Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 1 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 1 - Ngô Tùng Hiếu

1. BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 a b c 1 1 1 a b c . . b c a a b c Câu 2. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức: 2 a2b b2a a2c c2a b2c c2b 4 ab bc ca a2b2 b2c2 c2a2 . Câu 3. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng: a b c b c a c a b a2b2c2 . Câu 4. Cho a,b,c 0 và ab bc ca 1. Chứng minh rằng: 2a 2b 2c 1 1 1 2 2 2 . 1 a 1 b 1 c 1 a2 1 b2 1 c2 1 1 1 Câu 5. Cho x, y, z 0 thỏa mãn 4 . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 1. 2x y z x 2y z x y 2z Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 2 a b c 1 1 1 a b c . . b c a a b c Câu 7. CM các bất đẳng thức sau: x y z t 1/ 1 2 , với mọi x, y, z,t 0 . x y z y z t z t x t x y 2/ x2 1 sin2 y 2x sin x cos y 1 cos2 y 0 , với mọi x, y R . LG: 1/ x x x x y z t x y z x z y y y x y z t y z t y t với mọi x, y, z,t 0 . z z z x y z t z t x x z t t t x y z t t x y y t Cộng vế theo voế các bất đẳng thức trên ta có x y z t x y z t x z y t , x y z t x y z y z t z t x t x y x z y t x y z t Hay 1 2 x y z y z t z t x t x y
2. 2/ Xét tam thức bậc hai theo biến x ( xem y là tham số) f x x2 1 sin2 y 2x sin y cos y 1 cos2 y Ta có ' sin y cos y 2 1 sin2 y . 1 cos2 y 2sin y cos sy 1 sin2 y cos2 y sin y cos y 1 2 0 , với mọi y R Và hệ số của a là 1 sin2 y 0 , với mọi y R Do đó tam thức f x luôn cùng dấu vơi dấu hệ số a với mọi x R Nghĩa là x2 1 sin2 y 2x sin y cos y 1 cos2 y 0 , với mọi x R Vậy x2 1 sin2 y 2x sin y cos y 1 cos2 y 0 với mọi x, y R . Câu 8. Cho x, y, z 0 . Chứng minh bất đẳng thức: 4xy 3yz 4zx 8 . (x z)(y z) (y x)(z x) (z y)(x y) 3 Dấu đẳng thức khi nào xảy ra? LG: Coi x y z 1 (Giải thích: Do đồng bậc nên nếu x y z s ta chỉ cần đặt x y z x , y , z ). Khi đó: 1 s 1 s 1 s 4xy 3yz 4zx 8 1 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 3 8 4xy 1 z 3yz 1 x 4zx 1 y 1 x 1 y 1 z 3 12xy 9yz 12zx 33xyz 8 1 x y z xy yz zx xyz 4 1 4 4xy yz 4zx 25xyz 25 (2) z x y 4 1 4 2 Áp dụng BĐT Bunhia, ta có z x y 2 1 2 hay có ngay (2). Vậy BĐT đã z x y cho được chứng minh. z x y x y z 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi (khi coi x y z 1). Tổng quát là 2 1 2 5 5 2x y z . Câu 9. Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 1 b2 1 c2 1 a2 2 1 4 9 Câu 10. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Chứng minh rằng 36 . x y z Câu 11. Chứng minh rằng nếu a c a b c 0 thì b c 2 4a a b c .
3. 2 3 1 1 1 1 a b c abc Câu 12. Chứng minh rằng . a b b c c a 2 3 abc a b b c c a LG: BĐT viết thành 2 2 3 3 c2 a2 b2 abc a b c abc đúng hiển nhiên c2 (a b) a2 (b c) b2 (c a) 2abc 3 abc a b b c c a Câu 13. 1 1 1 a b c a. Cho a,b,c 0 và 3 .Chứng minh : abc . a2 b2 c2 3 1 1 1 a b c b. Cho a,b,c 0 và 3 .Chứng minh : abc . a3 b3 c3 3 Câu 14. Cho a,b,c là ba số thực không âm và thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 1. Tìm giá trị lớn nhất 3 của biểu thức: M a b c a b c 6abc . LG: Chứng minh được: a b c 2 3 a2 b2 c2 3 Suy ra: a b c 3 và a b c 3 3 a b c 3 a b c 8 3 M 2 a b c 6abc 2 3 6 3 3 8 3 Vậy GTLN của M là 3 1 Giá trị này đạt được khi a b c . 3 Câu 15. Cho x, y, z là ba số thực không âm thỏa x2 y2 z2 3 . Tìm giá trị lớn nhất của 5 P xy yz zx . x y z Câu 16. Cho a,b,c không âm và thỏa mãn a 2 b2 c2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M a b c 3 a b c 6abc . a3 b3 b3 c3 c3 a3 Câu 17. Cho ba số thực dương a,b,c .Chứng minh: a b c b2 c2 c2 a2 a2 b2 LG: a3 b3 c3 a b c Ta chứng minh: (1) a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Sử dụng bất đẳng thức AM_GM ta có : ab2 ab2 bc2 bc2 ca2 ab2 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ab ab2 bc2 ca2 a b c Suy ra : a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 ab2 bc2 ca2 a b c Suy ra : a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Vậy ta chứng minh được (1)
4. a3 b3 c3 a b c Ta chứng minh (2) b2 c2 c2 a2 a2 b2 2 (2) đối xứng với a,b,c .Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c a2 b2 c2 Suy ra : b2 c2 a2 c2 a2 b2 a2 b2 c2 Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy a b c và b2 c2 a2 c2 a2 b2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 ta có : 3 2 2 2 2 2 2 a b c 2 2 2 2 2 2 b c c a a b b c a c a b a2 b2 c2 3 Ta lại có ( bất đẳng thức nesbitt) b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 Vậy ta chứng minh được (2) Công (1) và (2) vế theo vế ta có điều phải chứng minh 9 2 Câu 18. a. Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng: 2 a2 2 b2 2 a b 7 . 16 (2 a2 )(2 b2 )(2 c2 ) b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P . (3 a b c)2 LG: a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 14a2 14b2 16a2b2 36ab 1 0 14 a b 2 4ab 1 2 0 đúng 1 Đẳng thức xảy ra khi a b 2 b) Đặt t a b , ta có: 16P (2t 2 7)(c2 2) 9 (3 t c)2 2 2 1 2 1 2 2 2 tc 3(t 1) 6 c (2t 7)(c 2) 2 2 1 1 (3 t c)2 (3 t c)2 9 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi a b c 16 2 Câu 19. Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng: a) a2 b2 c2 a b c 1 1 1 b) 1 a b 1 b c 1 c a 1 LG: a) a2 1 2a , b2 1 2b , c2 1 2c a2 1 2a , b2 1 2b , c2 1 2c
5. Mà a b c 33 abc 3 Vậy: a2 b2 c2 a b c , đẳng thức xảy ra khi a b c 1 b) a b 3 a 3 b 3 a2 3 ab 3 b2 3 ab 3 a 3 b a b 1 3 ab 3 a 3 b 1 3 ab 3 a 3 b 3 abc 3 ab 3 a 3 b 3 c a b 1 3 ab 3 a 3 b 1 3 ab 3 a 3 b 3 abc 3 ab 3 a 3 b 3 c Tương tự: 1 1 3 abc 3 a b c 1 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c Tương tự: 1 1 3 abc 3 a b c 1 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 bc 3 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 1 1 1 3 a 3 b 3 c Vậy: 1 a b 1 b c 1 c a 1 3 a 3 b 3 c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 Câu 20. Cho a,b là các số thực dương thỏa : a2 b 5 . Chứng minh a3 b3 9 . Đẳng thức xảy ra khi nào? LG: Áp dụng AM-GM , ta có: a3 a3 8 6a2 .Suy ra a3 4 3a2 Tương tự : b3 1 1 3b . Suy ra b3 2 3b Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta có : a3 b3 6 3a2 3b Suy ra: a3 b3 9 Khi a 2,b 1 thì đẳng thức xãy ra 1 1 1 Câu 21. Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn: 1. Chứng minh rằng: abc 1 2 a 2 b 2 c LG: 1 1 1 2 2 2 Ta có : 1 1 1 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 b c bc 2 1 2 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 ac 2 ab Tương tự ta có : 2 2 , 2 3 2 b 2 a 2 c 2 c 2 a 2 b 8 abc Từ (1),( 2),(3) suy ra : 8 abc 1 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c Đẳng thức xảy ra a b c 1 Câu 22. Cho các số thực: a 0,b 0,c 0,d 0 . Chứng minh rằng: a3 b3 c3 d 3 a) a2 b2 c2 d 2 b c d a
6. a4 b4 c4 d 4 a3 b3 c3 d 3 b) b2 c2 d 2 a2 b c d a LG: a3 b3 c3 d 3 a) Cho a 0,b 0,c 0,d 0 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d 2 b c d a a3 b3 c3 d 3 ab 2a2 , bc 2b2 , cd 2c2 , da 2d 2 b c d a a3 b3 c3 d 3 Suy ra: a2 b2 c2 d 2 (a2 b2 c2 d 2 ) (ab bc cd da) b c d a Mà a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da nên bài toán được CM. a4 b4 c4 d 4 a3 b3 c3 d 3 b) Cho a 0,b 0,c 0,d 0 . Chứng minh rằng: b2 c2 d 2 a2 b c d a a4 2a3 b4 2b3 c4 2c3 d 4 2d 3 a2 , b2 , c2 , d 2 b2 b c2 c d 2 d a2 a 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c d a b c d a b c d 2 2 2 2 Suy ra: 2 2 2 2 a b c d b c d a b c d a b c d a a3 b3 c3 d 3 Do kết quả câu a): a2 b2 c2 d 2 . Suy ra kết quả cần CM. b c d a Câu 23. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x2 y2 z2 12 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P . 1 x3 1 y3 1 z3 LG Áp dụng AM – GM, ta có 2 2 1 x 1 x x2 2 x2 1 x3 1 x 1 x x2 4 4 Tương tự 1 2 1 2 2 ; 2 1 y3 2 y 1 z3 2 z Vậy 1 1 1 2 2 2 P 2 2 2 1 x3 1 y3 1 z3 2 x 2 y 2 z 18 Áp dụng Cauchy – Swarzt, ta được: P 1 x2 y2 z2 6 Dấu ‘=’ xảy ra khi x y z 2 Vậy GTNN của biểu thức là P = 1. Câu 24. Cho a, b và c là các số không âm. Chứng minh rằng: 4 4 4 4 4 4 a 2b b 2c c 2a a b c 3 3 3 LG: 4 x4 y4 z4 x y z Với x, y, z là ba số không âm. Ta có: 3 3
7. 4 4 4 a4 2b4 a 2b b4 2c4 b 2c c4 2a4 c 2a Suy ra: ; và 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 a 2b b 2c c 2a Suy ra a b c 3 3 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, Câu 25. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: a2 b2 c2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a b c thức P . b2 c2 c2 a2 a2 b2 LG Ta có: a3 1 1 3a a 3 a2 2 a 1 Suy ra a2 3 a2 2 b 1 c 1 Tương tự: b2 ; c2 3 b2 2 3 c2 2 a b c 1 3 3 Suy ra (a2 b2 c2 ) . Suy ra P 3 a2 3 b2 3 c2 2 2 2 3 P khi a b c 1 2 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2