›
›
›

Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

docx 45 trang nhungbui22 12/08/2022 2340
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_2_duong_thang_va_mat_phang_tr.docx

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

  1. CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG A. LÝ THUYẾT I. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Mặt phẳng Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng cho ta hình ảnh một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn. Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc (). Ví dụ như mặt phẳng P , Q , ,  Để biểu diễn mặt phẳng, ta thường dùng hình bình hành hoặc một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn. P P Đường thẳng và mặt phẳng là tập hợp các điểm. Do đó, - Nếu điểm A thuộc đường thẳng a , ta kí hiệu A a và đôi khi còn nói rằng đường thẳng a đi qua điểm A . - Nếu điểm A thuộc mặt phẳng , ta kí hiệu A và đôi khi còn nói rằng mặt phẳng đi qua điểm A . - Nếu đường thẳng a chứ trong mặt phẳng , ta kí hiệu a  và đôi khi còn nói rằng mặt phẳng đi qua (hoặc chứa) đường thẳng a . 2. Quy tắc để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian - Hình biểu diễn của một đường thẳng là một đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng. - Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau. Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì phải được vẽ song song và bằng nhau. Trung điểm của một đoạn thẳng phải được lấy ngay tại điểm chính giữa của đoạn thẳng đó. - Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng. - Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường bị che khuất. 3. Các tính chất thừa nhận của hình học không gian - Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. - Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Như vậy, một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bởi một trong các cách thức sau: - Mặt phẳng đó đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C . Kí hiệu là mp ABC . - Mặt phẳng đó đi qua một đường thẳng a và một điểm A không thuộc đường thẳng a . Kí hiệu: ; mp (A,a) . b B A a a a A C b mp(ABC) mp(A;a) mp(a,b) - Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b . Kí hiệu, mp a,b . - Mặt phẳng đó đi qua hai đường thẳng song song a ,b . - Tính chất 3: Trong không gian có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc bất cứ mặt phẳng nào. - Tính chất 4: Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. - Tính chất 5: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
  2. - Tính chất 6: Trong mỗi mặt phẳng của không gian, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng. 3.Vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian a) Vị trí tương đối của một đường thẳng và một mặt phẳng Cho đường thẳng d và một mặt phẳng . Có thể xãy ra các khả năng sau: d - Đường thẳng d và mặt phẳng không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói đường thẳng d song song với mặt phẳng , kí hiệu d / / . α d - Đường thẳng d và mặt phẳng có đúng một điểm chung. Trong trường hợp này ta nói ta nói đường thẳng d cắt mặt phẳng tại A , kí hiệu: d  A A α - Đường thẳng d và mặt phẳng có nhiều hơn một điểm chung.Trường hợp này ta nói đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ta kí hiệu: d  hay d α  d . b) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng phân biệt và  . Có thể xảy ra một trong các khả năng sau: α - Hai mặt phẳng và  không có điểm chung. Trong trường hợp này ta nói các mặt phẳng và  song song với nhau, kí hiệu / /  . β - Hai mặt phẳng và  có ít nhất một điểm chung. Trong trường hợp này ta α nói các mặt phẳng và  có phần chung là một đường thẳng, giả sử đường thẳng đó là d , ta kí hiệu   d . β Đường thẳng d được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng. Như vậy, việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng tương ứng với việc xác định hai điểm cùng thuộc đồng thời hai mặt phẳng phân biệt đó. Ngoài ra, nếu biết được rằng ba điểm phân biệt cùng thuộc đồng thời hai mặt phẳng thì ba điểm đó phải nằm trên một được thẳng. c) Vị trí tương đối của hai đương thẳng: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b . Có thể xảy ra một trong các khả năng sau: - Các đường thẳng a và b cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó a và b hoặc cắt nhau tại một điểm hoạc song song với nhau. - Các đương thẳng a và b không cùng nằm trong bất kì một mặt phẳng nào. Trong trường hợp này ta nói các đường thẳng a và b chéo nhau. a A b 4. Hình chóp và hình tứ diện
  3. S S cạnh bên S Mặt bên A D A1 A5 A A1 B 4 A3 cạnh đáy A C 2 Mặt đáy A3 A2 1. Hình chóp: Trong mặt phẳng , cho đa giác lồi A1A2 An .Lấy điểm S nằrm ngoài mặt phẳng . Lần lượt nối S với các đỉnh A1, A2 , , An để được n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 .Hình gồm đa giác A1, A2 , , An và n tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 và gọi là hình chóp và được kí hiệu là S.A1A2 An Ta gọi S là đỉnh, đa giác A1, A2 , , An là mặt đáy, tam giác SA1A2 ,SA2 A3 , ,SAn A1 gọi là một mặt bên của hình chóp, Các đoạn thẳng SA1,SA2 , ,SAn gọi là các cạnh bên, các cạnh của đa giác A1A2 An là các cạnh đáy của hình chóp. -Cách gọi tên: Hình chóp + tên đa giác. - Ví dụ: hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác . Lưu ý: Hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhaulaf hình chóp đa giác đều. b) tứ diện: Tứ diện ABCD là hình được thành lập từ bốn điểm không đồng phẳng A,B,C,D .Các điểm A,B,C,D là các đỉnh của tứ diện, các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC được gọi là các mặt của tứ diện đối diện với các đỉnh A, B,C, D và các đoạn thẳng AB,BC,CD,DA,CA,BD gọi là các cạnh của tứ diện . Trong đó các cặp cạnh AB và CD , AC và DB, AD và BC thường được gọi là các cặp cạnh đối của tứ diện. B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIŨA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và  ta tiến hành đi tìm hai điểm thuộc cả hai mặt phẳng và  . Lưu ý: Một điểm chung của hai mặt phẳng và  thường tìm được bằng cách: Chọn một mặt phẳng  sao cho các giao tuyến 1, 2 của và  với  có thể dựng được ngay. Giao điểm I của 1, 2 ( trong  ) là điểm chung cần tìm. Ta thường chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm đó thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. + Ta cũng có thể chứng minh bà đường thẳng đồng quy bằng cách: Cách 1: Hai trong ba đường thẳng ấy cắt nhau và lần lượt nằm trong hai mặt phẳng nhận đường thứ ba làm giao tuyến. Cách 2: Tìm một đoạn thẳng AB trên một đường thẳng nào đó. Chứng minh hai đường thẳng còn lại chia đoạn AB theo cùng một tỉ số đại số. DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . Phương pháp:
  4. + Nếu phát hiện ra một đường thẳng d trong mặt phẳng cắt tại I thì I chính là giao điểm của với mặt phẳng . + Nếu chưa phát hiện ra đường thẳng d thì ta dựng d bằng cách: Chọn một mặt phẳng  chứa sao cho giao tuyến của  và có thể dựng được ngay, giao tuyến đó chính là đường thẳng d cần tìm. Hai định lí quan trọng thường dùng: Định lí Ceva: Cho tam giác ABC . Các điểm M , N, P khác A, B,C và theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC,CA, AB . Khi đó các đường thẳng AM , BN,CP hoặc đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi MB NC PA . . 1 MC NA PB Định lí Menelaus : Cho tam giác ABC . Các điểm M , N, P khác A, B,C và theo thứ tự thuộc các đường MB NC PA thẳng BC,CA, AB . Khi đó các điểm M , N, P thẳng hàng khi và chỉ khi . . 1 . MC NA PB DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG THIẾT DIỆN Cho trước khối đa diện T và mặt phẳng . Nếu có điểm chung với T thì sẽ cắt một số mặt của T theo các đoạn thẳng. Phần mặt phẳng giới hạn bởi các đoạn đó thường là một đa giác, gọi là mặt cắt ( còn gọi là thiết diện) giữa T và . Chú ý: + Đỉnh của thiết diện là giao điểm của với các cạnh của T . Cạnh của thiết diện là các đoạn giao tuyến của với các mặt của T . Do đó thực chất của việc dựng thiết diện là bài toán dựng giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng và dựng giao tuyến giữa hai mặt phẳng. + Do mỗi cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của mặt phẳng với một mặt của T . Do đó số cạnh nhiều nhất mà thiết diện có thể có chính là số mặt của T . - Đối với hình chóp tam giác ( hoặc tứ diện), thiết diện của nó cắt bởi mặt phẳng chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác ( ở đay ta quy ước không xét các trường hợp suy biến khi thiết diện là một mặt hoặc một cạnh của hình chóp). -Đối với hình chóp tứ giác, thiết diện của nó chỉ có thể là tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác. Các bài toán liên quan đến thiết diện gồm các dạng: + Dựng thiết diện. + Xác định hình dạng thiết diện. + tính diện tích thiết diện. + Tính tỉ số thể tích hai phần do thiết diện phân chia khối thể tích đã cho ( sẽ được trình bày trong Công phá toán tập 3). Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC . Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M , N, B . a) Tìm các giao tuyến của P và SAB ; P và SBC . b) Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng P và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng (P) . c) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SCD) . Từn đó suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi (BMN) . d) Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA , DC với (P) . Chứng minh rằng E, B, F thẳng hàng. Lời giải::
  5. a) Ta có: S M SA, SA  SAB M SAB 1 Lại có M BMN 2 K Từ (1) và (2) suy ra M M SAB  BMN 3 I N A Ta có : B SAB  BMN 4 E D Từ (3) và (4) suy ra BM SAB  BMN . O Tương tự ta cũng suy ra B C BM SAB  BMN . b) Trong mặt phẳng SAC , gọi I là giao F điểm của SO với MN Ta có : I MN, MN  BMN I BMN I là giao điểm của SO với BMN . Trong mặt phẳng SBD , gọi K là giao điểm của BI với SD . Ta có : K BI, BI  BMN K BMN . Suy ra K chính là giao điểm của SD với BMN . K BMN c) Ta có : K BMN  SAD . K SAD Ta lại có : M BMN  SDC . Như vậy tứ giác BMKN là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng BMN . d) Trong mặt phẳng SAD , gọi E MK  AD . Ta có: MK  BMN nên E BMN . Vậy E chính là giao điểm của AD với BMN . Trong mặt phẳng SDC gọi F NK CD . Ta có NK  BMN nên F BMN , E BMN B BMN E BMN  ABCD , B BMN  ABCD E ABCD B ABCD Suy ra ba điểm B, E, F cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng BMN và ABCD . Do đó ba điểm B, E, F thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA sao cho MN không song song với AC . M , N, P,Q đồng phẳng khi : AM BN CP DQ BM CN CP DQ A. . . . 1 B. . . . 1 BM CN DP AQ AM BN DP AQ BM CN DP DQ AM BN DP AQ C. . . . 1 D. . . . 1. AM BN CP AQ BM CN CP DQ Đáp án A. Lời giải:. + Giả sử M , N, P,Q cùng thuộc mặt phẳng . Nếu MN cắt AC tại K thì K là điểm chung của các mặt phẳng , ABC , ADC nên PQ cũng đi qua K. Áp dụng định lí Menelaus cho các tam giác ABC, ADC ta được :
  6. AM BN CK AK CP DQ AM BN CP DQ . . 1 ; . . 1 . . . 1 BM CN AK CK DP AQ BM CN DP AQ Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC thì ví dụ trên vẫn đúng. AM BN CP DQ + Liệu trường hợp ngược lại, có . . . 1 thì M , N, P,Q có đồng phẳng hay BM CN DP AQ không ? Câu trả lời là trường hợp ngược là ví dụ vẫn đúng. Ta sẽ cùng chứng minh nhé : Trong mặt phẳng ACD , KO cắt AD tại Q thì các điểm M , N, P,Q đồng phẳng. AM BN CP AQ DQ DQ Theo ví dụ 2 ta có: . . . 1 Q  Q . Ví dụ được chứng minh. BM CN DP DQ AQ AQ + Ví dụ này có thể được mở rộng đối với các điểm M , N, P,Q bất kì trên các đường thẳng AB, BC,CD, DA như sau : AM BN CP DQ M , N, P,Q đồng phẳng khi và chỉ khi . . . 1 ( khẳng định này dôi khi còn BM CN DP AQ được gọi là định lí Menelaus mở rộng trong không gian) Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD và E là điểm thuộc mặt bên (SCD) . E, F lần lượt là trung điểm của AB, AD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG là : A. Tam giác. B. Tứ giác. C. Ngũ giác. D. Lục giác. Đáp án C. Lời giải: : Trong mặt phẳng ABCD , gọi I, H lần lượt là giao điểm của FG với BC,CD Dễ thấy thiết diện là hình lập phương bị cắt bởi mặt phẳng là ngũ giác MNGFE . Vậy đáp án đúng là C. a b) Theo cách dựng ta có E là trung điểm của BB '. Do đó B ' F BP C 'Q 2 a 2 3a 2 MB PB 1 3 3 Suy ra : PE QF EF= PQ , CN CD a. 2 2 NC PC 3 4 4 ABB ' A' / /(DCC ' D ') Do KE  ABB ' A' KE / /NG NG  (DCC ' D ') Tương tự ta có : MN / /FG 2 S 2 SPME PE 1 QGF QE 1 Do đó : , SPQN PQ 9 SQNP PQ 9 Diện tích thiết diện là : 7 SMNGFE SPNQ SPEM SQFG SPNQ . 9 Do hai tam giác vuông NCP và NCQ bằng nhau (c.g.c) nên NQ NP. Vậy tam giác NPQ cân tại N. Gọi I là trung điểm của PQ 5a 5 45a2 18a2 3a a Ta có : PN PC 2 CN 2 , NI PN 2 PI 2 . 4 16 16 4 Diện tích của NPQ bằng : 1 9a2 6 7a2 6 S NI.PQ S . NPQ 2 16 MNGFE 16
  7. Vậy đáp án đúng là B. Câu 23. Đáp án D. Trong mặt phẳng (ABCD) , dựng đường thẳng qua M , song song với BC cắt A' B ',C ' D ' theo thứ tự tại E, F . Trong mặt phẳng (A' B 'C ' D '), dựng đường thẳng qua N song song với B 'C ' cắt A' B ',C ' D ' theo BM C ' N BM C ' N thứ tự tại K, I. Ta có : . BD C ' A' BD NA' Áp dụng định lý Thales ta có : B 'K C ' N MB BE KE / /BB '. A'K A'N MD EA Từ đây sauy ra KE / /(BCC ' B ') (1). Theo cách dựng ta suy ra : EF / /(BCC ' B ') (2). EFIK / / BCC ' B ' Từ (1) và (2) MN / / BCC ' B ' . MN / / EFIK Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định, mặt phẳng đó là (BCC'B') Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. P là điểm nằm trên cạnh AP 1 SQ AB sao cho . Gọi Q là giao điểm của SC với mặt phẳng MNP . Tính AB 3 SC 1 1 1 2 A. .B. . C. .D. . 3 6 2 3 Lời giải: Đáp án A. Trong mặt phẳng ABC , gọi E NP  AC Khi đó Q chính là giao điểm của SC với EM. AP BN CE CE Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác ABC ta có: . . 1 2 PB NC EA EA AM SQ CE SQ 1 SQ 1 Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: . . 1 MS QC EA QC 2 SC 3
  8. Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi A1, B1,C1, D1 tương ứng là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Chứng minh rằng AA1, BB1,CC1, DD1 đồng quy tại điểm G và ta có: AG BG CG DG 3 AA1 BB1 CC1 DD1 4 Lời giải: Lưu ý: Điểm G được gọi là trọng tâm tứ diện ABCD MA MB 1 Gọi M là trung điểm CD. Theo tính chất trọng tâm ta có: 1 1 A B / / AB và MB MA 3 1 1 A B 1 1 1 AB 3 Trong mặt phẳng AMB , gọi G là giao điểm của BB1, AA1 AG A B 1 AG 3 Theo định lý Thales ta có: 1 1 1 1 GA AB 3 AA1 4 AG ' 3 G ' CC1  AA1, AA1 4 Tương tự ta có: 2 AG" 3 G '' DD ' AA , 1 AA1 4 Từ 1 và 2 suy ra G, G’, G” trùng nhau, tức là AA1, BB1,CC1, DD1 đồng quy tại điểm G và ta có : AG BG CG DG 3 AA1 BB1 CC1 DD1 4 Bài tập tương tự: Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J, E, F, K, H tương ứng là các trung điểm của AB,CD, AC, BD, AD, BC . Chứng minh rằng IJ, EF, KH đòng quy tại một điểm và điểm đồng quy chính là trọng tâm G của tứ diện ABCD C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai? A. Dùng nét đứt biểu diễn cho đường bị che khuất. B. Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng. C. Hình biểu diễn phải giữ nguyên qua hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng D. Hình biểu diễn của hai đường cắt nhau có thể là hai đường song song. Câu 2. Trong các hình vẽ sau hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện? (Chọn câu đúng nhất)
  9. I II III IV A. I , II . .B. I , II , III , IV . C. I , II , III . D. I . Câu 3. Hình nào sau đây vẽ đúng quy tắc? A. .B. . C D. Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB gấp đôi đáy nhỏ CD , E là trung điểm của đoạn AB . Hình vẽ nào sau đây vẽ đúng quy tắc? A. .B. .C D. Câu 5. Một hình không gian có hình chiếu đứng (nhìn từ trước vào (có thể nhìn từ sau) để từ hình 3D chuyển sang hình 2D) hình chiếu bằng (nhìn từ trên xuống) có thể nhìn từ dưới lên)), hình chiếu cạnh (từ trái sang (có thể nhìn từ phải sang)) lần lượt được thể hiện như sau:
  10. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình đó? A. .B. . C D. Câu 6. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Qua ba điểm xác định một và chỉ một mặt phẳng. B. Qua ba điểm phân biệt xác định một và chỉ một mặt phẳng. C. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định hai mặt phẳng phân biệt. D. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định một và chỉ một mặt phẳng. Câu 7. Xét các mệnh đề sau đây: I Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt. II Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm phân biệt. III Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. IV Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có duy nhất một điểm chung khác nữa. Số mệnh đề sai trong các mệnh đề trên là: A. 3.B. 1.C. 2.D. 4. Câu 8. Cho n điểm phân biệt trong không gian n 4 .Biết rằng bốn điểm bất kỳ trong n điểm đã cho cùng thuộc một mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Tất cả n điểm thuộc cùng một mặt phẳng. B. Có đúng n 1 điểm thuộc cùng một mặt phẳng. C. Có đúng n 2 điểm thuộc cùng một mặt phẳng. D. Không tồn tại mặt phẳng nào chứa tất cả n điểm. Câu 9. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? A. Có đúng hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng cho trước B. Hai mặt phẳng có một điểm chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng cùng chứa hai cạnh của một tam giác thì trùng nhau D. Có đúng hai mặt phẳng phân biệt đi qua ba điểm phân biệt Câu 10. Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không thuộc mặt phẳng ABCD . Có bao nhiêu mặt phẳng qua S và hai trong số bốn điểm A, B,C, D? A. 3.B. 4.C. 5.D. 6. Câu 11. Cho năm điểm A, B,C, D, E phân biệt trong đó không có bốn điểm nào cùng nằm trên một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm đã cho ?
  11. A. 6.B. 10.C. 60.D. 8. Câu 12. Cho n n 3,n ¥ đường thẳng phân biệt đồng quy tại O trong đó không có ba đường thẳng nào cùng năm trên một mặt phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai trong số n đường thẳng trên? n! n! n! A. .B. .C. . D. n!. 2 n 2 ! n 2 ! 2 Câu 13. Cho mặt phẳng và hai đường thẳng a,b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng . Gọi A là một điểm thuộc đường thẳng a nhưng không thuộc đường thẳng b và P là một điểm nằm ngoài . Khẳng định nào sau đây đúng: A. PA và b chéo nhau.B. PA và b song song . C. PA và b cắt nhau.D. PA và b trùng nhau. Câu 14. Cho tứ diện ABCD, I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC . Khẳng định nào sau đây đúng? A. AJ, BI song song .B. AJ, BI trùng nhau.C. AJ, BI cắt nhauD. AJ, BI chéo nhau Câu 15. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD , N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau: A. SO và AD .B. MN và SO .C. MN và SC D. SA và BC . Câu 16. Cho bốn điểm A, B,C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB, AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sau đây: A. ACD .B. BCD .C. CMN . D. ABD . Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AB . Khi đó BC và MN là hai đường thẳng: A. Chéo nhau.B. Có hai điểm chung. C. Song song D. Cắt nhau Câu 18. Cho tứ diện ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh AC, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho AN 2ND.O là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Mặt phẳng OMN chứa đường thẳng AB B. Mặt phẳng OMN đi qua giao điểm của hai đường thẳng MN và CD . C. Mặt phẳng OMN đi qua điểm A . D. Mặt phẳng OMN chứa đường thẳng CD . Câu 19. Ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì : A. Cùng thuộc một đường trònB. Cùng thuộc một đường thẳng C. Cùng thuộc một eliP D. Cùng thuộc một tam giác. Câu 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD ( AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ). Khẳng định nào sau đây sai: A. Hình chóp S.ABCD có bốn mặt bên B. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD là SK trong đó K là một điểm thuộc mặt phẳng ABCD . C. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAC và SBD là SO trong đó O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD D. Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là SI trong đó I là giao điểm của AD và BC . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác ( AB không song song CD ). Gọi M là trung điểm của SD, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB,O là giao điểm của AC và BD . Giả sử đường thẳng d là giao tuyến của SAB và SCD . Nhận xét nào sau đây là sai:N
  12. A. d cắt CD .B. d cắt MN .C. d cắt AB . D. d cắt SO . Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành BC / / AD .Mặt phẳng P di động chứa đường thẳng AB và cắt các đoạn SC, SD lần lượt tại E, F . Mặt phẳng Q di động chứa đường thẳng CD và cắt SA, SB lần lượt tại G, H.I là giao điểm của AE, BF; J là giao điểm của CG, DH . Xét các mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định 2 Đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định. 3 Đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố dịnh. Có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 0 .B. 1.C. 2 . D. 3 . Câu 23. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm AB , F là điểm thuộc cạnh BC sao cho BF 2FC,G là điểm thuộc cạnh CD sao cho CG 2GD . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD của hình chóp ABCD theo a . 19 a 141 a 34 15 3 a 34 15 3 A. a .B. . C. .D. . 15 30 15 15 Câu 24. Cho tứ diện ABCD, E nằm trên đoạn BC sao cho BC 3EC, F là điểm nằm trên BD sao cho CD 3DF . Gọi G là giao điểm của BF và DE . Giao tuyến của hai mặt phẳng ACG và ABD là:   A. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH 4HD  1  B. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH HD  4 C. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH 4HD  1  D. AH trong đó H thuộc BD sao cho BH HD 4 Câu 25. Cho tứ diện SABC có AB c, BC a, AC b. AD, BE,CF là các đường phân giác trong của tam giác ABC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SBE và SCF là:  b c  A. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  b c  B. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID a  a  C. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c  a  D. SI trong đó I thuộc AD sao cho AI ID b c Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N, P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO . Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và CD . Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm SP . Gọi R là giao SR điểm của SB với mặt phẳng (MNP) . Tính ? SB 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 5
  13. Câu 28. Cho tứ diện SABC, E, F lần lượt thuộc đoạn AC, AB. Gọi K là giao điểm của BE và CF . Gọi D là giao điểm của SAK với BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? AK BK CK AK BK CK A. 6 .B. 6 . KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C. 6 . D. 6 . KD KE KF KD KE KF Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD, D, M lần lượt là trung điểm của BC, AD . Gọi E là giao điểm của MF ME SBM với AC, F là giao điểm của SCM với AB . Tính ? CM ME BM ME 1 1 A. 1.B. 2 . C. D. . 2 3 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng tại các điểm E, F, G, H . Gọi I AC  BD, J EG  SI . Mệnh đề nào sau đây đúng? SA SC SB SD SA SC SI A. .B. 2 . SE SG SF SH SE SG SJ SA SC SB SD SB SD SI C. .D. 2 . SE SG SF SH SF SH SJ Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt là các BM 2 NC 1 điểm nằm trên cạnh AB, AD sao cho , . Gọi P là điểm trên cạnh SD sao cho MA 3 BN 2 PD 1 SJ . J là giao điểm của SO với MNP . Tính ? PS 5 SO 10 1 3 5 A. .B. .C. .D. . 11 11 4 2 Câu 32. Cho tứ diện ABCD . E là điểm thuộc đoạn AB sao cho EA 2EB. F,G là các đei63m thuộc     đường thẳng BC sao cho FC 5FB,GC 5GB. H, I là các điểm thuộc đường thẳng CD sao     cho HC 5HD, ID 5IC, J thuộc tia đối của tia DA sao cho D là trung điểm của AJ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Bốn điểm E, F, H, J đồng phẳngB. Bốn điểm E, F, I, J đồng phẳng. C. Bốn điểm E,G, H, I đồng phẳng.D. Bốn điểm E,G, I, J đồng phẳng.     Câu 33. Cho tứ diện ABCD, E,U là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho EA 2EB, 5UA 4UB. F,G     là các điểm thuộc đường thẳng BC sao cho FC 5FB, GC 2GB. H, I là các điểm thuộc     đường thẳng CD sao cho HC 5HD, ID 5IC.J, K là các điểm nằm trên đường thẳng DA     sao cho JA 2JD, KD 5KA . Bốn điểm nào dưới đây lập nên một tứ diện? A. E, F, H, J .B. E,G, I, K .C. U,G, H, J . D. U, F, I, K . Câu 34. Cho tứ diện ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của AB,CD và P là điểm thuộc cạnh BC ( P không là trung điểm BC ). a) Thiết diện của tứ diện bị cắt bởi MNP là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. b) Gọi Q là giao điểm của MNP với AD, I là giao điểm của MN với PQ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. SMNPQ 2SMPN .B. SMNPQ 2SMPQ .C. . SMNPQ 4SMPI D. SMNPQ 4SPIN . Câu 35. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là trung điểm của SA, F,G lần lượt là các điểm thuộc cạnh BC,CD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi MNP là:
  14. A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là trung điểm của cạnh SA, F,G là các điểm thuộc cạnh SC, AB ( F không là trung điểm của SC ). Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 37. Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy là đa giác lồi A1 A2 An n 3,n ¥ . Trên tia đối của tia A1S lấy điểm B1, B2 , Bn là các điểm nằm trên cạnh SA2 , SAn . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng B1B2 Bn là: A. Đa giác n 2 cạnh.B. Đa giác n 1 cạnh. C. Đa giác n cạnh.D. Đa giác n 1 cạnh. Câu 38. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, E là điểm thuộc cạnh bên SD sao cho SD 3SE . F là trọng tâm tam giác SAB,G là điểm thay đổi trên cạnh BC. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác B. Tứ giác C. Ngũ giác. D. Lục giác. Câu 39. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD, E là một điểm thuộc mặt bên SCD . F, G lần lượt là các điểm thuộc cạnh AB và SB. Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG có thể là: A. Tam giác, tứ giác . B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD, E là trung điểm của SB, F thuộc SC sao cho 3SF 2SC, G là một điểm thuộc miền trong tam giác SAD . Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng EFG là: A. Tam giác, tứ giác . B. Tứ giác, ngũ giác. C. Tam giác, ngũ giác. D. Ngũ giác. Câu 41. Cho hình tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng 6a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA, CB. P là điểm trên cạnh BD sao cho BP 2PD . Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD bị cắt bởi MNP là: 5a2 51 5a2 147 5a2 147 5a2 51 A. S .B. S .C. S . D. S . 4 4 2 2 Câu 42. Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE a, DF a . Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng MEF là: a2 33 a2 a2 a2 33 A. S .B. S .C. S .D. S . 18 3 6 9 Câu 43. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SQ của AB, AD, SC. Gọi Q là giao điểm của SD với MNP . Tính ? SD 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N , P lần lượt là trung SH điểm của AB, AD và SO. Gọi H là giao điểm của SC với MNP . Tính ? SC 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 3 Câu 45. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD. Trên đường thẳng DS lấy điểm P sao cho D là trung điểm của SP. Gọi R là giao điểm SR của SB với mặt phẳng MNP . Tính ? SB 1 1 3 2 A. .B. .C. .D. . 3 4 4 5
  15. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Đáp án D. Câu 2. Đáp án B. Câu 3. Đáp án A. Câu 4. Đáp án A. Theo quy tắc vẽ hình, các đoạn thẳng song song được vẽ bằng các đoạn thẳng song song nên đáp án D bị loại. Trung điểm được vẽ ở chính giữa đoạn nên ý C bị loại. Nét khuất được vẽ bởi nét đứt đoạn, nét với góc nhìn này với đáp án B thì hoặc AB đứt đoạn hoặc SC, SD đứt đoạn. Do đó chỉ có đáp án A đúng. Câu 5. Đáp án C. Hình A, B, D sai khi vẽ các đường không nhìn thấy bằng nét liền. Câu 6. Đáp án D. - Đáp án A, B sai, các em có thể lấy ví dụ ba điểm A, B,C phân biệt , thẳng hàng , thì có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm đó. - Đáp án C sai, vì theo tính chất thừa nhận, ba điểm phân biệt không thẳng hàng có duy nhất một mp đi qua ba điểm. Câu 7. Đáp án B. Theo các tính chất thừa nhận, ta thấy (I), (II), (III) đúng và nếu hai mp có 1 điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung khác nữa. Điều đó đồng nghĩa với nhận xét (IV) là sai. Như vậy có 1 quy tắc sai. Câu 8. Đáp án A. - Nếu n điểm đã cho cùng thuộc một đường thẳng thì hiển nhiên n điểm thuộc cùng 1 mp. Do đó loại được đáp án B, C, D. - Nếu n điểm đã cho không cùng thuộc một đường thẳng thì trong chúng phải có 3 điểm không thẳng hàng. Khi đó ba điểm này xác định 1 mp, kí hiệu là mp P . Lấy một điểm trong n 3 điểm còn lại thì theo giả thiết điểm đó phải thuộc mp P . Suy ra tất cả các điểm đã cho cùng thuộc 1 mp. Câu 9. Đáp án C. Một đường thẳng cho trước có vô số mp đi q ua. Hai mp đã có 1 điểm chung thì có vô số điểm chung khác nữa. Còn có trường hợp 2 mp không có điểm chung nào. Có duy nhất 1 mp đi qua ba điểm phân biệt. Như vậy ta chọn ý C. Câu 10. Đáp án D. C 2 6 Số cách chọn 2 trong 4 điểm A, B,C, D là 4 . Vậy có 6 mp đi qua S và 2 trong 4 điểm A, B,C, D . Câu 11. Đáp án B. 3 Chọn 3 trong 5 điểm trên sẽ tạo nên 1 mp. Do đó, số mp tạo bởi 3 trong 5 điểm trên là C5 10 . Câu 12. Đáp án A. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O xác định 1 mp . Nên số các mp chứa 2 trong n đường n! thẳng trên là C 2 . n 2 n 2 ! Câu 13. Đáp án A . Dễ thấy PA,b không trùng nhau. Giả sử PA,b không chéo nhau, khi đó PA,b hoặc song song hoặc cắt nhau. Lúc đó, theo cách xác định 1 mp, ta thấy PA,b cùng thuộc 1 mp  . Các mp ,  đều chứa đường thẳng b và đi qua điểm A ở ngoài b nên 2 mp ,  trùng nhau. Suy ra điểm P phải thuộc mp (Vô lý). Như vậy PA,b chéo nhau. Câu 14. Đáp án D. Giả sử AJ, BI đồng phẳng, suy ra AJ, BI đồng phẳng do đó A, B,C, D cùng thuộc 1 mp (vô lý). Do đó AJ, BI không đồng phẳng, do đó AJ, BI chéo nhau. Chọn đáp án D.
  16. Câu 15. Đáp án B. S N A D M O C B Giả sử SO, AD cắt nhau. Khi đó SO, AD đồng phẳng, suy ra S thuộc mp ABCD (Vô lý). Đáp án A bị loại. Giả sử MN cắt SC . Khi đó MN và SC đồng phẳng, suy ra C thuộc SBD (vô lý). Do đó đáp án C bị loại. Giả sử SA cắt BC . Khi đó SA, BC đồng phẳng. Suy ra, S thuộc mp ABCD (vô lý). Đáp án D bị loại. MN, SO cùng nằm trong mp SBD , không song song và trùng nhau. Câu 16. Đáp án A. Do I là giao điểm của MN và BD nên I thuộc các mp chứa MN và các mp chứa BD . Do đó I thuộc BCD , CMN , ABD . Giả sử I thuộc ACD khi đó B thuộc ACD (vô lý). Câu 17. Đáp án A. Giả sử MN, BC đồng phẳng. Do đó D, A lần lượt thuộc đường thẳng MC, NB nên D, A cũng thuộc mp đó. Như vậy A, B,C, D đồng phẳng(vô lý). Như vậy đáp án B, C, D không thỏa mãn. Câu 18. Đáp án A. Gọi I là giao điểm của MN và CD. Khi đó I thuộc OMN . Vậy đáp án A đúng. Giả sử OMN chứa đường thẳng AB . Khi đó O, B cùng thuộc mp AMN . Suy ra O, B cùng thuộc mp ACD (vô lý). Đáp án B không thỏa mãn. Giả sử MNO đi qua điểm A . Do D,C lần lượt thuộc các đường thẳng AN, AM nên D,C thuộc mp AMN . Như vậy 2 mp OCD , AMN trùng nhau. Suy ra B thuộc mp ACD (vô lý). Vậy đáp án C bị loại. Tương tự ta cũng dễ dàng suy ra đáp án D bị loại. Câu 19. Đáp án B. Giao tuyến của 2mp phân biệt là 1 đường thẳng, nên ba điểm phân biệt cùng thuộc 2 mp phân biệt sẽ nằm trên giao tuyến của 2mp phân biệt. Câu 20. Đáp án B. Hiển nhiên hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên nên đáp án A đúng. Ta thấy giao tuyến của 2mp SAB , ABCD là AB , K là điểm thuộc cả hai mp do đó K AB . tương tự ta cũng chứng minh được K CD . Như vậy K thuộc cả hai đường thẳng AB,CD (vô lý do AB,CD song song). Do vậy đáp án B sai. O AC O SAC . O BD O SBD . Do đó O thuộc giao tuyến của hai mp SAC , SBD . Tương tự ta cũng dễ thấy SI SAD  SBC . Như vậy đáp án C,D đúng.
  17. Câu 21. Đáp án B. S N A D M O C B I Gọi I AB CD . Ta có: I AB, AB  SAB I SAB I SAB  SCD I CD,CD  SCD I SCD Lại có S SAB  SCD . Do đó SI SAB  SCD . d  SI. Vậy d cắt AB,CD, SO . Giả sử d cắt MN . Khi đó M thuộc mp SAB . Suy ra D thuộc SAB (vô lý). Vậy d không cắt MN . Đáp án B sai. Câu 22. Đáp án D. S F G I A E D H J O B C M Trong mp ABCD , gọi M AB CD;O AC  BD . Khi đó M ,O cố định. Như vậy: E, F, M cùng nằm trên hai mp P và SCD , do đó ba điểm E, F, M thẳng hàng. Vậy đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định M . Tương tự, ta có G, H, M cùng nằm trên hai mp Q và SAB ,do đó G, H, M thẳng hàng. Vậy các đường thẳng GH luôn đi qua một điểm cố định M . I AE  SAC Do I SAC  SBD . I BF  SBD Tương tự ta cũng có J SAC  SBD ;O SAC  SBD Do đó ba điểm I, J,O thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua điểm cố định O .
  18. Vậy ta chọn đáp án D. Câu 23. Đáp án A. A E H B D I F G C Trong mp BCD , gọi I FG  BD . Trong mp ADB , gọi H IE  AD . Khi đó HG EFG  ACD . Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với ba điểm I,G, F thẳng hàng ta có: ID FB GC ID 1 . . 1 IB FC GD IB 4 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với ba điểm I,H,E thẳng hàng ta có: HD EA IB HD 1 a . . 1 HD HA EB ID HA 4 5 Áp dụng định lý cosin vào tam giác HDG ta có: HG2 HD2 DG2 2DH.DG.cos600 a2 a2 a2 19a2 19 HG a 25 9 15 225 15 Câu 24. Đáp án C. A H B D G E F C Trong BCD , gọi H CG  BD .   Dễ thấy H thuộc đoạn BD nên BH, HD cùng hướng. Do đó đáp án A, D bị loại. Áp dụng định lý Ceva trong tam giác BCD với BF, DE,CH đồng quy ta có: EB FC HD HD HD 1 . . 1 2.2. 1 BH 4DH EC FD HB HB HB 4     Do BH, HD cùng hướng nên BH 4HD . Câu 25. Đáp án A.
  19. S F B A I D E C   Do I thuộc đoạn AD nên AI, ID cùng hướng. Do đó B, D bị loại. AD là phân giác trong của tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác ta có: BD AB c ac BD DC AC b b c Ta có: BI là phân giác trong của tam giác ABD nên theo tính chất đường phân giác ta có: IA BA b c b c IA ID ID BD a a  b c  Do đó: AI ID a Câu 26. Đáp án B. Trong mp ABCD , gọi I MN  AO . Dễ thấy H PO  SC . AI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm AO. Suy ra và AC 4 PI là đường trung bình của tam giác OSA . Do đó IH / /SA . SH AI 1 Áp dụng định lý Thales ta có: . SD AC 4 Câu 27. Đáp án D. Trong mp (ABCD) , gọi I BD  MN,O AC  BD . Dễ thấy R IP  SB . DI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm DO. Suy ra . IB 3 Áp dụng định lý Menelaus vào taam giác SBD ta có : BR PS BI BR 1 SR 2 . . 1 .2. 1 RS PD ID RS 3 SB 3 Câu 28. Đáp án A. S F B A K D E C
  20. AK BK CK Nếu K trùng với trọng tâm G thì 6 . Do đó C, D bị loại. KD KE KF DK EK FK S S S Ta có KBC KAC KAB 1 DA EB FC SABC SABC SABC Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có: DK EK FK DA EB FC 9 DA EB FC DK EK FK DA EB FC AK BK CK 9 6 DK EK FK KD KE KF Câu 29. Đáp án A. S F B A M D E C BM S S S S S S BD BF Ta có : ABM CBM ABM CBM ABM CBM ME SAME SCME SAME SCME SAME CD FA BF BM BM ME 1 1 . AF ME ME CM CE CD CE CM CM MF Tương tự ta cũng chứng minh được: 1 2 MF AE BD AE MF MF AM AE AF Và 1 3 MD CE BF MF ME Từ (1,2,3) suy ra 1 CM MF BM ME Câu 30. Đáp án A. S E H J D F A G I B C Xét trường hợp đặc biệt E, F,G, H lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Khi đó ta dễ dàng loại được đáp án D.
  21. Dựng AT / /EG T SI ,CK / /EG KESI S Theo định lý Thales, ta có: SA ST SC SK IT IA , ; 1 SE SJ SG SJ IK IC G SA SC ST SK SI IT SI IK SI E Suy ra: 2 SE SG SJ SJ SJ Như vậy, ý B bị loại. SB SD SI Tương tự, ta chứng minh được 2 . T SF SH SJ C Từ đây ta thấy ngay ý C bị loại và A là đáp án A là đáp án lựa chọn. K Chú ý: Cho tam giác ABC. Gọi O là trung điểm AC, M, N là hai điểm nằm trên cạnh AB, AC. MN cắt BO tại I. Khi BA BC 2BO đó: . BM BN BI Câu 31. Đáp án A. S D A J K M O I B N C BA BC 5 3 2BO BO OI 1 OI 1 Theo chú ý câu 30 ta có: 4 4 2 BM BN 2 2 BI BI BO 2 OD 2 . IO PD JS JS SJ 10 Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOD ta có: . . 1 10 ID PS JO JO SO 11 Câu 32. Đáp án A. A E D F B H J C I Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E, F, H, J đồng phẳng. BE CF DH AJ 5 2 AE BF CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E, F, I, J không đồng phẳng. BE CF DI AJ 5 5 2 25
  22. AE BG CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E,G, H, J không đồng phẳng. BE CG DH AJ 5 2 AE BG CI DJ 1 1 1 1 . . . 2. . . nên E,G, I, J không đồng phẳng. BE CG DI AJ 5 5 2 25 Câu 33. Đáp án D. Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E, F, H, J đồng phẳng. BE CF DH AJ 5 2 AE BG CI DK 1 1 . . . 2. . 5 . 1 nên E,G, I,K đồng phẳng. BE CG DI AK 2 5 AU BG CH DJ 4 1 1 . . . . . 5 . 1 nên U,G, H, J đồng phẳng. BU CG DH AJ 5 2 2 AU BF CI DK 4 1 1 4 . . . . . 5 . nên U,F,I,K không đồng phẳng. Do đó 4 điểm này lập BU CF DI AK 5 5 5 25 nên 1 tứ diện. Câu 34. Đáp án B, A. A M Q B D I j P N C a)Do tứ diện ABCD có 4 mặt nên thiết diện không thể là ngũ giác hay lục giác. Nó chỉ có thể là tam giác hoặc tứ giác. Trong mp ABC , gọi K MP  AC (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC) Trong mp ACD , gọi Q KN  AD Do Q KN  MNP nên Q MNP  AD MNP  ABD MQ MNP  ABC MP Ta có: MNP  BCD PN MNP  ACD NQ Suy ra thiết diện cần tìm là tứ giác MPNQ. Ta chọn đáp án B. AM BP CN DQ BP DQ b)Áp dụng ví dụ 11, do M , N, P,Q đồng phẳng nên . . . 1 . 1 BM CP DN AQ CP AQ BP AQ (Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD) . Từ đây suy ra . CP DQ
  23. BP     Giả sử k . Khi đó ta suy ra BP k PC, AQ kQD PC     Suy ra BP AQ k CP QD 1 Do J là trung điểm của PQ.     MJ MB BP PJ    Ta có:     2MJ AQ BP 2 MJ MA AQ QJ    Chứng minh tương tự ta cũng có: 2NJ CP DQ 3   Từ (1,2,3) suy ra MJ k NJ . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J. Điều này suy ra SMNPQ 2SMPN . Chọn đáp án A. Câu 35. Đáp án C. S E J D K A H O G B F C I Trong mp ABCD , gọi I FG  AB; K FG  AD Trong mp SAB , gọi H IE  SB Trong mp SAD , gọi J EK  SD . EFG  ABCD FG, EFG  SCD GJ Ta có: EFG  SAD JE EFG  SAB HE EFG  SBC HF Do đó ngũ giác EHFGJ là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG Câu 36. Đáp án C.
  24. S K E J D A F G B H C I Trong mp SAC , Gọi I EF  AC Trong mp ABCD , Gọi H IG  BC, J IG  AB Trong mp SAD , Gọi K JE  SD EFG  ABCD GH, EFG  SCD KF Khi đó ta có: EFG  SAD EK EFG  SAB GE EFG  SBC HF Do đó ngũ giác EKFHG là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG Câu 37. Đáp án D. S Bn Bk Ik An C1 A1 Ak Ok B2 C2 B1 A2 Trong mặt phẳng SA1 A2 gọi C2 là giao điểm của B1B2 với A1 A2 . Trong mặt phẳng SA1 An gọi Cn là giao điểm của B1Bn với A1 An . Trong mặt phẳng A1 A2 An gọi Ok k 3,4, ,n 1 là giao điểm của A1 Ak với A2 An . Trong mặt phẳng SA2 An , gọi Ik k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SOk với B2 Bn . Trong mặt phẳng SA1 Ak , gọi Bk k 3,4, ,n 1 là giao điểm của SAk với B1Ik . Do Bk B1Ik  B1B2 Bn nên Bk là giao điểm của SAk k 3,4, ,n 1 với mặt phẳng B1B2 Bn . Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi B1B2 Bn là đa giác C2 B2 BnCn . Câu 38. Đáp án C. Cách 1:
  25. S E J K F I A D N M L B G C H Gọi M là trung điểm của AB , khi đó S , F , M thẳng hàng. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của MG với AD . Khi đó SI SMG  SAD . Trong mặt phẳng SMG , gọi J là giao điểm của FG với SI . Ta thấy J thuộc FG nên J thuộc EFG . Trong SAD , gọi K là giao điểm của JE với SA . Trong mặt phẳng SAB , gọi L là giao điểm của KF với AB . Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của LG với CD . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Chú ý: Mấu chốt của ví dụ trên là việc dựng được điểm J là giao điểm của FG với SAD (thông qua việc dựng giao tuyến SI của mặt phẳng SFG với mặt phẳng SAD ). Có thể dựng thiết diện trên bằng nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác E, F,G ) của một trong các đường thẳng EF, FG ; hoặc GE với một mặt của hình chóp. Sau đây, tôi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt là xác định giao điểm của EF với mặt phẳng ABCD . Cách 2: S E K F A D N M P L B G C H Trong mặt phẳng SM D , gọi P là giao điểm của EF với M D .
  26. Trong mặt phẳng ABCD , gọi H, L là giao điểm của P,G với CD , AB . Trong mặt phẳng SAB , gọi K là giao điểm của LF với SA . Trong mặt phẳng SCD , gọi N là giao điểm của EH với SC . EFG  ABCD LG; EFG  SBC GN Ta có: EFG  SCD NE; EFG  SAD EK . EFG  SAB KL Vậy ngũ giác LGNEK là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Câu 39. Đáp án B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi H là giao điểm của AB và CD . Trong mặt phẳng SAB , gọi I là giao điểm của FG và SH . Xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: S I J E G A D K F B C H Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn CD tại K . Ta có J IE  EFG nên J là giao điểm của EFG với SC , K IE  EFG nên K là giao điểm của EFG với CD . EFG  ABCD FK; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK Suy ra tứ giác KFGJ là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Trường hợp 2:
  27. S I J E G K A M D F L B C H Trong mặt phẳng SCD , IE cắt SC tại J và cắt đoạn SD tại K (cắt CD tại một điểm nằm ngoài đoạn CD ). Trong mặt phẳng SBC : BG CJ Nếu GJ song song với BC thì ta có: . Gọi T là giao điểm của IE với CD . GS JS Áp dụng định lí Menelaus vào các tam giác SBH và SCH ta có FB IH GS TC IH JS FB TC . . 1 . . . Điều này chỉ xảy ra khi T thuộc đoạn CD (vô FH IS GB TH IS JC FH TH lí) Do vây GJ cắt BC , giả sử tại L . Trong mặt phẳng ABCD , gọi M là giao điểm của LF với AD . EFG  ABCD FM ; EFG  SAB FG Ta có EFG  SBC GJ; EFG  SCD JK EFG  SAD KM Suy ra ngũ giác KJGFM là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng EFG hoặc là tứ giác hoặc là ngũ giác. Câu 40. Đáp án B. Trong mặt phẳng SBC , gọi J là giao điểm của EF với BC . Trong mặt phẳng SAD , gọi I là giao điểm của SG với AD . Trong mặt phẳng ABCD , gọi N là giao điểm của IJ với CD . Trong mặt phẳng SIJ , gọi K là giáo điểm của JG với SN . Trong mặt phẳng SCD , có hai khả năng xảy ra như sau: Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD tại P .
  28. S R G E Q D A I K F P B N C J Trong mặt phẳng ABCD , gọi Q là giao điểm của JP với AD . Trong mặt phẳng SAD , gọi R là giao điểm của QG với SA . EFG  ABCD PQ; EFG  SAD QR Ta có EFG  SAB RE; EFG  SBC EF EFG  SCD FP Trường hợp này , ngũ giác REFPQ là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi EFG . Trường hợp 2: FK cắt SD tại H ( FK không cắt đoạn CD ). S M G H E K I D A F P B N C J Trong mặt phẳng SAD , gọi M là giao điểm của HG với SA ( HG không thể cắt đoạn AD vì giả sử ngược lại HG cắt cạnh AD tại O , khi đó JO sẽ cắt cạnh CD (vô lí vì EFG đã cắt cạnh SC,SD )).
  29. EFG  SCD FH; EFG  SAD MH Khi đó EFG  SAB ME; EFG  SBC EF Trường hợp này, tứ giác MEFH là thiết diện của hình chóp cắt bởi EFG . Câu 41. Đáp án A. Trong mặt phẳng BCD , gọi I là giao điểm của NP với CD . Trong mặt phẳng ACD , gọi Q là giao điểm của AD và MI . Suy ra Q là giao điểm của AD với MNP . Khi đó, tứ giác MNPQ là thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng MNP . Trong tam giác BCI ta có P là trọng tâm của tam giác suy ra D là trung điểm của CI . QA Trong tam giác ACI có Q là trọng tâm của tam giác nên 2 . QD IP IQ 2 Ta có PQ / /MN . IN IM 3 Suy ra MNPQ là hình thang với đáy lớn MN . Ta có: AQ 4a, AM 3a MN, PQ 2a. Áp dụng định lí cosin trong tam giác MAQ ta có: MQ2 AM 2 AQ2 2AM.AQ.cos600 16a2 9a2 12a2 13a2 MQ a 13 . Tương tự ta cũng tính được NP a 13 . Dễ thấy MNPQ là hình thang cân. Do đó: 2 2 MN PQ MN PQ MQ 2 2 5a 51 S . 2 4 Câu 42. Đáp án C. Trong mặt phẳng ABC , gọi H là giao điểm của A ME với AC . Trong mặt phẳng ABD , gọi K là giao điểm của MF và AD . MEF  ABC MH M Ta có: MEF  ABD MK . K MEF  ACD HK H Do đó tam giác MHK là thiết diện của tứ diện cắt B F bởi MEF . D Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm của các tam C giác ABE và ABF . E 2a Ta có: AH AK HK . 3 2a Xét hai tam giác AMH và AMK có AM chung, M· AH M· AK 600 , AH AK nên hai 3 tam giác này bằng nhau. Suy ra MH MK . Vậy tam giác MHK cân tại M . Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH : 2 2 2 2 2 2 2 0 a 2a a 13a a 13 MH AM AH 2AMAH.cos60 MH . 2 3 3 36 6 Gọi I là trung điểm của đoạn HK . Ta có MI  HK . 13a2 a2 a2 a Suy ra: MI 2 MH 2 HI 2 MI . 36 9 4 2
  30. 1 1 2a a a2 Diện tích thiết diện MHK là: S MI.HK . . . 2 2 3 2 6 Câu 43. Đáp án C. Trong mặt phẳng ABCD , gọi E là giao điểm của MN với DC và F là trung điểm của CD .Dễ thấy Q chính là giao điểm của PE với SD . ND ED 1 1 Ta có: ME BC. Áp dụng Thales ta có: EF EF . MF EF 2 2 Suy ra D là trung điểm EF . DQ 1 PQ là đường trung bình của tam giác EPF ta có: . PF 2 DS PF là đường trung bình của tam giác CSD ta có: 2 . PF SD SQ 3 Từ đó suy ra: 4 . DQ SD 4 Câu 44. Đáp án B. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I là giao điểm của MN với AO . Dễ thấy H chính là giao điểm của PO với SC . AI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm AO . Suy ra và AC 4 PI là đường trung bình của tam giác OSA . Do đó: IH / /SA . SH AI 1 Áp dụng định lí Thales ta có: . SD AC 4 Câu 45. Đáp án D. Trong mặt phẳng ABCD , gọi I BD  MN,O AC  BD . Dễ thấy R chính là giao điểm của IP với SB . DI 1 Do MN là đường trung bình của tam giác ABD nên I là trung điểm DO . Suy ra . IB 3 Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SBD ta có: BR PS BI BR 1 BR 3 SR 2 . . 1 .2. 1 RS PD ID RS 3 RS 2 SB 5
  31. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, ta biết rằng hai đường thẳng phân biệt bất kì hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc cắt nhau. Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng và không cắt nhau thì ta nói hai đường thẳng đó song song với nhau. Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a,b trong không gian được gọi là song song với nhau, kí hiệu a / /b nếu chúng đồng phẳng và không cắt nhau. 2. Tính chất A Định lí 1: Trong không gian cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d . Lúc đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a và A và song song với đường thẳng d. Chú ý: Định lí này cho ta thêm một cách xác định đường thẳng trong không gian: đó là đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước không chứa điểm đó. Kết hợp với định lí 2 dưới đây cho ta một cách để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng. Định lí 2 ( Về giao tuyến của ba mặt phẳng): β β c γ c γ b A b a a α α Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Đến đây ta có thể bổ sung một phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ ra hai mặt phẳng ,  lần lượt chứa hai đường thẳng song song a,b. Bước 2: Tìm một điểm chung M của hai mặt phẳng Bước 3: Khi đó   Mx / /a / /b Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. a / /b Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn a / /b b / /c 3. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a) Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không là góc giữa hai đường thẳng a 'và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b . b. Phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian Bước 1: Dựng góc - Tìm trên hình vẽ xem góc giữa hai đường thẳng có sẵn không? - Nếu không có sẵn thì ta tiến hành: + Chọn một điểm O bất kì trong không gian. + Qua O dựng đường thẳng a Pa, b Pb . Góc nhọn hay góc vuông tọc bởi a ,b chính là góc giữa a và b . Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng a và b .
  32. + Chọn O sao cho góc giữa a ,b là góc của một tam giác mà độ dài các cạnh của nó đã biết hoặc có thể tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng trong tam giác, tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin. Trường hợp góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 ta nói a  b . B. DẠNG TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẢNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN Phương pháp chung: Để chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian ta sẽ sử dụng một trong các sách sau: + Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng, sau đó áp dụng các phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng như tính chất đường trung bình, định lí Thales đảo, tính chất song song của hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 + Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: Chứng minh hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba. + Cách 3: Áp dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng. Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD . Đường thẳng IJ song song với đường thẳng: A. CM trong đó M là trung điểm BD .B. AC . C. DB . D. CD . Lời giải: Đáp án D. Cách 1: ( Đưa về cùng mặt phẳng và vận dụng kiến thức hình học phẳng) I CE Gọi E là trung điểm của AB . Ta có nên suy ra IJ và CD đồng phẳng. J DE EI EJ 1 Do I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD nên ta có: . Suy ra EC ED 3 IJ PCD . Cách 2: ( Sử dụng tính chất bắc cầu) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BD và BC . Suy ra MN PCD (1). AI AJ 2 Do I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD nên ta có: . Suy ra AN AM 3 IJ PMN (2). Từ (1) và (2) suy ra IJ PCD . Cách 3: (Sử dụng định lí giao tuyến của 3 mặt phẳng). Có lẽ trong ví dụ này cách này hơi dài, song chúng tôi vẫn sẽ trình bày ở đây, để các bạn có thể hiểu và vận dụng cách 3 hợp lí trong các ví dụ khác. Dễ thấy, bốn điểm D , C , I , J đồng phẳng. DCIJ  AMN IJ DCIJ  BCD CD Ta có: IJ PCD PMN . AMN  BCD MN MN PCD Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD . Gọi Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng đi qua A và cắt Bx , Cy , Dz lần lượt tại B , C , D với BB 2 , DD 4 . Khi đó CC bằng: A. 3 . B. 4 . C. 5 .D. 6 . Lời giải: Đáp án D.
  33. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . I là trung điểm của B D . Do Bx , Dz song song với nhau nên BDD B là hình thang và OI là đường trung bình của hình BB DD thang đó. Suy ra IO 3. 2 Mặt khác OI song song với CC (vì cùng song song với DD ) nên có bốn điểm C , C , O , I đồng phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng AB D với ACC là AC . Lại có I thuộc AB D , I thuộc ACC . Do đó A , I , C thẳng hàng. Từ đây dễ dàng suy ra, I là trung điểm đoạn AC . Do vậy, CC 2OI 6 . Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát cho bài toán này như sau: Cho hình bình hành ABCD . Gọi At , Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua A , B , C , D đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng cắt At , Bx , Cy , Dz lần lượt tại A , B , C , D . Khi đó A B C D là hình bình hành và AA CC BB DD . Do đó khi biết 3 trong 4 đối tượng AA , BB , CC , DD ta sẽ dễ dàng tính được đối tượng còn lại. Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD tâm O . Gọi At , Bx , Cy , Dz là các đường thẳng song song với nhau lần lượt đi qua A , B , C , D và nằm về một phía của mặt phẳng ABCD , đồng thời không nằm trong mặt phẳng ABCD . Một mặt phẳng di động cắt At , Bx , Cy , Dz lần lượt tại A , B , C , D sao cho AA CC BB DD a (O có độ dài cho trước). Mặt phẳng luôn đi qua điểm cố định I . Mệnh đề nào sau đây đúng? a A. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 a B. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 4 3a C. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI . 2 D. I nằm trên đường thẳng O song song với At và OI a . Lời giải: Đáp án B. a Theo ví dụ 2, ta có : AA' CC ' 2OI BB ' AA' CC ' BB ' DD ' a nên OI . 4 Bài tập tương tự: Cho tam giác ABC . Ở về một phía của ABC , người ta kẻ các đường thẳng song song Ax, By,Cz. lần lượt lấy trên Ax, By,Cz các điểm A', B ',C '. a) M và M ' lần lượt là trung điểm AB, A' B ' . Chứng minh rằng MM ' song song với CC '. b) G và G ' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A' B 'C ' . Chứng minh rằng GG ' song song với CC '. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Các điểm M , N thứ tự thuộc các đoạn MB NS 1 BC và SD sao cho . Gọi I là giao điểm của MD và AB. MC ND 2 a) Chứng minh rằng MN / /SI . b) Qua M kẻ MN / /CD ( P là điểm trên BD ). Chứng minh rằng MP / /SB . Lời giải:
  34. IM MB 1 a) Ta có BI / /CD S MD MC 2 SN IM 1 E Trong tam giác SDI có MN / /SI. ND MD 2 F N BP MB 1 A D b) Ta có MP / / AB PD MC 2 BP SN 1 Trong tam giác SBD có NP / /SB. PD ND 2 B M C DẠNG 2. TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (cách 2). THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC. • Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (cách 2) Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b song song, ta tìm: + Một điểm chung của hai mặt phẳng đó. + Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng qua điểm chung và song song với a và b ( hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA SB a, SC SD a 3 . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA và SB . M là điểm tùy ý trên cạnh BC ( không trùng với B,C ) a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng SAB và SCD ; SAD và SBC . b) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng MEF và ABCD . Từ đó suy ra giao điểm N của AD và MEF . Chứng minh rằng MNEF là hình thang cân. Lời giải: S E F N A D B M C S SAB  SCD a) Ta có SAB  SCD Sx / / AB / /CD. AB / /CD, AB  SAB ,CD  SCD S SAB  SBC Tương tự SAD  SBC Sy / / AD / /BC. AD / /BC, AD  SAD , BC  SBC b) Do E, F lần lượt là trung điểm của SA, SB nên EF là đường trung bình của tam giác SAB . 1 Do đó EF / / AB, EF / AB (1) 2 EF / / AB, EF  MEF , AB  ABCD Ta có MEF  ABCD Mt / / AB / /CD (2) M MEF  ABCD Gọi N là giao điểm của Mt với AD. Ta có: N Mt, Mt  MEF , AB  ABCD N AD  MEF . M AD 1 Từ (1) và (2) suy ra EF / /MN, EF AB MN . Suy ra MNEF là hình thang. 2
  35. Dễ thấy SAD SBC(c.c.c) S· AD S· BC EAN FBM c.g.c FM EN vậy MNEF là hình thang cân. Thiết diện qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước Được xác dịnh bằng cách phối hợp hai cách xác định giao tuyến đã biết: Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Cách 2: Tìm một điểm chung và phương ( song song với một đường thẳng cho trước) của giao tuyến. Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC , Gọi E là điểm trên cạnh CD với ED 3EC . Thiết diện tạo bởi mặt phẳng MNE và tứ diện ABCD là: A. Tam giác MNE . B. Tứ giác MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD . C. Hình bình hành MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD mà EF / /BC . D. Hình thang MNEF với F là điểm bất kì trên cạnh BD và EF / /BC . Lời giải: Trong mặt phẳng BCD , Gọi F là giao điểm của đường thẳng qua E , song song BC với BD . MNE  ABC MN; MNE  BCD EF Ta có MNE  ABD MF; MNE  ACD NE Vậy tứ giác MNEF là thiết diện của hình chóp cắt bởi MNE . MNE  ABC MN MNE  BCD EF Lại có EF / /MN. MCD  ABC BC BC / /MN Suy ra tứ giác MNEF là hình thang EF MN . Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng MCD với hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Tam giác.B. Hình bình hành. C. Hình thang. D. Hình thoi. Lời giải: Đáp án C. Gọi N là trung điểm của SB . Do MN / / AB , AB / /CD MN / /CD . Như vậy suy ra N thuộc mặt phẳng MCD . MCD  SAD MD MCD  SAB MN Ta có: MCD  SBC NC MCD  ABCD CD Vậy tứ giác MNCD là thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng MCD . Kết hợp với MN / /CD , suy ra MNCD là hình thang. DẠNG 3: GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có AB CD a , AC BD b , AD BC c . Xét các khẳng định sau: b2 c2 a. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . a2 a2 c2 b. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng . b2
  36. b2 a2 c. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AD và BC bằng . c2 Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 0 .B. 1.C. 2 .D. 3 . Lời giải: Đáp án C. Gọi E , F , G lần lượt là trung điểm của AC , BC , AD. Ta có: EF / / AB , EG / /CD , suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD . AB2 AC 2 BC 2 a2 b2 c2 A Ta có: AF 2 . 2 4 2 4 Do ABC DBC c.c.c nên AF DF . Suy ra AFD cân tại F . Vậy G 2 2 2 2 2 a b c FG  AD FG FA AG . E 2 Xét tam giác EFG có: EF 2 EG2 FG2 c2 b2 B D cos F· EG . 2EF.EG a2 F b2 c2 Vì 0o E·F, EG 90o cos E·F, EG cos F· EG . C a2 b2 c2 Vậy cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng . a2 a2 c2 Tương tự ta cũng suy ra cosin của góc giữa AC và BD bằng . b2 Nhận xét: Từ ví dụ này, ta còn suy ra được một trong ba giá trị a2 cos AB,CD ; b2 cos AC, BD ; c2 cos AD, BC bằng tổng hai giá trị còn lại. Cũng từ ví dụ này ta còn suy ra được với tứ diện đều ABCD thì góc giữa các cặp cạnh đối diện luôn bằng 90o C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu 1. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Tồn tại hai đường thẳng c , d song song với nhau, mỗi đường đều cắt cả a và b . B. Không thể tồn tại hai đường thẳng c , d phân biệt mỗi đường đều cắt cả a và b . C. Không thể tồn tại một đường thẳng cắt cả a và b . D. Cả ba câu trên đều sai. Câu 2. Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy A. Đôi một cắt nhau.B. Đồng quy. C. Hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. D. Đôi một song song. Câu 3. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) sẽ: A. Song song với hai đường thẳng đó. B. Song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. C. Trùng với một trong hai đường thẳng đó. D. Cắt một trong hai đường thẳng đó. Câu 4. Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Xét hai đường thẳng p , q mà mỗi đường thẳng đều cắt cả a và b , p cắt a tại M , q cắt a tại N ( M không trùng với N ). Khi đó hai đường thẳng p và q : A. Cắt nhau.B. Trùng nhau.
  37. C. Song song với nhau. D. Hoặc chéo nhau hoặc cắt nhau. Câu 5. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó: A. Song song.B. Trùng nhau. C. Chéo nhau. D. Hoặc song song hoặc trùng nhau. Câu 6. Giả sử P , Q , R là ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a , b , c . Trong đó: a P  R , b Q  R , c P  Q . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. a và b cắt nhau hoặc song song với nhau. B. Ba giao tuyến a , b , c đồng quy hoặc đôi một cắt nhau. C. Nếu a và b song song với nhau thì a và c không thể cắt nhau, cũng vậy, b và c không thể cắt nhau. D. Ba giao tuyến a , b , c đồng quy hoặc đôi một song song. Câu 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng SBC và SAD là đường thẳng d : A. Đi qua S .B. Đi qua điểm S và song song với AB . C. Đi qua điểm S và song song với AD.D. Đi qua điểm S và song song với AC . Câu 8. Giả sử có ba đường thẳng a , b , c trong đó b / /a và c/ /a . Hãy chọn câu đúng: A. Nếu mặt phẳng a,b không trùng với mặt phẳng a,c thì b và c chéo nhau. B. Nếu mặt phẳng a,b trùng với mặt phẳng a,c thì ba đường thẳng a , b , c song song với nhau từng đôi một. C. Dù cho hai mặt phẳng a,b và a,c có trùng nhau hay không, ta vẫn có b/ / c . D. Cả ba câu trên đều sai. Câu 9. Cho hai đường thẳng a , b . Hai đường thẳng này sẽ nằm ở một trong các trường hợp: (1) Hai đường thẳng phân biệt trong không gian. (2) Hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng. (3) a là giao tuyến của P và R , b là giao tuyến của Q và R , trong đó P , Q , R là ba mặt phẳng khác nhau từng đôi một. Tương ứng với mỗi trường hợp trên, số các khả năng có thể xảy ra giữa a và b lần lượt là: A. 3, 2, 2.B. 3, 2, 3.C. 2, 3, 2. D. 3, 2, 1. Câu 10. Xét hình bên dưới: c b a Các cạnh của hình hộp nằm trên các đường thẳng a , b , c như hình vẽ: (1) Đường thẳng a và đường thẳng b cùng nằm trên một mặt phẳng. (2) Có một mặt phẳng qua hai đường thẳng a và c . (3) Có một mặt phẳng qua hai đường thẳng b và c . Trong ba câu trên: A. Chỉ có (1) và (2) đúng.B. Chỉ có (1) và (3) đúng. C. Chỉ có (2) và (3) đúng. D. Cả ba câu trên đều đúng. Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn là CD . Gọi M là trung điểm của SA , N là giao điểm của cạnh SB và mặt phẳng MCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. MN và SD cắt nhau.B. MN và CD chéo nhau. C. MN và SC cắt nhau. D. MN và CD song song với nhau. Câu 12. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD,CD, BC . Mệnh đề nào sau đây sai? A. MP, NQ chéo nhau. B. MN∥ PQ và MN = PQ .
  38. 1 C. MNPQ là hình bình hành. D. MN∥ BD và MN BD . 2 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD . Đường thẳng nào sau đây không song song với đường thẳng MN ? A. AB . B. CD . C. PQ . D. SC . Câu 14. Cho hình chóp A.BCD với đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N, P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AB,CD, AD, BC . Các điểm nào sau đây không đồng phẳng? A. M , P, R,Q . B. M , R, S, N . C. P,Q, R, S . D. M , P,Q, N . Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với đáy AD và BC AD a BC b . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt phẳng ADJ cắt SB, SC lần lượt tại M , N . Mặt phẳng BCI cắt SA, SD lần lượt tại P,Q . Gọi E là giao điểm của AM và PB , F là giao điểm của CQ và DN . Trong các mệnh đề dưới đây, có bao nhiêu mệnh đề sai? 1) MN và PQ song song với nhau. 2) MN và EF song song với nhau. 2 3) EF a b . 5 1 4) EF a b 4 A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 16. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC . K là điểm trên đoạn BD sao cho KB 2KD , F là giao điểm của AD và IJK . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và IJK song song với đường thẳng? A. AJ . B. BI . C. IJ . D. CI . Câu 17. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, BD . Giao tuyến của hai mặt phẳng AIJ và ACD là: A. Đường thẳng d đi qua A và d∥ BC . B. Đường thẳng d đi qua A và d∥ BD . C. Đường thẳng d đi qua A và d∥ CD . D. Đường thẳng AB . Câu 18. Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng SBC , SAC , SAB lần lượt tại A , B ,C . MA MB MC a) có giá trị không đổi bằng bao nhiêu khi M di động trong tam giác ABC SA SB SC ? 1 1 2 A. . B. . C. 1. D. . 3 2 3 MA MB MC b) . . nhận giá trị lớn nhất. Khi đó vị trí của M trong tam giác ABC là: SA SB SC A. Trực tâm ABC . B. Trọng tâm ABC . C. Tâm ngoại tiếp ABC . D. Tâm nội tiếp ABC . Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Mặt phẳng di động đi qua AB và cắt SC, SD lần lượt tại M , N . a) Tứ giác ABMN là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình thang. C. Hình thoi. D. Tứ giác lồi có các cặp cạnh đối cắt nhau. b) Giao điểm của hai đường thẳng AM và BN luôn chạy trên đường thẳng cố định: A. SO . B. Đường thẳng đi qua S . C. Đường thẳng đi qua S , song song với AB . D. Đường thẳng đi qua S , song song với AD .
  39. c) Giao điểm của hai đường thẳng AN và BM luôn chạy trên đường thẳng cố định: A. SO . B. Đường thẳng đi qua S . C. Đường thẳng đi qua S , song song với AB . D. Đường thẳng đi qua S , song song với AD . AB BC d) Tính ? MN SK 1 1 2 A. 0 . B. . C. . D. . 2 3 3 Câu 20. Cho tứ diện ABCD . Gọi G là trọng tâm tam giác BCD và M là điểm nằm bên trong tam giác BCD . Đường thẳng qua M và song song với GA lần lượt cắt các mặt phẳng ABC , ACD , ADB tại P,Q, R . MP MQ MR a) Khi M di động trong tam giác BCD , đại lượng không đổi và bằng: GA A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . b) Xác định vị trí của M để MP.MQ.MR đạt giá trị lớn nhất? A. M là trực tâm tam giác BCD . B. M là tâm ngoại tiếp tam giác BCD . C. M là trọng tâm tam giác BCD . D. M là tâm ngoại tiếp tam giác BCD . Câu 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Mặt bên SAB là tam giác đều và S· AD 90 . Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC . a) Giao điểm I của đường thẳng Dx với mặt phẳng SAB chạy trên đường thẳng: A. Qua S và song song với AB . B. Qua S và song song với AD C. SO . D. SD . b) Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi AIC là: a2 7 a2 7 a2 7 a2 7 A. . B. . C. . D. . 8 4 2 16 Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O . Mặt bên SAB là tam giác đều, SC SD a 3 . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SA, SB . M là điểm trên cạnh AD . Mặt phẳng HKM cắt BC tại N . a) HKNM là hình gì? A. Tứ giác lồi có các cặp cạnh đối cắt nhau.B. Hình thoi. C. Hình thang cân. D. Hình bình hành. b) Đặt AM x 0 x a . Tìm x theo a để diện tích tứ giác HKNM đạt giá trị nhỏ nhất? a a A. 0 . B. a . C. . D. . 2 4 Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có cạnh đáy AB và CD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC . G là trọng tâm của tam giác SAB . Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi IJG là một tứ giác. Tìm điều kiện của AB,CD để thiết diện đó là hình bình hành? A. AB 3CD . B. AB 2CD . C. CD 2AB . D. CD 3AB . Câu 24. Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BD . E là một điểm trên cạnh AD ( E khác A, D ). Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và điểm E sao cho thiết diện của hình chóp cắt bởi IJE là hình thoi?     A. AB CD, EA ED . B. AD BC, EA ED .     C. AB CD, EA 2ED . D. AD BC, EA 2ED . Câu 25. Số đo góc giữa hai đường thẳng bằng 0 thì hai đường thẳng đó: A. Song song.B. Chéo nhau. C. Trùng nhau. D. Song song hoặc trùng nhau.
  40. Câu 26. Bạn Tùng Chi xác định góc giữa hai đường thẳng a,b trong không gian như sau: Bước 1: Lấy điểm O bất kì. Qua O dựng đường thẳng m song song với a . Trên đường thẳng m lấy điểm A khác O . Bước 2: Dựng đường thẳng n song song với song song với b . Trên đường thẳng m lấy điểm B khác O . Bước 3: Góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc ·AOB . Hỏi bạn Tùng Chi có làm đúng không, nếu sai thì sai ở bước nào? A. Bước 1.B. Bước 2. C. Bước 3. D. Bạn làm đúng. Câu 27. Cho ba đường thẳng a,b,c sao cho a∥ b,b  c . Khi đó góc giữa hai đường thẳng a và c bằng: A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 30 . Câu 28. Cho hình chóp A.BCD có các tam giác ABC , ABD đều cạnh a , E là trung điểm của CD . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD và BC biết rằng ·AEB 90. A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 30 . Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA a, ·ASB S· AD 90. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SE và DF . 7 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD 3a, SA a 3 . Các tam giác SAB, SAC, SAD vuông tại A . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và BD . 8 4 3 1 A. . B. . C. . D. . 130 130 2 5 Câu 31. Cho tứ diện ABCD có AB 5,AC 7, BD 57,CD 9. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng BC và AD ? A. 30 .B. 45. C. 60 . D. 90 . Câu 32. Cho tứ diện ABCD có AB AC AD a, B· AC B· AD 60,C· AD 90 . Gọi E là trung điểm của đoạn BC . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và ED . 5 5 2 5 1 A. . B. . C. . D. . 5 10 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Đáp án D.  Đáp án A sai. Giả sử c cắt a,b lần lượt tại A, B , d cắt a,b lần lượt tại C, D . Suy ra A, B,C, D đồng phẳng, hay a,b đồng phẳng, vô lí.  Đáp án B, C sai, chúng ta có thể dễ dàng thấy một ví dụ là tứ diện ABCD có AB và CD đếu cắt hai đường thẳng chéo nhau AD và BC . Câu 2. Đáp án C. Câu 3. Đáp án B. Câu 4. Đáp án D. Câu 5. Đáp án D. Câu 6. Đáp án B. Câu 7. Đáp án C. Câu 8. Đáp án D.  Đáp án A sai vì nếu a,b và a,c không trùng nhau thì a,b,c đôi một phân biệt. theo tính chất bắc cầu suy ra b∥ c .
  41.  Đáp án B, C sai, vì ta có thể lấy ví dụ b  c . Câu 9. Đáp án B.  Trường hợp 1 có thể xảy ra giữa hai đường thẳng a,b là chéo nhau, song song, cắt nhau.  Trường hợp 2 có thể là song song, cắt nhau.  Trường hợp 3 có thể là song song, cắt nhau hoặc trùng nhau. Như vậy, tương ứng với mối trường hợp, số các khả năng có thể xảy ra giữa a,b là 3,2,3 . Câu 10. Đáp án C. Nhìn vào hình vẽ, ta thấy a,b chéo nhau, nên không có mặt phẳng nào chứa cả a,b . Do đó 1 sai. Vậy đáp án A, B, C sai. Đường thẳng a,c cắt nhau, xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường. Đáp án 2 đúng. Đường thẳng b,c cắt nhau, xác định duy nhất một mặt phẳng chứa cả hai đường. Đáp án 3 đúng. Câu 11. Đáp án D. AB∥ CD Ta có: AB  SAB ,CD  MCD MN∥ CD . MN SAB  MCD Câu 12. Đáp án A. S M N D C A B 1 Do M , N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN∥ BD, MN BD . 2 1 Do P,Q lần lượt là trung điểm của CD,CB nên PQ∥ BD, PQ BD . 2 Suy ra MN∥ PQ , do đó M , N, P,Q đồng phẳng. Do đó MP, NQ không thể chéo nhau. Câu 13. Đáp án D. Do MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN∥ AB . Tương tự, do PQ là đường trung bình của tam giác SCD nên PQ∥ CD . ABCD là hình bình hành nên AB∥ CD . Do đó: PQ∥ MN và MN∥ CD . MN không song song với SC vì giả sử ngược lại thì SC và CD trùng nhau (vô lí). Câu 14. Đáp án A. Do M , N, P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của AC, BD, AB,CD, AD, BC nên MR∥ CD∥ SN , PS∥ AC∥ RQ , MP∥ BC∥ NQ . Do đó M , R, S, N đồng phẳng; P,Q, R, S đồng phẳng; M , P,Q, N đồng phẳng. M , P, R,Q không đồng phẳng vì giả sử ngược lại thì P sẽ thuộc mặt phẳng ACD , suy ra B thuộc mặt phẳng ACD (vô lí).
  42. Câu 15. Đáp án B. Ta có I SAD , suy ra I SAD  BCI . SAD  BCI PQ Do AD  SAD , BC  BCI PQ∥ AD∥ BC . AD∥ BC Ta có: J SBC , suy ra J SBC  ADJ . SBC  ADJ MN Do BC  SBC , AD  ADJ MN∥ AD∥ BC . AD∥ BC Từ đó suy ra MN và PQ song song với nhau. EF ADNM  BCQP AD ADNM  ABCD Ta có: EF∥ AD . BC ABCD  BCQP AD∥ BC Suy ra EF∥ MN . Gọi K là giao điểm của CP với EF EF EK KF . SP 2 SM Do PM∥ AB . SA 3 SB PE 2 PE 2 Theo định lý Thalet ta có: . Do EK song song với BC nên theo định lý EB 3 PB 5 PE EK 2 2 Thalet ta có : EK b . PB BC 5 5 QF 2 QC 5 PQ 5 3 3 2 2 Tương tự ta cũng có: FK PQ . AD a . FC 3 FC 3 FK 3 5 5 3 5 2 Từ đây suy ra EF a b . 5 Câu 16. Đáp án C. SAD  IJK FK Ta có: AD  SAD , IJ  IJK FK∥ IJ . AD∥ IJ Dễ dàng chứng minh được các đường thẳng còn lại không song song với FK . Câu 17. Đáp án C.
  43. Do I, J lần lượt là trung điểm của BC, BD nên IJ là đường trung bình của tam giác BCD . Suy ra IJ∥ CD . IJ∥ CD, IJ  AIJ ,CD  ACD Ta có: AIJ  ACD At∥ CD . A AIJ  ACD Câu 18. Đáp án C, B. a) Do MA ∥ SA nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử E là giao điểm của mặt MA ME S phẳng này với BC . Khi đó A, M , E thẳng hàng và ta có: MBC . SA EA SABC MB S MC S MA MB MC Tương tự ta có: MAC , MAB . Vậy 1. Vậy đáp án đúng là . SB SABC SC SABC SA SB SC b) Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MA MB MC MA MB MC MA MB MC 1 33 . . . . . SA SB SC SA SB SC SA SB SC 27 MA MB MC Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: S S S . SA SB SC MAC MAB MBC Điều này chỉ xảy ra khi M là trọng tâm tam giác ABC . Vậy đáp án đúng là B. Câu 19. Đáp án B, A, D, A. MN ABM  SCD AB ABM  ABCD a) Ta có : MN∥ AB . Do đó ABMN là hình thang. Do MN AB CD ABCD  SCD CD∥ AB nên ABMN không thể là hình bình hành, hinh thoi. Vậy đáp án đúng là B. I SAC b) Gọi I AM  BN I SO SAC  SBD . Vậy đáp án đúng là A. I SBD
  44. I SAD c) Gọi K AN  BM I SAD  SBC . I SBC Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là đường thẳng qua S và song song với AD . Vậy đáp án đúng là D. AB BM d) Do MN∥ AB nên 1 . MN MK CB MB Do SK∥ BC nên 2 . SK MK AB BC Từ 1 và 2 suy ra 0 . Vậy đáp án đúng là A. MN SK Câu 20. Đáp án C, C. a) Trong mặt phẳng BCD , gọi I MG  BC, J MG CD, K MG  BD . Qua M kẻ Mx∥ GA. Trong AIJ : Mx  AI P (đây chính là giao điểm của Mx với ABC ) Tương tự Mx  AK R, Mx  AJ Q . IM S S S S S 3S Ta có : MIC MIB MIC MIB MBC MBC . IG SGIC SGIB SGIC SGIB SGBC SBCD IM MP MP 3S Theo định lý Thalet ta có : . Do đó : MBC . IG GA GA SBCD MQ 3S MR 3S MP MQ MR Chứng minh tương tự ta có : MCD , MBD 3 . GA SBCD GA SBCD GA Vậy đáp án đúng là C. 3 MP MQ MR 3 b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : MP.MQ.MR GA . 3 Vậy giá trị lớn nhất của MP.MQ.MR bằng GA3 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi MP MQ MR . Điều này xảy ra khi M là trọng tâm tam giác BCD . Vậy đáp án đúng là C. Câu 21. Đáp án A, A.
  45. a) Do Dx∥ SC nên hai đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng SCD . Lại có, hai mặt phẳng SAB và SCD có D là điểm chung, AB∥ CD nên giao tuyến là đường thẳng đi qua S và song song với AB . Vậy I thuộc giao tuyến này. Vậy đáp án đúng là A. b) Gọi E là giao điểm của SD và IC . Suy ra thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng AIC là tam giác ACE . Ta có SIDC là hình thang nên SI CD và SI∥ CD . Suy ra SI AB và SI∥ AB . Điều này suy ra SIDC là hình bình hành. Khi đó AI SB a . a 2 Mặt khác, AC SD a 2 AE . 2 Xét tam giác IAC có : CI 2 2 AC 2 AI 2 4AE 2 4a2 CI 2a . 2 a 2 2 2 2 2 2a a AE AC CE 3 7 Ta có : cosC· AE 2 sin C· AE . 2AC.AE 2a2 4 4 1 1 a 2 7 a2 7 Diện tích thiết diện là : S AC.AE.sin C· AE a 2. . . 2 2 2 4 8 Vậy đáp án đúng là A. Câu 22. Đáp án C, A. a) Ta có : KH∥ AB, KH  HKM , AB  ABCD HKM  ABCD MN∥ AB∥ HK 1 . M HKM  ABCD Ta lại có: SAD SBC c.c.c S· AD S· BC .