Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 4 phần 3 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 5: Đạo hàm - Mức độ 4 phần 3 (Có đáp án)

1. Câu 1: (SGD Hà Nội-lần 11 năm 2017-2018) Cho hàm số y x3 3x 2 có đồ thị C . Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường thẳng d : y 9x 14 sao cho từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với C . A. 3 điểm.B. 4 điểm. C. 2 điểm. D. 1 điểm. Lời giải Chọn A Ta có y x3 3x 2 y 3x2 3. Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến có dạng 2 3 y 3x0 3 x x0 x0 3x0 2 Gọi M m;9m 14 là điểm nằm trên đường thẳng d : y 9x 14 . 2 3 Tiếp tuyến đi qua điểm M khi và chỉ khi 9m 14 3x0 3 m x0 x0 3x0 2 1 2 2 x0 2 2x0 3m 4 x0 8 6m 0 x0 2 2x0 3m 4 x0 8 6m 0 x0 2 2 2x0 3m 4 x0 8 6m 0 g x0 2 Yêu cầu đề bài 2 có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 2 hoặc 2 có nghiệm 2 9m 24m 48 0 m 2 0 0 12m 24 0 4 kép khác 2 hoặc m . g 2 0 g 2 0 2 3 9m 24m 48 0 m 4 12m 24 0 Vậy có 3 điểm M thỏa đề bài. Câu 2: HẾT (THPT Chuyên Lương Thế Vinh – Đồng Nai – Lần 2 năm 2017 – 2018) Cho hàm số y x 3 3x2 1 có đồ thị C . Hỏi trên trục Oy có bao nhiêu điểm A mà qua A có thể kẻ đến C đúng ba tiếp tuyến? A. 0 .B. 3 .C. 1.D. 2 . Lời giải Chọn C Nhận xét: hàm số đã cho là hàm số chẵn và có đạo hàm trên ¡ . Việc chứng minh hàm số có đạo hàm trên ¡ , ta chỉ cần chứng minh hàm số có đạo hàm tại x 0 . Thật vậy, ta có y x y 0 x 3 3x2 x2 x 3x2 lim lim lim lim x x 3x 0 x 0 x 0 x 0 x x 0 x x 0 Nên hàm số có đạo hàm tại x 0 và . Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị C của nó đối xứng qua Oy . Do đó từ điểm A trên trục Oy nếu kẻ được một tiếp tuyến d đến C thì ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy cũng là một tiếp tuyến của C .
2. Vậy để qua điểm A trên trục Oy có thể kẻ đến C đúng ba tiếp tuyến thì điều kiện cần và đủ là có một tiếp tuyến vuông góc với trục tung và một tiếp tuyến với nhánh phải của đồ thị C , tức là phần đồ thị của hàm số y f x x3 3x2 1, với x 0 . Gọi M 0;m thuộc Oy và là tiếp tuyến qua M 0;m có hệ số góc k . Ta có: : y kx m . Điều kiện tiếp xúc là: x3 3x2 1 kx m 2 3x 6x k Suy ra: x3 3x2 1 x 3x2 6x m m 2x3 3x2 1 * Yêu cầu đề bài tương đương phương trình * có đúng một nghiệm x 0 và một nghiệm x 0 . Phương trình * có nghiệm x 0 nên m 1. x 0 3 2 Thử lại, với m 1 thì * trở thành: 2x 3x 0 3 (đúng). x 2 Vậy m 1. Câu 3: (THPT Trần Phú – Đà Nẵng - Lần 2 – năm 2017 – 2018) Cho hàm số y x3 3x có đồ thị C . Gọi S là tập hợp tất cả giá trị thực của k để đường thẳng d : y k x 1 2 cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt M , N, P sao cho các tiếp tuyến của C tại N và P vuông góc với nhau. Biết M 1;2 , tính tích tất cả các phần tử của tập S . 1 2 1 A. .B. . C. . D. 1. 9 9 3 Lời giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của C và d : x 1 y 2 3 2 x 3x k x 1 2 x 1 x x 2 k 0 2 . x x 2 k 0 1 d cắt C tại ba điểm phân biệt phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1 0 9 1 k 4 . g 1 0 k 0 Khi đó, d cắt C tại M 1;2 , N x1; y1 , P x2 ; y2 với x1, x2 là nghiệm của 1 . S x1 x2 1 Theo định lý vietè: . P x1x2 k 2 2 2 Tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau y x1 .y x2 1 3x1 3 3x2 3 1 2 2 2 2 2 2 9x1 x1 9 x1 x2 9 1 9P 18P 9S 9 1
3. 3 2 3 9k 2 18k 1 0 k . 3 1 Vậy tích các phần tử trong S là . 9