Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 10: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

Nội dung text: Tài liệu ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 10: Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky

1. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY CHỦ ĐỀ 10 A. KiÕn thøc cÇn nhí 1) Bất đẳng thức Bunyakovsky . Với hai bộ số thực bất kì a1 ,a2 ,...,an và b1 ,b2 ,...,bn ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 a1b1 a2b2 ... anbn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn a1 a2 an Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ... (quy ước bi 0 thì ai 0 ) b1 b2 bn Chứng minh: Theo bất đẳng thức về dấu giá trị tuyệt đối thì: a1b1 a2b2 ... anbn a1 b1 a2 b2 ... an bn 2 2 a1b1 a2b2 ... anbn a1 b1 a2 b2 ... an bn Do đó ta chỉ cần chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... an b1 b2 ... bn 2 2 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2 ... an bn a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn . 2 2 2 Nếu a1 a2 ... an 0 a2 a2 ... an 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng, nên 2 2 2 2 2 2 ta chỉ cần xét a1 a2 ... an 0 . Tương tự, ta cũng chỉ cần xét b1 b2 ... bn 0 . Khi đó bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau: ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 2 a b 2 a b 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 2 a b ... n n 2. 2 2 2 2 2 2 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), ta được: 2 a b a2 b2 1 1 1 1 , 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n 2 a b a2 b2 2 2 2 2 , 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n ......................................................................................................................... 2 a b a2 b2 n n n n . 2 2 2 2 2 2 a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 a1 a2 ... an . b1 b2 ... bn 1 2 n 1 2 n 117 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
2. Cộng theo vế , ta thu được kết quả trên. a1 a2 an Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ... (quy ước bi 0 thì ai 0 ) b1 b2 bn Trong chương trình toán cấp 2, chúng ta chỉ quan tâm tới hai trường hợp cơ bản là n = 2 và n = 3. 2 Với n = 2 ta có: Nếu a, b, x, y là các số thực, thì a2 b2 x2 y2 ax by . a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y Nếu n = 3 ta có: Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì a2 b2 c2 x2 y2 z2 ax by cz 2 . a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y z 2) Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: Cho a1 ,a2 ,...,an và b1 ,b2 ,...,bn hai dãy số thực với bi 0,i . Khi đó 2 a2 a2 a2 a a ... a 1 2 ... n 1 2 n . b1 b2 bn b1 b2 ... bn a a a Đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... n . b1 b2 bn Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số a a a 1 , 2 ,..., n và b , b ,..., b ta được: 1 2 n b1 b2 bn 2 2 2 2 a1 a2 an a1 a2 an 2 ... b1 b2 ... bn . b1 . b2 ... . bn a1 a2 ... an . b b b 1 2 n b1 b2 bn 2 a2 a2 a2 a a ... a 1 2 ... n 1 2 n . b1 b2 bn b1 b2 ... bn a1 a2 an CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI b1 b2 bn a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi. ... ... . b1 b2 bn b1 b2 bn Trong chương trình toán cấp 2, chúng ta chỉ quan tâm tới hai trường hợp cơ bản là n = 2 và n = 3. 2 a2 b2 a b Với n = 2 ta có: Nếu a, b, x, y là các số thực, thì . x y x y a b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y Nếu n = 3 ta có: Nếu a, b, c, x, y, z là các số thực, thì TỦ SÁCH CẤP 2| 118
3. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 a2 b2 c2 a b c . x y z x y z a b c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . x y z Trong chương trình toán THCS khi áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta phải chứng minh trước. B. VÍ DỤ MINH HỌA 1. Kỹ thuật tách ghép bộ số Thí dụ 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa a b c 1 . 1 1 1 Chứng minh rằng: 9 a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky : 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a. b. c. 9 a b c a b c a b c 1 1 1 Vậy 9 a b c 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakoysky dạng phân thức: 2 1 1 1 12 12 12 1 1 1 9 9. a b c a b c a b c 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c . ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 3 Thí dụ 2. Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng : a b b c c a 6 a b c a b c a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a 6 1 1 1 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a 6 a b c a b c a b c Thí dụ 3. Cho các số thực dương a, b, c thỏa ab bc ca 4 . Chứng minh rằng: 16 a 4 b 4 c 4 3 119 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
4. Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : 2 12 12 12 a 4 b 4 c 4 1.a 2 1.b 2 1.c 2 a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 ab bc ca ab bc ca 16 16 a 4 b 4 c 4 (đpcm) 3 a b Thí dụ 4. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng: a b b a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : 2 a b a b 2 a b b a .4 b .4 a a b a b 4 4 b a b a b a Đẳng thức xảy ra khi a = b. Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được: 2 2 2 a b a b a b a b b a b a a b Đẳng thức xảy ra khi a = b. Thí dụ 5. Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c b c c a a b 2 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky với hai bộ số: a b c , , và b c, c a, a b ta được: b c c a a b 2 2 2 a b c 2 2 2 b c c a a b b c c a a b 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a b c . b c . c a . a b b c c a a b 2 2 2 a b c 2 2 a b c a b c b c c a a b a2 b2 c2 a b c . b c c a a b 2 a b c b c c a a b a b c Đẳng thức xảy ra khi a b c. b c c a a b b c a b a b Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: TỦ SÁCH CẤP 2| 120
5. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 a2 b2 c2 a b c a b c . b c c a a b 2 a b c 2 Đẳng thức xảy ra khi a b c. Thí dụ 6. Cho các số thực dương a, b thỏa a 2 b 2 1 . Tìm GTLN của A a 1 a b 1 b Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : A a 1 a b 1 b a 2 b 2 1 a 1 b a b 2 12 12 a 2 b 2 2 2 2 a 2 b 2 1 a b 2 Dấu “=” xảy ra a b a 1 b 1 2 1 1 a b Vậy GTLN của A là 2 2 Thí dụ 7. Cho số thực a, b thỏa 36a 2 16b 2 9 . Tìm GTLN và GTNN của A 2a b 5 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 2 2 2 1 1 1 1 2 36a 2 16b 2 6a 4b. 2a b ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 3 4 3 4 25 2a b 2 16 5 5 2a b 4 4 15 25 2a b 5 4 4 Ta có: 2 2 36a 9b 9 2 a 25 6a 4b 5 GTNN của A là khi 4 1 1 9 b 3 4 20 5 2a b 4 121 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
6. 2 2 36a 9b 9 2 a 25 6a 4b 5 GTLN của A là khi 4 1 1 9 b 3 4 20 5 2a b 4 Thí dụ 8. Cho a,b,c 0 và a b c 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9. a2 2bc b2 2ca c2 2ab (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải 2 Quan sát ta thấy rằng: a2 2bc b2 2ca c2 2ab a b c . Mà theo giả thiết a b c 1. nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: 2 1 1 1 1 1 1 9 9 9. a2 2bc b2 2ca c2 2ab a2 b2 c2 2 ab bc ca a b c 2 1 Chứng minh hoàn tất. 1 Đẳng thức xảy ra khi a b c . 3 Thí dụ 9. Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1 2009 670. a2 b2 c2 ab bc ca (Trích đề vào lớp 10 Hải Phòng năm 2009 - 2010) Hướng dẫn giải Nhận thấy vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta dự đoán dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi a b c 1. 2 2 2 1 1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Do a b c nên a b c ab bc ca . a2 b2 c2 ab bc ca Mặt khác để tận dụng được giả thiết a b c 3 ta nghĩ đến hằng đẳng thức: a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca . Từ đây ta đi đến lời giải như sau: a b c 2 Ta có: ab bc ca 3. 3 1 2009 1 1 1 2007 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca TỦ SÁCH CẤP 2| 122
7. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 1 1 1 2007 27 27 669 669 670 a2 b2 c2 2 ab bc ca 3 a b c 2 27 Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. Thí dụ 10. Cho a, b, c dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a b c 1 . ab a 1 2 bc b 1 2 ca c 1 2 a b c (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Một đẳng thức quen thuộc ta biết là khi abc 1 thì: a b c 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 b ab ab c abc 1 Thật vậy: ; bc b 1 abc ab a ab a 1 ca c 1 a2bc abc ab a 1 ab a b c a ab 1 Do đó: 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a 1 ab a 1 a 1 ab Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được: a b c ab a 1 2 bc b 1 2 ca c 1 2 2 2 2 a b c ab a 1 bc b 1 ca c 1 a b c 2 a b c ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT . a b c a b c Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c. Thí dụ 11. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 . b c a c a b a b c a b c (Trích chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Ta quan sát và nhận xét: b c a c a b 2c, c a b a b c 2a, a b c b c a 2b. Do vậy ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: 123 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
8. 2 1 1 1 1 4 2 , b c a c a b b c a c a b 2c c 2 1 1 1 1 4 2 . c a b a b c c a b a b c 2a a 2 1 1 1 1 4 2 . a b c b c a a b c b c a 2b b Cộng theo vế rồi chia cho 2, ta thu được điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. Thí dụ 12. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 . a 3b b 3c c 3a 2a b c 2b c a 2c a b Hướng dẫn giải Ta tìm sự liên hệ giữa các mẫu thức, khi đó ta nghĩ đến việc tìm x, y, z thỏa mãn: x a 3b y b 3c z c 3a 2a b c Từ đó ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức như bài toán trên. Hằng đẳng thức trên tương đương với: x 3z 2 a 3x y 1 b 3y z 1 c 0 x 3z 2 2 1 4 Đồng nhất hệ số ta được: 3x y 1 x , y , z . 7 7 7 3y z 1 Như vậy ta có sự liên hệ: 2 a 3b b 3c 4 c 3a 7 2a b c . Do đó: 2 7 72 2 1 4 . 2a b c 7 2a b c 2 a 3b b 3c 4 c 3a 22 12 42 2 1 4 2 a 3b b 3c 4 c 3a a 3b b 3c c 3a CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Đến đây bạn đọc tự chứng minh tiếp. Thí dụ 13. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: 441 A 4 x2 y2 z2 x 2x 4z Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có: 441 4 441 A 4 x2 y2 z2 1 22 42 x2 y2 z2 x 2y 4z 21 x 2y 4z TỦ SÁCH CẤP 2| 124
9. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 4 2 441 4 2 441 441 x 2y 4z x 2y 4z 21 x 2y 4z 21 2 x 2y 4z 2 x 2y 4z 4 2 441 441 3 x 2y 4z . . 21 2 x 2y 4z 2 x 2y 4z 63 x y z 1 2 4 1 Dấu “=” xảy ra khi: x , y 1,z 2. 4 2 441 x 2y 4z 2 21 2 x 2y 4z Thí dụ 14. Cho a,b,c 0,1 . Chứng minh rằng: abc 1 a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 2 abc 1 a 1 b 1 c a 1 a bc 1 b 1 c  bc 1 b 1 c abc 1 a 1 b 1 c bc 1 b 1 c bc 1 b 1 c Mà 2 bc 1 b 1 c b 1 b c 1 c  1 bc 1 b 1 c 1 2 Vậy ta có: abc 1 a 1 b 1 c 1 hay abc 1 a 1 b 1 c 1 Lưu ý: Trong cách chứng minh trên ta đã sử dụng bất đẳng thức x y x y x,y 0 Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có: 2 x y x y 2 xy x y x,y 0 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT x y x y Thí dụ 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: a b c 9 b c 2 c a 2 a b 2 4 a b c Hướng dẫn giải Ta có: a b c a b c 2 2 2 b c c a a b 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a c 2 a b c b c c a a b 125 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
10. a b c 3 Mà ta có: (bất đẳng thức Nesbit, đã chứng minh trong phần trước) b c c a a b 2 2 a b c 9 b c c a a b 4 a b c 9 a b c b c 2 c a 2 a b 2 4 a b c 9 đpcm b c 2 c a 2 a b 2 4 a b c ab 3 2 3 Thí dụ 16. Cho a;b 0 và thỏa mãn a2 b2 9 . Chứng minh: . a b 3 2 Hướng dẫn giải 2 Ta có: a2 b2 9 2ab a b 9 2ab a b 3 a b 3 2ab ab a b 3 a b 3 . a b 3 a b 3 2 2 Mà theo bất đẳng thức Bunyakovsky thì: a b 2. a2 b2 3 2 ab 3 2 3 Nên a b 3 2 a;b 0 2 2 3 Đẳng thức xảy ra khi: a b 9 a b . 2 a b Thí dụ 17. Cho x; y 0 và thỏa mãn x2 y2 x y . Chứng minh: x 3y 2 5 Hướng dẫn giải 2 2 2 2 1 1 1 Giả thiết x y x y x y 2 2 2 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số 1;3 và x ; y ta có: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1. 1 3. y 10 x y 5 2 2 2 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI x 3y 2 2 5 x 3y 2 5 x 3y 2 5 1 5 x 2 10 Đẳng thức xảy ra khi 1 3 5 y 2 10 2 y 9  x; y 0 1 x 1 1 256. Thí dụ 18. Cho Chứng minh rằng: x y Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 126
11. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 2 2 2 y 2 2 y y 1 x 1 1 x 1 1.1 x. 1 y . x x x Do đó ta chỉ cần chứng minh: 2 2 9 9 1 y 1 256 1 y 1 16 * y y Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 2 9 2 3 3 2 1 y 1 1 4 y 1 1.1 4 y. 1 3 16 y 4 y 4 y Vậy bất đẳng thức (*) được chứng minh. y 1 x y 1 1 x x Dấu “=” xảy ra khi x 3, y 9. 3 3 1 4 1 y y 1 4 y Cách khác: Ta dự đoán dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi x 3, y 9. Từ đó ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM như sau: x x x x3 1 x 1 4 4 3 3 3 27 y y y y y3 1 1 4 4 x 3x 3x 3x 27x3 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 2 9 3 3 3 27 9 27 1 1 4 4 1 16 y y y y y y y y y Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2 y 9 x3 y3 27 1 x 1 1 4.4 .4 4 .16 256. 3 x y 27 27x y y Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh. x 1 3 x 3, y 9. Dấy bằng zyar ra khi và chỉ khi 3 1 y Thí dụ 19. Cho số dương x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 127 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
12. 11 7 y x 4 1 2 , x 0. 2x x Hướng dẫn giải Ta nghĩ đến tìm số m và n sao cho: 2 11 7 11 2 2 2 7 11 7 y x 4 1 2 x m n 1 x m n. 2x x 2x x 2x x 11 1 11 m x n 7 m 2 n 7 2 x 2 2 2 2 2 m n 4 m n 4 m n.x nx Đẳng thức xảy ra khi: m 1 7 7 11 1 11 x n 7 x n 7 2 x 2 11 7 7 3 Từ x n 7 ta dự đoán n để x nguyên. Khi đó: m 4 2 2 4 2 Trong việc chứng minh bất đăng thức các bạn nên tập suy luận để tìm ra điểm rơi chứ không nên quá máy móc trong việc giải toán. Khi đó ta làm như sau: 2 2 2 11 7 11 3 7 2 7 11 3 7 y x 4 1 2 x 1 x 2x x 2x 2 2 x 2x 2 2x 3 9 3 9 3 15 x 2 x. 6 . 2 x 2 x 2 2 3 7 7 : 2 2 x Đẳng thức xảy ra khi x 3. 9 x x 15 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Vậy giá trị nhỏ nhất của y là khi x 3. 2 2 Thí dụ 20. Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh: a2 2 b2 2 c2 2 3 a b c . Hướng dẫn giải Nhận thấy bất đẳng thức đối xứng và đẳng thức xảy ra khi a b c ta biến đổi như sau: 2 2 2 b c 2 b c Ta có: a b c a 2. a 2 1 . 2 2 TỦ SÁCH CẤP 2| 128
13. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 2 b c Suy ra: 3 a b c 3 a2 2 1 . Ta cần chứng minh: 2 b c 2 b c 2 3 a2 2 1 a2 2 b2 2 c2 2 hay 3 1 b2 2 c2 2 . Sau khi 2 2 b2 c2 b2 c2 khai triển và thu gọn ta được: b2c2 3bc 1 0 . Để ý rằng: bc nên bất đẳng 2 2 2 thức trở thành: b2c2 2bc 1 0 bc 1 0 . Đẳng thức xảy ra khi a b c 1. Thí dụ 21. Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh: a3 b3 c3 1 2a2 b2 2a2 c2 2b2 c2 2b2 a2 2c2 a2 2c2 b2 a b c Hướng dẫn giải Ta mong muốn xuất hiện lượng: a b c . Ta có: 2 2a2 b2 2a2 c2 a2 b2 a2 a2 a2 c2 a2 ab ac a2 a b c 2 a3 a Từ đó suy ra: . 2a2 b2 2a2 c2 a b c 2 Tương tự ta có 2 bất đẳng thức nữa và cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh. Thí dụ 22. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c 3.Chứng minh: 1 1 1 1. a2 b c b2 c a c2 a b Hướng dẫn giải ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 2 1 1 b c a b c 1 b c a b c 2 2 . a b c a b c 1 1 c a 1 1 a b Tương tự: ; . b2 c a a b c 2 c2 a b a b c 2 Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế ta được: 1 1 1 a2 b2 c2 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca 1. a2 b c b2 c a c2 a b a b c 2 a b c 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1. Thí dụ 23. Cho các số thực dương a,b,c sao cho a b c 3. Chứng minh rằng: a b c 1 a3 b2 c b3 c2 a c3 a2 b 129 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
14. Hướng dẫn giải Ta muốn làm xuất hiện a b c . 1 1 a 1 c a 1 c a a a 1 a ca 3 2 2 . Từ đó suy ra: a b c 3 2 1 a b c 9 a b c 1 c a a b c 1 a ca 1 b ab 1 c bc a3 b2 c b3 c2 a c3 a2 b 9 9 9 1 a ca 1 b ab 1 c bc Ta cần chứng minh: 1 ab bc ca 3 . Nhưng điều này là 9 9 9 a b c 2 hiển nhiên đúng do: ab bc ca 3 3 2) Kỹ thật chọn điểm rơi Thí dụ 1. Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) 1 1 1 của A a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 a 2 Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ,  ta có: 2 1 1 2 1 2 2 1  a 2 . a 2 .  a b 2  2 b 2  2 b 2 1 1 2 1 2 2 1  b 2 . b 2 .  b c 2  2 c 2  2 c 2 1 1 2 1 2 2 1  c 2 . c 2 .  c 2 2 2 2 a a  a  1 1 1 1 A a b c  2  2 a b c Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b c 2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a 1 b b 1 4 4 Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 ab bc ca , chọn c  1  1 c 1 a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: Hướng dẫn giải TỦ SÁCH CẤP 2| 130
15. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | 2 1 1 2 1 2 2 1 1 a 2 . a 2 . 4 1 4a b 17 b 17 b 2 1 1 2 1 2 2 1 1 b 2 . b 2 . 4 1 4b c 17 c 17 c 1 1 1 1 1 c2 . c2 . 42 12 4c 2 2 2 2 a 17 a 4 1 a 1 1 1 1 1 15 a b c 1 1 1 A 4 a b c a b c Dấu 17 a b c 17 4 4 4 4 a b c 1 15 a b c 1 1 1 3 17 6 .6 6. . . . . . 17 4 4 4 4 a b c 2 a 1 4 b b 1 “=” xảy ra a b c 2 4 c c 1 4 a 3 17 Vậy GTNN của A là 2 Thí dụ 2. Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 6 . Tìm GTNN của 1 1 1 A a 2 b 2 c 2 b c c a a b Phân tích: Chuyển đổi một biểu thức trong căn thành một biểu thức ngoài căn. Giả sử với các số ,  ta có: ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT 2 1 1 1 1  a 2 . a 2 . 2  2 a b c 2  2 b c 2  2 b c 2 1 1  b b c a 2  2 c a 1 1  c 2 c a b 2  2 a b 1 1 1 1 A a b c  2  2 a b b c c a Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b c 2 131 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
16. a 1 b b 1 4 4 Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 ab bc ca , chọn c  1  1 c 1 a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: Hướng dẫn giải 2 1 1 2 1 2 2 1 1 a . a . 4 1 4a b c 17 b c 17 b c 2 1 1 1 b 4b c a 17 c a 1 1 1 c2 4c 2 2 a b 4 1 a b 1 1 1 1 A 4 a b c 17 a b b c c a 1 1 1 1 4 a b c 3.3 . . 17 a b a b c a 1 9 4 a b c 17 a b a b c a 1 9 4 a b c 2 2 2 17 1 1 1 a b b c c a 1 9 4 a b c 17 6 a b c 1 31 1 9 9 a b c a b c 17 8 8 2 6 a b c 2 6 a b c CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 31 1 9 9 3 17 .6 33 a b c . . 8 8 2 17 2 6 a b c 2 6 a b c 3 17 Với a b c 2 thì GTNN của A là 2 Thí dụ 3. Cho các số thực dương a, b,c thỏa a b c 2abc 10 . Tìm GTNN của 8 9b 2 c 2 a 2 8 9c 2 a 2b 2 8 9a 2 b 2c 2 A a 2 2 4 b 2 2 4 c 2 2 4 Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại a b c 2 TỦ SÁCH CẤP 2| 132
17. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | a 1 b b 1 4 4 Sơ đồ điểm rơi: a b c 2 ab bc ca , chọn c  1  1 c 1 a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM - GM” ta có lời giải: Hướng dẫn giải 8 9b 2 c 2 a 2 4 2 18 4 2 9b ca a 2 4 a 2 2 2 8 9c a b 4 2 18 4 2 9b ca b 2 4 b 8 9a 2 b 2c 2 4 2 18 4 2 9b ca c 2 4 a 4 4 4 24.A 9 a b c ab bc ca a b c 4 4 4 a b c 2a bc 2b ac 2c ab 6 a b c a b c 4 4 4 2 .a 2 .b 2 .c 2 2abc 2 2abc 2 2abc 6 a b c a b c 12 6 a b c 2abc 72 72 A 6 6 24 Với a b c 2 thì GTNN của A là 6 6 ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT C. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho các số thực dương a,b,c sao cho a b c 3 . Chứng minh rằng: a b c 1. a 2bc b 2ac c 2ab a3 b3 c3 a2 b2 c2 2) Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng: . a 2b b 2c c 2a 3 3) Cho các số thực dương x, y, z sao cho x2 y2 z2 3 . Chứng minh: x3 y3 z3 3. 1 2 4) Cho các số thực dương x, y sao cho x y 1. Chứng minh rằng: 3.. 3x2 y2 y2 3xy 133 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
18. 5) Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh: 2 1 1 1 a b c 2 2 2 a ab bc b bc ca c ca ab ab bc ca 6) Cho các số thực dương a,b,c . Chứng minh: ab bc ca a2 b2 c2 a2 bc ca b2 ca ab c2 ab bc ab bc ca 7) Cho các số thực dương a,b,c sao cho abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 a b2 1 b c2 1 c a2 8) Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z Q . x x yz y y zx z z xy (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán TP Hà Nội – 2014) 9) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì: 1 1 1 1 1 1 3 . a b c a 2b b 2c c 2a (Trích đề vào 10 Chuyên Ngoại Ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008) 10) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì: 1 1 1 1 1 1 3 . a b b c c a 3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI TỦ SÁCH CẤP 2| 134
19. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 | BẤT ĐẲNG THỨC CÓ BIẾN TRÊN MỘT ĐOẠN CHỦ ĐỀ 11 A. KiÕn thøc cÇn nhí Khi các biến bị chặn trên một đoạn ta cần chú ý các đánh giá để chặn biến như sau: a,b,c m;n thì: Nếu cần đánh giá a2 ,b2 ,c2 theo a,b,c ta dùng a m a n 0 a2 m n a mn. a n b n 0 ab n a b n2 Nếu cần đánh giá để tạo ra ab ta dùng 2 a m b m 0 ab m a b m Nếu đánh giá đồng thời cả 3 biến ta dùng: a m b m c m 0 a m b m c m n a n b n c 0 n a n b n c 0 2 2 2 a b a b - Ngoài ra còn chú ý với a, b không âm thì 3 3 3 a b a b - Nếu a b c 3p.Trong 3 số giả sử a là số lớn nhất ta suy ra a b c 3p 3a a p. B. VÍ DỤ MINH HỌA  A a2 b2 c2 1 a,b,c 3 Thí dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biết và: ĐẲNG THỨC CẨM NANG BẤT a) a b c 5 b) a b c 4 Hướng dẫn giải a) Do 1 a 3 nên a 1 a 3 0 a2 2a 3 . Tương tự, b2 2b 3,c2 2c 3 nên A 2 a b c 9 2.5 9 19 maxA 19 khi trong ba số a,b,c có hai số bằng 3 , một số bằng 1 . b) Do 1 a,b,c 3 nên a 1 b 1 c 1 3 a 3 b 3 c 0 a 1 bc b c 1 3 a 9 3b 3c bc 0 4 ab bc ac 8 a b c 28 0 . 4 ab bc ac 8.4 28 0 2 ab bc ac 2 1 135 | CẨM NANG BẤT ĐẲNG THỨC
20. 2 Ta có A a2 b2 c2 a b c 2 ab bc ca 16 2 ab bc ca . 2 Từ 1 và 2 suy ra A 14 maxA 14 khi trong ba số a,b,c có một số bằng 3 , một số bằng 2 , một số bằng 1 . Lưu ý: Cách giải ở câu a) gọn vì ta gặp thuận lợi: cực trị xảy ra khi a,b,c chỉ nhận các giá trị là 3 và 1 , tức là nhận các giá trị ở biên của các biến. Cách giải ở câu a) không vận dụng được cho câu b) vì ở câu b) cực trị xảy ra khi có một số bằng 2 , không phải là giá trị ở biên của biến a,b,c . Như vậy cách giải ở câu b tổng) quát hơn. Thí dụ 2. Cho các số thực x, y, z  1;2 thỏa mãn điều kiện x y z 0. Chứng minh rằng: x2 y2 z2 6. Hướng dẫn giải 2 Vì x  1;2 nên x 1 x 2 0 x x 2. Tương tự: y2 y 2 ; z2 x 2. 2 2 2 Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được: x y z x y z 6 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 0 và x, y, z 1;2 Hay đẳng thức xảy ra khi x, y, z 1;1;2 và các hoán vị. Thí dụ 3. Cho ba số dương a,b,c 0;1. Chứng minh rằng: a b c 2 bc 1 ac 1 ab 1 Hướng dẫn giải Vì a,b,c 0;1 nên: 1 1 c c a 1 b 1 0 ab 1 a b 1 ab 1 a b ab 1 a b a a b b Tương tự: (2); (3) bc 1 b c ac 1 a c CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a b c a b c Do đó: (4) bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b a b c 2a 2b 2c Mà : 2 5 b c a c a b a b c a b c a b c a b c Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) bc 1 ac 1 ab 1 Thí dụ 4. Cho các số thực a,b,c  2;5 thỏa mãn điều kiện a + 2b + 3b ≤ 2 2 2 2 Chứng minh rằng: a 2b 3c 66. TỦ SÁCH CẤP 2| 136