Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Cực trị hàm số - Lý thuyết

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 12 - Cực trị hàm số - Lý thuyết

1. CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Định nghĩa Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói: • x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . • x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa x0 sao cho a;b  K và f x f x0 ,x a;b \ x0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f . • Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị. • Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải là một điểm trong tập hợp K. • Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. • Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x0 ; f x0 được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . * Nhận xét: • Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f x0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng a;b nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại ( cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng (a;b) chứa x0 sao cho f x0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng a;b . • Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tậpK . Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước. 2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì f x0 0. Chú ý: • Đạo hàm f x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 . • Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. • Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. 3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x0 0 . • Nếu trên khoảng x0 h; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x . • Nếu f x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x . 4. Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x . • Bước 2: Tìm các điểm xi i 1;2; mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
2. • Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f x . Nếu f x đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Định lí 3: Giả sử y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h; x0 h với h 0. Khi đó: • Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0. • Nếu f x0 0, f x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0. Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f x . • Bước 2: Tìm các nghiệm xi i 1;2; của phương trình f x 0. • Bước 3: Tính f x và tính f xi . Nếu f xi 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi . Nếu f xi 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi . MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y ax3 bx2 cx d. 1.1. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Bài toán tổng quát: 3 2 Cho hàm số y f x;m ax bx cx d. Tìm tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện K cho trước? Phương pháp: • Bước 1: Tập xác định: D ¡ . Đạo hàm: y 3ax2 2bx c Ax2 Bx C • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại và cực tiểu) y 0 y có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua 2 nghiệm đó phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt A 3a 0 a 0 m D . 2 2 2 1 y B 4AC 4b 12ac 0 b 3ac 0 • Bước 3: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình y 0. B 2b x x 1 2 A 3a Khi đó: . C c x .x 1 2 A 3a • Bước 4: Biến đổi điều kiện K về dạng tổng S và tích P . Từ đó giải ra tìm được m D2. • Bước 5: Kết luận các giá trị m thỏa mãn: m D1  D2. * Chú ý: Hàm số bậc ba: y ax3 bx2 cx d a 0 . Ta có: y ' 3ax2 2bx c. Điều kiện Kết luận b2 3ac 0 Hàm số không có cực trị.
3. b2 3ac 0 Hàm số có hai điểm cực trị. ➢ Điều kiện để hàm số có cực trị cùng dấu, trái dấu. ▪ Hàm số có 2 cực trị trái dấu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu A.C 3ac 0 ac 0. ▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0 y C P x1.x2 0 A ▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu dương phương trình y 0 có hai nghiệm dương phân biệt y 0 B S x1 x2 0 A C P x .x 0 1 2 A ▪ Hàm số có hai cực trị cùng dấu âm phương trình y 0 có hai nghiệm âm phân biệt y' 0 B S x1 x2 0 A C P x .x 0 1 2 A ➢ Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 x1 x2 x1 x2 ▪ Hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 x1 x2 0 x1.x2 x1 x2 0 ▪ Hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 x1 x2 0 x1.x2 x1 x2 0 x1 x2 2 x1 x2 2 ▪ Hai cực trị x1, x2 thỏa mãn x1 x2 2 x1 x2 0 x1.x2 x1 x2 0 x1 x2 2 x1 x2 2 ▪ Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng b d khi có 1 nghiệm là x , có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân khi có 1 nghiệm là x 3 . 3a a 1.2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm cùng phía, khác phía so với một đường thẳng Vị trí tương đối giữa 2 điểm với đường thẳng: Cho 2 điểm A xA; yA , B xB ; yB và đường thẳng : ax by c 0.
4. Nếu axA byA c axB byB c 0 thì hai điểm A, B nằm về hai phía so với đường thẳng . Nếu axA byA c axB byB c 0 thì hai điểm A, B nằm cùng phía so với đường thẳng . Một số trường hợp đặc biệt: • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị cùng dấu phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 2 phía đối với trục Oy hàm số có 2 cực trị trái dấu phương trình y 0 có hai nghiệm trái dấu • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về 1 phía đối với trục Ox phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yCn .yCT 0 Đặc biệt: • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía trên đối với trục Ox yCn .yCT 0 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yCn yCT 0 • Các điểm cực trị của đồ thị nằm cùng về phía dưới đối với trục Ox yCn .yCT 0 phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yCn yCT 0 • Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt và yCn .yCT 0 (áp dụng khi không nhẩm được nghiệm và viết được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số) Hoặc: Các điểm cực trị của đồ thị nằm về 2 phía đối với trục Ox đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt phương trình hoành độ giao điểm f x 0 có 3 nghiệm phân biệt (áp dụng khi nhẩm được nghiệm) 1.3. Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị 2c 2b2 bc y .y y .y g x x d hoặc g x y . hoặc g x y 3 9a 9a 18a 3y 1.4. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc 3 là 4e 16e3 b2 3ac AB với e a 9a 2. Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương y ax4 bx2 c, a 0 2.1. Một số kết quả cần nhớ • Hàm số có một cực trị ab 0. • Hàm số có ba cực trị ab 0. a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu . b 0 a 0 • Hàm số có đúng một cực trị và cực trị là cực đại . b 0 a 0 • Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại . b 0
5. a 0 • Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại . b 0 2.2. Một số công thức tính nhanh 4 2 b b Giả sử hàm số y ax bx c có 3 cực trị: A(0;c), B ; ,C ; 2a 4a 2a 4a tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện: ab 0 Đặt: B· AC y b3 Tổng quát: cot2 2 8a A O x B C Dữ kiện Công thức thỏa mãn ab 0;c 0 Tam giác ABC vuông cân tại A b3 8a Tam giác ABC đều b3 24a 3 2 5 Tam giác ABC có diện tích S ABC S0 32a (S0 ) b 0 5 Tam giác ABC có diện tích max(S0 ) b S 0 32a3 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp b2 r r r ABC 0 b3 4 a 1 1 8a Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp b3 8a R ABC R R 8 a b 2 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC m0 am0 2b 0 2 2 4 Tam giác ABC có độ dài AB AC n0 16a n0 b 8ab 0 Tam giác ABC có cực trị B,C Ox b2 4ac Tam giác ABC có 3 góc nhọn b(8a b3 ) 0 Tam giác ABC có trọng tâm O b2 6ac Tam giác ABC có trực tâm O b3 8a 4ac 0 Tam giác ABC cùng điểm O tạo thành hình thoi b2 2ac Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 8a 4abc 0 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 8a 8abc 0 Tam giác ABC có cạnh BC kAB kAC b3.k 2 8a(k 2 4) 0 Trục hoành chia tam giác ABC thành 2 b 4 2 ac hai phần có diện tích bằng nhau Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 8ac Đồ thị hàm số C : y ax4 bx2 c cắt trục Ox 100 b2 ac tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng 9
6. Định tham số để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 36 C : y ax4 bx2 c và trục hoành có diện tích b2 ac 5 phần trên và phần dưới bằng nhau. Phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC là: 2 2 2 2 x y c y c 0 b 4a b 4a