x2 2x 4) x 2 x2 2x 4 (1 3x)3 (1 4x)4 Bài 3 Tìm giới hạn C lim : x 0 x 1 A. B. C. D.25 6 Lời giải: 42
  43. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 (1 3x)3 (1 4x)4 Ta có: C lim x 0 x (1 3x)3 1 (1 4x)4 1 lim lim x 0 x x 0 x 3x[(1 3x)2 (1 3x) 1] 4x(2 4x)[(1 4x)2 1] lim lim x 0 x x 0 x lim 3[(1 3x)2 (1 3x) 1] lim 4(2 4x)[(1 4x)2 1] 25 x 0 x 0 (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 Bài 4 Tìm giới hạn D lim : x 0 x 1 A. B. C. D.6 6 Lời giải: (1 x)(1 2x)(1 3x) 1 6x3 11x2 6x Ta có: D lim lim 6 . x 0 x x 0 x xn 1 Bài 5 Tìm giới hạn A lim (m,n ¥ *) : x 0 xm 1 n A. B. C. D. m n m Lời giải: (x 1)(xn 1 xn 2 x 1) xn 1 xn 2 x 1 n Ta có: A lim lim . x 0 (x 1)(xm 1 xm 2 x 1) x 0 xm 1 xm 2 x 1 m n 1 ax 1 Bài 6 Tìm giới hạn B lim (n ¥ *,a 0) : x 0 x a n A. B. C. D. 1 n a Lời giải: Cách 1: Nhân liên hợp Ta có: ( n 1 ax 1)( n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1) B lim x 0 x( n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1) a a B lim . x 0 n (1 ax)n 1 n (1 ax)n 2 n 1 ax 1 n Cách 2: Đặt ẩn phụ 43
  44. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 tn 1 Đặt t n 1 ax x và x 0 t 1 a t 1 t 1 a B alim alim . t 1 tn 1 t 1 (t 1)(tn 1 tn t 1) n n 1 ax 1 Bài 7 Tìm giới hạn A lim với ab 0 : x 0 m 1 bx 1 am am A. B. C. D. 1 bn bn Lời giải: Áp dụng bài toán trên ta có: n 1 ax 1 x a m am A lim .lim . . x 0 x x 0 m 1 bx 1 n b bn 1 x 3 1 x 4 1 x 1 Bài 8 Tìm giới hạn B lim với  0 . : x 0 x     A. B. C. B D. B 4 3 2 4 3 2 Lời giải: Ta có: 1 x 3 1 x 4 1 x 1 1 x 3 1 x( 4 1 x 1) 1 x(( 3 1 x 1) ( 1 x 1) 4 1 x 1 3 1 x 1 1 x 1 B lim( 1 x 3 1 x) lim 1 x lim x 0 x x 0 x x 0 x 2x2 5x 2 Bài 9. Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 3x 2 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: (x 2)(2x 1) 1 Ta có: A lim x 2 (x 2)(x2 2x 1) 3 x4 3x 2 Bài 10 Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 1 A. B. C. D. 1 5 Lời giải: 44
  45. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 (x 1)(x3 x2 x 2) 1 Ta có: B lim x 1 (x 1)(x2 x 3) 5 2x 3 x Bài 11 Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 1 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: (x 3)(x 1) 1 . Ta có: C lim x 3 (x 3)(x 1) 2x 3 x 3 3 x 1 1 Bài 12. Tìm giới hạn D lim : x 0 4 2x 1 1 2 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 4 3 4 2 4 x (2x 1) (2x 1) 2x 1 1 2 Ta có: D lim x 0 2x 3 (x 1)2 3 x 1 1 3 3 4x 1 x 2 Bài 13. Tìm giới hạn E lim : x 7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 1 27 Lời giải: 3 4x 1 x 2 3 4x 1 3 x 2 3 Ta có: E lim lim lim A B x 7 4 2x 2 2 x 7 4 2x 2 2 x 7 4 2x 2 2 2 4 4 3 2 2x 2 2 2x 2 4 4x 1 3 64 A lim lim x 7 4 x 7 2 2x 2 2 3 3 27 4x 1 3 4x 1 9 4 2 2x 2 2 4 2x 2 4 x 2 3 8 B lim lim x 7 4 2x 2 2 x 7 2 x 2 3 3 64 8 8 E A B 27 3 27 45
  46. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Bài 14. Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: 9 Ta có: F 2 1 4x 3 1 6x Bài 15. Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 1 A. B. C. D.0 3 Lời giải: 4x 1 (2x 1) 3 1 6x (2x 1) Ta có: M lim lim 0 x 0 x2 x 0 x2 m 1 ax n 1 bx Bài 16 Tìm giới hạn N lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n Lời giải: m 1 ax 1 n 1 bx 1 a b Ta có: N lim lim x 0 x x 0 x m n m 1 ax n 1 bx 1 Bài 17 Tìm giới hạn G lim : x 0 x a b a b A. B. C. D. m n m n Lời giải: m n 1 ax 1 bx 1 m 1 ax 1 b a Ta có: G lim lim x 0 x x 0 x n m n m 1 mx 1 nx Bài 18 Tìm giới hạn V lim : x 0 x2 mn n m mn n m A. B. C. D. 2 2 Lời giải: 46
  47. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 (1 nx)m (1 mnx) (1 mx)n (1 mnx) mn(n m) Ta có: V lim lim . x 0 x2 x 0 x2 2 1 x 1 3 x 1 n x Bài 19 Tìm giới hạn K lim n 1 : x 1 1 x 1 A. B. C. D. 0 n! Lời giải: 1 1 Ta có: K lim . x 1 (1 x)( 3 x2 3 x 1) ( n xn 1 1) n! n n 1 x2 x 1 x2 x Bài 20 Tìm giới hạn L lim : x 0 x A. B. C. 2n D. 0 Lời giải: n n 2 2 1 x x 1 1 x x 1 L lim 2n . x 0 n x 1 x2 x 2x2 5x 2 Bài 21 Tìm giới hạn A lim : x 2 x3 8 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: (2x 1)(x 2) 1 Ta có: A lim x 2 (x 2)(x2 2x 4) 4 x4 3x2 2 Bài 22 Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 2x 3 2 A. B. C. D. 0 5 Lời giải: (x2 1)(x2 2) 2 Ta có: B lim x 1 (x 1)(x2 x 3) 5 2x 3 3 Bài 23 Tìm giới hạn C lim : x 3 x2 4x 3 47
  48. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 A. B. C. D. 0 6 Lời giải: 2(x 3) 1 Ta có: C lim x 3 (x 1)(x 3) 2x 3 3 6 3 x 1 1 Bài 24 Tìm giới hạn D lim : x 0 2x 1 1 1 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: x 2x 1 1 1 Ta có: D lim x 0 2x 3 (x 1)2 3 x 1 1 3 3 4x 1 x 2 Bài 25 Tìm giới hạn E lim : x 7 4 2x 2 2 8 A. B. C. D. 0 27 Lời giải: 3 4x 1 3 x 2 3 x 7 Ta có: E lim lim lim x 7 x 7 x 7 4 x 7 x 7 2x 2 2 3 4x 1 3 4(x 7) 4 Mà: lim lim x 7 x 7 x 7 (x 7) 3 (4x 1)2 3 3 4x 1 9 27 x 2 3 1 x 7 lim ; lim 16 x 7 x 7 6 x 7 4 2x 2 2 4 1 8 Do đó: E 16 . 27 6 27 n (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Bài 26 Tìm giới hạn F lim : x 0 x 9 A. B. C. D. 0 n Lời giải: Đặt y n (2x 1)(3x 1)(4x 1) y 1 khi x 0 48
  49. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 yn 1 (2x 1)(3x 1)(4x 1) 1 Và: lim lim 9 x 0 x x 0 x yn 1 9 Do đó: F lim x 0 x yn 1 yn 2 y 1 n 1 4x 3 1 6x Bài 27. Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos 3x 4 A. B. C. D. 0 9 Lời giải: 1 4x 3 1 6x x2 2 4 Ta có: M lim . 2. . x 0 x2 1 cos 3x 9 9 m 1 ax n 1 bx Bài 28. Tìm giới hạn N lim : x 0 1 x 1 2 an bm A. B. C. D. 0 mn Lời giải: m 1 ax 1 n 1 bx 1 x a b 2(an bm) Ta có: N lim . .2 . x 0 x x 1 x 1 m n mn n m 1 mx 1 nx Bài 29 Tìm giới hạn V lim : x 0 1 2x 3 1 3x 2 an bm A. B. C. D. mn n m mn Lời giải: n m 2 1 mx 1 (1 nx) 1 x mn(n m) Ta có: V lim .2 mn(n m) . x 0 x2 x2 3 2 1 2x 1 3x 1 x 1 3 x 1 n x Bài 30 Tìm giới hạn K lim : n 1 x 1 1 x2 1 A. B. C. D. 0 n! Lời giải: 49
  50. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 Ta có: K lim . x 1 (1 x)( 3 x2 3 x 1) ( n xn 1 1) n! 4x 1 3 2x 1 Bài 31 Tìm giới hạn A lim : x 0 x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 4x 1 1 3 2x 1 1 Ta có: A lim lim x 0 x x 0 x 4x 1 1 4x 4 Mà: lim lim lim 2 x 0 x x 0 x 4x 1 1 x 0 4x 1 1 3 2x 1 1 2x 2 lim lim x 0 x x 0 x 3 (2x 1)2 3 2x 1 1 3 2 4 Vậy A 2 . 3 3 4x 5 3 Bài 32 Tìm giới hạn B lim : x 1 3 5x 3 2 4 2 A. B. C. D. 3 5 Lời giải: 4(x 1) 3 (5x 3)2 2 3 5x 3 4 4 3 (5x 3)2 2 3 5x 3 4 2 Ta có: B lim lim . x 1 x 1 5 5(x 1) 4x 5 3 5 4x 5 3 4 2x 3 3 2 3x Bài 33. Tìm giới hạn C lim : x 1 x 2 1 4 A. B. C. D. 3 3 Lời giải: 4 2x 3 1 3 3x 2 1 Ta có: C lim lim x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 50
  51. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4 2(x 1) 1 1 3 3(x 1) 1 1 2 1 lim x 1 lim x 1 4 3 x 1 (x 1) 1 1 x 1 (x 1) 1 1 1 1 x 1 x 1 2 2 x x 2 Bài 34 Tìm giới hạn D lim : x 2 x 3 3x 2 4 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: x2 x 2 x2 x.3 3x 2 3 (3x 2)2 x2 x.3 3x 2 3 (3x 2)2 Ta có: D lim lim 1. x 2 (x3 3x 2) x x 2 x 2 (x 1) x x 2 1 2x 3 1 3x Bài 35 Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: t3 1 Cách 1: Đặt t 3 3x 1 x và x 0 t 1 3 t3 1 t3 2 1 t t Nên A lim 3 9lim 3 2 2 2 2 t 1 t3 1 t 1 (t 1) (t t 1) 3 t3 3t2 2 3lim t 1 t3 2 (t 1)2 (t2 t 1)2 t 3 (t 1)2 (t 2) 3lim t 1 t3 2 (t 1)2 (t2 t 1)2 t 3 t 2 1 3lim . t 1 t3 2 2 (t2 t 1)2 t 3 Cách 2: Ta có: 51
  52. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 2x (1 x) 3 1 3x (1 x) A lim lim x 0 x2 x 0 x2 1 3 x lim lim x 0 1 2x 1 x x 0 3 (1 3x)2 (1 x) 3 1 3x (1 x)2 1 Do đó: A . 2 5 4x 3 7 6x Bài 36. Tìm giới hạn B lim : x 1 x3 x2 x 1 4 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 5 4x 3 7 6x Ta có: B lim 2 x 1 x 1 x 1 Đặt t x 1 . Khi đó: 5 4x 3 7 6x 1 4t 3 1 6t lim 2 lim 2 x 1 x 1 t 0 t 1 4t (2t 1) 3 1 6t (2t 1) lim lim x 0 t2 t 0 t2 4 8t 12 lim lim 2 . t 0 1 4t 2t 1 t 0 3 (1 6t)2 (2t 1) 3 (1 6t)2 (2t 1)2 Do đó: B 1. f (x) Bài toán 03: Tìm B lim , trong đó f (x), g(x) , dạng này ta còn gọi là dạng vô x g(x) định . Phương pháp: Tương tự như cách khử dạng vô định ở dãy số. Ta cần tìm cách đưa về các giới hạn: * lim x2k ; lim x2k 1 ( ) . x x (x ) (x ) k * lim 0 (n 0; k 0) . x n (x ) x k * lim f (x) ( ) lim 0 (k 0) . x x x x 0 0 f (x) 52
  53. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: (4x 1)3 (2x 1)4 1. A lim 2. x (3 2x)7 4x2 3x 4 3x B lim x x2 x 1 x Lời giải: 3 4 1 1 4 2 x x 1. Ta có: A lim 7 8 x 3 2 x 3 4 4 3 2 1 2. Ta có: B lim x x x 1 1 2 1 1 x x2 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 2x2 1 x2 1 1. A lim 2. x 2x 2 3x2 2 x 1 B lim x x2 1 1 Lời giải: 1 1 1 1 x 2 x 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1. Ta có: A lim x x lim x x . x 2 x 2 2 x(2 ) 2 x x 2 1 1 2 1 1 x 3 2 x 2 3 2 2 2. Ta có: B lim x x x lim x x x 3 x 1 1 x 1 1 x 1 1 2 2 x x x x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 2x 3x2 2 Bài 1 Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 53
  54. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 3 A. B. C. D. 0 6 Lời giải: 2 2 3 2 2 3 Ta có: C lim x x 1 6 5 1 x2 3 1 x4 x6 Bài 2 Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 1 1 2 3 x 6 2 1 Ta có: D lim x x 1 x 1 1 x2 1 x4 x2 Bài 3 Tìm giới hạn E lim( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: x 1 1 Ta có: E lim x x2 x 1 x 2 Bài 4 Tìm giới hạn F lim x( 4x2 1 x) : x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 1 Ta có: F lim x2 4 1 x 2 x Bài 5 Tìm giới hạn M lim( x2 3x 1 x2 x 1) : x 4 A. B. C. D. Đáp án khác 3 Lời giải: 54
  55. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4x 2 khi x Ta có: M lim x x2 3x 1 x2 x 1 2 khi x Bài 6 Tìm giới hạn N lim 3 8x3 2x 2x : x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 2x Ta có: N lim 0 x 3 (8x3 2x)2 2x 3 8x3 2x 4x2 Bài 7 Tìm giới hạn H lim 4 16x4 3x 1 4x2 2 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 16x4 3x 1 (4x2 2) Ta có: H lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 (4x2 2)2 lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 4x2 2 16x2 3x 3 lim x 4 16x4 3x 1 4x2 2 16x4 3x 1 4x2 2 Suy ra H 0 . Bài 8 Tìm giới hạn K lim x2 1 x2 x 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 2x2 x 1 2 (x2 1)(x2 x) Ta có: K lim x x2 1 x2 x 2x 2 4(x4 x3 x2 x) 2x2 x 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 55
  56. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 4(x4 x3 x2 x) 2x2 x 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 8x3 7x2 2x 1 1 lim x x2 1 x2 x 2x 2 (x2 1)(x2 x) 2x2 x 1 2 3x2 5x 1 Bài 9 Tìm giới hạn A lim : x 2x2 x 1 3 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 5 1 5 1 x2 (3 ) 3 2 2 3 Ta có: A lim x x lim x x x x 2 1 1 1 1 2 x (2 ) 2 x x2 x x2 a xn a x a Bài 10 Tìm giới hạn B lim 0 n 1 n (a b 0) : x m 0 0 b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án khác 3 Lời giải: a a a n 1 n 1 n x (a0 n 1 n ) Ta có: B lim x x x x b b b xm (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm a a a a 1 n 1 n 0 n 1 n a * Nếu m n B lim x x x 0 . x b b b b b 1 m 1 m 0 0 x xm 1 xm a a a 1 n 1 n a0 n 1 n * Nếu m n B lim x x x 0 x b b b xm n (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm ( Vì tử a0 , mẫu 0 ). * Nếu m n 56
  57. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 a a a xn m (a 1 n 1 n ) 0 n 1 n x khi a0 .b0 0 B lim x x . x b b b khi a b 0 b 1 m 1 m 0 0 0 x xm 1 xm 3 3x3 1 2x2 x 1 Bài 11 Tìm giới hạn A lim : x 4 4x4 2 3 3 2 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 1 1 1 x 3 3 x 2 3 2 3 3 2 Ta có: A lim x x x . x 2 2 x 4 4 x4 x x2 1 2x 1 Bài 12 Tìm giới hạn B lim : x 3 2x3 2 1 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 1 2 1 1 2 1 2 x ( 1 2 2 ) x( 1 2 2 ) B lim x x x x x x x 2 1 2 1 x( 3 2 ) 3 2 x3 x x3 x (do tử , mẫu 3 2 ). (2x 1)3 (x 2)4 Bài 13. Tìm giới hạn A lim : x (3 2x)7 1 A. B. C. D. 0 16 Lời giải: 3 4 1 2 2 1 x x 1 A lim 7 x 3 16 2 x 57
  58. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4x2 3x 4 2x Bài 14. Tìm giới hạn B lim : x x2 x 1 x A. B. C.2 D. 0 Lời giải: 3 4 4 2 2 B lim x x 2 x 1 1 1 x x x2 2x 3x2 2 Bài 15 Tìm giới hạn C lim : x 5x x2 1 2 3 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: 2 2 3 2 2 3 C lim x x 1 4 5 1 x2 3 1 x4 x6 Bài 16. Tìm giới hạn D lim : x 1 x3 x4 4 A. B. C. D. 1 3 Lời giải: 1 1 3 6 2 1 D lim x x 1 x 1 1 1 x x4 Bài 17. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 3 2x3 x 1 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 1 1 1 1 Ta có: A lim x 1 x 3 2 x 2 2 3 x x x x 58
  59. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 lim x 1 3 2 x 2 2 3 x x x x Bài 18 Tìm giới hạn B lim x x2 x 1 : x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 1 1 1 1 Ta có: B lim x x 1 lim x 1 1 x 2 x 2 x x x x Bài 19 Tìm giới hạn C lim 4x2 x 1 2x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 1 1 x 1 1 x 1 x 1 Ta có: C lim lim lim x . x 4x2 x 1 2x x 1 1 x 1 1 2 x 4 2x 4 2 x x2 x x2 Bài 20. Tìm giới hạn D lim 3 x3 x2 1 x2 x 1 : x 1 A. B. C. D. 0 6 Lời giải: Ta có: D lim 3 x3 x2 1 x lim x2 x 1 x M N x x x2 1 1 M lim x 3 (x3 x2 1)2 x.3 x3 x2 1 x2 3 1 1 x 1 1 N lim lim x x x2 x 1 x x 1 1 2 1 1 x x2 1 1 1 Do đó: B . 3 2 6 Bài 21. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 2 x2 x x : x 59
  60. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 2 x2 x 1 x 4(x2 x) Ta có: x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 2 x2 x x 2x x2 x 1 1 5x 2x2 x2 x 1 2 x2 x x 2 2x x x 1 x 1 5x x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 2 x2 x x 2x(x 1) x2 x 1 2 x2 x x x2 x 1 x 1 5x . x2 x 1 2 x2 x x 2 2 Do đó: A lim x x 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 x x x x x 1 5 1 5 3 lim x x 1 1 1 4 4 2 1 2 1 1 x x2 x Bài 22. Tìm giới hạn B lim x( x2 2x 2 x2 x x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: 2x2 2x 2x x2 2x 4x2 4x Ta có: x2 2x 2 x2 x x x2 2x 2 x2 x x x2 2x x 1 2x x2 2x 2 x2 x x 60
  61. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2x . ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2x2 Nên B lim x ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2 1 lim . x 2 1 2 1 4 ( 1 2 1 1)( 1 1 ) x x x x a xn a x a Bài 23. Tìm giới hạn A lim 0 n 1 n , (a b 0) : x m 0 0 b0 x bm 1x bm 4 A. B. C. D. Đáp án khác 3 Lời giải: a a a n 1 n 1 n x (a0 n 1 n ) Ta có: A lim x x x x b b b xm (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm a a a a 1 n 1 n 0 n 1 n a Nếu m n B lim x x x 0 . x b b b b b 1 m 1 m 0 0 x xm 1 xm a a a 1 n 1 n a0 n 1 n Nếu m n B lim x x x 0 x b b b xm n (b 1 m 1 m ) 0 x xm 1 xm ( Vì tử a0 , mẫu 0 ). a a a xn m (a 1 n 1 n ) 0 n 1 n x khi a0 .b0 0 Nếu m n, ta có: B lim x x x b b b khi a b 0 b 1 m 1 m 0 0 0 x xm 1 xm 4x2 x 3 8x3 x 1 Bài 24 Tìm giới hạn B lim : x 4 x4 3 4 A. B. C. D. 4 3 Lời giải: 61
  62. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1 1 1 1 1 3 3 x 4 x. 8 2 3 4 8 2 3 Ta có: B lim x x x lim x x x 4 x 3 x 3 x 4 1 4 1 x4 x4 4x2 2 3 x3 1 Bài 25. Tìm giới hạn C lim : x x2 1 x 3 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 2 1 2 1 x 4 x 3 1 4 3 1 2 3 2 3 3 Ta có: C lim x x lim x x x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 2 2 x x x x2 1 2x 1 Bài 26. Tìm giới hạn D lim : x 3 2x3 x 1 x 4 A. B. C. D. 0 3 Lời giải: 1 2 1 x2 1 2 2 x x x Ta có: D lim . x 2 1 1 1 x2 3 3 5 6 x x x x Bài toán 04: Dạng vô định: và 0. Phương pháp: Những dạng vô định này ta tìm cách biến đổi đưa về dạng . Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: A lim( 3 x3 3x2 x2 2x) x Lời giải. Ta có: 3 x3 3x2 x2 2x ( 3 x3 3x2 x) ( x2 2x x) 62
  63. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 3x2 2x 3 (x3 3x2 )2 x 3 x3 3x2 x2 x2 2x x 3 2 A lim lim 0 . x 3 3 x 2 3 (1 )2 3 1 1 1 1 x x x Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau: B lim x( x2 2x 2 x2 x x) x Lời giải: 2x2 2x 2x x2 2x 4x2 4x Ta có: x2 2x 2 x2 x x x2 2x 2 x2 x x x2 2x x 1 2x x2 2x 2 x2 x x 2x . ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2x2 B lim x ( x2 2x 2 x2 x x)( x2 2x x 1) 2 1 B lim . x 2 1 2 1 4 ( 1 2 1 1)( 1 1 ) x x x x CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm giới hạn A lim x2 x 1 x : x 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: ( x2 x 1 x)( x2 x 1 x) Ta có: A lim x x2 x 1 x x2 x 1 x2 x 1 1 lim lim . x x2 x 1 x x x2 x 1 x 2 Bài 2 Tìm giới hạn B lim 2x 4x2 x 1 : x 1 A. B. C. D. 0 4 63
  64. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: (2x 4x2 x 1)(2x 4x2 x 1) x 1 1 B lim lim . x 2x 4x2 x 1 x 2x 4x2 x 1 4 Bài 3 Tìm giới hạn C lim [ n (x a )(x a ) (x a ) x] : x 1 2 n a a a a a a A. B. C. 1 2 n D. 1 2 n n 2n Lời giải: n Đặt y (x a1 )(x a2 ) (x an ) yn xn yn xn (y x)(yn 1 yn 1x xn 1 ) y x yn 1 yn 1x xn 1 yn xn lim(y x) lim x x yn 1 yn 2 x xn 1 yn xn n 1 C lim x . x yn 1 yn 1x xn 1 xn 1 yn xn b b b Mà lim lim(a a a 2 3 n ) x xn 1 x 1 2 n x x2 xn 1 a1 a2 an . yk xn 1 k yn 1 yn 2 x xn 1 lim 1 k 0, ,n 1 lim n . x xn 1 x xn 1 a a a VậyC 1 2 n . n Bài 4 Tìm giới hạn A lim( x2 x 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: x 1 1 A lim x x2 x 1 x 2 Bài 5 Tìm giới hạn B lim x( 4x2 1 x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 64
  65. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: B Bài 6 Tìm giới hạn C lim( x2 x 1 x2 x 1) : x 1 A. B. C. D. Đáp án khác 4 Lời giải: 2x lim x2 x 1 x2 x 1 lim 1 x x 2 2 x x 1 x x 1 2x lim x2 x 1 x2 x 1 lim 1. x x 2 2 x x 1 x x 1 Bài 7 Tìm giới hạn D lim( 3 8x3 2x 2x) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: 2x D lim 0 x 3 (8x3 2x)2 2x 3 (8x3 2x) 4x2 Bài 8 Tìm giới hạn E lim( 4 16x4 3x 1 4x2 2) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: E lim 4 16x4 3x 1 2x lim 4x2 2 2x 0 x x Bài 9 Tìm giới hạn F lim(x 3 1 x3 ) : x 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: F . Bài toán 05: Dạng vô định các hàm lượng giác Phương pháp: Ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi về các dạng sau: sin x x tan x x lim lim 1 , từ đây suy ra lim lim 1 . x 0 x x 0 sin x x 0 x x 0 tan x 65
  66. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 sinu(x) tanu(x) Nếu lim u(x) 0 lim 1 và lim 1 . x x x x x x 0 0 u(x) 0 u(x) Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau: cos x 3 cos x 1 2x 3 1 3x 1. A lim 2. B lim x 0 sin2 x x 0 1 cos 2x Lời giải: cos x 1 x2 1 3 cos x x2 1. Ta có: A lim lim . x 0 x2 sin2 x x 0 x2 sin2 x cos x 1 cos x 1 1 1 Mà: lim lim . x 0 x2 x 0 x2 cos x 1 4 1 3 cos x 1 cos x 1 1 lim 2 lim 2 . x 0 x x 0 x 3 cos2 x 3 cos x 1 6 1 1 1 Do đó: A . 4 6 12 1 2x 3 1 3x 2 2. Ta có: B lim x x 0 1 cos 2x x2 1 2x 3 1 3x 1 2x (1 x) (x 1) 3 1 3x Mà: lim lim lim x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 1 x 3 lim lim x 0 x 0 2 1 2x x 1 (x 1)2 (x 1) 3 1 3x 3 1 3x 1 1 1 . 2 2 1 cos 2x 1 cos 2x 1 lim lim . 1 x 0 x2 x 0 x2 1 cos 2x 1 Vậy B . 2 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau: 1 1. A lim x3 sin 2. B lim 2sin x cos3 x x 1 x x 0 x2 x Lời giải: 66
  67. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 1 1. Ta có: 0 x3 sin x3 x2 1 1 Mà lim x3 0 lim x3 sin 0 lim x3 sin 0 x 0 x 0 x2 x 0 x2 Vậy A 0 . 2sin x cos3 x 2. Ta có: B lim x x 1 x 2sin x cos2 x 3 Mà: 0 0 khi x . x 1 x x 1 x Do đó: B 0 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 cos ax Bài 1 Tìm giới hạn A lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 2 ax ax 2sin2 sin a a Ta có: A lim 2 lim 2 . x 0 x2 2 x 0 ax 2 2 1 sin mx cos mx Bài 2 Tìm giới hạn A lim : x 0 1 sin nx cosnx m A. B. C. D. 0 n Lời giải: mx mx mx 2sin2 2sin cos 1 sin mx cos mx Ta có: 2 2 2 1 sin nx cosnx 2 nx nx nx 2sin 2sin cos 2 2 2 mx nx mx mx sin sin cos m 2 . 2 . 2 2 n mx nx nx nx sin sin cos 2 2 2 2 67
  68. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 mx nx mx mx sin sin cos m m A lim 2 .lim 2 .lim 2 2 . n x 0 mx x 0 nx x 0 nx nx n sin sin cos 2 2 2 2 1 cos x.cos 2x.cos 3x Bài 3 Tìm giới hạn B lim : x 0 x2 A. B. C.3 D. 0 Lời giải: Ta có: 1 cos x.cos 2x.cos 3x 1 cos x cos xcos 2x(1 cos 3x) cos x(1 cos 2x) x2 x2 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x cos x.cos 2x cos x x2 x2 x2 1 cos x 1 cos 3x 1 cos 2x B lim lim cos x.cos 2x lim cos x 3 x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 1 cos 2x Bài 4 Tìm giới hạn A lim : x 0 3x 2sin 2 A. B. C.1 D. 0 Lời giải: 3x 2 sin sin x sin x 3 Ta có: A lim lim x( )2 . lim 2 0 . x 0 3x x 0 x 2 x 0 3x sin 2 2 cos 2x cos 3x Bài 5 Tìm giới hạn B lim : x 0 x(sin 3x sin 4x) 5 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 5x x 5x 2sin sin sin 5 1 5 B lim 2 2 lim( . 2 ).lim . x 0 7x x x 0 2 5x x 0 7x 2 2xcos sin cos 2 2 2 2 tan2 2x Bài 6 Tìm giới hạn C lim : x 0 1 3 cos 2x 68
  69. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 A. B. C.6 D. 0 Lời giải: tan2 2x tan2 2x(1 3 cos 2x 3 cos2 2x) C lim lim x 0 1 3 cos 2x x 0 1 cos 2x tan2 2x(1 3 cos 2x 3 cos2 2x) lim 2 x 0 2sin x tan 2x x 2lim( )2 .( )2 (1 3 cos 2x 3 cos2 2x). x 0 2x sin x C 6 . x2 Bài 7 Tìm giới hạn D lim : x 0 1 xsin 3x cos 2x 7 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 1 Ta có: D lim x 0 1 xsin 3x cos 2x x2 1 xsin 3x cos 2x 1 xsin 3x 1 1 cos 2x Mà : lim lim lim x 0 x2 x 0 x2 x 0 x2 sin 3x 1 7 3lim( . ) 2 . x 0 3x 1 xsin 3x 1 2 7 Vậy: D . 2 sin( xm ) Bài 8 Tìm giới hạn A lim. : x 1 sin( xn ) n A. B. C. D. 0 m Lời giải: sin (1 xm ) sin (1 xm ) (1 xn ) 1 xn A lim lim .lim .lim x 1 sin (1 xn ) x 1 (1 xm ) x 1 sin (1 xn ) x 1 1 xm 1 xn (1 x)(xn 1 xn 2 1) n lim lim . x 1 1 xm x 1 (1 x)(xm 1 xm 2 1) m Bài 9 Tìm giới hạn B lim( x)tan x : x 2 2 69
  70. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 5 A. B. C. D. 1 2 Lời giải: x sin x Ta có: B lim( x) lim 2 .lim sin x 1. x 2 cos x x x 2 2 sin( x) 2 2 1 Bài 10 Tìm giới hạn C lim x sin ( 0) : x 0 x 5 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 1 Ta có: 0 |x sin | x . Mà lim x 0 x x 0 Nên theo nguyên lí kẹp A39 0 . Bài 11 Tìm giới hạn D lim(sin x 1 sin x) : x 5 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: Trước hết ta có: sin x x x 0 x 1 x x 1 x 1 Ta có: sin x 1 sin x 2sin .cos 2 2 x 1 x 1 Mà lim 0 nên D 0 . x x 1 x cos 3x cos 4x Bài 12 Tìm giới hạn A lim : x 0 cos 5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 Lời giải: 7x x sin sin 7 Ta có: A lim 2 2 x 0 11x x 11 sin sin 2 2 1 3 1 2sin 2x Bài 13 Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x 70
  71. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 4 A. B. C. D. 0 9 Lời giải: 2sin 2x 4 Ta có B lim x 0 sin 3x 1 3 1 2sin 2x 3 (1 2sin 2x)2 9 sin2 2x Bài 14 Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 Lời giải: sin2 2x 2 Ta có: C lim x 96 x 0 3 cos x 1 1 4 cos x x2 x2 sin4 2x Bài 15 Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 Lời giải: 16 Ta có: D 81 1 sin( cos x) Bài 16 Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) 5 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 1 sin cos x 2 E lim tan x 0 x 0 sin(tan x) tan x 3sin x 2cos x Bài 17 Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 71
  72. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 3sin x 2cos x 1 Ta có: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . m cos ax m cosbx Bài 18 Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m Lời giải: m cos ax 1 1 n cosbx 2 2 b a Ta có: H lim x x x 0 sin2 x 2n 2m x2 1 n cos ax Bài 19 Tìm giới hạn M lim : x 0 x2 a A. B. C. D. 0 2n Lời giải: 1 cos ax Ta có: 1 n cos ax 1 n cos ax ( n cos ax)2 ( n cos ax)n 1 1 cos ax 1 a 1 a M lim lim . . x 0 x2 x 0 1 n cos ax ( n cos ax)2 ( n cos ax)n 1 2 n 2n cos 3x cos 4x Bài 20 Tìm giới hạn A lim : x 0 cos 5x cos6x 7 A. B. C. D. 0 11 Lời giải: 7x x sin sin 7 Ta có: A lim 2 2 x 0 11x x 11 sin sin 2 2 1 3 1 2sin 2x Bài 21 Tìm giới hạn B lim : x 0 sin 3x 4 A. B. C. D. 0 9 72
  73. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 Lời giải: 2sin 2x 4 Ta có B lim x 0 sin 3x 1 3 1 2sin 2x 3 (1 2sin 2x)2 9 sin2 2x Bài 22 Tìm giới hạn C lim : x 0 3 cos x 4 cos x A. B. C. 96 D. 0 Lời giải: sin2 2x 2 Ta có: C lim x 96 x 0 3 cos x 1 1 4 cos x x2 x2 sin4 2x Bài 23 Tìm giới hạn D lim : x 0 sin4 3x 16 A. B. C. D. 0 81 Lời giải: 4 4 sin 2x 3x 16 16 Ta có: D lim . . x 0 2x sin 3x 81 81 1 sin( cos x) Bài 24 Tìm giới hạn E lim 2 : x 0 sin(tan x) A. B. C.1 D. 0 Lời giải: 1 sin cos x 2 sin(tan x) Ta có: E lim tan x Mà lim 1; x 0 sin(tan x) x 0 tan x tan x 2 x sin 2sin2 2 2 1 sin cos x 1 cos (1 cos x) 2 2 lim lim lim x 0 tan x x 0 tan x x 0 tan x 73
  74. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN HÀM SỐ - TẬP 1 2 x sin sin2 2 2 x sin2 x lim 2 .x. 0 x 0 4 2 x x 2 tan x sin ( ) 2 2 2 Do đó: E 0 . 3sin x 2cos x Bài 25 Tìm giới hạn F lim : x x 1 x 5 A. B. C. D. 0 2 Lời giải: 3sin x 2cos x 1 Ta có: 0 0 khi x x 1 x x 1 x Vậy F 0 . m cos ax m cosbx Bài 26 Tìm giới hạn H lim : x 0 sin2 x b a A. B. C. D. 0 2n 2m Lời giải: m cos ax 1 1 n cosbx 2 2 b a Ta có: H lim x x x 0 sin2 x 2n 2m x2 3 1 3x 1 2x Bài 27 Tìm giới hạn M lim : x 0 1 cos 2x 1 A. B. C. D. 0 4 Lời giải: 3 3x 1 2x 1 1 2 1 Ta có: M lim x 2 . x 0 1 cos 2x 2 4 x2 74