Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Lý thuyết

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Lý thuyết

1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức 1.1. Hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d a 0 TRƯỜNG HỢP a 0 a 0 / Phương trình y 0 có y y 2 nghiệm phân biệt 1 1 O x 1 1 O x y Phương trình y/ 0 có y nghiệm kép 1 1 1 O x 1 O x / Phương trình y 0 vô y y nghiệm 1 O 1 1 x 1 O x 1.2. Hàm số trùng phương y ax4 bx2 c a 0 x 0 +) Đạo hàm: y ' 4ax3 2bx 2x 2ax2 b , y ' 0 2 2ax b 0 +) Để hàm số có 3 cực trị: ab 0 a 0 - Nếu hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu b 0 a 0 - Nếu hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu b 0 +) Để hàm số có 1 cực trị ab 0 a 0 - Nếu hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại b 0 a 0 - Nếu hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu b 0 TRƯỜNG HỢP a 0 a 0
2. / Phương trình y 0 y y có 3 nghiệm phân biệt (ab<0) 1 1 1 1 O x O x / Phương trình y 0 y y có 1 nghiệm. 1 1 1 O x 1 O x ax b 1.3. Hàm số nhất biến y c 0, ad bc 0 cx d d  +) Tập xác định: D R \  c  ad bc +) Đạo hàm: y 2 cx d - Nếu ad bc 0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4. - Nếu ad bc 0hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3. d a +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x và TCN: y c c d a +) Đồ thị có tâm đối xứng: I ; c c D ad bc 0 D ad bc 0 2. Một số phép biến đổi đồ thị 2.1. Dạng 1 Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x . f x khi x 0 Ta có: y f x f x khi x 0 và y f x là hàm chẵn nên đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng.
3. *8 Cách vẽ C từ C : • Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị C : y f x . • Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của C , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy. Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x3 3x suy ra y 3 đồ thị C : y x 3 x . y 2 Biến đổi C : -1 O 1 C : y x3 3x x 1 • Bỏ phần đồ thị của C bên trái Oy, -1 O x giữ nguyên C bên phải Oy. -2 -2 • Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy . 3 C : y x 3 x 2.2. Dạng 2 Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị C : y f x . f x khi f x 0 Ta có: y f x f x khi f x 0 * Cách vẽ C từ C : • Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C): y f x . • Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. 3 3 y Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3x suy ra đồ C : y yx 3x 3 3 2 thị y x 3x . C : y 2 x 3x Biến đổi C : 1 -1 O x • Bỏ phần đồ thị của C dưới Ox, giữ -2 -1 O 1 x nguyên C phía trên Ox. • Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox . Chú C ý: vớiy dạng:x 3 3 yx f x ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y f x và y f x 3 Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x x 3x suy ra đồ y thị y x 3 3 x . Biến đổi C để được đồ thị 2 C : y x 3 3 x . Biến đổi C : y x 3 3 x ta được đồ thị C : y x 3 3 x . -1 O 1 x 2.3. Dạng 3 Từ đồ thị C : y u x .v x suy ra đồ thị C : y u x .v x . u x .v x f x khi u x 0 Ta có: y u x .v x u x .v x f x khi u x 0
4. * Cách vẽ C từ C : • Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u x 0 của đồ thị C : y f x . • Bỏ phần đồ thị trên miền u x 0của C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. Ví dụ a) Từ đồ thị C : y f x 2x3 3x2 1 suy ra đồ x b) Từ đồ thị C : y f x suy ra đồ thị thị C : y x 1 2x2 x 1 x 1 x C : y x 1 f x khi x 1 x 2 khi x 1; y x 1 2x x 1 x x 1 f x khi x 1 y .Đồ thị x 1 x Đồ thị (C’): khi x ;1 • Giữ nguyên (C) với x 1. x 1 • Bỏ (C) với x 1. Lấy đối xứng phần đồ thị (C’): bị bỏ qua Ox. • Bỏ phần đồ thị của C với x 1, giữ y nguyên C với x 1. (C') • Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox. y 1 1 O 1 x O 1 x (C) Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy điểm với Ox, Oy, CĐ, CT đồ thị một cách tương đối chính xác.