›
›
›

Tài liệu Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

doc 53 trang nhungbui22 12/08/2022 1870
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_giai_tich_lop_11_chuong_4_gioi_han.doc

Nội dung text: Tài liệu Giải tích Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn

  1. BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV
  2. MỤC LỤC BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV 1 CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 2 BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số 4 Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số 5 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn 5 Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy 6 Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số 7 Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa 10 Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực 11 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 11 BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ 20 Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 22 Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức 25 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên 26 Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên 26 Dạng 5. Tính giới hạn vô cực 28 0 Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 28 0 Dạng 7. Dạng vô định 30 Dạng 8. Dạng vô định ;0. 32 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 33 BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC 37 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm x0 37 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 40 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K 42 Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f x 44 Dạng 5. Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm 44 MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 49 ÔN TẬP CHƯƠNG 4 52
  3. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0 Dãy un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô cực, nếu mỗi số dương bé tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, un đều có thể nhỏ hơn một số dương đó. Ký hiệu: lim un 0 hay limun 0 hoặc un 0 limun 0  0,n0 ¥ ,n n0 un  (Ký hiệu “ limun 0 ” còn được viết “ limun 0 ”, đọc dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần đến dương vô n cực) Nhận xét: Từ định nghĩa ta suy ra rằng a) Dãy số un có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số un có giới hạn 0 b) Dãy số không đổi un , với un 0 có giới hạn 0 2. Các định lí * Định lí 1: Cho hai dãy số un và vn . Nếu un vn với mọi n và limvn 0 thì limun 0 * Định lí 2: Nếu q 1 thì lim qn 0 3. Định nghĩa dãy có giới hạn hữu hạn * Định nghĩa 1: Ta nói dãy vn có giới hạn là số L (hay vn dần tới L) nếu lim vn L 0 . n Ký hiệu: limvn L hay vn L Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ): limvn L  0,n0 ¥ ,n n0 vn L  4. Một số định lí * Định lí 1: Giả sử limun L . Khi đó 3 3 • lim un L và lim un L • Nếu un 0 với mọi n thì L 0 và lim un L * Định lí 2: Giả sử limun L và limvn M 0 , c là một hằng số. Ta có: un limun a lim un vn a b ; lim cun cL ; limun .vn limun .limvn ; lim ; vn limvn b 5. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội q thỏa mãn q 1 u • Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S u u u 1 1 2 n 1 q 6. Dãy có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn , nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Ký hiệu: limun hay un Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ):
  4. limun M 0,n0 ¥ ,n n0 un M 7. Dãy có giới hạn Định nghĩa: Ta nói dãy số un có giới hạn , nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó. Ký hiệu: limun hoặc un Ngoài ra ta cũng có thêm định nghĩa như sau (Ngôn ngữ  ): limun M 0,n0 ¥ ,n n0 un M Chú ý: Các dãy số có giới hạn và được gọi chung là dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực 8. Một vài quy tắc tính giới hạn vô cực un a) Nếu limun a và limvn thì lim 0 vn un b) Nếu limun a 0 và limvn 0 và vn 0 với mọi n thì lim vn Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại c) Nếu limun và limvn a 0 thì limunvn Tương tự ta lập luận các trường hợp còn lại B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn 0 của dãy số Phương pháp: limun 0 khi và chỉ khi un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. n 1 Ví dụ 1. Biết dãy số u thỏa mãn u với mọi n. Chứng minh rằng limu 0 n n n2 n Giải n 1 Đặt v n n2 n 1 Ta có limv lim 0 . Do đó, v có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi (1) n n2 n Mặt khác, theo giả thiết ta có un vn vn (2) Từ (1) và (2) suy ra un có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là limun 0 Ví dụ 2. Biết rằng dãy số un có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số vn với vn un cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng không? Hướng dẫn Vì un có giới hạn là 0 nên un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Mặt khác, vn un un . Do đó, vn cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy vn cũng có giới hạn là 0. (Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại cũng đúng). n Ví dụ 3. Vì sao dãy un với un 1 không có thể giới hạn là 0 khi n ?
  5. sin n Ví dụ 4. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng lim 0 n Hướng dẫn sin n 1 1 Ta có u 0  n ,n ¥ . Khi đó: n n n  0  0,n0 ¥ :n n0 un 0  . Vậy: limun 0 . Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm giới hạn 0 của dãy số Phương pháp: Ta dùng định lí 1 và 2 và một số giới hạn thường gặp 1 A  lim 0 (hay lim 0 ) n n 1 1  lim 0;lim 0 với k nguyên dương n nk  lim qn 0 nếu q 1 Ví dụ 1. a) Cho hai dãy số un và vn . Chứng minh rằng nếu limvn 0 và un vn với mọi n thì limun 0 b) Áp dụng kết quả câu a) để tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau: n 1 1 2 n 1 a) u b) u c) u n n! n 2n 1 n 1 2n2 n n d) un 0,99 cos n e) un 5 cos n Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: n 3n 1 2n 1 5n 1 4.3n 7n 1 2 3n a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim 3n 2n 5n 1 2.5n 7n 2 n 1 3n 1 Hướng dẫn và đáp số: Sử dụng công thức lim qn 0, q 1 1 a) 3 b) 1 c) 7 d) 3 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn Phương pháp: lim vn a lim vn a 0 n n 3n 2 Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 3 n 1 Hướng dẫn 1 1 1 1 u 3  n ; chọn n ,n ¥ . Khi đó: n n 1 n  0  0  0,n0 ¥ :n n0 un 3  . Vậy limun 3 1 n Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 1 1 n 3n 2 Ví dụ 3. Cho dãy u xác định bởi: u n n n 1
  6. 1 a) Tìm số n sao cho u 3 n 1000 b) Chứng minh rằng với mọi n 999 thì các số hạng của dãy un đều nằm trong khoảng 2,999;3,001 . Hướng dẫn 1 1 a) u 3 n 999 n n 1 1000 1 1 1 b) Khi n 999 u 3 3 u 3 2,999 u 3,001 n 1000 1000 n 1000 n 2n 1 BTTT: Cho dãy u xác định bởi: u n n n 2 1 a) Tìm số n sao cho u 2 n 100 b) Chứng minh rằng với mọi n 2007 thì các số hạng của dãy un đều nằm trong khoảng 1,998;2,001 Dạng 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm giới hạn dãy Phương pháp A A ▪ Ta thường sử dụng: lim 0 lim vn ;lim lim vn 0 n n vn vn ▪ Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì chia tử và mẫu cho nk với k là mũ cao nhất bậc ở mẫu ▪ Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. A B lượng liên hiệp là: A B A B lượng liên hiệp là: A B A B lượng liên hiệp là: A B 3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B 3 A B2 3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B 3 A B2 3n3 5n2 1 Ví dụ 1. Tính lim 2n3 6n2 4n 5 Giải 5 1 3 2 3 3n 5n 1 3 3 lim lim n n 3 2 n 6 4 5 2n 6n 4n 5 2 2 n n2 n3 2n2 1 5n Ví dụ 2. Tính lim 1 3n2 Giải 1 1 5 2 2n2 1 5n 2 0 lim lim n n n 0 2 1 1 3n 3 3 n2
  7. Ví dụ 3. Tính lim n2 7 n2 5 n2 7 n2 5 2 lim n2 7 n2 5 lim lim 0 n2 7 n2 5 n2 7 n2 5 Ví dụ 4. Tính lim n2 3n n2 Giải 3n 3 3 lim n2 3n n2 lim lim 2 2 3 2 n 3n n 1 1 n BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Tính các giới hạn sau: 2 2 4n n 1 n n 1 2 2 a) lim 2 b) lim 3 c) lim n 3 2n 2n 5 n 1 a nm a nm 1 a n a Tổng quát: Tính giới hạn: lim 0 1 m 1 m n p p 1 b0n b1n bp 1n bp XÐt p = m p Hướng dẫn: XÐt n > p . Chia cả tử và mẫu cho n , p là bậc cao nhất ở mẫu XÐt n < p Tính giới hạn sau: 3 2 2n4 n2 1 2 3n n 1 d) lim e) lim 2n 1 3 n n2 2 1 4n5 27 Đáp số: a) 2 b) 0 c) d) 1 e) 4 Bài 2. Tính các giới hạn: 2n4 n2 7 3n2 1 n2 1 3n2 14 n 3 2n3 n a) lim b) lim c) lim d) lim 2n2 n 3 n n 1 2n2 n 2 2 Đáp số: a) b) 3 1 c) 0 d) 3 2 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau: a) lim n 1 n b) lim n2 3n n 2 c) lim 3 n3 2n2 n 3 2n3 n 4n2 1 2n 1 d) lim e) lim f) lim n n2 1 n2 2 n 2 n2 2n n g) lim 3 n n3 n 2 Hướng dẫn và đáp số: Nhân lượng liên hiệp 7 2 1 3 a) 0 b) c) d) e) 1 f) g) 3 2 3 2 2
  8. Dạng 5. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm giới hạn, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số Phương pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là q 1. ➢ Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn un u S u u u 1 1 2 n 1 q ➢ Mọi số thập phân đều được biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 a a a an X N,a a a a N 1 2 3 1 2 3 n 10 102 103 10n I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Viết số thập phân m 0,030303 (chu kỳ 03) dưới dạng số hữu tỉ. Giải 3 3 3 3 3 1 100 m 3 3 100 3 3 n 1 100 10000 100 1 99 33 33 100 1 1 Ví dụ 2. Tính tổng S 2 2 1 2 2 Giải 1 2 1 1 Xét dãy: 2, 2,1, , là cấp số nhân q 2 ; q 1 2 2 2 2 2 2 2 Vậy S 4 2 2 1 1 2 1 2 II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Hãy viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng một phân số. 34,1212 (chu kỳ 12) Hướng dẫn và đáp số 1 12 12 12 1134 34,1212 34 34 12 100 2 n 1 100 100 100 1 33 100 Bài 2. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 1 2 1 1 1 a) S 1 b) S 4 16 4n 1 2 1 2 2 2 1 4 2 2 Hướng dẫn: a) q ;S b) q ;S 4 3 2 4 3 2 2 Bài 3. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng S 3 và công bội q . 3 n 1 2 4 2 Đáp số: Cấp số nhân lùi vô hạn đó là: 1; ; ; 3 9 3
  9. 1 Bài 4. Tìm cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng S 6 . Tìm hai số hạng đầu u u 4 1 2 2 u S 1 6 u 6 1 q 1 q 1 1 Hướng dẫn: 1 q 2 1 u1 1 q 4 u1 u1q 4 2 2 n 13 Bài 5. Giải phương trình sau: 2x 1 x2 x3 x4 x5 1 xn với x 1 6 Hướng dẫn: Dãy số x2 , x3 , x4 , x5 , , 1 n xn là một cấp số nhân với công bội q x . 1 7 ĐS: x ; x 2 9 Bài 6. a) Tính tổng S 1 0,9 0,9 2 0,9 3 0,9 n 1 b) Cho 0 . Tính tổng S 1 tan tan2 tan3 4 c) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số hữu tỉ a 0,272727 b) b 0,999999999 d) Cho dãy b  sin sin2 sin3 sinn với k . Tìm giới hạn dãy b . n 2 n Hướng dẫn: 1 a) S 10 1 0,9 1 b) S 1 tan 2 7 2 7 a 0 10 102 103 104 1 1 2 2 2 7 7 3 2 10 7 10 3 2n 1 2 4 1 1 10 10 10 10 10 1 1 11 102 102 9 1 b . 1 1 10 1 10 sin c) Cấp số nhân lùi vô hạn d) limb n 1 sin n sè h¹ng a aa aaa a Bài 9. Tính lim n 10n Hướng dẫn: Ta có n sè h¹ng n sè h¹ng   10 1 100 1 10n 1 a aa aaa a a 1 11 111 1 a 9 9 9
  10. 10 10n 1 9n a 81 a aa aaa a 10a 10n 1 9n 10a Vậy lim n n n 10 81 10 81 Dạng 6. Tìm giới hạn vô cùng của một dãy bằng định nghĩa Phương pháp ▪ limun khi và chỉ khi un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi ▪ limun lim un Ví dụ 1. Dùng định nghĩa giới hạn của dãy số. Chứng minh: n2 2 a) lim b) lim 3 1 n3 n 1 Hướng dẫn: a) Lấy số dương M lớn tùy ý. n2 2 n2 1 u n 1 M n M 1; n n 1 n 1 n2 2 Chọn n M 1,n ¥ . Khi đó: n n n M 1 u M . Vậy limu 0 0 0 n n 1 n b) Ta có: 1 n3 1 n n2 n 1 1 n;n ¥ Lấy số dương M lớn tùy ý. 3 3 3 3 3 3 un 1 n 1 n M n M 1; chọn n0 M 1,n0 ¥ 3 3 3 Khi đó: n n0 n M 1 un 1 n M . Vậy: limun Ví dụ 2. Cho dãy un thỏa mãn un n với mọi n. Chứng minh rằng limun Giải lim n vì vậy n lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Mặt khác un n nên un lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó. Vậy lim un n 2 Ví dụ 3. Biết dãy số un thỏa mãn un n với mọi n. Chứng minh rằng limun Giải Vì lim n2 nên n2 có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi 2 Mặt khác, theo giả thiết un n với mọi n, nên un cũng có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy limun . Ví dụ 4. Cho biết limun và vn un với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn vn . Hướng dẫn limun lim un vn un lim vn Vậy limvn Ví dụ 5. Cho dãy số un hội tụ, dãy vn không hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy un vn .
  11. Hướng dẫn: Kết luận dãy un vn không hội tụ Thật vậy: Xét dãy un vn , giả sử nó hội tụ nghĩa là lim un vn a và limun b Khi đó limun limvn a Vậy limvn a limun Vì limun b limvn a b Vậy vn là hội tụ, điều này không đúng. Vậy dãy un vn không hội tụ. Ví dụ 6. a) Cho hai dãy un và vn . Biết limun và vn un với mọi n Có kết luận gì về giới hạn của dãy vn khi n ? b) Tìm limvn với vn n! Hướng dẫn a) Vì limun nên lim un . Do đó, un có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác, vì vn un với mọi n nên vn un với mọi n. (2) Từ (1) và (2) suy ra vn có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Do đó, lim vn hay limvn . b) Xét dãy số un n . Ta có: n! n hay vn un với mọi n. Mặt khác limun lim n . Từ kết quả câu a) suy ra limvn lim n! Dạng 7. Tìm giới hạn của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vô cực Phương pháp Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của các dãy số un với 8 3 2 3 2 3 2 a) un n 50n 11; b) un 109n n ; c) un 105n 3n 27 ; d) un 8n n 2 Đáp số: a) ; b) ; c) ; d) Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các dãy số un với 3n n3 2n4 n2 7 2n2 15n 11 2n 1 1 3n a) un ; b) un ; c) un ; d) un 2n 19 3n 5 3n2 n 3 3 n3 7n2 5 Đáp số: a) ; b) ; c) ; d) Ví dụ 3. Tính các giới hạn 1 a) lim ; b) lim 2n2 3 n2 1 n2 2 n2 4 Ví dụ 4. Tính các giới hạn n n 1 n n n 1 3 11 2 3.5 3 a) lim 3.2 5 10 ; b) lim n ; c) lim n n 1 7.2 3.2 7.4
  12. Đáp số: a) ; b) ; c) ; MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} Dạng 1. Tính giới hạn của dãy số có quy luật Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau: n 1 2 3 n 1 2 3 n a) lim b) lim n n2 n 1 n n2 Hướng dẫn 1 n n n 2 n 1 2 3 n 2 n n n 1 a) lim lim lim n n2 n 1 n n2 n 1 n n2 n 1 2 2 1 b) 2 Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau 1 a a2 an n 1 3 2n 1 a) lim với a 1, b 1; b) lim 1 b b2 bn 2n2 n 1 Hướng dẫn 1 1 2n 1 n n 1 b n 1 3 2n 1 1 a) S lim 1 a b) S lim lim 2 n 1 1 a n 2n2 n 1 n 2n2 n 1 2 1 b 1 1 1 1 Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: lim n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 Hướng dẫn 1 1 1 1 Sử dụng: k k 1 k 2 2 k k 1 k 1 k 2 1 1 1 1 1 1 Vậy: 1.2.3 2.3.4 n. n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy lim lim n n 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 4 2 2 2 Ví dụ 4. Tính giới hạn lim 1 1 1 2.3 3.4 n 1 n 2 Hướng dẫn 2 k 1 k 2 Ta thấy: 1 k k 1 k k 1 2 2 2 2 Vậy: 1 1 1 1 2.3 3.4 k. k 1 n. n 1 1.4 2.5 k 1 k 2 n 1 n 2 1 n 3 = . 2.3 3.4 k k 1 n n 1 3 n 1
  13. 2 2 2 1 Vậy lim 1 1 1 n 2.3 3.4 n 1 n 2 3 Bài tập áp dụng: Tính các giới hạn sau 1 1 1 1 a) lim n 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 2.12 3.22 n 1 n2 b) lim n n4 1 1 1 c) lim n 2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 1 3 5 2n 1 d*) lim 2 3 n n 2 2 2 2 Hướng dẫn và đáp số 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Sn 1 1.3 3.5 5.7 2n 1 2n 1 2 3 3 5 2n 1 2n 1 1 1 1 1 nên lim Sn 2 2n 1 2 2 2 2 2 2 2 b) Ta có: Sn 2.1 3.2 n 1 n 1 1 1 2 1 2 n 1 n 2 3 3 3 2 2 2 n n 1 n n 1 2n 1 Sn 1 2 n 1 2 n 2 6 2 2 Sn n n 1 n n 1 2n 1 1 lim 4 lim 4 4 n 4n 6n 4 1 n 1 n n n 1 1 1 c) Ta có: n 1 n n n 1 n 1 2 n n2 n 1 n n 1 1 1 1 S n 2 1 2 3 2 2 3 n 1 n n n 1 1 1 1 1 1 1 =1 1 lim S 1 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 3 5 2n 1 d) Ta có: S n 2 22 23 2n 1 1 3 1 5 3 2n 1 2n 3 2n 1 Sn Sn 2 2 3 3 n n n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n 1 1 n 1 2n 1 1 1 2n 1 2 2 1 2 n 1 n 1 1 n 1 n 2 n 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2n 1 1 2n 1 Suy ra: S 1 S 3 2 n 2 2n 2 2n 1 n 2n 3 2n 2n
  14. n n 2 2 n Mặt khác: . Mà lim 0 lim 0 2n 1 1 n n 1 n n 1 n 2n Vậy lim Sn 3 n Dạng 2. Dùng nguyên lí kẹp Phương pháp Cho ba dãy số un , vn và wn . Nếu un vn wn với mọi n Và limun lim wn L L ¡ thì limvn L 1 2 n Ví dụ mẫu. Tính lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n Giải Ta thấy: 1 2 n 1 2 n 1 n2 1 n2 2 n2 n n2 n 2 1 2 n 1 2 n n n 1 Và n2 1 n2 2 n2 n n2 1 n2 1 n2 1 2 n2 1 1 1 2 n n n 1 Vậy 2 n2 1 n2 2 n2 n 2 n2 1 n n 1 1 Mà lim n 2 n2 1 2 1 2 n 1 Vậy lim 2 2 2 n n 1 n 2 n n 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Tính giới hạn của các giới hạn sau: n 1 1 3sin n 4cos n n sin n a) lim b) lim c) lim n 2 3n n n 1 n 3n 4 n sin 2n cos 2n 1 3n2 1 1 1 d) lim e) lim 2 f) lim n 3n 1 n cos n 5n n n2 1 n2 2 n2 n Hướng dẫn và đáp số n n 1 1 1 1 1 1 * a) 0 0 ,n ¥ . Đs: 0 2 3n 2 2 3n 2 5 5 b) u . Đs: 0 n 1 n n 1 n 1 n sin n n 1 1 c) 1 sin n 1 . ĐS: 3n 4 3n 4 3n 4 3 d) Tương tự câu b 1 cos n 1 1 1 cos n e) 2 2 2 . Ta có: lim 2 lim 2 0 lim 2 0 n n n n n n
  15. 1 n n 2 3 1 3n 2 3 Nên: lim lim n 2 cos n cos n 5n 5 5 n2 1 1 1 1 1 1 f) un n2 n n2 n n2 n n2 1 n2 1 n2 1 n n n n un . Ta có: lim lim 1 n2 n n2 1 n2 n n2 1 Dạng 3. Chứng minh một dãy số có giới hạn Phương pháp 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ: • Nếu dãy số un tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn • Nếu dãy số un giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1: ➢ Đặt limun a ➢ Từ limun 1 lim f un ta được một phương trình theo ẩn a ➢ Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy un là một trong các nghiệm của phương trình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn của dãy cần tìm. Còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm. ➢ Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất. * Phương pháp 2: ➢ Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách dự đoán. ➢ Chứng minh công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học ➢ Tính giới hạn của dãy thông qua công thức tổng quát đó I. Các ví dụ mẫu u1 2 Ví dụ 1. Chứng minh dãy un bởi công thức truy hồi un 1 2 un víi n 1 Chứng minh dãy có giới hạn, tìm giới hạn đó. Ta có: u1 2 và un 1 2 un ,un 0 với n ¥ ❖ Ta chứng minh: un 2 với n ¥ (1) Với n 1, ta có u1 2 2 thì (1) đúng Giả sử bất đẳng thức đúng với n k thì uk 2 Vậy un 2,n ¥ ❖ Chứng minh dãy un tăng: 2 Xét un 1 un 2 un un un un 2 0 1 un 2
  16. Mà 0 un 2 nên un 1 un . Vậy un là dãy tăng (2) Từ (1) và (2) suy ra un có giới hạn ❖ Đặt lim un a thì 0 a 2 n Ta có: un 1 2 un lim un 1 lim 2 un n n a 2 a a2 a 2 0 a 1 hoặc a 2 Vì un 0 nên lim un a 0 . Vậy lim un 2 n n Lưu ý: Trong lời giải trên, ta đã áp dụng tính chất sau: “Nếu lim un a thì lim un 1 a ” n n u1 2 Ví dụ 2. Cho dãy un bởi công thức truy hồi 1 . u 2 n 1 un Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Giải Ta có: 1 3 2 1 4 3 1 5 n 1 u 2;u 2 ;u ;u . Từ đó ta dự đoán: u (1) 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 n n Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp: - Với n 1, ta có: u1 2 (đúng) k 1 - Giả sử đẳng thức (1) đúng với n k k 1 , nghĩa là u . k k n - Vậy u ,n ¥ * n n 1 n 1 Từ đó ta có limu lim 1 n n 1 u 1 2 BTTT. Cho dãy u bởi công thức truy hồi n 1 un 1 nÕu n 1 2 un Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tìm giới hạn đó. n Hướng dẫn: limu lim 1 n n 1 * Ví dụ 3. Chứng minh dãy un được cho bởi công thức un sin n;n ¥ . Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn Giả sử lim un lim sin n a . Khi đó lim sin n 2 a lim sin n 2 sin n 0 n n n n 2 lim cos n 1 sin1 0 lim cos n 1 0 lim cos n 0 n n n Mặt khác: cos n 1 cos ncos1 sin nsin1. Suy ra lim sin n 0 n
  17. Suy ra: lim cos2 n sin2 n 0 , vô lý n Vậy dãy số un với un sin n không có giới hạn. II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Chứng minh dãy u với u 2 2 2 2 là dãy hội tụ. n n  n dÊu c¨n Hướng dẫn ❖ Bước 1: Chứng minh dãy un tăng ❖ Bước 2: Chứng minh un bị chặn trên u 0 1 Bài 2. Cho dãy truy hồi u 3 . Tìm giới hạn của dãy. u n 1 n 2 n 4 Hướng dẫn và đáp số u1 0 2 3 1 u2 1 4 4 2 15 1 u2 1 16 4 . . . n 1 1 un 1 4 n 1 1 bằng phương pháp quy nạp chứng minh un 1 4 n 1 1 Vậy lim 1 1 n 4 u 2 1 Bài 3. Cho dãy truy hồi u 1 . Chứng minh dãy un có giới hạn, tìm giới hạn đó. u n 1 n 2 n 2 Hướng dẫn và đáp số Cách 1 2n 1 1 Dự đoán u n 2n 1 2n 1 1 lim un lim 1 n n 2n 1 Cách 2 ➢ Chứng minh dãy giảm và bị chặn dưới lim un a , tìm a n
  18. a 1 ➢ Giả sử lim un lim un 1 a a 1 n n 2 lim u1 1 n Bài 4. u 2 1 a) Cho dãy truy hồi u 1 . Chứng minh dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó. u n n 1 n 1 2 0 u 1 n b) Cho dãy un xác định bởi: 1 . Chứng minh dãy un có giới hạn và tìm giới hạn u 1 u n 1 n 1 n 4 đó. Hướng dẫn và đáp số b) * Chứng minh un là dãy tăng và bị chặn trên Ta có: 0 un 1,n ¥ Áp dụng bất đẳng thức cauchy 1 u 1 u 2 u 1 u 2 1 u u ,n ¥ * n 1 n n 1 n 4 n 1 n Vậy un là dãy tăng và bị chặn trên thì un thì dãy có giới hạn * Đặt lim un a,a 0 n 2 1 1 1 1 1 Ta có: un 1 1 un lim un 1 1 un a 1 a a 0 a 4 n 4 4 2 2 1 Vậy lim un n 2 1 2 Bài 5. Cho dãy un xác định bởi un 1 un và u1 0 2 un a) Chứng minh rằng un 2 với mọi n 2 b) Chứng minh dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn và đáp số 1 2 * a) Ta có: u1 0,un 1 un un 0,n ¥ 2 un Áp dụng bất đẳng thức Cô si: 1 2 2 un 1 un un . 2,n 1,n ¥ 2 un un Suy ra un 2,n 2,n ¥ b) Ta có: un 2,n 2,n ¥ nên un là dãy bị chặn dưới 2 1 2 1 un * Xét un 1 un un un 1 0,n 2,n ¥ nên un 1 un ,n ¥ 2 un un 2
  19. * Đặt lim un a,a 2 . Ta có: n 1 2 1 2 1 2 2 a 2 un 1 un lim un 1 lim un a a a 2 2 u n n 2 u 2 a n n a 2 Vậy lim un 2 n * Bài 6. Chứng minh dãy un được cho bởi công thức un cos n;n ¥ . Chứng minh dãy không có giới hạn. Hướng dẫn lim un lim cos n a lim cos n 2 a lim cos n 2 cos n 0 Giả sử n n n n 2 lim sin n 1 sin1 0 lim sin n 1 0 lim sin n 0 n n n Mặt khác: sin n 1 sin ncos1 cos nsin1. Suy ra lim cos n 0 n Suy ra: lim cos2 n sin2 n 0 , vô lý n Vậy dãy số un với un cos n không có giới hạn Bài 7. Chứng minh các dãy sau hội tụ: 1 1 1 a) 1 ;n ¥ n 22 32 n2 1 1 1 b) 1 ;n ¥ n 22 32 nn Hướng dẫn a) Ta thấy 1 1 1 Dãy 1 là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn. n 22 32 n2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 22 32 n2 1.2 2.3 n 1 n n Vậy dãy hội tụ. b) 1 1 1 Dãy 1 là dãy tăng, ta chỉ cần chứng minh dãy bị chặn. n 22 32 nn 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n 22 32 nn 22 32 n2 Vậy dãy bị chặn trên nên hội tụ.
  20. BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Giới hạn hàm số tại một điểm a) Giới hạn hữu hạn Định nghĩa: Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y f x xác định trên K hoặc trên K \ x0. Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi x dần đến x0 nếu với dãy số xn bất kì, xn K \ x0 và xn x0 , ta có f xn L . Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x x0 x x0 lim f x L  xn , xn K \ x0,lim xn x0 lim f xn L x x0 b) Giới hạn vô cực Các định nghĩa về giới hạn (hoặc ) của hàm số được phát biểu tương tự các định nghĩa ở trên. Chẳng hạn, giới hạn của hàm số y f x khi x dần đến dương vô cực được định nghĩa như sau: Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; . Ta nói hàm số y f x có giới hạn là khi x nếu với mọi dãy số xn bất kì, xn a và xn , ta có: f xn . Kí hiệu: lim f x hay f x khi x x lim f x  xn , xn a,lim xn lim f xn x Nhận xét: lim f x lim f x x x * Các giới hạn đặc biệt: c 1. lim c c lim 0 với c là hằng số x x x 2. lim x x k nÕu k nguyªn d­¬ng 3. lim x x 0 nÕu k nguyªn ©m k nÕu k ch½n 4. lim x x nÕu k lÎ 2. Giới hạn hàm số tại vô cực Định nghĩa ▪ Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; . Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi và chỉ khi x nếu với mọi dãy số xn bất kì, xn a và xn ta có: f xn L . Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x x lim f x L  xn , xn a, lim xn lim f xn L x n n ▪ Cho hàm số y f x xác định trên khoảng ;a . Ta nói hàm số y f x có giới hạn là số L khi và chỉ khi x nếu với mọi dãy số xn bất kì, xn a và xn ta có: f xn L . Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x x
  21. Kí hiệu: lim f x L hay f x L khi x x lim f x L  xn , xn a, lim xn lim f xn L x n n 3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn Định lý 1: Giả sử lim f x L và lim g x M . Khi đó: x x0 x x0 * lim f x g x L M x x0 * lim f x .g x L.M x x0 f x L * lim (nếu M 0 ) x x0 g x M Định lý 2: Giả sử lim f x L và lim g x M . Khi đó: x x0 x x0 a) lim f x L x x0 b) lim 3 f x 3 L x x0 c) Nếu f x 0 và lim f x L thì: L 0 và lim f x L x x0 x x0 (Dấu của f x được xác định trên khoảng đang tìm giới hạn, với x x0 ) 4. Giới hạn một bên Định nghĩa 1: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng x0 ;b . Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y f x khi x x0 nếu với dãy số xn bất kì, x0 xn b và xn x0 ta có: f xn L . Kí hiệu: lim f x L x x0 lim f x L  x , x x b,lim x x lim f x L n 0 n n 0 n x x0 Định nghĩa 2: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a; x0 . Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y f x khi x x0 nếu với dãy số xn bất kì, a xn x0 và xn x0 ta có: f xn L . Kí hiệu: lim f x L x x0 lim f x L  x ,a x x ,lim x x lim f x L n n 0 n 0 n x x0 Nhận xét: lim f x L lim f x lim f x L x x0 x x0 x x0 5. Giới hạn vô cực Các định nghĩa lim f x ; lim f x ; lim f x ; lim f x , được phát biểu tương tự định x x0 x x0 x x0 x x0 nghĩa 1 và định nghĩa 2. 1 Định lý: Nếu lim f x thì lim 0 x x0 x x0 f x
  22. 6. Các quy tắc tính giới hạn vô cực a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f x .g x Nếu lim f x L 0 và lim g x (hoặc ) thì lim f x g x được tính theo quy tắc trong bảng sau: x x0 x x0 x x0 lim f x lim g x lim f x .g x x x0 x x0 x x0 L 0 L 0 f x b) Quy tắc tìm giới hạn của tích g x lim f x lim g x Dấu của g x f x x x0 x x0 lim x x0 g x L Tùy ý 0 L 0 0 L 0 Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x x0 , x x0 , x , x B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Dùng định nghĩa để tìm giới hạn Phương pháp 1. lim f x L  xn , xn K \ x0, lim xn x0 lim f xn L x x0 n n 2. Để chứng minh hàm số f x không có giới hạn khi x x0 ta thực hiện: Chọn hai dãy số khác nhau xn và yn thỏa mãn: xn , yn thuộc tập xác định của hàm số và khác x0 ▪ lim xn x0 , lim yn x0 n n ▪ Chứng minh lim f xn lim f yn hoặc một trong hai giới hạn đó không tồn tại n n x2 x 2 Ví dụ 1. Cho hàm số y . Dùng định nghĩa chứng minh rằng lim f x 3 . x 1 x 1 Giải Hàm số y f x xác định trên R \ 1 . Giả sử xn là dãy số bất kì xn 1 và xn 1 2 xn xn 2 xn 2 xn 1 lim f xn lim lim lim xn 2 3 xn 1 xn 1 2x2 x 3 BTTT: Cho hàm số: f x . Dùng định nghĩa chứng minh: lim f x 5 x 1 x 1
  23. x nÕu x 0 Ví dụ 2. Cho hàm số y f x . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số y f x không có 2 x nÕu x 0 giới hạn khi x 0 Giải 1  1 Xét dãy xn  0 0 n  n 1 lim f xn lim 0 (1) n n n 1  Xét dãy xn  khi n ; xn 0 n  1 lim f xn lim 2 2 (2) n n n Vậy với (1) và (2) hàm số không có giới hạn khi x 0 x nÕu x 0 BTTT: Cho hàm số: f x . Dùng định nghĩa chứng minh hàm số không có giới hạn khi 1 x nÕu x 0 x 0 1 Ví dụ 3. Cho hàm số f x cos . Dùng định nghĩa chứng minh rằng hàm số f x không có giới hạn khi x x2 dần đến 0. Hướng dẫn 1 Hàm số: f x cos xác định trên K R \ 0 x2 1 1 * Lấy dãy số xn K và lim xn 0;lim f xn limcos 2 limcos 2n 1 2 n xn 1 1 * Lấy dãy số yn K và lim yn 0;lim f yn limcos 2 limcos 2n 0 y 2 2 n n 2 Vậy hàm số không có giới hạn BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Dùng định nghĩa chứng minh các giới hạn sau x2 9 1 x 3 x3 1 a) lim 6 ; b) lim ; c) lim 4 ; d) lim 2 x 3 x 3 x 1 x2 1 x 5 3 x x x 1 Hướng dẫn 2 xn 9 a)  xn , xn 3,lim xn 3 lim 6 xn 3 1 b)  x , x 1; ,lim x 1 lim n n n 2 xn 1 xn 3 5 3 c)  xn , xn 3,lim xn 5 lim 4 3 xn 3 5
  24. 1 x x3 1 n x2 d)  x ,lim x lim n lim n n n 2 1 xn 1 1 2 xn Bài 2. x2 nÕu x 0 1. Cho hàm số f x . 2 x 1 nÕu x 0 a. Vẽ đồ thị hàm số f x . Từ đó dự đoán về giới hạn của f x khi x 0 . b. Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên. Hướng dẫn a) Dự đoán: Hàm số không có giới hạn khi x 0 1 1 b) Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là a ; và b n n n n 1 2. Cho hàm số f x sin . Chứng minh hàm số không có giới hạn khi x 0 . x2 Bài 3. a) Chứng minh rằng hàm số y sin x không có giới hạn khi x b) Giải thích bằng đồ thị kết luận câu a) Hướng dẫn: Xét hai dãy a với a 2n và b với b 2n n n n n 2 Bài 4. Cho hai hàm số y f x và y g x cùng xác định trên khoảng ;a . Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu lim f x L và lim g x M thì lim f x g x L.M x x x Hướng dẫn Giả sử xn là dãy bất kì thỏa mãn xn a và xn . Vì lim f x L nên lim f xn L x n Vì lim g x M nên lim g xn M . Do đó: lim f xn .g xn L.M x n n Từ định nghĩa suy ra: lim f x .g x L.M x Bài 5. Cho hàm số y f x xác định trên a; . Chứng minh rằng nếu lim f x thì luôn tồn tại ít x nhất một số c thuộc a; sao cho f c 0 . Hướng dẫn Vì lim f x nên với dãy số xn bất kì, xn a và xn ta luôn có lim f xn . x n Do đó lim f xn n Từ định nghĩa suy ra f xn có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nếu số dương này là 2 thì f xn 2 kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk a; sao cho f xk 2 hay f xk 2 0 Đặt c xk , ta có f c 0 Khoảng K, x0 K và hàm số f x xác định trên K \ x0.
  25. Bài 6. Chứng minh rằng nếu lim f x thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc K \ x0 sao cho f c 0 . x x0 Hướng dẫn Vì lim f x nên với dãy số xn bất kì, xn K \ x0 và xn x0 ta luôn có lim f xn . x x0 n Từ định nghĩa suy ra f xn có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nếu số dương này là 1 thì f xn 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại ít nhất một số xk K \ x0 sao cho f xk 1. Đặt c xk , ta có f c 0 Dạng 2. Tìm giới hạn của hàm số bằng công thức Phương pháp: Để tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định ta thực hiện: 1. Nếu f x là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì lim f x f x0 x x0 2. Áp dụng các định lý tính giới hạn và các quy tắc về giới hạn Ví dụ 1. Tính các giới hạn của các hàm số sau: x 1 x2 4 a) lim 2 x2 1 ; b) lim ; c) lim x 1 x 3 x 3 x 2 2x 2 Giải x 1 3 1 1 a) lim 2 x2 1 2 1 1 3 1; b) lim ; x 1 x 3 x 3 3 3 3 x2 4 0 c) lim 0 x 2 2x 2 4 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau a) lim x2 5 1 ; b) lim x3 5x2 10x 1 ; x 2 x 0 x2 5 1 sin6 x 5cos6 x c) lim ; d) lim 4 4 x 1 x 5 x 1 sin x cos x 2 Hướng dẫn và đáp số 3 a) 2 b) 1 c) 2 1 sin6 x 5cos6 x 1 1 5.0 d) f x xác định tại x nên lim f x 1 4 4 1 sin x cos x 2 x 1 1 0 2 Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số sau 3 x x2 1 x2 5 1 x a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim x 4 x 4 2 x 1 x 1 x 5 x 5 2 x 4 x 4 2 Đáp số 2 3 x a) Ta có: lim 3 x 1 0 và lim x 4 0 nên lim x 4 x 4 x 4 x 4 2 x2 1 b) lim ; c) ; d) x 1 x 1 Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
  26. 1 2 1 2 2 3 x 3 x x x 6 x x 6 a) lim x 2 ; b) lim 2 ; c) lim ; d) lim 3 2 ; e) lim 2 x 0 x 9 x 0 1 x 2 x 3 x 9x x 1 x 2x x 3x x 1 5 Đáp số: a) 3 ; b) ; c) 1 d) 0 ; e) 54 3 Ví dụ 5. Tìm các giới hạn sau 2x3 7x2 11 2x 1 2x 3 a) lim 6 5 ; b) lim x 3 2 ; c) lim x 3x 2x 5 x 3x x 2 x 2x2 3 6 Đáp số: a) 0; b) ; c) 2 3 Dạng 3. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn một bên Phương pháp lim f x L  x , x x b, lim x x lim f x L n 0 n n 0 n x x0 n n lim f x L  x ,a x x , lim x x lim f x L n n 0 n 0 n x x0 n n Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau 1 1 a) lim ; b) lim 2 x 2 x 2 x 1 x 3x 4 Ví dụ 2. Sử dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau a) lim 2x 4 ; b) lim 7 x 3x x 2 x 7 Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm giới hạn một bên Phương pháp lim f x lim f x L lim f x L x x0 x x0 x x0 I. Các ví dụ mẫu x2 2x 3 nÕu x 3 Ví dụ 1. Cho hàm số f x 1 nÕu x 3 2 3 2x nÕu x 3 Tính lim f x ; lim f x ;lim f x x 3 x 3 x 3 Hướng dẫn * lim f x lim 3 2x2 3 2.32 15 x 3 x 3 * lim f x lim x2 2x 3 33 2.3 3 6 x 3 x 3 * lim f x lim f x nên hàm số không có giới hạn khi x 3 x 3 x 3 Ví dụ 2. Cho hàm số f x 1 2x 6 . Tính lim f x ; lim f x ;lim f x x 3 x 3 x 3 Hướng dẫn 2x 6 nÕu x 3 Ta có: 2x 6 2x 7 nÕu x 3
  27. * lim f x lim 2x 5 2.3 5 1 x 3 x 3 * lim f x lim 2x 5 2.3 7 1 x 3 x 3 * lim f x lim f x 1 lim f x 1 x 3 x 3 x 3 Ví dụ 3. Cho hàm số: 1 3 nÕu x 1 f x x 1 x3 1 mx 2 nÕu x 1 Tìm giá trị của m để hàm số f x có giới hạn khi x 1. Tính giới hạn đó Giải 1 3 x2 x 2 * lim f x lim lim 3 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 lim lim 2 1 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x x 1 * lim f x lim mx 2 m 2 x 1 x 1 Hàm số f x có giới hạn thì lim f x lim f x 1 m 2 m 1 x 1 x 1 * Khi đó lim f x 1 x 1 Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau 2x x 9 x2 x2 5x 4 a) lim ; b) lim ; c) lim x 0 x 2 x x 3 6 2x x 4 16 x2 II. Bài tập rèn luyện Bài tập 1. x2 x 2 nÕu x 1 a) Cho hàm số f x x 1 . Tính lim f x ; lim f x ;lim f x x 1 x 1 x 1 2 x x 1 nÕu x 1 5 x b) Cho hàm số f x . Tính lim f x ; lim f x ;lim f x x 5 x 5 x 5 x 5 Đáp số: a) 3 b) lim f x 1; lim f x 1 x 5 x 5 x3 1 nÕu x 1 Bài tập 2. Cho hàm số f x x 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số f x có giới hạn x 1. mx 2 nÕu x 1 Bài tập 3. Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn tại x 1 1 2 víi x 1 f x x 1 x2 1 mx 5 víi x 1 Bài tập 4. Tìm giá trị của a để hàm số sau có giới hạn tại x 0
  28. sin x víi x 0 f x 3x a víi x 0 Đáp số: a 0 Bài tập 5. Tính các giới hạn sau x2 1 3x 6 3 x x a) lim ; b) lim ; c) lim x 1 x 1 x 2 x 2 x 0 2x x Dạng 5. Tính giới hạn vô cực Bài 1. Tìm giới hạn hàm số sau: 2x3 15 a) lim 4x2 x 1 b) lim x x 2 x 2 2 4x2 x 1 Đáp số: a) lim 4x2 x 1 lim b) x x 4x2 x 1 Bài 2. Tìm giới hạn hàm số sau: a) y f x 4x2 2x 5 khi x ; b) y f x 3x2 6x 1 khi x x 15 x 15 c) y f x khi x 2 ; d) y f x khi x 2 x 2 x 2 Đáp số: a) b) c) d) 0 Dạng 6. Tìm giới hạn của hàm số thuộc dạng vô định 0 Phương pháp 0 u x 1. Nhận dạng vô định : lim khi lim u x lim u x 0 0 x x0 v x x x0 x x0 2. Phân tích tử và mẫu thành các nhân tử và giản ước u x x x A x A x A x lim lim 0 lim và tính lim x x x x x x x x 0 v x 0 x x0 B x 0 B x 0 B x Nếu phương trình f x 0 có nghiệm là x0 thì f x x x0 .g x Đặc biệt: 2 ❖ Nếu tam thức bậc hai f x ax bx c , mà f x 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì f x được phân tích thành f x a x x1 x x2 ❖ Phương trình bậc 3: ax3 bx2 cx d 0 a 0 • a b c d 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-ner • a b c d 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 1, để phân tích thành nhân tử ta dùng phép chia đa thức hoặc dùng sơ đồ Hooc-nẻ 3. Nếu u x và v x có chứa dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, sau đó phân tích chúng thành tích để giản ước. A B lượng liên hiệp là: A B
  29. A B lượng liên hiệp là: A B A B lượng liên hiệp là: A B 3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B 3 A B2 3 A B lượng liên hiệp là: 3 A2 B 3 A B2 I. Các ví dụ mẫu x2 x Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: lim x 1 x 1 Giải x2 x x x 1 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4 x2 Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: lim x 2 x 7 3 Giải 4 x2 2 x 2 x x 7 3 lim lim x 2 x 7 3 x 2 x 2 lim 2 x x 7 3 4.6 24 x 2 II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau: 3 x2 2x 3 1 x 1 x3 x2 x 1 a) lim b) lim c) lim x 1 2x2 x 1 x 0 x x 1 x 1 x3 5x2 3x 1 x3 2x 4 d) lim e) lim x 1 x4 8x2 9 x 1 x2 2x 4 1 Đáp số: a) b) 3 c) 2 d) e) 5 3 5 Bài 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau: 4 x2 x 5 x 4 x 4 2 a) lim b) lim c) lim x 2 x 7 3 x 5 x 5 x 2 x 5 x x 2 x2 4 1 x 3 1 x d) lim e) lim f) lim x 5 4x 1 3 x 2 3 3x 2 2 x 0 x 1 9 1 Đáp số: a) 24 b) 2 5 c) d) e) 16 f) 3 8 6 Bài 3. Tính các giới hạn của hàm số sau: x 3 3 x 1 1 x x2 1 x x2 a) lim ; b) lim ; c) lim x 0 x x 1 3 x 1 x 0 x2 x x 9 x 16 7 3 x 7 5 x2 2 1 x 3 8 x d) lim e) lim f) lim x 0 x x 1 x 1 x 0 x 5 x 3 x2 7 x 1 2 g) lim h) lim x 0 x2 1 x 1 3 x 1
  30. 1 7 7 11 5 3 Đáp số: a) b) 3 c) 1 d) e) f) g) h) 2 3 24 12 12 12 2 2 Bài 4. Tính các giới hạn sau 3 x h x3 x2 a 1 x a x4 a4 a) lim ; b) lim ; c) lim ; h 0 h x a x3 a3 x a x a 3 2 x h 2x3 xn nx n 1 d) lim ; e) lim h 0 h x 1 x 1 2 Bài 5. Tính các giới hạn sau x3 x2 x 1 2x2 x 6 x4 x2 72 a) lim ; b) lim ; c) lim x 1 x2 3x 2 x 2 x3 8 x 3 x2 2x 3 x3 5x2 3x 9 x1992 x 2 d) lim ; e) lim x 3 x4 8x2 9 x 1 x1990 x 2 Bài 6. Tính các giới hạn sau 2 1 1 3 x 2 x 4 a) lim 2 ; b) lim 3 ; c) lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 1 x 5x 4 2 3 x 3x 2 Bài 7. Tính các giới hạn sau x 1 x2 x 1 x 3 2 2 x 2 4x 1 3 a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 x x 7 49 x2 x 2 x2 3x 2 x 2 x2 4 Bài 8. Tính các giới hạn sau x 1 x 4 3 x 9 x 16 7 3 x 1 x 4 3 a) lim b) lim c) lim x 0 x x 0 x x 0 x x 1 3 x 1 x 3 3 3x 5 3 8x 11 x 7 d) lim e) lim f) lim x 0 x x 1 x2 1 x 1 x2 3x 2 Dạng 7. Dạng vô định Phương pháp: 1. Nhận biết dạng vô định u x lim khi lim u x , lim v x x x0 v x x x0 x x0 u x lim khi lim u x , lim v x x v x x x0 x x0 2. Chia tử và mẫu cho xn với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước) 3. Nếu u x hoặc v x có chứa biến x trong dấu căn thì đưa xk ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lùy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu). I. Các ví dụ mẫu 3x3 5x Ví dụ 1. Tính giới hạn lim x 6x3 x2
  31. Giải 5 3 3 3x 5x 2 1 lim lim x x 3 2 x 1 6x x 6 2 x Ví dụ 2. Tính giới hạn sau lim 4x2 x 2x x Giải 2 2 4x x 2x 4x x 2x x lim 4x2 x 2x lim lim x x x 4x2 x 2x 4x2 x 2x 1 1 lim x 1 4 4 2 x II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tìm các giới hạn của các hàm số sau 2 2x3 3x 4 3x 1 5x 3 x4 7x2 x 5 a) lim b) lim c) lim x x3 x2 1 x 2x3 1 x 1 x 3 x 13 1 2 2 2 3 x 1 4x 1 x x 2 3x x 1 d) lim e) lim f) lim x x 2 x 1 2x 3 2x 3 4x 1 x 1 x2 3x 2 Đáp số x2 x 2 3x khi x : lim 4 1 x 4x2 1 x 1 a) 2 b) 0 c) d) e) 2 x2 x 2 3x 2 khi x : lim x 4x2 1 x 1 3 1 f) 5 Bài 2. Tính các giới hạn sau 2 5 1 2x 3x3 x 1 1 2x x2 2x 3 4x 1 a) lim 3 ; b) lim 7 ; c) lim x x 9 x x x 3 x 4x2 1 2 x 9x x 1 4x2 2x 1 x4 7x2 x 5 x2 2x 3 d) lim e) lim f) lim x x 1 x 3 x 13 x 3 x3 x 1 Đáp số: a) 3 ; b) 32 c) 5 khi x ; 1 khi x ; d) 1 khi x ; 1 khi x 1 1 e) khi x ; khi x f) 1 khi x ; 1 khi x 3 3 Bài 3. Tính các giới hạn sau: 2 2 2 x x 1 3x 2x 1 x 1 7x 2 a) lim ; b) lim c) lim x x2 x 1 x 5x 1 x2 2x x 2x 1 4
  32. 4x2 1 x2 3x 2x x2 x 2 3x 1 d) lim e) lim f) lim x 3x 1 x 3x 1 x 4x2 1 1 x Bài 4. Tính các giới hạn sau: 4x2 2x 1 2 x x2 2x 3 4x 1 x x 3 a) lim b) lim c) lim 2 x 9x2 3x 2x x 4x2 1 2 x x x 1 3 2 2 3 3 2 2 3 x3 2x2 x 3 x 2x x x 2x x x x x 1 x 1 d) lim e) lim f) lim x 2x 2 x 3x2 2x x x 2 x 1 Dạng 8. Dạng vô định ;0. Phương pháp: 1. Nếu biểu thức chứa biến số dưới dấu căn thì nhân và chia với biểu thức liên hợp 2. Nếu biểu thức chứa nhiều phân thức thì quy đồng mẫu và đưa về cùng một biểu thức 3. Thông thường, các phép đổi biến đổi này có thể cho ta khử ngay dạng vô định ;0. hoặc 0 chuyển về dạng vô định ; 0 Ví dụ 1. Tìm các giới hạn của hàm số sau: 1 1 2 a) lim 1 b) lim 4x x 2x x 0 x x 1 x x c) lim 2x 3 4x2 4x 3 d) lim x3 1 x 2 x 1 x 1 e) lim x2 2x 1 x2 7x 3 f) lim x2 1 3 x3 1 x x Đáp số: 1 a) 1 b) c) khi x : ĐS: 4 ; khi x : ĐS: d) 0 4 5 5 e) khi x : ĐS: ; khi x : ĐS: f) 0 2 2 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của hàm số sau a) lim x2 x x2 1 b) lim x2 8x 3 x2 4x 3 x x 3 3 2 2 c) lim x x x x d) lim x x x x x x Đáp số 1 1 a) khi x ; khi x ; b) 2 khi x ; 2 khi x 2 2 c) lim 3 x3 x2 x2 x lim 3 x3 x2 x x x2 x x x x2 x 1 1 5 lim x 3 2 2 3 3 2 2 2 3 2 6 3 x x x x x x x x x
  33. 1 1 x x x 1 d) lim x x x x lim lim x x x 1 1 2 x x x x 1 1 x x x II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tính các giới hạn sau a) lim 2x3 3x ; b) lim x2 3x 4 ; c) lim x2 x x x x x Bài 2. Tính các giới hạn sau a) lim x2 2x 4 x ; b) lim x 2 x 2 ; c) lim x2 4x 3 x2 3x 2 x x x Bài 3. Tính các giới hạn sau a) lim x x2 5 x ; b) lim 3x 2 9x2 12x 3 ; c) lim x2 3x 2 x 2 x x x Bài 4. Tính các giới hạn sau a) lim x2 3x 1 x 3 ; b) lim 3 x3 x2 x x ; c) lim 3 x3 2x 1 x2 3x x x x MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo} 0 Dạng 1. Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác (dạng vô định ) 0 Phương pháp: Vận dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số lượng giác thành dạng có thể sử dụng định lí: sin x sin u x u x lim 1 hoặc limu x 0 lim 1; lim 1 x 0 x x 0 u x 0 u x u x 0 sin u x Ví dụ 1. Tính các giới hạn của hàm số sau tan x sin x 1 sin 2x cos 2x 1 cos2 2x a) lim b) lim c) lim x 0 x3 x 0 1 sin 2x cos 2 x x 0 xsin x Hướng dẫn 1 x sin x 1 2sin xsin2 tan x sin x cos x a) lim lim lim 2 x 0 x3 x 0 x3 x 0 x3 cos x x sin2 sin x 2 1 1 2lim .lim 2 .lim x 0 x x 0 x x 0 cos x 2 2 1 sin 2x cos 2 x 2sin2 x sin 2x 2sin x sin x cos x b) lim lim lim 1 x 0 1 sin 2x cos 2x x 0 2sin2 x sin 2x x 0 2sin x sin x cos x 1 cos2 2x sin2 2x 4sin x cos2 x c) lim lim lim 4 x 0 xsin x x 0 xsin x x 0 x Ví dụ 2. Tính các giới hạn của hàm số sau: sin 3x 1 cos5xcos7 x cos12x cos10x a) lim b) lim c) lim x 0 1 2cos x x 0 sin2 11x x 0 cos8x cos6x Hướng dẫn và Đáp số
  34. sin 3x a) Xét hàm số f x , đặt x t 1 cos x 3 sin 3t sin 3t Lúc đó: f x f t 3 1 cost 3 sin t 1 2 cos cost sin sin t 3 3 sin 3t sin 3t 2 t t t t t t 1 sin 2 3 sin cos 2sin sin 3 cos 2 2 2 2 2 2 6t sin 3t . sin 3x sin 3t lim lim lim 2 3t 3 x 0 1 cos x t 0 t t t t 0 t t t 2sin sin 3 cos 2sin sin 3 cos 2 2 2 2 2 2 5x 2sin2 cos5x 1 cos7x 1 cos5x cos7x 1 cos5x cos5x cos5x cos7x b) lim lim lim 2 x 0 sin2 11x x 0 sin2 11x x 0 sin2 11x 25 5x 49 7x sin2 sin2 4 2 4 2 2 cos5x 2 5x 7x 5x 7x 2sin2 2cos5xsin2 2 2 lim 2 2 2lim x 0 sin2 11x x 0 sin2 11x 112 11x 2 25 49 37 2. 4 4 112 121 cos12x cos10x sin11x 11 c) lim lim x 0 cos8x cos6x x 0 sin 7x 7 II. Bài tập rèn luyện Bài 1. Tính các giới hạn sau 2 x 3 2x a) lim cot x b) lim c) lim tan 2x tan x x 0 sin 2x x 1 tan x 1 x 4 4 98 1 cos3x cos5x cos7x cos4 x sin4 x 1 sin sin x d) lim 2 e) lim f) lim x 0 83 sin 7x x 0 x2 1 1 x 0 x 2x 1 3 x2 1 cos x 3 cos x g) lim h) lim x 1 sin x x 0 sin2 x 7 1 1 Đáp số: a) 0 b) c) d) 1 e) 4 f) 1 g) 1 h) 4 2 12 Bài 2. Tính các giới hạn sau sin 5x 1 cos 2x cos x cos7x cos x cos3x a) lim b) lim c) lim d) lim x 0 3x x 0 x2 x 0 x2 x 0 sin2 x tan x sin x 1 3 sin 2x sin x 1 sin x cos 2x e) lim 3 f) lim x g) lim h) lim x 0 x x 0 sin x sin 3x x 0 3sin x x 0 sin x Dạng 2. Giới hạn kẹp
  35. Phương pháp: h x f x g x , x K \ x0, x0 K và lim h x lim g x L lim f x L x x0 x x0 x x0 I. Các ví dụ mẫu x2 sin 2x 3 cos 2x Ví dụ 1. Tính giới hạn lim x 3x2 6 Giải Ta nhận thấy: 2 sin 2x 3 cos 2x 2 x2 2 x2 sin 2x 3 cos 2x x2 2 Vậy 3x2 6 3x2 6 3x2 6 2 2 2 1 x 2 x 2 2 1 Mà lim lim lim x x 2 x 2 x 6 3x 6 3x 6 3 3 x2 x2 sin 2x 3 cos 2x 1 Vậy lim x 3x2 6 3 1 Bài 2. Tìm lim x2 sin x 0 x Giải 1 Ta nhận thấy: x2 x2 sin x2 x lim x2 lim x2 0 x 0 x 0 1 Vậy lim x2 sin 0 x 0 x II. Bài tập rèn luyện Bài tập 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 2x sin2 x 5cos 2x 1 x 1 x a) lim ; b) lim x2 cos ; c) lim cos x 1 x x x2 3 x 0 x x x Hướng dẫn và Đáp số a) Ta có: sin2 x 5cos 2x 11sin2 x 5 2x 5 2x sin2 x 5cos 2 x 2x 6 x2 3 x2 3 x2 3 Đs: 0 b) Tương tự bài mẫu 2. ĐS: 0 c) Ta có: 1 cos x 1 x 1,x ¡ x 1 x x 1 x x 1 x cos x 1 x ,x ¡ \ 0 x x x ĐS: 0 Bài tập 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau: x2 5cos x xsin x sin 2x 2cos 2x a) lim ; b) lim ; c) lim x x3 1 x 2x2 1 x x2 x 1 Hướng dẫn và Đáp số
  36. a) x2 5 x2 5cos x x2 5 x2 5cos x * TH1: x 1, lim 0 x3 1 x3 1 x3 1 x x3 1 x2 5 x2 5cos x x2 5 x2 5cos x * TH2: x 1, lim 0 x3 1 x3 1 x3 1 x x3 1 x xsin x x xsin x b) lim 0 2x2 1 2x2 1 2x2 1 x 2x2 1 c) ĐS: 0
  37. BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hàm số liên tục tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định trên khoảng K và x0 K . Hàm số y f x liên tục tại x0 khi và chỉ khi lim f x f x0 . Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0 . x x0 2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Định nghĩa: • y f x liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó • y f x liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên khoảng a;b và lim f x f a , lim f x f b x a x b ➢ Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó. 3. Các định lí: Định lí 1: a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ¡ b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng Định lí 2: Giả sử y f x và y g x là hai hàm số liên tục tại điểm x0 . Khi đó: a) Các hàm số f x g x , f x g x và f x .g x cũng liên tục tại điểm x0 f x b) Hàm số liên tục tại điểm x , nếu g x 0 g x 0 0 Định lí 3: Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a;b sao cho f c 0 Mệnh đề tương đương: Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 . Khi đó phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng a;b B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f x tại điểm x0 Phương pháp f1 x khi x x0 Cho hàm số: f x f2 x khi x x0 Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , chúng ta thực hiện theo các bước sau: ➢ Bước 1: Tính lim f x lim f1 x L x x0 x x0 ➢ Bước 2: Tính f x0 f2 x0 ➢ Bước 3: Đánh giá hoặc giải phương trình L f2 x0 , từ đó đưa ra kết luận I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1
  38. x2 1 khi x 1 f x x 1 x a khi x 1 Giải Hàm số xác định với mọi x ¡ Ta có: x2 1 lim f x lim lim x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 f 1 a 1 Vậy: * Nếu: 2 a 1 a 1 f 1 2 lim f x , thì hàm số liên tục x 1 * Nếu: 2 a 1 a 1 f 1 1 lim f x , thì hàm số gián đoạn tại điểm x0 1 x 1 Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x 1 x2 5x 4 khi x 1 f x x 1 3 khi x 1 Giải Hàm đã cho xác định trên ¡ . Ta có x2 5x 4 x 1 x 4 lim f x lim lim lim x 4 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f 1 3 . Vậy hàm số liên tục tại x 1. x2 x 2 nÕu x 2 Ví dụ 3. Tìm m để hàm số f x x 2 liên tục tại x 2 m 1 nÕu x 2 Giải Hàm đã cho xác định trên ¡ . Ta có x 2 x 1 lim lim x 1 3 và f 2 m 1. x 2 x 2 x 2 Để hàm số liên tục tại x 2 thì lim f x f 2 m 1 3 m 2 . x 2 Ví dụ 4. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 0 x 1 3 x 1 khi x 0 f x x 2x 1 khi x 0 II. Bài tập rèn luyện BT 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 1
  39. x3 x2 2x 2 khi x 1 f x x 1 4 khi x 1 Hướng dẫn giải Hàm đã cho xác định trên ¡ . Ta có 2 x3 x2 2x 2 x 1 x 2 lim lim lim x2 2 3 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 f 1 4 . Vì lim f x f 1 nên hàm số gián đoạn tại x0 1 x 1 x 1 nÕu x 1 BT 2. Cho hàm số: f x x2 1 . Tìm m để hàm số liên tục tại x 1. 2 m x nÕu x 1 Hướng dẫn giải Hàm đã cho xác định trên ¡ . Ta có x 1 1 1 lim lim và f 1 m2 . x 1 x2 1 x 1 x 1 2 1 1 Để hàm số liên tục tại x 1 thì lim f x f 1 m2 m . x 1 2 2 BT 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x2 2 1 x x 2 nÕu x 2 2 nÕu a) f x x 2 b) g x x 2 2 2 nÕu x 2 2 nÕu x 2 Hướng dẫn giải a) Hàm đã cho xác định trên ¡ . x2 2 Khi x 2 thì f x là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên ; 2 và 2; x 2 Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 2 Ta có x2 2 lim lim x 2 2 2 và f 2 2 2 x 2 x 2 x 2 Vì lim f x f 2 nên hàm số liên tục tại x 2 x 2 Vậy hàm số liên tục trên ¡ b) Hàm đã cho xác định trên ¡ 1 x Khi x 2 thì g x là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên ;2 và 2; x 2 2 Ta xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 2 . Ta có
  40. 1 x lim và g 2 2 . x 2 x 2 2 Vì lim g x g 2 nên hàm số không liên tục tại x 2 . x 2 Vậy hàm số không liên tục trên ¡ . Bài 4. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm x 0 và x 3 a khi x 0 2 x x 6 2 f x khi x 3x 0 x x 3 khi x 3 b Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số sau: x2 1 1 x nÕu x 0 x cos nÕu x 0 a) f x x b) f x x2 0 nÕu x 0 0 nÕu x 0 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp f1 x khi x x0 Cho hàm số: f x f2 x khi x x0 Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại điểm x0 , chúng ta thực hiện các bước sau: – Bước 1: Tính f x0 f2 x0 – Bước 2: (Liên tục trái) tính: lim f x lim f x L 1 1 x x0 x x0 Đánh giá hoặc giải phương trình L1 f2 x0 , từ đó đưa ra kết luận liên tục trái. – Bước 3: (Liên tục phải) tính: lim f x lim f x L 2 2 x x0 x x0 Đánh giá hoặc giải phương trình L1 f2 x0 , từ đó đưa ra kết luận liên tục phải. – Bước 4: Đánh giá hoặc giải phương trình L1 L2 , từ đó đưa ra kết luận I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 0 : x a khi x 0 f x 2 x 1 khi x 0 Giải Hàm số xác định tại mọi x ¡ Ta có: lim f x lim x2 1 1 và lim f x lim x a a x 0 x 0 x 0 x 0 Vậy:
  41. – Nếu a 1 thì lim f x lim f x f 0 1 Hàm số liên tục tại x0 1 x 0 x 0 – Nếu a 1 thì lim f x lim f x Hàm số gián đoạn tại x0 1 x 0 x 0 x2 3x 2 khi x 1 Ví dụ 2. Cho hàm số: f x x 1 a khi x 1 a) Tìm a để f x liên tục tại trái điểm x 1 b) Tìm a để f x liên tục tại phải điểm x 1 c) Tìm a để f x liên tục trên ¡ . Giải Ta có: x 2 khi x 1 f x a khi x 1 2 x khi x 1 a) Để f x liên tục trái tại điểm x 1 lim f x lim 2 x 1 và f 1 a x 1 x 1 Vậy điều kiện là a 1 b) Để f x liên tục phải tại điểm x 1 lim f x tồn tại và lim f x f 1 x 1 x 1 Ta có: lim f x lim x 2 1 và f 1 a x 1 x 1 Vậy điều kiện là a 1 c) Hàm số liên tục trên ¡ trước hết phải có: lim f x lim f x 1 1 (mâu thuẫn) x 1 x 1 Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên ¡ . II. Bài tập rèn luyện x 2a khi x 0 Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 0 : f x 2 x x 1 khi x 0 Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau: x 1 nÕu x 1 a) f x x 5 tại x 4 b) g x 2 x 1 tại x 1 2x nÕu x 1 Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 1 và x 1 x cos khi x 1 f x 2 x 1 khi x 1 5x sin 3x nÕu x 0 Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số f x x tại điểm x 0 2 x 2x 2 nÕu x 0
  42. ax2 nÕu x 2 Bài 5. Cho hàm số f x . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x 2 . 3 nÕu x 2 3 3x 2 2 nÕu x 2 x 3 Bài 6. Tìm a để hàm số f x liên tục trên ¡ . 1 ax nÕu x 2 4 2x2 nÕu x 2 Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số sau: f x 5 nÕu x 2 3x 1 nÕu x 2 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K Phương pháp Để xét tính liên tục hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục trên khoảng K, chúng ta thực hiện theo các bước sau: ➢ Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên các khoảng đơn ➢ Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm giao ➢ Bước 3: Kết luận I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh các hàm số sau liên tục trên ¡ : 1 x cos khi x 0 f x x2 0 khi x 0 Giải Hàm số f x liên tục với mọi x 0 Xét tính liên tục của f x tại x 0 Ta có: 1 1 x.cos x cos x x2 x2 1 1 x x.cos 2 x lim x.cos 2 0 x x 0 x Mặt khác, f 0 0 Do đó, lim f x f 0 Hàm số liên tục tại x 0 . x 0 Vậy hàm số liên tục trên toàn bộ trục số. Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số: x2 x nÕu x 1 f x ax 1 nÕu x 1 Hướng dẫn Hàm số xác định với mọi x ¡ 1. Khi x 1. Hàm số liên tục 2. Khi x 1. Hàm số liên tục 3. Khi x 1
  43. ➢ a 1: Hàm liên tục tại x 1 ➢ a 1: Hàm số gián đoạn tại x 1 Kết luận: ▪ a 1: Hàm số liên tục trên toàn bộ trục số ▪ a 1, hàm số liên tục trên ;1 và 1; và gián đoạn tại x 1 II. Bài tập rèn luyện 1 x nÕu x 1 Bài 1. Cho hàm số y f x 2 x 1 . Xét sự liên tục của hàm số. 2x nÕu x 1 Hướng dẫn và đáp số – Với x 1: hàm số liên tục – Với x 1: hàm số liên tục – Với x 1: hàm số liên tục. Vậy hàm số liên tục trên ¡ . Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng: x2 2 1 x x 2 nÕu x 2 2 nÕu a) f x x 2 b) g x x 2 2 2 nÕu x 2 3 nÕu x 2 Đáp số a) y f x liên tục trên ¡ b) y g x liên tục trên ;2 và 2; nhưng gián đoạn tại x 2 x 1 nÕu x 1 Bài 3. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f x x2 1 liên tục trên 0; 2 m nÕu x 1 1 Đáp số: m 2 Bài 4. x2 x 4 nÕu x 2 a) Cho hàm số f x x 2 . Chứng minh rằng hàm số liên tục trên khoảng nÕu 7 x 2 x 7 3 7; . 1 nÕu x 3 b) Cho hàm số f x ax b nÕu 3 x 5 . Tìm a và b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị của hàm số. 3 nÕu x 5 Hướng dẫn a) x 2 : hàm số liên tục trên khoảng 2; x 2 7 x 2 thì f x liên tục trên 7;2 . Vì sao? x 7 3 x 2 : hàm số liên tục. Kết luận: Hàm số f x liên tục trên khoảng 7; b) a 1 và b 2 thì hàm số liên tục.
  44. Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f x Phương pháp: x0 là điểm gián đoạn của hàm số f x nếu tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thông thường x0 thỏa mãn một trong các trường hợp: 1. f x không tồn tại 2. lim f x không tồn tại, lim f x f x0 x x0 x x0 x2 x 6 x x 3 nÕu x x 3 0 Ví dụ 1. Cho hàm số: f x a nÕu x 0 b nÕu x 3 Với a,b là hai tham số. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số Giải D ¡ nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x 0 và x 3 x2 x 6 • Tại x 0 , ta có f 0 a và lim f x lim x 0 x 0 x x 3 Vậy x 0 là điểm gián đoạn của hàm số x2 x 6 x 2 5 • Tại x 3 và f 3 b và lim f x lim lim x 3 x 3 x x 3 x 3 x 3 5 Vậy khi b và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x 0; x 3 3 5 Khi b và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x 0 3 ax b nÕu x 1 Ví dụ 2. Tìm các giá trị của a và b để hàm số f x 3x nÕu 1 x 2 liên tục tại điểm x 1 và gián 2 bx a nÕu x 2 đoạn tai x 2 Hướng dẫn và đáp số Hàm số liên tục tại x 1 và gián đoạn tại c 2 thì lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 a b 3 a b 3 lim f x lim f x 4b a 6 b 3 x 2 x 2 Ví dụ 3. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số: 3 2 2 x 2 x 1 nÕu x 0 nÕu x 8 a) f x b) f x x 8 2 nÕu x 0 0 nÕu x 8 Dạng 5. Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm Phương pháp 1. Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm
  45. – Tìm hai số a và b sao cho f a . f b 0 – Hàm số f x liên tục trên đoạn a;b – Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x0 a;b 2. Chứng minh phương trình f x 0 có ít nhất k nghiệm – Tìm k cặp số ai ,bi sao cho các khoảng ai ;bi rời nhau và f ai f bi 0,i 1, ,k – Phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm xi ai ;bi 3. Khi phương trình f x 0 có chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho: – f a , f b không còn chứa tham số hoặc chứa tham số nhưng dấu không đổi – Hoặc f a , f b còn chứa tham số nhưng tích f a . f b luôn âm I. Các ví dụ mẫu Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình 2x3 10x 7 0 có ít nhất một nghiệm âm Hướng dẫn Xét hàm số f x 2x3 10x 7 , ta có f 1 1; f 0 7 ; f 3 17 nên f 1 . f 0 7 0 và f 0 . f 3 119 0 . Mặt khác: f x 2x3 10x 7 là hàm đa thức nên liên tục trên  1;0 và 0;3 3 Suy ra, phương trình 2x 10x 7 0 có ít nhất một nghiệm x0 1;0 và x1 0;3 Vậy phương trình 2x3 10x 7 0 có ít nhất hai nghiệm Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình 1 m2 x5 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m. Hướng dẫn Xét hàm số f x 1 m2 x5 3x 1, ta có f 0 1 và f 1 m2 1 nên f 1 . f 0 m2 1 0,m ¡ Mặt khác: f x 1 m2 x5 3x 1 là hàm đa thức nên liên tục trên  1;0 2 5 Suy ra, phương trình 1 m x 3x 1 0 có ít nhất một nghiệm x0 1;0 Vậy phương trình 1 m2 x5 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m. 1 1 Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình a luôn có nghiệm trong khoảng ; với mọi a sin x cos x 2 Hướng dẫn 1 1 Xét hàm số f a liên tục trong khoảng ; sin x cos x 2 1 1 lim a nên tồn tại x gần để f x 0 1 1 x sin x cos x 2 2
  46. 1 1 lim a nên tồn tại x gần để f x 0 1 2 x sin x cos x Suy ra f x1 . f x2 0 nên phương trình f x 0 luôn có nghiệm trong khoảng ; 2 1 Ví dụ 4. Chứng minh rằng phương trình x3 x 1 0 có nghiệm duy nhất x thỏa mãn 0 x 0 0 2 Hướng dẫn Xét hàm số f x x3 x 1, ta có f 0 1 và f 1 1 nên f 0 . f 1 0 Mặt khác: f x x3 x 1 là hàm đa thức nên liên tục trên 0;1 3 3 2 2 f x f x x1 x1 1 x2 x2 1 x1 x2 x1 x1x2 x2 1 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2 2 2 x2 3x2 x1 x1x2 x2 1 x1 1 0 với mọi x1, x2 thuộc ¡ 2 4 3 3 Suy ra f x x x 1 đồng biến trên ¡ nên phương trình x x 1 0 có nghiệm duy nhất x0 0;1 Theo bất đẳng thức Côsi: 1 1 1 x3 x 2 x4 1 2x2 x2 0 x 0 0 0 0 0 2 0 2 II. Bài tập rèn luyện Bài 1. a) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh phương trình x a x b x b x c x c x a 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Cho phương trình ax2 bx c 0 a 0 thỏa mãn 2a 6b 19c 0 . Chứng minh phương trình có 1 nghiệm trong 0; 3 a b c c) Cho phương trình ax2 bx c 0 a 0 thỏa mãn 0 (Với m 0 ) m 2 m 1 m Chứng minh phương trình có nghiệm 0;1 . Hướng dẫn và đáp số a) Xét hàm số f x x a x b x b x c x c x a là tam thức bậc hai có hệ số A 3 nên phương trình f x 0 có nhiều nhất hai nghiệm Ta có: f a 0; f b 0; f c 0 Vậy f a . f b 0 và f b . f c 0 Mặt khác f x là hàm đa thức nên nó liên tục trên a;b và b;c Suy ra, phương trình f x 0 có nghiệm x1 a;b và x2 b;c Vậy phương trình luôn có hai nghiệm. b) Xét hàm số f x ax2 bx c a 0 liên tục trên ¡
  47. 1 1 Tính f 0 c; f a 3b 9c 3 9 1 f 0 18 f 0 3 1 1 Suy ra f 0 , f trái dấu hoặc f 0 f 0 3 3 1 Vậy phương trình ax2 bx c 0 a 0 có nghiệm trong 0; 3 c) Xét hàm số f x ax2 bx c liên tục trên ¡ + Khi c 0 , ta có ax2 bx 0 a b c • Nếu a 0 thì từ giả thiết 0 suy ra b 0 , phương trình có vô số nghiệm nên m 2 m 1 m phương trình có nghiệm trong khoảng 0;1 • Nếu a 0 , ta có ax2 bx c 0 x ax b 0 x 0 b m 1 x 0;1 a m 2 m 1 c • Khi c 0 , ta có f 0 c và f m 2 m m 2 m 1 Suy ra phương trình f x 0 có nghiệm trong khoảng 0;  0;1 m 2 Bài 2. a) Chứng minh phương trình 2x3 6x 1 0 có 3 nghiệm trên khoảng 2;2 5 3 b) Chứng minh phương trình 2x x 2 0 có 3 nghiệm duy nhất x0 2 4 7 c) Chứng minh phương trình x x 3 0 có 3 nghiệm duy nhất x0 1;2 và x0 12 Hướng dẫn và đáp số a) Tính f 2 , f 0 , f 1 , f 2 b) Xét hàm f x x5 x 2 liên tục trên ¡ và f 1 2, f 2 28 f 1 . f 2 0 ta chứng minh được hàm f x đồng biến trên 1;2 nên phương trình x5 x 2 0 có nghiệm duy nhất x0 1;2 5 10 9 3 Ta có: x0 x0 2 2 2x0 x0 8x0 x0 8 x0 2 c) Tương tự câu b) Bài 3. a) Cho phương trình ax2 bx c 0 thỏa mãn 2a 3b 6c 0 . Chứng minh phương trình có nghiệm trong khoảng 0;1 b) Cho phương trình a tan2 x b tan x c 0 thỏa mãn 2a 3b 6c 0 . Chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng k ; k ,k ¢ 4
  48. Hướng dẫn và đáp số a) a tan2 x b tan x c 0 (1) và 2a 3b 6c 0 2 Đặt t tan x với x k ; k t 0;1 , ta có: at bt c 0 (2) 4 • Trường hợp 1: Nếu c 0 thì at 2 bt 0 + khi a 0 thì b 0 t 0 b 2 + khi a 0 thì , từ phương trình at 2 bt 0 2 a 3 t 3 2 1 c • Trường hợp 2: Nếu c 0 , ta có f 0 c và f 12c 9c 3 9 3 2 Phương trình (2) có nghiệm 0;  0;1 nên phương trình 1 có nghiệm trong khoảng 3 k ; k ,k ¢ 4 Bài 4. Chứng minh phương trình: 2x 6 3 1 x 3 có ba nghiệm phân biệt thuộc 7;9 Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m phương trình x3 mx2 1 0 luôn có một nghiệm dương. Bài 6. Cho phương trình x 3 mx2 m 1 x 2 0 a) Giải phương trình với m 1 b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt Hướng dẫn và đáp số Đặt t x ,t 0 , ta được t3 mt 2 m 1 t 2 0 a) x 1 b) Xét hàm f t t3 mt 2 m 1 t 2 liên tục trên ¡ Ta có: f 0 2 0 lim f t c 0 sao cho f c 0 t Suy ra: f 0 . f c 0, 2 có một nghiệm t1 0,c x t1 Vậy, với mọi m phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt. 3 Bài 7. Chứng minh rằng với mọi m phương trình: x 1 mx m 1 luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Giải Đặt t x 1 , điều kiện t 0 Khi đó phương trình có dạng: f t t3 mt 2 t 0 Xét hàm số y f t liên tục trên 0; Ta có:
  49. f 0 1 0 lim f t , vậy tồn tại c 0 để f c 0 t Suy ra: f 0 . f c 0 Vậy phương trình f t 0 luôn có nghiệm t0 0;c , khi đó: 2 x 1 t0 t0 1 1 Vậy với mọi m phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Bài 8. Cho a, b, c là ba số dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình: a x b x c b x a x c c x b x a 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải Không mất tính tổng quát, giả sử a b c và đặt: f x a x b x c b x a x c c x b x a Ta có: f b 0 và hệ số x2 của f x bằng a b c 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 b x2 Bài 9. Chứng minh rằng phương trình: p x a x c q x b x d 0 luôn có nghiệm, biết rằng a b c d, p và q là hai số thực bất kì. Bài 10. Chứng minh phương trình a) m2 1 x3 4x 1 0 luôn luôn có nghiệm. b) cos 2x 2sin x 2 có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng ; 6 c) x3 6x 1 2 0 có nghiệm dương d) x5 x2 2x 1 0 có nghiệm Hướng dẫn và đáp số a) Xét f 0 và f 1 b) Xét hàm số y f x cos 2x sin 2x 2 Xét trên khoảng ; ; ; 6 2 2 c) Xét f 0 và f 1 MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} Bài 1. Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên a;b và trên b;c nhưng không liên tục trên a;c . Hướng dẫn x 2 nÕu x 0 Xét hàm số f x 1 nÕu x 0 x2 * Trường hợp x 0 : f x là hàm đa thức, liên tục trên ¡ , nên nó liên tục trên 2;0
  50. * Trường hợp x 0 : 1 f x là hàm số phân thứ hữu tỉ nên liên tục trên 0;2 thuộc tập xác định của nó. Như vậy f x liên tục x2 trên 2;0 và trên 0;2 1 Tuy nhiên, vì lim f x lim 2 nên hàm số f x không có giới hạn hữu hạn tại x 0 . x 0 x 0 x Do đó, nó không liên tục tại x 0 . Nghĩa là không liên tục trên 2;2 Bài 2. Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên a;b và trên b;c thì nó liên tục trên a;c Hướng dẫn Vì hàm số liên tục trên a;b nên liên tục trên a;b và lim f x f b (1) x b Vì hàm số liên tục trên b;c nên liên tục trên b;c và lim f x f b (2) x b Từ (1) và (2) suy ra f x liên tục trên các khoảng a;b và b;c và liên tục tại x b (vì lim f x f b ). x b Nghĩa là nó liên tục trên a;c x 1 x Bài 3. Cho hàm số f x . Vẽ đồ thị hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên x tục và chứng minh dự đoán đó. Hướng dẫn x 1 x x 1 nÕu x 0 a) f x x 1 x nÕu x 0 Hàm số này có tập xác định là ¡ \ 0 b) Từ đồ thị dự đoán f x liên tục trên các khoảng ;0 , 0; nhưng không liên tục trên ¡ . Thật vậy: * Với x 0, f x x 1 là hàm phân thức nên liên tục trên ¡ . Do đó liên tục trên 0; * Với x 0, f x 1 x là hàm phân thức nên liên tục trên ¡ . Do đó liên tục trên ;0 Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x 0 , vì lim f x 1; lim f x 1 x 0 x 0 Bài 4. Cho hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b . Nếu f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có nghiệm hay không trong khoảng a;b ? Cho ví dụ minh họa. Hướng dẫn Nếu hàm số y f x liên tục trên đoạn a;b và f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng a;b . Ví dụ minh họa: * f x x2 1 liên tục trên  2;2, f 2 . f 2 9 0 . Phương trình x2 1 0 có nghiệm x 1 trong khoảng 2;2 * f x x2 1 liên tục trên  1;1, f 1 . f 1 4 0 . Phương trình x2 1 0 có nghiệm x 1 trong khoảng 1;1
  51. Bài 5. Nếu hàm số y f x không liên tục trên đoạn a;b nhưng f a . f b 0 , thì phương trình f x 0 có nghiệm hay không trong khoảng a;b ? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh họa hình học. Hướng dẫn Nếu hàm số y f x không liên tục trên đoạn a;b nhưng f a . f b 0 thì phương trình f x 0 có thể có nghiệm hoặc vô nghiệm trong khoảng a;b Minh họa hình học: Bổ sung hình vẽ / 185.SBT Bài 5. Chứng minh phương trình: n n 1 n 2 x a1x a2 x an 1x an 0 luôn có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ. Hướng dẫn n n 1 n 2 Hàm số f x x a1x a2 x an 1x an xác định trên ¡ * Ta có: lim f x . Vì lim f x nên với dãy số xn bất kì mà xn , ta luôn có x x lim f xn . Do đó f xn có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f a 1. (1) * Ta có: lim f x (do n lẻ). Vì lim f x nên với dãy số xn bất kì mà xn , ta luôn có x x lim f xn hay lim f xn . Do đó f xn có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Nếu số dương này là 1 thì f xn 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại số b sao cho f b 1 hay f b 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra f a . f b 0 . Mặt khác hàm đa thức f x liên tục trên ¡ , nên liên tục trên a;b Do đó, phương trình f x 0 luôn có nghiệm Bài 6. Cho hàm số f x liên tục và đồng biến trên đoạn a;b . Chứng minh rằng với mọi dãy hữu hạn có các 1 số c ,c ,c , ,c cùng thuộc a;b thì phương trình: f x f c f c f c luôn có nghiệm 1 2 3 n n 1 2 n trong đoạn a;b Hướng dẫn Ta có: a c1 b;a c2 b;a c3 b; Hàm số f x đồng biến trên a;b f a f c f b 1 f a f c2 f b Nên: f a f c3 f b f a f cn f b Suy ra: nf a f c1 f c2 f cn nf b
  52. 1 f a f c f c f c f b n 1 2 n 1 Đặt M M f c f c f c n 1 2 n Xét hàm g x f x M liên tục trên a;b; g a f a M 0 và g b f b M 0 . Suy ra: g a .g b 0 . g a 0 * Khi g a .g b 0 nên a hoặc b là nghiệm của phương trình f x M g b 0 * Khi g a .g b 0 thì phương trình f x M 0 có ít nhất một nghiệm trong a;b 1 Vậy, phương trình: f x f c f c f c luôn có nghiệm trong a;b n 1 2 n Bài 7. Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b chứa điểm x0 . Chứng minh rằng nếu f x f x0 lim L thì hàm số f x liên tục tại tại x0 x x 0 x x0 f x f x Hướng dẫn: Đặt g x 0 L và biểu diễn f x qua g x x x0 ÔN TẬP CHƯƠNG 4 Bài 1. Tính các giới hạn sau: n n2 3n 2 n 3n3 2 2 3n a) lim b) lim c) lim x 2n2 3n 2 x 4n2 1 x 2 n 1 3n 1 1 1 Đáp số: a) b) c) 2 3 Bài 2. Tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn: a) 1 0,03 0,03 2 0,03 n n 1 1 1 1 1 b) 1 2 4 8 2 c) 1 0,9 0,9 2 0,9 n 1 3 1 100 3 Hướng dẫn và đáp số: a) 1 100 b) 1 2 c) 10 3 1 1 97 1 3 100 2 Bài 3. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131 (chu kì 131) dưới dạng số hữu tỉ. 131 131 Đáp số: S 2 1000 2 131 1 999 1000 2n 1 Bài 4. Cho dãy số x : x n n 3n 1 a) Chứng minh dãy số xn dãy tăng
  53. b) Dãy xn hội tụ có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn và đáp số: a) Chứng minh xn 1 xn 0,n ¥ 2 b) lim x n 3 Bài 5. Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh: 3 a) lim 2x 6 4 b) lim x 1 x 1 1 x 2 Bài 6. Tìm các giới hạn sau: x 2 x2 5 3 2 1 x 3 8 x a) lim ; b) lim ; c) lim ; d) lim x x2 1 x 2 x2 3x 2 x 2 x 2 x 0 x x 2 13 Đáp số: a) 1; b) c) d) 0 3 12 1 nÕu x 0 Bài 7. Cho hàm số y f x 2 . Chứng minh hàm số liên tục. x x 1 nÕu x 1 Hướng dẫn: ➢ Với x 0 : hàm số liên tục ➢ Với x 0 : hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục trên tập xác định x a nÕu x 0 Bài 8. Cho hàm số y f x 2 . Tìm a, b để hàm số liên tục. ax bx 1 nÕu x 0 Đáp số: với a 1,b bất kì thì hàm số liên tục trên ¡ Bài 9. Tìm các giới hạn sau: x3 x2 x 2 x 3 x2 3x 3 x 7 2 a) lim 2 ; b) lim ; c) lim ; d) lim x 3x 4 3x 2 x 1 2 x x x 5 x 1 x 1 2 1 Đáp số: a) b) c) 1 d) 9 12 Bài 10. Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) 3x3 2x2 3x 2 0 có ít nhất một nghiệm b) Chứng minh rằng phương trình x5 3x4 6x3 x2 4x 1 0 có nghiệm trong khoảng 0;2 c) 4x3 12x2 x 3 0 có 3 nghiệm trong các khoảng 1;0 , 0;1 , 2;4 Hướng dẫn: f x 0 có nghiệm trong đoạn a;b f a . f b 0 a) khoảng 0;1 b) 0;2 c) 1;0 , 0;1 , 2;4