Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Triệu Sơn 1-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có sáu chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và chữ số hàng nghìn lớn hơn 2 ? A. 720 số.B. 360 số.C. 288 số.D. 240 số. Lời giải Chọn D Gọi số có sáu chữ số cần tìm là n abcdef , trong đó sáu chữ số khác nhau từng đôi một, c 2 và f là số chẵn. Trường hợp 1: Nếu f 2 n abcde2 Có 4 cách chọn c , nên có 4.4! 96 số. Trường hợp 2: Nếu f 4 n abcde4 Có 3 cách chọn c , nên có 3.4! 72 số. Trường hợp 3: Nếu f 6 n abcde6 Có 3 cách chọn c , nên có 3.4! 72 số. Vậy số các số cần tìm là 96 72 72 240 số. n 2 1 Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Trong khai triển 3x biết hệ x 3 4 5 số của x là 3 Cn . Giá trị n có thể nhận là A. 9 .B. 12. C.15 .D. 16 . Lời giải Chọn A n n k n 2 1 k 2 n k 1 k n k 2n 3k Ta có 3x Cn 3x Cn 3 x . x k 0 x k 0 2n 3k 3 3 4 5 k 5 Biết hệ số của x là 3 Cn nên n k 4 . n 9 0 k n, k,n N Vậy n 9 . Câu 3: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Có 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20 . Chọn ngẫu nhiên 8 tấm, tính xác suất để chọn được 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có 2 tấm mang số chia hết cho 4 , kết quả gần đúng là A. 12 % .B. 23 % .C. 3 % .D. 2 % . Lời giải Chọn D Trong 20 tấm thẻ có 10 số lẻ, 10 số chẵn và 5 số chia hết cho 4 . 8 Số phần tử của không gian mẫu: n  C20 . Gọi A là biến cố chọn được 8 tấm thẻ thỏa đề bài. Số cách chọn 8 tấm thẻ trong đó có 5 tấm mang số lẻ, 3 tấm mang số chẵn trong đó ít nhất có 2 tấm 5 2 1 5 3 mang số chia hết cho 4 là: n A C10.C5 .C5 C10.C5 . 5 2 1 5 3 n A C10.C5 .C5 C10.C5 90 Xác suất cần tìm: P A 8 0,02 . n  C20 4199
2. Câu 4: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu, tính xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện. 188 1009 245 136 A. . B. . C. . D. . 273 1365 273 195 Lời giải Chọn A Cách 1: 4 Không gian mẫu: n  C15 . Tính biến cố bù như sau: Xét số cách chọn 4 đỉnh không tạo thành tứ diện. Có 2 trường hợp: + TH1: Chọn 3 điểm thẳng hàng, có 25 cách. Chọn điểm còn lại, có 12 cách. Vậy có 25.12=300 cách. + TH2: Chọn 4 điểm thuộc 1 mặt mà không có 3 điểm nào thẳng hàng. - Có 10 mặt chứa 7 điểm: Mỗi mặt 11 cách chọn. Suy ra có 110 cách. - Có 15 mặt chứa 5 điểm, mỗi mặt 1 cách chọn. Suy ra có 15 cách. Tổng: 300 + 110 + 15 = 425 cách. 425 188 Vậy, xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là: 1 4 . C15 273 Cách 2: 4 Không gian mẫu: n  C15 . Tính biến cố bù như sau: Xét các bộ bốn điểm cùng nằm trên một mặt phẳng gồm các bộ thuộc các mặt phẳng sau: Câu 5: Mặt phẳng chứa 1 cạnh và trung điểm của cạnh đối diện, suy ra có 7 điểm thuộc mặt phẳng loại 4 này. Có C7 bộ mỗi mặt và 6 mặt như vậy. 6C 4 Vậy có 7 (bộ). Câu 6: Mặt phẳng chứa mặt của tứ diện, suy ra có 7 điểm thuộc mỗi mặt và 4 mặt loại này. 4C 4 Vậy có 7 (bộ). Câu 7: Mặt phẳng chứa 2 đường trung bình của tứ diện, suy ra có 5 điểm thuộc mặt này và 3 mặt loại này. 3C 4 Vậy có 5 (bộ). Câu 8: Mặt phẳng chứa 1 đỉnh của tứ diện và 1 đường trung bình của mặt đối diện, suy ra có 5 điểm thuộc mỗi mặt (đỉnh, 2 trung điểm, cạnh và 2 trọng tâm) và có 12 mặt loại này. 12C 4 Vậy có 5 (bộ). Vậy, xác suất để 4 điểm được chọn là bốn đỉnh của một tứ diện là: 4 4 4 4 6.C7 4C7 3C5 12C5 188 1 4 . C15 273 Câu 9: (THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017-2018) Một lớp học có 30 bạn học sinh trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 4 bạn học sinh đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất một cán sự lớp. A. 23345 .B. 9585 .C. 12455.D. 9855 .
3. Lời giải Chọn D 4 * Số cách cử 4 bạn học sinh trong 30 bạn là: C30 27405. 4 * Số cách cử 4 bạn học sinh trong 27 bạn trong đó không có cán sự lớp là: C27 17550 . * Vậy số cách cử 4 bạn học sinh trong đó có ít nhất một cán sự lớp là: 27405 17550 9855 . Câu 10: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 . Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ. Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn. 13 55 5 1 A. .B. .C. .D. . 18 56 28 56 Lời giải Chọn A Chọn ngẫu nhiên ra hai tấm thẻ từ 9 tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là 2 n  C9 36 . Gọi A là biến cố: “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn”, khi đó ta có: n A 2 10 5 A : “Tích hai số trên hai tấm thẻ là một số lẻ”, n A C5 10 P A . n  36 18 5 13 Xác suất cần tìm là P A 1 P A 1 . 18 18 Câu 11: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Từ tập hợp các số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau, chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số đó chia hết cho 9 8 8 7 8 7 5.7! 5.A8 A8 7A7 A8 4.7.A7 A. 7 .B. 8 .C. 7 .D. 7 . 9.A9 C10 9.A9 9.A9 Lời giải Chọn D Một số chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó là một số chia hết cho 9 . Từ các chữ số 0,1,2, ,9 ta chia thành 5 cặp 0,9, 1,8 , 2,7 , 3,6 , 4,5. Một số tự nhiên thoả mãn đề bài khi số đó là một hoán vị từ 4 cặp số trên. 8 TH 1: 4 cặp số không có chữ số 0 tạo được A8 số. TH 2: 4 cặp số có chữ số 0 thì có 4 cách chọn. Mỗi cách chọn 4 bộ số có chữ số 0 vừa rồi 7 có 7.A7 số thoả mãn được tạo ra. 8 7 Kết luận: Có A8 4.7.A7 số thoả mãn yêu cầu. 7 Số các số tự nhiên có 8 chữ số khác nhau là 9.A9 . 8 7 A8 4.7.A7 Vậy xác suất chọn được số thoả mãn đề bài bằng 7 . 9.A9 Câu 12: (THPT Triệu Thị Trinh-lần 1 năm 2017-2018) Tập A gồm các số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 . Lấy ngẫu nhiên một số từ tập A , tính xác suất để số lấy ra có mặt chữ số 1 và 3 . 80 10 106 25 A. .B. .C. .D. 147 21 147 49 Lời giải Chọn A Cách 1:
4. 6 5 Từ các số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 lập được A8 A7 17640 số có 6 chữ số khác nhau. Suy ra n  17640. Đặt X là biến cố “lấy được số có chữ số 1 và 3 ”. Xét các số trong A thỏa mãn điều kiện có mặt chữ số 1 và 3 . Trường hợp 1: Số có dạng 1abcde Chọn vị trí cho số 3 có 5 cách chọn. 4 Chọn 4 số trong 6 số còn lại và cho vào 4 vị trí còn lại có A6 cách. 4 Vậy có 5.A6 1800 số. 4 Trường hợp 2: Số có dạng 3abcde . Tương tự cũng có 5.A6 1800 số. Trường hợp 3: Số 1 hoặc số 3 không ở vị trí đầu tiên. 2 Có A5 cách chọn vị trí cho số 1 và số 3 . Chữ số đầu tiên khác 0 và chọn trong 0 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 nên có 5 cách chọn. 3 Chọn 3 số trong 5 số cho 3 vị trí còn lại có A5 cách. 2 3 Vậy tạo được A5 .5.A5 6000 số. 9600 80 Suy ra n X 9600 P X . 17640 147 Cách 2: 2 Chọn 2 vị trí và xếp chữ số 1 và 3 có A6 cách 4 Chọn 4 trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp có A6 cách 2 4 Theo quy tắc nhân có A6 A6 cácch xếp 2 3 Trong các số trên có 1.A5 .A5 số dạng 0abcde . 9600 80 n X A2.A4 1.A2.A3 9600 P X . 6 6 5 5 17640 147 Câu 13: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng? 4 3 7 1 A. .B. .C. .D. . 5 4 8 2 Lời giải Chọn C 1 1 Cách 1. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ nhất thắng 1 trận là ; thua 1 trận là . 2 2 A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc” Vậy A = “Người thứ nhất thắng ngay trận đầu”  “Người thứ nhất thắng sau 2 trận”  “Người thứ nhất thắng sau 3 trận” 1 1 1 1 1 1 7 P A . . . . 2 2 2 2 2 2 8 1 1 Cách 2. Hai người ngang sức nên xác suất người thứ hai thắng 1 trận là ; thua 1 trận là . 2 2 A là biến cố: “Người thứ nhất giành chiến thắng chung cuộc” A = “người thứ hai thắng chung cuộc” (tức là người thứ hai thắng liên tiếp 3 ván)
5. 1 1 1 1 7 P A . . P A 1 P A . 2 2 2 8 8 Câu 14: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên A có bốn chữ số. Gọi N là số thỏa mãn 3N A. Xác suất để N là một số tự nhiên bằng: 1 1 1 A. .B. .C. 0 .D. . 2500 3000 4500 Lời giải Chọn D Gọi số A abcd khi đó số A có 9.10.10.10 9000 cách chọn. N N log3 A, để N là số tự nhiên thì A 3 với N là số tự nhiên. Do A là số tự nhiên có 4 chữ số nên N 7,8 có 2 trường hợp. 2 1 Xác suất để N là số tự nhiên là P 9000 4500 Câu 15: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Trong một đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X, ban quản lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu để phân tích xem trong thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay không. Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy A, B, C đều được chọn bằng 43 4 48 87 A. . B. .C. . D. . 91 91 91 91 Lời giải Chọn C 4 Số phần tử không gian mẫu là: n  C15 1365. Gọi biến cố A: “Lấy ngẫu nhiên 4 mẫu”. Số cách chọn 4 mẫu có cả 3 quầy là: Số mẫu quầy A Số mẫu quầy B Số mẫu quầy C Số cách chọn Trường hợp 1 2 1 1 2 1 1 C4 .C5.C6 Trường hợp 2 1 2 1 1 2 1 C4.C5 .C6 Trường hợp 3 1 1 2 1 1 2 C4.C5.C6 Tổng số cách 720 720 48 Xác suất cần tính là: P A . 1365 91 Câu 16: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O . Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giáC. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng: 7 2 3 4 A. .B. .C. .D. . 216 969 323 9 Lởi giải Chọn C 4 * Số cách chọn 4 đỉnh trong 20 đỉnh là C20 4845 n  . * Gọi đường chéo của đa giác đều đi qua tâm O của đường tròn là đường chéo lớn. Số đường chéo lớn của đa giác đều 20 đỉnh là 10.
6. * Hai đường chéo lớn của đa giác đều tạo thành một hình chữ nhật. Do đó số hình chữ nhật 2 được tạo thành là C10 45 . Gọi A là biến cố: 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Ta có n A 45. n A 45 3 * Vậy P A . n  4845 323 Câu 17: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn 3 2 5 2n An 2An 100 . Hệ số của x trong khai triển 1 3x bằng: 5 5 5 5 5 5 5 5 A. 3 C10 . B. 3 C12 . C. 3 C10 . D. 6 C10 . Lởi giải Chọn A Với điều kiện n ¥ *,n 3 ta có: 3 2 An 2An 100 n n 1 n 2 2n n 1 100 n3 n2 100 0 n 5 . 10 10 k k k Ta có 1 3x C10 3 x . k 0 Số hạng chứa x5 ứng với k 5 . 5 5 5 5 5 Vậy: Hệ số của x là C10. 3 3 .C10 . 1 2 2017 Câu 18: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Cho tổng S C2017 C2017 C2017 Giá trị tổng S bằng: A. 22018 . B. 22017 .C. 22017 1. D. 22016 Lởi giải Chọn C 2017 0 1 2 2 k k 2017 2017 Ta có khai triển 1 x C2017 C2017 x C2017 x C2017 x C2017 x . 2017 0 1 2 k 2017 Thay x 1 ta được 2 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 Suy ra 22017 1 S S 22017 1. Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển 1 1 2017 ta được 2017 0 1 2 k 2017 2 C2017 C2017 C2017 C2017 C2017 Suy ra S 22017 1. Câu 19: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 2 năm học 2017-2018) Từ các chữ số 0 ; 1; 2 ; 3 ; 5 ; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số3 . A. 108 số. B. 228 số. C. 36 số. D. 144 số. Lởi giải Chọn A Gọi a1a2a3a4 là số cần tìm. Trường hợp 1: a4 3 2 Chọn a1 có 4 cách. Chọn a2 , a3 có A4 cách. Trường hợp 2: a1 3 2 Chọn a4 có 2 cách. Chọn a2 , a3 có A4 cách. Trường hợp 3: a1 3 , a4 3 Chọn a4 có 2 cách. Chọn a1 có 3 cách. Đưa số 3 vào 2 cách. Chọn vị trí còn lại 3 cách. 2 2 Vậy tất cả có: 4.A4 2.A4 2.3.2.3 108 số.
7. Câu 20: (THPT Chuyên ĐHSP-Hà Nội-lần 1 năm 2017-2018) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị n 1 thức Niu-tơn x x biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128. 3 x A. 35 .B. 38 .C. 37 .D. 36 . Lời giải Chọn A n k 1 n n k 1 Ta có x x C k x x . 3  n 3 x k 0 x n k n n Tổng các hệ số của khai triển trên bằng S Cn 1 1 2 128 n 7 . k 0 7 21 11 1 7 k Khi n 7 ta có x x C k x 2 6 . 3  7 x k 0 21 11 Lúc đó x5 ứng với k 5 k 3 . Vậy hệ số cần tìm là C3 35. 2 6 7 Câu 21: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một phương án đúng, trả lời đúng được 1,0 điểm. Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn một phương án. Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 trở lên. 436 463 436 463 A. .B. . C. .D. . 410 410 104 104 Lời giải Chọn A Số phân tử không gian mẫu n  410 . Gọi A là biến cố “thí sinh đạt từ 8,0 trở lên”. Ta có các trường hợp: 8 2 + Thí sinh đúng 8 câu, sai 2 câu có C10.3 405 (cách). 9 1 + Thí sinh đúng 9 câu, sai 1 câu có C10.3 30 (cách). 10 + Thí sinh đúng cả 10 câu có C10 1 (cách). Do đó n A 405 30 1 436 . n A 436 Vậy xác suất của biến cố A là P . n  410 Câu 22: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Tính xác suất sao cho phương trình x2 bx b 1 0 ( x là ẩn số) có nghiệm lớn hơn 3 . 1 5 2 1 A. .B. .C. .D. . 3 6 3 2 Lời giải Chọn A Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì số phần tử của không gian mẫu là 6 .
8. 2 x 1 Phương trình x bx b 1 0 x 1 x 1 b 0 . x b 1 Để phương trình có nghiệm x 3 thì b 1 3 b 4 . Vậy b 5;6. 2 1 Xác suất cần tính là P . 6 3 Câu 23: (SGD Ninh Bình năm 2017-2018) Có bao nhiêu số có 10 chữ số được tạo thành từ các chữ số 1, 2 , 3 sao cho bất kì 2 chữ số nào đứng cạnh nhau cũng hơn kém nhau 1 đơn vị? A. 32 .B. 16. C. 80 .D. 64 . Lời giải Chọn D Gọi số tự nhiên cần tìm có dạng a1a2a3 a10 Bước 1: Xếp số 2 ở vị trí lẻ a1 , a3 , , a9 hoặc vị trí chẵn a2 , a2 , , a10 có 2 cách. Bước 2: Xếp các số 1 hoặc 3 vào các vị trí còn lại có 25 cách. Theo quy tắc nhân ta có 2.25 64 cách. Câu 24: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho tập hợp A 1,2,3, ,10 . Chọn ngẫu nhiên ba số từ A . Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp. 7 7 7 7 A. P .B. P .C. P .D. P . 90 24 10 15 Lời giải Chọn D 3 Số phần tử không gian mẫu là n  C10 120 . Gọi B là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”. B là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”. + Bộ ba số dạng 1,2,a1 , với a1 A \ 1,2: có 8 bộ ba số. + Bộ ba số có dạng 2,3,a2 , với a2 A \ 1,2,3 : có 7 bộ ba số. + Tương tự mỗi bộ ba số dạng 3,4,a3 , 4,5,a4 , 5,6,a5 , 6,7,a6 , 7,8,a7 , 8,9,a8 , 9,10,a9 đều có 7 bộ. n B 8 8.7 64 . 64 7 P B 1 P B 1 . 120 15 Câu 25: (THPT Chuyên ĐH KHTN-Hà Nội năm 2017-2018) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 0 n 1 1 n 2 2 n n 10 n 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2048 . Hệ số của x trong khai triển x 2 là: A. 11264.B. 22 .C. 220 .D. 24 . Lời giải Chọn B n n 0 n 1 1 n 2 2 n n Ta có 3 1 3 Cn 3 Cn 3 Cn 1 Cn 2n 2048 2n 211 n 11. 11 11 k 11 k k Xét khai triển x 2 C11x .2 k 0 Tìm hệ số của x10 tìm k ¥ k 11 thỏa mãn 11 k 10 k 1.
9. 10 11 1 Vậy hệ số của x trong khai triển x 2 là C11.2 22 . Câu 26: (THPT Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 5,6,7,8,9. Tính tổng tất cả các số thuộc tâp S. A. 9333420. B. 46666200. C. 9333240. D. 46666240. Hướng dẫn giải Chọn C Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 5,6,7,8,9 là 5! 120 số. Vì vai trò các chữ số như nhau nên mỗi chữ số 5,6,7,8,9 xuất hiện ở hàng đơn vị là 4! 24 lần. Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 24 5 6 7 8 9 840 . Tương tự thì mỗi lần xuất hiện ở các hàng chục, trăm, nghìn, chục nghìn của mỗi chữ số là 24 lần. Vậy tổng các số thuộc tập S là 840 1 10 102 103 104 9333240 . Câu 27: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 0 1 2 n 2Cn 5Cn 8Cn 3n 2 Cn 1600 . A. n 5.B. n 7 .C. n 10 .D. n 8 . Lời giải Chọn B 0 1 2 n 1 2 n 0 1 2 n Ta có 2Cn 5Cn 8Cn 3n 2 Cn 3 Cn 2Cn nCn 2 Cn Cn Cn Cn . 0 1 2 n n Mặt khác Cn Cn Cn Cn 2 . n! n 1 ! Cách 1: Ta có kC k k. n. nC k 1 . n n k !k! n k ! k 1 ! n 1 1 2 n 0 1 n 1 0 1 n 1 n 1 Khi đó Cn 2Cn nCn nCn 1 nCn 1 nCn 1 n Cn 1 Cn 1 Cn 1 n2 . n 0 1 2 2 3 3 n n Cách 2: 1 x Cn Cn x Cn x Cn x Cn x 1 . n 1 1 2 2 3 n 1 n Đạo hàm hai vế của 1 ta được n 1 x Cn 2xCn 3x Cn nx Cn n 1 1 2 3 n Khi đó với x 1, ta có n2 Cn 2Cn 3Cn nCn 0 1 2 n n 1 n n 1 Do đó 2Cn 5Cn 8Cn 3n 2 Cn 3n.2 2.2 3n 4 .2 . Theo giả thiết ta có 3n 4 .2n 1 1600 n 7 . Câu 28: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . 99 8 3 99 A. .B. .C. .D. . 667 11 11 167 Lời giải Chọn A 10 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C30 . Gọi A là biến cố thỏa mãn bài toán.
10. 5 Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ, có C15 cách. 1 Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 , có C3 cách. 4 Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 , có C12 . 5 1 4 C15.C3.C12 99 Vậy P A 10 . C30 667 Câu 29: (THPT Chuyên Lê Quý Đôn-Đà Nẵng năm 2017-2018) Cho số nguyên dương n , tính tổng n C1 2C2 3C3 1 nCn S n n n n . 2.3 3.4 4.5 n 1 n 2 n 2n n 2n A. S .B. S .C. S .D. S . n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 Lời giải Chọn A Với k , n ¥ , 0 k n , n 0 ta có: 1 n! n 1 ! 1 Ck Ck 1 . k 1 n k 1 k! n k ! n 1 k 1 ! n k ! n 1 n 1 Áp dụng ta có: k k k k k 1 k 2 k.Cn Cn 2 Cn Cn Cn 1 Cn 2 1 2 2. . k 1 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 2 n 1 n 1 n 2 n 2 3 4 n n 1 2 C3 C4 1 Cn 2 C C C 1 C n 2 n 2 n 2 Suy ra S n 1 n 1 n 1 n 1 . n 1 n 1 n 2 n n Ta có C2 1 Cn 1 C0 C1 C2 1 Cn 1 +C0 C1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 n 1 n . 3 4 n n 2 Cn 2 Cn 2 1 Cn 2 C0 C1 C2 C3 C4 1 n Cn 2 C0 C1 C2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 2 n 1 n 1 n 2 n n 1 1 1 n 2 . 2 2 1 2 n2 n n Vậy S n . . n 1 n 1 n 2 2 n 1 n 2 Phương pháp trắc nghiệm 1 Thử với n 1, ta được S . 6 1 2 1 1 Thử các phương án: phương án A: S ; phương án B: S ; phương án C: S ; phương 6 6 3 6 2 1 án D: S chọn phương án A. 6 3 Câu 30: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Tô màu các cạnh của hình vuông ABCD bởi 6 màu khác nhau sao cho mỗi cạnh được tô bởi một màu và hai cạnh kề nhau thì tô bởi hai màu khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tô?
11. A. 360 .B. 480 .C. 600 .D. 630 . Lời giải Chọn D Trường hợp 1: Tô cạnh AB và CD khác màu: Số cách tô cạnh AB : 6 cách. Số cách tô cạnh BC : 5 cách (tô khác màu với cạnh AB ). Số cách tô cạnh CD : 4 cách (tô khác màu với các cạnh AB và BC ). Số cách tô cạnh AD : 4 cách (tô khác màu với các cạnh AB và CD ). Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.4.4 480 cách tô cạnh AB và CD khác màu. Trường hợp 2: Tô cạnh AB và CD cùng màu: Số cách tô cạnh AB : 6 cách. Số cách tô cạnh BC : 5 cách (tô khác màu với cạnh AB ). Số cách tô cạnh CD : 1 cách (tô cùng màu với cạnh AB ). Số cách tô cạnh AD : 5 cách (tô khác màu với cạnh AB ). Theo quy tắc nhân ta có: 6.5.1.5 150 cách tô cạnh AB và CD cùng màu. Vậy số cách tô màu thỏa đề bài là: 480 150 630 cách. Câu 31: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Có mười cái ghế (mỗi ghế chỉ ngồi được một người) được sắp trên một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ngồi vào, mỗi học sinh ngồi đúng một ghế. Tính xác suất sao cho không có hai ghế trống nào kề nhau. A. 0,25 .B. 0,46 .C. 0,6 4 .D. 0,4 6 . Lời giải Chọn D 7 Số phần tử của không gian mẫu là: n  A10 604800 . Gọi A là biến cố: “Xếp ngẫu nhiên 7 học sinh ngồi vào mười cái ghế sao cho không có hai ghế trống nào kề nhau”. Sắp 7 ghế trống và đặt 7 học sinh vào có 7! cách. 3 Giữa 7 học sinh có 8 khoảng trống ta chọn ra 3 chỗ đặt 3 cái ghế còn lại vào có C8 . 3 Khi đó n A 7!C8 282240. n A 282240 7 Vậy xác suất của biến cố A là: P A 0,4 6 . n  604800 15 Câu 32: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Tìm số hạng thứ 4 trong khai triển a 2x 20 theo lũy thừa tăng dần của x ? 3 3 17 3 3 3 17 3 3 3 17 3 3 17 A. C20 2 a x .B. C20 2 a x .C. C20 2 a .D. C20 2 a . Lời giải Chọn D 20 20 Khai triển theo lũy thừa tăng dần của x : a 2x 20  2x k .a20 k  2 k .a20 k xk k 0 k 0 3 3 17 3 số hạng thứ 4 trong khai triển: T3 C20 2 a x . Câu 33: (THPT Chuyên Quốc Học-Huế năm 2017-2018) Bé Minh có một bảng hình chữ nhật gồm 6 hình vuông đơn vị, cố định không xoay như hình vẽ. Bé muốn dùng 3 màu để tô tất cả các cạnh của các hình vuông đơn vị, mỗi cạnh tô một lần sao cho mỗi hình vuông đơn vị được tô bởi
12. đúng 2 màu, trong đó mỗi màu tô đúng 2 cạnh. Hỏi bé Minh có tất cả bao nhiêu cách tô màu bảng ? A. 4374 . B. 139968.C. 576 .D. 15552. Lời giải Chọn D Tô màu theo nguyên tắc: Tô 1 ô vuông 4 cạnh: chọn 2 trong 3 màu, ứng với 2 màu được chọn có 6 cách tô. Do đó, có 2 6.C3 cách tô. Tô 3 ô vuông 3 cạnh (có một cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 3 cách tô màu 1 trong 3 cạnh theo màu của cạnh đã tô trước đó, chọn 1 trong 2 màu còn lại tô 2 cạnh còn lại, có 1 3 3.C2 6 cách tô. Do đó có 6 cách tô. Tô 2 ô vuông 2 cạnh (có 2 cạnh đã được tô trước đó): ứng với 1 ô vuông có 2 cách tô màu 2 cạnh (2 cạnh tô trước cùng màu hay khác nhau không ảnh hưởng số cách tô). Do đó có 22 cách tô. 2 3 Vậy có: 6.C3 .6 .4 15552 cách tô. Câu 34: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Gọi A là tập các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo ra từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 . Từ A chọn ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số được chọn có chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau. 4 4 8 2 A. .B. .C. .D. . 25 15 25 15 Hướng dẫn giải Chọn C Số phần tử của không gian mẫu: n  5.5! 600 . Gọi số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và có chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau là abcde . Ta coi cặp 3,4 là phần tử kép, khi đó chỉ có 5 phần tử 0 , 1, 2 , 3,4 , 5 . Số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và có chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau (kể cả số 0 đứng đầu) là: 2.5! 240 số. Số các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau và có chữ số 3 và 4 đứng cạnh nhau (có số 0 đứng đầu) là: 2.4! 48 số. Gọi B là biến cố cần tính xác suất, suy ra n B 240 48 192 . 192 8 Vậy P B . 600 25 Câu 35: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 3 năm 2017-2018) Cho đa giác đều 100 nội tiếp một đường tròn. Số tam giác từ được tạo thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là: A. 44100 .B. 78400 .C. 117600.D. 58800 .
13. Hướng dẫn giải Chọn C 2 Xét đường kính A1 A51 của đường tròn ngoại tiếp đa giác. Với điểm A1 có 2.C49 cách chọn hai đỉnh thuộc cùng nửa đường tròn đường kính A1 A51 để tạo thành tam giác tù có góc A1 . Như vậy 2 có 100.2.C49 tam giác, trong đó mỗi tam giác bị đếm hai lần. 2 Vậy số tam giác tù là 100.C49 117600 . Câu 36: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Số 6303268125 có bao nhiêu ước số nguyên ? A. 420. B. 630. C. 240. D. 720. Lời giải Chọn D Ta có 6303268125 54.35.73.112 . Do đó 6303268125 có 2. 4 1 . 5 1 . 3 1 . 2 1 720 ước số nguyên. Câu 37: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Từ các chữ số 0 , 1, 2 , 3 , 5 , 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3 . A. 36 số.B. 108số.C. 228 số.D. 144số. Lời giải Chọn B Gọi số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau là abcd . Do số cần lập là số lẻ và phải có mặt chữ số 3 nên ta có các trường hợp. TH1: a 3 khi đó số có dạng 3bcd . Có 2 cách chọn d . Có 4 cách chọn a . Có 3 cách chọn c . Theo quy tắc nhân có 1.4.3.2 24 (số). TH2: b 3 khi đó số có dạng a3cd . Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do a 0 ). Có 3 cách chọn c . Theo quy tắc nhân có 3.1.3.2 18 (số). TH3: c 3 khi đó số có dạng ab3d . Có 2 cách chọn d . Có 3 cách chọn a (do a 0 ). Có 3 cách chọn b . Theo quy tắc nhân có 3.1.3.2 18 (số). TH4: d 3 khi đó số có dạng abc3 . Có 4 cách chọn a (do a 0 ). Có 4 cách chọn b . Có 3 cách chọn c . Theo quy tắc nhân có 4.4.3.1 48 (số). Theo quy tắc cộng có 24 18 18 48 108 (số).
14. Câu 38: (THPT Hoài Ân-Hải Phòng năm 2017-2018) Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm. 20 30 30 20 20 30 30 20 20 A.1 0,25 .0,75 .B. 0,25 .0,75 .C. 0,25 .0,75 .D. 0,25 .0,75 C50 . Lời giải Chọn D Vì mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm nên để đạt được 6 điểm cần trả lời đúng 30 câu. Do mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng nên xác suất trả lời đúng 1 3 một câu hỏi là và xác suất trả lời sai một câu hỏi là . 4 4 30 20 20 Vậy xác suất thí sinh đạt được 6 điểm là 0,25 .0,75 C50 . Câu 39: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh n 2,n ¥ . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được 1 chọn tạo thành một tam giác vuông là . Tìm n 5 A. n 5.B. n 4 .C. n 10 .D. n 8 . Lời giải Chọn D Ta có một đa giác đều 2n cạnh có n đường chéo đi qua tâm. Ta lấy hai đường chéo thì tạo thành một hình chữ nhật. Mỗi một hình chữ nhật sẽ có bốn tam giác vuông. Vậy số tam giác 4.n! vuông tạo thành từ đa giác đều 2n đỉnh là 4.C 2 2n n 1 , n 2! n 2 ! 2n ! 2n. 2n 1 2n 2 Không gian mẫu là: C3 , 2n 3! 2n 3 ! 6 12n n 1 3 Xác suất là: P , 2n 2n 1 2n 2 2n 1 1 3 1 Theo bài ra thì P 15 2n 1 n 8 . 5 2n 1 5 Câu 40: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10 . 99 98 97 96 A. .B. .C. .D. . 667 667 667 667 Lời giải Chọn A 10 Số phần tử của không gian mẫu : C30 30045015. 5 Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ có : C15 . 1 4 Lấy 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10: C3C12 1 4 5 Số phần tử của biến cố cần tìm : C3C12C15 4459455 .
15. 4459455 99 Vậy xác suất cần tìm là : . 30045015 667 Câu 41: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ta lập các số tự nhiên có 6 chữ số, mà các chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số vừa lập, tính xác suất để chọn được một số có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau. 4 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 35 35 840 210 Lời giải Chọn A 6 Ta có số phần từ của không gian mẫu là n  A8 20160 . Gọi A : "Số được chọn có đúng 3 chữ số lẻ mà các chữ số lẻ xếp kề nhau". 3 Chọn 3 chữ số lẻ có A4 24 cách. Ta coi 3 chữ số lẻ này là một số a ; Sắp xếp số a vào 4 vị trí có 4 cách; 3 Còn 3 vị trí còn lại sắp xếp các chữ số chẵn có A4 24 cách; Khi đó n A 24.4.24 2304 . n A 4 Vậy xác suất cần tính là P A . n  35 Câu 42: (THPT Ninh Giang-Hải Dương năm 2017-2018) Chia ngẫu nhiên 20 chiếc kẹo giống nhau thành 4 phần quà (phần nào cũng có kẹo). Tính xác suất để mỗi phần đều có ít nhất 3 chiếc kẹo. 55 56 56 55 A. .B. . C. .D. . 969 969 323 323 Lời giải Chọn D Đặt 20 chiếc kẹo thành thành ngang, khi đó có 19 khoảng trống giữa các chiếc kẹo. Khi đó để chia 20 chiếc kẹo thành 4 phần quà thì ta đặt bất kì 3 vạch vào trong các khoảng trống đó. 3 Khi đó số phần tử của không gian mẫu là n  C19 Để chia thành 4 phần quà mà mỗi phần có ít nhất 3 chiếc kẹo ta làm như sau: + Chia mỗi phần là 2 viên kẹo. + Còn lại 12 viên kẹo. Khi đó bài toán trở thành: Có bao nhiêu cách chia 12 viên kẹo thành 4 phần quà sao cho mỗi phần có ít nhất 1 viên kẹo. Để làm bài toán này ta cũng xếp 12 viên kẹo 3 thành hàng ngang, khi đó có 11 khoảng trống. Vậy có C11 cách chia. 3 C11 55 Khi đó xác suất để chia 20 viên kẹo thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 3 . C19 323 Câu 43: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị A. 32 .B. 72 .C. .D. . 36 24 Lời giải Chọn B Gọi a1a2a3a4a5a6 là số cần tìm Ta có a6 1;3;5 và a1 a2 a3 a4 a5 a6 1
16. a1,a2 ,a3 2,3,6 a1,a2 ,a3 2,4,5  Với a6 1 thì a1 a2 a3 a4 a5 2 hoặc a4 ,a5 4,5 a4 ,a5 3,6 a1,a2 ,a3 2;4;5 a1,a2 ,a3 1,4,6  Với a6 3 thì a1 a2 a3 a4 a5 4 hoặc a4 ,a5 1,6 a4 ,a5 2,5 a1,a2 ,a3 2,3,6 a1,a2 ,a3 1,4,6  Với a6 5 thì a1 a2 a3 a4 a5 6 hoặc a4 ,a5 1,4 a4 ,a5 2,3 Mỗi trường hợp có 3!.2! 12 số thỏa mãn yêu cầu Vậy có tất cả 6.12 72 số cần tìm. Câu 44: (THPT Phan Đăng Lưu-Huế-lần 1 năm 2017-2018) Khối chóp O.ABC có OB OC a , ·AOB ·AOC 45 , B· OC 60 , OA a 2 . Khi đó thể tích khối tứ diện O.ABC bằng: a2 a3 2 a3 3 a3 A. .B. . C. .D. . 12 12 12 6 Lời giải Chọn B Cách 1: O 45 45 H C B A  Tam giác OBC có OB OC a , B· OC 60 OBC là tam giác đều BC a .  Tam giác OAC và OAB bằng nhau AB AC  Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB ta có: AB2 OA2 OB2 2.OA.OB.cos 45 AB2 a2 AB AC a . Khi đó tam giác ABC đều. a 3 OH 2 AH 2 OA2 1 Gọi H là trung điểm BC thì OH AH và cosO· HA 2 2.AH.OH 3 2 2 1 a2 2 sin O· HA S OH.AH.sin O· HA . 3 OAH 2 4
17. BC  OH Ta có BC  OAH . BC  AH 1 a3 2 V 2V V 2. .BH.S V . O.ABC B.OAH O.ABC 3 OAH O.ABC 12 Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh OA a,OB b,OC c Khối tứ diện OABC có thì · · · AOB , AOC , BOC  abc a3 2 V 1 cos2 cos2  cos2  2cos .cos .cos . OABC 6 12 Câu 45: (THPT Quãng Xương 1-Thanh Hóa năm 2017-2018) Số cách chia 8 đồ vật khác nhau cho 3 người sao cho có một người được 2 đồ vật và 2 người còn lại mỗi người được 3 đồ vật là A. 560 .B. 840 .C. 3360 .D. 1680. Lời giải Chọn D 2 Ta có: Người thứ nhất lấy 2 đồ vật có C8 cách. 3 Người thứ hai lấy 3 đồ vật từ 6 đồ vật còn lại có C6 cách. 3 Người thứ ba lấy 3 đồ vật còn lại có C3 cách. Vì vai trò lấy của cả ba người là như nhau nên hoán vị ba người lấy hai đồ vật, có 3 cách. 2 3 3 Vậy có tất cả: 3.C8 .C6 .C3 1680 cách. Câu 46: (THPT Thanh Miện 1-Hải Dương-lần 1 năm 2017-2018) Từ 1 nhóm học sinh của lớp 10A gồm 5 bạn học giỏi môn Toán, 4 bạn học giỏi môn Lý, 3 bạn học giỏi môn Hóa, 2 bạn học giỏi môn Văn (mỗi học sinh chỉ học giỏi đúng 1 môn). Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để tham gia thi hành trình tri thức. Tính xác suất để chọn được 4 học sinh sao cho có ít nhất 1 bạn học giỏi Toán và ít nhất 1 bạn học giỏi Văn. 395 415 621 1001 A. P . B. P . C. P . D. P . 1001 1001 1001 415 Lời giải Chọn B 4 Số cách chọn 4 học sinh từ 1 nhóm có 14 học sinh là: C14 1001 cách. Số cách chọn 4 học sinh gồm: 1 1 2 1 giỏi Toán, 1 giỏi Văn, 2 giỏi Lý hoặc Hóa là: C5.C2.C7 210 . 1 2 1 1 giỏi Toán, 2 giỏi Văn, 1 giỏi Lý hoặc Hóa là: C5.C2 .C7 35 . 2 1 1 2 giỏi Toán, 1 giỏi Văn, 1 giỏi Lý hoặc Hóa là: C5 .C2.C7 140 . 2 2 3 1 2 giỏi Toán, 2 giỏi Văn là: C5 .C2 10 .3 giỏi Toán, 1 giỏi Văn là: C5 .C2 20 . Số cách chọn 4 học sinh sao cho có ít nhất 1 bạn học giỏi Toán và ít nhất 1 bạn học giỏi Văn là: 210 35 140 10 20 415 . 415 Vậy xác suất cần tính là: P . 1001
18. Câu 47: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Người ta muốn chia tập hợp 16 học sinh gồm 3 học sinh lớp 12A, 5 học sinh lớp 12B và 8 học sinh lớp 12C thành hai nhóm, mỗi nhóm có 8 học sinh. Xác suất sao cho ở mỗi nhóm đều có học sinh lớp 12A và mỗi nhóm có ít nhất hai học sinh lớp 12B là: 42 84 356 56 A. .B. .C. .D. . 143 143 1287 143 Hướng dẫn giải Chọn A 8 Ta có n  C16 12870 . Số cách chia nhóm thỏa mãn bài toán là số cách chọn ra một tổ có số học sinh lớp 12A từ 1 đến 2 em, số học sinh lớp 12B là 2 em, còn lại là học sinh lớp 12C. Khi đó xảy ra các trường hợp sau: TH1: 2 học sinh 12B + 2 học sinh 12A + 4 học sinh 12C 2 2 4 Có: C5 .C3 .C8 2100 . TH2: 2 học sinh 12B + 1 học sinh 12A + 5 học sinh 12C 2 1 5 Có: C5 .C3.C8 1680 . n A 2100 1680 3780 . n A 3780 42 Vậy xác suất cần tìm là P A . n  12870 143 Câu 48: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018) Cho đa giác đều A1 A2 A3 .A30 nội tiếp trong đường tròn O . Tính số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 30 đỉnh của đa giác đó. A. 105.B. 27405 . C. 27406 . D. 106. Lời giải Chọn A Trong đa giác đều A1 A2 A3 .A30 nội tiếp trong đường tròn O cứ mỗi điểm A1 có một điểm Ai đối xứng với A1 qua O A1 Ai ta được một đường kính, tương tự với A2 , A3 , , A30 . Có tất cả 15 đường kính mà các điểm là đỉnh của đa giác đều A1 A2 A3 .A30 . Cứ hai đường kính đó 2 ta được một hình chữ nhật mà bốn điểm là các đỉnh của đa giác đều: có C15 105 hình chữ nhật tất cả. Câu 49: (THPT Xuân Trường-Nam Định năm 2017-2018)Tính tổng 1 2 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017 C2017 2 C2017 3.2 C2017 4.2 C2017 2016.2 C2017 2017.2 C2017 ta được kết quả là A. 2017 .B. 2016 .C. 2017 . D. 2016 . Lời giải Chọn C 2017 2017 2017 k 2017 k Ta có : 1 x C k . 1 .xk 1 x C k . 1 .xk  2017  2017 k 0 k 0 2016 1 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017 2017. 1 x C2017 2xC2017 3x C2017 4.2 C2017 2016.2 C2017 2017.2 C2017 Cho x 2 ta được: 1 2 2 2 3 3 4 2015 2016 2016 2017 C2017 2 C2017 3.2 C2017 4.2 C2017 2016.2 C2017 2017.2 C2017 2017 .
19. Câu 50: (THPT Lương Văn ChasnhPhus Yên năm 2017-2018) Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, thắng được 3 điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130. Hỏi có bao nhiêu trận hòa ? A. 7 .B. 8 .C. 5 .D. 6 . Lời giải Chọn C 2 Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số trận đấu là C10 45 (trận). Gọi số trận hòa là x , số không hòa là 45 x (trận). Tổng số điểm mỗi trận hòa là 2 , tổng số điểm của trận không hòa là 3 45 x . Theo đề bài ta có phương trình 2x 3 45 x 130 x 5 . Vậy có 5 trận hòa. Câu 51: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng a1a2a3a4a5a6 . Xác suất để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 a2 a3 a4 a5 a6 là: 4 4 3 5 A. p . B. p . C. p . D. p . 85 135 20 158 Lời giải Chọn B Gọi số cần lập là a1a2a3a4a5a6 . Gọi A là biến cố “số đó là tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện a1 a2 a3 a4 a5 a6 ” 5 Không gian mẫu có số phần tử là : n  6.A6 4320 (phần tử). Để viết được số thỏa mãn điều kiện a1 a2 a3 a4 a5 a6 ta có các trường hợp sau : TH1 : các số được lấy từ tập 0;1;2;3;4;5 ta có : +) Nếu a1;a2 là 0;5 thì ta có 1 cách xếp cho a1,a2 . Còn lại có : 2.2!.2! 8 cách xếp cho bốn vị trí a3;a4 ;a5;a6 . Do đó có : 1.8 8 số thỏa mãn bài toán. +) Nếu a1;a2 0;5 thì ta có : 2.2! 4 cách xếp cho a1,a2 . Còn lại có : 2.2!.2! 8 cách xếp cho bốn vị trí a3;a4 ;a5;a6 . Do đó có : 4.8 32 số thỏa mãn bài toán. TH1 có : 8 32 40 số thỏa mãn bài toán. TH2 : các số được lấy từ tập 0;2;3;4;5;6 tương tự ta có : +) Nếu a1;a2 là 0;6 thì ta có 1 cách xếp cho a1,a2 . Còn lại có : 2.2!.2! 8 cách xếp cho bốn vị trí a3;a4 ;a5;a6 . Do đó có : 1.8 8 số thỏa mãn bài toán. +) Nếu a1;a2 0;6 thì ta có : 2.2! 4 cách xếp cho a1,a2 . Còn lại có : 2.2!.2! 8 cách xếp cho bốn vị trí a3;a4 ;a5;a6 . Do đó có : 4.8 32 số thỏa mãn bài toán. TH2 có : 8 32 40 số thỏa mãn bài toán. TH3 : các số được lấy từ tập 1;2;3;4;5;6 ta có : 3!2!2!2! 48 số thỏa mãn bài toán. n  A 40 40 48 128 .
20. 128 4 Xác suất cần tìm là : P A . 4320 135 Câu 52: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Cho tập A gồm 20 phần tử. Có bao nhiêu tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn? A. 219 1.B. 220 1.C. 220 .D. 219 . Lời giải Chọn A 20 0 1 2 2 3 3 19 19 20 20 Xét khai triển 1 x C20 C20 x C20 x C20 x C20 x C20 x . 20 0 1 2 3 19 20 Khi x 1 ta có 2 C20 C20 C20 C20 C20 C20 1 0 1 2 3 19 20 Khi x 1 ta có 0 C20 C20 C20 C20 C20 C20 2 Cộng vế theo vế 1 và 2 ta được: 20 0 2 20 19 2 4 20 2 2 C20 C20 C20 2 1 C20 C20 C20 . Vậy số tập con của A khác rỗng và số phần tử là số chẵn là 219 1 phần tử. Câu 53: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Khai triển ( 5 4 7)124 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30 .B. 31.C. 32 .D. 33 . Hướng dẫn giải Chọn C 124 124 k k k 4 124 k 2 4 Ta có ( 5 7) C124. 1 .5 .7 k 0 124 k ¢ 2 Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với k 0;4;8;12; ;124. k ¢ 4 124 0 Vậy số các giá trị k là: 1 32 . 4 Câu 54: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia. Trong bài thi môn Toán bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Trong 10 câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại. Hỏi xác suất bạn đó được 9 điểm là bao nhiêu? A. 0,079 .B. 0,179 .C. 0,097 . D. 0,068. Hướng dẫn giải Chọn A 1 Bài thi có 50 câu nên mỗi câu đúng được điểm. Như vây để được 9 điểm, thí sinh này phải 5 trả lời đúng thêm 5 câu nữa. Trong 10 câu còn lại chia làm 2 nhóm:
21. + Nhóm A là 3 câu đã loại trừ được một đáp án chắc chắn sai. Nên xác suất chọn được phương 1 2 án trả lời đúng là , xác suất chọn được phương án trả lời sai là . 3 3 1 + Nhóm B là 7 câu còn lại, xác suất chọn được phương án trả lời đúng là , xác suất chọn 4 3 được phương án trả lời sai là . 4 Ta có các trường hợp sau: - TH1 : có 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 3 2 5 1 2 1 3 189 - Xác suất là P1 .C7 . . . 3 4 4 16384 - TH2 : có 2 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 3 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 2 3 4 2 1 2 3 1 3 315 - Xác suất là P2 C3 . .C7 . . . 3 3 4 4 8192 - TH3 : có 1 câu trả lời đúng thuộc nhóm A và 4 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 2 4 3 1 1 2 4 1 3 105 - Xác suất là P3 C3. . .C7 . . . 3 3 4 4 4096 - TH4 : không có câu trả lời đúng nào thuộc nhóm A và 5 câu trả lời đúng thuộc nhóm B. 3 5 2 2 5 1 3 7 - Xác suất là P4 .C7 . . . 3 4 4 2048 1295 Vậy xác suất cần tìm là : P P P P P 0.079 . 1 2 3 4 16384 Câu 55: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Từ các chữ số 2 , 3 , 4 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt 2 lần, chữ số 3 có mặt 3 lần, chữ số 4 có mặt 4 lần? A. 1260.B. 40320 .C. 120.D. 1728. Lời giải Chọn A Cách 1: dùng tổ hợp 2 Chọn vị trí cho 2 chữ số 2 có C9 cách. 3 Chọn vị trí cho 3 chữ số 3 có C7 cách. 4 Chọn vị trí cho 4 chữ số 4 có C4 cách. 2 3 4 Vậy số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là C9 C7 C4 1260 số. Cách 2: dùng hoán vị lặp 9! Số các số tự nhiên thỏa yêu cầu bài toán là 1260 số. 2!3!4! 10 Câu 56: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Tìm hệ số của x7 trong khai triển f x 1 3x 2x3 thành đa thức. A. 204120 .B. 262440 .C. 4320 .D. 62640 . Lời giải Chọn D 10 10 10 k 3 10 k 10 k 3 k k i i 3 k f x 1 3x 2x C10 1 3x . 2x   C10C10 k 3x . 2x . k 0 k 0 i 0
22. 10 10 k k i i k i 3k   C10C10 k 3 .2 .x i,k ¥ ,0 k 10,0 i 10 k . k 0 i 0 Số hạng chứa x7 ứng với i 3k 7 . i 1 2 3 4 5 6 7 k 2 5 4 1 2 1 0 3 3 3 3 T/m Không t/m Không t/m T/m Không t/m Không t/m T/m 7 2 1 2 1 4 4 0 7 7 Vậy hệ số của x là: C10.C8. 3 .2 C10.C9 . 3 .2 C10.C10. 3 62640 . Câu 57: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Có bao nhiêu số tự nhiên có 30 chữ số, sao cho trong mỗi số chỉ có mặt hai chữ số 0 và 1, đồng thời số chữ số 1 có mặt trong số tự nhiên đố luôn là một số lẻ? A. 227 .B. 229 .C. 228 .D. 3.227 . Lời giải Chọn C Giả sử số cần lập có dạng a1a2 a30 , với ai 0;1 , i 1,2, ,30 và a1 1. Do a1 1 nên số chữ số 1 trong 29 số còn lại phải là một số chẵn. Gọi k là số chữ số 1 trong 29 số còn lại thì bài toán trở thành đếm số cách sắp xếp k chữ số 1 k này vào 29 vị trí nên có C29 cách. 0 2 28 Vậy có S C29 C29 C29 số thỏa mãn. 0 1 29 29 S T C29 C29 C29 2 Đặt T C1 C3 C 29 thì nên S T 228 . 29 29 29 0 1 29 29 S T C29 C29 C29 1 1 0 Ta có f x 4x3 4x 4x x2 1 . Để f x 0 x 0 . Câu 58: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9 . Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác suất “có ít nhất một thẻ ghi số chia 5 hết cho 4 ” phải lớn hơn . 6 A. 7 .B. 6 .C. 5 .D. 4 . Lời giải Chọn B x x Giả sử rút x 1 x 9; x ¥ thẻ, số cách chọn x thẻ từ 9 thẻ trong hộp là C9 n  C9 . Gọi A là biến cố: “Trong số x thẻ rút ra, có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 ” x x x C7 C7 n A C7 . Ta có P A x P A 1 x . C9 C9 x 5 C7 5 2 Do đó P A 1 x x 17x 60 0 5 x 12 6 x 7 . 6 C9 6 Vậy số thẻ ít nhất phải rút là 6 .