Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 6: Tích phân từng phần (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 6: Tích phân từng phần (Có đáp án)

1. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: b b b b P(x).exdx P(x).cos xdx P(x).sin xdx P(x).l n xdx a a a a u P(x) P(x) P(x) lnx dv exdx cos xdx sin xdx P(x) BÀI TẬP DẠNG 1: 2 Câu 1. Tích phân I xsin axdx, a 0 có giá trị là: 3 6 3 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 A. I . B. I . C. I . D. I . 6a 6a 6a 6a 4 1 Câu 2. Biết 1 x cos 2xdx ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab. 0 a b A. ab 32 . B. ab 2 . C. ab 4 . D. ab 12 . π u x2 Câu 3. Tính tích phân I x2 cos 2xdx bằng cách đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 dv cos 2xdx 1 π 1 π A. I x2 sin 2x π xsin 2xdx . B. I x2 sin 2x π 2 xsin 2xdx . 0 0 2 0 2 0 1 π 1 π C. I x2 sin 2x π 2 xsin 2xdx . D. I x2 sin 2x π xsin 2xdx . 0 0 2 0 2 0 2 2 a Câu 4. Biết I x cos 2xdx a 3 b sin 2xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của là: b 6 6 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 24 12 24 1 1 Câu 5. Biết rằng x cos 2xdx (asin 2 bcos 2 c) với a,b,c ¢ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 4 A. 2a b c 1. B. a 2b c 0 . C. a b c 0 . D. a b c 1. (x 2)cos3x Câu 6. Tính nguyên hàm I (x 2)sin 3xdx bsin 3x C . Tính M a 27b . a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 2 Câu 7. Biết m là số thực thỏa mãn x cos x 2m dx 2 2 1. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 0 2 A. m 0 . B. 0 m 3. C. 3 m 6 . D. m 6 . Câu 8. Tính tích phân x x sin x dx a 3 b . Tính tích ab: 0 1 2 A. 3 B. C. 6 D. 3 3
2. Câu 9. Tích phân 3x 2 cos2 x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . 4 4 4 4 2m 2 Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn x.cos mxdx . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong 0 2 các khoảng dưới đây? 1 6 5 8 0; 1; ; 7 4 5 6 7 A. ;2 . B. . C. . D. . 4 1 I f x dx 2x2 x khi x 0 Câu 11. Cho hàm số f x . Tích tích phân x.sin x khi x 0 7 2 1 2 A. I . B. I . C. I 3 . D. I 2 . 6 3 3 5 Câu 12. Tính x 1 cos x dx . Kết quả là 0 2 2 2 2 A. 2 . B. 3. C. 3. D. 2 . 2 3 3 2 3 x Câu 13. Tính tích phân dx a b . Phần nguyên của tổng a b là ? 2 0 cos x A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 x 4 2 Câu 14. Cho I x tan2 xdx ln b khi đó tổng a b bằng 0 a 32 A. 4 B. 8 C. 10 D. 6 4 x Câu 15. Tích phân I dx có giá trị là: 0 1 cos x A. I tan 2ln cos . B. I tan 2ln cos . 4 8 8 4 8 8 C. I tan 2ln cos . D. I tan 2ln cos . 4 4 8 4 4 8 4 x Câu 16. Tích phân dx a bln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a 8b 0 1 cos 2x A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. 4 2x sin x Câu 17. Tích phân I dx có giá trị là: 0 2 2cos x 1 2 3 1 2 3 A. I 4ln 2 ln 2 . B. I 2ln 2 ln 2 . 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 C. I 4ln 2 ln 2 . D. I 2ln 2 ln 2 . 2 3 2 3
3. 2 x3 2x cos x x cos2 x Câu 18. Tích phân I dx có giá trị là: cos x 6 5 4 2 2 3 5 4 2 2 3 A. I . B. I . 324 9 4 2 324 9 4 2 5 4 2 2 3 5 4 2 2 3 C. I . D. I . 324 9 4 2 324 9 4 2 2 a a x Câu 19. Cho 0 x và x tan xdx m Tính I dx theo a và m. 2 0 0 cos x A. I a tan a 2m . B. I a2 tan a m . C. I a2 tan a 2m . D. I a2 tan a m . 2 Câu 20. Tính x sin2 x cos xdx . Kết quả là 0 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 2 3 3 3 2 3 2 Câu 21. Cho tích phân I x.sin xdx a 2 b . Tính A a b 0 Chọn đáp án đúng: A. 7 B. 10 C. 6 D. 2 1 n 2 2 In 1 Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu In x 1 x dx . Tính lim . n 0 In A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . DẠNG 2: a Câu 23. Cho xe xdx 1 a ¡ . Tìm a ? 0 A. 0. B. 1. C. 2. D. e. 1 Câu 24. Cho I xe2xdx ae2 b ( a,b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1. D. . 4 2 1 Câu 25. Biết rằng tích phân 2x 1 exdx a b.e , tích ab bằng: 0 A. 1. B. 1. C. 15 . D. 20 . 1 Câu 26. Biết I 2x 3 exdx ae b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng? A. a b 2. B. a 3 b3 28 . C. ab 3 . D. a 2b 1. a x Câu 27. Tìm a sao cho I x.e 2 dx 4 , chọn đáp án đúng 0 A. 1 B. 0 C. 4 D. 2 1 Câu 28. Cho tích phân I x 1 ex 3 dx . Kết quả tích phân này dạng I e a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a B. a C. a D. a 2 4 5 3
4. 1 1 1 15 Câu 29. Tính tích phân I a x b e2x dx e2 . Tính A ab a b 0 4 4 12 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16 D. 45 1 mx 1 exdx e Câu 30. Tìm m để 0 ? 1 A. 0 B. -1 C. D. 1 2 m Câu 31. Cho I 2x 1 e2xdx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I m là khoảng a;b . 0 Tính P a 3b . A. P 3 . B. P 2 . C. P 4 . D. P 1. 4 x 1 ex Câu 32. Biết rằng tích phân dx ae4 b . Tính T a2 b2 0 2x 1 3 5 A. T 1 . B. T 2 . C. T . D. T . 2 2 12 1 c 1 x a Câu 33. Cho tích phân I 1 x .e x .dx .e d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương 1 x b 12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6 DẠNG 3. e a.e2 b Câu 34. Cho I x ln xdx với a , b , c ¢ . Tính T a b c . 1 c A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 6 . 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln 2x 1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3 b , khi đó giá trị 0 của tích ab3 bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. . 2 2 1 b a,b ¢ a 3 Câu 36. Cho ln x 1 dx a ln b , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. . C. 16. D. . 7 9 2 Câu 37. Biết tích phân 4x 1 ln xdx a ln 2 b với a , b Z . Tổng 2a b bằng 1 A. 5. B. 8. C. A 1; 2;1 D. 13. 3 3 ln x a ln b ln c Câu 38. Biết dx với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 2 1 x 1 4 P a b c bằng? A. 46 . B. 35 . C. 11. D. 48 . 2 Câu 39. Giả sử 2x 1 ln xdx a ln 2 b, a;b ¤ . Khi đó a b ? 1
5. 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2 2 2 Câu 40. Tính tích phân I x 1 lnxdx. 1 2ln 2 6 6ln 2 2 2ln 2 6 6ln 2 2 A. I . B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 a Câu 41. Tích phân I x ln xdx có giá trị là: 1 a2 ln a 1 a2 a2 ln a 1 a2 A. I . B. I . 2 4 2 4 a2 ln a 1 a2 a2 ln a 1 a2 C. I . D. I . 2 4 2 4 2 Câu 42. Kết quả tích phân 2x ln x 1 dx 3ln 3 b . Giá trị 3 b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 2 a b Câu 43. Tính tích phân I (4x 3).ln xdx 7ln a b . Tính sin : 1 4 1 A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 1 2 Câu 44. Cho tích phân I 3x 2x ln(2x 1) dx . Xác định a biết I bln a c với a,b,c là 0 các số hữu tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a D. a . 3 3 3 3 ln x Câu 45. Cho I dx a(ln 3 1) ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T 4a 2b 2 1 (x 1) A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 ln sin x 3 Câu 46. Cho tích phân I 3 dx a ln b . Tính A log a log b 2 3 3 6 6 cos x 4 Chọn đáp án đúng: A. 3 B. 2 C. 1 D. 1 e ln x Câu 47. Biết dx a e b với a,b ¢ . Tính P a.b . 1 x A. P 4 . B. P 8 . C. P 4 . D. P 8 . 2 Câu 48. Biết 2x ln x 1 dx a.ln b , với a, b ¥ * , b là số nguyên tố. Tính 6a 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 . D. 39 . 1 2 1 a ln 2 bc ln 3 c a b c ¥ T a b c Câu 49. Cho x ln x 2 dx với , , . Tính . 0 x 2 4 A. T 13 . B. T 15 . C. T 17 . D. T 11 . 3 Câu 50. Biết ln x3 3x 2 dx a ln 5 bln 2 c , với a, b,c ¢ . Tính S a.b c 2 A. S 60 . B. S 23. C. S 12 . D. S 2 .
6. 1 7 Câu 51. Cho biết tích phân I x 2 ln x 1 dx a ln 2 trong đó a , b là các số nguyên 0 b dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a b . B. a b . C. a b . D. a b 3 . 2 x ln x a 1 I dx ln 2 x 1 2 b c Câu 52. Cho 1 với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a b S Tính giá trị của biểu thức c . 2 5 1 1 A. S . B. S . C. S . D. S . 3 6 2 3 b Câu 53. Cho a b 1. Tích phân I ln x 1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b A. I x 1 ln x 1 a b . B. I x 1 ln x 1 b a . a a b b 1 b x C. I . D. I x ln x 1 dx . x 1 a x 1 a a 2 e 1 1 ae2 be+c Câu 54. Biết dx , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2 e ln x ln x 2 2 2 2 a b c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 . 3 c Câu 55. Biết x ln x2 16 dx a ln 5 bln 2 trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính giá trị của 0 2 biểu thức T a b c . A. T 2 . B. T 16 . C. T 2 . D. T 16 . 2 1 Câu 56. Tính tích phân I 2019log x x2018dx . 2 1 ln 2 A. I 22017 . B. I 22019 . C. I 22018 . D. I 22020 . 3 3 ln x Câu 57. Biết I dx a 1 ln 3 bln 2 , a,b ¤ . Khi đó a2 b2 bằng 2 1 x 1 7 16 25 3 A. a2 b2 . B. a2 b2 . C. a2 b2 . D. a2 b2 . 16 9 16 4 2 ln x b b Câu 58. Biết dx a ln 2 (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số 2 1 x c c tối giản). Tính giá trị của S 2a 3b c . A. S 4 . B. S 6 . C. S 6 . D. S 5. 2 Câu 59. Biết rằng ln x 1 dx a ln 3 bln 2 c với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c 1 A. S 0 . B. S 1. C. S 2 . D. S 2 . 5 Câu 60. Tính tích phân I x 1 ln x 3 dx ? 4 19 19 19 A. 10ln 2 . B. 10ln 2 . C. 10ln 2 . D. 10ln 2 . 4 4 4 3 Câu 61. Biết rằng x ln x dx mln 3 nln 2 p , trong đó m , n , p ¤ . Khi đó số m là 2
7. 9 27 A. . B. 18. C. 9 . D. . 2 4 4 Câu 62. Biết x ln x2 9 dx a ln 5 bln 3 c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T a b c là A. T 10 . B. T 9 . C. T 8. D. T 11 . 1 Câu 63. Tích phân I ln 1 x2 x dx có giá trị là: 0 A. I 2 1 ln 2 1 . B. I 2 1 ln 2 1 . C. I 2 1 ln 2 1 . D. I 2 1 ln 2 1 . e 1 2 Câu 64. Cho tích phân I x ln xdx ae b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a 3b là: 1 x 13 13 13 13 A. . B. . C. . D. 2 4 4 2 /4 ln(sin x cos x) Câu 65. Tính tích phân dx , ta được kết quả 2 0 cos x 1 3 3 3 A. ln 2. B. ln 2. C. ln 2. D. ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2 2 4ln x 1 2 Câu 66. Giả sử dx a ln 2 bln 2 , với a,b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a b bằng. 1 x A. 3 . B. 5 C. 7. D. 9 . 1000 2 ln x Câu 67. Tính tích phân I dx. 2 1 x 1 ln 21000 2 1000ln 2 21001 A. I 1000ln . B. I ln . 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 ln 21000 2 1000ln 2 21000 C. I 1000ln . D. I ln . 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000
8. HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG 1: 2 Câu 1. Tích phân I xsin axdx, a 0 có giá trị là: 3 6 3 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 A. I . B. I . C. I . D. I . 6a 6a 6a 6a Hướng dẫn giải 2 Tích phân I xsin axdx, a 0 có giá trị là: 3 du dx u x Đặt 1 . dv sin axdx v cos x a 1 2 1 2 1 2 1 2 6 3 3 I x cos x cos xdx x cos x sin x . a a a a 6a 3 3 3 3 Chọn A 4 1 Câu 2. Biết 1 x cos 2xdx ( a, b là các số nguyên khác 0). Tính giá trị ab. 0 a b A. ab 32 . B. ab 2 . C. ab 4 . D. ab 12 . Hướng dẫn giải Chọn A 4 sin 2x cos2x 4 1 1 1 x cos2xdx 1 x . 0 2 4 0 4 8 a b a 4;b 8 ab 32 . π u x2 Câu 3. Tính tích phân I x2 cos 2xdx bằng cách đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 0 dv cos 2xdx 1 π 1 π A. I x2 sin 2x π xsin 2xdx . B. I x2 sin 2x π 2 xsin 2xdx . 0 0 2 0 2 0 1 π 1 π C. I x2 sin 2x π 2 xsin 2xdx . D. I x2 sin 2x π xsin 2xdx . 0 0 2 0 2 0 Hướng dẫn giải Chọn A du 2xdx u x2 Ta có: 1 . dv cos 2xdx v sin 2x 2 π 1 π Khi đó: I x2 cos 2xdx x2 sin 2x π xsin 2xdx . 0 0 2 0 2 2 a Câu 4. Biết I x cos 2xdx a 3 b sin 2xdx , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của là: b 6 6
9. 1 1 1 1 A. . B. . C. . D. . 12 24 12 24 Hướng dẫn giải 2 2 a Biết I x cos 2xdx a 3 b sin 2xdx . Giá trị của là: b 6 6 Ta có: 1 a 2 1 2 1 2 3 1 2 24 a 1 I x cos 2xdx xsin 2x sin 2xdx sin 2xdx 2 2 24 2 1 b 12 6 b 6 6 6 2 . Chọn A 1 1 Câu 5. Biết rằng x cos 2xdx (asin 2 bcos 2 c) với a,b,c ¢ . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 0 4 A. 2a b c 1. B. a 2b c 0 .C. a b c 0 . D. a b c 1. Hướng dẫn giải Chọn C du dx u x Đặt sin 2x . dv cos 2xdx v 2 1 xsin 2x 1 1 1 Khi đó x cos 2xdx |1 sin 2xdx 2sin 2 cos 2 1 . 0 0 2 2 0 4 Vậy a b c 0 . (x 2)cos3x Câu 6. Tính nguyên hàm I (x 2)sin 3xdx bsin 3x C . Tính M a 27b . a Chọn đáp án đúng: A. 6 B. 14 C. 34 D. 22 Hướng dẫn giải Chọn A du dx u x 2 Đặt .ta được: cos3x dv sin 3xdx v 3 Do đó: x 2 cos3x 1 x 2 cos3x 1 1 I cos3xdx sin 3x c a 3;b m 6 3 3 3 9 9 2 Câu 7. Biết m là số thực thỏa mãn x cos x 2m dx 2 2 1. Mệnh đề nào sau dưới đây đúng? 0 2 A. m 0 . B. 0 m 3. C. 3 m 6 .D. m 6 . Hướng dẫn giải Chọn D 2 2 2 x cos x 2m dx x.cos xdx 2mxdx I J 0 0 0 2 +) I x.cos xdx 0
10. u x du dx Đặt dv cos xdx v sin x 2 Khi đó I x.sin x 2 sin xdx x.sin x 2 cos x 2 1. 0 0 0 0 2 2 2 +) J 2mxdx mx2 2 m . 0 0 4 2 2 Suy ra x cos x 2m dx m 1 0 4 2 2 Theo giả thiết ta có m 1 2 2 1 m 8 . 4 2 2 Câu 8. Tính tích phân x x sin x dx a 3 b . Tính tích ab: 0 1 2 A. 3B. C. 6 D. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B x3 I x2dx xsin xdx x2dx xd cos x x cos x cos xdx 0 0 0 0 3 0 0 0 3  sin x 3 3 0 3 Câu 9. Tích phân 3x 2 cos2 x dx bằng 0 3 3 1 1 A. 2 .B. 2 . C. 2 . D. 2 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B Đặt I 3x 2 cos2 x dx . Ta có: 0 1 1 1 I 3x 2 1 cos 2x dx 3x 2 dx 3x 2 cos 2x dx I I . 1 2 2 0 2 0 0 2 3 3 I 3x 2 dx x2 2x 2 2 . 1 0 2 0 2 I 3x 2 cos 2x dx . Dùng tích phân từng phần 2 0 du 3dx u 3x 2 Đặt 1 . dv cos 2x dx v sin 2x 2 1 3 3 Khi đó I 3x 2 sin 2x sin 2x dx 0 cos 2x 0 . 2 2 0 2 0 4 0 1 3 2 3 2 Vậy I 2 . 2 2 4
11. 2m 2 x.cos mxdx 2 Câu 10. Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn 0 . Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây? 1 6 5 8 0; 1; ; 7 4 5 6 7 A. ;2 . B. . C. .D. . 4 Hướng dẫn giải Chọn D du dx u x Đặt 1 . dv cos mxdx v sin mx m 2m 2m x 2m 1 1 2m 2 1 Suy ra x.cos mxdx sin mx sin mxdx .cos mx . . 2 2 2 0 m 0 m 0 2m m 0 2 m 2 1 2 Theo giả thiết ta có . 2 m 1. 2 m 2 5 8 m 1 ; Vì m là số hữu tỷ dương nên 6 7 . 2x2 x khi x 0 1 f x I f x dx x.sin x khi x 0 Câu 11. Cho hàm số . Tích tích phân 7 2 1 2 A. I . B. I . C. I 3 . D. I 2 . 6 3 3 5 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: lim f x lim f x f 0 0 nên hàm số liên tục tại x 0 . Do đó hàm số liên tục x 0 x 0 trên đoạn  ;1. 1 0 1 0 1 Ta có: I f x dx f x dx f x dx x.sin xdx 2x2 x dx I I . 1 2 0 0 0 I x.sin xdx 1 u x du dx Đặt dv sin xdx v cos x 0 0 0 I x cos x cos xdx x cos x sin x 0 . 1 1 1 3 2 2 2x x 7 I2 2x x dx . 3 2 6 0 0 7 Vậy I I I . 1 2 6 Câu 12. Tính x 1 cos x dx . Kết quả là 0 2 2 2 2 A. 2 . B. 3. C. 3. D. 2 . 2 3 3 2 Hướng dẫn giải
12. Chọn A u x du dx Đặt dv (1 cos x)dv v x sin x 2 2 2 2 x 2 Khi đó: I x x sin x x sin x dx cos x 1 1 2 0 2 2 2 0 0 3 x Câu 13. Tính tích phân dx a b . Phần nguyên của tổng a b là ? 2 0 cos x A. 0B. -1 C. 1 D. -2 Hướng dẫn giải Chọn B Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần. u x du dx Đặt dx sin x dv v tan x cos2 x cos x 3 sin xdx Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có: I x tan x 3 cos x 0 0 3 d cos x x tan x 3 I x tan x 3 ln cos x 3 ln 2 cos x 3 0 0 0 0 1 Suy ra a ;b ln 2 . 3 1 Tổng a b ln 2 0,1157969114 3 Lưu ý khái niệm phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, vậy đáp án đúng là đáp án B. Nhận xét: Bài toán trên đòi hỏi khả năng biến đổi của thí sính và nhắc lại kiến thức về khái niệm phần nguyên, sẽ có thí sinh khi đi thi đã tìm ra kết quả phân tích nhưng lúng túng trong việc lựa chọn đáp án vì không nhớ rõ khái niệm phần nguyên. x 4 2 Câu 14. Cho I x tan2 xdx ln b khi đó tổng a b bằng 0 a 32 A. 4 B. 8 C. 10D. 6 Hướng dẫn giải Chọn D 4 1 4 1 4 I x 1 dx x. dx xdx 2 2 0 cos x 0 cos x 0 4 2 xdx 4 0 0 2 32 4 1 I x. dx . 1 2 0 cos x
13. u x du dx Đặt dx dv v tan x cos2 x 4 4 4 I1 x tan x 0 tan xdx ln cos x ln 2 0 0 4 4 2 Vậy I ln 2 4 32 4 x Câu 15. Tích phân I dx có giá trị là: 0 1 cos x A. I tan 2ln cos .B. I tan 2ln cos . 4 8 8 4 8 8 C. I tan 2ln cos . D. I tan 2ln cos . 4 4 8 4 4 8 Hướng dẫn giải 4 x Tích phân I dx có giá trị là: 0 1 cos x 4 x 1 4 x Ta biến đổi: I dx I dx . 1 cos x 2 2 x 0 0 cos 2 u x du dx Đặt x x . dv cos2 dx v 2 tan 2 2 x 4 4 sin 1 x 4 x 1 2 I 2x tan 2 tan dx tan 2 dx 2 2 2 2 2 8 x 0 0 0 cos 2 . cos 8 1 tan 4 dt tan 2ln cos 2 8 1 t 4 8 8 Chọn B 4 x Câu 16. Tích phân dx a bln 2 , với a , b là các số thực. Tính 16a 8b 0 1 cos 2x A. 4. B. 5. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A u x du dx Đặt dx 1 . Ta có dv v tan x 1 cos 2x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 I x tan x 4 4 tan xdx ln cos x 4 ln ln 2 a ,b 2 2 0 8 2 8 2 8 4 8 4 0 0 2 Do đó, 16a 8b 4 .
14. 4 2x sin x Câu 17. Tích phân I dx có giá trị là: 0 2 2cos x 1 2 3 1 2 3 A. I 4ln 2 ln 2 . B. I 2ln 2 ln 2 . 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 C. I 4ln 2 ln 2 . D. I 2ln 2 ln 2 . 2 3 2 3 Hướng dẫn giải 2 2x sin x Tích phân I dx có giá trị là: 2 2cos x 3 4 2x sin x 2 x 1 2 sin x Ta biến đổi: I dx dx dx . 2 2cos x 1 cos x 2 1 cos x 3 3 3 2 x 1 2 x Xét I1 dx dx . 1 cos x 2 2 x sin 3 3 2 u x du dx 1 Đặt dv dx x . x v 2cot sin2 2 2 1 x 2 2 x 1 2 3 I 2x.cot 2 cot dx 4ln 2 . 1 2 2 2 2 3 3 3 1 2 sin x Xét I dx . 2 2 1 cos x 3 Đặt t 1 cos x dt sin xdx . 1 x t 3 2 Đổi cận . x t 1 2 1 1 1 1 1 1 I dt ln t ln 2 . 2 2 1 t 2 2 1 2 2 1 2 3 I I I 4ln 2 ln 2 . 1 2 2 3 Chọn C 2 x3 2x cos x x cos2 x Câu 18. Tích phân I dx có giá trị là: cos x 6
15. 5 4 2 2 3 5 4 2 2 3 A. I . B. I . 324 9 4 2 324 9 4 2 5 4 2 2 3 5 4 2 2 3 C. I . D. I . 324 9 4 2 324 9 4 2 Hướng dẫn giải 2 x3 2x cos x x cos2 x Tích phân I dx có giá trị là: cos x 6 Ta có: 3 2 2 x 2x cos x x cos x 2 2 2 2 3 1 4 2 I dx x 2x dx x cos xdx x x x cos xdx . cos x 4 6 6 6 6 6 2 Xét I x cos xdx . 1 6 u x du dx Đặt . dv cos xdx v sin x 2 3 I xsin x 2 sin xdx . 1 6 4 2 6 2 4 2 1 4 2 5 2 3 I x x I1 . 4 324 9 4 2 6 Chọn A 2 a a x Câu 19. Cho 0 x và x tan xdx m Tính I dx theo a và m. 2 0 0 cos x A. I a tan a 2m . B. I a2 tan a m .C. I a2 tan a 2m . D. I a2 tan a m . Hướng dẫn giải Chọn C u x2 du 2xdx Đặt 1 v tan x dv 2 dx cos x a 2 a x a I dx x2 tan x 2x tan xdx a2 tan a 2m. 0 0 cos x 0 2 Câu 20. Tính x sin2 x cos xdx . Kết quả là 0 2 2 2 2 A. . B. . C. .D. . 2 3 2 3 3 3 2 3 Hướng dẫn giải Chọn D 2 Ta có: I (x sin2 x)cos xdx 0
16. 2 (x cos x sin2 x cos x)dx 0 2 2 x cos xdx sin2 x cos xdx I I 1 2 0 0 u x du dx Tính I1 : Đặt . dv cos xdx v sin x 2 Nên I x cos xdx 1 0 2 xsin x | 2 sin xdx cos x | 2 1 0 0 0 2 2 Tính I : Đặt u sin x. Ta có du cos xdx. Đổi cận: x 0 u 0; x u 1. 2 2 2 1 1 1 1 2 I sin2 x cos xdx u2du u3 . Vậy I I I . 2 1 2 0 0 3 0 3 2 3 2 Câu 21. Cho tích phân I x.sin xdx a 2 b . Tính A a b 0 Chọn đáp án đúng: A. 7B. 10 C. 6 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B * Đặt u t 2 du 2tdt; dv sintdt chọn v cost Vậy I 2 t 2 cost 2 t costdt 0 0 Đặt u t du dt dv costdt chọn v sint I t sintdt t sint sintdt cost 2 1 0 0 0 0 2 2 * Do đó: I 2 t cost 4 2 8 a 2;b 8 A 10 0 1 n 2 2 In 1 Câu 22. Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu In x 1 x dx . Tính lim . n 0 In A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1. Tự luận: du dx 1 u x n 2 2 2 n 1 Xét In x 1 x dx . Đặt n 1 x . dv x 1 x2 dx 0 v 2 n 1 n 1 1 2 1 1 x 1 x 1 n 1 1 n 1 I 1 x2 dx 1 x2 dx n n 1 2 n 1 0 2 n 1 0 0
17. 1 1 n 1 I 1 x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 1 1 1 n 1 n 1 I 1 x2 dx x2 1 x2 dx n 1 2 n 2 0 0 1 In 1 2n 1 In 1 In 1 2 n 1 In In 1 lim 1. n 2 n 2 In 2n 5 In Cách 2. Trắc nghiệm: Ta thấy 0 1 x2 1 với mọi x 0;1 , nên 1 1 1 n 1 n n I x2 1 x2 dx x2 1 x2 1 x2 dx x2 1 x2 dx I , n 1 n 0 0 0 I I suy ra n 1 1, nên lim n 1 1. Dựa vào các đáp án, ta chọnA. In In
18. DẠNG 2: a Câu 23. Cho xe xdx 1 a ¡ . Tìm a ? 0 A. 0.B. 1. C. 2. D. e. Hướng dẫn giải Chọn B a a xexdx 1 x 1 ex a 1 ea 1 1 a 1. 0 0 1 Câu 24. Cho I xe2xdx ae2 b ( a,b là các số hữu tỷ). Khi đó tổng a b là 0 1 1 A. 0 . B. . C. 1.D. . 4 2 Hướng dẫn giải Chọn D du dx u x Đặt 2x ta có 1 2x . dv e dx v e 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy I xe2xdx xe2x e2xdx e2 e2x e2 e2 e2 . 0 2 0 2 0 2 4 0 2 4 4 4 4 1 a 4 1 Suy ra a b . 1 2 b 4 1 Câu 25. Biết rằng tích phân 2x 1 exdx a b.e , tích ab bằng: 0 A. 1. B. 1. C. 15 . D. 20 . Hướng dẫn giải Chọn A u 2x 1 du 2dx Đặt x x . dv e dx v e 1 1 1 1 Vậy 2x 1 exdx 2x 1 ex 2 exdx 2x 1 ex e 1. 0 0 0 0 Suy ra a 1;b 1 ab 1. 1 Câu 26. Biết I 2x 3 exdx ae b , với a, b là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề 0 đúng? A. a b 2. B. a 3 b3 28 . C. ab 3 .D. a 2b 1. Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 I 2x 3 exdx 2x 3 d ex 2x 3 ex 2 exdx 5e 3 2e 2 3e 1. 0 0 0 0 Vậy a 3,b 1 nên a 2b 1. a x Câu 27. Tìm a sao cho I x.e 2 dx 4 , chọn đáp án đúng 0 A. 1 B. 0 C. 4D. 2
19. Hướng dẫn giải Chọn D a x u x du dx 2 Ta có: I x.e dx . Đặt x x 0 dv e 2 dx v 2.e 2 x a a x a x a a I 2x.e 2 2 e 2 dx 2ae 2 4.e 2 2 a 2 e 2 4 0 0 0 a Theo đề ra ta có: I 4 2 a 2 e 2 4 4 a 2 1 Câu 28. Cho tích phân I x 1 ex 3 dx . Kết quả tích phân này dạng I e a . Đáp án nào sau 0 đây đúng? 9 9 9 8 A. a B. a C. a D. a 2 4 5 3 Hướng dẫn giải Chọn A u x 1 du dx dv ex 3 dx v ex 3 dx ex 3x 1 1 I x 1 ex 3x ex 3x dx 0 0 1 1 3 9 x 1 ex 3x ex x2 e 0 2 0 2 1 1 1 15 Câu 29. Tính tích phân I a x b e2x dx e2 . Tính A ab a b 0 4 4 12 Chọn đáp án đúng: A. 27 B. 30 C. 16D. 45 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt du dx u a x 2x 1 2x dv b e dx v bx e 2 1 2x 1 1 b 1 1 1 2 1 1 2 I a x bx e 0 ab b a a 1 e e 2 2 2 4 2 4 4 4 1 b 1 1 ab b a 2 2 4 4 a 1 A 45 1 1 1 b 2 a 1 2 4 4 1 mx 1 exdx e Câu 30. Tìm m để 0 ? 1 A. 0 B. -1 C. D. 1 2 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có
20. 1 1 1 1 1 1 mx 1 exdx mx 1 dx(ex ) mx 1 ex m exd mx 1 mx 1 ex m exdx 0 0 0 0 0 0 1 1 mx 1 ex mex m 1 e 1 me m e m 1 0 0 m Câu 31. Cho I 2x 1 e2xdx . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để I m là khoảng a;b . 0 Tính P a 3b . A. P 3 . B. P 2 . C. P 4 . D. P 1. Hướng dẫn giải Chọn A m I 2x 1 e2xdx 0 du 2dx u 2x 1 2x Đặt 2x e . dv e dx v 2 m 2x 1 e2x m m 2m 1 e2m 1 1 m I 2x 1 e2xdx e2xdx e2x mem e2m 1 0 2 0 0 2 2 2 0 I m me2m e2m 1 m m 1 e2m 1 0 0 m 1. Suy ra a 0,b 1 a 3b 3 . 4 x 1 ex Câu 32. Biết rằng tích phân dx ae4 b . Tính T a2 b2 0 2x 1 3 5 A. T 1 .B. T 2 . C. T . D. T . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B 4 4 4 4 x x 1 x 1 2x 2 x 1 x e Ta có I e dx e dx 2x 1.e dx dx . 0 2x 1 2 0 2x 1 2 0 0 2x 1 4 ex Xét I dx . 1 0 2x 1 du exdx u ex 1 Đặt dx dx 1 2x 1 2 dv v . 2x 1 2x 1 2 1 2x 1 2 4 4 x x Do đó I1 e . 2x 1 e . 2x 1dx . 0 0 3e4 1 3 1 9 1 Suy ra I . Khi đó a ,b T 2 . 2 2 2 4 4 12 1 c 1 x a Câu 33. Cho tích phân I 1 x .e x .dx .e d , trong đó a , b , c , d là các số nguyên dương 1 x b 12 a c và các phân số , là các phân số tối giản. Tính bc ad . b d 1 A. 24 . B. . C. 12 . D. 1. 6
21. Hướng dẫn giải Chọn A 12 1 12 1 12 1 1 x x 1 x - Ta có: I 1 x .e x .dx e x .dx x e x .dx J K 1 x 1 1 x 12 12 12 12 1 x - Tính J e x .dx . 1 12 1 1 x x 1 x x du 1 e .dx u e 2 Đặt x dv dx v x 12 1 12 1 145 145 145 x x 1 12 1 12 143 12 J x.e x x .e x .dx 12.e .e K .e K 1 1 x 12 12 12 12 143 145 I J K .e 12 . 12 a c a c - Theo giả thiết: I .e d với a , b , c , d là các số nguyên dương và , là các phân số b b d a 143 c 145 tối giản nên và a 143 , b 12 , c 145 , d 12 . b 12 d 12 Vậy bc ad 24 . DẠNG 3. e a.e2 b Câu 34. Cho I x ln xdx với a , b , c ¢ . Tính T a b c . 1 c A. 5 . B. 3 . C. 4 .D. 6 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 du dx u ln x x Ta có: nên . dv xdx x2 v 2 e e a 1 x2 1 e e2 1 I x ln xdx ln x xdx . b 1 . 2 2 4 1 1 1 c 4 Vậy T a b c 6. 1 Câu 35. Kết quả của phép tính tích phân ln 2x 1 dx được biểu diễn dạng a.ln 3 b , khi đó giá trị 0 của tích ab3 bằng 3 3 A. 3. B. . C. 1. D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. 2 u ln 2x 1 du dx Đặt 2x 1 . dv dx v x
22. 1 1 1 1 2x 1 Ta có I ln 2x 1 dx x ln 2x 1 dx ln 3 1 dx 0 0 0 2x 1 0 2x 1 1 1 3 ln 3 x ln 2x 1 ln 3 1. 2 0 2 3 3 Khi đó a ;b 1. Vậy ab3 . 2 2 1 b a,b ¢ a 3 Câu 36. Cho ln x 1 dx a ln b , . Tính . 0 1 1 A. 25 . B. .C. 16. D. . 7 9 Hướng dẫn giải: Chọn C . 1 u ln x 1 du dx Đặt x 1 . dv dx v x 1 1 1 1 1 1 I ln x 1 dx x 1 ln x 1 x 1 . dx 2ln 2 x 2ln 2 1 1 ln 4 . 0 0 0 0 x 1 a 1,b 4 a 3 b 16 . 2 Câu 37. Biết tích phân 4x 1 ln xdx a ln 2 b với a , b Z . Tổng 2a b bằng 1 A. 5. B. 8. C. A 1; 2;1 D. 13. Hướng dẫn giải Chọn C 1 u ln x du dx Đặt x . dv 4x 1 dx. 2 2 2 2 Ta có 4x 1 ln xdx x 2x 1 ln x 2x 1 dx 6ln 2 x2 x 6ln 2 2 . 1 1 1 1 Vậy 2a b 10. 3 3 ln x a ln b ln c Câu 38. Biết dx với a , b , c là các số nguyên dương. Giá trị của biểu thức 2 1 x 1 4 P a b c bằng? A. 46 . B. 35 . C. 11. D. 48 . Hướng dẫn giải Chọn A 3 3 ln x 3 1 3 ln x 3 3 1 Ta có dx 3 ln x d d 3 ln x 2 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 x 1 3 ln 3 3 3 1 1 3 ln 3 3 1 1 3 ln 3 x 3 . dx dx ln 4 2 1 x 1 x 4 1 x x 1 4 x 1 1 3 ln 3 3 1 3 ln 3 3 ln 3 ln ln ln 3 ln 4 ln 2 ln 3 ln 2 4 4 2 4 4
23. a 3 3 3ln 3 4ln 2 3 ln 27 ln16 b 27 P 46. 4 4 c 16 2 Câu 39. Giả sử 2x 1 ln xdx a ln 2 b, a;b ¤ . Khi đó a b ? 1 5 3 A. . B. 2. C. 1. D. . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D 1 u ln x du dx Đặt x . dv 2x 1 dx 2 v x x 2 2 2 Ta có 2x 1 ln xdx x2 x ln x x 1 dx 1 1 1 2 x2 1 2ln 2 x 2ln 2 . 2 2 1 1 3 Khi đó a 2;b . Vậy a b . 2 2 2 2 Câu 40. Tính tích phân I x 1 lnxdx. 1 2ln 2 6 6ln 2 2 2ln 2 6 6ln 2 2 A. I .B. I . C. I . D. I . 9 9 9 9 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 Cách 1: I x 1 ln xdx 1 dx du u ln x x Đặt dv x2 1 dx x3 v x 3 2 2 2 x3 2 x2 x3 x3 6ln 2 2 Do đó I x ln x 1 dx x ln x x . 3 3 3 9 9 1 1 1 1 Cách 2: 2 2 2 3 3 2 3 2 x x x x 1 ln xdx ln xd x x ln x x d ln x 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 x2 2 x3 2 6ln 2 ln 2 1 dx x . 3 3 3 9 9 1 1 a Câu 41. Tích phân I x ln xdx có giá trị là: 1 a2 ln a 1 a2 a2 ln a 1 a2 A. I . B. I . 2 4 2 4 a2 ln a 1 a2 a2 ln a 1 a2 C. I . D. I . 2 4 2 4 Hướng dẫn giải
24. a Tích phân I x ln xdx có giá trị là: 1 1 du dx u ln x x Đặt . dv xdx x2 v 2 a a a x2 a x x2 x2 a2 ln a 1 a2 I .ln x dx .ln x . 2 2 2 4 2 4 1 1 1 1 Chọn C 2 Câu 42. Kết quả tích phân 2x ln x 1 dx 3ln 3 b . Giá trị 3 b là: 0 A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 Hướng dẫn giải Chọn C 2 I 2x ln x 1 dx A B 0 2 2 Tính A 2xdx x2 4 0 0 2 Tính B ln x 1 dx 0 dx u ln x 1 du Xem: ta chọn được x 1 dv dx v x 1 Dùng công thức tích phân từng phần 2 2 2 x 1 2 B ln x 1 dx x 1 .ln x 1 dx 3ln 3 x 3ln 3 2 0 0 0 x 1 0 2 Vậy: I 2x ln x 1 dx 3ln 3 2 0 2 a b Câu 43. Tính tích phân I (4x 3).ln xdx 7ln a b . Tính sin : 1 4 1 A. 1B. -1 C. 0 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B  u ln x du dx Đặt x . Khi đó dv 4x 3 dx 2 v 2x 3x 2 2 2x2 3x 2 I 2x2 3x ln x dx 2.22 3.2 ln 2 2.2 3. ln 2x 3 dx   x  2 4ln 2 0 x2 3x 4ln 2 0 22 3.2 2 3. 4ln 2 0 4 4ln 2 6  1 2 Câu 44. Cho tích phân I 3x 2x ln(2x 1) dx . Xác định a biết I bln a c với a,b,c là 0 các số hữu tỉ 2 2 A. a=3 B. a=-3 C. a D. a . 3 3 Hướng dẫn giải
25. Chọn A 1 1 1 I 3x2 2x ln(2x 1) dx 3x2 2x dx ln(2x 1) dx I I 1 2 0 0 0 u ln(2x 1) Giải I2 bằng phương pháp từng phần dv dx 3 I ln3 1 a 3 2 3 3 ln x Câu 45. Cho I dx a(ln 3 1) ln b với a,b∈R. Tính giá trị biểu thức T 4a 2b 2 1 (x 1) A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn A Ở bài toán này máy tính dường như không giúp được nhiều trong việc giải quyết bài toán, đây là bài toán sử dụng phương pháp tích phân thành phần ở mức độ vận dung. Đặt dx u 3 ln x u x dx v 1 x (x 1)2 v 1 x 1 x 1 b b Áp dụng công thức tính tích phân thành phần udv uv b vdu thì ta được a a a 3 3 3 (3 ln x)x dx (3 ln x)x 3 I ln(x 1) 1 x 1 1 1 x 1 x 1 1 3 3 ln 3 3 I ln 4 ln 2 4 2 3 3 1 (ln 3 1) ln 2 (ln 3 1) ln 4 4 2 3 1 Vậy a ;b T 4a 2b 3 1 4 4 2 1 x Nhận xét: Điểm mấu chốt để xử lí nhanh bài toán nằm ở việc đặt v 1 . Một số x 1 x 1 3 thí sinh chọn đáp án B vì khi làm đến I (ln 3 1) ln 2 không để ý dấu nên suy ra luôn 4 3 a ;b 2dẫn đến kết quả sai. 4 ln sin x 3 Câu 46. Cho tích phân I 3 dx a ln b . Tính A log a log b 2 3 3 6 6 cos x 4 Chọn đáp án đúng: A. 3 B. 2C. 1 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C cosx Đặt u ln sin x du dx sin x dx dv chọn v tan x cos2 x
26. 3 ln sin x 3 Vậy I dx tan x.ln x sin x 3 dx 2 cos x 6 6 6 e ln x Câu 47. Biết dx a e b với a,b ¢ . Tính P a.b . 1 x A. P 4 .B. P 8 . C. P 4 . D. P 8 . Hướng dẫn giải Chọn B u ln x dx du Đặt dx x dv x dv 2 x e e ln x e dx e e a 2 Suy ra dx 2 x ln x 2 2 x ln x 4 x 2 e 4 . 1 1 1 1 x 1 x b 4 Vậy P ab 8. 2 Câu 48. Biết 2x ln x 1 dx a.ln b , với a, b ¥ * , b là số nguyên tố. Tính 6a 7b . 0 A. 33 . B. 25 . C. 42 .D. 39 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 2 u ln x 1 du dx Xét I 2x ln x 1 dx 6. Đặt x 1 . 0 dv 2xdx 2 v x 1 2 2 2 2 2 2 2 x 1 x Ta có I x 1 ln x 1 dx 3ln 3 x 1 dx 3ln 3 x 3ln 3. 0 x 1 2 0 0 0 Vậy a 3, b 3 6a 7b 39 . 1 2 1 a ln 2 bc ln 3 c a b c ¥ T a b c Câu 49. Cho x ln x 2 dx với , , . Tính . 0 x 2 4 A. T 13 . B. T 15 . C. T 17 . D. T 11 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 du u ln x 2 x 2 Đặt . dv xdx x2 4 v 2 1 1 1 x2 4 1 x 2 1 x x ln x 2 dx ln x 2 dx dx 0 x 2 2 0 0 2 0 x 2 1 2 3 1 x 1 3 3 ln 3 2ln 2 2x x 2ln x 2 ln 3 2ln 2 1 2 ln 3 ln 2 2 2 2 0 2 4 0 a 4 14ln 3 16ln 2 7 . Suy ra: b 2 . 4 c 7 Vậy T a b c 13 .
27. 3 Câu 50. Biết ln x3 3x 2 dx a ln 5 bln 2 c , với a, b,c ¢ . Tính S a.b c 2 A. S 60 .B. S 23. C. S 12 . D. S 2 . Hướng dẫn giải Chọn B 3 3 3 Ta có ln x3 3x 2 dx x.ln x3 3x 2 xd ln x3 3x 2 2 2 2 3 x 3x2 3 3ln 20 4ln 2 dx 2 2 x 1 x 2 3 3x x 1 3 3 x 1 x 2 6 3ln 20 4ln 2 dx 3ln 5 2ln 2 dx 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 3 3 1 1 3 3 3ln 5 2ln 2 3x 2 dx 3ln 5 2ln 2 3 2ln x 1 2ln x 2 2 2 2 2 x 1 x 2 5ln 5 4ln 2 3. Suy ra a 5;b 4;c 3. Do đó S ab c 23 . 1 7 Câu 51. Cho biết tích phân I x 2 ln x 1 dx a ln 2 trong đó a , b là các số nguyên 0 b dương. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. a b . B. a b . C. a b . D. a b 3 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 du dx u ln x 1 x 1 Đặt . dv x 2 dx x2 v 2x 2 1 1 x2 1 x2 4x 5 1 1 3 I 2x ln x 1 dx ln 2 x 3 dx 2 2 x 1 2 2 x 1 0 0 0 1 5 1 x2 7 ln 2 3x 3ln x 1 4ln 2 . 2 2 2 4 0 Suy ra a 4 , b 4 . Vậy a b . 2 x ln x a 1 I dx ln 2 x 1 2 b c Câu 52. Cho 1 với a , b , m là các số nguyên dương và là phân số tối giản. a b S Tính giá trị của biểu thức c . 2 5 1 1 A. S .B. S . C. S . D. S . 3 6 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x ln x I dx x 1 2 Tính 1 .
28. 1 x x ln x u dx du x 1 dx dv 1 2 v x 1 Đặt x 1 . 2 2 x ln x 1 2 1 x 1 2 I dx x ln x . dx 1 1 1 2 2 ln 2 dx 1 x 1 x 1 1 1 x x 1 3 2 x Khi đó 1 1 1 2 2 1 2 ln 2 ln x ln 2 3 2 1 3 6 a b 5 S Vậy a 2;b 3;c 6 c 6 . b Câu 53. Cho a b 1. Tích phân I ln x 1 dx bằng biểu thức nào sau đây? a b b A. I x 1 ln x 1 a b .B. I x 1 ln x 1 b a . a a b b 1 b x C. I . D. I x ln x 1 dx . x 1 a x 1 a a Hướng dẫn giải Chọn B 1 u ln x 1 du dx Đặt x 1 dv dx v x 1 b b b b Do đó I ln x 1 dx x 1 ln x 1 dx x 1 ln x 1 x b a a a a a b x 1 ln x 1 b a a 2 e 1 1 ae2 be+c Câu 54. Biết dx , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của 2 e ln x ln x 2 2 2 2 a b c bằng A. 5 . B. 3 . C. 4 . D. 9 . Hướng dẫn giải Chọn A 2 e 1 Xét tích phân: dx . e ln x 1 1 Đặt u ; du dx . dv dx chọn v x . ln x x ln2 x 2 e2 e e2 2 1 x 1 e 1 1 e2 2e Khi đó dx dx dx . 2 2 e ln x ln x e e ln x e ln x ln x 2 a 1 Do đó b 2 . c 0 Vậy a2 b2 c2 5 3 c Câu 55. Biết x ln x2 16 dx a ln 5 bln 2 trong đó a,b,c là các số nguyên. Tính giá trị của 0 2 biểu thức T a b c .
29. A. T 2 .B. T 16 . C. T 2 . D. T 16 . Hướng dẫn giải Chọn B 2x 2 du dx u ln x 16 x2 16 Đặt . x2 16 dv xdx v 2 3 x2 16 3 3 x2 16 3 x2 3 Ta có: x ln x2 16 dx ln x2 16 x dx ln x2 16 0 2 0 0 2 0 2 0 25 9 9 ln 25 8ln16 25ln 5 32ln 2 . Do đó a 25,b 32,c 9 T 16 . 2 2 2 2 1 Câu 56. Tính tích phân I 2019log x x2018dx . 2 1 ln 2 A. I 22017 .B. I 22019 . C. I 22018 . D. I 22020 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 2 1 2 1 I 2019log x x2018dx 2019 x2018 log xdx x2018dx 2019I I . 2 2 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 x2019 22019 1 Trong đó I x2018dx . 2 1 2019 1 2019 1 2 du dx 2018 u log2 x x.ln 2 và I1 x log2 xdx . Đặt . dv x2018dx x2019 1 v 2019 2 x2019 1 22019 1 22019 1 22019 22019 1 Khi đó I1 .log2 x I2 . 2 . 2019 2019.ln 2 2019 2019.ln 2 2019 2019 2019 .ln 2 1 Vậy I 22019 . 3 3 ln x Câu 57. Biết I dx a 1 ln 3 bln 2 , a,b ¤ . Khi đó a2 b2 bằng 2 1 x 1 7 16 25 3 A. a2 b2 . B. a2 b2 .C. a2 b2 . D. a2 b2 . 16 9 16 4 Hướng dẫn giải Chọn C 1 u 3 ln x du dx x Đặt: dx dv 1 x 1 2 v x 1 3 3 ln x 3 1 3 ln 3 3 3 1 1 Khi đó: I dx dx x 1 1 1 x x 1 4 2 1 x x 1 3 ln 3 3 ln x ln x 1 4 1 3 3 ln 3 3 a 2 2 25 ln 3 ln 4 ln 2 1 ln 3 ln 2 4 a b . 4 4 16 b 1
30. 2 ln x b b Câu 58. Biết dx a ln 2 (với a là số hữu tỉ, b , c là các số nguyên dương và là phân số 2 1 x c c tối giản). Tính giá trị của S 2a 3b c . A. S 4 . B. S 6 . C. S 6 . D. S 5. Hướng dẫn giải Chọn A 1 u ln x du dx x Đặt 1 . dv dx 1 x2 v x Khi đó, ta có: 2 ln x ln x 2 2 1 1 1 2 1 1 dx dx ln 2 ln 2 . 2 2 1 x x 1 1 x 2 x 1 2 2 1 Từ giả thiết suy ra a , b 1, c 2 . 2 Vậy giá trị của S 4 . 2 Câu 59. Biết rằng ln x 1 dx a ln 3 bln 2 c với a , b , c là các số nguyên. Tính S a b c 1 A. S 0 . B. S 1. C. S 2 . D. S 2 . Hướng dẫn giải Chọn A 1 u ln x 1 du dx Đặt x 1 dv dx v x 2 2 2 x Khi đó, ta có: ln x 1 dx x ln x 1 dx 1 1 1 x 1 2 1 2 2ln 3 ln 2 1 dx 2ln 3 ln 2 x ln x 1 1 x 1 1 2ln 3 ln 2 2 ln 3 1 ln 2 3ln 3 2ln 2 1. Suy ra S a b c 3 2 1 0 . 5 Câu 60. Tính tích phân I x 1 ln x 3 dx ? 4 19 19 19 A. 10ln 2 . B. 10ln 2 . C. 10ln 2 .D. 10ln 2 . 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D 1 du dx u ln x 3 x 3 Đặt . dv x 1 1 v x2 x 2 1 2 5 x x 5 5 2 5 1 2 2 35 1 x 9 9 x 3 3 I x x ln x 3 dx ln 2 dx dx 2 4 x 3 4 2 2 4 x 3 4 x 3 35 1 9 19 ln 2 3 9ln 2 1 3ln 2 10ln 2 . 2 2 2 4
31. 3 Câu 61. Biết rằng x ln x dx mln 3 nln 2 p , trong đó m , n , p ¤ . Khi đó số m là 2 9 27 A. . B. 18. C. 9 . D. . 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A du dx u ln x Đặt x2 dv xdx v 2 9 m 3 3 2 3 x2 3 x2 9 x3 9 19 x ln x dx ln x dx ln 3 2ln 2 ln 3 2ln 2 n 2 2 2 2 6 2 6 2 2 2 2 19 p 6 9 Vậy m . 2 4 Câu 62. Biết x ln x2 9 dx a ln 5 bln 3 c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Giá trị của biểu 0 thức T a b c là A. T 10 . B. T 9 .C. T 8. D. T 11 . Hướng dẫn giải Chọn C 2x du dx 2 2 u ln x 9 x 9 Đặt dv xdx x2 9 v 2 4 4 x2 9 4 x2 9 2x Suy ra x ln x2 9 dx ln x2 9 . dx 25ln 5 9ln 3 8 . 2 0 2 0 0 2 x 9 Do đó a 25 , b 9 , c 8 nên T 8. 1 Câu 63. Tích phân I ln 1 x2 x dx có giá trị là: 0 A. I 2 1 ln 2 1 . B. I 2 1 ln 2 1 . C. I 2 1 ln 2 1 . D. I 2 1 ln 2 1 . Hướng dẫn giải 1 Tích phân I ln 1 x2 x dx có giá trị là: 0 2 1 u ln 1 x x du dx Đặt 1 x2 . dv dx v x 1 1 x I x.ln x2 1 x dx . 2 0 0 x 1 1 x Xét I dx . 1 2 0 x 1
32. Đặt t x2 1 dt 2xdx . x 0 t 1 Đổi cận . x 1 t 2 1 2 1 2 I1 dt t 2 1. 1 2 1 t 1 I I x.ln x2 1 x 2 1 ln 2 1 . 1 0 Chọn A e 1 2 Câu 64. Cho tích phân I x ln xdx ae b , a và b là các số hữu tỉ. Giá trị của 2a 3b là: 1 x 13 13 13 13 A. . B. .C. . D. 2 4 4 2 Hướng dẫn giải e 1 2 Cho tích phân I x ln xdx ae b . Giá trị của 2a 3b là: 1 x Ta có: e e 1 e e 1 x2 e x 1 e2 5 I x ln xdx x ln xdx ln xdx ln x dx dt , với t ln x . x x 2 2 4 4 1 1 1 1 1 0 1 5 13 a ,b 2a 3b . 4 4 4 Chọn C /4 ln(sin x cos x) Câu 65. Tính tích phân dx , ta được kết quả 2 0 cos x 1 3 3 3 A. ln 2. B. ln 2. C. ln 2. D. ln 2. 4 2 4 2 4 2 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C Trắc nghiệm bấm máy tính tích phân trừ cho từng đáp án ta được đáp án C. /4 ln(sin x cos x) /4 ln cos x.(1 tan x) /4 ln(cos x) ln(1 tan x) Tự luận: dx dx dx 2 2 2 2 0 cos x 0 cos x 0 cos x cos x /4 ln(cos x) /4 ln(1 tan x) dx dx I J . 2 2 0 cos x 0 cos x sin x u ln cos x du dx cos x Đặt . 1 dv dx , v tan x cos2 x /4 /4 ln(cos x) 2 1 I dx tan x.ln(cos x) 4 tan xdx tan x.ln cos x 4 x tan x 4 ln 2 1 2 0 0 0 0 cos x 0 2 4 /4 ln(1 tan x) 1 J dx. Đặt t 1 tan x dt dx. 2 2 0 cos x cos x Đổi cận: x 0 t 1, x t 2 4
33. 2 1 2 u lnt du dt 2 J ln t dt . Đặt t J ln t dt t ln t t 2ln 2 1 1 1 dv dt , v t 1 /4 ln(sin x cos x) 3 Vậy dx ln 2. 2 0 cos x 4 2 2 4ln x 1 2 Câu 66. Giả sử dx a ln 2 bln 2 , với a,b là các số hữu tỷ. Khi đó tổng 4a b bằng. 1 x A. 3 . B. 5 C. 7.D. 9 . Hướng dẫn giải 2 2 2 2 4ln x 1 4ln x 1 1 2 2 dx + dx 4 ln xd ln x dx 2ln2 x ln x 2ln2 2 ln 2 . 1 1 1 x 1 x x 1 1 x Chọn D 1000 2 ln x Câu 67. Tính tích phân I dx. 2 1 x 1 ln 21000 2 1000ln 2 21001 A. I 1000ln . B. I ln . 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 ln 21000 2 1000ln 2 21000 C. I 1000ln . D. I ln . 1 21000 1 21000 1 21000 1 21000 Hướng dẫn giải 1000 1000 1000 1000 2 ln x 2 1 ln x 2 2 1 Ta có I dx ln xd d ln x 2 1 x 1 1 x 1 x 1 1 1 x 1 1000 1000 ln 21000 2 1 1 1000ln 2 2 1 1 . dx dx 1000 1000 1 2 1 x 1 x 1 2 1 x x 1 1000 1000 1000ln 2 2 1000ln 2 x 2 1000ln 2 21001 1000 ln x ln x 1 1000 ln 1000 ln 1000 . 1 2 1 1 2 x 1 1 1 2 1 2 Chọn B