Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.2: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

49 trang nhungbui22 12/08/2022 2190

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.2: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 8.2: Tích phân của hàm ẩn (Có đáp án)

DẠNG 3: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 4 2 Câu 104: Cho f x dx 16 . Tính f 2x dx 0 0 A. 16. B. 4. C. 32. D. 8. 6 2 Câu 105: Nếu f x dx 12 thì f 3x dx bằng 0 0 A. 6. B. 36. C. 2. D. 4. 2 5 Câu 106: Cho f x2 1 xdx 2. Khi đó I f x dx bằng: 1 2 A. 2. B. 1. C. 1. D. 4. 1 Câu 107: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x dx 9 . Tính tích phân 5 2 f 1 3x 9 dx . 0 A. 27. B. 21. C. 15. D. 75. 9 4 Câu 108: Biết f x làm hàm liên tục trên ¡ và f x dx 9 . Khi đó giá trị của f 3x 3 dx là 0 1 A. 27. B. 3. C. 0. D. 24. 1 2 x Câu 109: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 10 . Tính f dx . 0 0 2 2 x 5 2 x 2 x 2 x A. f dx . B. f dx 20. C. f dx 10 . D. f dx 5 . 0 2 2 0 2 0 2 0 2 5 2 f x dx 4 I f 2x 1 dx Câu 110: Cho 1 . Tính 1 . 5 3 A. I 2 . B. I . C. I 4 . D. I . 2 2 5 Câu 111: Giả sử hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x dx a , a ¡ . Tích phân 3 2 I f 2x 1 dx có giá trị là 1 1 1 A. I a 1. B. I 2a 1. C. I 2a . D. I a . 2 2 2 5 Câu 112: Cho f x2 1 xdx 2. Khi đó I f x dx bằng 1 2 A. 2. B. 1. C. 1. D. 4. 3 2 Câu 113: Cho hàm số f x liên tục trên 1; và f x 1 dx 8 . Tích phân I xf x dx 0 1 bằng: A. I 16. B. I 2 . C. I 8 . D. I 4 11 2 Câu 114: Biết f x dx 18 . Tính I x 2 f 3x 2 1 dx . 1 0 A. I 5 . B. I 7 . C. I 8 D. I 10.
1 2 Câu 115: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f 2x dx 8. Tính I xf x 2 dx 0 0 A. 4. B. 16. C. 8. D. 32. 1 3 Câu 116: Cho hàm số f x liên tục trên R và có f x dx 2; f x dx 6 . Tính 0 0 1 I f 2x 1 dx . 1 2 3 A. I . B. I 4 . C. I . D. I 6 . 3 2 2 4 Câu 117: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;4 và f x dx 1; f x dx 3. Tính 0 ; 0 1 f 3x 1 dx . 1 4 A. 4. B. 2. C. . D. 1. 3 1 3 Câu 118: Cho f x là hàm số liên tục trên ¡ và f x d x 4 , f x d x 6 . Tính 0 0 1 I f 2x 1 d x . 1 A. I 3 . B. I 5 . C. I 6 . D. I 4 . 1 2 Câu 119: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f 2x dx 2 và f 6x dx 14 . Tính 0 0 2 f 5 x 2 dx . 2 A. 30. B. 32. C. 34. D. 36. 2 2 Câu 120: Cho tích phân I cos x. f sin x dx 8 . Tính tích phân K sin x. f cos x dx . 0 0 A. K 8. B. K 4. C. K 8. D. K 16 . 1 Câu 121: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x dx 1. Tính 0 4 I tan 2 1 . f tan x dx . 0 A. I 1. B. I 1. C. I . D. I . 4 4 1 Câu 122: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f 2x 3f x , x ¡ . Biết rằng f x dx 1 0 2 . Giá trị của tích phân I f x dx bằng bao nhiêu? 1 A. I 5 . B. I 3 . C. I 8 . D. I 2 . 2 Câu 123: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 2 2; f x dx 1 . Tính 0 4 tích phân I f x dx . 0
A. I 10 . B. I 5 . C. I 0 . D. I 18 . 2 4 f x f x dx 2 I dx Câu 124: Cho 1 . Tính 1 x bằng 1 A. I 1. B. I 2 . C. I 4 . D. I . 2 16 f x 2 Câu 125: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn dx 6 và f sin x cos xdx 3 . Tính 1 x 0 4 tích phân I f x dx . 0 A. I 2 . B. I 6 . C. I 9 . D. I 2 . 9 f x 2 Câu 126: Cho f x liên tục trên ¡ thỏa dx 4 và f sin x cos xdx 2 . Tính 1 x 0 3 I f x dx . 0 A. I 10. B. I 6 . C. I 4 . D. I 2 . f 2 x 1 ln x Câu 127: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f x . Tính tích x x 4 phân I f x dx . 3 A. I 3 2 ln 2 2 . B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln2. 5 2 Câu 128: Cho hàm số f x liên tục trên  4; và f x 4 dx 8 . Tính I x. f x dx . 0 3 A. I 8 . B. I 4 . C. I 16 . D. I 4 . 1 2 3 Câu 129: Cho f 2x 1 dx 12 và f sin2 x sin 2xdx 3 . Tính f x dx . 0 0 0 A. .2 6 B. . 22 C. . 27 D. . 15 4 1 x 2 f x Câu 130: Cho hàm f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f tan x dx 3 và dx 1. Tính 2 0 0 x 1 1 f x dx . 0 A. 4. B. 2. C. 5. D. 1. 4 1 x 2 f x 1 Câu 131: Cho hàm số f x liên tục trên R và f tan x dx 4; dx 2 . Tính I f x dx . 2 0 0 x 1 0 A. I 6 . B. I 2 . C. I 3 . D. I 1. 2018 Câu 132: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 2 . Khi đó tích phân 0 2018 e 1 x f ln x2 1 dx bằng 2 0 x 1 A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
3 m 10 15 Câu 133: Tìm tất cả các giá trị dương của m để x 3 x dx f , với f x ln x . 0 9 A. m 20 . B. m 4 . C. m 5 . D. m 3 . 3 Câu 134: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 4 x f x . Biết xf x dx 5. 1 3 Tính I f x dx . 1 5 7 9 11 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 Câu 135: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 4 x f x ,x 1;3 và 3 3 xf x dx 2 . Giá trị f x dx bằng 1 1 A. 2 . B. 1. C. 2. D. 1. Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn 5 như hình vẽ. Tính giá trị I f x 2 dx . 6 y 3 x 6 4 O 1 5 A. I 2 35 . B. I 2 34 . C. I 2 33. D. I 2 32 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số f x thỏa mãn : A. f x B.u . f u C. f a b x g x u a a b 1 b +) Với thì f x dx g x dx . A B C u b b a a u a b b 1 b +) Với thì f x dx g x dx . A B C u b a a a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B,C . f x a;b b b Nếu liên tục trên thì f a b x dx f x dx . a a 1 2 3 6 Câu 137: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6x f x . Tính f x dx 3x 1 0 A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 6 . Câu 138: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 4xf x 2 3 f x 1 1 x 2 . 1 Tích phân I f x dx bằng 0 A. I . B. I . C. I . D. I 4 6 20 16 Câu 139: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;2 và thỏa mãn điều kiện f x f 2 x 2x. Tính giá 2 trị của tích phân I f x dx . 0
1 4 A. I 4 . B. I . C. I . D. I 2 . 2 3 Câu 140: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x . Tích phân 1 f x dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. . C. . D. . 3 6 15 5 Câu 141: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x 3 f 1 x x 1 x . 1 Tính tích phân I f x dx . 0 1 4 1 4 A. I . B. I . C. I . D. I . 25 15 15 75 Câu 142: Xét hàm số f x liên tục trên 1;2 và thỏa mãn f x 2xf x2 2 3 f 1 x 4x3 . 2 Tính giá trị của tích phân I f x dx . 1 5 A. I 5 . B. I . C. I 3 . D. I 15 . 2 Câu 143: Hàm số f x liên tục trên  1;2 và thỏa mãn điều kiện f x x 2 xf 3 x2 . Tính 2 giá trị của I f x dx 1 14 28 4 A. I . B. I . C. I . D. I 2 . 3 3 3 1 Câu 144: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn f x xf 1 x 2 3 f 1 x . Tính x 1 1 giá trị của tích phân I f x dx . 0 9 2 4 3 A. I ln 2 . B. I ln 2 . C. I . D. I . 2 9 3 2 x3 Câu 145: Cho hàm số y f x và thỏa mãn f x 8x3 f x4 0 . Tích phân x2 1 1 a b 2 a b I f x dx với a, b, c ¢ và ; tối giản. Tính a b c 0 c c c A. 6 . B. 4. C. 4 . D. 10 . 1 Câu 146: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ln2;ln2 và thõa mãn f x f x . Biết ex 1 ln 2 f x dx a ln 2 bln 3, với a, b ¤ . Tính giá trị của P a b . ln 2 1 A. P . B. P 2. C. P 1. D. P 2. 2 Câu 147: Biết hàm số y f x là hàm số chẵn trên đoạn ; và 2 2 2 2 f x f x sin x cos x . Tính I f x dx . 2 0
1 A. I 0 . B. I 1. C. I . D. I 1. 2 Câu 148: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , f 0 0 và f x f x sinx.cosx 2 với x ¡ . Giá trị của tích phân 2 xf x dx bằng 0 1 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 x 2 Câu 149: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 1 2x f 1 2x ,x ¡ . tính tích x 2 1 3 phân I f x dx . 1 1 A. I 2 . B. I 1 . C. I . D. I . 2 4 2 8 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt t u x và t v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f x ) để suy ra hàm số f x (nếu u x x thì chỉ cần đặt một lần t v x ). Các kết quả đặc biệt: x b x c A.g B.g 2 2 a a Cho A.f ax b B.f ax c g x với A B ) khi đó f x (*) A2 B 2 A.g x B.g x +)Hệ quả 1 của (*): A. f x B. f x g x f x A2 B 2 g x +)Hệ quả 2 của (*): A. f x B. f x g x f x với g x là hàm số chẵn. A B 1 2 f x Câu 150: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x 2 f 3x . Tính I dx. x 1 x 2 3 1 A. I . B. I 1. C. I . D. I 1. 2 2 2 15x Câu 151: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x 3 f , x 2 3 9 2 1 f x dx k . Tính I f dx theo k . 3 1 x 2 45 k 45 k 45 k 45 2k A. I . B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 Câu 152: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018 f x 2xsin x . Tính giá 2 trị của I f x dx . 2 2 2 4 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 2019 1009 2019 1009 Câu 153: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018f x ex . Tính giá trị của 1 I f x dx 1 e2 1 e2 1 e2 1 A. I . B. I . C. I 0 . D. I . 2019e 2018e e
Câu 154: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , thỏa mãn 2 f 2x f 1 x 12x2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y 2x 2 . B. y 4x 6 . C. y 2x 6 . D. y 4x 2 . 1 Câu 155: Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ thỏa mãn f x dx 2018 và g x là hàm số 0 1 liên tục trên ¡ thỏa mãn g x g x 1, x ¡ . Tính tích phân I f x g x dx . 1 1009 A. I 2018. B. I . C. I 4036 . D. I 1008 . 2 Câu 156: Cho số dương a và hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f x a , x ¡ . Giá a trị của biểu thức f x dx bằng a A. 2a 2 . B. a. C. a 2 . D. 2a. 2 Câu 157: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa điều kiện f x f x 2sin x. Tính f x dx 2 A. 1. B. 0. C. 1. D. 2. Câu 158: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x f x 2 2cos2x . Tính tích 3 2 phân I f x dx . 3 2 A. I 3 . B. I 4 . C. I 6 . D. I 8 . Câu 159: Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x f x 2 2cos2x . Tính 2 I f x dx . 2 A. I 1. B. I 1. C. I 2 . D. I 2 . π 4 Câu 160: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và 3 f x 2 f x tan2 x . Tính f x dx π 4 π π π π A. .1 B. . 1 C. . 1 D. . 2 2 2 4 2 1 Câu 161: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ln2;ln2 và thỏa mãn f x f x . ex 1 ln 2 Biết f x dx a ln 2 bln 3 a;b ¤ . Tính P a b . ln 2 1 A. P . B. P 2. C. P 1. D. P 2. 2 Câu 162: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x 3 f 1 x x 1 x . Tính 1 tích phân I f x dx . 0
4 1 4 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 15 15 75 25 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f x là hàm số chẵn, g x là hàm 1 1 số lẻ. Biết f x dx 5 và g x dx 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 . B. g x dx 14. 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. f x g x dx 10 . 1 1 a a a Câu 164: Nếu hàm f x CHẴN thì f x dx 2 f x dx 2. Nếu hàm f x LẺ thì f x dx 0 a 0 a Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 1 Đặt A f x dx f x dx f x dx 1 1 0  A1 A2 0 A f x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận: 0 1 1 A f t . dt f t dt f x dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc 1 1 0 0 1 vào biến số tích phân) f x dx (Do f x là hàm chẵn f x f x ) 0 1 1 1 Vậy A f x dx f x dx f x dx 10 (1) 1 0 0 1 0 1 Đặt B g x dx g x dx g x dx 1 1 0  B1 B2 0 B g x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận: 0 1 1 B g t . dt g t dt g x dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc 1 1 0 0 1 vào biến số tích phân) g x dx (Do f x là hàm chẵn g x g x ) 0 1 1 1 Vậy B g x dx g x dx g x dx 0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 0 Câu 165: Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 biết f x dx 2 và 2 2 4 f 2x dx 4 . Tính I f x dx . 1 0 A. I 10 . B. I 6 . C. I 6 . D. I 10.
1 f 2x 2 Câu 166: Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên ¡ và dx 8 . Tính f x dx . x 1 1 2 0 A. 2 . B. 4 . C. 8. D. 16. 1 Câu 167: Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1; 1 và f x dx 2 . Kết quả 1 1 f x I dx bằng x 1 1 e A. I 1. B. I 3 . C. I 2 . D. I 4 . 1 1 2 Câu 168: Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết f x dx f x dx 1. Giá trị của 0 2 1 2 f x dx bằng x 2 3 1 A. 1. B. 6. C. 4. D. 3. f x f 3 x f x x, x R 2 Câu 169: Cho hàm số liên tục trên R thỏa mãn . Tính I f x dx 0 3 1 5 A. I 2 . B. I . C. I . D. I . 2 2 4 Câu 170: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f 3 x 3f 2 x 6 f x x, x ¡ . Tính tích 5 phân I f x dx . 0 5 5 5 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 2 12 3 Câu 171: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn x f 3 x 2 f x 1, x ¡ . Tính 1 I f x dx . 2 7 7 7 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 2 3 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 b 2 dx b a Bài toán: “ Cho f x .f a b x k , khi đó I a k f x 2k Chứng minh: dt dx Đặt t a b x k 2 và x a t b ; x b t a . f x f t b dx b dx 1 b f x dx Khi đó I . k f x k 2 k k f x a a k a f t b dx 1 b f x dx 1 b 1 b a 2I dx b a I . a k f x k a k f x k a k 2k Câu 172: Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết f x .f 1 x 1 với 1 dx x 0;1. Tính giá trí I 0 1 f x 3 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2
Câu 173: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , ta có f x 0 và f 0 .f 2018 x 1. Giá trị của tích 2018 dx phân I 0 1 f x A. I 2018. B. I 0 C. I 1009 D. 4016 Câu 174: Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên ¡ và f x 0 khi x 0;5 Biết   . 5 dx f x .f 5 x 1 tính tích phân I . , 0 1 f x 5 5 5 A. I . B. I . C. I . D. I 10. 4 3 2 3 Câu 175: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 4 x f x . Biết xf x dx 5 . 1 3 Tính tích phân f x dx . 1 5 7 9 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Câu 176: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và f x 0 khi x [0; a] ( a 0 ). Biết a dx f x . f a x 1, tính tích phân I . 0 1 f x a a a A. I . B. I 2a . C. I . D. I . 2 3 4 f x . f a x 1 Câu 177: Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0;a thỏa mãn và f x 0,x 0;a a dx ba b , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó 0 1 f x c c b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22 . B. 0;9 . C. 7;21 . D. 2017;2020 . TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa 4 2 3 mãn đẳng thức x 2x.f x f x ,x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính I f x dx ? 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I . B. I . C. I . D. I . 45 45 45 45 3 2 2x Câu 179: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R thỏa mãn 3 f x .e f x x 1 0 và f 2 x 7 f 0 1. Tích phân x. f x dx bằng 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. . C. . D. . 3 4 8 4 1 Câu 180: Cho hàm số f x x4 4x3 3x2 x 1,x ¡ . Tính I f 2 x . f x dx . 0 7 7 A. 2. B. 2. C. . D. . 3 3
Câu 181: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và f x 0 , x 0;1 . Biết rằng 1 3 f a , f b và x xf x 2 f x 4, x 0;1 . Tính tích phân 2 2 3 sin2 x.cos x 2sin2x I dx 2 theo a và b . f sin x 6 3a + b 3b + a 3b - a 3a - b A. I = . B. I = . C. I = . D. I = . 4ab 4ab 4ab 4ab Câu 182: Cho hàm số f liên tục, f x 1, f 0 0 và thỏa f x x 2 1 2 x f x 1 . Tính f 3 . A. 0. B. 3. C. 7. D. 9. 5 Câu 183: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 4 , f 5 3, f 2 2 . Tính 2 2 I x3 f x2 1 dx 1 A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . f 2 x 1 ln x Câu 184: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f x . Tính tích x x 4 phân I f x dx . 3 A. I 3 2 ln 2 2 . B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln2. 2 16 f x Câu 185: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn cot x.f sin2 x dx dx 1. Tính 1 x 4 1 f 4x tích phân dx . 1 x 8 3 5 A. I 3 . B. I . C. I 2 . D. I . 2 2 Câu 186: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 4x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2 . 1 Tích phân I f x dx bằng: 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 6 20 16 1 2 9 Câu 187: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, f x dx 0 5 1 2 1 và f x dx . Tính tích phân I f x dx . 0 5 0 3 1 3 1 A. I . B. I . C. I . D. I . 5 4 4 5
HƯỚNG DẪN GIẢI TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1 4 2 Câu 104: Cho f x dx 16 . Tính f 2x dx 0 0 A. 16. B. 4. C. 32.D. 8. Hướng dẫn giải Chọn D 2 Xét tích phân f 2x dx ta có 0 1 Đặt 2x t dx dt . Khi x 0 thì t 0; khi x 2 thì t 4. 2 2 1 4 1 4 1 Do đó f 2x dx f t dt f x dx .16 8 . 0 2 0 2 0 2 6 2 Câu 105: Nếu f x dx 12 thì f 3x dx bằng 0 0 A. 6. B. 36. C. 2.D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t 3x dt 3dx . Đổi cận: x 0 t 0 , x 2 t 6 2 1 6 1 Khi đó: f 3x dx f t dt .12 4 . 0 3 0 3 2 5 Câu 106: Cho f x2 1 xdx 2. Khi đó I f x dx bằng: 1 2 A. 2. B. 1. C. 1.D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t x 2 1 dt 2 xdx . Đổi cận: x 1 t 2 , x 2 t 5 . 2 1 5 5 2 Khi đó: f x2 1 xdx f t dt f t dt 2 f x2 1 xdx 4 . 1 2 2 2 1 5 5 Mà tích phân không phụ thuộc vào biến nên: I f x dx f t dt 4 . 2 2 1 Câu 107: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x dx 9 . Tính tích phân 5 2 f 1 3x 9 dx . 0 A. 27.B. 21. C. 15. D. 75. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t 1 3x dt 3dx . Với x 0 t 1 và x 2 t 5 . 2 2 2 5 dt 1 1 Ta có f 1 3x 9 dx f 1 3x dx 9dx f t 9x 2 f x dx 18 0 0 0 0 1 3 3 5 1 .9 18 21. 3
9 4 Câu 108: Biết f x làm hàm liên tục trên ¡ và f x dx 9 . Khi đó giá trị của f 3x 3 dx là 0 1 A. 27.B. 3. C. 0. D. 24. Hướng dẫn giải Chọn B 4 I f 3x 3 dx . Đặt t 3x 3 dt 3dx 1 x 1 t 0 Đổi cận: x 4 t 9 1 9 1 9 I f t dt f x dx 3 . 3 0 3 0 1 2 x Câu 109: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 10 . Tính f dx . 0 0 2 2 x 5 2 x 2 x 2 x A. f dx .B. f dx 20. C. f dx 10 . D. f dx 5 . 0 2 2 0 2 0 2 0 2 Hướng dẫn giải Chọn B x 1 Đặt t dt dx . 2 2 Đổi cận: x 0 t 0 ; x 2 t 1. 2 x 1 Ta có: f dx 2. f t dt 2.10 20. 0 2 0 5 2 f x dx 4 I f 2x 1 dx Câu 110: Cho 1 . Tính 1 . 5 3 A. I 2 . B. I . C. I 4 . D. I . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Đặt t 2x 1 dt 2dx dx dt . 2 Với x 1 t 1, với x 2 t 5 . 2 5 5 5 1 1 1 1 Khi đó ta có I f 2x 1 dx I f t . dt f t dt f x dx .4 2 . 1 1 2 2 1 2 1 2 5 Câu 111: Giả sử hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x dx a , a ¡ . Tích phân 3 2 I f 2x 1 dx có giá trị là 1 1 1 A. I a 1. B. I 2a 1. C. I 2a .D. I a . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t 2x 1 dt 2dx . Đổi cận: x 1 t 3 ; x 2 t 5 . 5 1 1 5 1 I f t dt f x dx a . 3 2 2 3 2
2 5 Câu 112: Cho f x2 1 xdx 2. Khi đó I f x dx bằng 1 2 A. 2. B. 1. C. 1.D. 4. Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t x 2 1 dt 2 xdx Đổi cận: x 1 t 2 ; x 2 t 5 . 1 5 1 5 5 Khi đó: 2 f t dt f x dx I f x dx 4. . 2 2 2 2 2 3 2 Câu 113: Cho hàm số f x liên tục trên 1; và f x 1 dx 8 . Tích phân I xf x dx 0 1 bằng: A. I 16. B. I 2 . C. I 8 .D. I 4 Hướng dẫn giải Chọn D 3 2 I f x 1 dx 8 . Đặt t x 1 t x 1 2tdt dx; 0 đổi cận: x 0 t 1; x 3 t 2 . 2 2 2 Khi đó I 2tf t dt 8 tf t dt 4 . Vậy I xf x dx 4. 1 1 1 11 2 Câu 114: Biết f x dx 18 . Tính I x 2 f 3x 2 1 dx . 1 0 A. I 5 .B. I 7 . C. I 8 D. I 10. Hướng dẫn giải Chọn B Đặt t 3x 2 1 dt 6xdx . Đổi cận x 0 t 1, x 2 t 11 2 2 2 1 11 1 I x 2 f 3x2 1 dx 2xdx xf 3x2 1 dx 4 f t dt 4 .18 7 . 0 0 0 6 1 6 1 2 Câu 115: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f 2x dx 8. Tính I xf x 2 dx 0 0 A. 4. B. 16.C. 8. D. 32. Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x 2 2t 2 xdx 2dt xdx dt . Đổi cận: x 0 t 0 , x 2 t 1 . 1 Ta có: I f 2t dt 8. 0 1 3 Câu 116: Cho hàm số f x liên tục trên R và có f x dx 2; f x dx 6 . Tính 0 0 1 I f 2x 1 dx . 1 2 3 A. I .B. I 4 . C. I . D. I 6 . 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B
1 1 2 1 I f 2x 1 dx f 1 2x dx f 2x 1 dx I I Có 1 2 1 1 1 2 1 x 1 u 3 2 Tính I f 1 2x dx .Đặt u 1 2 x du 2 dx . Đổi cận: 1 . 1 x u 0 1 2 1 0 1 3 I f u du f u du 3 1 2 3 2 0 x 1 u 1 1 Tính I f 2x 1 dx . Đặt u 2x 1 du 2 dx . Đổi cận: . 2 1 1 x u 0 2 2 1 1 1 1 I f u du f u du 1 2 2 0 2 0 Vậy I I1 I2 4. 2 4 Câu 117: Cho hàm số y f x liên tục trên 0;4 và f x dx 1; f x dx 3. Tính 0 ; 0 1 f 3x 1 dx . 1 4 A. 4. B. 2.C. . D. 1. 3 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1/3 1 f 3x 1 dx f 1 3x dx f 3x 1 dx . 1 1 1/3 1 1/3 1 1 f 1 3x d 1 3x f 3x 1 d 3x 1 . 3 1 3 1/3 1 0 1 2 1 1 4 f t dt f t d t 3 .1 . 3 4 3 0 3 3 3 1 3 Câu 118: Cho f x là hàm số liên tục trên ¡ và f x d x 4 , f x d x 6 . Tính 0 0 1 I f 2x 1 d x . 1 A. I 3 .B. I 5 . C. I 6 . D. I 4 . Hướng dẫn giải Chọn B 1 Đặt u 2x 1 d x du . Khi x 1 thì u 1. Khi x 1 thì u 3 . 2 3 1 1 0 3 Nên I f u du f u d u f u d u 2 1 2 1 0 1 0 3 f u d u f u d u . 2 1 0 1 Xét f x d x 4 . Đặt x u d x du . 0
Khi x 0 thì u 0 . Khi x 1 thì u 1. 1 1 0 Nên 4 f x d x f u du f u du . 0 0 1 3 3 Ta có f x d x 6 f u d u 6 . 0 0 1 0 3 1 Nên I f u d u f u d u 4 6 5 . 2 1 0 2 1 2 Câu 119: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f 2x dx 2 và f 6x dx 14 . Tính 0 0 2 f 5 x 2 dx . 2 A. 30.B. 32. C. 34. D. 36. Hướng dẫn giải Chọn B 1 + Xét f 2x dx 2 . 0 Đặt u 2x du 2dx ; x 0 u 0 ; x 1 u 2 . 1 1 2 2 Nên 2 f 2x dx f u du f u du 4 . 0 2 0 0 2 + Xét f 6x dx 14 . 0 Đặt v 6x dv 6dx ; x 0 v 0 ; x 2 v 12 . 2 1 12 12 Nên 14 f 6x dx f v dv f v dv 84 . 0 6 0 0 2 0 2 + Xét f 5 x 2 dx f 5 x 2 dx f 5 x 2 dx . 2 2 0 0 Tính I f 5 x 2 dx . 1 2 Đặt t 5 x 2. Khi 2 x 0 , t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 . 2 1 1 12 2 1 I f t dt . 1 f t dt f t dt 84 4 16 5 12 5 0 0 5 2 Tính I f 5 x 2 dx . 1 0 Đặt t 5 x 2. Khi 0 x 2, t 5x 2 dt 5dx ; x 2 t 12 ; x 0 t 2 . 12 1 1 12 2 1 I f t dt . 2 f t dt f t dt 84 4 16 5 2 5 0 0 5 2 Vậy f 5 x 2 dx 32 . 2 2 2 Câu 120: Cho tích phân I cos x. f sin x dx 8 . Tính tích phân K sin x. f cos x dx . 0 0
A. K 8. B. K 4. C. K 8. D. K 16 . Hướng dẫn giải: 2 I cos x. f sin x dx Đặt t x dt dx Đổi cận: 0 2 0 2 2 I cos t . f sin t . dt sint. f cos x .dt sin x. f cos x .dt (Tích phân xác 2 2 0 0 2 định không phụ thuộc vào biến số tích phân) K K I 8 Chọn C 1 Câu 121: Cho hàm số y f x liên tục trên R, thỏa mãn f x dx 1. Tính 0 4 I tan 2 1 . f tan x dx . 0 A. I 1. B. I 1. C. I . D. I . 4 4 Hướng dẫn giải: Đặt t tan x dt 1 tan2 x dx . Đổi cận: 1 1 I f t dt f x dx (Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) 1 0 0 Chọn A Câu 122: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f 2x 3f x , x ¡ . Biết rằng 1 2 f x dx 1. Giá trị của tích phân I f x dx bằng bao nhiêu? 0 1 A. I 5 . B. I 3 . C. I 8 . D. I 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 Xét tích phân J f x dx , đặt x 2t dx 2dt . 0 Với x 2 t 1, x 0 t 0 . 1 1 1 1 1 Ta có J f 2t 2dt 2 f 2t dt 2 3 f t dt 6 f t dt 6 f x dx 6 . 0 0 0 0 0 2 1 2 Mặt khác, ta có J f x dx f x dx f x dx 0 0 1 2 2 1 1 I f x dx f x dx f x dx J f x dx 5 . 1 0 0 0 2 Câu 123: Cho hàm số y f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn f 2 2; f x dx 1 . 0 4 Tính tích phân I f x dx . 0 A. I 10 . B. I 5 . C. I 0 . D. I 18 . Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t x , ta có: t 2 x và 2tdt dx. Khi x 0 t 0 ; x 4 t 2 .
4 2 I f x dx 2tf t dt . 0 0 Đặt u 2t; dv f t dt ta được: du 2dt ; v f t . 2 2 Khi đó: I 2tf t 2 f t dt 4 f 2 2.1 4. 2 2 10 . 0 0 2 4 f x Câu 124: Cho f x dx 2 . Tính I dx bằng 1 1 x 1 A. I 1. B. I 2 .C. I 4 . D. I . 2 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Đặt t x dt dx ; đổi cận: x 1 t 1, x 4 t 2 2 x 4 f x 2 2 I dx f t 2dt 2 f t dt 2.2 4 . 1 x 1 1 16 f x 2 Câu 125: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn dx 6 và f sin x cos xdx 3 . 1 x 0 4 Tính tích phân I f x dx . 0 A. I 2 .B. I 6 . C. I 9 . D. I 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 16 f x dx Xét I dx 6, đặt x t dt 1 x 2 x Đổi cận: x 1 t 1; x 16 t 4 4 4 6 I 2 f t dt 6 f t dt 3. 1 1 2 2 J f sin x cos xdx 3 , đặt sin x u cos xdx du 0 Đổi cận: x 0 u 0 ; x u 1 2 1 J f u du 3 0 4 1 4 Vậy I f x dx f x dx f x dx 3 3 6 . 0 0 1 9 f x 2 Câu 126: Cho f x liên tục trên ¡ thỏa dx 4 và f sin x cos xdx 2 . Tính 1 x 0 3 I f x dx . 0 A. I 10. B. I 6 .C. I 4 . D. I 2 . Hướng dẫn giải Chọn C
9 f x Ta có: dx 4 , đặt t x t 2 x 2t dt dx 1 x đổi cận x 1 t 1, x 9 t 3 3 f t 3 Do đó ta có: 2t dt 4 f t dt 2 (1) 1 t 1 2 Ta có: f sin x cos x.dx 4 , đặt t sin x dt cos x.dx 0 đổi cận x 0 t 0 , x t 1 2 2 1 Do đó ta có: f sin x cos x.dx 2 f t dt 2 (2) 0 0 3 3 Từ (1) và (2) ta có: f x dx f t dt 4. . 0 0 f 2 x 1 ln x Câu 127: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f x . Tính tích x x 4 phân I f x dx . 3 A. I 3 2 ln 2 2 .B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln2. Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 4 4 f 2 x 1 ln x f 2 x 1 ln x Ta có f x dx dx dx dx . x x x x 1 1 1 1 4 f 2 x 1 Xét K dx . 1 x t 1 dx Đặt 2 x 1 t x dt . 2 x 3 3 K f t dt f x dx . 1 1 2 4 4 ln x 4 ln x Xét M dx ln xd ln x 2 ln 2 2 . 1 x 1 2 1 4 3 4 Do đó f x dx f x dx 2ln2 2 f x dx 2 ln 2 2 . 1 1 3 5 2 Câu 128: Cho hàm số f x liên tục trên  4; và f x 4 dx 8 . Tính I x. f x dx . 0 3 A. I 8 . B. I 4 . C. I 16 .D. I 4 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 Đặt x 4 t x t 4. x 0 t 2 3 3 Khi 8 f t d t 2 4 2t. f t dt 8. x 5 t 3 2 2
3 3 3 Mà 2t. f t dt 2x. f x dx x. f x dx 4 I 4 . 2 2 2 1 2 3 Câu 129: Cho f 2x 1 dx 12 và f sin2 x sin 2xdx 3 . Tính f x dx . 0 0 0 A. .2 6 B. .C. 22 27 . D. .15 Hướng dẫn giải Chọn C 3 t 1 1 3 1 3 3 Đặt 2x 1 t 12 f t d f t dt f x dx f x dx 24 . 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 Ta có f sin2 x sin 2xdx f sin2 x .2sin x cos xdx 2sin x. f sin2 x d sin x 0 0 0 2 1 1 f sin2 x d sin2 x f u du f x dx 3 0 0 0 3 1 3 f x dx f x dx f x dx 3 24 27 . 0 0 1 4 1 x 2 f x Câu 130: Cho hàm f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f tan x dx 3 và dx 1. Tính 2 0 0 x 1 1 f x dx . 0 A. 4. B. 2. C. 5. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn A 1 x 2 f x 1 1 f x 1 x 2 f x 1 f x 1 dx f x dx dx dx dx f x dx . 2 2 2 2 0 x 1 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 1 Đặt tan x t suy ra 2 . d tan x dt 2 dx dt 1 tan x dx dt cos x dt dt dx . 1 tan2 x 1 t 2 1 4 1 dt f x f tan x dx f t dx =3. 2 2 0 0 1 t 0 x 1 1 Vậy f x dx 4 . 0 4 1 x 2 f x 1 Câu 131: Cho hàm số f x liên tục trên R và f tan x dx 4; dx 2 . Tính I f x dx . 2 0 0 x 1 0 A. I 6 . B. I 2 . C. I 3 . D. I 1. Hướng dẫn giải Chọn A 4 1 f t Từ f t anx dx 4 ; Ta đặt t tan x ta được dt 4 2 0 0 t 1
1 x2 f x 1 x2 1 1 f x 1 1 f x dx 2 dx 2 f x dx dx 2 Từ 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 0 x 1 1 1 f x f x dx 2 dx 2 4 6 . 2 0 0 x 1 2018 Câu 132: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa f x dx 2 . Khi đó tích phân 0 2018 e 1 x f ln x2 1 dx bằng 2 0 x 1 A. 4.B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn B 2018 e 1 x Xét I f ln x2 1 dx . 2 0 x 1 2x 2018 Đặt t ln x2 1 dt dx . Đổi cận: x 0 t 0 ; x e 1 t 2018 . x2 1 1 2018 1 2018 1 Suy ra I f t dt f x dx .2 1. 2 0 2 0 2 3 m 10 15 Câu 133: Tìm tất cả các giá trị dương của m để x 3 x dx f , với f x ln x . 0 9 A. m 20 . B. m 4 . C. m 5 .D. m 3 . Hướng dẫn giải Chọn D 14 15 15x 15 15 10 243 + Từ f x ln x f x f x do đó f . x15 x x2 9 20 3 + Tính tích phân I x 3 x m dx : 0 x 0 3 Đặt t 3 x x 3 t , dx dt , t 3 0 3 0 3 3t m 1 t m 2 3m 2 Do đó I 3 t t m dt 3t m t m 1 dt 3 0 m 1 m 2 0 m 1 m 2 3 m 2 m 2 5 m 10 3 243 3 3 + Ta có x 3 x dx f 0 9 m 1 m 2 20 m 1 m 2 4.5 Thay lần lượt các giá trị m ở 4 đáp án, nhận giá trị m 3 . Chú ý: 3m 33 -Việc giải phương trình không cần thiết nên chọn phương pháp thế đáp để làm m 1 m 2 4.5 trắc nghiệm trong bài này. 3m 33 3m 33 -Để giải phương trình ta xét hàm trên f m với m 0 m 1 m 2 4.5 m 1 m 2 4.5 thì chứng minh được phương trình có nghiệm duy nhất m 3 .
3 Câu 134: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 4 x f x . Biết xf x dx 5. 1 3 Tính I f x dx . 1 5 7 9 11 A. I . B. I . C. I . D. I . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Dùng tính chất để tính nhanh Cho hàm số f x liên tục trên a;b và thỏa mãn điều kiện f a b x f x ,xa;b . Khi đó b a b b xf x dx f x dx a 2 a Chứng minh: Đặt t a b x dx dt , với x a;b . Đổi cận: khi x a t b ; khi x b t b b b a Ta có xf x dx xf a b x dx a b t f t dt a a b b b b b b a b t f t dt a b f t dt tf t dt a b f x dx xf x dx a a a a a b b b a b b 2 xf x dx a b f x dx xf x dx f x dx . a a a 2 a Áp dụng tính chất trên với a 1 , b 3 . f x liên tục trên a;b và thỏa mãn f 1 3 x f x . 3 1 3 3 3 5 Khi đó xf x dx f x dx f x dx . 1 4 1 1 2 Cách 2: Đổi biến trực tiếp: Đặt t 4 x , với x 1;3. 3 3 3 3 3 Ta có xf x dx xf 4 x dx 4 t f t dt 4 f t dt t. f t dt 1 1 1 1 1 3 3 5 5 4 f t dt 5 f t dt . 1 1 2 Câu 135: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f 4 x f x ,x 1;3 và 3 3 xf x dx 2 . Giá trị f x dx bằng 1 1 A. 2 .B. 1. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B 3 Xét I xf (x)dx (1). 1 Đặt x 4 t , ta có dx dt ; x 1 t 3 , x 3 t 1. 3 3 3 Suy ra I 4 t f (4 t)dt 4 t f (t)dt , hay I 4 x f (x)dx (2). 1 1 1 3 3 I Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được 2I 4 f (x)dx f (x)dx 1. 1 1 2
Câu 136: Cho hàm số f liên tục trên đoạn  6;5 , có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn 5 như hình vẽ. Tính giá trị I f x 2 dx . 6 y 3 x 6 4 O 1 5 A. I 2 35 . B. I 2 34 . C. I 2 33.D. I 2 32 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 x 2 khi 6 x 2 2 2 f x 1 4 x khi 2 x 2 2 1 x khi 2 x 5 3 3 Ta có . 5 5 5 I f x 2 dx f x dx 2 dx 6 6 6 2 2 5 1 2 2 1 x 2 dx 1 4 x dx x dx 22 6 2 2 2 3 3 2 5 1 2 1 2 x x 2x J x 22 J 28 . 4 6 3 3 2 2 Tính J 1 4 x2 dx 2 Đặt x 2sin t dx 2costdt . Đổi cận: Khi x 2 thì t ; khi x 2 thì t . 2 2 2 2 2 J 1 4 x2 dx 4 4 cos2 tdt 4 2 1 cos2t dt 4 2 . Vậy I 32 2 . 2 2 2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 Cho hàm số f x thỏa mãn : A. f x B.u . f u C. f a b x g x u a a b 1 b +) Với thì f x dx g x dx . A B C u b b a a u a b b 1 b +) Với thì f x dx g x dx . A B C u b a a a Trong đề bài thường sẽ bị khuyết một trong các hệ số A, B,C . f x a;b b b Nếu liên tục trên thì f a b x dx f x dx . a a 1 2 3 6 Câu 137: Cho hàm số f x liên tục trên 0;1 thỏa mãn f x 6x f x . Tính f x dx 3x 1 0
A. 2 .B. 4 . C. 1. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) 6 6 Biến đổi f x 6x2 f x3 f x 2.3x2.f x3 với A 1, B 2. 3x 1 3x 1 1 1 1 6 Áp dụng công thức ta có: f x dx dx 4 . 0 1 2 0 3x 1 Cách 2: (Dùng công thức biến đổi – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 2 3 6 1 Từ f x 6x f x f x dx 2 3x2 f x3 dx 6 dx 3x 1 0 0 0 3x 1 Đặt u x 3 du 3x 2dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 3x2 f x3 dx f u du f x dx thay vào * , ta được: 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 f x dx 2 f x dx 6 dx f x dx 6 dx 4 . 0 0 0 3x 1 0 0 3x 1 Câu 138: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 4xf x 2 3 f x 1 1 x 2 . 1 Tích phân I f x dx bằng 0 A. I . B. I .C. I . D. I 4 6 20 16 Hướng dẫn giải Chọn C 1 1 1 Từ 4x. f x2 3 f x 1 1 x2 2 2xf x2 dx 3 f 1 x dx 1 x2 dx 0 0 0 +) Đặt u x 2 du 2 xdx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 2xf x2 dx f u du f x dx 1 0 0 0 +) Đặt t 1 x dt dx ; Với x 0 t 1 và x 1 t 0 . 1 1 1 Khi đó f 1 x dx f t dt f x dx 2 0 0 0 Thay 1 , 2 vào ta được: 1 1 1 1 1 1 2 f x dx 3 f x dx 1 x2 dx f x dx 1 x2 dx . 0 0 0 0 5 0 20 Câu 139: Cho hàm số f ( x) liên tục trên 0;2 và thỏa mãn điều kiện f x f 2 x 2x. Tính giá 2 trị của tích phân I f x dx . 0 1 4 A. I 4 . B. I . C. I .D. I 2 . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: (Dùng công thức) 2 2 2 1 x2 Với f x f 2 x 2x ta có A 1; B 1, suy ra: I f x dx 2x dx 2 . 1 1 0 0 2 0 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức)
2 2 2 Từ f x f 2 x 2x f x dx f 2 x dx 2xdx 4 (*) 0 0 0 Đặt u 2 x du dx ; Với x 0 u 2 và x 2 u 0 . 2 2 2 Suy ra f 2 x dx f u du f x dx . 0 0 0 2 2 Thay vào (*), ta được 2 f x dx 4 f x dx 2 . 0 0 Câu 140: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn 2 f x 3 f 1 x 1 x . Tích phân 1 f x dx bằng 0 2 1 2 3 A. . B. .C. . D. . 3 6 15 5 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t 1 x dx dt . 1 0 1 1 Suy ra f 1 x dx f t dt f t dt f x dx 0 1 0 0 1 1 1 2 3 2 2 f x 3 f 1 x 1 x 5 f x dx 1 xdx 1 x . 0 0 3 0 3 1 2 Suy ra f x dx . 0 15 x2 ax2 b Chú ý: Ta có thể dùng công thức f ax b dx f x dx . Khi đó: x ax b 1 1 1 1 1 Từ 2 f x 3 f 1 x 1 x suy ra: 2 f x dx 3 f 1 x dx 1 xdx 0 0 0 1 0 1 1 2 1 2 2 f x dx 3 f 1 x dx 1 xdx 5 f x dx f x dx . 0 1 0 0 3 0 15 Câu 141: Xét hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn điều kiện 1 2 f x 3 f 1 x x 1 x . Tính tích phân I f x dx . 0 1 4 1 4 A. I .B. I . C. I . D. I . 25 15 15 75 Hướng dẫn giải Chọn B 1 1 1 Do 2 f x 3 f 1 x x 1 x 2 f x dx 3 f 1 x dx x 1 xdx 1 . 0 0  0  I1 I2 1 + Xét I 3 f 1 x dx : 1 0 Đặt t 1 x dx dt . Khi x 0 t 1; x 1 t 0 . 1 Khi đó I 3 f t dt 3I . 1 0 1 2 + Xét I x 1 xdx . Đặt t 1 x x 1 t dx 2tdt . 2 0
Khi x 0 t 1; x 1 t 0 . 0 0 5 3 2 2t 2t 4 Khi đó I2 1 t t 2t dt . 5 3 15 1 1 4 4 Thây vào 1 : 2I 3I I . 15 15 Câu 142: Xét hàm số f x liên tục trên 1;2 và thỏa mãn f x 2xf x2 2 3 f 1 x 4x3 . 2 Tính giá trị của tích phân I f x dx . 1 5 A. I 5 . B. I .C. I 3 . D. I 15 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức – Dạng 2) Với: f x 2x f x2 2 3 f 1 x 4x3 . Ta có: u 1 1 A 1; B 1;C 3 và u x 2 2 thỏa mãn . u 2 2 Khi đó áp dụng công thức có: 2 2 1 2 x 4 I f x 4x 3dx 3 . 1 1 1 3 1 5 1 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) Từ f x 2xf x2 2 3 f 1 x 4x3 . 2 2 2 2 f x dx 2x. f x2 2 dx 3 f 1 x dx 4x3dx * 1 1 1 1 +) Đặt u x 2 2 du 2xdx ; với x 1 u 1 và x 2 u 2 . 2 2 2 Khi đó 2x. f x2 2 dx f u du f x dx 1 1 1 1 +) Đặt t 1 x dt dx ; Với x 1 t 2 và x 2 t 1. 2 2 2 Khi đó f 1 x dx f t dt f x dx 2 1 1 1 2 2 Thay 1 , 2 vào * ta được: 5 f x dx 15 f x dx 3. 1 1 Câu 143: Hàm số f x liên tục trên  1;2 và thỏa mãn điều kiện f x x 2 xf 3 x2 . Tính 2 giá trị của I f x dx 1 14 28 4 A. I .B. I . C. I . D. I 2 . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: ( Dùng công thức). 1 Với f x x 2 xf 3 x2 f x . 2x . f 3 x2 x 2 2 1 2 u 1 2 A 1; B ;C 0 và u 3 x thỏa mãn 2 u 2 1
2 1 2 28 Khi đó áp dụng công thức ta có: I f x dx x 2dx= . 1 3 1 1 0 1 2 Cách 2: ( Dùng phương pháp đổi biến). 2 2 2 14 Từ f x xf 3 x2 x 2 f x dx xf 3 x2 dx x 2dx (*) 1 1 1 3 x 1 u 2 Đặt u 3 x 2 du 2 xdx với x 2 u 1 2 1 2 1 2 Khi đó xf 3 x2 dx f u du f x dx thay vào (*) ta được 1 2 1 2 1 2 1 2 14 2 28 f x dx f x dx f x dx= . 1 2 1 3 1 3 1 Câu 144: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn f x xf 1 x 2 3 f 1 x . Tính x 1 1 giá trị của tích phân I f x dx . 0 9 2 4 3 A. I ln 2 .B. I ln 2 . C. I . D. I . 2 9 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1: (Dùng công thức) 1 Với: f x . 2x f 1 x 2 3 f 1 x 2x . Ta có: 2 1 u 0 1 A 1; B ; và u x 2 2 thỏa mãn . 2 u 1 0 Khi đó áp dụng công thức ta có: 1 1 1 dx 2 1 2 I f x dx ln x 1 ln 2 . 1 x 1 9 0 9 0 1 3 0 2 Cách 2: (Dùng công thức đổi biến nếu không nhớ công thức) 1 Từ f x xf 1 x 2 3 f 1 x x 1 1 1 1 1 1 f x dx xf 1 x2 dx 3 f 1 x dx dx ln x 1 1 ln 2. (*) 0 0 0 0 0 x 1 +) Đặt u 1 x 2 du 2xdx ; Với x 0 u 1 và x 1 u 0 . 1 1 1 1 1 Khi đó xf 1 x2 dx f u du f x dx (1). 0 2 0 2 0 +) Đặt u 1 x du xdx ; Với x 0 t 1 và x 1 t 0 . 1 1 1 Khi đó xf 1 x dx f t dt f t dt (2). 0 0 0 Thay (1), (2) vào (*) ta được: 1 1 1 1 9 1 1 2 f x dx f x dx 3 f x dx ln 2 f x dx ln 2 f x dx ln 2 . 0 2 0 0 2 0 0 9
x3 Câu 145: Cho hàm số y f x và thỏa mãn f x 8x3 f x4 0 . Tích phân x2 1 1 a b 2 a b I f x dx với a, b, c ¢ và ; tối giản. Tính a b c 0 c c c A. 6 . B. 4. C. 4 . D. 10 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). x3 x3 Biến đổi f x 8x3 f x4 0 f x 2. 4x3 f x4 với A 1; B 2 x2 1 x2 1 1 1 1 x3 1 x3dx Áp dụng công thức ta có: f x dx dx . 2 2 0 1 2 0 x 1 0 x 1 2 2 2 Đặt t x 1 t x 1 tdt xdx ; Với x 0 t 1 và x 1 t 2 . 2 1 1 x2 2 t 2 1 2 t3 2 2 a b 2 Khi đó: f x dx .xdx .tdt t 2 1 dt t 2 t 3 3 c 0 0 x 1 1 1 1 Suy ra a 2;b 1; c 3 a b c 6 . Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) x3 1 1 1 x3 Từ f x 8x3 f x4 0 f x dx 2 4x3 f x4 dx dx 0 (*) 2 2 x 1 0 0 0 x 1 Đặt u x 4 du 4x 3dx ; Với x 0 u 0 và x 1 u 1. 1 1 1 Khi đó 4x3 f x4 dx f u du f x dx thay vào (*), ta được: 0 0 0 1 1 1 x3 1 1 x3 f x dx 2 f x dx dx 0 f x dx dx 2 2 0 0 0 x 1 0 0 x 1 2 2 2 Đặt t x 1 t x 1 tdt xdx ; Với x 0 t 1 và x 1 t 2 . 2 1 1 x2 2 t 2 1 2 t3 2 2 a b 2 Khi đó: f x dx .xdx .tdt t 2 1 dt t 2 t 3 3 c 0 0 x 1 1 1 1 Suy ra a 2;b 1; c 3 a b c 6 . 1 Câu 146: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ln2;ln2 và thõa mãn f x f x . Biết ex 1 ln 2 f x dx a ln 2 bln 3, với a, b ¤ . Tính giá trị của P a b . ln 2 1 A. P . B. P 2. C. P 1. D. P 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Dùng công thức ln 2 ln 2 ln 2 1 1 dx 1 dx Với f x f x ta có A 1; B 1 , suy ra f x dx x x x e 1 ln 2 1 1 ln 2 e 1 2 ln 2 e 1 Cách 2: Dùng phương pháp dồn biến nếu không nhớ công thức 1 ln 2 ln 2 ln 2 dx Từ f x f x f x dx f x dx * x x e 1 ln 2 ln 2 ln 2 e 1 Đặt u x du dx
ln 2 ln 2 ln 2 f x dx f u du f x dx thay vào * ta được: ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 dx ln 2 1 ln 2 dx 2 f x dx f x dx x x ln 2 ln 2 e 1 ln 2 2 ln 2 e 1 Đặt t e x dt e x dx 1 Với x ln 2 t , x ln 2 t 2 2 2 ln2 dx ln2 exdx 2 dt t ln ln2 x x x 1 ln2 e 1 ln2 e e 1 1 t t 1 t 1 2 2 ln 2 1 a,b ¤ 1 Khi đó: f x dx ln 2 a ln 2 bln 3 a ,b 0 ln 2 2 2 1 P a b . 2 Câu 147: Biết hàm số y f x là hàm số chẵn trên đoạn ; và 2 2 2 2 f x f x sin x cos x . Tính I f x dx . 2 0 1 A. I 0 . B. I 1. C. I .D. I 1. 2 Hướng dẫn giải: 0 2 2 Đặt t x dt dx Đổi cận: I f t . dt f t dt f x dx (Tích 2 2 0 2 0 2 2 2 phân xác định không phụ thuộc vào biến số tích phân) f x Vì f x là hàm số chẵn 0 2 2 f x f x 2 2 2 2 2 Vậy 2I f x f x dx sin x cos x dx cos x sin x 1 1 2 I 1 0 2 0 0 Chọn D Câu 148: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , f 0 0 và f x f x sinx.cosx 2 với x ¡ . Giá trị của tích phân 2 xf x dx bằng 0 1 1 A. . B. . C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Cách 1: (Dùng công thức) Với f x f x sinx.cosx , ta có A 1;B 1. 2 1 1 Suy ra 2 f x dx 2 sin x.cos x.dx . 0 1 1 0 4 Cách 2: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu nhớ công thức)
1 f x f x sinx.cosx 2 f x 2 f x dx 2 sinx.cosxdx Từ 0 0 0 (*) 2 2 2 Đặt u x du dx 2 Với x 0 u ;x u 0 . 2 2 2 f x dx 2 f u du 2 f x dx Suy ra 0 0 0 , thay vào (*) ta được 2 1 1 2 2 f x dx 2 f x dx (1) 0 2 0 4 u x du dx 2 xf x dx xf x 2 2 f x dx f 2 f x dx Đặt 0 0 0 0 (*) dv f x dx v f x 2 2 Từ điều kiện f x f x sinx.cosx suy ra 2 f f 0 0 2 f 0 (2). 2 f 0 f 0 2 1 Thay (1), (2) vào (*), ta được 2 xf x dx . 0 4 Chọn D x 2 Câu 149: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 1 2x f 1 2x ,x ¡ . tính x 2 1 3 tích phân I f x dx . 1 1 A. I 2 . B. I 1 . C. I . D. I . 2 4 2 8 4 Hướng dẫn giải. t 1 Đặt t 1 2x 1 2x 2 t và x , khi đó điều kiện trở thành 2 t 2 2t 1 x 2 2x 1 f t f 2 t f x f 2 x (*) t 2 2t 5 x 2 2x 5 Cách 1: (Dùng công thức) x 2 2x 1 Với f x f 2 x ta có A 1;B 1. x 2 2x 5 2 3 1 3 x 2x 1 Suy ra f x dx dx 0,429 2 1 1 1 1 x 2 2x 5 2 Chọn A Cách 2: (Dùng công thức đổi biến – nếu nhớ công thức) 2 2 x 2x 1 3 3 3 x 2x 1 Từ (*), ta có f x f 2 x f x dx f 2 x dx dx (2*) x 2 2x 5 1 1 1 x 2 2x 5 Đặt u 2 x du dx . Với x 1 u 3; x 3 u 1. 3 3 3 Suy ra f 2 x dx f u du f x dx , thay vào (*), ta được: 1 1 1 2 2 3 3 x 2x 1 3 1 3 x 2x 1 2 f x dx dx f x dx dx 0,429 2 - 1 1 2 1 1 2 x 2x 5 2 x 2x 5 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 3 Cách giải: Lần lượt đặt t u x và t v x để giải hệ phương trình hai ẩn (trong đó có ẩn f x ) để suy ra hàm số f x (nếu u x x thì chỉ cần đặt một lần t v x ). Các kết quả đặc biệt: x b x c A.g B.g 2 2 a a Cho A.f ax b B.f ax c g x với A B ) khi đó f x (*) A2 B 2 A.g x B.g x +)Hệ quả 1 của (*): A. f x B. f x g x f x A2 B 2 g x +)Hệ quả 2 của (*): A. f x B. f x g x f x với g x là hàm số chẵn. A B 1 2 f x Câu 150: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và f x 2 f 3x . Tính I dx. x 1 x 2 3 1 A. I . B. I 1. C. I . D. I 1. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 1 1 1 3 1 3 Đặt, t x khi đó điều kiện trở thành f 2 f t 2 f x f . x t t t x x 1 6 1 Hay 4 f x 2 f , kết hợp với điều kiện f x 2 f 3x . Suy ra : x x x 2 6 f x 2 2 f x 2 2 2 3 3f x 3x 1 . 2 I dx 2 1 dx x 1 x x x 1 x 1 x x 2 2 2 2 Chọn B 2 15x Câu 151: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ \ 0 và thỏa mãn 2 f 3x 3 f , x 2 3 9 2 1 f x dx k . Tính I f dx theo k . 3 1 x 2 45 k 45 k 45 k 45 2k A. I . B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải Chọn A 1 x t 1 1 2 Đặt t 2x dx dt . Đổi cận . 2 3 x t 3 2 1 3 2 Khi đó I f dx . 2 1 t 2 15x 2 5x 2 Mà 2 f 3x 3 f f f 3x x 2 x 2 3 1 3 5x 2 5 3 1 3 1 3 Nên I f 3x dx x dx f 3x dx 5 f 3x dx (*) 2 1 2 3 4 1 3 1 3 1
1 x 1 u 3 Đặt u 3x dx dx . Đổi cận . 3 x 3 t 9 1 9 k 45 k Khi đó I 5 f t dt 5 . 9 3 9 9 Câu 152: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018 f x 2xsin x . Tính giá 2 trị của I f x dx . 2 2 2 4 1 A. I . B. I .C. I . D. I . 2019 1009 2019 1009 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với f x 2018 f x 2xsin x ta có A 1; B 2018 2 2 1 Casio 4 Suy ra I f x dx 2xsin xdx Đáp án C 1 2018 2019 2 2 Cách 2: g x Áp dụng Hệ quả 2: A.f x Bf x g x f x với g x là hàm số chẵn. A B 2x sin x Ta có f x 2018 f x 2xsin x f x 2019 2 2 2 Casio 4 I f x dx xsin xdx Đáp án C 2019 2019 2 2 Câu 153: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x 2018f x ex . Tính giá trị 1 của I f x dx 1 e2 1 e2 1 e2 1 A. I . B. I . C. I 0 . D. I . 2019e 2018e e Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: (Dùng công thức). x Với f x 2018f x e ta có A 1; B 2018 . 1 1 2 1 1 1 e 1 Suy ra I f x dx exdx ex . 1 1 2018 1 2019 1 2019e Cách 2: (Dùng công thức) A.g x B.g x Áp dụng Hệ quả 1: A.f x B.f x g x f x . A2 B2 Ta có: x x 2018e e 1 1 1 f x 2018f x ex f x f x dx 2018ex e x dx 2 2018 1 1 2019.2017 1
e2 1 1,164.10 3 (Casio). 2019e Câu 154: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ , thỏa mãn 2 f 2x f 1 x 12x2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm có hoành độ bằng 1 là A. y 2x 2 . B. y 4x 6 . C. y 2x 6 .D. y 4x 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Áp dụng kết quả “Cho A.f ax b B.f ax c g x (với A2 B 2 ) khi đó x b x c A.g B.g a a f x ”. A2 B2 Ta có x x 1 2.g g 2 2 2 2 2 6x 3 x 1 2 2 f 2x f 1 x 12x g x f x x 2x 1. 22 1 3 f 1 2 Suy ra , khi đó phương trình tiếp tuyến cần lập là: y 4x 2 . f 1 4 1 Câu 155: Cho f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ thỏa mãn f x dx 2018 và g x là hàm số 0 1 liên tục trên ¡ thỏa mãn g x g x 1, x ¡ . Tính tích phân I f x g x dx . 1 1009 A. I 2018. B. I . C. I 4036 . D. I 1008 . 2 Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng Hệ quả h x A.g x B.g x h x g x với h x là hàm số chẵn. A B 1 1 Ta có: g x g x 1 h x g x . 1 1 2 Kết hợp với điều kiện f x là hàm số chẵn, ta có: 1 1 1 1 I f x g x dx f x dx f x dx 2018 . 1 2 1 0 a a Chú ý: Nếu f x là hàm số chẵn, liên tục trên  a;a f x dx 2 f x dx . a 0 Câu 156: Cho số dương a và hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn f x f x a , x ¡ . a Giá trị của biểu thức f x dx bằng a A. 2a 2 . B. a.C. a 2 . D. 2a. Hướng dẫn giải Chọn C a a a a Đặt x t f x dx f t dt f t dt f x dx a a a a
a a a a a 2 2 2 f x dx f x f x dx adx 2 f x dx 2a f x dx a . a a a a a 2 Câu 157: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa điều kiện f x f x 2sin x. Tính f x dx 2 A. 1.B. 0. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải Chọn B 2 Giả sử I f x dx . 2 Đặt t x dt dx , đổi cận x t x t . 2 2 2 2 2 2 Khi đó I f t dt f t dt . 2 2 2 2 Suy ra 2I f x f x dx 2sin xdx 0 2I 0 I 0 2 2 Câu 158: Cho f ( x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f x f x 2 2cos2x . Tính tích 3 2 phân I f x dx . 3 2 A. I 3 . B. I 4 .C. I 6 . D. I 8 . Hướng dẫn giải Chọn C 3 3 2 0 2 Ta có I f x dx f x dx f x dx . 3 3 0 2 2 0 3 3 Xét f x dx Đặt t x dt dx ; Đổi cận: x t ; x 0 t 0 . 3 2 2 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra f x dx f t dt f t dt f x dx . 3 3 0 0 2 2 3 3 2 2 Theo giả thiết ta có: f x f x 2 2 cos 2x f x f x dx 2 2 cos xdx 0 0 3 3 3 2 2 2 f x dx f x dx 2 sin x dx 0 0 0
3 3 2 0 2 f x dx f x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 3 0 0 0 2 Câu 159: Cho hàm số y f x liên tục trên R và thỏa mãn f x f x 2 2cos2x . Tính 2 I f x dx . 2 A. I 1. B. I 1. C. I 2 .D. I 2 . Hướng dẫn giải 2 I f x dx (1) Đặt t x dt dx Đổi cận: 2 2 2 2 I f t . dt f t dt f x dx (2) (Tích phân xác định không phụ thuộc vào 2 2 2 biến số tích phân) 2 2 (1) + (2) 2I f x f x dx 2 2cos2xdx 2 2 2 2 1 cos2x dx 2 2 2 2 2 2 2 2cos xdx 2 cos x dx 2 cos xdx 2sin x 2 1 1 4 2 2 2 2 I 2 Chọn D π 4 Câu 160: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và 3 f x 2 f x tan2 x . Tính f x dx π 4 π π π π A. .1 B. . 1 C. .D. 1 2 . 2 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D π 4 4 π 2 1 4 π π π Cách 1: Ta có tan xdx 1 dx tan x x π 1 1 2 2 π cos x 4 4 4 2 4 4 π π 4 2 3 f x 2 f x dx . 2 π 4 π π π π Đặt t x dt dx , đổi cận x t , x t . 4 4 4 4
π π π 4 4 4 3 f x 2 f x dx 3 f t 2 f t dt 3 f x 2 f x dx π π π 4 4 4 π π π π 4 4 π 4 π 4 Suy ra, f x dx f x dx 2 3 f x 2 f x dx 2 f x dx π π 2 π 2 π 4 4 4 4 π 4 π Vậy f x dx 2 π 2 4 Cách 2: ( Trắc nghiệm) Chọn f x f x tan2 x (Thỏa mãn giả thiết). π π π 4 4 4 1 f x dx tan2x dx 1 dx 2 Khi đó 2 π π π cos x 2 4 4 4 1 Câu 161: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn  ln2;ln2 và thỏa mãn f x f x . ex 1 ln 2 Biết f x dx a ln 2 bln 3 a;b ¤ . Tính P a b . ln 2 1 A. P . B. P 2. C. P 1. D. P 2. 2 Hướng dẫn giải Chọn A ln 2 Gọi I f x dx . ln 2 Đặt t x dt dx . Đổi cận: Với x ln 2 t ln 2 ; Với x ln2 t ln2 . ln 2 ln 2 ln 2 Ta được I f t dt f t dt f x dx . ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 Khi đó ta có: 2I f x dx f x dx f x f x dx dx . x ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 e 1 ln 2 1 Xét dx . Đặt u e x du e x dx x ln 2 e 1 1 Đổi cận: Với x ln 2 u ; x ln2 u 2 . 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 e x 1 Ta được dx dx du ex 1 x x u u 1 ln 2 ln 2 e e 1 ln 2 ln 2 1 1 2 du ln2 ln u ln u 1 1 ln 2 u u 1 2 1 1 Vậy ta có a , b 0 a b . 2 2 Câu 162: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 2 f x 3 f 1 x x 1 x . 1 Tính tích phân I f x dx . 0
4 1 4 1 A. I . B. I .C. I . D. I . 15 15 75 25 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: (Dùng công thức) Với 2 f x 3 f 1 x x 1 x ta có A 2; B 3 . 1 1 1 Casio 4 Suy ra: f x dx x 1 xdx 0, 05 3 . 0 2 3 0 75 Áp dụng kết quả “Cho A.f ax b B.f ax c g x (Với A2 B 2 ) khi đó x b x c A.g B.g a a f x ”. A2 B2 2g x 3g 1 x 2x 1 x 3 1 x x Ta có: 2 f x 3 f 1 x x 1 x g x f x . 22 32 5 1 1 2x 1 x 3 1 x x Casio 4 Suy ra: I f x dx dx 0, 05 3 . 0 0 5 75 Cách 3: (Dùng phương pháp đổi biến – nếu không nhớ công thức) 1 1 1 Casio 4 Từ 2 f x 3 f 1 x x 1 x 2 f x dx 3 f 1 x dx x 1 xdx 0, 2 6 Đặt 0 0 0 15 u 1 x du dx ; Với x 0 u 1và x 1 u 0 . 1 1 1 Suy ra f 1 x dx f u du f x dx thay vào , ta được: 0 0 0 2 4 2 4 5 f x dx f x dx . 0 15 0 75 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 4 Câu 163: Cho f x và g x là hai hàm số liên tục trên  1,1 và f x là hàm số chẵn, g x là 1 1 hàm số lẻ. Biết f x dx 5 và g x dx 7 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 0 1 1 A. f x dx 10 .B. g x dx 14. 1 1 1 1 C. f x g x dx 10 . D. f x g x dx 10 . 1 1 Hướng dẫn giải Nhớ 2 tích chất sau để làm trắc nghiệm nhanh: a a a Câu 164: Nếu hàm f x CHẴN thì f x dx 2 f x dx 2. Nếu hàm f x LẺ thì f x dx 0 a 0 a Nếu chứng minh thì như sau: 1 0 1 Đặt A f x dx f x dx f x dx 1 1 0  A1 A2 0 A f x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận:
0 1 1 A f t . dt f t dt f x dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến 1 1 0 0 1 số tích phân) f x dx (Do f x là hàm chẵn f x f x ) 0 1 1 1 Vậy A f x dx f x dx f x dx 10 (1) 1 0 0 1 0 1 Đặt B g x dx g x dx g x dx 1 1 0  B1 B2 0 B g x dx . Đặt t x dt dx 1 1 Đổi cận: 0 1 1 B g t . dt g t dt g x dx (Do tích phân xác định không phụ thuộc vào biến 1 1 0 0 1 số tích phân) g x dx (Do f x là hàm chẵn g x g x ) 0 1 1 1 Vậy B g x dx g x dx g x dx 0 (2) 1 0 0 Từ (1) và (2) Chọn B 0 Câu 165: Cho hàm số y f x là hàm lẻ và liên tục trên  4;4 biết f x dx 2 và 2 2 4 f 2x dx 4 . Tính I f x dx . 1 0 A. I 10 .B. I 6 . C. I 6 . D. I 10. Hướng dẫn giải Chọn B a x2 1 x2 Cách 1: Sử dụng công thức: f ax b dx f ax dx và tính chất f x dx 0 với f x là a x1 x1 a hàm số lẻ trên đoạn  a;a. Áp dụng, ta có: 2 1 4 1 2 2 4 f 2x dx f x dx f x dx f x dx 8. 2 4 4 1 2 2 0 0 2 2 2 f x dx f x f x f x 2 2 0 0 2 4 2 0 4 Suy ra: 0 f x dx f x dx f x dx f x dx 4 4 2 0 2 2 0 8 f x dx f x dx I 0 8 0 2 I I 6 . 2 0 0 Cách 2: Xét tích phân f x dx 2 . 2 Đặt x t dx dt .
0 0 2 Đổi cận: khi x 2 thì t 2; khi x 0 thì t 0 do đó f x dx f t dt f t dt 2 2 0 2 2 f t dt 2 f x dx 2 . 0 0 Do hàm số y f x là hàm số lẻ nên f 2x f 2x . 2 2 2 Do đó f 2x dx f 2x dx f 2x dx 4 . 1 1 1 2 Xét f 2x dx . 1 1 Đặt 2x t dx dt . 2 2 1 4 Đổi cận: khi x 1 thì t 2; khi x 2 thì t 4 do đó f 2x dx f t dt 4 1 2 2 4 4 f t dt 8 f x dx 8 . 2 2 4 2 4 Do I f x dx f x dx f x dx 2 8 6. 0 0 2 1 f 2x 2 Câu 166: Cho hàm số chẵn y f x liên tục trên ¡ và dx 8 . Tính f x dx . x 1 1 2 0 A. 2 . B. 4 . C. 8.D. 16. Hướng dẫn giải Chọn D 1 f 2x 2 f x Ta có dx 8 dx 16 . x x 1 1 2 2 1 2 t 2 f x 2 f t 2 2 f t Đặt t x dt dx , khi đó 16 I dx dt dt . x t t 2 1 2 2 1 2 2 1 2 x 2 f x 2 2 f x 2 2 Suy ra 2I dx dx f x dx 2 f x dx . x x 2 1 2 2 1 2 2 0 2 Vậy f x dx 16 . 0 1 Câu 167: Cho f x là hàm số chẵn liên tục trong đoạn  1; 1 và f x dx 2 . Kết quả 1 1 f x I dx bằng x 1 1 e A. I 1. B. I 3 . C. I 2 . D. I 4 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 f x 0 f x 1 f x I dx dx dx I I x x x 1 2 1 1 e 1 1 e 0 1 e 0 f x Xét I dx 1 x 1 1 e Đặt x t dx dt , đổi cận: x 0 t 0 , x 1 t 1
0 f x 1 et . f x I dt dt . 1 t t 1 1 e 0 1 e 1 et . f t 1 e x . f x Lại có dt dx . t x 0 1 e 0 1 e t 1 f x 1 et . f t 1 f t 1 1 e . f t 1 1 1 I dx dt dx dt f t dt f t dt 1 Suy ra: x t t t . 11 e 0 1 e 0 1 e 0 1 e 0 2 1 1 1 2 Câu 168: Cho y f x là hàm số chẵn và liên tục trên ¡ . Biết f x dx f x dx 1. Giá trị 0 2 1 2 f x của dx bằng x 2 3 1 A. 1. B. 6. C. 4.D. 3. Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1: Sử dụng tính chất của hàm số chẵn a f x a Ta có: dx f x dx , với f x là hàm số chẵn và liên tục trên a;a . x   a b 1 0 Áp dụng ta có: 2 f x 2 1 2 dx f x dx f x dx f x dx 1 2 3 x 2 3 1 0 0 1 1 1 2 1 2 Cách 2: Do f x dx f x dx 1 f x dx 1 và f x dx 2 0 2 1 0 1 1 2 2 f x dx f x dx f x dx 3 . 0 1 0 2 f x 0 f x 2 f x Mặt khác dx dx dx và y f x là hàm số chẵn, liên tục trên ¡ x x x 2 3 1 2 3 1 0 3 1 f x f x x ¡ . 0 f x Xét I dx . Đặtt x dx dt x 2 3 1 2 0 f x 0 f t f t 2 3t f t 2 3x f x Suy ra I dx dt = dt = dt = dx 3x 1 3 t 1 1 3t 1 3x 1 2 2 0 1 0 0 3t 2 x 2 f x 0 f x 2 f x 2 3x f x 2 f x 3 1 f x dx dx dx dx dx dx x x x x x x 2 3 1 2 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 0 3 1 2 f x dx 3. 0 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 “ Cho hàm số y f x thỏa mãn g f x x và g t là hàm đơn điệu ( luôn đồng biến hoặc b nghịch biến) trên R .Hãy tính tích phân I f x dx “ a Cách giải: Đặt y f x x g y dx g y dy
x a g y a y Đổi cận x b g y b y  b  Suy ra I f x dx yg y dy a f x f 3 x f x x, x R Câu 169: Cho hàm số liên tục trên R thỏa mãn . Tính 2 I f x dx 0 3 1 5 A. I 2 . B. I . C. I .D. I . 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt y f x x y3 y dx 3y2 1 dy 3 Đổi cận x 0 y y 0 y 0 3 x 2 y y 2 y 1 2 1 1 5 Khi đó I f x dx y 3y2 1 dy 3y3 y dy đáp án D 0 0 0 4 Câu 170: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn 2 f 3 x 3f 2 x 6 f x x, x ¡ . Tính 5 tích phân I f x dx . 0 5 5 5 5 A. I .B. I . C. I . D. I . 4 2 12 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt y f x x 2y3 3y2 6y dx 6 y2 y 1 dy . 3 2 3 2 Đổi cận: với x 0 2y 3y 6y 0 y 0 và x 5 2y 3y 6y 5 y 1. 1 1 1 5 Khi đó I f x dx y.6 y2 y 1 dy 6 y3 y2 y dy . 0 0 0 2 Câu 171: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ thỏa mãn x f 3 x 2 f x 1, x ¡ . Tính 1 I f x dx . 2 7 7 7 5 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 2 3 4 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt y f x x y3 2y 1 dx 3y2 2 dy . 3 3 Đổi cận: Với x 2 y 2y 1 2 y 1; x 1 y 2y 1 1 y 0. 0 7 Khi đó: I y 3y2 2 dy . 1 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 5 b 2 dx b a Bài toán: “ Cho f x .f a b x k , khi đó I a k f x 2k Chứng minh:
dt dx Đặt t a b x k 2 và x a t b ; x b t a . f x f t b dx b dx 1 b f x dx Khi đó I . k f x k 2 k k f x a a k a f t b dx 1 b f x dx 1 b 1 b a 2I dx b a I . a k f x k a k f x k a k 2k Câu 172: Cho hàm số f x liên tục và nhận giá trị dương trên 0;1. Biết f x .f 1 x 1 với 1 dx x 0;1. Tính giá trí I 0 1 f x 3 1 A. .B. . C. 1. D. 2. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B f x 1 Ta có: 1 f x f x f 1 x f x 1 f x f 1 x 1 1 dx Xét I . 0 1 f x Đặt t 1 x x 1 t dx dt . Đổi cận: x 0 t 1; x 1 t 0 . 0 dt 1 dt 1 dx 1 f x dx Khi đó I 1 1 f 1 t 0 1 f 1 t 0 1 f 1 x 0 1 f x 1 dx 1 f x dx 1 1 f x 1 1 Mặt khác dx dx 1 hay 2I 1. Vậy I . 0 1 f x 0 1 f x 0 1 f (t) 0 2 Câu 173: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , ta có f x 0 và f 0 .f 2018 x 1. Giá trị của 2018 dx tích phân I 0 1 f x A. I 2018. B. I 0 C. I 1009 D. 4016 Hướng dẫn giải Chọn C 2018 1 2018 0 ta có I dx 1009 . 0 1 f x 2.1 Câu 174: Cho hàm số y f x có đạo hàm, liên tục trên ¡ và f x 0 khi x 0;5 Biết   . 5 dx f x .f 5 x 1 tính tích phân I . , 0 1 f x 5 5 5 A. I . B. I .C. I . D. I 10. 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt x 5 t dx dt x 0 t 5 ; x 5 t 0 0 dt 5 f t dt 1 I (do f 5 t ) 5 1 f 5 t 0 1 f t f t
5 5 2I dt 5 I . 0 2 3 Câu 175: Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 4 x f x . Biết xf x dx 5 . 1 3 Tính tích phân f x dx . 1 5 7 9 11 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t 4 x dt dx và x 1 t 3 ; x 3 t 1. 3 3 3 3 Khi đó: 5 xf x dx 4 t f 4 t dt 4 x f 4 x dx 4 x f x dx . 1 1 1 1 3 3 3 5 Suy ra: 10 xf x dx 4 x f x dx 4 f x dx . 1 1 1 2 Câu 176: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và f x 0 khi x [0; a] ( a 0 ). Biết a dx f x . f a x 1, tính tích phân I . 0 1 f x a a a A. I . B. I 2a . C. I . D. I . 2 3 4 Hướng dẫn giải: a dx I (1) Đặt t a x dt dx Đổi cận: 0 1 f x 0 dt a 1 a 1 I dt dx (2) (Tích phân xác định không phụ a 1 f a t 0 1 f a t 0 1 f a x thuộc vào biến số tích phân) a 1 1 (1) + (2) 2I dx 0 1 f x 1 f a x 1 f a x 1 f x 2 2 f a x f x a a dx dx dx a I 1 f x . f a x f x f a x 0 2 f a x f x 0 2 Chọn A f x . f a x 1 Câu 177: Cho f x là hàm liên tục trên đoạn 0;a thỏa mãn và f x 0,x 0;a a dx ba b , trong đó b , c là hai số nguyên dương và là phân số tối giản. Khi đó 0 1 f x c c b c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? A. 11;22 . B. 0;9 . C. 7;21 . D. 2017;2020 . Hướng dẫn giải Chọn B Cách 1. Đặt t a x dt dx Đổi cận x 0 t a; x a t 0. a dx 0 dt a dx a dx a f x dx Lúc đó I 1 f x 1 f a t 1 f a x 1 1 f x 0 a 0 0 1 0 f x
a dx a f x dx a Suy ra 2I I I 1dx a 0 1 f x 0 1 f x 0 1 Do đó I a b 1;c 2 b c 3. 2 Cách 2. Chọn f x 1 là một hàm thỏa các giả thiết. 1 Dễ dàng tính được I a b 1;c 2 b c 3. 2
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 6 Câu 178: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa 4 2 3 mãn đẳng thức x 2x.f x f x ,x 1;4 . Biết rằng f 1 , tính I f x dx ? 2 1 1186 1174 1222 1201 A. I . B. I . C. I . D. I . 45 45 45 45 Hướng dẫn giải Chọn A 2 f x Ta có x 2x.f x f x x. 1 2 f x f x x , x 1;4 . 1 2 f x f x df x Suy ra dx xdx C dx xdx C 1 2 f x 1 2 f x 2 3 2 2 4 3 x 1 2 3 4 3 3 1 2 f x x2 C . Mà f 1 C . Vậy f x . 3 2 3 2 4 1186 Vậy I f x dx . 1 45 3 2 2x Câu 179: Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R thỏa mãn 3 f x .e f x x 1 0 và f 2 x 7 f 0 1. Tích phân x. f x dx bằng 0 2 7 15 45 5 7 A. . B. .C. . D. . 3 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C 3 2 2x 3 2 Ta có 3 f x .e f x x 1 0 3 f 2 x . f x .e f x 2x.ex 1 f 2 x f 3 x x2 1 Suy ra e e C. Mặt khác, vì f 0 1 nên C 0 . 3 2 f x x 1 3 2 Do đó e e f x x 1 f x 3 x2 1. 7 7 7 7 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 45 Vậy x. f x dx x. x 1 dx x 1 d x 1 x 1 x 1 . 0 0 0 2 0 8 8 1 Câu 180: Cho hàm số f x x4 4x3 3x2 x 1,x ¡ . Tính I f 2 x . f x dx . 0 7 7 A. 2. B. 2. C. .D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt t f x dt f x dx. Đổi cận: x 0 t f 0 1, x 1 t f 1 2. 2 2 t3 8 1 7 Khi đó I t 2dt . 1 3 1 3 3 3
Câu 181: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên khoảng 0;1 và f x 0 , x 0;1 . Biết 1 3 rằng f a , f b và x xf x 2 f x 4, x 0;1 . Tính tích phân 2 2 3 sin2 x.cos x 2sin2x I dx 2 theo a và b . f sin x 6 3a + b 3b + a 3b - a 3a - b A. I = . B. I = . C. I = .D. I = . 4ab 4ab 4ab 4ab Hướng dẫn giải Chọn D x 0;1 ta có: x xf x 2 f x 4 x 4 2 f x xf x x2 4x 2xf x x2 f x 2 x2 4x 2xf x x f x x2 4x x2 . 2 2 2 f x f x f x f x 3 sin2 x.cos x 2sin 2x 3 sin2 x.cos x 4sin x.cos x I dx dx Tính 2 2 f sin x f sin x 6 6 1 3 Đặt t sin x dt cos xdx , đổi cận x t , x t . 6 2 3 2 2 2 3 3 3 1 2 2 2 2 t 4t t 2 2 3 1 3a b Ta có I dt . 2 1 f t f t 1 3 1 4b 4a 4ab f f 2 2 2 2 Câu 182: Cho hàm số f liên tục, f x 1, f 0 0 và thỏa f x x 2 1 2 x f x 1 . Tính f 3 . A. 0.B. 3. C. 7. D. 9. Hướng dẫn giải Chọn B f x 2x Ta có f x x2 1 2x f x 1 f x 1 x2 1 3 f x 3 2x 3 3 3 dx dx f x 1 x2 1 f x 1 1 2 0 0 0 0 f x 1 0 x 1 f 3 1 f 0 1 1 f 3 1 2 f 3 3. 5 Câu 183: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và f x dx 4 , f 5 3, f 2 2 . Tính 2 2 I x3 f x2 1 dx 1 A. 3. B. 4 . C. 1. D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn A
Đặt t x 2 1 dt 2xdx . 1 5 x 1 t 2 ; x 2 t 5 . Khi đó I t 1 f t dt . 2 2 Đặt u t 1 du dt ; dv f t dt, chọn v f t . 1 5 1 5 1 I t 1 f t f t dt 4 f 5 f 2 2 3 . 2 2 2 2 2 f 2 x 1 ln x Câu 184: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 1;4 và thỏa mãn f x . Tính tích x x 4 phân I f x dx . 3 A. I 3 2 ln 2 2 .B. I 2ln2 2 . C. I ln2 2 . D. I 2ln2. Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 4 4 f 2 x 1 ln x f 2 x 1 ln x Ta có f x dx dx dx dx . x x x x 1 1 1 1 4 f 2 x 1 Xét K dx . 1 x t 1 dx Đặt 2 x 1 t x dt . 2 x 3 3 K f t dt f x dx . 1 1 2 4 4 ln x 4 ln x Xét M dx ln xd ln x 2 ln 2 2 . 1 x 1 2 1 4 3 4 Do đó f x dx f x dx 2ln2 2 f x dx 2 ln 2 2 . 1 1 3 2 16 f x Câu 185: Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn cot x.f sin2 x dx dx 1. Tính 1 x 4 1 f 4x tích phân dx . 1 x 8 3 5 A. I 3 . B. I . C. I 2 .D. I . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 2 16 f x 2 Đặt I cot x.f sin x dx 1, I dx 1. 1 2 1 x 4 Đặt t sin 2 x dt 2sin x.cos xdx 2 sin 2 x.cot xdx 2t.cot xdx. x 4 2
1 t 1 2 1 1 2 1 1 1 4 f 4x 1 4 f 4x I cot x.f sin2 x dx 1 1 f t d 4x dx 1 f t . dt dt . 1 2t 2 1 t 2 1 4x 2 1 x 4 2 2 8 8 1 4 f 4x dx 2I 2 Suy ra 1 1 x 8 Đặt t x 2tdt dx . x 1 16 t 1 4 16 f x 4 f t 4 f t 1 f 4x 1 f 4x I dx 2tdt 2 dt 2 d 4x 2 dx . 2 2 1 x 1 t 1 t 1 4x 1 x 4 4 1 f 4x 1 1 Suy ra dx I 2 1 x 2 2 4 Khi đó, ta có: 1 1 4 1 f 4x f 4x f 4x 1 5 dx dx dx 2 . 1 x 1 x 1 x 2 2 8 8 4 Câu 186: Xét hàm số f x liên tục trên 0;1 và thỏa mãn điều kiện 4x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2 . 1 Tích phân I f x dx bằng: 0 A. I . B. I . C. I . D. I . 4 6 20 16 Hướng dẫn giải Chọn C Vì f x liên tục trên 0;1 và 4x. f x 2 3 f 1 x 1 x 2 nên ta có 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 . 4x. f x 3 f 1 x dx 1 x dx 4x. f x dx 3 f 1 x dx 1 x dx 0 0 0 0 0 1 1 1 2 Mà 4x. f x2 dx 2 f x2 d x2 t x  2 f t dt 2I 0 0 0 1 1 1 và 3 f 1 x dx 3 f 1 x d 1 x u 1 x 3 f u du 3I 0 0 0 1 2 2 1 2 Đồng thời 1 x 2 dx x sint 1 sin 2 t.cos tdt cos 2 tdt 1 cos 2t dt . 0 0 0 2 0 4 Do đó, 1 2I 3I hay I . 4 20 1 2 9 Câu 187: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f 1 1, f x dx 0 5 1 2 1 và f x dx . Tính tích phân I f x dx . 0 5 0
3 1 3 1 A. I .B. I . C. I . D. I . 5 4 4 5 Hướng dẫn giải Chọn B 2 Đặt t x t x dx 2tdt . Đổi cận x 0 t 0; x 1 t 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra f x dx 2 t. f t dt t. f t dt . Do đó x. f x dx 0 0 0 5 0 5 1 2 1 1 2 x x 1 1 x2 Mặt khác x.f x dx f x f x dx f x dx . 0 2 0 0 2 2 0 2 1 x2 1 1 3 1 3 Suy ra f x dx x2 f x dx 0 2 2 5 10 0 5 1 2 9 Ta tính được 3x2 dx . 0 5 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Do đó f x dx 2 3x f x dx 3x dx 0 f x 3x dx 0 0 0 0 0 f x 3x2 0 f x 3x2 f x x3 C . Vì f 1 1 nên f x x3 1 1 1 Vậy I f x dx x3dx . 0 0 4