Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 1) - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 1) - Ngô Tùng Hiếu

1. x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 Bài 1. Giải phương trình: 2 0 2sin x 1 Hướng dẫn giải x k 1 6 Điều kiện: sin x ,k,l ¢ (*). 2 5 x l 6 Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: x 2 3 sin x. 1 cos x 4cos x.sin2 3 0 2 2 3 sin x 2 3 sin x.cos x 2cos x 1 cos x 3 0 2 3 sin x cos x 3sin2 x 2 3 sin x.cos x cos2 x 0 3 sin x cos x 0 3 sin x cos x 3 sin x cos x 2 0 3 sin x cos x 2 TH1: 3 sin x cos x 0 cot x 3 x k ,k ¢ 6 TH2: 3 sin x cos x 2 2 sin x cos cos xsin 2 sin x 1 6 6 6 2 x k2 x k2 ,k ¢ 6 2 3 Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình đã cho cĩ 2 họ nghiệm 7 2 x k2 , x k2 ,k ¢ . 6 3 Bài 2. Tìm tất cả các nghiệm x (2009; 2011) của phương trình : cos x sin x cos2x 1 sin 2x 0 1 sin 2a 2 Bài 3. Chứng minh rằng: cot a . 1 sin 2a 4 x y 1 Bài 4. Cho: sin x sin y 2sin x y , với x y k , k ¢ . Chứng minh rằng: tan tan . 2 2 3 3 1 cot x Bài 5. Giải phương trình : 3tan 2x 2 2cos2x 0 cos2x 1 cot x A B B A Bài 6. Cho tam giác ABC với các kí hiệu thơng thường, biết: sin .cos3 sin .cos3 . Chứng minh 2 2 2 2 rằng tam giác ABC cân. Bài 7. Giải phương trình sau: 2(sin x 3 cos x) 3cos2x sin 2x. Bài 8. Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin2 x 2sin x.cosx cos2x a 3
2. Bài 9. Cho tam giác ABC cĩ độ dài các cạnh là a , b , c , độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với các gĩc A , B , C lần lượt là l a , l b , l c . l l l l l l 1. Chứng minh rằng: a b b c c a 3 3. c a b C 2. Nhận dạng tam giác, biết: a b tan (a tan a+btanb). 2 2 ax a y cos x Bài 10. Định a để hệ: cĩ nghiệm duy nhất. 2 2 sin x y 1 2cos2 x sin 2x Bài 11. Chứng minh rằng nếu x 2x2 thì: 16 sin2 x.cos2x Bài 12. Tìm m để hệ phương trình sau đây cĩ nghiệm và hãy giải hệ phương trình tương ứng với những sinx.cos2y m4 2m2 2 giá trị tìm được của m: . 3 cos x.cos2y m 1 Bài 13. Cho hai phương trình sau: 2sin7 x (1 sin a).sin x a.sin3 x (1) (a 1)(1 cos2 x) 2sin6 x 2sin2 x 2(a 1)3 (2) a. Giải các phương trình trên với a 2 . b. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương. 3 3 sin x sin y sin z 2 Bài 14. Giải hệ phương trình: . 3 cos x cos y cos z 2 Bài 15. Tìm tất cả các giá trị x 0;2  sao cho: 2cos x 1 sin 2x 1 sin 2x 2. Bài 16. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau cĩ nghiệm: 2 3 x x cos (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0. 2a 2a 3 3 2 Bài 17. Cho tam giác ABC cĩ tan A tan C 2 tan B . Chứng minh rằng: cos A cosC . 4 BC AB BC Bài 18. Cho tam giác ABC cĩ độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: . Tính tổng số đo AB BC AC gĩc: 3A B. Bài 19. Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: Max A, B,C . Tìm giá trị lớn của biểu thức: 2 P sin A sin2 B sin3 C. Bài 20. Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: (2m 1)(sin x cos x) (sin x cos x) 2m2 2m 2 0 Bài 21. Chứng minh rằng với mọi x ¡ ta luơn cĩ sin x cos x 1. Bài 22. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau cĩ nghiệm
3. m sin x cos x 1 sin 2x sin x cos x 2 Bài 23. Giải phương trình: cos2x cos3x sin x cos4x sin 6x . 2x 1 2x 1 2x 1 Bài 24. Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình sin sin 3cos2 0 thỏa x 3x 3x 1 mãn điều kiện x 10 5 Bài 25. Tìm m để phương trình mcosx cos3x cos2x 1 cĩ đúng 8 nghiệm trên khoảng ( ; ) 2 2 Bài 26. Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác cĩ P cos2A cos2B cos2C lớn nhất. Bài 27. Giải phương trình : 8cos4x.cos2 2x 1 cos3x 1 0 sin A sin B sinC Bài 28. Tính số đo các gĩc trong tam giác ABC , biết 1 3 2 Bài 29. Giải phương trình 2cos2 x 1 cot x 2sin2 x 1 0 Bài 30. Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos2A 2 cos2B cos2C 2 0 Bài 31. Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau cĩ nghiệm : 3 x x cos2 (a x) 2cos (a x) cos .cos 2 0; 2a 2a 3 3 2 Bài 32. Cho tam giác ABC cĩ : tanA+tanC=2tanB.CMR : cos A cosC ; 4 Bài 33. Giải phương trình: 1 tan x.tan 2x cos3x Bài 34. Trong tam giác ABC biết số đo ba gĩc A, B,C lập thành cấp số cộng với A B C và thỏa hệ 1 3 thức cos A cos B cosC . Tính số đo các gĩc A, B,C . 2 2 5x 2 9x Bài 35. Giải phương trình cos3x sin7x 2sin 2cos 4 2 2 Bài 36. Tìm m để phương trình sau cĩ 4 nghiệm phân biệt trong khoảng ; : 2 2 2 4 x 4 x 4cos x 16m sin cos 14m 1 0 4 4 Bài 37. Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Hướng dẫn giải x=kπ khơng phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 vì x≠kπ nên pt cĩ các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π (cos x 1)(2cos x 1) Bài 38. Giải phương trình: 1 sin 2x 2cos2 x. sin x Bài 39. Cho phương trình: (m 3)sin3 x (m 1)cos3 x cos x (m 2)sin x 0 a) Giải phương trình khi m 5 . 5 b) Xác định tham số m để phương trình cĩ đúng một nghiệm x , . 4
4. Bài 40. Cho tam giác ABC cĩ các gĩc A, B, C thỏa mãn hệ thức: 1 1 1 1 1 1 A B C cos A cos B cosC sin sin sin 2 2 2 Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. x 2sin2 ( )sinx - cos3 x Bài 41. Giải phương trình : 4 2 0. sin3 x cos3 x 4x 2x Bài 42. Tìm m để phương trình cos cos m 0 cĩ nghiệm. x 2 1 x 2 1 Bài 43. Tam giác ABC cĩ ba gĩc thỏa mãn hệ thức : 8cos Asin Bsin C 4 3(sin A cos B cosC) 17 0 . Hãy tính các gĩc của tam giác đĩ. cos 2x 3cos x 1 Bài 44. Giải phương trình: 1 sin x 1 Bài 45. Giải phương trình sau sin 2x sin x cos x 1 2sin x cos x 3 0 . Hướng dẫn giải PT sin x cos x 2 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0 sin x cos x 1 sin x cos x 1 sin x cosx 1 2sin x cos x 3 0 sin x cos x 1 sin x 2cos x 4 0 x k2 sin x cos x 1 ,(k ¢ ) sin x 2cos x 4(VN) x k2 2 Vậy phương trình cĩ hai họ nghiệm: x k2 , x k2 ,(k ¢ ) 2 4 Bài 46. Cho cos2 với . Tính giá trị của biểu thức: P 1 tan cos 5 2 4 Hướng dẫn giải Do nên sin 0,cos 0 . Ta cĩ: 2 1 cos2 1 1 cos2 cos , 2 10 10 9 3 sin sin2 1 cos2 sin , tan 3 10 10 cos 1 1 1 3 2 5 Khi đĩ: P 1 tan . cos sin 1 3 . 2 2 10 10 5 1 cot x Bài 47. Tìm tập xác định của hàm số y 2cos x 1 Hướng dẫn giải
5. 1 cos x x k2 Điều kiện xác định 2 3 , k,l ¢ sin x 0 x l Bài 48. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y cos2 x tan2 x Hướng dẫn giải 1 * y cos2 x 1 cos2 x 1 * cos2 x 2 cos2 x * y 1 GTNN y = 1 1 * y = 1 cos2 x cos4 x 1 sin x 0 x k ,k ¢ cos2 x Bài 49. Giải phương trình 3 cos2x sin 2x 2 Hướng dẫn giải 3 1 3 cos 2x sin 2x 2 cos x sin 2x 1 2 2 cos 2x.cos sin 2x.sin 1 6 6 cos 2x 1 6 2x k2 6 x k , k ¢ 12 Bài 50. Tìm tất cả giá trị thực m để phương trình sau cĩ hai nghiệm phân biệt thuộc 0; : 2 cot2 x 2 m 1 cot x 3m 1 0 Hướng dẫn giải * t = cotx , x 0; t 0 2 * cot2 x 2 m 1 cot x 3m 1 0 (1) t 2 2 m 1 t 3m 1 0 (2) Pt(1) cĩ 2 nghiệm phân biệt x 0; pt(2) cĩ 2 nghiệm dương phân biệt 2
6. ' 0 S 0 P 0 1 kết quả đúng : m < - 1 v 0 < m< 3 3 Bài 51. Giải phương trình (7 5 2)cos x (17 12 2)cos x cos3x Hướng dẫn giải Tập xác định: D = R. Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 3 (1 2)3cos x (1 2)4cos x 4cos3 x 3cos x 3 (1 2)3cos x 3cos x 4cos3 x (1 2)4cos x Xét hàm số f(t) = (1 2)t t , ta cĩ f(t) đồng biến với mọi t nên ta cĩ: f(3cosx) = f(4cos3x) 3cosx = 4cos3x k cos3x = 0 x = , k Z 6 3 Bài 52. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x. 1 + 2cosx + 1 + sin2x 2m – 1 Hướng dẫn giải Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx . Bài tốn trở thành: tìm m sao cho maxf(x) 2m – 1. Ta cĩ f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 2 1 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx Đặt t = sinx + cosx, 2 t 2 . Ta cĩ: f2(x) = g(t) = 6 + 4t + 2 2t2 + 2t – 1 với 2 t 2 . Xét sự biến thiên của g(t) ta cĩ: max g(t) 4( 2 1)2 2; 2 Vì f(x) 0 nên ta cĩ: maxf(x) = max f 2 (x) max g(t) 2( 2 1) 3 2 2 Vậy ta cĩ: 2( 2 1) 2m 1 m . 2 1 1 1 Bài 53.Rút gọn tổng S = trong đĩ n là một số tự nhiên. cos x cos 2x cos 2x cos3x cos nx cos(n 1)x 1 Bài 54.Biết rằng sin2x + sin2y = , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S = tg2x + tg2y. 2
7. 2 3 n Bài 55.Rút gọn : P = cos cos cos cos . 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 tg 1 cos 2 Bài 56.Chứng minh rằng nếu ta cĩ thì sin(3  ) 7sin(  ) . tg 1 sin 2 p q Bài 57.Trong tam giác ABC cĩ A = 360, AB = AC = 1 và BC = x. Giả sử x , hãy tìm cặp số nguyên 2 (p, q). sin 4 x cos 4 x 1 sin 8 x cos8 x 1 Bài 58.Cho . Chứng minh rằng: , (a > 0, b > 0). a b a b a 3 b3 (a b)3 Bài 59.Cho tg 2 xtg 2 y tg 2 ytg 2 z tg 2 ztg 2 x 2tg 2 xtg 2 ytg 2 z 1. Tính giá trị của biểu thức P sin 2 x sin 2 y sin 2 z 1 1 1 Bài 60.Tính giá trị của biểu thức: Q . 3 5 cos cos cos 7 7 7 A B C Bài 61.Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm đặc điểm của tam giác khi biểu thức M cos cos cos đạt 2 2 2 giá trị lớn nhất. Bài 62.Cho các số thực a, b, c thoả mãn a 2 b 2 c 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức T a b 2 sin x csin 2x , trong đĩ x (0; ) . 2 x Bài 63.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f (x) sin 2 x với x [ ; ]. 2 2 2 n n 1 1 Bài 64.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y f (x) 1 1 với n là số tự nhiên. sin 2 x cos 2 x Bài 65.Cho tam giác ABC thoả mãn: 2tgB = tgA + tgC. Chứng minh rằng: 3 2 a) B , b) cosA+ cosC . 3 4 A B 1 Bài 66.Cho tam giác ABC thoả mãn: tg tg . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác 2 2 2 A B C 1 ABC vuơng là sin sin sin . 2 2 2 10 Bài 67.Tính tổng S = sin 390 sin 690 sin1830 sin 2130 .
8. 2 4 6 5 33 7 Bài 68.Chứng minh rằng: 3 cos 3 cos 3 cos 3 . 7 7 7 2 sin x sin y sin z sin t 1 Bài 69.Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa và thoả mãn: 10 . 2 2 cos 2x cos 2y cos 2z cos 2t 3 Chứng minh rằng: 0 x, y, z, t . 6 1 1 Bài 70.Tìm GTNN của hàm số y , x (0; ) . sin x cos x 2 2x 4x Bài 71.Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y sin cos 1. 1 x 2 1 x 2 2cos 2 x cos x 1 Bài 72.Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y . cos x 1 Bài 73.Cho tam giác ABC cĩ C = 2B = 4A. Gọi O, H lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp, trực tâm của tam OH giác ABC . Tính tỷ số trong đĩ R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác. R Bài 74.Cho tam giác ABC vuơng ở C. Gọi r là bán kính đường trịn nội tiếp tam giác, ma ,mb lần lượt là độ r 2 dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B. Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 . ma mb Bài 75. Giải các phương trình sau: 1/ sin 3 x cos3 x sin 3 x cot gx cos3 xtgx 2sin 2x . 2/ 2cos x 2 sin10x 3 2 2cos 28x.sin x . sin 3x sin 5x 3/ . 3 5 4/ 2 3 sin(x )cos(x ) 2cos 2 (x ) 3 4 sin 2 x cos( x)cos( x) 8 8 8 3 3 5/ 2sin 5x(16sin 4 x 20sin 2 x 5) 1. 6/ (16sin 4 x 20sin 2 x 5)(16sin 4 5x _ 20sin 2 5x 5 1 Bài 76.Chứng minh rằng: 4cos36 0 cot g7030 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 Bài 77.Cho 7 . Tính sin 2 2x . tg 2 x cot g 2 x sin 2 x cos 2 x
9. 2 1 Bài 78.Chứng minh rằng: cos cos . 5 5 2 Bài 79.Thu gọn tổng S = tga.tg2a tg2a.tg3a tg(na).tg(n 1)a . Bài 80.Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2cos 2n 1 a 1) Bài 81.Tính các tổng: 1 1 1 5 7 S = , P = tg 8 tg 8 tg 8 , R = 2 2 2 3 2 6 18 18 18 sin sin sin 7 7 7 5 7 tg 6 tg 6 tg 6 18 18 18 Bài 82.Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số F(x)=cos(2006x)+kcos(x ) trong đĩ k, là các tham số thực. Chứng minh rằng: M 2 m 2 2 Bài 83.Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các gĩc của tam giác ABC thoả mãn đẳng thức sau: A B C tg tg tg 1 2 2 2 B C C A A B A B C 1 tg tg 1 tg tg 1 tg tg 4tg tg tg 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 84.