Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng định nghĩa - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng định nghĩa - Ngô Tùng Hiếu

1. 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA. 1 a1 a a Bài 1. Cho dãy số an xác định bởi : 3 2 . Chứng minh rằng với mọi số thực a 0 2a 2a 2 n n an 1 2 3an 4an 1 thì dãy an hội tụ. Tùy theo a , hãy tìm giới hạn của dãy an . Hướng dẫn giải 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM). a 1 1 Nếu a 0 thì a 2 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a 2. a a * Nếu a 1 thì a1 2 . Ta chứng minh: an 2, n ¥ . Hiển nhiên a1 2 . 2.23 2.22 2 Giả sử a 2 a 2 . k k 1 3.22 4.2 1 Vậy lim an lim 2 2 . a 0 * . Nếu thì a1 2 . Ta chứng minh an 2 n ¥ . a 1 Rõ ràng a1 2 . . Giả sử ak 2 . Ta chứng minh ak 1 2 . 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 2 2 2 2ak ak 2 0 ( đúng). 3ak 4ak 1 Ta chứng minh an là dãy giảm, thật vậy :. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 ( do tử âm, mẫu dương vì. 2 7 an 2 3 3an 4an 1 0 . 2 7 a n 3 2 7 Mà a 2 3a 2 4a 1 0 ). n 3 n n an giảm và bị chặn dưới an có giới hạn là L .
2. 3 2 3 2 2an 2an 2 2L 2L 2 lim an 1 lim 2 2 3an 4an 1 3L 4L 1 . L 2 an 2 L 1 Vậy lim an 2 . . Nếu a 0 thì a1 2 . Tương tự, ta có:. 3 2 a 2 1 a 2 an 2an an 2 n n n, an 1 an 2 2 0 . 3an 4an 1 3an 4an 1 nên an tăng. Hơn nữa an bị chặn trên bởi 1, thật vậy. 3 2 2ak 2ak 2 2 ak 1 1 2 1 ak 1 (2a 3) 0 . 3ak 4ak 1 Vậy an tăng và bị chặn trên an có giới hạn là L . an 1,n , an 1 an 0,n 2L3 2L2 2 . L L 1 a 1 L 2 3L2 4L 1 n Vậy lim an 1. Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 . a 0 + Nếu thì lim an 2 . a 1 + Nếu a 0 thì lim an 1. x1 0 Bài 2. Cho dãy số xn được xác định bởi 1 2 3 2015 * . Tìm giới hạn x x L n ¥ n 1 n 2 3 2015 xn xn xn xn của dãy nxn khi n , với là số thực cho trước. Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh được xn 0,n 1 bằng qui nạp. Ta có. 2 1 2 1 2 1 2 xn 1 xn , n 1 xn 1 xn xn 2 2 xn 2 ; n 1. xn xn xn 2 2 2 2 Bởi vậy n N, n 2 thì xn xn 1 2 xn 2 4  x1 2 n 1 . xn 1, n 2 và lim xn . n * 1 2 3 2015 Với n N , đặt xn 1 xn tn trong đó tn 2 3  2015 . xn xn xn xn
3. t xn 1; n 2 0 tn 2 , với t 2 3  2014 2015 (1), suy ra. xn 2 2 2 1 2 1 2 2tn xn 1 xn xn tn xn 2 tn 2 2xntn 2 . khi n . xn xn xn 2 b1 x1 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn với 2 2 . bn xn xn 1, n 2. b1 b2  bn ta có lim bn 2 suy ra lim limbn 2 n n n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 b b  b n 1 Mà n 1 2 n suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 n 1 Thật vậy ta có thể chứng minh trực tiếp lim như sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro). n 2 xn 2 2 2 2 Xét dãy cn : c1 x1 2; cn xn xn 1 2 với n 2,3. *  lim cn 0 nên  0 tồn tại m N sao cho cn ,  n m. . n 2 Gọi M max ci  với 1 i m 1. 2 m 1 M 2 m 1 M m 1 M  Với  ở trên tồn tại m 1 thì m' hay .   m 2 Xét n max m,m'. ta có.  n n m 1 n m 1 | ci | ci | ci | m 1 M  m 1 M   i 1 i m i 1 2 . o đó theo định n n n n n 2 m 2 2 n | c | nghĩa lim i 1 i 0 . n n 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2  x2 x1 x1 c c  c n 1 n 1 2 n 2 . suy ra lim . . n 2 n n n xn 2 1 Nếu 2 thì n.x n.x 2 khi n . n n 2 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn khi n . 2 2 Nếu 2 thì n.xn xn .n.xn 0 khi n . Cho hai số a ,b với 0 b 1.Lập hai dãy số a , b với n 1,2, Theo quy tắc sau: Bài 3. 1 1 1 a1 n n 1 giải nghĩa cái đó là:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn Tính: lim an và limbn . 2 . n n Hướng dẫn giải
4. Tính a ,b với 0 b a 1ta có thể chọn 0 a sao cho: b cosa ,. 2 2 1 1 2 1 2 Suy ra a1 cos a . 1 1 a a (cos2 a cos a) cos a(cos a 1) cosa.cos2 . 2 2 2 2 a a b cos a.cos2 .cos a cos a.cos . 2 2 2 Bằng quy nạp, chứng minh được:. a a a a a a cos a.cos cos cos (1) b cos a.cos cos (2) . n 2 2n 1 2n 1 n 2 2n 1 a Nhân hai vế của (1) và (2) cho sin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n 1 a sin 2a.cos n 1 sin 2a a 2 , b . n a n a 2n.sin 2n.sin 2n 1 2n 1 Tính giới hạn:. sin 2a sin 2a lim an , limbn . n 2a n 2a 1 an Bài 4. Cho dãy số an ,a1 1 và an 1 an .Chứng minh: lim 2 . n an n Hướng dẫn giải 1 n n 1 n 1 1 a2 a2 2 a2 a2 2(n 1). k 1 k 2  i  j  2 . ak i 2 j 1 j 1 a j n 1 1 a2 2n 1 . n  2 Vậy an 2n 1 , n 2 j 1 a j 2 1 1 1 1 1 1 1 ak 2k 1 k 2 4 2 2 . a k (2k-1) (2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k n 1 1 1 1 1 n 1 1 1 5 (1 ) 1 Suyra:  4  4 . k 2 ak 4 n 1 4 j 1 a j 4 4 n 1 1 n 1 1 5 Suyra: (n 1) (n 1) (n 2)  2  4 j 1 a j j 1 a j 4 5(n 1) Vậy: a2 2n 1 (n 2) . n 2 5(n-1) 1 a 5(n-1) Suyra: n 2; 2n-1<a < 2n-1+ 2- < n 2n-1+ . n 2 n n 2
5. a Dođó: lim n 2 . n n Bài 5. Cho hai số a ,b với a cos2 , b cos . Lập hai dãy số a , b với n 1,2, theo quy 1 1 1 8 1 8 n n 1 tắc sau:. an 1 (an bn ) ,bn 1 an 1.bn . Tính: lim an và limbn . 2 n n Hướng dẫn giải +Tính a2 ,b2 :. 1 1 a (cos2 cos ) cos (cos x 1) cos .cos2 . 2 2 8 8 2 8 8 8 16 b cos cos2 cos cos cos . 2 8 16 8 8 16 + Bằng quy nạp, chứng minh được:. a cos cos cos cos (1) b cos cos cos (2) . n 2.4 22.4 2n .4 2n.4 n 2.4 22.4 2n .4 +Nhân hai vế của (1) và (2) chosin và áp dụng công thức sin 2a được:. 2n .4 sin .cos n sin a 4 2 .4 , b 4 . n n 2n.sin 2n.sin 2n .4 2n .4 +Tính giới hạn:. 4sin 4sin 4 4 lim an , limbn . n n Bài 6. Cho dãy số un biết:. u1 1 * u ,n N . u n n 1 2 1 un Hãy tính lim (un n) . n Hướng dẫn giải * Ta có:u1 0 un 0 ,n N . 2 3 2 * un 1 un un / (1 un ) un ( un ) / (1 un ) 0 n N . un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 0 . lim un a (a R,a 0) n .
6. 2 Từ un 1 un / (1 un ), cho n ta được:. 3 a a / (1 a ) a 0. Vậy lim un 0 . x 2 2 * Đặt vn 1/ (un 1) 1/ (un ), n N . 2 2 2 2 Ta có vn ((1 un ) / un ) 1/ (un ) 2 un 2 khi n ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có:. 1 1 v v  v u2 u2 lim 1 2 n 2 lim n 1 1 2 . n n n n 1 1 1 1 2 2 2 2 u u u u lim n 1 n n 1 2 . n n 1 1 1 u2 u2 v u2 1 Mà lim n 1 n lim n 0 ; lim 1 lim 0 . n n n n n n n n 1 2 un 1 1 lim 2 lim 2 lim (un n) . n n 2 n n n.un 2 U 2 1 Bài 7. Cho dãy U xác định bởi: 2 n N * . n Un 2009Un Un 1 2010 n Ui  Ta lập dãy Sn với Sn  .Tính lim Sn .  x i 1 Ui 1 1 Hướng dẫn giải a Tacó a 0 0 . 1 2 Giả sử a1,a2 , ,an 1 0 . Tacó. a a a n n 1 0 0 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 an an 1 an 2 a0 . a a a 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 2 0 0 1 2 n a a a a Hay a n 1 n 2 1 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) Do a1,a2 , ,an 1 0 nên.
7. an 1 an 2 a1 2an 1 3an 2 na1 1.2 2.3 (n 1)n 1 2 n 1 . 2 2 an 1 an 2 a1 a0 2 1 2 (n 1) n 2 an 1 an 2 a1 a0 . 1.2 2.3 (n 1)n 2 2an 1 3an 2 na1 n 1 2 n 1 Ta lại có. 2an 1 3an 2 na1 2an 1 3an 2 a1 n 1 2 n 1 n 2n n 1 . an 1 an 2 a1 a0 n n a0. 1 2 n 1 n an 1 an 2 a1 a0 2 . 1.2 2.3 (n 1)n n a a a a a a a n 1 n 2 1 0 0 0 0 . n 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) n2 n(n 1) Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 2 1 un 1 Bài 8. Cho dãy số un xác định bởiu1 1, un 1 ,n 1. un a) Chứng minh:. u tan ,n 1 n 2n 1 b) Suy ra tính đơn điệu và bị chặn của un . HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh bằng quy nạp toán học. b) Nhận xét 0 n 1 ,n 1 và hàm số tanx đồng biến trên 0; . 2 4 4 nên dãy số un giảm và bị chặn dưới bởi số tan 0 0 . và bị chặn trên bởi số tan 1. 4 . Bài 9. Cho dãy số xn xác định bởi:. 1 2 3 2014 2015 * x1 0; xn 1 xn 2 3 2014 2015 ,n ¥ . . xn xn xn xn xn * n 1.Với mỗi n ¥ ,đặt yn 2 .Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. xn
8. 2.Tìm các số để dãy nxn có giới hạn hữu hạn và giới hạn là một số khác 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI 1 2 2 1 2 1.Từ giả thiết suy ra xn 1 xn 0 xn 1 xn 2 2 xn 2 xn xn . Suy ra x2 x2 2 x2 2 x2 2n do đó lim x n 1 n n 1 1 n . Xét 2 2 1 2 3 2014 2015 1 2 3 2014 2015 xn 1 xn xn 1 xn xn 1 xn 2xn 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn . 1 2 3 2014 2015 2 3 2014 2015 2 2 3 4 2015 2016 1 2 2013 2014 xn xn xn xn xn xn xn xn xn . Suy ra lim x2 x2 2 n 1 n . 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 x2 x1 x1 Ta có n . n n Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có. 2 2 2 2 2 2 2 2 x xn xn 1 xn 1 xn 2 x2 x1 x1 lim n lim 2 . n n n 1 Do đó lim x2 2 n . n 2.Xét z nx x 2 n n x2 n n . Từ đó:. +) Nếu 2 thì lim zn . +)Nếu 2 thì lim zn 0 . 1 +) Nếu 2 thì lim z n 2 . Vậy 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. 3 Bài 10. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1.
9. y  Chứng minh rằng dãy số n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì. n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) . 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1. 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có. n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0. n 1 n 1 n un (0;1) Bài 11. Tìm tất cả các hằng số c 0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: n 1. un 1(1 un ) c đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) . Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau. 1 c cun + Nếu c , thì từ giả thiết, ta có un 1 4cun ; n 1. 4 1 un un (1 un ) 1 Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra u (4c)n 1u . Do 4c 1 nên u khi n . Do đó, c không n 1 n 4 thỏa mãn. 1 1 1 4c 1 1 4c a(1 b) c + Nếu 0 c , thì tồn tại a,b ; , a b sao cho . Thật vây, lấy 4 2 2 b(1 a) c 1 1 4c 1 1 4c a ; , đặt b a x (x 0) , thì. 2 2 a(1 a) c a(1 b) c a(1 a x) c x . a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0 như trên và b a x, thì được 2 bất đẳng thức nêu trên. Xét dãy số (un ) xác định bởi. a nêu n 2m un . b nêu n 2m 1 1 thì dãy (u ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử, 0 c cũng không thỏa mãn. n 4
10. 1 1 un + Nếu c , thì un 1 un . Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó, (un ) hội tụ. 4 4(1 un ) 4un (1 un ) 1 1 1 Đặt x limu , thì từ giả thiết ta có x(1 x) hay x . Vậy limu n 4 2 n 2 1 x 1 2 Bài 12. Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 . k 2 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 2 xk k k 1 . k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 . k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1. xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. 4 2 un 2013 * Bài 13. Cho dãy số un xác định bởi u1 2014, un 1 3 ,n ¥ . Đặt un un 4026 n 1 v , n * n  3  ¥ . Tính lim vn . k 1 uk 2013 Hướng dẫn giải 4 2 3 un 2013 (un 2013)(un 2013) + Ta có un 1 2013 3 2013 3 (1). un un 4026 (un 2013) (un 2013) * Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un 2013,n ¥ .
11. 1 1 1 1 1 1 + Từ (1) suy ra 3 3 . un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 1 1 Do đó vn  1 . k 1 uk 2013 uk 1 2013 u1 2013 uk 1 2013 uk 1 2013 + Ta chứng minh limun . 2 2 2 un 4026un 2013 (un 2013) * Thật vậy, ta có un 1 un 3 3 0,n ¥ . un un 4026 un un 4026 Suy ra un là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 a4 20132 Giả sử u bị chặn trên và limu a thì a 2014 . Khi đó a . n n a3 a 4026 a 2013 2014 ( vô lí). Suy ra un không bị chặn trên, do đó limun . 1 Vậy limvn lim (1 ) 1. uk 1 2013 u 2013 2 1 un 1 Bài 14. Cho dãy số un xác định bởi: . Tìm lim . 2 * n 2 2 2 un 1 un 2, n ¥ u1 .u2 un Hướng dẫn giải 1 - Vì u 2013 2 nên đặt u a , a > 1. 1 1 a 2 2 1 2 1 Ta có u2 u1 2 a 2 a 2 . a a Bằng quy nạp, ta chứng minh được. 2n 1 un 1 a n , n ¥ . a2 - Xét. n n 1 n 1 i 1 1 1 1 i 1 1 1 n 1 u a2 a a a2 a a2 1.0  i  2i 1  2i 1 2n i 1 i 1 a a a i 1 a a a 2 1 2n 1 . 2 a a n 2 2 2 u a 2 u 1 1 n 1 a lim n 1 a a 4 20132 4 1.0 2 2 2 2 n 2 2 2 u1 .u2 un 2n 1 u1 .u2 un a a a n a2 Bài 15. Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1 3an ) 4 . Tính lim an . Hướng dẫn giải Đặt an 2 bn . Từ giả thiết suy ra lim(5bn 1 3bn ) 0 . Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n N thì ta có:.
12.  5b 3b (1). n 1 n 5  - Nếu b .b 0 thì từ (1) dẫn đến 5b 3b b  . n 1 n n 1 n 5 n - Xét trường hợp bn 1.bn 0 hay bn 1, bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.   . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): 3(2b b ) b dẫn đến b . n 1 n n 1 n n 1 5 n 1 5  Mà từ (1) ta có 3b 5b b  . n n 1 5 n 5 1  . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): (b b ) b dẫn đến b  . n 1 n 2 n 1 n 2 n 5 n Tóm lại luôn có bn  , hay lim(bn ) 0 . Vậy lim(an ) 2 . 2015 un 2un 4 Bài 16. Cho dãy (un ) xác định như sau: u1 = 3 và un 1 2014 , n 1,2,3 Với mỗi số nguyên un un 6 n 1 dương n , đặt vn . Tìm lim vn .  2014 n i 1 ui 4 Hướng dẫn giải 2015 un 2un 4 (un 2)(un 4) Đặt 2014 ta có un 1 2 2014 2 , (*) . un un 6 (un 4) (un 2) Bằng quy nạp ta chứng minh được un 3, n 1. 1 2 un 2un 4 (un 2) Xét un 1 un un 0, un 3. un un 6 un un 6 Do đó (un ) là dãy tăng và 3 u1 u2 L un L. a 1 a 4 Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra lim un a , a 3. Khi đó ta có a a 2 3(vô lí), suy ra n a a 6 (un ) không bị chặn trên. Vậy lim un . n 1 1 1 1 1 1 Từ (*) suy ra , hay . un 1 2 un 2 un 4 un 4 un 2 un 1 2 n 1 n 1 1 1 v L 1 . n  2014  i 1 ui 4 i 1 ui 2 ui 1 2 un 1 2 1 Vậy lim vn lim (1 ) 1. n n un 1 2
13. u1 3 Bài 17. Cho dãy số u được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy u có n 3 n un 1 3un 1 2 un , n 1 giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải u1 3 Dãy số u được xác định bởi . n 3 un 1 3un 1 2 un , n 1 Ta chứng minh un 2, n 1. Thật vậy ta có u1 3 2 . 3 Giả sử uk 2, k 1, khi đó uk 1 3uk 1 2 uk 2 2 2 nên. 3 2 uk 1 3uk 1 2 0 uk 1 1 uk 1 2 0 uk 1 2 . Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un 2, n 1. Xét hàm số f t t3 3t trên khoảng 2, . Ta có f ' t 3t 2 3 0, t 2. Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 2, . 3 3 Mặt khác ta có u1 3u1 18 5 u2 3u2 f u1 f u2 u1 u2 . 3 3 Giả sử uk uk 1 k 1 2 uk 2 uk 1 uk 1 3uk 1 uk 2 3uk 2 . f uk 1 f uk 2 uk 1 uk 2 . Do đó un un 1, n 1 Dãy un là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy un có giới hạn hữu hạn. 3 Giả sử limun a a 2 . Từ hệ thức truy hồi un 1 3un 1 2 un chuyển qua giới hạn ta được:. 2 a3 3a 2 a a3 3a 2 a a 2 a5 2a4 2a3 4a2 a 1 0 . a 2 a2 a3 4 2a3 a 1 a 1 0 a 2 a 2 . Vậy limun 2 . 2 * Bài 18. Cho dãy số xn thỏa mãn: x1 2015 và xn 1 xn . xn 1 n N (*). n 1 Tìm: lim  . i 1 xi 1 Hướng dẫn giải * * Ta có: xn 0 n N .
14. 2 xn 1 * Và: xn 1 0 n N xn là dãy số tăng. xn * Đặt un xn . * * un xác định vì xn 0 n N và un 0 n N . 2 un 1 xn 1 xn 1 un 1 . Nên từ giả thiết (*) ta có:. 2 2 2 2 un 1 un . un 1 un . un 1 . 2 * un 1 un un n N (1). * Xét dãy số un ta có:. 2 * . un 1 un un 0 n N un tăng. . Giả sử un có giới hạn là a . Từ (1) ta có:. a a2 a a 0 (loại). un tăng và không bị chặn limun . * Ta có:. 1 u2 u u u u 1 1 n n 1 n n 1 n . 2 2 un 1 un 1 un un un .un un 1.un un un 1 n 1 1 1  . i1 1 ui 1 u1 un 1 n 1 1 1 1 lim  lim . i 1 ui 1 u1 un 1 2015 n 1 1 Vậy: lim  . . i 1 xi 1 2015 u1 5 Bài 19. Cho dãy số un ; (n = 1; 2;.) được xác định bởi: . Chứng minh dãy số un có un 1 un 12 giới hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:. a 0 a a 12 a 4 . 2 a a 12 Nhận xét u1 5. u2 u1 12 17 u1 .
15. u3 u2 12 17 12 u2 . Ta dự đoán dãy số un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un 4 . Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un 4 . khi n 1, u1 5 4 vậy n 1 đúng. Giả sử uk 4 , ta chứng minh:uk 1 4 . Thật vậy ta có:. 2 2 2 uk 1 uk 12 0 uk 1 uk 12 uk 1 12 uk 4 uk 1 16 uk 1 4 . Vậy dãy số un bị chặn dưới. Ta chứng minh dãy số un là dãy số giảm. Ta có:. 2 un un 12 (un 4)(un 3) un 1 un un 12 un un 1 un 0 (vì un 4 ). un 12 un un 12 un Vậy dãy số un giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn. Đặt limun a thì limun 1 a Ta có:. un 1 un 12 limun 1 lim un 12 a a 12 a 4 . Vậy limun 4 Bài 20. Cho dãy số xn được xác định bởi. x1 2,1 x 2 x2 8x 4 . x n n n * ,n 1,2, n 1 2 n 1 y Với mỗi số nguyên dương n, đặt n  2 . Tìm lim yn . i 1 xi 4 Hướng dẫn giải Ta có kết quả sau: với số thực a 2 bất kì, ta có. a 2 a 2 8a 4 a 2 a 2 4a 4 a 2 a 2 a . 2 2 2 Do đó 2,1 x1 x2 xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2 . Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình. x 2 x 2 8x 4 x x 2 4 x 3 x 2 . 2
16. phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2. Suy ra dãy xn tăng và không bị chặn trên nên lim xn . x 2 x 2 8x 4 Ta có x n n n 2x x 2 x 2 8x 4 . n 1 2 n 1 n n n 2 2 2 2xn 1 xn 2 xn 8xn 4 xn 2 4 xn 3 xn 2 . 1 x 3 x 2 1 1 1 n n . 2 2 2 xn 2 xn 1 4 xn 1 4 xn 1 2 xn 1 4 1 1 1 . 2 xn 1 4 xn 2 xn 1 2 n 1 1 1 1 Suy ra y 10 . n  2 i 1 xi 4 x1 2 xn 1 2 xn 1 2 Vậy lim yn 10 . 2 Bài 21. Cho dãy số xn được xác định bởi x1 2016, xn 1 xn xn 1,n 1,2,3, a)Chứng minh rằng xn tăng và lim xn . 1 1 1 b)Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn 2016 . Tính lim yn . . x1 x2 xn Hướng dẫn giải x x x2 2x 1 x 1 2 0 x x ,n 1. x a)Ta có n 1 n n n n n 1 n Do đó n tăng. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn n 1,n 1 (1). Thật vậy, (1) đúng với n 1.Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì. 2 xn 1 xn xn 1 1 n n 1 1 n n 1 n 2. Vậy (1) đúng với mọi n. Từ xn tăng ngặt và xn n 1,n 1 suy ra lim xn 1 1 1 1 b)Ta có xn 1 1 xn xn 1 . Suy ra . xn 1 1 xn xn 1 xn 1 xn 1 1 1 Từ đó x x 1 x 1 n n n 1 . 1 1 1 1 1 1 1 yn 2016 2016 2016 x x x x 1 x 1 2015 x 1 1 2 n 1 n 1 n 1 . 1 2016 Từ lim xn lim 0 . Vậy lim yn . . xn 2015
17. 1 1 1 a Bài 22. Cho dãy a : 2 2 2 . Chứng minh dãy n n n 1 an sin1 2 sin 3 sin n sin n 1 2 2 3 n n n 1 a hội tụ và tính lim n . n2 Hướng dẫn giải 1 Bổ đề 1: x sin x x x3x 0 . 6 1 1 1 1 Bổ đề 2: lim 2 3 n 0 . n 1 1 1 1 1 1 Đặt x n2 sin . Áp dụng bổ đề 1: sin k x k . n n k k k 6k 3 k 6k 1 1 1 1 2 n an 1 2 n 1 . 6 2 n 1 1 1 1 a 1 Chia các vế cho n2 : n 2 n . 2 n2 2 6n2 an 1 Cho n , và lấy giới hạn, suy ra lim 2 . n 2 . 2 n 1 un Bài 23. Cho dãy số u1 2,un 1 n 1. Tính giới hạn lim . n un 1 n Hướng dẫn giải n2 Ta chứng minh quy nạp u n 1 , n 1. n 1 n Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 . 2 k 2 k 1 Giả sử đã có u k 1, k 1. Ta chứng minh u k 2 . k 1 k k 2 k 1 2 (k 1)2 k 1 Thật vậy: uk k 1 uk 1 . uk 1 k 2 2 k 2 (k 1)2 k 1 1 u u k 2 k 2 k k 1 k 1 u 1 k 2 k 2 k 1 k 1 k 1 2 n un Vậy ta có un n 1, n 1 lim 1. n 1 n n
18. x1 Bài 24. Cho 2 và dãy số x với: . n 2 n 3 * 2x n 1 3x n n N n * a) Chứng minh: x n 1 với n N . b) Chứng minh dãy số x n có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Ta chứng minh x n 1 với n N bằng quy nạp. Ta có: x1 nên x1 1. * Giả sử: x k 1 với k N . n 1 n 3 Ta có: 3x 2 3 và 1 nên 3x 2 2 . Suyra: x 1. k n n n n 1 * Vậy x n 1 với n N . Ta chứng minh xn là dãy giảm bằng quy nạp. 2 Vì 2 nên 3 4 2 .Ta có x 2 x1 . n 1 Giả sử: x x . Ta có: 3 x 2 3x 2 và f n = là hàm nghịch biến nên:. k 1 k k 1 k n k 4 k 3 3x 2 3x 2 . k 1 k 1 k k Suy ra: x k 2 x k 1 . Vậy xn là dãy giảm. xn lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ. x1 1 2 * * Đặt lim x n .Ta có 2 3 1 1. xn 3x 4 (n N ) un un x2n 1 n N . x n n 1 xn 1 Vậy lim x n 1. u1 2011 Bài 25. Cho dãy số un được xác định: . 2n u 2n u 1 , n N * n 1 n Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 Ta có 2n u 2n.u 1 u u . n 1 n n 1 n 2n 1–n Chứng minh : un 2 (bằng quy nạp). 0 *với n 1 ta có u1 2011 2 .
19. 1–k *Giả sử uk 2 (với k 1 ). –k *Cần chứng minh : uk 1 2 . k 1 k k k Ta có uk 1 uk 2 2 2 2 . Suy ra điều phải chứng minh. 1 Từ đó ta có u – 2–n 0 với mọi n u u . n n 1 n 2n 1 1 1 1 Ta có u u ; u u ; u u ; ;u u . 2 1 2 3 2 22 4 3 23 n n 1 2n 1 1 1 1 1 un u1 . 2 22 23 2n 1 n 1 1 1 n 1 1 2 1 Công thức tổng quát : un 2011 . 2011 1 . 2 1 2 2 Vậy lim un 2010. u a 1 Bài 26. Cho số thực a 0;1 , xét dãy số un với: 1 2013 . u u2 u ,n  n 1 2014 n 2014 n a) Chứng minh rằng: 0 un 1,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải a) Chứng minh: 0 un 1,n  1 . n 1:u1 a 0;1 1 đúng với n=1. 1 1 Giả sử 0 u 1với k 1,k  . Ta có: 0 u2 1 0 u2 . k k 2014 k 2014 2013 2013 0 u 1 0 u . k 2014 k 2014 1 2013 0 u2 u 1 0 u 1. 2014 k 2014 k k 1 Vậy: 0 un 1,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Ta chứng minh: un là dãy tăng. 1 2013 1 n  ,u u u2 u u u u u u 2013 0 . n 1 n 2014 n 2014 n n 2014 n n n n
20. un 1 un ,n  hay un là dãy tăng.(2). Từ (1),(2) suy ra un có giới hạn hữu hạn.Giả sử un có giới hạn là a, o a 1 . 1 2013 Ta có: a a2 a a 1. Vậy limu 1. 2014 2014 n 3 u 1 2 Bài 27. Cho dãy số(un) xác định như sau: . 1 2 u u3 , n N n 1 3 n 3 a) Chứng minh rằng: 1 un 2,n  . b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 3 a) Với: n 1:u 1 đúng với n=1. 1 2 Giả sử: 1 uk 2 với k 1,k  . 1 3 8 1 2 Ta có: uk 1 2 uk uk 2 uk 2uk 4 0 uk 1 2 . 3 3 3 1 3 uk 1 1 uk 1 0 uk 1 1. 3 1 uk 1 2 . Vậy: 1 un 2,n  . 1 2 b) n  ,u u u 1 u 2 0 u u ,n  hay u là dãy giảm (2). n 1 n 3 n n n 1 n n Từ (1),(2) suy ra un có giới hạn hữu hạn. Gọi a là giới hạn của un , 1 a 2 . 1 2 Ta có a a3 a 1. Vậy limu 1. 3 3 n u2 Bài 28. Cho dãy số u xác định bởi: u 1;u n u ,n N * . Tìm giới hạn sau: n 1 n 1 2015 n u u u lim 1 2 n . n u2 u3 un 1 Hướng dẫn giải 2 un un 1 1 Từ đề bài ta có: un 1 un . Suy ra: 2015 . 2015 un 1 un un 1 u u u 1 1 1 Ta có: 1 2 k 2015 2015 1 . u2 u3 uk 1 u1 uk 1 uk 1
21. Ta có un là dãy đơn điệu tăng và u1 1. 2 Nếu lim un thì 0 . n 2015 ( vô lí vì un là dãy đơn điệu tăng và u1 1). Suy ra: lim un . n u u u Kết luận: lim 1 2 n 2015 . n u2 u3 un 1 u1 2013 * Bài 29. Cho dãy số un xác định bởi 2 n N . Chứng minh rằng dãy (un) có un 2un .un 1 2013 0 giới hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un 1 un 2013. Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n. Do đó ta có:. 2 un 1 2013 1 2013 2013 un un 1 un . 2013,n 1. 2un 1 2 un 1 un Mặt khác ta có :. 2 un 1 un 2013 1 2013 1 1 2 2 1. un 2un 2 2un 2 2 (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn. Đặt limun a . a2 2013 Ta có : a a 2013 . Vậy limu 2013 . 2a n 4 xn 9 * Bài 30. Cho dãy số xn xác định bởi: x1 4, xn 1 3 ,n ¥ . xn xn 6 a) Chứng minh rằng lim xn ;. n n 1 n y b) Với mỗi số nguyên dương , đặt n  3 . Tính lim yn . k 1 xk 3 Hướng dẫn giải 4 3 x 9 xn 3 xn 3 a) Xét x 3 n * . n 1 3 3 xn xn 6 xn 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh được xn 3,n 1.
22. 4 2 xn 9 xn 6xn 9 Xét xn 1 xn 3 xn 3 . xn xn 6 xn xn 6 2 xn 3 * xn 1 xn 3 0, n ¥ . xn xn 6 Do đó xn là dãy tăng và 4 x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a4 9 Do đó: a a 3 4 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . a3 a 6 n n 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: 3 3 . xn 1 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 1 3 n 1 n 1 1 1 Suy ra: y 1 . n  3  k 1 xk 3 k 1 xk 3 xk 1 3 xn 1 3 1 Vậy lim yn lim 1 1. xn 1 3 x 1 1 x2014 x2014 x2014 2015 1 2 n Bài 31. Cho dãy số x . Tìm giới hạn của dãy số un với un . n x x x xn 1 xn 2 3 n 1 2015 Hướng dẫn giải 2015 2015 2015 xn xn xn 1 xn xn xn 1 xn xn 1 xn 2015 2015 xn 1xn 2015xn 1xn . 1 1 x2014 1 1 x2014 n 2015 n xn xn 1 2015xn 1 xn xn 1 xn 1 . 1 Từ đó un 2015 1 . xn 1 Dễ thấy xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a2015 Do đó: a a a 0 1 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . 2015 n n 1 Vậy limun lim 2015 1 2015 . xn 1
23. x 1 1 Bài 32. Cho dãy số{x } xác định bởi 2 . Tìm giới hạn của dãy (S ) với n xn n xn 1 xn 2015 x1 x2 xn Sn . x2 x3 xn 1 Hướng dẫn giải 2 2 xn 2 xn 1 xn xn xn 1 1 xn 1 xn 2015 xn 1 xn xn 2015 2015 2015 xn 1xn xn 1xn xn 1 xn xn 1 x1 x2 xn 1 1 1 Suy ra: Sn 2015 2015 1 . x2 x3 xn 1 x1 xn 1 xn 1 Dễ thấy xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a2 Do đó: a a a 0 1 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . 2015 n n 1 Vậy limSn lim 2015 1 2015 . xn 1 n x1 1 1 Bài 33. Cho dãy số (xn ) xác định bởi . Đặt Sn .  x 2 xn 1 xn (xn 1)(xn 2)(xn 3) 1 k 1 k Tìm limSn . Hướng dẫn giải x x (x 1)(x 2)(x 3) 1 (x 2 3x )(x 2 3x 2) 1 x2 3x 1 n 1 n n n n n n n n n n . 1 1 1 n 1 1 1 1 1 Ta có Sn  . xn 2 xn 1 xn 1 1 k 1 xk 2 x1 1 xn 1 1 2 xn 1 1 2 * Dễ thấy: xn 1 xn xn 1 0,n N suy ra xn là dãy tăng và 1 x1 x2 x3 . Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . 2 Do đó: a a 3a 1 a 1 1 (vô lý). Suy ra xn không bị chặn trên. Vậy lim xn . 1 1 1 Vậy limSn lim . 2 xn 1 1 2 2016 u1 1 1 1 Bài 34. Cho dãy số (un) xác định bởi: 2015 . Đặt Sn . . . 2 u1 2 u2 2 un 2 2un 1 un 2un , n ¥ * Tính: limSn.
24. Hướng dẫn giải u u 2 1 1 1 1 1 1 2u u u 2 u n n n 1 n n n 1 2 u u u 2 u 2 u u n 1 n n n n n 1 . n 1 1 1 2015 1 Sn  . k 1 uk 2 u1 un 1 2016 un 1 * Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un 0,n N . 1 2016 Khi đó: u u u 2 0,n N * suy ra u là dãy tăng và u u u . n 1 n 2 n n 2015 1 2 3 Giả sử un bị chặn trên limun a . 2016 Do đó: 2a a2 2a a 0 (vô lý). Suy ra u không bị chặn trên. 2015 n Vậy limun . 2015 1 2015 Vậy limSn lim . 2016 un 1 2016 4 xn 9 * Bài 35. Cho dãy số xn xác định bởi: x1 4, xn 1 3 ,n ¥ . xn xn 6 a) Chứng minh rằng lim xn ;. n n 1 n y b) Với mỗi số nguyên dương , đặt n  3 . Tính lim yn . k 1 xk 3 Hướng dẫn giải 4 3 x 9 xn 3 xn 3 a) Xét x 3 n * . n 1 3 3 xn xn 6 xn 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh được xn 3,n 1. 4 2 xn 9 xn 6xn 9 Xét xn 1 xn 3 xn 3 . xn xn 6 xn xn 6 2 xn 3 * xn 1 xn 3 0, n ¥ . xn xn 6 Do đó xn là dãy tăng và 4 x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn trên lim xn a . a4 9 Do đó: a a 3 4 (vô lý). Suy ra x không bị chặn trên. Vậy lim x . a3 a 6 n n
25. 1 1 1 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: 3 3 . xn 1 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 3 xn 1 3 n 1 n 1 1 1 Suy ra: y 1 . n  3  k 1 xk 3 k 1 xk 3 xk 1 3 xn 1 3 1 Vậy lim yn lim 1 1. xn 1 3