Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề: Các bài Toán bất đẳng thức hay

Nội dung text: Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề: Các bài Toán bất đẳng thức hay

1. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC HAY THCS Cõu 1. Chứng minh bất đẳng thức a b 2c 2 với a,b,c 0 b c c a a b Hướng dẫn giải Gọi vế trỏi là A. Ta cú: 2c 2c 2c 4c 1 a b 2c a b 2c a b 2c a b 2 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức với x, y 0 ta cú: x y x y a b 1 1 b c c a 1 1 4 a b c a b c 2 b c c a 2c a b Từ 1 và 2 suy ra 4 a b c 4c A 2 4 A 2 2c a b Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a b c ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Cõu 2. a) Cho cỏc số dương a,b,c thỏa món a b a c 8 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của A abc a b c . x 2y2 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A với x 0, y 0 . y x2 y2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Hướng dẫn giải Ta cú a b a c 8 a a c ab bc 8 a a b c bc 8. 1 Áp dụng bất đẳng thức Cụ-si, ta cú a a b c bc 8 A a a b c .bc 4 2 2 A 16 A 16 a a b c bc 4 TỦ SÁCH CẤP 2| 264
2. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | b c 2 b c 2 maxA 16 khi, chẳng hạn a 2 8 a 2 2 2 1 2x x 2x2 b) Ta cú x2 y2 2 và x, y dương nờn y x2 y2 y x2 y2 x 2y2 2x2 2y2 A 2 y x2 y2 x2 y2 x2 y2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2 khi a = b. 1 1 Cõu 3. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của A x y với 1 và x 2 x y 1 y 2 Hướng dẫn giải 2 Do 1 x 2 nờn x 1 x 2 0 x2 3x 2 0 x 3 x 2 ổ2 2 ử Tương tự, y 3. Suy ra ( x + y) +ỗ + ữÊ 6 (1) y ốx y ứ 2 2 2 2 Ta lại cú x y 2 x y 2 2A (2) x y x y 9 Từ (1) và (2) suy ra 2 2A 6 2A 3 2A 9 A 2 9 x 1; y 2 max A 2 x 2; y 1 Cõu 4. ( Đề thi thử vào 10 THCS Giảng Vừ– Hà Nội 2017-2018) ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 1 Tỡm GTNN của biểu thức sau: P x x 2 (voi x 0) x Hướng dẫn giải 1 Bỡnh phương hai vế ta được P2 2Px x 2 x 2 2Px 2 xp2 1 0 (1) x Vỡ P 0 nờn phương trỡnh (1) cú nghiệm khi 0 P4 8P 0 P(P3 8) 0 P 2 ( vỡ P 0 ) 1 Dấu bằng xảy ra khi x (cỏc em thay P 2 vào (1) để tỡm x ) 2 1 Vậy min P 2 x 2 Cõu 5. ( Đề thi thử vào 10 THCS Lương Thế Vinh Hà Nội 2019-2020) 265 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
3. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Cho a,b là cỏc số dương thỏa món ab = 4 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: (a + b- 2)(a2 + b2 ) P = a + b Hướng dẫn giải a + b- 2 a2 + b2 ổ ử ( )( ) ỗ 2 ữ 2 2 Ta cú P = = ỗ1- ữ(a + b ) với ab = 4 . a + b ốỗ a + bứữ Áp dụng Bất đẳng thức Cosi, ta cú: 2 - 1 2 1 a + b ³ 2 ab = 4 (1) Û - ³ Û 1- ³ a + b 2 a + b 2 a2 + b2 ³ 2ab = 8 (2) 1 Do đú: P ³ .8 = 4 2 Dấu “ = ” xảy ra Û Dấu “=” ở cỏc bất đẳng thức Cosi (1) và (2) đồng thời xảy ra ỡ ù a = b Û ớ Û a = b = 2 ù a.b = 4 ợù Vậy Pmin = 4 Û a = b = 2 . Cõu 6. (Trớch đề toỏn học kỡ 2 quận Hoàng Mai năm 2018-2019) Tỡm giỏ trị của m để biểu thức sau đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. F = (2x + y + 1)2 + (4x + my + 5)2 Hướng dẫn giải ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Ta cú: (2x + y + 1)2 ≥ 0; (4x + my + 5)2 ≥ 0, suy ra F ≥ 0 2x y 1 0 4x 2y 2 0 Xột hệ ⇔ (m 2)y 3 0 4x my 5 0 4x my 5 0 3 y CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 2 m + Nếu m ≠ 2 thỡ m – 2 ≠ 0 suy ra F cú giỏ trị nhỏ nhất bằng 0 m 5 x 4 2m + Nếu m = 2 thỡ F = (2x + y + 1)2 + (4x + 2y + 5)2 = (2x + y + 1)2 + [2(2x + y + 1) + 3]2 Đặt 2x + y + 1 = z thỡ 2 2 6 9 6 9 9 F = 5z2 + 12z + 9 = 5 z 5 z 5 25 5 5 5 TỦ SÁCH CẤP 2| 266
4. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 9 6 11 F nhỏ nhất bằng khi 2x + y + 1 = hay y = 2x , x ∈ R 5 5 5 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của F là 0 khi m ạ 0. Cõu 6. (Trớch đề toỏn vào 10 Chuyờn Quảng Nam năm 2019-2020) Cho 3 số dương x, y, z. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: xy yz zx P 2x z 2y z 2y x 2z x 2z y 2x y Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 2x z 2y z x x z y z y xy zx yz Do đú: xy xy xy xy 2x z 2y z 2x z 2y z 2 xy yz zx xy yz zx yz yz zx zx Tương tự: ; 2y x 2z x xy zx yz 2z y 2x y xy zx yz xy zx yz Cộng 3 bất đẳng thức trờn theo vế ta được: P 1 xy zx yz Đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 1. Cõu 7. Cho cỏc số thực a,b,c thỏa món 0 a,b,c 2,a b c 3 . ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT a2 b2 c2 Tỡm GTLN và GTNN của P ab bc ca Hướng dẫn giải a2 b2 2ab Áp dụng BĐT AM-GM ta cú: b2 c2 2bc 2 2 c a 2ca 1 1 a2 b2 c2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 2 a2 b2 c2 ab ac bc a2 b2 c2 P 1 ab bc ca a b c Dấu “=” xảy ra a b c 1 a b c 3 Vậy MinP 1khi a b c 1 267 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
5. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Theo đề bài ta cú: 0 a,b,c 2 a 2 b 2 c 2 0 abc 2 ab ac bc 4 a b c 8 0 abc 2 ab ac bc 12 8 0 2 ab ac bc 4 abc 4 ab bc ca 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc P 2 ab ac bc 2 a b c 9 5 P 2 2 ab ac bc 2 2 a 0 b c 3 b 0 abc 0 Dấu " " xảy ra a c 3 a b c 3 c 0 a b 3 0 a,b,c 2 5 Vậy MaxP khi abc 0,a b c 3,0 a,b,c 2 2 Cõu 8. (Trớch đề chuyờn Bắc Ninh năm 2016-2017) 3a4 3b4 c3 2 Cho a, b, c > 0. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của M 3 a b c Hướng dẫn giải ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Sử dụng AM-GM ta được: 3a4 1 a4 a4 a4 1 4 4 a12 4a3 ; 3b4 1 b4 b4 b4 1 4 4 b12 4b3 Do đú: 3a4 3b4 c3 2 4a3 4b3 c3 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI M 3 3 a b c a b c 3 Ta dễ dàng chứng minh được BĐT với a, b dương thỡ: 4 a3 b3 a b * 2 Thật vậy: * a3 b3 ab a b a b a b 0 (đỳng) Vậy (*) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi a = b. Áp dụng (*) ta được: 3 3 3 4a3 4b3 c3 a b c a b c 1 M 3 3 3 a b c a b c 4 a b c 4 TỦ SÁCH CẤP 2| 268
6. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1, c = 2. 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M là 4 3 Chỳ ý: Bổ đề 4 a3 b3 a b rất thường hay được sử dụng trong cỏc bài toỏn. Cõu 8. (Trớch đề chuyờn Nam Định năm 2016-2017) Cho hai số a, b khụng õm thỏa món a b 3. Chứng minh rằng: 2 2a 1 4b 8 1 2a 1 4b 15 Hướng dẫn giải Ta cú: 2 2a 1 4b 1 1 4b 1 2 1 1 P 1 2 1 2a 1 4b 1 2a 1 4b 1 2a 1 4b 2 4a 1 4b 1 1 4 Với a, b, c dương ta cú: (*) a b a b 1 1 2 1 1 4 Thậy vậy: a b 2 ab. 4 a b ab a b a b Vậy (*) được chứng minh, dấu “=” xảy ra khi a = b . Áp dụng (*) ta được: 1 1 4 8 8 8 P 2 2. (đpcm) 2 4a 1 4b 2 4a 1 4b 3 4 a b 3 4.3 15 a b 3 11 13 Dấu “=” xảy ra khi a ; b 2 4a 1 4b 8 8 x 3 x 2 Cõu 9. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức A . ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT x 4 x 2 1 Hướng dẫn giải x 3 x 2 x 2 3 x 2 2 x 2 1 x 2 2 Điều kiện: x 2. A x 4 x 2 1 x 2 4 x 2 3 x 2 1 x 2 3 1 1 2 2 1 . Vỡ x 2 0 x 2 3 3 1 min A khi x 2. x 2 3 x 2 3 3 3 Cõu 10. (Trớch đề chuyờn Thỏi Bỡnh năm 2015-2016) Cho x; y thỏa món x2 + y2 - 4x - 2 = 0 . Chứng minh rằng 10 - 4 6 Ê x2 + y2 Ê 10 + 4 6 . Hướng dẫn giải Phương trỡnh tương đương với x2 + y2 = 4x + 2 (1). Ta cú x2 - 4x - 2 = - y2 Ê 0 ị (x - 6 - 2)(x + 6 - 2)Ê 0 269 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
7. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Û 2 - 6 Ê x Ê 2 + 6 Û 10 - 4 6 Ê 4x + 2 Ê 10 + 4 6 (2). Từ (1) và (2), suy ra 10 - 4 6 Ê x2 + y2 Ê 10 + 4 6 . Cõu 11. (Trớch đề chuyờn Lờ Hồng Phong – Nam Định 2017) Xột cỏc số thực a, b, c khụng õm, khỏc 1 thỏa món a + b + c = 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất 1 1 của biểu thức P (a b)(4 5c). a bc b ac Hướng dẫn giải 1 1 4 Áp dụng BĐT : (x, y 0) x y x y Tacú : 1 1 4 P (a b)(5c 4) (a b)(5c 4) a bc b ac (a b)(c 1) 4 5c 4 c (1 c)(5c 4) 4 4 4 8 (1 c)(1 c) c 1 c 1 1 Vậy minP = 8. Đẳng thức xảy ra khi c 0,a b . 2 Cõu 12. (Trớch Chuyờn Đại học Vinh năm 2009 – 2010) Cho cỏc số thực x, y thỏa món: x 8y 0. Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 P x . y(x 8y) Hướng dẫn giải ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho ba số dương ta cú: 1 P (x 8y) 8y 6. y(x 8y) x 8y 8y x 16y x 4 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 3 1 1 8y y y . y(x 8y) 64 4 1 Vậy minP = 6. khi và chỉ khi x = 4 và y = . 4 Cõu 12. (Trớch đề vào lớp 10 Bắc Giang 2017 – 2018) Cho hai số thực dương a , b thỏa món 2a 3b 4 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức 2002 2017 Q 2996a 5501b . a b Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 270
8. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 Từ giả thiết 2a 3b 4 ta dự đoỏn đẳng thức xảy ra khi a ,b 1, lỳc đú: 2 2002 2017 8008a, 2017b do đú ta ỏp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: a b 2002 2017 Ta cú Q 2996a 5501b a b 2002 2017 8008a 2017b (5012a 7518b) a b 1 1 2002 4a 2017 b 2506(2a 3b) a b 1 1 2002.2 .4a 2017.2 .b 2506(2a 3b) (BDT CoSi) a b 2002.4 2017.2 2506.4 2018. 1 Do đú Q đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 2018 khi a và b 1. 2 Cõu 12. (Trớch đề vào lớp 10 Cao Bằng 2017 – 2018) x y m Cho hệ phương trỡnh: 2 2 2 (m là tham số) x y m 6 Hóy tỡm cỏc giỏ trị của m để hệ phương trỡnh cú nghiệm x; y sao cho biểu thức P xy 2 x y đạt giỏ trị nhỏ nhất. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất đú. Hướng dẫn giải x y m 2 2 2 x y m 6 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT y m x y m x y m x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y m 6 x m x m 6 x m 2mx x m 6 y m x y m x 2 2 2 2 2x 2mx 2m 6 0 x mx m 3 0 Hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm phương trỡnh x2 mx m2 3 0 cú nghiệm. m2 4 m2 3 0 m2 4m2 12 0 12 3m2 0 m2 4 2 m 2 Với m thỏa món 2 m 2 thỡ phương trỡnh cú nghiệm x; y . Khi đú ta cú:. 1 2 P xy 2 x y x y x2 y2 2 x y 2 271 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
9. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 1 P m2 m2 6 2m 2m2 6 2m 2 2 P m2 2m 3 m2 2m 1 4 m 1 2 4 2 Nhận xột: m 1 0 m  2;2 , dấu bằng xảy ra m 1 thỏa món điều kiện. P 4. Dấu bằng xảy ra m 1. Vậy min P 4 khi m 1. Cõu 13. Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món 2 b2 bc c2 3 2 a2 1 1 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: T a b c 2 . a b c Hướng dẫn giải Từ giả thiết 2 b2 bc c2 3 2 a2 9 a2 b2 c2 2bc a2 b2 a2 c2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c 2 . a b c 3 1 1 1 1 1 1 Ta cú: T a b c 2 2 a 2 b 2 c a b c a b c a b c 1 1 1 2.2 a. 2.2 b. 2.2 c. 3 9. a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Vậy giỏ trị nhỏ nhất của T là 9 khi a = b = c = 1. Cõu 14. Cho cỏc số dương x,y,z thỏa món x y z . Chứng minh rằng: 1 1 1 27 x 2 y2 z2 . 2 2 2 x y z 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI (ĐTTS lớp 10 tỉnh Nghệ An năm 2014-2015) Hướng dẫn giải z z Từ giả thiết x y z 1 t 1 t . x y x y 2 2 2 x y Ta cú: x y x 2 y2 2xy 2 x 2 y2 x y x 2 y2 . 2 TỦ SÁCH CẤP 2| 272
10. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 1 2 2 8 1 1 8 2 2 2 x 2 y2 xy x y x y x 2 y2 x y 2 Do đú: 2 1 1 1 x y 8 1 x 2 y2 z2 z2 2 2 2 2 2 x y z 2 x y z 2 2 1 z x y 1 2 1 1 2 8 t 8 4 8t 1 2 2 2 x y z 2 t 2t 1 t 2 15t 2 1 t 2 15t 2 27 5 5 2 . . 2 2 2t 2 2 2t 2 2 2 z Đẳng thức xảy ra khi x y . 2 Cõu 15. Cho a, b, c là cỏc số thực dương thỏa món 3a 2b 3a 2c 16bc . a b c 2 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P a b c Hướng dẫn giải 2 Từ giả thiết: 3a 2b 3a 2c 16bc 9a2 6a b c 12bc 3 b c 2 a a 3. 2 3 0 b c b c a 2 1 Đặt x 3x 2x 3 0 0 x . ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT b c 3 Ta cú: 2 a b c a b c 1 1 8 1 8 16 P 2 x 2 x 2 2 x. 2 . a b c b c a x 9x 9x 9x 1 3 9. 3 a 1 Đẳng thức xảy ra khi b c 3 b c 3k,a 2k,k 0 b c xy 6 Cõu 16. Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món . y 3 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2020 Hướng dẫn giải Ta cú: P x y 2020 x 1 y 2019 2 x 1 y 2019 2 6 3 2019 2025. 273 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
11. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | x 1 y Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 2025 khi xy 6 x 2, y 3. y 3 Cỏch khỏc: Cỏc giải trờn khỏ khộo lộo nếu khụng giải được như trờn bạn cú thể tư duy như xy 6 sau: Từ giả thiết ta dự đoỏn biểu thức P đạt giỏ trị nhỏ nhất khi x 2, y 3 y 3 2 Khi đú: x y do đú để xuất hiện xy và y ta tỏch như sau: 3 2 1 2 y 2 3 P x y 2020 x y y 2020 2 xy 2020 2 .6 2020 2025. 3 3 3 3 3 3 a 2 b c b2 a c Cõu 16. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P , trong đú a,b,c là độ abc dài ba cạnh của một tam giỏc vuụng ( c là độ dài cạnh huyền). (Trớch đề thi HSG huyện Hương Sơn năm 2020) Hướng dẫn giải Vỡ c2 a 2 b2 2ab nờn c 2ab . 2 2 a 2 b c b2 a c ab a b c a b a b c2 2 ab 2ab.c P abc abc c ab c ab 2 ab 2ab.c 2 ab c 2 2 ab c 2 1 c 2 ab c 2 1 2ab Ta cú: 2 . c ab c ab c ab ab c ab ab 2 2 . Vậy giỏ trị nhỏ nhất P 2 2. ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 7 Cõu 17. Cho cỏc số thực x, y thỏa món x2 3xy 4y2 . Chứng minh rằng: x y 2. 2 Hướng dẫn giải Đặt: x y t x t y .Do đú CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 7 2 7 x2 3xy 4y2 t y 3 t y y 4y2 0 2 2 2 2 2 2 7 t t 2y ty t 0 2y 7 1 2 2 4 2 t 2 t Suy ra 1 0 (vỡ 2y 0 ) 4 2 2 t 4 x y 2. TỦ SÁCH CẤP 2| 274
12. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | x y 2 x y 2 5 x 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi t x y . 2y 0 2y 0 1 2 2 y . 2 Cõu 18. Cho cỏc số tự nhiờn x, y thỏa món 2x 3y 53. Chứng minh rằng: P xy 4 Hướng dẫn giải Đặt 2x a, 3y b (a chia hết cho 2, b chia hết cho 3) a b 2 a b 2 2809 a b 2 Ta cú ab 4 4 a b 53 a b a b 1 a b 2 1. Do a, b là số tự nhiờn mà nờn do đú Do vậy 2809 1 ab 702. 4 a b 1 Đẳng thức xảy ra khi a b 53 a 26,b 27 . Giải hệ này ta được a 26,b 27. a2,b3 Vậy giỏ trị lớn nhất của ab là 702, đạt được khi a = 26; b = 27. Từ đú suy ra giỏ trị lớn nhất của P xy 4 là 11 khi x 13, y 9. Cõu 19. (Trớch đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017) Cho x, y thỏa món x 2, x y 2 . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : A 14x2 9y2 22xy 42x 34xy 35. Hướng dẫn giải a 2 x,b x y 2 a,b 0 y a b. Đặt suy ra ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Ta cú biểu thức A trở thành: A 14 2 a 2 9 a b 2 22 2 a a b 42 2 a 34 a b 35 a2 9b2 4ab 4a 10b 7 a2 4b2 4 4ab 4a 8b 15b2 2b 3 a 2b 2 2 15b2 2b 3 3 a,b a 2b 2 0 a 2 Đẳng thức xảy ra khi x 0, y 2. b 0 b 0 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 3 khi x 0, y 2 Cõu 20. (Trớch đề tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2017) Cho x, y là cỏc số thực thỏa món điều kiện x2 y2 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 x 3 y . Hướng dẫn giải Ta cú: 275 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
13. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 18 6 x y 2xy P 3 x 3 y 9 3 x y xy 2 17 x2 y2 6 x y 2xy 8 x y 2 6 x y 9 2 2 x y 3 2 4. 2 2 2 x y 2 2 2 x y 2; Từ x y 1 chỉ ra được Suy ra 2 3 x y 3 2 3 0. 2 2 x y 3 2 3 19 6 2 P 4 4  2 2 2 19 6 2 2 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là khi x y  2 2 Cõu 21. Cho x, y là cỏc số tự nhiờn khỏc 0, tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 36x 5y . Hướng dẫn giải * Với x, y N thỡ 36x cú chữ số tận cựng là 6,5y cú chữ số tận cựng là 5 nờn: A cú chữ số tận cựng là 1 ( nếu 36x 5y ) hoặc 9 ( nếu 36x 5y ) Trường hợp 1: A = 1. Khi đú 36x 5y 1 36x 1 5y.Điều này khụng xảy ra vỡ 36x 1 35 nờn 36x 1 7 , cũn 5y khụng chia hết cho 7. Trường hợp 2: A = 9. Khi đú 5y 36x 9 5y 9 36x điều này khụng xảy ra vỡ x y 9 36 9 cũn cũn 5 khụng chia hết cho 9. ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Trường hợp 3: A = 11. Khi đú 36x 5y 11. Thấy x 1, y 2 thỏa món. Vậy GTNN của A bằng 11, khi x 1, y 2 . Cõu 22. Cho ba số nguyờn dương a, b, c. Chứng minh rằng 3 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI ab bc ca a b c 28. a2 b2 c2 abc Hướng dẫn giải Với x; y; z 0 ta cú: x y +) 2 1 . y x 1 1 1 9 +) 2 x y z x y z TỦ SÁCH CẤP 2| 276
14. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | x2 y2 z2 +) x2 y2 z2 xy yz zx 1 3 xy yz zx Xảy ra đẳng thức ở (1), (2) và (3) x y z Ta cú: ab bc ca 2 a b c M a b c . 2 2 2 a b c abc ab bc ca a b c a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca . a2 b2 c2 abc Áp dụng cỏc bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ab bc ca 9 M a2 b2 c2 . 2.9 a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 2 2 8. 18 2 8 18 28. a b c ab bc ca ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca Dấu “=” xảy ra a b c. ab bc ca 1 2 3 2 3 Cõu 23. Cho 3 số thực x, y, z 0 thoả món 6 và biểu thức P x y z . x y z a) Chứng minh P x 2y 3z 3. b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của P. Hướng dẫn giải a) Ta cú 2 3 2 3 P x 2y 3z 3 y z 2y 3z 3 y 2y 1 z 3z 2 0 2 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT y 1 z 2 z 1 0 (1) 2 2 Vỡ y 1 0; z 1 0; z 2 0 vỡ z 0 theo giả thiết. Vậy bđt (1) đỳng. Ta cú đpcm 1 2 3 b) Theo cõu a) ta cú P x 2y 3z 3 P x 2y 3z 9 x y z 1 2 3 1 2 3 (vỡ 6 theo giả thiết), hay P x 2y 3z 9 x y z x y z 1 2 3 Áp dụng bđt Cụ-si cho 2 số dương ta cú : x 2; 2y 4; 3z 6 (2) x y z Do đú P 2 4 6 9 3 Dấu “=” xảy ra khi cỏc dấu “=” ở (1) và (2) xảy ra x y z 1 Vậy GTNN của P là 3, đạt được khi x y z 1 277 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
15. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | y 2x 3 1 Cõu 24. Cho cỏc số thực dương x, y thỏa món 2x 3 y 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: Q xy 3y 2x 3 (Trớch đề thi toỏn vào lớp 10 Hà Nam năm 2013-2014) Hướng dẫn giải y 2x 3 1 Ta cú: y y y 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 y 1 y y 2x 3 2x 3 y 2x 3 0 y 2x 3 y y 2x 3 2x 3 y 2x 3 y 2x 3 0 y 2x 3 y y 2x 3 2x 3 y 2x 3 0 Với x, y dương thỡ y y 2x 3 2x 3 y 2x 3 0 do đú: y 2x 3 0 y 2x 3 y 2x 3 Do đú: Q xy 3y 2x 3 x 2x 3 3 2x 3 2x 3 2x2 5x 12 2 2 5 25 25 5 121 121 2 x x 12 2 x . 2 16 8 4 8 8 5 11 Dấu “=” xảy ra khi x y . 4 2 121 5 11 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của Q là khi x , y . 8 4 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Cõu 25. Cho cỏc số dương a,b thỏa món a.b 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 M a b 1 a2 b2 a b (Trớch đề thi toỏn HSG lớp 9 Bỡnh Định năm 2017-2018) CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Hướng dẫn giải 2 2 Sử dụng BĐT AM – GM, ta cú: a b 2ab 2 2 2 4 4 4 M a b 1 a b a b 1 .2 a b a b 2 a b a b a b 4 2 a b . 2 ab 2 2.2 2 2 8. Dấu “=” xảy ra khi a b 1. a b Vậy giỏ trị nhỏ nhất của M là 8 khi a b 1. Cõu 26. Cho hai số thực x và y thỏa món x2 xy y2 1 . Tỡm giỏ trị lớn nhất của P x3 y xy3 . TỦ SÁCH CẤP 2| 278
16. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | (Trớch đề thi toỏn HSG lớp 9 Khỏnh Hũa năm 2017-2018) Hướng dẫn giải 2 1 Ta cú: x y 0 x2 y2 2xy 1 x2 xy y2 3xy xy . 3 2 3 3 2 2 2 1 2 1 1 1 P x y xy xy x y xy 1 xy xy xy xy xy xy 4 4 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do xy xy xy xy xy 3 2 6 2 6 2 36 2 36 2 1 1 1 1 2 P xy . 4 2 4 36 9 1 1 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xy và x y x y hoặc x y . 3 3 3 2 1 1 Vậy giỏ trị lớn nhất của P là khi x y hoặc x y . 9 3 3 Cõu 27. Cho hai số thực dương a,b,c 0 thỏa món a b c 1. 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của 30 . a2 b2 c2 abc Hướng dẫn giải Ta cú: 1 1 1 a b c 1 1 1 1 1 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c abc a b c abc a b c ab bc ca a b c ab bc ca 1 1 1 7 9 7 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c 2 ab bc ca a b c 3 9 21 30. a b c 2 a b c 2 1 a b c . Đẳng thức xảy ra khi 3 Cõu 28. Cho a,b,c là ba số thực sao cho a b c 2 và ab 2c2 3c 1. Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức P a2 b2 . Hướng dẫn giải 2 2 Ta cú c 2 a b 4ab 4 2c2 3c 1 c2 4c 4 8c2 12c 4 8 7c2 8c 0 c 7c 8 0 0 c 7 2 2 Do đú P a2 b2 a b 2ab c 2 2 2c2 3c 1 3c2 2c 2 279 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
17. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 2 2c 2 1 7 7 3 c 3 c 3 3 3 3 3 1 Dấu “=” xảy ra khi c (thỏa món) 3 Cõu 29. Giả sử x, y, z là số thực thỏa món điều kiện 2x2 2xy 5y2 1. Tỡm giỏ trị lớn x y nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P . x 2y 2 Hướng dẫn giải 2 2 Ta cú: 2x2 2xy 5y2 1 x y x 2y 1. a Đặt a x y,b x 2y thỡ a2 b2 1 và P b 2 Gọi m là một giỏ trị của biểu thức P thỡ hệ sau cú nghiệm: 2 2 a b 1 2 a2 b2 1 2m bm b2 1 a m a 2m bm a 2m bm b 2 2 Hay phương trỡnh mb 2m b2 1cú nghiệm b. Phương trỡnh này tương đương với m2 1 b2 4m2b 4m2 1 0, nờn điều kiện để phương trỡnh cú nghiệm là: 1 1 ' 0 4m4 m2 1 4m2 1 0 m . 3 3 Ta cú: 1 2m2 1 3 2 3 1 1 3 ) m khi b 2 ,a b 2 m , hay x , y . 3 m 1 2 2 6 6 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là . 3 1 2m2 1 3 2 3 1 1 3 ) m khi b ,a b 2 m , hay x , y . 3 m2 1 2 2 6 6 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là . 3 Cõu 30. Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món x 3y 10. 1 27 Chứng minh rằng 10 . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? x 3y Hướng dẫn giải Cỏch 1. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta cú TỦ SÁCH CẤP 2| 280
18. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 1 1 1 1 x 33 . .x 3(1) x x x x 27 27 27 27 3y 33 . .3y 27(2) 3y 3y 3y 3y Cộng cỏc bất đẳng thức (1) và (2) ta được 1 27 2 x 3y 30 x 3y 1 27 2 30 (x 3y) 20 (do x + 3y 10) x 3y 1 27 10 x 37 x 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y 3 Cỏch 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta cú: 1 27 1 3.27 (1 9)2 100 x 3y x 3 3y x 3 3y x 3 3y 2 1 x 3 3y 12 32 x 3y 100 x 3 3y 10 1 27 Từ (1) và (2) suy ra 10 x 3y x 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y 3 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Cõu 30. Cho cỏc số thực a, b, c thỏa món a2 b2 c2 1. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: F ab bc 2ca. Hướng dẫn giải a2 b2 c2 1 Ta cú : (a b c)2 0 ab bc ca 2 2 a2 c2 b2 (a 2 b2 c2 ) b2 1 1 Ta cú: (a c)2 0 ac 2 2 2 2 1 1 Do đú: F ab bc ca 1 2 2 a b c 0 b 0 Min F 1. Dấu “=” xẩy ra khi a c 0,b 0 2 2 2 2 a c a b c 1 2 1 2 3 Cõu 31. Cho a, b, c là cỏc số dương thỏa món: a2 2b2 3c2 . Chứng minh rằng: a b c 281 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
19. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số, ta cú: 2 a 2b 2 1.a 2. 2a 1 2 a2 2b2 3.3c2 9c2 a 2b 3c. Với mọi x, y, z 0 , ỏp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta cú 1 1 1 1 1 1 1 9 x y z 33 xyz.3 9 . x y z 3 xyz x y z x y z Áp dụng bất đẳng thức trờn, ta cú 1 2 1 1 1 9 9 9 3 (đpcm) a b a b b a b b a 2b 3c c Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c. a2 3ab b2 Cõu 32. Cho a, b là hai số dương. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: P ab(a b) Hướng dẫn giải Ta cú: a2 3ab b2 (a b)2 ab a b ab 3 a b 1 a b ab 3 1 5 P . . .2 2 ab(a b) ab(a b) ab a b 4 ab 4 ab a b 4 4 2 1 (a b)2 ab Dấu bằng xảy ra 4 a b. a b 5 Vậy MinP a b 2 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Cõu 33. Cho a, b là 2 số thực dương thỏa món a b ab . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu 1 1 2 2 thức: P 2 2 1 a 1 b a 2a b 2b Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức trờn ta cú (1 a2 )(1 b2 ) 1 ab 1 a b (1) CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Với mọi x, y > 0, ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 2 số dương ta cú: 1 1 1 1 1 1 4 (x y) 2 . .2 xy 4 (2) x y x y x y x y Áp dụng (1) và (2) ta cú: 4 4 P 1 a b 1 a b a2 2a b2 2b a2 b2 2ab 4 a b 7(a b) 1 (a b)2 8 8 TỦ SÁCH CẤP 2| 282
20. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 2 số dương ta cú: (a b)2 a b ab (a b)2 4(a b) a b 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cụsi cho 2 số dương ta cú: 4 a b a b 4 a b a b 3 33 . . (a b)2 16 16 (a b)2 16 16 4 3 7 21 Suy ra P .4 1 . 4 8 4 21 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 4 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Cõu 34. Cho x, y thỏa món: x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 6 Hóy tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của S x y 1 Hướng dẫn giải Viết lại biểu thức đó cho thành (x y 1)2 5(x y 1) 4 y2 (*) . Như vậy với mọi x và mọi y ta luụn cú S2 5S 4 0 (với S x y 1 ) Suy ra: (S 4)(S 1) 0 4 S 1 . x 5 Từ đú cú: Smin 4 , khi y 0 x 2 Smax 1, khi . y 0 Cỏch 2: ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 4x2 4y2 49 8xy 28x 28y 4y2 9 0 2x 2y 7 2 4y2 9 2 Do 4y2 0,y suy ra 2x 2y 7 9 2x 2y 7 3 2x 2y 7 3 0 x y 5 x y 2 0 x y 5 0 Do x y 5 x y 2 x, y x y 2 0 S 4 S 1 Vậy giỏ trị nhỏ nhất của S là -4 khi y = 0, x = -5 Giỏ trị lớn nhất của S là -1 khi y = 0, x = -2. Cỏch 3: Ta cú S x y 1 y S x 1 thay vào (6) ta được: 283 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC