Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 9: Min, max mũ, lôgarit nhiều biến số (Có đáp án)

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Mũ. Logarit - Chủ đề 9: Min, max mũ, lôgarit nhiều biến số (Có đáp án)

1. MIN, MAX MŨ – LÔGARIT NHIỀU BIẾN SỐ A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG x 2 y xy 1 1 Câu 1: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn 3 2 2xy 2x 4y .Tìm giá trị 3 nhỏ nhất của biểu thức P 2x 3y . 10 2 1 3 2 4 A. 6 2 7. B. . C. 15 2 20. D. . 10 2 3 5xy Câu 2: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . Tìm giá trị 3xy 5 nhỏ nhất của biểu thức P x 2y . A. P 6 2 3 .B. P 4 2 6 . C. P 4 2 6 . D. P 6 2 3 . 2 2 2 Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn 4 3x 2 y 2 4 9x 2 y 72 y x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 2y . 9 7 33 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 x2 2018 Câu 4: Cho 0 x, y 1 thỏa mãn 20171 x y . Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn nhất, y2 2y 2019 giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4x2 3y 4y2 3x 25xy. Khi đó M m bằng bao nhiêu? 136 391 383 25 A. B. C. D. 3 16 16 2 2 2 2 2 y x Câu 5: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn ex 4 y 1 x e y 1 x y . Biết giá trị lớn nhất 4 a a của biểu thức P x3 2y2 2x2 8y x 2 là với a,b là các số nguyên dương và là b b phân số tối giản. Tính S a b . A. S 85. B. S 31. C. 75. D. 41. x y 1 Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 3 ln 9xy 3x 3y . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3xy biểu thức P xy . 1 1 A. P . B. P . C. P 9.D. P 1. 9 3 2 ab Câu 7: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log 3ab a b 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 3 a b biểu thức S a 5b
2. 2 95 6 4 95 15 3 95 16 5 95 21 A. . B. . C. . D. . 3 12 3 6 1 ab Câu 8: các số thực dương a , b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của 2 a b min P a 2b . 2 10 3 3 10 7 2 10 1 2 10 5 A. P . B. P . C. P . D. P . min 2 min 2 min 2 min 2 1 xy Câu 9: Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log 3xy x 2y 4. Tìm giá trị nhỏ nhất P 3 x 2y min của P x y . 9 11 19 9 11 19 A. P . B. P . min 9 min 9 18 11 29 2 11 3 C. P .D. P . min 9 min 3 2x y 1 Câu 10: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x 2y . Tím giá trị nhỏ nhất của biểu 3 x y 1 2 thức S . x y A. 6 . B. 3 2 3 . C. 4 . D. 3 3 . 2y 1 Câu 11: Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 2x y 1 log . Tím giá trị nhỏ nhất 2 x 1 m của biểu thức P e2x 1 4x2 2y 1. 1 1 A. m 1.B. m . C. m . D. m e 3 . 2 e x y Câu 12: Cho các số thực x, y thỏa mãn log 4 x x y 3 y y 4 . Tìm giá 3 x2 y2 xy y 4 trị lớn nhất của biểu thức P 3 x3 y3 20x2 5y2 2xy 39x . A. 100. B. 125. C. 121. D. 81. x y Câu 13: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn log x x 4 y y 4 xy . Biết 3 x2 y2 xy 2 x 2y 1 a b giá trị lớn nhất của biểu thức P là với a,b,c là các số nguyên dương x y 2 c a và tối giản. Tính S a b c . c A. S 221. B. S 231. C. S 195 .D. S 196 . 2 4x 4x 1 2 Câu 14: Biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trìnhlog7 4x 1 6x 2x 1 và x 2x a b với a, b là hai số nguyên dương. Tính a b. 1 2 4 A. a b 16 . B. a b 11.C. a b 14 . D. a b 13
3. 2 2 1 Câu 15: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 3x y 2.log x y 1 log 1 xy . Tìm 2 2 2 giá trị lớn nhất của biểu thức M 2 x3 y3 3xy. 13 17 A. 7 B. C. D. 3 2 2 a b c Câu 16: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn log a a 4 b b 4 c c 4 . tìm giá 2 a2 b2 c2 2 trị lớn nhất của biểu thức P a 2b 3c . A. 3 10 . B. 12 2 42 .C. 12 2 35 . D. 6 10 . a b c Câu 17: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn log a a 4 b b 4 c c 4 . tìm giá 2 a2 b2 c2 2 a 2b 3c trị lớn nhất của biểu thức P . a b c 12 30 3 30 8 30 6 30 A. . B. . C. .D. . 3 3 3 3 x y Câu 18: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . Tìm 3 x2 y2 xy 2 x 2y 3 giá trị lớn nhất của biểu thức P . x 2y 6 69 249 43 3 249 37 249 43 3 249 A. . B. . C. . D. . 94 94 21 94 3 x y 3 Câu 19: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y x y log 8 1 xy 2xy 3. 2 1 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 3y . 1 15 3 15 2 15 3 A. . B. .C. 15 2 . D. . 2 2 6
4. DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC y Câu 20: Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log y2 3y x 3 1 x . Tìm giá trị nhỏ 2 2 1 x nhất của biểu thức P x 100y . A. 2499 .B. 2501. C. 2500 . D. 2490 . 1 ab Câu 21: Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 a b biểu thức P a 2b . 2 10 3 2 10 1 2 10 5 3 10 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 1 Câu 22: Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn xy 4, x , y 1. Gọi M ,m lần lượt là giá trị lớn 2 2 2 nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log2 x log2 y 1 . Tính S M 2m . 21 11 A. S 6 . B. S 11. C. S . D. S . 2 2 2 x y x2 x Câu 23: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn ln x x 2 ln y x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y2 4xy 8x . A. 4 . B. 0 . C. 5 . D. 3 . Câu 24: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 11x 20y 40 1. Gọi a,b lần lượt là 2x2 xy 3 y2 y giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S . Tính a b . x 11 7 A. a b 10 . B. a b 2 14 .C. a b . D. a b . 6 2 1 Câu 25: Xét các số thực x, y thỏa x 1, y 1 và log xy 81 4 log3 y . Tìm giá trị nhỏ nhất log x 3 của biểu thức F x2 6y . A. min F 27 . B. min F 12 3 9 . C. min F 9 . D. min F 6 3 12 . Câu 26: Cho các số thực dương x, y, z bất kì thỏa mãn xyz 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log2 x 1 log2 y 4 log2 z 4 . A. 29 . B. 23 .C. 26 . D. 27 . 1 m Câu 27: Tìm số tự nhiên m lớn nhất để bất đẳng thức 2log sin log 2 1 2 0 đúng với mọi x x 0; . 2 A. m 5 . B. m 3 . C. m 6 .D. m 4 . Câu 28: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số thực x; y thỏa mãn log 4x 4y 4 1 và x2 y2 2x 2y 2 m 0 . x2 y2 2
5. 2 2 A. 10 2 . B. 10 2 . C. 10 2 . D. 10 2 . Câu 29: Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 .Giá trị lớn nhất của a biểu thức S 3x y 4 x y 1 27 x y 3 x2 y2 là với a,b là các số nguyên dương và b a tối giản. Tính a b . b A. T 8. B. T 141. C. T 148 .D. T 151. Câu 30: Cho các số thực a,b,c 1 và các số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn 16 16 a x b y cz abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z2 . x y 3 3 A. 20 . B. 20 . C. 24 . D. 24 . 3 4 3 4 c c Câu 31: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn c b a 1 và 6log2 b log2 c log 2log 1. Đặt a b a b b b T logb c 2loga b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. T 3; 1 .B. T 1;2 . C. T 2;5 . D. T 5;10 . x2 2018 Câu 32: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 20171 x y . Biết giá trị nhỏ nhất của y2 2y 2019 a a biểu thức S 4x2 3y 4y2 3x 25xy là với a,b là các số nguyên dương và tối b b giản. Tính T a b . A. T 27 . B. T 17 . C. T 195 .D. T 207 . Câu 33: Cho hai số thực dương x, y thoả mãn log2 x log2 x 3y 2 2log2 y . Biết giá trị lớn x y 2x 3y b nhất của biểu thức S là a với a,b,c là các số nguyên x2 xy 2y2 x 2y c b dương và là phân số tối giản. Tính P a b c . c A. P 30. B. P 15. C. P 17 .D. P 10. Câu 34: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn3a 5b 15 c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b2 c2 4 a b c . A. 3 log5 3.B. 4 . C. 2 3 . D. 2 log3 5 . Câu 35: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x log y 1 log x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 3y . 1 3 2 3 3 3 1 3 A. .B. . C. . D. . 10 5 30 4 x2 y2 1 2 2 Câu 36: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2 log3 x y 1 3. Biết giá trị lớn nhất a 6 a của biểu thức S x y x3 y3 là với a, b là các số nguyên dương và phân số b b tối giản. Tính giá trị biểu thức T a 2b .
6. A. T 25 .B. T 34 . C. T 32 . D. T 41. Câu 37: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy 4y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 6y x 2y S ln . x y 3 A. 24 ln 6 . B. 12 ln 4 .C. ln 6 . D. 3 ln 4 . 2 x Câu 38: Cho hai số thực x, y thỏa mãn log 2 2 2x 4y 1. Tính P khi biểu thức x y 1 y S 4x 3y 5 đạt giá trị lớn nhất. 8 9 13 17 A. . B. .C. . D. . 5 5 4 44 Câu 39: Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2x y x 2y P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 .B. 81. C. 108. D. 115. x y Câu 40: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P 2x2 y 2y2 x 9xy . 27 A. P .B. P 18 . C. P 27 . D. P 12 . max 2 max max max Câu 41: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 4x 9 y 16z 2x 3y 4z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2x 1 3y 1 4z 1 . 9 87 5 87 7 87 3 87 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 2 2 Câu 42: Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn 0 x y y z z x 2 . Biết giá trị 3 4 a lớn nhất của biểu thức P 4x 4 y 4z ln x4 y4 z4 x y z là , với a,b là 4 b a các số nguyên dương và tối giản. Tính S 2a 3b . b A. S 13 B. CS. 42 D.S 54 S 71 1 3 m Câu 43: Cho các số thực a,b,c 2;3 . Biết giá trị lớn nhất của S 4a 4b 4c a b c là 4 n m với m,n là các số nguyên dương và tối giản. Tính P m 2n . n A. P 257 B. P 258 C. DP. 17 P 18 Câu 44: Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2x 4 y 8z 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu x y z thức S . 6 3 2 1 4 1 A. B. C. D. 1 log 3 12 3 6 4
7. Câu 45: Cho các số thực dương a,b thỏa mãn 4a 2a 1 2 2a 1 sin 2a b 1 2 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b . 3 A. 1 B. C. 1 D. 1 2 2 2 Câu 46: Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2x y x 2y P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 .B. 81. C. 108. D. 115. Câu 47: Cho hai số thực a,b thỏa mãn a 0 , 0 b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức a 2b 2a 2ba P 2 a . 2a ba 2b 9 7 13 A. P . B. P .C. P . D. P 4 . min 4 min 4 min 4 min
8. C – HƯỚNG DẪN GIẢI BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.A 13.D 14.C 15.B 16.C 17.D 18.A 19.C 20.B 21.A 22.A 23.A 24.C 25.A 26.C 27.D 28.A 29.D 30.A 31.B 32.D 33.D 34.B 35.B 36.B 37.C 38.C 39.B 40.B 41.A 42.C 43.D 44.C 45.C 46.B 47.C DẠNG 1: PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO: Câu 1: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x 2 y xy 1 1 3 2 2xy 2x 4y .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2x 3y . 3 10 2 1 3 2 4 A. 6 2 7. B. . C. 15 2 20. D. . 10 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Biến đổi giả thiết,ta có: 1 xy x 2 y 1 1 2 1 xy 2 x 2y f 1 xy f x 2y 1 xy x 2y . 3 3 t 1 trong đó f t 2t nghịch biến trên ¡ .Khi đó 3 1 x y x 2 1 x 0 0 x 1; y . x 2 1 x 3 Và P f x 2x 3 min 0;1 f x f 2 6 2 7 . x 2 2 Câu 2: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 3 5xy 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2y . 3xy 5 A. P 6 2 3 .B. P 4 2 6 . C. P 4 2 6 . D. P 6 2 3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 3 5xy Theo giả thiết ta có 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . 3xy 5 5x 2 y 3 x 2 y x 2y 5xy 1 31 xy xy 1 x 2y xy 1. x 1 1 xy x 2y 0 y x 2 x 1 0 x 2, y . x 2 2 x 1 P f x x min f x f 2 6 4 2 6 . x 2 2;
9. x2 2 y 2 x2 2 y 2 y x2 2 Câu 3: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực x, y thỏa mãn 4 3 4 9 7 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 2y . 9 7 33 1 A. . B. . C. . D. . 4 4 8 4 Hướng dẫn giải Chọn A. Từ giả thiết ta có: 2 x2 2 y 2 2 x 2 y 4 3 4 3 x2 2 y 2 2 x2 2 y 7 7 f x2 2y 2 f 2 x2 2y x2 2y 2 2 x2 2y . t t 1 3 Trong đó f t 4 nghịch biến trên ¡ . 7 7 2 2 2 1 9 9 Do đó: 2y x 2 và S x x 2 x . 2 4 4 x2 2018 Câu 4: [DS12.C2.9.D01.d] Cho 0 x, y 1 thỏa mãn 20171 x y . Gọi M ,m lần lượt y2 2y 2019 là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4x2 3y 4y2 3x 25xy. Khi đó M m bằng bao nhiêu? 136 391 383 25 A. B. C. D. 3 16 16 2 Hướng dẫn giải Chọn B. x2 2018 20171 y x2 2018 Ta có 20171 x y y2 2y 2019 2017x 1 y 2 2018 2017x x2 2018 20171 y 1 y 2 2018 f x f 1 y Xét hàm số f t 2017t t 2 2018 t 2.2017t 2018.2017t , có f ' t 2t.2017t t 2.2017t.ln 2017 2018.2017t.ln 2017 0;t 0 Suy ra f t là hàm đồng biến trên 0; mà f x f 1 y x y 1 Lại có P 4x2 3y 4y2 3x 25xy 16x2 y2 12x3 12y3 34xy 16x2 y2 12 x y 3 3xy x y 34xy 16x2 y2 12 1 3xy 34xy 16x2 y2 2xy 12 1 1 Mà 1 x y 2 xy xy nên đặt t xy 0; khi đó P f t 16t 2 2t 12 4 4
10. 1 191 min f t f 1 0; 16 16 2 1 4 Xét hàm số f t 16t 2y 12 trên 0; ta được 4 1 25 max f t f 1 0; 4 2 4 2 2 2 2 y x Câu 5: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn ex 4 y 1 x e y 1 x y . 4 a Biết giá trị lớn nhất của biểu thức P x3 2y2 2x2 8y x 2 là với a,b là các số b a nguyên dương và là phân số tối giản. Tính S a b . b A. S 85. B. S 31. C. 75. D. 41. Hướng dẫn giải Chọn A. Theo giả thiết ta có 1 x 1 và có biến đổi 2 2 2 4ex 4 y 1 x 4e y 1 x y2 x 4y 2 2 2 x 4y 1 x2 4ex 4 y 1 x y2 1 x2 4e y 1 x f x 4y 1 x2 f y2 1 x2 x 4y 1 x2 y2 1 x2 x y2 4y Trong đó f t t 4et đồng biến trên ¡ . 3 2 2 3 2 1 58 Do đó P x 2x x 2 2 y 4y f x x 2x x 2 max f (x) f [-1;1] 3 27 Vậy: S 58 27 85. x y 1 Câu 6: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 3 ln 9xy 3x 3y . Tìm 3xy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P xy . 1 1 A. P . B. P . C. P 9.D. P 1. 9 3 Hướng dẫn giải Chọn D. x y 1 Theo giả thiết ta có 3 ln 9xy 3x 3y 3xy ln x y 1 3 x y 1 ln 3xy 3 3xy x y 1 2 xy 1 x y 1 3xy P xy . 3 3 2 P 1 P P 1. 3 2 ab Câu 7: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log 3ab a b 7 . Tìm 3 a b giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 5b 2 95 6 4 95 15 3 95 16 5 95 21 A. . B. . C. . D. . 3 12 3 6
11. Hướng dẫn giải Chọn A. 2 ab Ta có log 3ab a b 7 log 2 ab log a b 3 ab 2 a b 1. 3 a b 3 3 6 a log 3 2 ab 3 ab 2 log a b a b 3 2 ab a b b 3 3 3a 1 5 6 a 3a2 4a 30 3x2 4a 30 Khi đó S a 5b a . Khảo sát hàm số trên 0;6 3a 1 3a 1 3x 1 95 1 2 95 6 được min f x f . x 0;6 3 3 1 ab Câu 8: [DS12.C2.9.D01.d] các số thực dương a , b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm giá trị 2 a b nhỏ nhất Pmin của P a 2b . 2 10 3 3 10 7 2 10 1 2 10 5 A. P . B. P . C. P . D. P . min 2 min 2 min 2 min 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Điều kiện: ab 1. 1 ab Ta có log 2ab a b 3 log 2 1 ab 2 1 ab log a b a b * . 2 a b 2 2 Xét hàm số y f t log2 t t trên khoảng 0; . 1 Ta có f t 1 0,t 0 . Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . t.ln 2 Do đó, * f 2 1 ab f a b 2 1 ab a b a 2b 1 2 b b 2 a . 2b 1 b 2 Ta có P a 2b 2b g b . 2b 1 5 2 5 10 10 2 g b 2 0 2b 1 2b 1 b (vì b 0 ). 2b 1 2 2 2 4 10 2 2 10 3 Lập bảng biến thiên ta được P g . min 4 2 1 xy Câu 9: [DS12.C2.9.D01.d] Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log 3xy x 2y 4. Tìm 3 x 2y giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y . 9 11 19 9 11 19 A. P . B. P . min 9 min 9 18 11 29 2 11 3 C. P .D. P . min 9 min 3 Hướng dẫn giải Chọn D. 1 xy log 3xy x 2y 4 3 x 2y
12. log3 1 xy log3 x 2y 3 xy 1 x 2y 1 log3 3 1 xy log3 x 2y 3 xy 1 x 2y log3 3 1 xy 3 1 xy log3 x 2y x 2y Xét f t log3 t t , t 0 1 f t 1 0,t 0 t ln 3 3 2y Suy ra: f 3 1 xy f x 2y 3 3xy x 2y x 1 3y 1 xy 5y 2 2 Điều kiện 0 2 0 y x 2y 6y 3 5 3 2y P x y y 1 3y 1 11 y 11 3 P 1 2 0 1 3y 1 11 y 3 Bảng biến thiên: 1 11 1 2 1 11 x 3 3 5 3 y + 0 0 2 y 2 11 3 3 2 11 3 Vậy P . min 3 2x y 1 Câu 10: [DS12.C2.9.D01.c] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x 2y . Tím giá trị 3 x y 1 2 nhỏ nhất của biểu thức S . x y A. 6 . B. 3 2 3 . C. 4 . D. 3 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Từ điều liện bài toán ta có log3 2x y 1 log3 x y x 2y log3 2x y 1 2x y 1 log3 3 x y 3 x y 3 x y 2x y 1 x 2y 1 1 2 1 Khi đó S f x min f x f 6. x 1 x 0;1 2 2 Chọn A.
13. 2y 1 Câu 11: [DS12.C2.9.D01.c] Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x2 2x y 1 log . 2 x 1 Tím giá trị nhỏ nhất m của biểu thức P e2x 1 4x2 2y 1. 1 1 A. m 1.B. m . C. m . D. m e 3 . 2 e Hướng dẫn giải Chọn B. Từ điều kiện bài toán ta có 2 1 x 1 log x 1 y log 2y 1 2 2 2 2 2 x 1 2log2 x 1 2y log2 2y 1 2 x 1 2 log 2 x 1 2 2y 1 log 2y 1 2 2 2 x 1 2y 1. Do đó 2x 1 2 2 1 1 P f x e 4x 2 x 1 1 1 min f x f . ¡ 2 2 Câu 12: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực x, y thỏa mãn x y log 4 x x y 3 y y 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 x2 y2 xy y 4 P 3 x3 y3 20x2 5y2 2xy 39x . A. 100. B. 125. C. 121. D. 81. Hướng dẫn giải Chọn A. Từ giả thuyết ta có log 3x 3y 3 x y log x2 y2 xy y 4 x2 y2 xy y 4 4 3 4 3 f 3x 3y f x2 y2 xy y 4 x2 y2 xy y 4 3 x y Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhai ẩn x và ẩn y dễ có 4 1 x 0; , y 1; . 3 7 Suy ra P 3 x3 y3 20x2 5y2 2 3x 3y 4 y x2 y2 39x 3x3 18x2 45x 8 3y3 3y2 8y Đặt f x 3x3 18x2 45x 3; g x 3y3 3y2 8y 4 4 Ta có: P max f x max g y f g 100 . 4 7 3 3 0; 1; 3 3 4 Dấu “=” đạt tại x y . Thử lại điều kiện thấy thỏa mãn. 3 Câu 13: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y log x x 4 y y 4 xy . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức 3 x2 y2 xy 2
14. x 2y 1 a b a P là với a,b,c là các số nguyên dương và tối giản. Tính x y 2 c c S a b c . A. S 221. B. S 231. C. S 195 .D. S 196 . Hướng dẫn giải Chọn D. Thực hiện tượng tự câu trên ta có 25 170 25 170 P 26 26 Câu 14: [DS12.C2.9.D04.d] Biết x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 4x 4x 1 2 log7 4x 1 6x 2x 1 và x 2x a b với a, b là hai số nguyên dương. Tính a b. 1 2 4 A. a b 16 . B. a b 11.C. a b 14 . D. a b 13 Hướng dẫn giải Chọn C. x 0 Điều kiện 1 x 2 2 4x2 4x 1 2x 1 Ta có log 4x2 1 6x log 4x2 4x 1 2x 7 7 2x 2x 2 2 log7 2x 1 2x 1 log7 2x 2x 1 1 Xét hàm số f t log t t f ' t 1 0 với t 0 7 t ln 7 Vậy hàm số đồng biến 3 5 x 2 2 4 Phương trình 1 có dạng f 2x t f 2x 2x 1 2x 3 5 x 4 9 5 l 4 Vậy x1 2x2 a 9;b 5 a b 9 5 14 9 5 tm 4 Cách 2: Bấm Casio. Câu 15: [DS12.C2.9.D01.d] Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện 2 2 1 3x y 2.log x y 1 log 1 xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2 M 2 x3 y3 3xy.
15. 13 17 A. 7 B. C. D. 3 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 1 2 2 2 Ta có 3x y 2.log x y 1 log 1 xy 3x y 2.log x y log 2 2xy 2 2 2 2 2 2 x2 2xy y2 2 2xy 2 x y 2 2xy 3 .log2 x y log2 2 2xy 3 .log2 x y 3 .log2 2 2xy 3t Xét hàm số f t 3t.log t trên khoảng 0; , có f t 3t ln 3.log t 0;t 0 2 2 t.ln 2 2 Suy ra f t là hàm số đồng biến trên 0; mà f x y f 2 2xy x2 y2 2 2 Khi đó M 2 x3 y3 3xy 2 x y x y 3xy 3xy 2M 2 x y 2 x y 2 3.2xy 3.2xy 2 x y 2 x y 2 3 x y 2 6 3 x y 2 6 2 2 2 x y 6 x y 3 x y 6 2a3 3a2 12a 6, với a x y 0;4 Xét hàm số f a 2a3 3a2 12a 6 trên 0;4 , suy ra max f a 13. 0;4 13 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là . 2 Câu 16: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c log a a 4 b b 4 c c 4 . tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a2 b2 c2 2 P a 2b 3c . A. 3 10 . B. 12 2 42 .C. 12 2 35 . D. 6 10 . Hướng dẫn giải Chọn C. Từ điều kiện ta có: 2 2 2 2 2 2 log2 a b c log2 a b c 2 a b c 4 a b c 2 2 2 2 2 2 log2 4 a b c 4 a b c log2 a b c 2 a b c 2 4 a b c a2 b2 c2 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 10 Khi đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: P a 2 2 b 2 3 c 2 12 12 22 32 a 2 2 b 2 2 c 2 2 12 12 2 35. a 2 b 2 c 2 Dấu “=” đạt tại 1 2 3 . a 2b 3c 12 2 5
16. Câu 17: [DS12.C2.9.D01.d] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a b c log a a 4 b b 4 c c 4 . tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 a2 b2 c2 2 a 2b 3c P . a b c 12 30 3 30 8 30 6 30 A. . B. . C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D. Từ điều kiện ta có: 2 2 2 2 2 2 log2 a b c log2 a b c 2 a b c 4 a b c 2 2 2 2 2 2 log2 4 a b c 4 a b c log2 a b c 2 a b c 2 4 a b c a2 b2 c2 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 10 . Và biến đổi: P a b c a 2b 3c P 1 a P 2 b P 2 c 0 P 1 a 2 P 2 b 2 P 3 c 2 6P 12 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz ta có: 6P 12 2 P 1 2 P 2 2 P 3 2 a 2 2 b 2 2 c 2 2 2 2 2 2 6 30 6 30 6P 12 10 P 1 P 2 P 3 P . 3 3 Câu 18: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn x y log x x 3 y y 3 xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 x2 y2 xy 2 x 2y 3 P . x 2y 6 69 249 43 3 249 37 249 43 3 249 A. . B. . C. . D. . 94 94 21 94 Hướng dẫn giải Chọn A. Từ giả thiết ta có biến đổi: log x y log x2 y2 xy 2 2 2 3 3 x y xy 3 x y log 3 x y 3 x y log x2 y2 xy 2 x2 y2 xy 2 3 3 2 2 2 2 y 3y y 3y 3 x y x y xy 2 x 3 x 2 0 2 4 2 2 2 2 y 3 3 3 2 2 x y 1 a b 1 2 2 2 2 y 3 2b Trong đó a x , b 1. 2 2 3 Khi đó:
17. b 2b P x y 6 x 2y 3 P a 8 a 6 3 3 1 P 1 a P 3 8P 6 0 3 Điều kiện để đường tròn và đường thẳng có điểm chung là 8P 6 69 249 69 249 d O,d R 1 P . 2 1 2 94 94 P 1 P 3 3 Câu 19: [DS12.C2.9.D01.d] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn 3 x y 3 x y x y log 8 1 xy 2xy 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 xy P x 3y . 1 15 3 15 2 15 3 A. . B. .C. 15 2 . D. . 2 2 6 Hướng dẫn giải Chọn C. Từ điều kiện bài toán ta có: 3 3 x y x y log2 x y 2 1 xy 2 1 xy log2 2 1 xy f x y f 2 1 xy x y 2 1 xy y 2x 1 2 x 0 0 x 2y ; 2 x y . 2x 1 3 Trong đó f t t t log2 t đồng biến trên khoảng 0; . 3 2 x 15 1 Khi đó P f x x min f x f 15 2 2x 1 0;2 2
18. DẠNG 2: PHƯƠNG PHÁP KHÁC VẬN DỤNG Câu 20: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn y log y2 3y x 3 1 x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 100y . 2 2 1 x A. 2499 .B. 2501. C. 2500 . D. 2490 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 Từ điều kiện bài toán ta có: log2 y y 3y log2 1 x 1 x 3 1 x y 1 x . 2 Khi đó P x 100 x 1 x 1 50 2501 2501. Dấu bằng đạt tại x 2499 , y 50 . 1 ab Câu 21: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm 2 a b giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a 2b . 2 10 3 2 10 1 2 10 5 3 10 7 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. Theo giả thiết, ta có 2 1 ab log2 2 ab 1 a b log2 2 1 ab 2 1 ab log2 a b a b a b 2 a 2 1 ab a b 2 a b 2a 1 b 0 0 a 2 . 2a 1 2 2 a 10 1 2 10 3 Do đó P f a a min f a f . 0;2 2a 1 2 2 1 Câu 22: [DS12.C2.9.D02.c] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn xy 4, x , y 1. Gọi M ,m 2 2 2 lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log2 x log2 y 1 . Tính S M 2m . 21 11 A. S 6 . B. S 11. C. S . D. S . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 4 1 Ta có y 1 x 4 x 4 t  1;2. x 2 2 2 4 2 2 2 2 Khi đó P log2 x log2 1 log2 x 1 log2 x f t t 1 t . x 1 1 M max f t f 1 f 2 5,m min f t f .  1;2  1;2 2 2 1 Do đó S 5 2. 6 . 2 VẬN DỤNG CAO:
19. Câu 23: [DS12.C2.9.D04.d] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn 2 ln x2 x 2x y ln y x 2x x . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P y2 4xy 8x . A. 4 . B. 0 . C. 5 . D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn A. y x2 Từ điều kiện bài toán ta có và 4 3 P f x x 4x 8x min 0; f x f 1 3 4 . Câu 24: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log 11x 20y 40 1. 2x2 xy 3 y2 y Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của S . Tính a b . x 11 7 A. a b 10 . B. a b 2 14 .C. a b . D. a b . 6 2 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có log 11x 20y 40 1 2x2 xy 3y2 11x 20y 40 0. 2x2 xy 3 y2 Khi đó y Sx và 2x2 Sx2 3S 2 x2 11x 20Sx 40 0 4S 2 2 x2 20S 11 x 40 0 . 2 2 2 x 20S 11 160 4S 2 0 240S 440S 199 0 . 440 11 Do đó a b . 240 6 1 Câu 25: [DS12.C2.9.D02.d] Xét các số thực x, y thỏa x 1, y 1 và log xy 81 4 log3 y . log x 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F x2 6y . A. min F 27 . B. min F 12 3 9 . C. min F 9 . D. min F 6 3 12 . Hướng dẫn giải Chọn A. 1 Ta có log xy 81 4 log3 y log x 3 1 log3 x 4 log3 y log81 xy 4 log3 x log3 y 4 0 log3 x log3 y 2 log3 x log3 y 4 log3 x log3 y 4 0 9 log x log y 2 log xy 2 xy 9 y 3 3 3 x 54 Suy ra F x2 . x 3 54 2 x 27 Ta có F 2x 0 x 3. x2 x2 Bảng biến thiên
20. x 1 3 F 0 F 27 Vậy min F 27 . Câu 26: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương x, y, z bất kì thỏa mãn xyz 10 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P log2 x 1 log2 y 4 log2 z 4 . A. 29 . B. 23 .C. 26 . D. 27 . Hướng dẫn giải Chọn C. Để ý y, z đối xứng nên ta sử dụng bất đẳng thức a2 b2 m2 n2 a m 2 b n 2 . Ta có P log2 x 1 log y log z 2 2 2 2 10 log2 x 1 log2 yz 16 log2 x 1 log2 16 x log2 x 1 1 log x 2 16 1 log x log x 2 1 4 2 26 . log x 1 1 Dấu bằng xảy ra log x x 5 10, y z 5 10 . 1 log x 4 5 Cách 2: điều kiện để mặt phẳng P 1 a P 2 b P 3 c 0 và mặt cầu a 2 2 b 2 2 c 2 2 10 có điểm chung là 2 P 1 2 P 2 2 P 3 6 30 6 30 d I, R 10 P P 1 2 P 2 2 P 3 2 3 3 Câu 27: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm số tự nhiên m lớn nhất để bất đẳng thức 1 m 2log sin log 2 1 2 0 đúng với mọi x 0; . x 2 A. m 5 . B. m 3 . C. m 6 .D. m 4 . Hướng dẫn giải Bất đẳng thức tương đương với 1 m 1 1 m 1 2 1 1 log 2 1 2 log 2 2 1 2 2 m 2 1 2 , x 0; * x sin x x sin x x sin x 2 2 1 1 Xét hàm số f x 2 1 2 trên khoảng 0; ta có: x sin x 2 2 2cos x 1 cos x 2 2 f x 3 3 2 3 3 0,x 0; . x sin x sin x sin x 2 Do đó f x f 4,x 0; . 2 2 Vậy * m 4. Chọn D.
21. Câu 28: [DS12.C2.9.D02.d] Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số thực x; y thỏa mãn log 4x 4y 4 1 và x2 y2 2x 2y 2 m 0 . x2 y2 2 2 2 A. 10 2 . B. 10 2 . C. 10 2 . D. 10 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. Biến đổi giả thiết ta có 4x 4y 4 x2 y2 2 x 2 2 y 2 2 2 . Đây là một hình tròn C1 có tâm I1 2;2 , bán kính R1 2 . 2 2 Và x 1 y 1 m m 0 và đây là đường tròn C2 có tâm I2 1;1 , R2 m . Ta cần tìm điều kiện của m để C1 , C2 có duy nhất là một điểm chung. Do đó C1 , C2 tiếp xúc ngoài với nhau. Vậy có điều kiện I1I2 R1 R2 10 m 2 2 m 10 2 . Câu 29: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 a .Giá trị lớn nhất của biểu thức S 3x y 4 x y 1 27 x y 3 x2 y2 là với a,b là các b a số nguyên dương và tối giản. Tính a b . b A. T 8. B. T 141. C. T 148 .D. T 151. Hướng dẫn giải Chọn D. Chú ý với hai căn thức ta có đánh giá sau: a b a b và a b 2 a b . x y 1 0 Vậy theo giả thiết,ta có x y 1 2 x 2 y 3 2 x y 1 x y 1 4 Và x y 1 2 x 2 y 3 2 2 x y 1 x y 1 8 . x 2 9476 Nếu x y 1 0 S . y 3 243 Nếu t x y 3;7 ,ta có x2 2x x 2 ; y 1 2 0 y2 2y 1 x2 y2 2 x y 1. Vì vậy S 3x y 4 x y 1 27 x y 6 x y 3 . Xét hàm số f t 3t 4 t 1 27 t 6t 3 trên đoạn 3;7 ta có: f ' t 3t 4 ln 3 27 t t 1 27 t ln 2 6 . f '' t 3t 4 ln2 3 27 t ln 2 27 t t 1 27 t ln 2 ln 2 t 4 2 7 t 3 ln 3 t 1 ln 2 2 2 ln 2 0,t 3;7 . Mặt khác f ' 3 f ' 7 0 f ' t 0 có nghiệm duy nhất t0 3;7 . Vậy ta lập được bảng biến thiên của hàm số f t như dưới đây:
22. 148 Suy ra max S max f t f 3 .Dấu bằng đạt tại x 2; y 1. 3;7 3 Do đó T 148 3 151. *Chú ý. Hướng dẫn giải trình bày phía trên thuần tư duy tự luận khi xử lí bất đẳng thức. Để làm nhanh với bài thi trắc nghiệm,kinh nghiệm khi làm các bất đẳng thức có điều kiện biên,cụ thể ở đây x 2 0; y 3 0 thì dấu bằng thường đạt được tại biên tức x 2 0 hoặc y 3 0. Do đó với x 2 thay vào điều kiện có y 3 2 y 3 y 3; y 1. Với y 3 thay vào điều kiện có x 2 2 x 2 x 2; x 6 . Do vậy ta thử giá trị của S tại các cặp điểm là 2; 3 , 2;1 , 6; 3 nhận kết quả mà S đạt giá trị lớn nhất. Câu 30: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực a,b,c 1 và các số thực dương thay đổi x, y, z thỏa mãn 16 16 a x b y cz abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z2 . x y 3 3 A. 20 . B. 20 . C. 24 . D. 24 . 3 4 3 4 Hướng dẫn giải Theo giả thiết bài toán, ta có: 1 x log t a log a t 1 y logb t 1 x y z logt b a b c abc 2 t 1 z log t c log c t 1 1 1 log t abc 2 logt abc logt a logt b logt c 1 1 1 1 1 16 Do đó: 2 P f z 32 z2 f 2 20. 1 1 1 2 x y z z x y z Chọn A. Câu 31: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn c b a 1 và c c 6log2 b log2 c log 2log 1. Đặt T log c 2log b . Mệnh đề nào dưới đây a b a b b b b a đúng? A. T 3; 1 .B. T 1;2 . C. T 2;5 . D. T 5;10 . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có
23. c c 6log2 b log2 c log 2log 1 6log2 b log2 c log c log b 2log c 1. a b a b b b a b a a b 2 2 6loga b logb c loga blogb c loga b 2logb c 1. 2 2 6loga b loga b logb c 1 logb c 1 . 6log2 b log b a a 1 0 2 log c 1 logb c 1 b loga b 1 2 1 2 log b log b logb c 1 3 6 a a 1 0 . logb c 1 logb c 1 loga b 1 2 logb c 1 2 TH1: 1 3loga b 1 logb c logb c 1 3loga b . Vậy T 1 5loga b . Ta có loga b loga a 1. T 1 5loga a 4 . TH2: 2 2loga b logb c 1 logb c 2loga b 1. Vậy T 1. x2 2018 Câu 32: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 20171 x y . Biết y2 2y 2019 a giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 4x2 3y 4y2 3x 25xy là với a,b là các số b a nguyên dương và tối giản. Tính T a b . b A. T 27 . B. T 17 . C. T 195 .D. T 207 . Hướng dẫn giải Chọn D. Theo điều kiện đề bài ta có x2 2018 2017x 1 y2 2018 20171 y x 1 y . 2 Khi đó S 4x2 3 1 x 4 1 x 2 3x 25x 1 x 16 x2 x 2 x2 x 12 2 2 b 1 191 2 1 1 1 g t 16t 2t 12 g g , trong đó t x x x . 2a 16 16 2 4 4 Do đó T 191 16 207 . Câu 33: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thoả mãn log2 x log2 x 3y 2 2log2 y x y 2x 3y b . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S là a với a,b,c là x2 xy 2y2 x 2y c b các số nguyên dương và là phân số tối giản. Tính P a b c . c A. P 30. B. P 15. C. P 17 .D. P 10. Hướng dẫn giải Chọn D. 2 2 2 2 2 x x Theo giả thiết ta có log2 x 3xy log2 4y . x 3xy 4y 3 4 y y x 0 t 1. y
24. t 1 2t 3 Khi đó S f t ,0 t 1. t 2 t 2 t 2 2 5 3t 1 2 1 t 2 2 2 Ta có f t 0 . 3 2 3 2 2 2 t 2 t 2 t 2 2 2 t 2 2 2 t 2 5 Dó đó max S max f t f 1 2 a 2,b 5,c 3 P 10 . 0;1 3 Câu 34: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực a, b, c thỏa mãn3a 5b 15 c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a2 b2 c2 4 a b c . A. 3 log5 3.B. 4 . C. 2 3 . D. 2 log3 5 . Hướng dẫn giải Chọn B. a c Ta có 3a 5b 15 c a blog 5 c log 15 c 1 log 5 log 5 3 3 3 3 b b c ab bc ac 0 . P a2 b2 c2 4 a b c a b c 2 2 ab bc ac 4 a b c 2 . a b c 2 4 4 Câu 35: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x log y 1 log x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x 3y . 1 3 2 3 3 3 1 3 A. .B. . C. . D. . 10 5 30 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 Ta có log x log y 1 log x y 10xy x y y 10x 1 x 0 x và 10 x y . 10x 1 3x 3x 1 S x 3y x . Xét hàm số f x x trên ; được 10x 1 10x 1 10 1 3 2 3 min f x f . 1 x ; 10 5 10 x2 y2 1 2 2 Câu 36: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương x, y thỏa mãn 2 log3 x y 1 3. a 6 Biết giá trị lớn nhất của biểu thức S x y x3 y3 là với a, b là các số nguyên b a dương và phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức T a 2b . b A. T 25 .B. T 34 . C. T 32 . D. T 41. Hướng dẫn giải Chọn B. t 1 Nhận xét hàm số f t 2 log3 t 1 đồng biến và f 2 3, từ đó x2 y2 1 2 2 2 2 2 log3 x y 1 3 x y 2
25. S x y x3 y3 x y 1 x2 y2 xy S 2 x y 2 3 xy 2 2 2xy 3 xy 2 2 2 x y 2 Ta Đặt t xy do xy 1 nên t  1;1. Xét hàm số g t 2 2t 3 t trên 2 1 512 2 512 16 6  1;1 được max g t g . Do S 0 nên S S . Vậy T 34 . t  1;1 3 27 27 9 Câu 37: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn xy 4y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất 6y x 2y của biểu thức S ln . x y 3 A. 24 ln 6 . B. 12 ln 4 .C. ln 6 . D. 3 ln 4 . 2 Hướng dẫn giải Chọn C. 2 x 4 1 1 x Ta có xy 4y 1 2 2 4 4. Đặt t , 0 t 4 . y y y y y 6y x 2y 6 6 S ln thành S ln(t 2) . Xét hàm số f t ln t 2 trên 0;4 x y t t 3 được min f t f 4 ln 6 . x 0;4 2 x Câu 38: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực x, y thỏa mãn log 2 2 2x 4y 1. Tính P khi x y 1 y biểu thức S 4x 3y 5 đạt giá trị lớn nhất. 8 9 13 17 A. . B. .C. . D. . 5 5 4 44 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có log 2x 4y 1 2x 4y x2 y2 1 x 1 2 y 2 2 4 . x2 y2 1 Mặt khác S 4x 3y 5 4 x 1 3 y 2 7 42 32 x 1 2 y 2 2 7 3. 13 x 1 y 2 x 5 13 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 3 . Do đó P 4 4 4x 3y 5 3 y 5 Câu 39: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2x y x 2y P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 .B. 81. C. 108. D. 115. Hướng dẫn giải Chọn B. x, y 0 chia 2 ve x 1 4 1 1 2  2 2 2.2. 4 4 xy 4y 1 cho y y y y y y - Ta có: 2 1 x 2 4 4 4. y y
26. x - Đặt t 0 t 4 D 0;4 y - Biến đổi biểu thức P về dạng: 1 6 1 t 2 6t 12 x 3 21 D P 6 2 ln t 2 P ' t 2 2 0 t t t 2 t (t 2) x 3 21 D Lập bảng biến thiên, từ đó ta thấy rằng, trong khoảng 0;4 thì hàm P(t) nghịch biến 27 27 a nên min P t P 4 ln 6 2 a.b 81 2 b 6 Chọn B. Câu 40: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2x 2 y 4 . Tìm giá trị lớn nhất 2 2 Pmax của biểu thức P 2x y 2y x 9xy . 27 A. P .B. P 18 . C. P 27 . D. P 12 . max 2 max max max Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có 4 2x 2 y 2 2x y 4 2x y x y 2 . 2 x y Suy ra xy 1. 2 Khi đó P 2x2 y 2y2 x 9xy 2 x3 y3 4x2 y2 10xy . P 2 x y x y 2 3xy 2xy 2 10xy 4 4 3xy 4x2 y2 10xy 16 2x2 y2 2xy xy 1 18 Vậy Pmax 18 khi x y 1. Câu 41: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện 4x 9 y 16z 2x 3y 4z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2x 1 3y 1 4z 1 . 9 87 5 87 7 87 3 87 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải a,b,c 0 x y z Đặt a 2 ,b 3 ,c 4 ta có: 2 2 2 . a b c a b c 9 1 1 1 Ta cần tìm min P 2a 3b 4c P 2 a 3 b 4 c . 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 2 1 1 1 P 2 3 4 a b c 2 2 2 2 2 9 3 9 87 P 29. Pmax . 2 4 2 Chọn A. Câu 42: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2 2 2 0 x y y z z x 2 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức
27. 3 4 a P 4x 4 y 4z ln x4 y4 z4 x y z là , với a,b là các số nguyên dương và 4 b a tối giản. Tính S 2a 3b . b A. S 13 B. CS. 42 S 54 D. S 71 Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có: 2 2x2 x 1 ; Tương tự ta có: 0 x, y, z 1 . Và 2 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 2 x2 y2 z2 1 . Ta có: x4 y4 z4 x2 y2 z2 ln x4 y4 z4 ln x2 y2 z2 0 . 3 Xét hàm số f t 4t 3t 1 ta có: f ' t 4t ln 4 3; f ' t 0 t log 0;1 . 4 ln 4 Lập bảng biến thiên từ đó suy ra: 3  f t max0;1 f t max f 0 ; f 1 ; f log4  f 0 f 1 0 . ln 4  Vậy ta có: 4t 3t 1,t 0;1 . Áp dụng ta có: 4x 4 y 4z 3 x y z 3 . 3 4 21 Từ đó suy ra: P 3 x y z 3 x y z . 4 4 Chọn C. Câu 43: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực a,b,c 2;3 . Biết giá trị lớn nhất của 1 3 m m S 4a 4b 4c a b c là với m,n là các số nguyên dương và tối giản. Tính 4 n n P m 2n . A. P 257 B. P 258 C. DP. 17 P 18 Hướng dẫn giải Ta có: 4x 48x 80,x 2;3 . Dấu bằng đạt tại x 2;3 . 1 3 Do đó S 48 a b c 240 a b c 16 . Dấu bằng đạt tại a;b;c 3;3;2 hoặc 4 các hoán vị. Chọn D. Câu 44: [DS12.C2.9.D02.d] Cho ba số thực x, y, z không âm thỏa mãn 2x 4 y 8z 4 . Tìm giá trị x y z nhỏ nhất của biểu thức S . 6 3 2 1 4 1 A. B. C. D. 1 log 3 12 3 6 4 Hướng dẫn giải Với a,b,c 1 ta có a 1 b 1 0 ab a b 1 . Do đó abc a b 1 c ac bc c a c 1 b c 1 c a b c 2 . x 2y 3z 1 Áp dụng ta có 2x.4 y.8z 2x 4 y 8z 2 2 . Do đó x 2y 3z 1 S . 6 6 Chọn C. Câu 45: [DS12.C2.9.D02.d] Cho các số thực dương a,b thỏa mãn 4a 2a 1 2 2a 1 sin 2a b 1 2 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 2b .
28. 3 A. 1 B. C. 1 D. 1 2 2 2 Hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết, ta có: 2 2 2a 2.2a 2 2a 1 sin 2a b 1 2 0 2a 1 2 2a 1 sin 2a b 1 1 0 2 2 2a 1 sin 2a b 1 1 sin2 2a b 1 0 2a 1 sin 2a b 1 cos2 2a b 1 0 a a cos 2 b 1 0 2 b 1 k 2 a a 2 1 sin 2 b 1 0 a 2 1 1 0 Do đó a 1,b 1 k ,k Z . Do b 0 b 1 S 1 2 1 1. 2 2 2 Chọn C. Câu 46: [DS12.C2.9.D02.d] Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy 4y 1. Giá trị nhỏ nhất của 6 2x y x 2y P ln là a ln b . Giá trị của tích ab là x y A. 45 .B. 81. C. 108. D. 115. Hướng dẫn giải Chọn B. x x, y dương ta có: xy 4y 1 xy 1 4y 4y2 1 0 4 . y y x Có P 12 6 ln 2 . x y x Đặt t , điều kiện: 0 t 4 thì y 6 P f t 12 ln t 2 t 6 1 t 2 6t 12 t 3 21 f t 2 2 ; f t 0 t t 2 t t 2 t 3 21 t 0 4 f t P f t 27 ln 6 2 27 Từ BBT suy ra GTNN P ln 6 khi t 4 2 27 a , b 6 ab 81. 2 Câu 47: [DS12.C2.9.D02.d] Cho hai số thực a,b thỏa mãn a 0 , 0 b 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin a 2b 2a 2ba của biểu thức P 2 a . 2a ba 2b
29. 9 7 13 A. P . B. P .C. P . D. P 4 . min 4 min 4 min 4 min Hướng dẫn giải Chọn C. a a 2 2 a a a 2 a 2b 2 2b b b 2 Ta có: P . Đặt t , t 1 . a a 2 a a 2 2 b 2b 2 2 b 1 b t t 2 Khi đó: P g t t 1 t 1 2 2 t3 3t 2 t 3 g t , g t 0 t 3. 2 t 1 3 13 Từ bảng biến thiên ta được P . min 4