›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 9.2: Bài tập ứng dụng tính diện tích (Có đáp án)

docx 60 trang nhungbui22 12/08/2022 2400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 9.2: Bài tập ứng dụng tính diện tích (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxtai_lieu_giai_tich_lop_12_nguyen_ham_tich_phan_ung_dung_phan.docx

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Nguyên hàm. Tích phân. Ứng dụng - Phần 9.2: Bài tập ứng dụng tính diện tích (Có đáp án)

  1. ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH 1. Diện tích hình phẳng a)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [ a;b] , trục hoành và b hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) dx a y y f (x) y f (x) b y 0 S f (x) dx (H) x a a c O a 1 c c3 b x 2 x b b)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x) , y = g(x) liên tục trên đoạn [ a;b] và b hai đường thẳng x = a , x = b được xác định: S =ò f (x) - g(x) dx a y (C1 ) : y f1 (x) (C1 ) (C ) : y f (x) (H ) 2 2 x a (C ) 2 x b b a c x S f1 ( x) f 2 ( x) dx O 1 c2 b a Chú ý: b b - Nếu trên đoạn [a;b] , hàm số f (x) không đổi dấu thì: ò f (x) dx =ò f (x)dx a a - Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y) , x = h(y) và hai đường thẳng y = c , d y = d được xác định: S =ò g(y) - h(y) dy c DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ĐƯỢC GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ PHƯƠNG PHÁP: Trường hợp 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn b bởi các đường y = f (x), y = g(x), x = a, x = b là S =ò f (x) - g(x) dx . a Phương pháp giải toán +) Giải phương trình f (x) = g(x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm thì S =ò( f (x) - g(x)) dx . a a b +) Nếu (1) có nghiệm thuộc. [ a;b] . giả sử a thì S =ò( f (x) - g(x)) dx +ò( f (x) - g(x)) dx a a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f (x) - g(x) trên đoạn [a; b] rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân. Trường hợp 2. Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn b bởi các đường y = f (x), y = g(x) là S =ò f (x) - g(x) dx . Trong đó a, b là nghiệm nhỏ nhất và lớn a nhất của phương trình f (x) = g(x) (a £ a < b £ b) .
  2. Phương pháp giải toán Bước 1. Giải phương trình f (x) = g(x) tìm các giá trị a, b . b Bước 2. Tính S =ò f (x) - g(x) dx như trường hợp 1. a HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b a b Câu 1. Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục Ox và các đường thẳng x a, x b a b . b b b b A. f x dx .B. f 2 x dx . C. f x dx .D. f x dx . a a a a Hướng dẫn giải Chọn A Câu 2. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là y y f x b a O c x b c b c A. f x dx f x dx . B. f x dx f x dx . a b a b b c b b C. f x dx f x dx .D. f x dx f x dx . a b a c Hướng dẫn giải Chọn A Ta có f x 0 x a;b và f x 0 x b;c nên diện tích của hình phẳng là b c f x dx f x dx a b Câu 3. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số f x , trục hoành và trục tung. Khẳng định nào sau đây đúng? y c d O x y f x d 0 d 0 A. S f x dx f x dx .B. S f x dx f x dx . c d c d
  3. d 0 d 0 C. S f x dx f x dx . D. S f x dx f x dx . c d c d Hướng dẫn giải Chọn A 0 d 0 Ta có S f x dx f x dx f x dx . c c d Quan sát đồ thị hàm số ta thấy f x 0 với x c;d  và f x 0 với x d;0. d 0 Do đó S f x dx f x dx . c d Câu 4. Diện tích của hình phẳng H được giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b (phần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: b c b A. S f x dx .B. S f x dx f x dx . a a c b c b C. S f x dx .D. S f x dx f x dx . a a c Hướng dẫn giải Chọn B Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có: b c b c b S f x dx 0 f x dx f x 0 dx f x dx f x dx . a a c a c Câu 5. Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị C là đường cong như hình bên. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị C , trục hoành và hai đường thẳng x 0 , x 2 (phần tô đen) là y 3 O 2 x 2 1 2 2 1 2 A. f x dx .B. f x dx f x dx . 0 0 1 1 2 2 C. f x dx f x dx .D. f x dx . 0 1 0
  4. Hướng dẫn giải Chọn C Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy: khi x 0;1 thì f x 0 , khi x 1;2 thì f x 0. 1 2 Vậy S f x dx f x dx . 0 1 Câu 6. Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là y y f x 1 O 1 2 x 1 2 1 2 A. S f x dx f x dx .B. S f x dx f x dx . 1 1 1 1 2 2 C. S f x dx .D. S f x dx . 1 1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta thấy miền hình phẳng giới hạn từ x 1 đến x 1 ở trên trục hoành mang dấu dương 1 S f x dx 1 1 Miền hình phẳng giới hạn từ x 1 đến x 2 ở dưới trục hoành mang dấu âm 2 S f x dx 2 1 1 2 Vậy S f x dx f x dx . 1 1 Câu 7. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 4 là 53 51 49 25 A. B. C. D. 4 4 4 2 Hướng dẫn giải Ta có x3 - 3x2 = 0Û x = 3Î [1;4] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 4 4 3 4 æx4 ö æx4 ö 27 51 S = x3 - 3x2 dx = (x3 - 3x2 )dx + (x3 - 3x2 )dx = ç - x3 ÷ + ç - x3 ÷ = 6 + = ò ò ò ç 4 ÷ ç 4 ÷ 4 4 1 1 3 è ø1 è ø3 Câu 8. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 - 3x2 - 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3 là 142 143 144 141 A. B. C. D. 5 5 5 5 Hướng dẫn giải Ta có x4 - 3x2 - 4 = 0Û x = 2Î [0;3] Khi đó diện tích hình phẳng là 3 2 3 S =ò x4 - 3x2 - 4dx =ò(x4 - 3x2 - 4)dx +ò(x4 - 3x2 - 4)dx 0 0 2 2 3 æx5 ö æx5 ö 48 96 144 = ç - x3 - 4x÷ + ç - x3 - 4x÷ = + = ç 5 ÷ ç 5 ÷ 5 5 5 è ø0 è ø2
  5. x +1 Câu 9. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = , trục hoành và đường thẳng x +2 x = 2 là A. 3+2ln 2 B. 3- ln 2 C. 3- 2ln 2 D. 3+ln 2 Hướng dẫn giải 2 2 x +1 æ 1 ö 2 Ta có x +1 = 0Û x = - 1 nên S = dx = ç1- ÷dx = x - ln x +2 = 3- 2ln 2 ò òç ÷ ( ) - 1 - 1 x +2 - 1è x +2 ø Câu 10. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y cos x , trục tung, trục hoành và đường thẳng x bằng A. 3.B. 2. C. 4. D. 1. Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y cos x và trục hoành là nghiệm phương trình cos x 0 x k . Xét trên 0;  suy ra x 2 2 2 Diện tích hình phẳng cần tính là S cos xdx cos xdx 2 . 0 2 Câu 11. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos 2x , trục hoành và hai đường p thẳng x = 0, x = là 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải p é p ù Ta có cos 2x = 0Û x = Î ê0; ú 4 ëê 2 ûú p p p p p 2 4 2 æ1 ö 4 æ1 ö 2 Nên S =ò cos 2x dx =òcos 2xdx +òcos 2xdx = ç sin 2x÷ + ç sin 2x÷ =1 p 0 0 p è2 ø0 è2 ø 4 4 Câu 12. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ex e x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 . e4 1 e4 1 e2 1 e4 1 A. S (đvdt).B. S (đvdt). C. S (đvdt).D. S (đvdt). e2 e e e2 Hướng dẫn giải Chọn D 0 4 0 1 e 1 Ta có: S ex e x dx ex e x e2 (đvdt). 2 2 2 2 e e Câu 13. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 , trục hoành Ox , các đường thẳng x 1, x 2 là 7 8 A. S .B. S .C. S 7 .D. S 8. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 2 2 3 2 2 2 x 8 1 7 Diện tích hình phẳng là S x dx x dx . 1 1 3 1 3 3 3
  6. Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x 2 x 2 1, trục Ox và đường thẳng x 1 bằng a b ln(1 b) với a,b,c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a b c là c A. 11B. 12 C. 13D. 14 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có 1 1 S x2 x2 1dx (x3 x)d x2 1 0 0 1 1 (x3 x) x2 1 x2 1(3x2 1)dx 0 0 1 2 2 3S x2 1dx. 0 1 Tiếp tục sử dụng công thức tích phân từng phần để tính T x2 1dx được a 3,b 2,c 8. 0 x 1 Câu 15. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y và các trục tọa độ Ox, Oy ta x 2 b được: S a ln 1. Chọn đáp án đúng c A. a+b+c=8B. a>b C. a-b+c=1D. a+2b-9=c Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ( -1;0). Do đó: 4 Câu 16. Cho parabol P có đồ thị như hình vẽ: y 4 1 2 3 O x 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi P với trục hoành. 8 4 A. 4 .B. 2 .C. .D. . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Từ đồ thị ta có phương trình của parabol là y x2 4x 3. Parabol P cắt Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x 1, x 3. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P với trục hoành ta có 3 3 3 3 2 2 x 2 4 S x 4x 3 dx x 4x 3 dx 2x 3x . 3 3 1 1 1 Câu 17. Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 2x 1, trục hoành, x 1 và x 2 là 31 49 21 39 A. S .B. S .C. S .D. S . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải
  7. Chọn A 2 31 Diện tích hình phẳng cần tìm là S x3 2x 1 dx . 1 4 Câu 18. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x2 +4 , đường thẳng x = 3 , trục tung và trục hoành là 22 32 25 23 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt - x2 +4 = 0 trên đoạn [0;3] có nghiệm x = 2 2 3 23 Suy ra S =ò - x2 +4 dx +ò - x2 +4 dx = 0 2 3 Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x3 4x , trục hoành và hai đường thẳng x 3, x 4 là 202 203 201 201 A. B. C. D. 3 4 5 4 Hướng dẫn giải Xét pt x3 - 4x = 0 trên đoạn [ - 3;4] có nghiệm x = - 2; x = 0; x = 2 - 2 0 2 4 201 Suy ra S =ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx +ò x3 - 4x dx = - 3 - 2 0 2 4 Câu 20. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x , trục hoành và đường thẳng x = e là e2 - 1 e2 +1 e2 - 1 e2 +1 A. B. C. D. 2 2 4 4 Hướng dẫn giải Xét pt x ln x = 0 trên nữa khoảng (0;e] có nghiệm x =1 e e2 +1 Suy ra S =òx ln xdx = 1 4 Câu 21. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 biết rằng mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm . 15 17 A. 15 (cm2 ) . B. (cm2 ) .C. (cm2 ) .D. 17(cm2 ) . 4 4 Lời giải Chọn D Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 2 0 2 x4 0 x4 2 17 là S x3 dx x3dx x3dx dvdt . 1 1 0 4 1 4 0 4 Do mỗi đơn vị dài trên các trục tọa độ là 2 cm nên diện tích cần tìm là S 17 cm2 . 1 Câu 22. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x , trục hoành và đường thẳng x x e bằng 1 1 A. .B. 1.C. .D. 2. 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Phương trình hoành độ giao điểm: ln x 0 x 1. x
  8. e e 1 e ln2 x 1 Diện tích của hình phẳng giới hạn là: ln x dx ln xd ln x . 1 x 1 2 1 2 Câu 23. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 x 2 và trục hoành bằng 13 9 3 A. 9.B. .C. .D. . 6 2 2 Hướng dẫn giải Chọn C Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là nghiệm của phương trình: 2 x 1 x x 2 0 . x 2 y O -2 1 x 1 1 9 Diện tích hình phẳng S x2 x 2 dx x2 x 2 dx . 2 2 2 Câu 24. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 1, x 3 và Ox có diện tích là 4 16 20 A. 8.B. .C. . D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y x2 1 và Ox là: x2 1 0 x 1. Diện tích hình phẳng là: 3 1 3 3 1 3 3 2 2 2 x x S x 1 dx x 1 dx x 1 dx x x 8. 1 1 1 3 1 3 1 x 1 Câu 25. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y , trục hoành và đường thẳng x 2 x 2 là. A. 3 2ln 2 .B. 3 ln 2 .C. 3 2ln 2 .D. 3 ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x 1 x 1 1 2 Ta có: 0 x 1. Vậy S dx 1 dx x ln x 2 3 2ln 2. 1 x 2 1 x 2 1 x 2 Câu 26. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x ; y 0; x 4 . Diện tích S của hình phẳng H bằng 16 15 17 A. S .B. S 3.C. S .D. S . 3 4 3
  9. Hướng dẫn giải Chọn A Xét phương trình x 0 x 0 . 4 2 4 16 Ta có S xdx x x . 0 3 0 3 Câu 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x 4 , x 9 và đường cong có phương trình y2 8x . 76 2 152 152 2 A. .B. . C. 76 2 .D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D Vì x 4;9 y 8x 9 152 2 Vậy S 2 8xdx 4 3 Câu 28. Cho hình thang cong H giới hạn bởi các đường y ex , y 0, x 0 , x ln8. Đường thẳng x k 0 k ln8 chia H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 . Tìm k để S1 S2 . 9 2 A. k ln .B. k ln 4 .C. k ln 4 .D. k ln 5 . 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B ln8 k ln8 k x x x x k Ta có S1 S2 e dx e 7 ; S1 e dx e e 1. 0 0 0 0
  10. 7 7 9 Mà S S S ek 1 k ln . 1 2 1 2 2 2 Câu 29. Cho hình phẳng H như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng H . 9 9 3 9 A. .B.l n 3 . 2 1C. .D. . ln 3 ln 3 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A 3 Diện tích hình phẳng H là: S x ln xdx . 1 1 du dx u ln x x Đặt , nên: dv xdx 1 v x2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 9 S x ln xdx x2 ln x xdx x2 ln x x2 ln 3 2 . 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 Câu 30. Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x , y 0, x 10, x 10 . 2000 2008 A. S .B. S 2008 . C. S .D. 2000 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y x 2x và y 0 là x 2x 0 . x 2 Trên đoạn  10;10 ta có x2 2x 0 , x  10;0và 2;10. x2 2x 0 , x 0;2 . 10 0 2 10 2008 Do đó S x2 2x dx x2 2x dx x2 2x dx x2 2x dx ( đvdt). 10 10 0 2 3 Nhận xét: Nếu học sinh sử dụng MTCT tính tích phân mà không chia khoảng thì có sự sai khác về kết quả giữa máy casio và vinacal. Trong trường hợp này máy vinacal cho đáp số đúng.
  11. Câu 31. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2 , x 1, x 2 , y 0. 10 8 13 5 A. S . B. S .C. S .D. S . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn C 2 13 Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S x2 2 dx . 1 3 Câu 32. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hàm số y x2 x2 1 , trục Ox và đường thẳng x 1 bằng a b ln 1 b với a , b , c là các số nguyên dương. Khi đó giá trị của a b c là c A. 11.B. 12.C. 13.D. 14. Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1 (dùng máy tính): Phương trình hoành độ giao điểm x2 x2 1 0 x 0 1 Diện tích hình phẳng cần tìm là S x2 x2 1dx vì x2 x2 1 0,x 0;1 . 0 1 a b ln 1 b x2 x2 1dx 0 c 1 Bước 1: Bấm máy tính tích phân S x2 x2 1dx 0,4201583875 ( Lưu D) 0 Bước 2: Cơ sở: Tìm nghiệm nguyên của phương trình a b ln 1 b a b ln 1 b D c (coi c f x , a x , b ¢ và ta thử các giá trị c D b 5; 4; 0,1;2;3;4 ) Thử với b 1: Thử với b 2 : Mode + 7 X 2 ln 1 2 F X ; D Kết quả: a 3;c 8,b 2
  12. Cách 2 (giải tự luận): Phương trình hoành độ giao điểm x2 x2 1 0 x 0 1 Diện tích hình phẳng cần tìm là S x2 x2 1dx vì x2 x2 1 0,x 0;1 . 0 Đặt x tan t dx 1 tan2 t dt Đổi cận x 0 t 0; x 1 t 4 4 4 2 4 2 2 2 2 sin t 1 1 sin t.cost Khi đó S tan t 1 tan t 1 tan t dt 2 . 2 dt 3 dt cos t cost cos t 2 0 0 0 cos t Đặt u sin t du costdt 2 Đổi cận t 0 u 0;t u 4 2 2 2 2 2 2 2 u 2 1 1 u 2 1 1 S du du du 2 3 2 3 2 3 2 2 0 1 u 0 1 u 0 1 u 1 u 2 2 2 3 3 2 1 1 2 1 u 1 u 1 2 1 1 Ta có H 3 du du du 2 8 1 u 1 u 8 1 u 1 u 0 1 u 0 0 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 6 3 3 2 du 3 3 2 du 8 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 8 1 u 1 u 2 0 0 1 u 2 2 2 1 1 1 2 6 2 1 2 6 2 du du 16 1 u 2 16 1 u 2 8 2 2 2 8 2 2 0 0 1 u 0 1 u 2 2 6 Tính K du 2 2 0 1 u 2 2 2 2 2 2 6 3 2 1 u 1 u 3 2 1 1 K 2 du du du 2 2 1 u 1 u 2 1 u 1 u 0 1 u 0 0 2 2 3 2 1 1 2 3 1 1 1 u du ln 3 2 3ln 1 2 2 2 2 2 1 u 1 u 1 u 1 u 2 1 u 1 u 1 u 0 0 2 3 2 3ln 1 2 7 2 3ln 1 2 Vậy H 2 8 8
  13. 7 2 3ln 1 2 1 Khi đó S K 8 6 7 2 3ln 1 2 1 3 2 ln 1 2 3 2 3ln 1 2 8 6 8 Câu 33. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 0 , x 0 , x 4 . Đường thẳng y k 0 k 16 chia hình H thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). y 16 S k 1 S2 O 4 x Tìm k để S1 S2 . A. k 8 .B. k 4 .C. . k 5 D. . k 3 Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y x2 và y k là x k . 4 4 Do đó diện tích S x2 k dx , diện tích S x2dx S . 1 2 1 k 0 4 4 4 3 3 2 1 2 x 32 64 k 3 32 Ta có S1 S2 x k dx x dx kx 4k k 2 3 3 k 0 k 3 3 3 k 2 2 3 k 0;16 3 2 16 6k k 3 k 6 k 16 0 k 2 2 3 k 4 k 2 3 2 Câu 34. Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ax bx c , các đường thẳng x 1, x 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây. 51 52 50 53 A. S .B. S .C. S .D. S . 8 8 8 8 Hướng dẫn giải Chọn A Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x ax3 bx2 c , các đường thẳng x 1 , x 2 và trục hoành được chia thành hai phần: Miền D1 là hình chữ nhật có hai kích thước lần lượt là 1 và 3 S1 3.
  14. f x ax3 bx2 c Miền D2 gồm: y 1 . x 1; x 2 Dễ thấy C đi qua 3 điểm A 1;1 , B 0;3 , C 2;1 nên đồ thị C có phương trình 1 3 f x x3 x2 3. 2 2 2 1 3 27 S x3 x2 3 1 dx . 2 1 2 2 8 51 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là S S S . 1 2 8 Câu 35. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ , có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? y x 1 O 2 0 2 0 2 A. f x dx f x dx .B. f x dx f x dx 0 . 1 0 1 0 2 0 C. f x dx 0 . D. f x dx 0 . 0 1 Hướng dẫn giải Chọn A 0 2 S f x dx S f x dx 1 Dựa vào đồ thị hàm số ta có: 1 2 1 0 Mà f x 0 với mọi x  1;0 và x 0;2 . 0 2 0 2 Do đó ta có 1 f x dx f x dx f x dx f x dx . Vậy A sai. 1 0 1 0 x m2 Câu 36. Cho hàm số y (với m là tham số khác 0 ) có đồ thị là C . Gọi S là diện tích hình x 1 phẳng giới hạn bởi đồ thị C và hai trục tọa độ. Có bao nhiêu giá trị thực của m thỏa mãn S 1 ? A. Không.B. Một.C. Ba.D. Hai. Hướng dẫn giải Chọn D x 0 y m2 0 (do m 0 ). y 0 x m2 0 . m2 m2 m2 2 2 2 m2 x m 1 m 1 m 2 Vậy S dx 1 dx 1 dx 1 m ln x 1 x 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 m2 ln m2 1 m2 Để S 1 thì 1 m2 ln m2 1 m2 1 1 m2 ln m2 1 1 0 . ln m2 1 1 m2 1 e m e 1
  15. 4 2 Câu 37. Cho hàm số y x 4x m có đồ thị Cm . Giả sử Cm cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cm với trục hoành có diện tích phần phía trên trục hoành bằng diện tích phần phía dưới trục hoành. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây? A. .mB. .C . 1;1 m 3;5 m 2;3 .D. . m 5; Hướng dẫn giải Chọn C 4 2 Phương trình hoành độ giao điểm của Cm với trục hoành là x 4x m 0 1 . Đặt t x2 t 0 , phương trình 1 trở thành t 2 4t m 0 2 . Để 1 có bốn nghiệm phân biệt thì 2 phải có hai nghiệm dương phân biệt. Điều này xảy ra khi 0 4 m 0 và chỉ khi S 4 0 0 m 4 3 . m 0 P m 0 Gọi t1 và t2 t1 t2 là hai nghiệm của 2 , khi đó bốn nghiệm (theo thứ tự từ nhỏ đến lớn) của phương trình 1 là x1 t2 , x2 t1 , x3 t1 , x4 t2 . Do tính đối xứng của Cm nên từ giả thiết ta có x x3 x4 x4 5 3 4 4 2 4 2 4 2 2x 8x x 4x m dx x 4x m dx 2x 8x 2m dx 0 2mx 0 5 3 0 x3 0 0 x5 4x3 x5 4x3 4 4 mx 0 4 4 mx 0 5 3 4 5 3 4 x5 4x3 4 4 mx 0 3x4 20x2 15m 0 . 5 3 4 4 4 Vậy x4 là nghiệm của hệ 4 2 4 2 4 2 x4 4x4 m 0 15x4 60x4 15m 0 12x4 40x4 0 4 2 4 2 4 2 3x4 20x4 15m 0 3x4 20x4 15m 0 3x4 20x4 15m 0 x4 0 m 0 12x4 40x2 0 4 4 10 20 x2 . Kết hợp điều kiện 3 suy ra m . 4 2 4 9 3x4 20x4 15m 0 3 20 m 9 4 2 Câu 38. Cho hàm số y x 3x m có đồ thị Cm , với m là tham số thực. Giả sử Cm cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ Gọi S1 , S2 , S3 là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để S1 S3 S2 là
  16. 5 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 4 4 2 Hướng dẫn giải Chọn B 4 2 4 2 Gọi x1 là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x 3x m 0 , ta có m x1 3x1 1 . x1 Vì S S S và S S nên S 2S hay f x dx 0 . 1 3 2 1 3 2 3 0 x1 x1 x1 5 5 4 4 2 x 3 x1 3 x1 2 Mà f x dx x 3x m dx x mx x1 mx1 x1 x1 m . 5 5 5 0 0 0 4 4 x1 2 x1 2 Do đó, x1 x1 m 0 x1 m 0 2 . (vì x1 0 ) 5 5 x4 5 Từ 1 và 2 , ta có phương trình 1 x2 x4 3x2 0 4x4 10x2 0 x2 . 5 1 1 1 1 1 1 2 5 Vậy m x4 3x2 . 1 1 4 Câu 39. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x2 2mx m2 1 , trục hoành, trục tung và đường thẳng x 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. m 4; 1 .B. .m 3;5 C. .mD. 0;3 m 2;1 . Hướng dẫn giải Chọn D Ta có y 3x2 2mx m2 1 x2 2mx 1 2x2 1 suy ra y 0,x ¡ . Diện tích hình phẳng cần tìm là 2 2 2 S 3x2 2mx m2 1 dx S 3x2 2mx m2 1 dx x3 mx2 m2 x x 0 0 0 2 2 2 1 2 2 2m 2m2 2 2 m 2m 3 2 m 3 2 2 2 2 5 2 2 m . 2 2 5 2 2 Ta thấy S , suy ra S đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi m . 2 2 Câu 40. Giá trị của tham số m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 3x2 2mx m2 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2 đạt giá trị nhỏ nhất là: A. m = 2.B. m = 1. C. m = -1.D. m = - 2 Hướng dẫn giải Vì với m tùy ý ta luôn có 3x2 2mx m2 1 0 x nên diện tích hình phẳng cần tìm là 2 2 S 3x2 2mx m2 1 dx x3 mx2 m2 1 x 2m2 4m 10 2 m 1 2 8 0 0 S đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = - 1. (dùng casio thử nhanh hơn) Chọn C Câu 41. Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y 4 x2 , trục hoành và 25 đường thẳng x 2, x m , 2 m 2 . Tìm số giá trị của tham số m để S . 3
  17. A. 2 .B. 3. C. 4 .D. 1. Hướng dẫn giải Chọn D m 25 Ta có S 4 x2 dx . 2 3 Phương trình 4 x2 0 x 2 . Bài ra 2 m 2 nên trên 2;m thì 4 x2 0 vô nghiệm. m m 3 m 2 25 2 25 x 25 4 x dx 4 x dx 4x 2 3 2 3 3 2 3 m3 8 25 m3 16 25 4m 8 4m 3 3 3 3 3 3 3 m 16 25 1 3 4m m 4m 3 0 3 3 3 3 3 m 12m 9 0 1 3 3 m 16 25 1 3 41 m 12m 41 0 4m m 4m 0 3 3 3 3 3 Xét hàm số f m m3 12m , với m 2;2 có f m 3m2 12 3 m2 4 0 , m 2;2 . Do đó f m nghịch biến trên 2;2 f m f 2 16 m3 12m 41 0 . 21 3 Khi đó 1 m3 12m 9 0 m 3 m2 3m 3 0 m thỏa mãn. 2 21 3 Vậy chỉ có m thỏa mãn bài toán. 2 Câu 42. Xét hàm số y f x liên tục trên miền D a,b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x a , x b . Người ta chứng minh được rằng độ dài đường b 2 cong S bằng 1 f x dx . Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số a 1 m f x ln x bị giới hạn bởi các đường thẳng x 1 , x 3 là m m ln với m , n ¢ thì n giá trị của m2 mn n2 là bao nhiêu? A. 6 .B. 7 .C. . 3 D. . 1 Hướng dẫn giải Chọn B 1 Ta có f x . x 3 1 3 1 x2 3 1 x2 S l 1 dx dx xdx Khi đó, độ dài đường cong là 2 2 . 1 x 1 x 1 x Đặt t 1 x2 . Suy ra: t 2 1 x2 tdt xdx . Đổi cận: x 1 t 2 ; x 3 t 2. 2 2 2 2 t 1 2 1 t 1 Suy ra: l dx 1 dx t ln . t 2 1 t 1 t 1 2 2 t 1 2 2 2 1 1 1 3 2 2 1 2 Suy ra: l 2 2 ln ln 3 2 2 2 2 ln 2 2 ln . 2 3 2 3 3
  18. 1 m m 2 Mà l m m ln nên suy ra . n n 3 Vậy m2 mn n2 7 . Câu 43. Xét hàm số y f x liên tục trên miền D a;b có đồ thị là một đường cong C . Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x a , x b . Người ta chứng minh được rằng diện tích mặt b 2 cong tròn xoay tạo thành khi xoay S quanh Ox bằng S 2 f x 1 f x dx . Theo kết quả a trên, tổng diện tích bề mặt của khối tròn xoay tạo thành khi xoay phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2x2 ln x hàm số f x và các đường thẳng x 1, x e quanh Ox là 4 2e2 1 4e4 9 4e4 16e2 7 4e4 9 A. .B. . C. .D. . 8 64 16 16 Hướng dẫn giải Chọn D Cách 1. (Giải tự luận) 2 2 2 2x ln x x ln x 1 2 1 1 1 2 Ta có f x f x x f x x x 2 4 2 4 4x 4x 16x 2 1 Lại có f x x 0,x 1;e , nên f x đồng biến trên 1;e . Suy ra 4x 1 f x f 1 0,x 1;e . 2 Từ đây ta thực hiện phép tính như sau b e 2 2 x ln x 1 1 S 2 f x 1 f x dx 2 1 x2 dx 2 a 1 2 4 16x 2 2 e x2 ln x 1 1 e x2 ln x 1 S 2 x2 dx 2 x dx 2 1 2 4 16x 2 1 2 4 4x e x2 ln x 1 e 1 1 1 1 ln x 2 x dx 2 x3 x x ln x dx 2 I I I 1 2 3 1 2 4 4x 1 2 8 4 16 x e 4 2 4 2 e 1 3 1 x x 2e e 3 Với I1 x x dx 1 2 8 8 16 16 1 e e 1 1 1 1 1 I x ln x dx x2 2ln x 1 e2 2 1 4 4 4 1 16 16 e e 1 ln x 1 1 I dx ln2 x . 3 1 16 x 32 1 32 Cách 2. e x2 ln x 1 1 Học sinh có thể trực tiếp bấm máy tính tích phân S 2 1 x2 dx để có 2 1 2 4 16x 2 kết quả
  19. Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), y g(x), x a, x b Câu 44. Cho hàm số y f x , y g x liên tục trên a;b. Gọi H là hình giới hạn bởi hai đồ thị y f x , y g x và các đường thẳng x a , x b . Diện tích hình H được tính theo công thức: b b b A. S f x dx g x dx .B. S f x g x dx . H H a a a b b C. S f x g x dx .D. S f x g x dx . H H a a Hướng dẫn giải Chọn D Câu 45. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1 x và f2 x liên tục trên đoạn a; b và hai đường thẳng x a , x b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình H là y f1 x f2 x O a c1 c2 b x b b A. S f x f x dx .B. S f x f x dx . 1 2 1 2 a a b b b C. S f x f x dx .D. S f x dx f x dx . 1 2 2 1 a a a Hướng dẫn giải Chọn A Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng. Câu 46. Cho hàm số y f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f 0 0 f 1 . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 1. Xét các mệnh đề sau 0 1 1 (I) S f x dx f x dx .(II) S f x dx . 1 0 1 1 1 (III) S f x dx .(IV) S f x dx . 1 1 Số mệnh đề đúng là A. 1.B. 4. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Chọn A Ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , y 0, x 1 và x 1 là 1 S f x dx nên (2) đúng. 1 1 Do f 0 0 f 1 nên S f x dx sai. 1 1 0 1 Tương tự S f x dx sai. và S f x dx f x dx sai. 1 1 0
  20. Câu 47. Cho hàm số f x liên tục trên 1;2. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y 0, x 1 và x 2 . Công thức tính diện tích S của D là công thức nào trong các công thức dưới đây? 2 2 2 2 A. S f x dx . B. S f 2 x dx .C. S f x dx .D. S f 2 x dx . 1 1 1 1 Hướng dẫn giải Chọn C Câu 48. Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0, y x , y x 2 . 8 16 A. .B. . C. 10 . D. 8 . 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 0 x x 0 Ta có: 0 x 2 x 2 x x 2 x 4 Dựa vào hoành độ giao điểm của ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần. Phần thứ nhất giới hạn bởi y x , y 0 và x 0; x 2. Phần thứ hai giới hạn bởi y x , y x 2 và x 2; x 4 . Thể tích vật thể bằng: 2 4 2 4 2 2 V x dx x 2 2 x dx xdx x x 2 2 dx 0 2 0 2 4 2 3 x2 x2 x 2 16 . 2 0 2 3 3 2 Câu 49. Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol y x2 , đường thẳng y x 2 và trục hoành trên đoạn 0;2 (phần gạch sọc trong hình vẽ) 3 5 2 7 A. .B. . C. .D. . 5 6 3 6 Hướng dẫn giải Chọn B 2 1 2 3 1 2 2 x x 5 Ta có S x dx x 2 dx 2x . 3 2 6 0 1 0 1 Câu 50. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 +x - 2, y = x +2 và hai đường thẳng x = - 2; x = 3. Diện tích của (H) bằng
  21. 87 87 87 87 A. B. C. D. 5 4 3 5 Hướng dẫn giải Xét phương trình (x2 +x - 2) - (x +2) = 0Û x2 - 4 = 0Û x =±2 2 3 87 Suy ra S =ò x2 - 4 dx +ò x2 - 4 dx = - 2 2 3 - x2 +4x - 4 Câu 51. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) : y = , tiệm cận xiêm của (C) và hai x - 1 đường thẳng x = 0, x = a (a < 0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng A. 1- e5 B. 1+e5 C. 1+2e5 D. 1- 2e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y = - x +3 0 a æ 1 ö æ 1 ö a Nên S(a) = ç- ÷dx = ç ÷dx = ln x - 1 = ln(1- a) òç ÷ òç ÷ 0 a è x - 1ø 0 èx - 1ø Suy ra ln(1- a) = 5Û a =1- e5 Câu 52. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y sin x , y cos x và các đường thẳng x 0 , x bằng ? A. 2 .B. 2 2 . C. 2 2 .D. 3 2 . Hướng dẫn giải Chọn B Ta có S sin x cos x dx . 0 Phương trình sin x cos x 0 tan x 1 x k k ¢ . 4 Cho k 0;  k 0 x . 4 4 4 Biến đổi S sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx 0 0 4 4 4 sin x cos x dx sin x cos x dx cos x sin x cos x sin x 2 2 . 0 0 4 4 Câu 53. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x và y ex , trục tung và đường thẳng x 1 được tính theo công thức: 1 1 1 1 A. S ex 1 dx .B. S ex x dx .C. S x ex dx .D. S ex x dx . 0 0 0 1 Hướng dẫn giải Chọn B Vì trong khoảng 0;1 phương trình ex x không có nghiệm và ex x , x 0;1 nên 1 1 S ex x dx ex x dx . 0 0 Câu 54. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex , y 2 , x 0 , x 1. A. S 4ln 2 e 5.B. S 4ln 2 e 6 . C. S e2 7 .D. S e 3.
  22. Hướng dẫn giải Chọn A 1 Gọi S là diện tích cần tìm. Ta có S ex 2 dx . 0 Xét ex 2 0 x ln 2 . Bảng xét dấu ex 2 : x 0 ln 2 1 x e 2 0 1 ln 2 1 ln 2 1 Ta có S ex 2 dx ex 2 dx ex 2 dx 2x ex ex 2x 0 ln 2 0 0 ln 2 4ln 2 e 5 . Vậy S 4ln 2 e 5. x2 2x Câu 55. Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi P : y , đường thẳng x 1 d : y x 1 và x a, x 2a (a 1) bằng ln 3? A. a 1. B. a 4. C. a 3. D. a 2. Hướng dẫn giải Chọn D 2a 2 2a 2a x 2x 1 1 2a Ta có: S x 1 dx dx dx (vì a 1) ln x 1 (vì a 1) a a x 1 a x 1 a x 1 2a 1 ln 2a 1 ln a 1 ln . a 1 2a 1 2a 1 Ta có: ln ln 3 3 a 2. a 1 a 1 Câu 56. Biết diện tích hình phẳng giới bởi các đường y sin x , y cos x , x 0, x a ( với 1 a ; là 3 4 2 3 . Hỏi số a thuộc khoảng nào sau đây? 4 2 2 7 51 11 11 3 51 A. ,1 .B. , .C. ; .D. 1, . 10 50 10 10 2 50 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: sin x cos x với x 0; , sin x cos x với x , 4 4 2 Diện tích hình phẳng giới bởi các đường y sin x , y cos x , x 0, x a với a ; là 4 2 a 4 a 4 a S sin x cos x dx= sin x cos x dx+ sin x cos x dx= cos x sin x dx+ sin x cos x dx 0 0 0 4 4 a 4 a 4 S 2 cos x dx + 2 sin x dx= 2 sin x 2 cos x 0 4 4 4 0 4 4 4 3 4 2 3 S 2
  23. a 4 S 2 sin x 2 cos x 2 sin sin 2 cos x cos0 4 0 4 2 4 4 4 2 3 4 2 3 S 2 1 2 cos a 1 2 2 1 2 cos a 2 4 4 2 1 3 51 11 cos a a a 1,047 a , . 4 2 2 4 12 3 50 10 Câu 57. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 , y 0, x 0 , x 4 . Đường thẳng y k 0 k 16 chia hình H thành hai phần có diện tích S1 , S2 (hình vẽ). y 16 S k 1 S2 O 4 x Tìm k để S1 S2 . A. k 8.B. k 4 .C. k 5 .D. k 3. Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y x2 và y k là x k . 4 4 Do đó diện tích S x2 k dx , diện tích S x2dx S . 1 2 1 k 0 4 4 4 3 3 2 1 2 x 32 64 k 3 32 Ta có S1 S2 x k dx x dx kx 4k k 2 3 3 3 3 3 k 0 k k 2 2 3 3 2 k 0;16 16 6k k 3 k 6 k 16 0 k 2 2 3 k 4 k 2 Câu 58. Cho hai hàm số y f x và y g x liên tục trên đoạn a;b với a b . Kí hiệu S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 3 f x , y 3g x , x a , x b ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x 2, y g x 2, x a , x b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. S1 2S2 . B. S1 3S2 . C. S1 2S2 2 .D. S1 2S2 2 . Hướng dẫn giải Chọn B b b b Ta có S 3 f x 3g x dx 3 f x g x dx 3 f x 2 g x 2 dx 3S . 1 2 a a a
  24. Dạng 3:Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f (x), y g(x) Câu 59. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y = 2 - x2 và đường thẳng y = - x là 7 9 9 A. B. C. 3 D. 2 4 2 Hướng dẫn giải éx = - 1 Ta có 2 - x2 = - xÛ ê và 2 - x2 ³ - x," x Î [ - 1;2] ëêx = 2 2 2 æ x2 x3 ö 9 Nên S = (2 +x - x2 )dx = ç2x + - ÷ = ò ç 2 3 ÷ 2 - 1 è ø- 1 Câu 60. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của các hàm số y x2 và y x là: 1 5 1 A. .B. . C. .D. . 6 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn B 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm là: x x . x 1 1 1 3 2 2 x x 1 Ta có diện tích hình phẳng cần tính là: S x x dx . 3 2 6 0 0 Câu 61. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = x và y = 3 x là 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 13 14 15 Hướng dẫn giải éx = 0 Ta có x = 3 x Û ê ëêx =1 1 1 1 3 3 æ2 3 3 3 4 ö 1 Nên S =ò x - x dx =ò( x - x)dx = ç x - x ÷ = 0 0 è3 4 ø0 12 Câu 62. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = 2x3 - 3x2 +1 và y = x3 - 4x2 +2x +1 là 37 37 A. B. C. 3 D. 4 13 12 Hướng dẫn giải éx = - 2 ê Ta có 2x3 - 3x2 +1 = x3 - 4x2 +2x +1Û êx = 0 ê ëêx =1 1 0 1 Nên S =ò x3 +x2 - 2x dx =ò(x3 +x2 - 2x)dx +ò(x3 +x2 - 2x)dx - 2 - 2 0 0 1 æx4 x3 ö æx4 x3 ö 37 = ç + - x2 ÷ + ç + - x2 ÷ = ç 4 3 ÷ ç 4 3 ÷ 12 è ø- 2 è ø0 Câu 63. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi P : y x2 4 , tiếp tuyến của P tại M 2;0 và trục Oy là 4 8 7 A. S .B. S 2 .C. S .D. S . 3 3 3
  25. Hướng dẫn giải Chọn A y 2x . y 2 4 . Phương trình tiếp tuyến của P tại M 2;0 y 2 x 2 2x 4 . 2 2 Diện tích hình phẳng cần tìm là S x2 4 2x 4 dx x2 2x dx 0 0 2 3 x 2 4 x . 3 3 0 Câu 64. Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y =(1+ex ) x, y =(1+e) x . Diện tích của (H) bằng e - 1 e - 2 e - 2 e +1 A. B. C. D. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Xét pt (1+ex ) x - (1+e) x = 0 có nghiệm x = 0, x =1 1 1 e - 2 Suy ra S =ò x(e - ex ) dx =òx(e - ex ) dx = 0 0 2 Câu 65. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 1 , y = x +5 . Diện tích của (H) bằng 71 73 70 74 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt x2 - 1 = x +5 có nghiệm x = - 3, x = 3 3 3 Suy ra S =ò ( x2 -1 -( x +5)) dx = 2ò x2 -1 -( x +5) dx -3 0 Bảng xét dấu x2 - 1 trên đoạn [0;3] x 0 1 3 x2 - 1 - 0 + 1 3 73 Vậy S = 2ò(- x2 - x - 4)dx +ò( x2 - x - 6) dx = 0 1 3 ïì - x, khi x £ 1 10 a Câu 66. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = í và y = x - x2 là îï x - 2, khi x>1 3 b . Khi đó a +2b bằng A. 16 B. 15 C. 17 D. 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 10 x - x2 = - x Þ x = 0 3 10 x - x2 = x - 2 Þ x = 3 3
  26. 1 3 æ10 2 ö æ10 2 ö 13 Nên S =òç x - x +x÷dx +òç x - x - x +2÷dx = 0 è 3 ø 1 è 3 ø 2 Câu 67. Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x2 - 4x +3 , y = x +3 . Diện tích của (H) bằng 108 109 109 119 A. B. C. D. 5 5 6 6 Hướng dẫn giải Xét pt x2 - 4x +3 = x +3 có nghiệm x = 0, x = 5 1 3 5 109 Suy ra S =ò(- x2 +5x) dx +ò( x2 - 3x +6) dx +ò(- x2 +5x) dx = 0 1 3 6 Câu 68. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y = x2 +3 , tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng 8 4 7 A. B. C. 2 D. 3 3 3 Hướng dẫn giải PTTT của (P) tại x = 2 là y = 4x +3 éx = 0 Xét pt x2 +3 - (4x +3) = 0Û x2 - 4x = 0Û ê ( ) ëêx = 2 2 2 2 æx3 ö 8 Suy ra S = x2 - 4x +4 dx = x2 - 4x +4 dx = ç - 2x2 +4x÷ = ò ( ) ò( ) ç 3 ÷ 3 0 0 è ø0 2 1 4 Câu 69. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y x và trục hoành. 3 3 11 61 343 39 A. .B. . C. .D. . 6 3 162 2 Hướng dẫn giải Chọn A 2 1 4 Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y x , y x là 3 3 x 1 1 4 x2 x 3x2 x 4 0 4 . 3 3 x 3 1 4 Hoành độ giao điểm của đường thẳng y x với trục hoành là x 4 . 3 3 Hoành độ giao điểm của parabol y x2 với trục hoành là x 0 . Diện tích hình phẳng cần tìm là 1 4 3 1 4 2 1 4 x 1 2 4 11 S x d x x d x x x . 0 1 3 3 3 0 6 3 1 6
  27. Câu 70. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3x2 , cung tròn có phương trình y 4 x2 (với 0 x 2 ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng y 2 O 2 x 4 3 4 3 4 2 3 3 5 3 2 A. .B. . C. . D. . 12 6 6 3 Hướng dẫn giải Chọn B y 2 O 1 2 x Phương trình hoành độ giao điểm của parabol y 3x2 và cung tròn y 4 x2 (với 0 x 2 ) là x2 1 2 2 2 4 4 x 3x 4 x 3x 4 x 1 (vì 0 x 2 ). x2 3 Cách 1: Diện tích của H là 1 2 2 3 1 3 S 3x2dx 4 x2 dx x3 I I với I 4 x2 dx . 0 0 1 3 3 1 Đặt: x 2sint , t ; dx 2cost.dt . 2 2 Đổi cận: x 1 t , x 2 t . 6 2 2 2 2 2 3 I 4 4sin2 t.2cost.dt 4cos2 t.dt 2 1 cos2t .dt 2x sin 2t 2 . 6 3 2 6 6 6 3 3 2 3 4 3 Vậy S I . 3 3 3 2 6 Cách 2: Diện tích của H bằng diện tích một phần tư hình tròn bán kính 2 trừ diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung tròn, parabol và trục Oy . 1 Tức là S 4 x2 3x2 dx . 0 y 3x2 Câu 71. Gọi S là diện tích giới hạn bởi các đường: .Tìm m để diện tích S=4? y mx A. m=6B. m=-6 C. m= 6 D. Không tồn tại m Hướng dẫn giải Chọn C
  28. x 0 Xét phương trình 3x2 = mx m x 3 y 3x2 Xét m>0 khi đó diện tích giới hạn bởi các đường: là: y mx m m 0 3 3 2 3 2 2 mx 3 m S 3x mxdx mx 3x dx x 0 0 2 m 54 3 m3 S 4 4 m 6 54 y 3x2 Xét m<0 khi đó diện tích giới hạn bởi các đường: là: y mx m 0 0 3 2 3 2 2 mx 3 m S 3x mxdx mx 3x dx x m 0 2 m 54 3 3 m3 S 4 4 m 6 54 Vậy m 6 Câu 72. Cho (P) y x2 1 và (d) y mx 2 . Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn (P) và (d) đạt giá trị nhỏ nhất ? 1 3 A. B. C. 1D. 0 2 4 Hướng dẫn giải Chọn D Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình: x2 mx 1 0, 0 m2 4 0m Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 m Theo định lý Viet kết hợp yêu cầu: x1x2 1 x1 x2 Ta có: x2 x2 S (mx 2 x2 1)dx (mx 1 x2 )dx x1 x1 x mx2 x3 2 mx 2 x 3 mx 2 x 3 ( x) 2 2 x 1 1 x 2 3 2 3 2 2 3 1 x1 2 2 m 1 2 2 m 2 (x2 x1) 1 (m 1) m 4 2 3 6 3 S có GTNN khi m 0 . Câu 73. Với giá trị nào của m thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : y x2 2x và (d) : mx m 0 bằng 27 đơn vị diện tích A. m 1 B. m 2 C. m  D. m ¡ Hướng dẫn giải
  29. Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 x 0 x 2x mx x 2 m x 0 x 2 m 0 2 m 3 2 2 m 2 m 2 2 x 2 mx S x 2x mxdx x 2x mx dx x 0 0 3 2 0 m3 6m2 12m 8 27 Do đó m 1. Câu 74. Tích diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc) trong hình sau y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x 8 10 11 7 A. S .B. S .C. S .D. S . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B y g(x) = x 2 f(x) = x O 2 4 x y x Dựa và hình vẽ, ta có hình phẳng được giới hạn bởi các đường: y x 2 . y 0 2 4 10 Suy ra S xdx x x 2 dx . 0 2 3 Câu 75. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x 3 và đường thẳng y 5 . 5 45 27 21 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn C
  30. + Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x3 3x 3 5 x3 3x 2 0 x 2 . x 1 1 27 Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S x3 3x 2dx . 2 4 Câu 76. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x ; y 2x 2 và trục hoành. Tính diện tích của H . 5 16 10 8 A. .B. . C. . D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm : x 1 x 1 2x 2x 2 x 2 . 2 2 2x 2x 2 4x 10x 4 0 2 x 2 0 x 1 . 2x 0 x 0 . Đồ thị: 1 2 5 Diện tích hình H : S S S 2xdx 2x 2x 2 dx D1 D2 0 1 3 Câu 77. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và đồ thị hàm số y x x2 . 81 9 37 A. S 13.B. S .C. S .D. S . 12 4 12 Hướng dẫn giải Chọn D x 2 Ta có 3 2 3 2 x x x x x x 2x 0 x 0 x 1 0 1 37 Ta có S x3 x2 2x dx x3 x2 2x dx . 2 0 12 x 1 Câu 78. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số H : y và các trục tọa độ. x 1 Khi đó giá trị của S bằng A. S ln 2 1 (đvdt).B. S 2ln 2 1 (đvdt).C. S 2ln 2 1 (đvdt).D. S ln 2 1 (đvdt). Hướng dẫn giải
  31. Chọn B x 1 Đồ thị hàm số y cắt trục hoành tại điểm 1;0 . x 1 1 1 1 x 1 x 1 2 1 Ta có S dx dx 1 dx x 2ln x 1 2ln 2 1. 0 0 x 1 0 x 1 0 x 1 Câu 79. Tính diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y x3 12x và y x2 . 343 793 397 937 A. S B. S C. S D. S 12 4 4 12 Hướng dẫn giải Chọn D Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình; x 4 3 2 3 2 x 12x x x 12x x 0 x 3 x 0 0 4 Ta có S x3 12x x2 dx x3 12x x2 dx 3 0 0 4 99 160 937 x3 12x x2 dx x3 12x x2 dx . 3 0 4 3 12 Câu 80. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi C : y x , y x 2 và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của H bằng y C 2 O 2 4 x d 10 16 7 8 A. .B. . C. .D. . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x và y x 2 : x 2 x 2 x x 2 x 4. 2 2 x x 2 x 5x 4 0 Diện tích hình phẳng H là 2 4 3 3 2 4 2 4 2x 2 2x 2 x2 10 S xdx x x 2 dx xdx x x 2 dx 2x . 0 2 0 2 3 3 2 3 0 2 Câu 81. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x và tiếp tuyến với đồ thị tại M 4,2 và trục hoành là 8 3 1 2 A. . B. . C. .D. . 3 8 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A 1 Gọi d là phương trình tiếp tuyến của hàm số y x tại M 4,2 d : y x 1. 4
  32. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , d và trục Ox là 0 1 4 1 8 S x 1 dx x 1 x dx . 4 4 0 4 3 Câu 82. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 và y x 2 là 9 9 8 A. S 9 .B. S .C. S .D. S . 4 2 9 Hướng dẫn giải Chọn C 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm là x x 2 . x 2 2 2 3 2 2 x x 9 Ta có S x x 2 dx 2x . 3 2 2 1 1 Câu 83. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 4x 3 , y x 3 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng y 8 3 O 1 3 5 x 37 109 454 91 A. .B. . C. .D. . 2 6 25 5 Hướng dẫn giải Chọn B Diện tích của H là 5 5 S x2 4x 3 x 3 dx x 3 x2 4x 3 dx 0 0 5 1 3 5 2 2 2 x 3 dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx x 4x 3 dx 0 0 1 3 5 1 3 5 2 3 3 3 x x 2 x 2 x 2 3x 2x 3x 2x 3x 2x 3x 2 3 3 3 0 0 1 3 55 4 4 20 109 . 2 3 3 3 6 Câu 84. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2x2 và y 5x 2 . 5 5 9 9 A. S .B. S .C. S .D. S . 4 8 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y 2x2 và y 5x 2 : 1 2x2 5x 2 0 x hoặc x 2 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là
  33. 2 2 9 9 S 2x2 5x 2 dx 2x2 5x 2 dx . 1 1 8 8 2 2 Câu 85. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y x2, y x. 1 5 1 1 A. S . B. S . C. S . D. S . 6 6 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x x 0  x 1 1 1 Diện tích hình phẳng là S x2 x dx 0 6 Câu 86. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y e , y ex và y 1 e x 1 (tham khảo hình vẽ bên). y e y e y ex 1 O x Diện tích hình phẳng H là e 1 3 e 1 1 A. S .B. S e . C. S . D. S e . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y ex với đường thẳng y e là ex e x 1. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y ex với đường thẳng y 1 e x 1 là ex 1 e x 1 x 0 . Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị y e với đường thẳng y 1 e x 1 là e 1 e x 1 x 1. 0 1 Diện tích hình phẳng H là S e 1 e x 1 dx e ex dx 1 0 0 2 0 1 1 e x 1 e 1 e 1 e x 1 dx e ex dx e 1 x ex ex . 2 0 2 1 0 1 Cách 2: Xem x là hàm theo biến y. 1 Hình phẳng H giới hạn bởi các đường x ln y , x y 1 , y 1, y e . 1 e e 1 e 1 e Diện tích hình H là S ln y y 1 dy ln ydy y 1 dy 1 1 e 1 1 e 1 e e Tính A ln ydy y ln y y 1 1 1 e 1 e 1 y2 1 e2 1 1 e Tính B y 1 dy y e 1 e 1 e 2 1 e 2 2 2 1 1
  34. 1 e e 1 Vậy S 1 . 2 2 Câu 87. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 2x và đường thẳng y x . 9 11 27 17 A. .B. .C. .D. . 2 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn A 2 x 0 Ta có: x 2x x . x 3 3 3 9 Diện tích hình phẳng cần tìm bằng S x2 2x x dx x2 3x dx . 0 0 2 Cho số dương a thỏa mãn hình phẳng giới hạn bởi các đường parabol y ax2 2 và Câu 88. y 4 2ax2 có diện tích bằng 16. Giá trị của a bằng 1 1 A. 2 .B. .C. .D. 1. 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C 2 Xét phương trình: ax2 2 4 2ax2 3ax2 6 0 x . a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y ax2 2 và y 4 2ax2 là 2 2 a a 8 2 S 3ax2 6 dx 3ax2 6 dx . 2 2 a a a 8 2 1 Theo giả thiết S 16 16 a . a 2 Câu 89. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 và y x5 bằng 1 A. 0 .B. 4 .C. .D. 2 . 6 Hướng dẫn giải Chọn C x 0 Phương trình hoành độ giao điểm x5 x3 x 1. x 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x5 và y x3 bằng 1 0 1 1 S x5 x3 dx x5 x3 dx x5 x3 dx . 1 1 0 6 Câu 90. Cho hình H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 4x 4, đường cong y x3 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình H .
  35. 11 7 20 11 A. S .B. S .C. S .D. S . 2 12 3 2 Hướng dẫn giải Chọn B Parabol y x2 4x 4 có đỉnh I 2;0 . Phương trình hoành độ giao điểm của y x2 4x 4 và y x3 là x3 x2 4x 4 0 x 1. Câu 91. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ln x 1 , đường thẳng y 1 và trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng A. e 2.B. e 1.C. 1.D. ln 2 . Hướng dẫn giải Chọn C Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số y ln x 1 và đường thẳng y 1 là ln x 1 1 x e 1. e 1 Diện tích của H là S ln x 1 dx . 0 1 e 1 u ln x 1 du dx e 1 Đặt x 1 . Khi đó S x 1 ln x 1 dx e e 1 1. 0 dv dx 0 v x 1 x2 x2 Câu 92. Hình phẳng H giới hạn bởi parabol y và đường cong có phương trình y 4 . 12 4 Diện tích của hình phẳng H bằng 2 4 3 4 3 4 3 4 3 A. .B. . C. . D. . 3 6 6 3 Hướng dẫn giải Chọn A
  36. y O1 x x2 x2 x2 x4 Phương trình hoành độ giao điểm là 4 4 4 12 4 144 x4 x2 x2 12 4 0 x4 36x2 576 0 x 2 3 . 2 144 4 x 48 2 3 x2 x2 1 2 3 2 3 x2 Diện tích hình phẳng H là S 4 dx 16 x2 dx dx . 4 12 2 12 2 3 2 3 2 3 2 3 2 Xét I 16 x dx . Đặt x 4sin t , với t ; dx 4costdt . 2 3 2 2 Với x 2 3 t 3 Với x 2 3 t 3 3 3 3 Khi đó: I 16 16sin2 t.4cost dt 16cos2 t dt 8 1 cos 2t dt 3 3 3 1 3 16 8 t sin 2t 4 3 . 2 3 3 2 3 1 16 x3 8 24 3 24 3 8 4 3 2 4 3 Vậy: S 4 3 2 3 2 3 . 2 3 36 3 36 3 3 3 2 3 x2 Câu 93. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình tròn C :x2 y2 8 và parabol P ; y chia 2 S1 hình tròn thành hai phần. Gọi S1 là diện tích phần nhỏ, S2 là diện tích phần lớn. Tính tỉ số ? S 2 S 3 2 S 3 2 S 3 2 S 3 1 A. 1 .B. 1 .C. 1 .D. 1 . S2 9 2 S2 9 2 S2 9 2 S2 9 1 Hướng dẫn giải Chọn A x2 y2 8 1 Giao điểm của P và C là nghiệm của hệ phương trình x2 y 2 2 x4 x2 4 2 1 x2 8 x4 4x2 32 0 x 2 Thay vào ta được: 2 4 x 8 L x2 Phần nhỏ giới hạn bởi các đường y ; y 8 x2 ; x 2; x 2 nên ta có: 2
  37. 2 2 2 2 2 2 x 2 x S1 8 x dx 8 x dx dx 2 2 2 2  2  A B 2 Tính A 8 x2 dx 2 Đặt x 2 2 sint dx 2 2 costdt . Đổi cận: x 2 t ; x 2 t . 4 4 4 4 4 4 2 2 1 A 8 8sin t.2 2 costdt 8 cos tdt 4 1 cos 2t dt 4 t sin 2t 2 4 . 2 4 4 4 4 2 x2 8 B dx . 2 2 3 4 4 S 2 S R2 S 6 . 1 3 2 1 3 S 3 2 Vậy 1 . S2 9 2 Câu 94. Tính diện tích hình phẳng giới han bởi các đường y x2 2 và y x 13 7 11 A. .B. .C. . 3 D. . 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B 2 Phương trình hoành độ giao điểm x2 2 x x x 2 0 x 1 x 1 . 1 1 Diện tích hình phẳng là: S x2 2 x dx x2 2 x dx 1 1 0 1 x2 2 x dx x2 2 x dx 1 0 0 1 x3 x2 x3 x2 7 7 7 2x 2x . 3 2 3 2 6 6 3 1 0 Câu 95. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn y 2 x2 và đường thẳng d đi qua hai điểm A 2;0 và B 1;1 ( phần tô đậm như hình vẽ) 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 A. .B. .C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D
  38.  Ta có d đi qua B 1;1 có VTCP u AB 1 2;1 ( VTPT là n 1;1 2 Suy phương trình tổng quát của d : 1 x 1 1 2 y 1 0 x 1 2 y 2 0 1 2 y x 1 2 1 2 Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là 1 1 2 1 1 1 2 S 2 x2 x dx 2 x2 dx x dx A B 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x2 2 1 1 2 Ta có B x dx x 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 Xét tích phân A 2 x2 dx 2 Đặt x 2 sin t dx 2 cos tdt ; Đổi cận: x 2 t . x 1 t . 2 4 4 4 2 1 4 3 1 Khi đó A 2cos tdt 1 cos2t dt t sin 2t 2 4 2 2 2 2 3 1 1 2 3 2 2 Vậy S . 4 2 2 2 4 3 Câu 96. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 và đường Elip có phương trình 2 x2 y2 1 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng 4 2 3 2 3 3 A. .B. . C. .D. . 6 3 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A x2 x2 Ta có y2 1 y 1 . 4 4 Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong nửa trên của Elip và Parabol là 2 2 x 1 x 3 2 4 2 x 1 1 x 3x x 4 0 4 . 4 2 x2 x 1 3 Suy ra diện tích hình phẳng H cần tính là
  39. 1 x2 3 1 1 3 S 1 x2 dx 4 x2 dx . H 4 2 2 3 1 1 1 1 6 6 Xét I 4 x2 dx , đặt x 2sin t ta được I 4 4sin2 t 2cost dt 2cos2 t dt 2 1 6 6 6 sin 2t 6 3 1 cos 2t dt t . 2 3 2 6 6 3 3 2 3 Do đó S . H 3 2 3 6 1 x2 3 Chú ý: Ta có thể bấm máy S 1 x2 dx rồi so sánh kết quả với các phương án. H 4 2 1 Câu 97. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 1 và y k,0 k 1. Tìm k để diện tích của hình phẳng H gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc trong hình vẽ bên. A. k 3 4. B. k 3 2 1. 1 C. k . 2 D. k 3 4 1. Chọn D Do đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng nên yêu cầu bài toán trở thành: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 1 x2 , y k, x 0 bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y 1 x2 , y x2 1, y k, x 0. 1 k 1 1 k 1 x2 k dx k 1 x2 dx k x2 1 dx. 0 1 k 1 1 1 1 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 3 3 3 1 1 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 3 3 2 4 3 1 k 1 k 1 k 2 k 3 4 1. 3 3
  40. Câu 98. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  3;3. Biết rằng diện tích hình phẳng S1 , S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x và đường thẳng y x 1 lần lượt là M , m. Tính tích 3 phân f x dx bằng 3 A. 6 m M .B. 6 m M . C. M m 6 .D. m M 6 . Hướng dẫn giải Chọn D 1 1 1 1 x2 1 M S1 x 1 f x dx x 1 dx f x dx x f x dx 2 Ta có 3 3 3 3 3 . 3 3 3 3 3 x2 3 m S f x x 1 dx f x dx x 1 dx f x dx x f x dx 6 2 2 1 1 1 1 1 1 . 1 3 1 3 S S f x dx f x dx 6 M m 6 f x dx f x dx 1 2 3 1 3 1 3 3 M m 6 f x dx f x dx m M 6 3 3 Câu 99. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x và nửa đường tròn có phương trình y 4x x2 (với 0 x 4 ) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của H bằng y x O 2 4 4 15 3 8 9 3 10 9 3 10 15 3 A. .B. . C. .D. . 24 6 6 6 Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 x 0 Ta có 4x x x x 3x 0 . x 3 3 3 3 Vậy diện tích hình phẳng H là S 4x x2 x dx 4x x2 dx xdx 0 0 0
  41. 3 4 x 2 2 dx 2 3 . 0 Đặt x 2 2sin t ,t ; dx 2costdt . Khi x 0 t ; x 3 t . 2 2 2 6 6 6 2 6 Suy ra S 2 1 sin t.2costdt 2 3 2 1 cos 2t dt 2 3 2t sin 2t 2 3 . 2 2 2 1 Câu 100. Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol y x2 2x , cung tròn có phương trình 2 y 16 x2 , với ( 0 x 4 ), trục tung (phần tô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích của hình D . y 4 y 16 x2 x O 4 1 2 y x 2x 2 16 16 16 16 A. 8 .B. 2 .C. 4 .D. 4 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn D 4 2 1 2 Diện tích hình phẳng D là S 16 x x 2x dx . 0 2 4 Xét tích phân I 16 x2 dx 0 Đặt x 4sin t , t ; . 2 2 2 2 2 2 1 1 Khi đó I dt 16 16sin t.4costdt 16 cos tdt 16 t sin 2t 4 . 0 0 2 2 4 4 1 2 1 3 2 16 J x 2x dx x x . 0 2 6 0 3 16 Vậy S 4 . 3 Câu 101. Cho Parabol P : y x2 và hai điểm A , B thuộc P sao cho AB 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất bằng 2 3 4 3 A. .B. .C. .D. . 3 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn C
  42. y B A O x Cách 1: Gọi A a;a2 , B b;b2 với a b . 2 Ta có: AB 2 b a 2 b2 a2 4 x a y a2 x a y a2 AB : b a b2 a2 1 b a y a b x a a2 y a b x ab b b S a b x ab x2 dx x a b x dx a a Đặt t x a . Suy ra: b a b a 3 b a b a b a t 2 t3 b a S t b a t dt b a t t 2 dt 2 3 6 0 0 0 0 Ta có: 2 2 2 2 2 4 b a b2 a2 4 b a 1 b a 4 b a 4 2 1 a b 3 b a 23 4 Suy ra: b a 2 S . 6 6 3 a b 0 b 1 Dấu “ ” xảy ra khi và chi khi A 1;1 ; B 1;1 . b a 2 a 1 4 Vậy giá trị lớn nhất của AB bằng . 3 Chú ý: Khi làm trắc nghiệm ta có thể dự đoán (linh cảm:D) a , b đối nhau, nghĩa là: a b 0. Từ 2 đó, thay vào b a 2 b2 a2 4, tìm được a 1, b 1. Suy ra: A 1;1 ; B 1;1 . 1 4 Viết phương trình: AB : y 1. Từ đó: S 1 x2 dx . 1 3 Hoặc cũng linh cảm, đặc biệt hóa AB song song với Ox , từ đó cũng tìm được a b 0. Cách 2: Sử dụng công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi P : y ax2 bx c và d : y mx n . Đầu tiên ta lập phương trình hoành độ giao điểm của P và d : ax2 bx c mx n ax2 b m x c n 0 . 3 2 Khi đó diện tích hình phẳng là: S 2 , với b m 4a c n . 36a4 Áp dụng: Tương tự, ta có AB : y a b x ab , a b . PTHĐGĐ: x2 a b x ab x2 a b x ab 0 , có b a 2 . 6 3 3 b a b a Suy ra: S 2 S và đánh giá như cách 1. 36 36 6
  43. x4 Câu 102. Cho hàm số y 2m2 x2 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ 2 thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoành qua 64 điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng là 15 2  1  A.  .B. 1 .C. ; 1 . D. ; 1 . 2  2  Hướng dẫn giải Chọn B Tập xác định D ¡ x 0 3 2 2 2 y 2x 4m x 2x x 2m ; y 0 x 2m x 2m Đồ thị của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu m 0 1 Vì a 0 nên hàm số đạt cực đại tại x 0 suy ra điểm cực đại của đồ thị hàm số là A 0;2 2 Đường thẳng cùng phương với trục hoành qua điểm cực đại có phương trình là d : y 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của Cm và d là: x 0 x4 x2 0 2m2 x2 2 2 x 2 m 2 2 2 x 4m x 2 m Diện tích hình phẳng cần tìm là: (chú ý rằng hàm số đã cho là hàm chẵn) 2 m 4 2 m 4 2 m 4 x 2 2 x 2 2 x 2 2 S 2m x dx 2 2m x dx 2 2m x dx 2 m 2 0 2 0 2 5 x 2 2 3 2 m 64 5 2 m x m 10 3 0 15 64 m 1 Ta có S m 1 15 m 1 Câu 103. Cho khối trụ có hai đáy là hai hình tròn O; R và O ; R , OO 4R . Trên đường tròn O; R lấy hai điểm A , B sao cho AB a 3 . Mặt phẳng P đi qua A , B cắt đoạn OO và tạo với đáy một góc 60 , P cắt khối trụ theo thiết diện là một phần của elip. Diện tích thiết diện đó bằng 4 3 2 2 3 2 2 3 2 4 3 2 A. R .B. R .C. R .D. R . 3 2 3 4 3 4 3 2 Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Gọi diện tích cần tìm là S , diện tích của hình này chiếu xuống đáy là S . Ta có: S S.cos60. Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ.
  44. OA2 OB2 AB2 1 2 Trong AOB ta có: cos ·AOB ·AOB . 2.OA.OB 2 3 4 Suy ra: sđ ¼AOB lớn . 3 4 1 2 2 3 Do đó S S S 3 . R2 sin R2 R2 quatAOB AOB 2 2 3 3 4 S 2 3 2 4 3 2 Vậy S 2 R R cos60 3 4 3 2 OA2 OB2 AB2 1 R Cách 2: Ta có: cos ·AOB ·AOB 120 OH . 2.OA.OB 2 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Suy ra: phương trình đường tròn đáy là x2 y2 R2 y R2 x2 . Hình chiếu của phần elip xuống đáy là miền sọc xanh như hình vẽ. R 2 2 2 3 2 Ta có S 2 R x dx. Đặt x R.sin t S R . R 3 4 2 Gọi diện tích phần elip cần tính là S . S 4 3 2 Theo công thức hình chiếu, ta có S 2 S R . cos60 3 2 Cách 3: Gọi I, H, K, E là các điểm như hình vẽ.
  45. * Ta có: I·HO 60 3R2 R2 R R 3 OH OH 2 OB2 BH 2 R2 OH OI OH.tan 60 , IH R , 4 4 2 2 cos60 IE OK IOH : EKH nên ta có: 2 IE 2R . IH OH * Chọn hệ trục tọa độ Ixy như hình vẽ ta có elip E có bán trục lớn là a IE 2R và E đi qua R 3 x2 y2 A R; nên E có phương trình là E : 1. 2 2 2 4R R 2R x2 2R x2 * Diện tích của thiết diện là S 2 R 1 dx 2R 1 dx 2 2 R 4R R 4R 2R x2 * Xét tích phân: I 1 dx , đặt x 2R.sin t; t ; ta được 2 R 4R 2 2 2 2 R R sin 2t 2 3 4 3 2 S R I 1 cos 2t dt t R . 2 2 2 3 8 3 4 6 6 Câu 104. Cho parabol P : y x2 và một đường thẳng d thay đổi cắt P tại hai điểm A , B sao cho AB 2018. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và đường thẳng d . Tìm giá trị lớn nhất Smax của S. 20183 1 20183 20183 1 20183 A. S .B. S . C. S .D. S . max 6 max 3 max 6 max 6 Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử A(a;a2 ) ; B(b;b2 )(b a) sao cho AB 2018. Phương trình đường thẳng d là: y (a b)x ab . Khi đó b b 1 3 S (a b)x ab x2 dx a b x ab x2 dx b a . a a 6 2 2 2 2 Vì AB 2018 b a b2 a2 20182 b a 1 b a 20182 . 3 3 2 2018 2018 b a 20182 b a b a 2018 S . Vậy S khi a 1009 và 6 max 6 b 1009 .
  46. Câu 105. Cho parabol P : y x2 và hai điểm A , B thuộc P sao cho AB 2 . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng AB . 3 4 3 5 A. .B. . C. . D. . 2 3 4 6 Hướng dẫn giải Chọn B y y=x2 B A 1 x O Gọi A a;a2 và B b;b2 là hai điểm thuộc P sao cho AB 2 . Không mất tính tổng quát giả sử a b . 2 2 2 2 AB 2 b a b2 a2 4 b a b a 1 4 Theo giả thiết ta có nên . Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B là y b a x ab . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng AB ta có b 3 b x2 x3 b a S a b x ab x2 dx a b abx . 2 3 6 a a 2 2 b a b a 1 4 b a b a 2 b a 2 1 1 Mặt khác nên do . 3 b a 23 4 Vậy S . Vậy S . 6 6 max 3
  47. Dạng 4:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường cong (>2 đường cong) Câu 106. Cho parabol P : y x2 2 và hai tiếp tuyến của P tại các điểm M 1;3 và N 2;6 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi P và hai tiếp tuyến đó bằng 9 13 7 21 A. .B. . C. .D. . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình tiếp tuyến tại M 1;3 là d1 : y 2x 1. Phương trình tiếp tuyến tại N 2;6 là d2 : y 4x 2 . 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và d : 2x 1 4x 2 x . 1 2 2 1 2 2 9 Vậy S x2 2 2x 1 dx x2 2 4x 2 dx . 1 1 4 2 Câu 107. Cho H là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có 10 x khi x 1 phương trình y x x2 , y . Diện tích của H bằng? 3 x 2 khi x 1 y O 1 2 3 x 1 11 13 11 14 A. .B. . C. .D. . 6 2 2 3 Hướng dẫn giải Chọn B Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y x và y x 2 là x x 2 x 1. Diện tích hình phẳng cần tính là 1 3 10 2 10 2 S x x x dx x x x 2 dx . 0 3 1 3 1 3 13 2 7 2 S x x dx x x 2 dx 0 3 1 3 1 3 13 2 7 2 S x x dx x x 2 dx 0 3 1 3 1 3 3 3 13 2 x 7 2 x 13 S x x 2x . 6 3 6 3 2 0 1 Câu 108. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn x2 y2 1 bằng? 1 1 A. .B. .C. 1.D. 1. 4 2 2 2 4 Hướng dẫn giải Chọn A
  48. x 1 khi x 1 y x 1 . 1 x khi x 1 x2 y2 1 y 1 x2 do chỉ tính nửa trên của đường tròn nên ta lấy y 1 x2 . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 1 và nửa trên của đường tròn x2 y2 1 là phần tô màu vàng như hình vẽ. Cách 1: Diện tích hình phẳng trên là: 1 1 1 1 S . R2 .1.1 ( diện tích hình tròn – diện tích tam giác vuông cân) 4 2 4 2 4 Cách 2: Diện tích hình phẳng trên là: 1 1 1 1 2 2 2 x 1 S 1 x 1 x dx 1 x dx x 1 dx I1 x I1 . 2 2 0 0 0 0 1 Tính I 1 x2 dx . 1 0 Đặt x sin t , t ; ; dx cost.dt . 2 2 Đổi cận x 0 t 0 ; x 1 t . 2 1 2 2 2 2 1 cos 2t I 1 x2 dx 1 sin2 t .cost.dt cost cost.dt cos2 t.dt dt 1 0 0 0 0 0 2 1 sin 2t 2 t . 2 2 0 4 1 Vậy S . 4 2 Câu 109. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2x , y x2 , y 1 trên miền x 0, y 1 là 1 1 5 2 A. .B. .C. . D. . 2 3 12 3 Hướng dẫn giải Chọn C Cách 1: y Ta có: y 2x x ; y x2 x y (do x 0 ). 2 Suy ra: 1 y 5 S y dy (Bấm máy trực tiếp hoặc xét dấu bỏ ) 0 2 12
  49. Cách 2: 2 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm: x 2x x 2x 0 . x 2 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: x 1 . x 1 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 1 x . 2 Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là 1 2 1 3 1 3 1 2 2 2 x x 5 S 2x x dx 1 x dx x 2 x 1 . 3 3 12 0 1 0 2 2 Câu 110. Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường y 4 x2 , y 2 , y x có diện tích là S a b. . Chọn kết quả đúng: A. a 1, b 1.B. a b 1. C. a 2b 3.D. a2 4b2 5. Hướng dẫn giải Chọn D y 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x Các phương trình hoành độ giao điểm: x 0 x 0 * 4 x2 x 2 2 4 x x x 2 . * 4 x2 2 x 0 . * x 2 . 2 2 2 2 2 Diện tích cần tính là: S 2 4 x2 dx 2 x dx 2dx 2 x dx 4 x2 dx 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2x 2x 4 x dx 2 2 3 2 2 4 x dx 3 4 x dx . 0 2 2 0 0 0
  50. Đặt x 2sin t dx 2costdt . Đổi cận: x 0 t 0; x 2 t . 4 2 4 4 4 Ta có 4 x2 dx 4 4sin2 t.2costdx 4cos2 tdx 2 1 cos 2t dx 0 0 0 0 1 4 1 2 t sin 2t 2 1. 2 0 4 2 2 1 Vậy S 3 1 2 . . 2 2 1 Theo kí hiệu của bài toán ta suy ra a 2 , b . Do đó mệnh đề đúng là a2 4b2 5. 2 1 27 Câu 111. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 ; y = x2 ; y = bằng 27 x A. 27ln 2 B. 27ln 3 C. 28ln 3 D. 29ln 3 Hướng dẫn giải x2 27 x2 27 Xét các pthđgđ x2 - = 0 Þ x = 0; x2 - = 0 Þ x = 3; - = 0 Þ x = 9 27 x 27 x Suy ra 3 æ x2 ö 9 æ27 x2 ö ç 2 ÷ ç ÷ S =òçx - ÷dx +òç - ÷dx = 27ln 3 0 è 27 ø 3 è x 27 ø Câu 112. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y x2 6x 12 và các tiếp tuyến tại các điểm A 1;7 và B 1;19 . 1 2 4 A. .B. .C. .D. 2. 3 3 3 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có y 2x 6 . Gọi tiếp tuyến tại điểm A 1;7 là d1 Suy ra d1 : y y 1 x 1 7 4x 11. Gọi tiếp tuyến tại điểm B 1;19 là d2 Suy ra d2 : y y 1 x 1 19 8x 11. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d1 và parabol là x2 6x 12 4x 11 x 1.
  51. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d2 và parabol là x2 6x 12 8x 11 x 1. Ta có phương trình hoành độ giao điểm giữa d2 và d1 là 4x 11 8x 11 x 0. Vậy diện tích hình phẳng cần tính là 0 1 1 1 2 S x2 6x 12 8x 11 dx x2 6x 12 4x 11 dx . 1 0 3 3 3 2 Câu 113. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y 2x ; y x ; y 1 trên miền x 0 ; y 1 1 1 5 2 A. .B. .C. . D. . 3 2 12 3 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Phương trình hoành độ giao điểm x2 1 x 1; 2x 1 x . 2 Hình phẳng cần tính được tạo từ hai hình H1 và H2 y 2x 1 2 2 2 5 Trong đó H1 y x S1 2x x dx . 24 1 0 x 0; x 2 y 1 1 2 2 5 Và H2 y x S2 1 x dx . 24 1 1 x ; x 1 2 2 5 5 5 Vậy diện tích hình phẳng cần tính là S S S . 1 2 24 24 12 Câu 114. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng a y =8x, y = x và đồ thị hàm số y = x3 là . Khi đó a +b bằng b A. 68 B. 67 C. 66 D. 65 Hướng dẫn giải Ta có éx = 0 éx = 0 8x - x = 0 Þ x = 0;8x - x3 = 0 Þ ê ; x - x3 = 0 Þ ê ê ëx = 2 2 ëêx =1
  52. 1 2 2 63 Nên S =ò(8x - x)dx +ò (8x - x3) dx = 0 1 4 x2 Câu 115. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y =1, y = x và đồ thị hàm số y = 4 a trong miền x ³ 0, y £ 1là . Khi đó b - a bằng b A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Ta có x2 x2 x - 1 = 0 Þ x =1; x - = 0 Þ x = 0;1- = 0 Þ x = 2 4 4
  53. 1 æ 2 ö 2 æ 2 ö ç x ÷ ç x ÷ 5 Nên S =òçx - ÷dx +òç1- ÷dx = 0 è 4 ø 1 è 4 ø 6 Câu 116. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị P : y x2 4x 5 và các tiếp tuyến của P tại A 1;2 và B 4;5 . 9 4 9 5 A. .B. .C. .D. . 4 9 8 2 Hướng dẫn giải Chọn A Ta có y 2x 4 . Tiếp tuyến của P tại A và B lần lượt là y 2x 4 ; y 4x 11. 5 Giao điểm của hai tiếp tuyến là M ; 1 . 2 Khi đó, dựa và hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm là:
  54. 5 2 4 9 S x2 4x 5 2x 4 dx x2 4x 5 4x 11 dx . 1 5 4 2 Câu 117. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y ln x , y 1, y 1 x . 3 1 1 3 A. S e .B. S e .C. S e .D. S e . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A y y = ln x y = 1 1 O 1 e x y = 1 x 1 e x2 1 e e Ta có S 1 1 x dx 1 ln x dx x 1 ln x xd 1 ln x 0 1 2 0 1 1 e 1 1 1 e 1 3 1 x. dx x e 1 e . 2 1 x 2 1 2 2 Câu 118. Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y 8x a , y x và đồ thị hàm số y x3 là phân số tối giản . Khi đó a b bằng b A. 62 .B. 67 . C. 33 .D. 66 . Hướng dẫn giải Chọn B 28 y 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 x 1 -1 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -2 1 2 3 4 5 -3 -4 Ta có
  55. x 0 3 x 8x loại x 2 2 x 2 2 3 x 0 x x loại x 1 x 1 2 2 1 2 2 1 2 4 2 4 3 3 8x x x x 1 63 Suy ra S 8x x dx x x dx 16 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 Khi đó a b 67 . Câu 119. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x2 4x 3 P và các 3 tiếp tuyến kẻ từ điểm A ; 3 đến đồ thị P . Giá trị của S bằng 2 9 9 9 A. 9.B. .C. .D. . 8 4 2 Hướng dẫn giải Chọn C y 1 x O A 3 2 Giả sử là đường thẳng đi qua A ; 3 và có hệ số góc k , khi đó : y k x 3. 2 3 Để đường thẳng là tiếp tuyến với đồ thị hàm số y x2 4x 3 thì hệ phương trình 2x 4 k 1 có nghiệm 2 3 x 4x 3 k x 3 2 2 2 3 2 x 0 Thay (1) vào (2) ta được x 4x 3 2x 4 x 3 x 3x 0 . 2 x 3 Với x 0 thì k 4 , khi đó phương trình tiếp tuyến là y 4x 3 . Với x 3 thì k 2 , khi đó phương trình tiếp tuyến là y 2x 9 . Diện thích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x2 4x 3 và hai tiếp tuyến y 4x 3 và y 2x 6 là 3 3 2 3 2 3 S x2 4x 3 4x 3 dx x2 4x 3 2x 6 dx x2dx x2 6x 9 dx 0 3 0 3 2 2 3 3 3 x3 2 x 3 9 . 3 0 3 3 4 2 Câu 120. Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho parabol P : y x2 và hai đường thẳng y a , y b 0 a b (hình vẽ). Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng y a
  56. (phần tô đen); S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P và đường thẳng y b (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1 S2 ? A. b 3 4a .B. b 3 2a . C. b 3 3a . D. b 3 6a . Hướng dẫn giải Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P : y x2 với đường thẳng y b là x2 b x b . Phương trình hoành độ giao điểm của parabol P : y x2 với đường thẳng y a là x2 a x a . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng y b là b b 3 2 x b b 4b b S 2 b x d x 2 bx 2 b b . 3 3 3 0 0 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 và đường thẳng y a (phần tô màu đen) là a a 3 2 x a a 4a a S1 2 a x d x 2 ax 2 a a . 3 3 3 0 0 4b b 4a a 3 3 Do đó S 2S 2. b 2 a b 3 2 a b 3 4a . 1 3 3 Câu 121. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x và trục hoành. Hai đường thẳng y m và y n chia H thành 3 phần có diện tích bằng nhau (tham khảo hình vẽ). Giá trị biểu thức T 4 m 3 4 n 3 bằng 320 75 512 A. T .B. T .C. T .D. T 450 . 9 2 15 Hướng dẫn giải
  57. Chọn A Sử dụng công thức: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y ax2 bx c và trục hoành 3 bằng S , với a 0 và b2 4ac 0. 6a2 2 x 0 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành x 4x 0 . x 4 4 32 Diện tích hình H là S x2 4x dx . 0 3 2 Từ đó, diện tích S1 giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x và đường thẳng y m là 3 3 16 4m 1 S 1 S . 1 6a 6 3 2 diện tích S2 giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4x và đường thẳng y n là 3 3 16 4n 2 S 2 S . 2 6a 6 3 3 2 16 4m 3 1 64 32 4 m 3 6 9 4 3 Từ đó 3 2 3 1 128 16 4n 64 4 n 3 6 9 4 3 3 3 320 Suy ra T 4 m 4 n . 9 x2 27 Câu 122. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 , y , y . 8 x 63 63 63 A. . B. 27ln 2 .C. 27ln 2. D. 27ln 2 . 8 8 4 Hướng dẫn giải Chọn C Xét phương trình hoành độ giao điểm: 27 x2 x2 27 x2 x 3 ; x2 x 0 ; x 6. x 8 8 x 3 x2 6 27 x2 Ta có : S x2 dx dx . HP 0 8 3 x 8 3 6 x3 x3 x3 63 63 SHP 27ln x 27ln 2 27ln 2 . 3 24 24 8 8 0 3
  58. Câu 123. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 3 2 , trục tung và trục hoành. Gọi k1 , k2 k1 k2 là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A 0;9 và chia H làm ba phần có diện tích bằng nhau. Tính k1 k2 . 13 25 27 A. .B. 7 .C. .D. . 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi d1 : y k1x 9 , d2 : y k2 x 9 k1 k2 . 9 9 9 9 Gọi M d1 Ox M ;0 ; N d2 Ox N ;0 k1 k2 k2 k1 Giao điểm của P : y x 3 2 với hai trục tọa độ lần lượt là C 3;0 , A 0;9 . 9 18 Theo giả thiết ta có S AON S ANM OM 2ON k2 2k1 . k1 k2 3 2 1 243 27 Lại có S 3S x 3 dx 3. .OA.ON 9 k . H AON 2 0 2 2k2 2 27 27 Suy ra k k k . 1 4 1 2 4 Câu 124. Tính diện tích S của hình phẳng H được giới hạn bởi các đồ thị d1 : y 2x 2 , x d : y 1, P : y x2 4x 3 . 2 2 189 13 487 27 A. S .B. S .C. S .D. S . 16 3 48 4 Hướng dẫn giải Chọn A
  59. 1 x 9 x Phương trình hoành độ giao điểm: 1 x2 4x 3 x2 x 2 0 2 2 2 x 4 2 2 x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 x 4x 3 x 6 x 5 0 x 5 x 3 Phương trình hoành độ giao điểm: 2x 2 1 x 3 0 x 2 2 2 Diện tích của hình phẳng H : 2 x 5 2 2 S 1 x 4x 3 dx 2x 2 x 4x 3 dx 1 2 2 2 1 5 1 5 3 3 2 9 2 x 9 2 x 2 189 x x 2 dx x 6 x 5 dx x 2x 3x 5x . 2 3 4 1 3 16 1 2 2 2 2
  60. Dạng 5:Diện tích S giới hạn bởi các đường: - Đồ thị của x g y , x h y , h y liên tục trên đoạn c,d . - Hai đường thẳng x c, x d d S g y h y dy c Câu 125. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2 - 2y +x = 0, x + y = 0 là 9 9 7 11 A. B. C. D. 4 2 2 2 Hướng dẫn giải Biến đổi về hàm số theo biến số y là x = - y2 +2y, x = - y Xét pt tung độ giao điểm (- y2 +2y) - (- y) = 0 có nghiệm y = 0, y = 3 3 3 9 Vậy S =ò - y2 +3y dy =ò(- y2 +3y) dy = 0 0 2 Câu 126. Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là 8 11 7 10 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải éy = - 1 2 10 Ta có y2 = y +2Û ê , Nên S =ò(y +2 - y2 )dy = ëêy = 2 0 3