›
›
›

Phương pháp giải các dạng bài toán Lớp 11 - Chương trình học kì 2

doc 107 trang nhungbui22 12/08/2022 2370
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Phương pháp giải các dạng bài toán Lớp 11 - Chương trình học kì 2", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docphuong_phap_giai_cac_dang_bai_toan_lop_11_chuong_trinh_hoc_k.doc

Nội dung text: Phương pháp giải các dạng bài toán Lớp 11 - Chương trình học kì 2

  1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TOÁN 11 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  2. MỤC LỤC PHẦN 1: ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ 1: GIỚI HẠN TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY (un) CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN P n DẠNG 1: un là một phân thức hữu tỉ dạng u n Q n (trong đó P n ,Q n là hai đa thức của n) Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa số mũ lớn nhất của P n và Q n (hoặc rút nk là lũy thừa có số mũ lớn nhất của P n và Q n ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn. Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết: 2n2 3n 1 2n3 3n2 4 2n4 3n2 n a) u b) u c) u n 5n2 3 n n4 4n3 n n 2n 1 1 3n 2n2 1 LỜI GIẢI 2 2 a) Ta thấy n là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n được: 2n2 3n 1 3 1 2 2 2n 3n 1 2 2 3 1 3 u n n n . Ta có lim 0,lim 0 và lim 0 nên n 2 2 3 2 2 5n 3 5n 3 5 n n n n2 n2 2 0 0 2 limu . n 5 0 5 4 4 b) Dễ dàng thấy n là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu của un cho n được: 2n3 3n2 4 2 3 4 3 2 2n 3n 4 4 2 4 2 3 4 4 u n n n n . Ta có lim 0,lim 0,lim 0,lim 0 n 4 3 4 3 4 1 2 4 n 3n n n 4n n 1 n n n n n4 n n3 1 0 0 0 và lim 0 . Do đó limu 0. n3 n 1 0 0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  3. 4 2 4 2 4 2n 3n n 4 3 1 2n 1 1 c) Có 2n 3n n n 4 n 2 3 ,2n 1 n n 2 n n n n n 2 1 3n 1 2 2 2n 1 2 1 1 3n n n 3 và 2n 1 n 2 n 2 2 . Từ đó n n n n 4 3 1 4 3 1 3 1 n 2 3 n 2 3 2 n n n n n n3 un . Vì 1 1 2 1 4 1 1 1 1 1 1 n 2 n 3 n 2 2 n 2 3 2 2 2 3 2 2 n n n n n n n n n 3 1 1 1 2 0 0 1 lim 0,lim 0,lim 0 và lim 0 . Nên limu . n n3 n n2 n 2 0 0 3 2 0 6 P n DẠNG 2: un là một phân thức hữu tỉ dạng u n Q n (trong đó P n ,Q n là các biểu thức chứa căn của n) Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết: 4n2 n 1 n 2n 1 n 3 a) un b) un 9n2 3n 4n 5 LỜI GIẢI 2 2 4n n 1 1 1 1 1 n 2 n n 4 n 4 1 4n2 n 1 n n n n2 n n2 1 a) un . Vì có lim 0 , 9n2 3n 2 3 3 n 2 9n 3n n 9 9 n 2 n n n 1 3 4 0 0 1 1 lim 0 , và lim 0 . Nên limu n2 n n 9 0 3 2n 1 n 3 1 3 1 3 n n n. 2 n. 1 2 1 2n 1 n 3 n n n n n n b) un . 4n 5 4n 5 5 5 n n. 4 4 n n n 1 3 5 Vì có lim 0 , lim 0 và lim 0 . n n n 2 0 1 0 2 1 Từ đó có limu . n 4 0 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  4. P n DẠNG 3: un là một phân thức hữu tỉ dạng u (trong đó P n ,Q n là các biểu thức n Q n chứa hàm mũ an, bn, cn, Chia cả tử và mẫu cho an với a là cơ số lớn nhất) Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy un biết: 2n 4n 3.2n 5n 4n 2 6n 1 a) u b) u c) u n 4n 3n n 5.4n 6.5n n 5n 1 2.6n 3 LỜI GIẢI n 2n 4n 2n 4n 2 n n 1 n n 2 4 4n 4n 4n 4 2 3 a) Ta có un n n n n n n 2 . Ta có lim 0 và lim 0 . 4 3 4 3 4 3 4 4 3 n n n 1 4 4 4 4 0 1 Nên limu 1. n 1 0 n 3.2n 5n 3.2n 5n 2 n n 3 1 n n 3.2 5 5n 5n 5n 5 2 4 b) Ta có un n n n n n n n . Ta có lim 0 và lim 0 . 5.4 6.5 5.4 6.5 5.4 6.5 5 5 4 n n n 5 6 5 5 5 5 3.0 1 1 Do đó limu . n 5.0 6 6 4n.42 6n.6 4n.42 6n.6 n 2 n 1 n 2 n 4 6 4 .4 6 .6 n n n c) Ta có u 6 6 6 n 5n 1 2.6n 3 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63 5n.5 1 2.6n.63 6n 6n 6n n 2 4 4 6 n n 6 4 5 n . Ta có lim 0 và lim 0 . 1 5 3 6 6 5 2.6 6 42.0 6 1 Do đó limu . n 5 1.0 2.63 72 DẠNG 4: Nhân lượng liên hợp PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  5. a2 b2 a b 2 2 a b • a b a b a b a2 b2 a b a b a3 b3 • a b a2 ab b2 a3 b3 • a b a2 ab b2 2 3 3 3 2 a b a a.b b 3 3 a b • a b 2 2 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2 2 3 3 3 2 a b a a.b b 3 3 a b • a b 2 2 3 a 3 a.b b2 3 a 3 a.b b2 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 a b • a b 2 2 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 2 3 2 3 3 a b a a. b b 3 3 a b • a b 2 2 a2 a.3 b 3 b a2 a.3 b 3 b 2 2 3 a 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 3 3 a b • a b 2 2 2 2 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 2 2 3 a 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b 3 3 a b • a b 2 2 2 2 3 a 3 a.3 b 3 b 3 a 3 a.3 b 3 b Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy un biết: 2 2 a) un n 3n 5 n b) un 9n 3n 4 3n 2 3 3 2 3 3 2 c) un n 3n n d) un 8n 4n 2 2n 3 LỜI GIẢI n2 3n 5 n n2 3n 5 n 2 3n 5 a) Ta có un n 3n 5 n . n2 3n 5 n n2 3n 5 n – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  6. 2 3n 5 5 2 2 n 3n 5 3 5 Và có 3n 5 n n 3 và n 3n 5 n 2 n 1 2 n n n n n 5 5 n 3 3 n 5 3 5 3 Do đó u n , vì lim 0 , lim 0 và lim 0 . Nên limu . n 3 5 3 5 n n n2 n 2 n 1 n 1 1 n n2 n n2 NHẬN XÉT: Tại sao phải nhân lượng liên hiệp? Quay lại ví dụ a) thông thường ta đặt nk làm nhân tử chung nhưng sao lại phải nhân lượng liên hợp. Bây giờ ta thử làm lại câu a) theo phương pháp đặt nk trong căn thức thử xem sao, và sau đó rút ra nhận xét. Ta có n2 3n 5 3 5 3 5 3 5 u n2 3n 5 n n2 n n 1 n 1 1 . Vì lim lim 0 nên n 2 2 2 2 n n n n n n n 3 5 lim 1 1 0 và lim n do đó limu .0 (đây là dạng vô định). Nên cách làm này không là 2 n n n không được rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để khử vô định sau đó cách làm hoàn toàn như dạng 1. Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp: Để nhận biết một bài tập có nhân lượng liên hợp hay không các bạn chỉ chú ý tới n có mũ cao nhất sau đó đưa ra ngoài dấu căn thức, nếu chúng trừ nhau bằng 0 thì bài này ta phải 2 2 nhân lượng liên hợp. Cụ thể ta làm lại câu a) un n 3n 5 n biểu thức trong căn thức có n là cao nhất 2 và ta quan tâm đến “nó”, những thừa số sau bỏ hết có nghĩa xem un n n n n 0 (nên các bạn phải 2 nhân lượng liên hợp). Chúng ta xem bài này có nhân lượng liên hợp hay không un 2n 3n 5 n chúng ta 2 cũng quan tâm đến số hạng có chứa mũ có nhất đó là 2n , có nghĩa un được viết lại 2 un 2n n n 2 n n 2 1 ta có 2 1 0 nên bài này được làm trực tiếp không cần nhân lượng liên hợp. Cụ thể bài này ta làm như sau: 2n2 3n 5 3 5 3 5 3 5 u 2n2 3n 5 n n2 n n 2 n n 2 1 do lim lim 0 n 2 2 2 2 n n n n n n n 3 5 nên lim 2 1 2 1 và lim n do đó limu . 2 1 (cụ thể các bạn xem phương 2 n n n pháp tìm giới hạn dãy số có giới hạn vô cực). – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  7. 9n2 3n 4 3n 9n2 3n 4 3n 2 3n 4 b) un 9n 3n 4 3n 2 2 2 . Ta có 9n2 3n 4 3n 9n2 3n 4 3n 2 3n 2 2 2 2 9n 3n 4 3 4 3n 2 n n 3 và 9n 3n 4 n 2 n 9 2 . Từ đó suy ra n n n n n 2 2 n 3 3 n 2 3 4 u 2 n 2, vì lim 0,lim 0 và lim 0 . Nên n 3 4 3 4 n n n2 n 9 3n 9 3 n n2 n n2 3 0 1 limu . n 9 0 0 3 2 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 n 3n n n 3n n. n 3n n 3 3 2 c) un n 3n n 2 3 n3 3n2 n.3 n3 3n2 n2 2 3 2 3n 3 3 2 3 n 3n 3 3 3 2 . Ta có n 3n n 3 n 1 . Do đó 3 n3 3n2 n.3 n3 3n2 n2 n n 3n2 3 3 un 2 2 , ta có lim 0 . Nên limun 1 3 3 3 3 n n2 3 1 n2.3 1 n2 3 1 3 1 1 n n n n 3 3 2 d) un 8n 4n 2 2n 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 8n 4n 2 2n 8n 4n 2 2n 8n 4n 2 4n 2 3 3 8n3 4n2 2 2n.3 8n3 4n2 2 4n2 4n2 2 2 3 . 3 8n3 4n2 2 2n.3 8n3 4n2 2 4n2 3 2 3 3 2 3 8n 4n 2 4 2 3 3 Ta có 8n 4n 2 n 3 n 8 3 . Do đó: n n n – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  8. 2 2 2 n 4 2 4 n n2 2 4 un 2 2 . Vì lim 2 0 , lim 0 4 2 4 2 4 2 4 2 n n 2 3 2 3 2 3 3 n 8 3 2n . 8 3 4n 8 3 2. 8 3 4 n n n n n n n n 2 1 và lim 0 . Nên limu . n3 n 3 GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định lí 1: Giả sử lim f x L và lim g x M (với L, M ¡ ). Khi đó: x x0 x x0 ● lim f x g x L M ● lim f x g x L M x x0 x x0 f x L ● lim f x .g x L.M ● Nếu M 0 thì lim x x0 x x0 g x M Hệ quả: ● Nếu c là một hằng số thì lim c. f x c.L . x x0 k k ● lim a.x ax0 (a hằng số và k ¢ ) x x0 Định lí 2: Giả sử lim f x L . Khi đó: x x0 ● lim f x L ● lim 3 f x 3 L x x0 x x0 ● Nếu f x 0 với mọi x J \ x0 , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 , thì L 0 và lim f x L . x x0 Chú ý: Định lí 1 và định lí 2 vẫn đúng khi thay x x0 bởi x hoặc x . 1 Định lí 3: Nếu lim f x thì lim 0 . x x0 x x0 f x 4). Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực: Qui tắc 1: Nếu lim f x và lim g x L (với L 0 ) thì lim f x .g x được cho bởi bảng sau: x x0 x x0 x x0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  9. lim f x Dấu của L lim f x .g x x x0 x x0 Qui tắc 2: Nếu lim f x L, L 0 , lim g x 0 và g x 0 hoặc g x 0 với mọi x a;b \ x0 thì x x0 x x0 f x lim được cho bởi bảng sau: x x0 g x f x Dấu của L Dấu của g x lim x x0 g x 5). Các dạng vô định: 0 Các dạng vô định thường gặp: , ,0. , . 0 6). Giới hạn một bên: a). Giới hạn hữu hạn: * Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng x0 ;b , x0 ¡ . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên phải là số thức L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong khoảng x0 ;b mà lim xn x0 , ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết: lim f x L hoặc f x L khi x x . 0 x x0 * Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng a; x0 , x0 ¡ . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số xn trong khoảng a; x0 mà lim xn x0 , ta đều có lim f xn L . Khi đó ta viết: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  10. lim f x L hoặc f x L khi x x . 0 x x0 Định lí 5: lim f x L lim f x lim f x L x x0 x x0 x x0 * Giới hạn vô cực: lim f x , lim f x , lim f x , lim f x được phát biểu tương tự như các định nghĩa ở x x0 x x0 x x0 x x0 phần giới hạn hữu hạn. Định lí 5 vẫn đúng với giới hạn vô cực. Các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực vẫn đúng trong trường hợp x x0 hay x x0 . PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 0 CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Dạng này thường gặp khi x x ) 0 0 P n DẠNG 1: Hàm số f x trong đó P x ,Q x là đa thức theo biến x Q n PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn biểu thức làm cả tử và mẫu bằng 0. Phân tích đa thức thành nhân tử có các phương pháp sau: • Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ 2 • Nếu tam thức bậc hai thì sử dụng ax bx c a x x1 x x2 , a 0 với x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2 bx c 0 . 4 3 2 • Sử dụng phương pháp Hoocner. Phép chia đa thức P x ax bx cx dx e cho x x0 theo sơ đồ Hoocner như sau: a b c d e 2 3 2 x0 a b1 ax0 b c1 ax0 bx0 c d1 ax0 bx0 cx0 d 0 Hàng thứ nhất điền hệ số của đa thức P x từ ô thứ hai đến ô cuối cùng. Ở hàng thứ hai ô đầu tiên điền giá trị x0 là một nghiệm của P x , ô thứ hai viết lại a, lấy x0.a b đặt vào ô thứ ba, lấy x0 x0a b c 2 2 3 2 ax0 bx0 c điền vào ô thứ tư, lấy x0 ax0 bx0 c d ax0 bx0 cx0 d điền vào ô thứ năm, lấy 3 2 x0 ax0 bx0 cx0 d e 0 (bắt buộc tổng này phải bằng 0, thì đây mới là phép chia hết). – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  11. Khi đó P x được viết lại 3 2 P x x x0 ax b1x c1x d1 Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: x3 8 2x3 5x2 2x 3 2x3 5x2 4x 1 a) lim b) L lim c) lim x 2 x2 11x 18 x 3 4x3 13x2 4x 3 x 1 x3 x2 x 1 1 12 d) lim 3 x 2 x 2 x 8 LỜI GIẢI a). Ta có x3 8 x3 23 x 2 x2 2x 4 (áp dụng hằng đẳng thức), và x2 11x 18 x 2 x 9 (với 2 x1 2 và x2 9 là hai nghiệm của phương trình x 11x 18 0 ) 2 x3 8 x 2 x 2x 4 x2 2x 4 12 Do đó lim lim lim x 2 x2 11x 18 x 2 x 2 x 9 x 2 x 9 7 2x3 5x2 2x 3 b). L lim x 3 4x3 13x2 4x 3 Thay x 3 vào cả tử và mẫu thấy đều bằng 0, nên x 3 là một nghiệm của hai đa thức cả mẫu và tử. Có nghĩa x 3 là nhân tử chung, ta phân tích đa thức ở tử và mẫu thành nhân tử bằng phương pháp Hoocner. Cách làm như sau: Phân tích tử số: 2x3 5x2 2x 3 x 3 2x2 x 1 Kẻ bảng như sau. Sau đó điền hệ số của từng số hạng với số mũ giảm dần vào các ô ở hàng đầu tiên với ô thứ nhất để trống. Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức bằng 0 ở đây là chữ số 3. Ô thứ hai điền lại giá trị ở ô thứ hai của hàng một xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau đó lấy 3.2 5 1 điền chữ số 1 vào ô thứ ba, lấy 3.1 2 1 điền chữ số 1 vào ô thứ tư, cuối cùng lấy 3.1 3 0 điền vào ô cuối cùng. 2 -5 -2 -3 3 2 1 1 0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  12. Phân tích mẫu số: 4x3 13x2 4x 3 x 3 4x2 x 1 4 -13 4 -3 3 4 -1 1 0 2 x 3 2x x 1 2x2 x 1 11 Do đó L lim lim x 3 x 3 4x2 x 1 x 3 4x2 x 1 17 3 2 2x 5x 4x 1 3 2 3 2 c). L lim 3 2 . Ta thấy lim 2x 5x 4x 1 0 và lim x x x 1 0 như vậy đây là x 1 x x x 1 x 1 x 1 0 dạng giới hạn vô định ta phải phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử để khử vô định. Phân tích nhân tử bằng 0 phương pháp Hoocner Phân tích tử số: 2x3 5x2 4x 1 x 1 2x2 3x 1 2 5 4 1 -1 2 3 1 0 Phân tích mẫu số: x3 x2 x 1 x 1 x2 0x 1 x 1 x2 1 1 1 -1 -1 -1 1 0 -1 0 x 1 2x2 3x 1 2 2x 3x 1 2 2 Từ đó L lim lim 2 , ta thấy lim 2x 3x 1 0 và lim x 1 0 ta vẫn x 1 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 còn dạng vô định nên phân tích thành nhân tử tiếp, ta làm như sau: 0 2x2 3x 1 x 1 2x 1 2x 1 1 L lim lim lim . x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 d). Bước đầu tiên ta phải quy đồng mẫu, sau đó phân tích đa thức của tử thành phân tử và rút gọn hạng tử vô 1 12 1 12 x2 2x 8 định L lim 3 lim lim x 2 x 2 x 8 x 2 x 2 2 x 2 2 x 2 x 2x 4 x 2 x 2x 4 x 2 x 4 x 4 1 lim lim . x 2 x 2 x2 2x 4 x 2 x2 2x 4 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  13. DẠNG 2: NHÂN LIÊN HỢP Tính các giới hạn sau: (CĂN BẬC 2) Ví dụ: Tìm các giới hạn sau: x 3 x 3 3 a) lim b) lim x 9 9x x2 x 6 x 6 LỜI GIẢI x 3 x 9 1 5 a). lim lim lim x 9 9x x2 x 9 x x 9 x 3 x 9 x x 3 4 x 3 3 x 3 9 x 6 1 1 b). lim lim lim lim x 6 x 6 x 6 x 6 x 3 3 x 6 x 6 x 3 3 x 6 x 3 3 6 Tìm các giới hạn sau: (CÓ 2 CĂN BẬC 2) 3x 1 x 3 3 x a) lim b) lim x 1 x 8 3 x 9 x 5 2 LỜI GIẢI 3x 1 x 3 3x 1 x 3 x 8 3 a). lim lim x 1 x 8 3 x 1 x 8 9 3x 1 x 3 2 x 1 x 8 3 2 x 8 3 lim lim 3 x 1 x 1 3x 1 x 3 x 1 3x 1 x 3 3 x 9 x x 5 2 x 9 x 5 2 x 5 2 2 b). lim lim lim lim x 9 x 5 2 x 9 x 5 4 3 x x 9 x 9 3 x x 9 3 x 3 Tìm các giới hạn sau: (CÓ 2 CĂN BẬC 3) 3 5x 3 2 1 3 1 x a) lim b) lim x 1 x 1 x 0 x LỜI GIẢI 3 5x 3 2 5x 3 8 a). lim lim x 1 x 1 2 x 1 x 1 3 5x 3 2 3 5x 3 4 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  14. 5 x 1 5 5 lim lim x 1 x 1 2 x 1 3 5x 3 2.3 5x 3 4 3 5x 3 2 3 5x 3 4 12 1 3 1 x 1 1 x 1 1 b). lim lim lim x 0 x 0 2 x 0 2 x x 1 3 1 x 3 1 x 1 3 1 x 3 1 x 3 Tìm các giới hạn sau: (THÊM BỚT ĐỂ NHÂN LIÊN HỢP) x 9 x 16 7 3 x3 7 x2 3 a) lim b) lim x 0 x x 1 x 1 LỜI GIẢI x 9 x 16 7 x 9 3 x 16 7 a). lim lim x 0 x x 0 x x 9 3 x 16 4 x 9 9 x 16 16 lim lim lim lim x 0 x x 0 x x 0 x 9 3 x x 0 x 16 4 x x x 1 1 7 lim lim lim lim x 0 x 9 3 x x 0 x 16 4 x x 0 x 9 3 x 0 x 16 4 24 3 x3 7 x2 3 3 x3 7 2 2 x2 3 b). lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 3 x3 7 2 x2 3 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x3 7 8 2 x2 3 lim lim x 1 2 x 1 3 3 3 3 2 x 7 2 x 7 4 x 1 2 x 3 x 1 x 1 x2 x 1 x 1 x 1 lim lim x 1 2 x 1 3 3 3 3 2 x 7 2 x 7 4 x 1 2 x 3 x 1 x2 x 4 x 1 3 lim lim x 1 2 x 1 2 3 x3 7 2 3 x3 7 4 2 x 3 4 GIỚI HẠN KHI x TIẾN TỚI VÔ CỰC Câu 1: Tìm các giới hạn sau: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  15. 2 3x2 x 7 4x 1 7x 1 a) lim b) lim x 2x3 1 x 2x3 1 x 3 LỜI GIẢI 2 1 7 1 7 2 x 3 2 3 3x x 7 x x 2 3 a). lim lim lim x x lim 0 x 3 x x x 2x 1 3 1 1 2x x 2 3 x 2 3 x x 2 1 1 1 1 2 x 4 2 x 7 4 2 7 4x 1 7x 1 x x x x 28 b). lim lim lim lim 0 x 3 x x x 2x 1 x 3 3 1 3 1 3 2x x 2 3 x 1 x 2 3 1 x x x x Câu 2: Tìm các giới hạn sau: x 1 2 5x 2 2 2 x 3 2 x 3 a) lim 4 b) lim c) lim x 3x 1 x x2 x 5 x x2 x 5 LỜI GIẢI 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 x 1 x 5 1 5 x 1 5x 2 x x x x 25 a). lim lim lim x 4 x 4 x 4 3x 1 4 1 1 81 x 3 3 x x 6 2 3 2 2 6 x 1 6 x 1 1 3 x 2 x 3 x 1 b). lim lim lim x lim x 3 x 1 x 1 x 1 3x 1 3 3 3 3 x 3 3 x 3 3 3 x x x 3 3 x 2 2 2 x 3 2x 3 x c). lim lim lim lim x 2 x 2 x x x 1 5 x x 5 2 1 5 1 5 x 1 1 2 x 1 2 2 x x x x x x GIỚI HẠN MỘT BÊN Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau: x 3 x x a) lim b) lim x 3 5x 15 x 0 x x LỜI GIẢI – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  16. a). Vì x 3 x 3 x 3 0 . Vậy x 3 x 3 x 3 x 3 1 Ta có lim lim . x 3 5x 15 x 3 5 x 3 5 x x x x 1 x 1 b). Ta có lim lim lim 1 x 0 x x x 0 x x 1 x 0 x 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP 1: Bước 1: Tính f x0 . Bước 2: Tính lim f x . Nếu lim f x f x0 thì hàm số f x liên tục tại x0 . x x0 x x0 PHƯƠNG PHÁP 2: Bước 1: Tìm lim f x x x0 Bước 2: Tìm lim f x x x0 Nếu lim f x lim f x f x thì hàm số f x liên tục tại x . 0 0 x x0 x x0 Ví dụ: Xét tính liên tục tại giá trị x0 của các hàm số sau: x2 3x 2 x 2 1). f x x 2 tại x0 2 và tại x0 4 1 x 2 x 3 2 x 1 x 1 2). f x tại x0 1 1 x 1 4 x 5 x 5 3). f x 2x 1 3 tại x0 5 , tại x0 6 và tại x0 4 2 x 5 3 x 5 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  17. 2x 3 1 x 1 x 1 4). f x tại x0 1 3 x x 1 2 x2 3x 2 2 x 1 x 1 1 5). f x x 1 tại x0 1 2 x 1 3 x 2 LỜI GIẢI 1). ● Xét tính liên tục tại x0 2 : Có f x0 f 2 1 x2 3x 2 x 2 x 1 Có lim f x lim lim lim x 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ta có lim f x f 2 hàm số liên tục tại x 2 . x 2 ● Xét tính liên tục tại x0 4 : x2 3x 2 42 3.4 2 Có lim f x lim 3 f 4 hàm số f x liên tục tại x0 4 . x 4 x 4 x 2 4 2 1 2). Có f x f 1 (1) 0 4 x 3 2 x 3 4 x 1 1 1 Có lim f x lim lim lim lim (2) x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 3 2 x 1 x 1 x 3 2 4 Từ (1) và (2) suy ra lim f x f 1 . Vậy hàm số liên tục tại x 1. x 1 x 5 x 5 3). f x 2x 1 3 tại x0 5 , tại x0 6 và tại x0 4 2 x 5 3 x 5 ● Xét tính liên tục tại x0 5 Áp dụng nếu lim f x lim f x f x hàm số liên tục tại x . 0 0 x x0 x x0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  18. x 5 x 5 2x 1 3 x 5 2x 1 3 Có lim f x lim lim lim x 5 x 5 2x 1 3 x 5 2x 1 9 x 5 2x 10 x 5 2x 1 3 2x 1 3 2.5 1 3 lim lim 3. x 5 2 x 5 x 5 2 2 Có lim f x lim x 5 2 3 0 3 3 f 5 . x 5 x 5 Vì lim f x lim f x f 5 hàm số liên tục tại x0 5 . x 5 x 5 ● Xét tính liên tục tại x0 6 x 5 6 5 1 Có lim f x lim f 6 . Vậy hàm số f x liên tục tại x0 6 . x 6 x 6 2x 1 3 2.6 1 3 11 3 ● Xét tính liên tục tại x0 4 2 2 Có lim f x lim x 5 3 4 5 3 4 f 4 hàm số f x liên tục tại x0 4 . x 4 x 4 2x 3 1 2x 3 1 4). Có lim f x lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 2x 3 1 x 1 2 x 1 2 2 lim lim 1. x 1 2x 3 1 x 1 x 1 2x 3 1 2. 1 3 1 3 x 3 1 Có lim f x lim 1. x 1 x 1 2 2 3 1 Có f 1 1 2 Vì lim f x lim f x f 1 hàm số liên tục tại x0 1. x 1 x 1 1 5). Ta có f x f 1 0 2 x2 3x 2 x 1 x 2 x 2 1 2 1 Có lim f x lim 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 3 3 1 Có lim f x lim x 1 . x 1 x 1 2 2 2 Vì f 1 lim f x hàm số không liên tục tại x0 1. x 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  19. x2 3x 2 x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số f x x 2 a x 2 Với giá trị nào của a thì hàm số đã cho liên tục tại điểm x 2 ? LỜI GIẢI x2 3x 2 x 1 x 2 Ta có lim f x lim lim lim x 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Hàm liên tục tại x 2 khi và chỉ khi lim f x f 2 a 1. x 2 Vậy hàm số đã cho liên tục tại x 2 khi a 1. 2x2 7x 6 khi x 2 x 2 Ví dụ 5: Cho hàm số y f x . Xác định a để hàm số f x liên tục tại x0 2 . 1 x a khi x 2 2 x LỜI GIẢI Ta có: 2x2 7x 6 x 2 2x 3 2 x 2x 3 ● lim f x lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 lim 3 2x 1 x 2 1 x 1 ● lim f x lim a a f 2 x 2 x 2 2 x 4 1 3 Hàm số liên tục tại x0 2 lim f x lim f x f 2 a 1 a x 2 x 2 4 4 ĐẾM SỐ NGHIỆM Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm: a) x3 5x2 7 0 b) x5 x 3 0 LỜI GIẢI a). Đặt f x x3 5x2 7 . Tập xác định của hàm số f x là D ¡ . Vì f x là hàm đa thức f x liên tục trên ¡ . – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  20. Ta có f 1 1 5.1 7 1 và f 2 21, nên suy ra f 1 f 2 21 0 với mọi m. Do đó f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm x0 2; 1 với mọi m. b). Đặt f x x5 x 3 . Tập xác định của hàm số f x là D ¡ . Vì f x là hàm đa thức f x liên tục trên ¡ . Ta có f 1 1 và có f 2 31, nên suy ra f 1 f 2 31. 1 31 0 với mọi m. Do đó f x 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm n0 1;2 với mọi m. Chứng minh các phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: a) 4x4 2x2 x 3 0 b) x5 x4 2x3 4x2 1 0 LỜI GIẢI a). Đặt f x 4x4 2x2 x 3. Tập xác định của hàm số f x là D ¡ . Vì f x là hàm đa thức f x liên tục trên ¡ . Ta có f 0 3, f 1 4, f 1 2 Vì f 1 f 0 12 0,m phương trình (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm 1;0 (2) Vì f 0 f 1 6 0m phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm 0;1 (3) Từ (2), (3) phương trình (1) luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt. 10. Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x3 ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. LỜI GIẢI Đặt f x x3 ax2 bx c thì f x liên tục trên ¡ . Ta có: lim f x x1 0 để f x1 0 x lim f x x2 0 để f x2 0 . x Như vậy có x1, x2 để f x1 . f x2 0 suy ra phương trình có nghiệm x x1; x2 vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. SỬ DỤNG MÁY TÍNH: TÍNH GIỚI HẠN 1. Ý tưởng: * Gán cho biến X một giá trị gần đúng rồi tính giá trị biểu thức (dùng phím CALC) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  21. * Ví dụ: Giới hạn Giá trị của X x a a 0.00000001 x a a 0,00000001 x a a 000000001 hoặc a 0,000000001 x 9999999999 x 999999999 (Nếu máy báo lỗi thì lấy ít chữ số thập hơn) CHÚ Ý: KHÔNG NHẤT THIẾT PHẢI LẤY NHIỀU SỐ 0 Y NHƯ THẦY, ƯỚC LƯỢNG THÔI Các kết quả hay gặp trong máy Ý nghĩa Số có số mũ lớn: VD: 2.1020 Dương vô cực Số có số mũ lớn: VD: 2.1020 Âm vô cực Số có số mũ nhỏ: VD: 2.10 20 0 Số chưa đẹp: VD: 2,3333. Ta gõ lại vào máy tính lần nữa: 2,3333333333333 Máy sẽ tự làm tròn giúp 2. Một số ví dụ: 7 Ví dụ 1: lim x 2x 1 Ấn 999999 Rơi vào trường hợp kết quả có số mũ nhỏ: Kết quả là 0 2x2 3x Ví dụ 2: lim (Bậc tử = bậc mẫu, lấy hệ số X mũ cao nhất tử mẫu chia nhau được 2/3) x 3x2 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  22. Ta làm tròn kết quả: nhập vào máy: 5x2 7x 1 Ví dụ 3: lim (Bậc tử > bậc mẫu kết quả ra vô cực) x 3 2x Ta thấy kết quả âm một số to. Kết quả Ví dụ 4: lim x3 3x2 2x 5 x kết quả là . 2 2 Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số u với u 2 là: n n 2 2n 1 1 2 A. limu 2 2 B. limu C. limu 2 D. limu 2 n n 2 n 2 n 2 Giải Ấn – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  23. Chọn A. CHUYÊN ĐỀ 2: ĐẠO HÀM VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LÝ THUYẾT ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA 1). Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và x0 a;b . Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số f x f x0 khi x x0 được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại x0 , kí hiệu f ' x0 hay y ' x0 . Như vậy x x0 f x f x0 ta có f ' x0 lim . x x 0 x x0 Nhận xét: y Nếu đặt x x0 x và y f x0 x f x0 thì ta có f ' x0 lim . Trong đó x được gọi là số gia x 0 x của biến số tại x0 và y gọi là số gia của hàm số ứng với số gia x tại x0 . Nếu hàm số f x có đạo hàm tại điểm x0 thì f x liên tục tại x0 . Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng. 2). Cho đường cong (C), điểm M 0 cố định thuộc C và M C . Gọi kM là hệ số góc của cát tuyến M 0M . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn k0 lim kM . Khi đó đường thẳng M 0T qua M 0 có hệ số góc k0 được gọi là xM x0 tiếp tuyến của (C) tại M 0 . Điểm M 0 gọi là tiếp điểm. 3). Đạo hàm của hàm số y f x tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại đó tại điểm M 0 x0 ; f x0 . Hệ quả: Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại điểm M 0 x0 ; f x0 có phương trình: y f ' x0 x x0 f x0 . 4). Kí hiệu D là một khoảng hay là hợp của những khoảng nào đó. Nếu hàm số f x có đạo hàm tại mọi điểm x0 D thì ta nói hàm số có đạo hàm trên D. Khi đó đạo hàm của hàm số f x tại điểm x tùy ý của D được kí hiệu y ' hay f ' x . Ta nói y ' hay f ' x là đạo hàm của hàm số y f x trên tập D. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  24. DẠNG 1: Tìm số gia của hàm số. PHƯƠNG PHÁP Để tính số gia của hàm số y f x tại điểm x0 tương ứng với số gia x cho trước ta áp dụng công thức: y f x0 x f x0 Ví dụ 1: Tìm số gia của hàm số y f x x3 3x2 2 , biết rằng: a) x0 1; x 1 b) x0 1; x 0,1 LỜI GIẢI 3 2 3 2 a). Ta có y f x0 x f x0 f 2 f 1 2 3.2 2 1 3.1 2 2 b). Ta có y f x0 f x0 f 0,9 f 1 0,93 3.0,92 2 13 3.12 2 0,229 y Ví dụ 2: Tính y và của các hàm số sau theo x và x x a) y 2x 3 b) y 2x2 3x 1 c) y 2x2 1 d) y 2x3 3x2 LỜI GIẢI y a). Ta có y f x x f x 2 x x 3 2x 3 2 . Suy ra 2 0 0 0 0 x 2 2 b). Ta có y f x0 x f x0 2 x0 x 3 x0 x 1 2x0 3x0 1 2 4x0 x 2 x 3 x x 4x0 2 x 3 y x 4x 2 x 3 Suy ra 0 4x 2 x 3 x x 0 2 2 c). Ta có y f x0 x f x0 2 x0 x 1 2x0 1 x 2x x 0 2 2 2 x0 x 1 2x0 1 y x 2x x 2x x Suy ra 0 0 2 x x 2 x x 2 1 2x2 1 2 x x 1 2x2 1 0 0 0 0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  25. 3 2 3 2 d). Ta có y f x0 x f x0 2 x0 x 3 x0 x 2x0 3x0 =2 x3 3x2 x 3x x 2 x 3 3 x2 2x x x 2 2x3 3x2 0 0 0 0 0 0 0 x 6x2 6x x 3 x 2 6x 3 x 0 0 0 x 6x2 6x x 3 x 2 6x 3 x y 0 0 0 Suy ra x x 2 2 6x0 6x0 x 3 x 6x0 3 x DẠNG 2: Tìm đạo hàm bằng định nghĩa PHƯƠNG PHÁP Để tìm đạo hàm của hàm số f x tại điểm x0 bằng định nghĩa ta có thể sử dụng một trong hai cách sau đây: Cách 1: y • Cho x một số gia x f x x f x . Lập tỉ số . 0 0 0 x y • Tìm giới hạn lim x 0 x • Kết luận: y y + Nếu lim tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số có đạo hàm là: f ' x0 lim x 0 x x 0 x y + Nếu lim không tồn tai hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm x 0 x Cách 2: f x f x • Tính giá trị của lim 0 x x 0 x x0 • Kết luận: f x f x0 + Nếu lim tồn tại hữu hạn bằng L thì tại x0 , ta có f ' x0 L x x 0 x x0 f x f x0 + Nếu lim không tồn tại hữu hạn thì tại x0 hàm số không có đạo hàm x x 0 x x0 Ví dụ: Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  26. 2 3 a) y 2x x 1 tại x0 2 b) y x x 2 tại x0 2 2x 1 c) y 2x 1 tại x 1 d) y tại x 3 0 x 1 0 LỜI GIẢI a). Cách 1: Cho x0 2 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: 2 2 y f x0 x f x0 2 2 x 2 x 1 2.2 2 1 x 9 2 x y x 9 2 x Ta có f ' 2 lim lim lim 9 2 x 9 . x 0 x x 0 x x 0 f x f 2 2x2 x 1 11 2x2 x 10 Cách 2: lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 5 lim lim 2x 5 9 x 2 x 2 x 2 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 2 và f ' 2 9 . 3 b). y x x 2 tại x0 2 Cách 1: Cho x0 2 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: y f 2 x f 2 2 x 3 2 x 1 12 13 x 6 x 2 x 3 x 13 6 x x 2 x 13 6 x x 2 y 2 Ta có f ' 2 lim lim lim 13 6 x x 13 . x 0 x x 0 x x 0 f x f 2 x3 x 2 12 x3 x 10 Cách 2: lim lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 2x 5 lim lim x2 2x 5 13 x 2 x 2 x 2 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x0 2 và f ' 2 13 c). y 2x 1 tại x0 1 Cách 1: Cho x0 1 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: 2 x y f x x f x f 1 x f 1 2 1 x 1 3 0 0 3 2 x 3 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  27. y 2 x 2 1 Ta có f ' 1 lim lim lim x 0 x x 0 x 3 2 x 3 x 0 3 2 x 3 3 f x f 1 2x 1 3 2 x 1 Cách 2: lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 3 2 1 lim x 1 2x 1 3 3 1 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x 1 và f ' 1 . 0 3 2x 1 d). y tại x 3 x 1 0 Cách 1: Cho x0 3 một số gia x . Khi đó hàm số nhận một số gia tương ứng: 2 3 x 1 5 5 2 x  3 x y f x x f x f 3 x f 3 0 0 3 x 1 4 4 x 4 4 4 x y 3 x 3 3 Ta có f ' 3 lim lim lim . x 0 x x 0 x.4 4 x x 0 4 4 x 16 2x 1 5 f x f 3 3 x 3 3 3 Cách 2: lim lim x 1 4 lim lim . x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 4 x 3 x 1 4 16 3 Kết luận theo định nghĩa, hàm số có đạo hàm tại x 3 và f ' 3 . 0 16 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM TÓM TẮT GIÁO KHOA 1). Định lý 1: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên a;b thì tổng và hiệu của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng a;b và u v ' u ' v '; u v ' u ' v ' Chú ý: Định lý 1 có thể mở rộng cho tổng hay hiệu của hữu hạn các hàm số. 2). Định lý 2: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên a;b thì tích của chúng cũng có đạo hàm trên khoảng a;b và u.v ' u 'v uv '. Đặc biệt: a.u ' a.u ' (a là hằng số), Chú ý: Định lý 2 có thể mở rộng cho tích của hữu hạn các hằng số. Chẳng hạn: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  28. u.v.w ' u 'vw uv 'w uvw' u 3). Định lý 3: Cho các hàm số u u x ,v v x có đạo hàm trên a;b và v x 0 trên a;b thì thương v u u 'v uv ' cũng có đạo hàm trên khoảng a;b và ' 2 . v v 1 v ' Hệ quả: ' 2 v 0 . v v 4). Cho hai hàm số y f u và u g x . Ta gọi hàm số y F x f g x là hàm số hợp của hai hàm số u g x và y f u . Tập xác định của hàm số f g x là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức f g x có nghĩa. 5). Định lý 4: Nếu hàm số u u x có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y f u có đạo hàm tại điểm u0 u x0 thì hàm số hợp y F x f u x cũng có đạo hàm tại điểm x0 và F ' x0 f ' u0 .u x0 hay / / / yx yu .ux . 1 Hệ quả: un ' n.un 1.u ' ( n ¥ và n 2 ); u ' .u '. 2 u QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Giả sử u u x ,v v x , w w x là các hàm số có đạo hàm, khi đó: 1). u v w ' u ' v ' w' ; 2). uv ' u 'v v 'u ; 3). k.u ' k.u ' k ¡ /  u u 'v v 'u 1 v ' 4). 2 5). 2 v v v v BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp (u = u(x)) C ' 0 / / x x 1, ¡ , x 0 u u 1u ', ¡ ,u 0 1 u ' x ' x 0 u ' u 0 2 x 2 u – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  29. 1 1 1 u ' ' 2 x 0 ' 2 u 0 x x u u / / 1 n 1 n n n 1 , x 0 n n 1 .u ', u 0 x x u u sin x ' cos x sin u ' cosu.u ' cos x ' sin x cosu ' sin u.u ' 1 2 u ' 2 tan x ' 2 1 tan x tan u ' 2 1 tan u u ' cos x cos u x k ,k ¢ u k ,k ¢ 2 2 1 2 u ' 2 cot x ' 2 1 cot x cot u ' 2 1 cot u u ' sin x sin u x k ,k ¢ u k ,k ¢ MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM NHANH / / ax b ad bc ax2 bx c adx2 2aex be dc ● 2 ● 2 cx d cx d dx e dx e / ax2 bx c ae bd x2 2 af dc x bf ec ● 2 2 dx ex f dx2 ex f BÀI TẬP TỔNG HỢP ĐẠO HÀM 1 5 2 4 3 3 2 1: y x x x x 4x 5 2 3 2 / / / / 1 5 2 4 3 3 2 1 5 2 4 3 / 3 2 / / y ' x x x x 4x 5 y ' x x x x 4x 5 2 3 2 2 3 2 5 8 y ' x4 x3 3x2 3x 4 2 3 1 1 2: y x x2 0,5x4 4 3 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  30. / / 1 1 2 4 y x x 0,5x 4 3 / / / 1 1 2 / 4 / y x x 0,5x 4 3 1 y/ 2x 2x3 3 1 3: y 2x4 x3 2 x 5 3 / / 2 4 1 3 4 / 1 3 / 3 2 1 y ' 2x x 2 x 5 y ' 2x x 2 x 5 y ' 8x x 3 3 x x4 x3 1 4: y x2 x a (a là hằng số) 4 3 2 4 3 / x x 1 2 3 2 y ' x x a y ' x x x 1 4 3 2 3 2 5: y x x x x2 3 / 3 2 / / 2 / y ' x x x y ' 3.x 2 x x x 2 x 3 3 1 2 / 6 1 2 1 y ' 3. 2 .x 3 x/ . x x .x y ' x .x 3 2 x 3 x 2 x 3 2 x 6 1 2 x 6 1 y ' x x 3 3 x 2 x 3 2 x 2 x Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a). y x2 3x 2 x b). y 2x 3 x5 2x c). y x2 1 5 3x2 a). y x2 3x 2 x / / y ' x2 3x 2 x x2 3x . 2 x x2 3x . 2 x / 2x 3 2 x x2 3x 1 3x2 2x 6 b). y 2x 3 x5 2x / / y ' 2x 3 x5 2x 2x 3 / x5 2x x5 2x 2x 3 2 x5 2x 5x4 2 2x 3 12x5 15x4 8x 6 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  31. c). y x2 1 5 3x2 / / / y ' x2 1 5 3x2 x2 1 5 3x2 5 3x2 x2 1 2x 5 3x2 6x x2 1 10x 6x3 6x3 6x 12x3 4x Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2 3 a). y x7 x b). y 2x3 3x2 6x 1 c). y 1 2x2 2 / a). y x7 x . Sử dụng công thức u .u 1.u ' (với u x7 x ) / y ' 2 x7 x . x7 x 2 x7 x 7x6 1 2 / b). y 2x3 3x2 6x 1 . Sử dụng công thức u với u 2x3 3x2 6x 1 / y ' 2 2x3 3x2 6x 1 2x3 3x2 6x 1 2 2x3 3x2 6x 1 6x2 6x 6 3 / c). y 1 2x2 . Sử dụng công thức u với u 1 2x2 2 / 2 2 y ' 3 1 2x2 1 2x2 3 1 2x2 4x 12x 1 2x2 Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a). y x2 x x 1 b). y 1 2x x2 c). y x2 1 1 x2 a). y x2 x x 1 / / / 1 3 x y ' x2 x x 1/ 2x x '. x x .x 2x x .x 2x 2 x 2 / b). y 1 2x x2 . Sử dụng công thức u với u 1 2x x2 2 / 1 2x x 1 x y ' 1 2x x2 1 2x x2 c). y x2 1 1 x2 2 / 2 / / / x 1 1 x x x y ' x2 1 1 x2 2 x2 1 2 1 x2 x2 1 1 x2 Bài 5: Tính đạo hàm của các hàm số sau: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  32. 3 sin x 3 a). y x cos x b). y c). y sin 2x 1 1 cos x d). y sin 2 x2 e). y sin x 2x f). y 2sin2 4x 3cos3 5x a). y x cos x . Ta áp dụng đạo hàm tích. y ' x 'cos x x. cos x / cos x xsin x . 3 sin x / sin x b). y . Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u với u 1 cos x 1 cos x 2 / sin x sin x y ' 3 . 1 cos x 1 cos x / / / sin x sin x 1 cos x 1 cos x .sin x cos x 1 cos x sin2 x Tính: 2 2 1 cos x 1 cos x 1 cos x cos x cos2 x sin2 x 1 . 1 cos x 2 1 cos x 2 sin x 1 3sin2 x Vậy y ' 3 . 3 . 1 cos x 1 cos x 1 cos x / c). y sin3 2x 1 . Bước đầu tiên áp dụng công thức u với u sin 2x 1 / / Vậy y ' sin3 2x 1 3sin2 2x 1 . sin 2x 1 . / Tính sin 2x 1 : Áp dụng sin u / , với u 2x 1 / Ta được: sin 2x 1 cos 2x 1 . 2x 1 / 2cos 2x 1 y ' 3.sin2 2x 1 .2cos 2x 1 6sin2 2x 1 cos 2x 1 d). y sin 2 x2 . Áp dụng công thức sin u / với u 2 x2 2 / / 2 x x y ' cos 2 x2 . 2 x2 cos 2 x2 . .cos 2 x2 . 2 2 x2 2 x2 / e). y sin x 2x . Áp dụng u , với u sin x 2x / sin x 2x cos x 2 y ' 2 sin x 2x 2 sin x 2x – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  33. f). y 2sin2 4x 3cos3 5x . Bước đầu tiên áp dụng u v / / / y ' 2sin2 4x 3 cos3 5x / / Tính sin2 4x : Áp dụng u , với u sin 4x , ta được: / sin2 4x 2sin 4x. sin 4x / 2sin 4x.cos 4x 4x / 4sin8x . / Tương tự: cos3 5x 3cos2 5x. cos5x / 3cos2 5x. sin 5x . 5x / 15 15cos2 5x.sin 5x cos5x.sin10x . 2 45 Kết luận: y ' 8sin8x cos5x.sin10x 2 x3 x2 Cho f x 2x . Với những giá trị nào của x thì: 3 2 a. f ' x 0 b. f ' x 2 c. f ' x 10 LỜI GIẢI 3 2 x x 2 Ta có f ' x 2x x x 2 3 2 a). f ' x 0 x2 x 2 0 x 1 x 2 b). f ' x 2 x2 x 2 2 x2 x 0 x 0  x 1 c). f ' x 10 x2 x 2 10 x2 x 12 0 x 3 x 4 Câu: Giải a). Cho f x 2x3 x 2, g x 3x2 x 2 . Giải bất phương trình f ' x g ' x . x2 b). Cho f x 2x3 x2 3, g x x3 3 . Giải bất phương trình f ' x g ' x . 2 60 64 Cho f x 3x 5. Giải phương trình f ' x 0 x x3 LỜI GIẢI / / a). Ta có f ' x 2x3 x 2 6x2 1, g ' x 3x2 x 2 6x 1 f ' x g ' x 6x2 1 6x 1 6x2 6x 0 x ;0  1; – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  34. / / 2 3 2 2 3 x 2 b). f ' x 2x x 3 6x 2x, g ' x x 3 3x x 2 f ' x g ' x 6x2 2x 3x2 x 3x2 3x 0 x ;0  1; / 60 64 60 192 c). Ta có f ' x 3x 3 5 3 2 4 x x x x 60 192 1 f ' x 0 3 0 (1). Đặt t , t 0 x2 x4 x2 1 1 1 192t 2 60t 3 0 t  t 4 16 1 1 1 Với t x2 4 x 2 4 x2 4 1 1 1 Với t x2 16 x 4 16 x2 16 Vậy f ' x 0 có 4 nghiệm x 2, x 4 . VI PHÂN TÓM TẮT GIÁO KHOA Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x0 . Gọi x là số gia của biến số tại x0 . Ta gọi tích f ' x0 . x là vi phân của hàm số f x tại điểm x0 ứng với số gia x . Kí hiệu df x0 f ' x0 . x . Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x. Ta gọi tích f ' x . x là vi phân của hàm số f x tại điểm x ứng với số gia x (gọi tắt là vi phân của f tại điểm x). Kí hiệu df x f ' x . x . Nếu chọn hàm số y x thì ta có dy dx 1. x x . Vì vậy ta thường kí hiệu x dx và dy f ' x dx . Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f x0 x f x0 f ' x0 . x PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1: Tìm vi phân của hàm số PHƯƠNG PHÁP a). Tính vi phân của hàm số f x tại x0 cho trước: Tính đạo hàm của hàm số tại x0 . Suy ra vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là df x0 f ' x0 . x . – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  35. b). Tính vi phân của hàm số f x . Tính đạo hàm của hàm số. Suy ra vi phân của hàm số: dy df x f ' x dx 3 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y x 4x 2 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1, ứng với số gia x 0,02 . LỜI GIẢI 2 Ta có y ' f ' x 3x 4x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0 1, ứng với số gia x 0,02 là: df 1 f ' 1 . x 3.12 4.1 .0,02 0,02 . Ví dụ 2: Tính vi phân của các hàm số sau: 2x2 3x 1 x a). y b). y 3x3 2x2 c) y sin x cos d). y xsin x cos x x2 x 1 2 LỜI GIẢI 2x2 3x 1 ' x2 x 1 x2 x 1 ' 2x2 3x 1 a). Ta có: y ' f ' x 2 2 x2 x 1 x2 x 1 suy ra dy f ' x dx DẠNG 2: Tính gần đúng giá trị của hàm số: Để tính gần đúng giá trị của hàm số f x tại điểm x x0 x cho trước, ta áp dụng công thức f x0 x f x0 f ' x0 . x Ví dụ tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả). 1 a). 16,25 b). cos3015' c). sin 46 d). 0,9995 e). tan 5315' LỜI GIẢI 1 a). Ta có 16,25 16 0,25 . Xét hàm số f x x f ' x 2 x chọn x0 16 và x 0,25 , ta có f x0 x f x0 f ' x0 . x 1 16 0,25 16 .0,25 4 0,03125 4,03125 16 0,25 4,0313 2 16 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  36. b). Ta có cos3015' cos 30 15' cos 6 720 Xét hàm số f x cos x f ' x sin x . Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x . 0 6 720 0 0 0 3 cos cos sin . 6 720 6 6 720 2 1440 c). Ta có sin 46 sin 45 1 sin 4 180 Xét hàm số f x sin x f ' x cos x Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x 0 4 180 0 0 0 2 2 sin sin cos . 4 180 4 4 180 2 360 1 1 d). Ta có 0,9995 1 0,0005 1 1 Xét hàm số f x f ' x x x2 Chọn x0 1 và x 0,0005 , ta có f x0 x f x0 f ' x0 . x 1 1 1. 0,0005 1,0005 . 1 0,0005 3 e). tan 5315' tan 60 645' tan 3 80 Xét hàm số f x tan x f ' x 1 tan2 x 3 Chọn x và x , ta có f x x f x f ' x . x 0 3 80 0 0 0 3 2  tan tan 1 tan . 1,2608 3 80 3 3 80 ĐẠO HÀM CẤP CAO A. TÓM TẮT GIÁO KHOA. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  37. 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f ' x . Hàm số f ' x còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f x . Nếu hàm số f ' x có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f x , kí hiệu y '' hay f '' x . Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f x , ký hiệu là y ''' hay f ''' x . Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp n 1 là đạo hàm cấp n của hàm số f x , kí hiệu là y n hay f n x , tức là ta có: y n y n 1 ' n ¥ ,n 1 . 2. Đạo hàm cấp 2 của hàm số f t là gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN DẠNG 1: Tính đạo hàm cấp cao của hàm số. 1. PHƯƠNG PHÁP Áp dụng trực tiếp định nghĩa: y n y n 1 ' để tính đạo hàm đến cấp mà đề bài yêu cầu. Ví dụ: Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau: a). y xsin 2x, y ''' b). y cos2 x, y ''' c). y x4 4x3 3x2 1, y n 3x 1 d). y x4 sin 2x, y 4 e). y sin2 2x, y 5 f). y , y 4 x 2 LỜI GIẢI a). Có y ' x 'sin 2x x. sin 2x ' sin 2x 2x cos 2 x y '' sin 2x ' 2x 'cos 2x 2x cos 2x ' 4cos 2x 4xsin 2x y ''' 4 cos 2x ' 4x 'sin 2x 4x sin 2x ' 8sin 2x 4sin 2x 8cos 2x 12sin 2x 8cos 2x 1 b). Ta có y cos2 x 1 cos 2x y ' sin 2x 2 y '' 2cos 2 x y''' 4sin 2 x c). y x4 4x3 3x2 1 y ' 4x3 12x2 6x y '' 12x2 24x 6 y ''' 24x 24 y 4 24 y 5 0 y n 0 d). y x4 sin 2x – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  38. y ' 4x3 2cos 2 x y'' 12x2 4sin 2x y ''' 24x 8cos 2x y 4 24 16sin 2x 1 e). y sin2 2x 1 cos 4x 2 y ' 2sin 4x y '' 8cos 4x y ''' 32sin 4x y 4 128cos 4x y 5 512sin 4x 3x 1 f). y , y 4 x 2 / 2 7 7 x 2 14 y ' y '' x 2 2 x 2 4 x 2 3 / / 3 4 14 x 2 42 42 x 2 168 y ''' y 4 x 2 6 x 2 4 x 2 8 x 2 5 DẠNG 2: Tìm đạo hàm cấp n của một hàm số PHƯƠNG PHÁP Bước 1: Tính y ', y '', y ''' . Dựa vào các đạo hàm vừa tính, dự đoán công thức tính y n . Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp. Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y ', y '', y ''' tìm ra quy luật để dự đoán công thức y n chính xác. Ví dụ 1: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y sin x n ¥ * LỜI GIẢI Bước 1: Ta có: y ' cos x sin x 1. ; y '' sin x sin x 2 2 2 n * Dự đoán: y sin x n (1), n ¥ 2 Bước 2: Chứng minh (1) bằng quy nạp: * n 1 : (1) hiển nhiên đúng. k * Giả sử (1) đúng với n k 1 nghĩa là ta có: y sin x k ta phải chứng minh (1) cũng đúng với 2 n k 1 nghĩa là ta phải chứng minh – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  39. k 1 y sin x k 1 (2) 2 / k 1 k / Thật vậy: vế trái (2) y y sin x k cos x k sin x k 1 vế phải (2) 2 2 2 2 đúng, nghĩa là (1) đúng với n k 1. n * Bước 3: Theo nguyên lí quy nạp suy ra y sin x n ,n ¥ 2 1 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y n ¥ * x 3 LỜI GIẢI / 1 / 1! Ta có: y ' 1 1 ; x 3 2 x 3 2 2 1.2 2 2! y '' 1 . 1 . . x 3 3 x 3 3 n n! Dự đoán: yn 1 . (1), n ¥ * . x 3 n 1 Chứng minh (1) bằng phương pháp quy nạp: * n 1: (1) hiển nhiên đúng. k k! * Giả sử (1) đúng với n k 1, nghĩa là ta có: yk 1 ta phải chứng minh (1) cũng đúng với x 3 k 1 n k 1, nghĩa là ta phải chứng minh: k 1 k 1 ! yk 1 1 (2) x 3 k 2 Thật vậy, vế trái / / k k! k 1 k! k 1 / 2 yk 1 yk 1 1 . . x 3 k 1 k 1 2 x 3 x 3 k 1 k! k 1 k 1 k 1 ! 1 . 1 . vt(2) x 3 k 2 x 3 k 2 Vậy (2) đúng nghĩa là (1) đúng với n k 1. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  40. n n! Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra yn 1 . ,n ¥ * x 3 n 1 DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức: Bài 11: a). Cho hàm số y xsin x . Chứng minh x.y '' 2 y ' sin x xy 0 (*) b). Cho hàm số: y 2x x2 chứng minh y3.y '' 1 0 (*) c). Cho hàm số: y x tan x chứng minh: x2.y '' 2 x2 y2 1 y 0 (*) x 3 2 d). Cho hàm số: y chứng minh: 2 y ' y 1 .y '' (*) x 4 LỜI GIẢI a). Cho hàm số y xsin x . Chứng minh x.y '' 2 y ' sin x xy 0 (*) Ta có y ' xsin x / y ' x '.sin x x. sin x / y ' sin x x cos x y '' sin x x cos x / sin x / x cos x / cos x x '.cos x x. cos x / 2cos x xsin x 1 x 2cos x xsin x 2 sin x x cos x sin x x2 sin x 0 2x cos x x2 sin x 2x cos x x2 sin x 0 0 0 ®pcm b). Cho hàm số y 2x x2 chứng minh y3.y '' 1 0 (*) / 1 / 1 x Ta có: y ' 2x x2 y ' . 2x x2 2 2x x2 2x x2 / 2 1 x 1 x / . 2x x2 2x x2 . 1 x 2x x . 1 x 2x x2 y '' 2 2 2x x2 2x x2 2 2 2 2x x 1 x 1 2 3 2x x2 . 2x x2 2x x2 3 1 (*) 2x x2 . 1 0 1 1 0 ®pcm 3 2x x2 c). Cho hàm số: y x tan x chứng minh: x2.y '' 2 x2 y2 1 y 0 (*) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  41. Ta có: y ' x tan x / x '.t x. tan x / tan x x 1 tan2 x y '' tan x / x '. 1 tan x x 1 tan x / 2 1 tan2 x x. 2 tan x . tan2 x 1 2 1 tan2 x 1 x tan x (*) 2x2 1 tan2 x . 1 x tan x 2 x2 x2 tan2 x 1 x tan x 0 2x2 1 tan2 x 1 x tan x 2x2 1 tan2 x 1 x tan x 0 0 0 ®pcm x 3 2 d). Cho hàm số: y chứng minh: 2 y ' y 1 .y '' (*) x 4 / x 3 7 Ta có: y ' 2 x 4 x 4 2 / 7 x 4 14 y '' x 4 2 x 4 3 2 7 x 3 14 98 98 (*) 2 1 . ®pcm 2 3 4 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 e) Cho hàm số y cos2 3x chứng minh 18 2y 1 y '' 0 (*) Ta có: y cos2 3x y ' 2.cos3x cos3x / 2cos3x. sin 3x 3x / 3sin 6x y '' 18cos6 x * 18 2cos2 3x 1 18cos6x 0 18.cos6x 18cos6x 0 ®pcm Bài 12: sin3 x cos3 x a). Cho hàm số y . Chứng minh y '' y 0 (*) 1 sin x.cos x 2 b). Cho hàm số y x2 1 . Chứng minh: y4 2xy ''' 4y '' 40 (*) c). Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 4 x2 1 .y '' 4x.y ' y 0 (*) k d). Chứng minh 1 x2 .y '' x.y ' k 2.y 0 nếu y x x2 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  42. LỜI GIẢI sin3 x cos3 x a). Cho hàm số y chứng minh y '' y 0 (*) 1 sin x.cos x sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x Ta có: y 1 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x 1 sin x cos x y ' cos x sin x y '' sin x cos x * sin x cos x sin x cos x 0 0 0 ®pcm 2 b). Cho hàm số y x2 1 . Chứng minh: y4 2xy ''' 4y '' 40 (*) Ta có: y x4 2x2 1 y ' 4x3 4x y '' 12x2 4 y ''' 24x y '''' 24 * 24 2x 24x 4 12x2 4 40 24 48x2 48x2 16 40 40 40 ®pcm c). Cho hàm số y x 1 x2 . Chứng minh: 4 x2 1 .y '' 4x.y ' y 0 (*) 1 x x 1 x2 Ta có: y ' . 1 2 2 2 x 1 x2 1 x 2 1 x / / 2 2 2 2 x 1 x .2 1 x 2 1 x . x 1 x y '' 2 2 1 x2 x 1 x2 . 2 1 x2 4x 8 1 x2 . 1 x2 2 2 x 1 x 2 1 x 4x x 1 x2 * 4 x2 1 4x. x 1 x2 0 8 1 x2 1 x2 2 1 x2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  43. 2 2 x 1 x 2 1 x 4x x 1 x2 2x x 1 x2 0 2 1 x2 1 x2 2x x 1 x2 2x x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 0 1 x2 1 x2 0 0 ®pcm k d). Chứng minh 1 x2 .y '' x.y' k2 .y 0 nếu y x x2 1 k k 1 1 Ta có: y x x2 1 y ' k x x2 1 . 1 2 x 1 2 2 k 1 x x2 1 x x 1 k x x2 1 . k. 2 2 x 1 x 1 k / / k 2 2 2 2 x x 1 . x 1 x 1 . x x 1 y '' k x2 1 k 2 k x x 1 x k . x2 1 . x x2 1 2 2 k. x 1 x 1 x2 1 k k x x2 1 k x2 1 x x2 1 x2 1 k k k x x2 1 . k x2 1 x x.k x x2 1 * 1 x2 x2 1 x2 1 x2 1 k k 2 2 2 2 k x x 1 . k x 1 x x.k x x 1 k k 2 x x2 1 0 x2 1 x2 1 Quy đồng đặt thừa số chung ta được: k x x2 1 k 2 x2 1 kx kx k 2 x2 1 0 0 0 ®pcm x2 1 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 1 ta có: – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  44. 1 n n! a) Nếu y thì yn 1 . x xn 1 b) Nếu y cos x thì y4n cos x . Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a) Nếu y sin ax thì y4n a4n .sin ax (a là hằng số) b) Nếu y sin2 x thì y4n 24n 1 cos 2x PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN I- Kiến thức cần nhớ - Phương trình tiếp tuyến của C : y f x tại điểm M x0 ; y0 có dạng: Với k y ' x là hệ số góc tiếp tuyến. : y k x x0 y0 0     Để viết phương trình tiếp tuyến Δ, ta cần tìm ba thành phần x, y, k ‚ ƒ f x g x - Điều kiện cần và đủ để hai đường C1 : y f x và C2 : y g x tiếp xúc nhau hệ f ' x g ' x có nghiệm (nhớ: “hàm = hàm, đạo = đạo”) II- Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến thường gặp  Viết PTTT Δ của C : y f x , biết Δ có hệ số góc k cho trước - Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Tính y ' y ' x0 - Do phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k y ' x0 k (i) - Giải (i) tìm được x0  y0 f x0  : y k x x0 y0  Lưu ý: Hệ số góc k y ' x0 của tiếp tuyến Δ thường cho gián tiếp như sau: - Phương trình tiếp tuyến / /d : y ax b k a 1 - Phương trình tiếp tuyến  d : y ax b k a - Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với trục hoành góc k tan k a - Phương trình tiếp tuyến Δ tạo với d : y ax b góc tan 1 k.a – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  45. ‚ Viết PTTT Δ của C : y f x , biết Δ đi qua (kẻ từ) điểm A xA; yA - Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Tính y0 f x0 và k y ' x0 theo x0 . - Phương trình tiếp tuyến Δ tại M x0 ; y0 là : y k x x0 y0 - Do A xA; yA yA k xA x0 y0 (i) - Giải phương trình (i)  x0  y0 và k  phương trình Δ. ƒ Viết PTTT Δ của C : y f x , biết Δ cắt hai trục tọa độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước - Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm và tính hệ số góc k y ' x0 theo x0 . OAB vu«ng c©n t¹o víi Ox mét gãc 45 vµ O i - Đề cho S OAB S OA.OB 2S ii - Giải (i) hoặc (ii)  x0  y0 ;k  phương trình tiếp tuyến Δ.  Tìm những điểm trên đường thẳng d : ax by c 0 mà từ đó vẽ được 1, 2, 3, , n tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y f x - Gọi M xM ; yM d : ax by c 0 (sao cho có một biến xM trong M) - PTTT Δ qua M và có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM f x k x xM yM i - Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x k ii - Thế k từ (ii) vào (i), được: f x f ' x . x xM yM (iii) - Số tiếp tuyến của C vẽ từ M = số nghiệm x của (iii).  Tìm những điểm M x0 ; y0 mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số C : y f x và hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau - PTTT Δ qua M có hệ số góc k có dạng : y k x xM yM f x k x xM yM i - Áp dụng điều kiện tiếp xúc: f ' x k ii - Thế k từ (ii) vào (i), được: f x f ' x . x xM yM (iii) – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  46. - Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C iii có hai nghiệm phân biệt x1, x2 - Hai tiếp tuyến đó vuông góc nhau k1.k2 1 y ' x1 .y ' x2 1  Lưu ý: - Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với C sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì iii : có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . f x1 . f x2 0 - Đối với bài toán tìm điểm M C : y f x sao cho tại đó tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng d cho trước, ta chỉ cần gọi M x0 ; y0 và Δ là tiếp tuyến với k f ' x0 . Rồi áp dụng k f ' x0 kd nếu cho song song và f ' x0 kd 1 nếu cho vuông góc x0 y0 M x0 ; y0 BÀI TẬP TỔNG HỢP Cho đường cong C : y f x x3 3x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C trong các trường hợp sau: a) Tại điểm M 0 1; 2 b) Tại điểm thuộc C có hoành độ x0 1 c) Tại giao điểm của C với trục hoành d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1; 4 LỜI GIẢI Ta có f ' x 3x2 6x a). Ta có f ' x0 f ' 1 3 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1; 2 : y f ' x0 x x0 y0 y 3 x 1 3 y 3x b). Ta có x0 1 y0 4, f ' x0 9 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm N 1; 4 là y f ' x0 x x0 y0 y 9 x 1 4 y 9x 5 3 2 x 0 c). Phương trình hoành độ giao điểm của C với trục hoành: x 3x 0 x 3 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  47. Với x0 0 y0 0, f ' x0 f ' 0 0 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;0 là y f ' x0 x x0 y0 y 0 Với x0 3 y0 0, f ' x0 f ' 3 9 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm 3;0 là y f ' x0 x x0 y0 y 9 x 3 y 9x 27 d). Gọi x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của phương trình tiếp tuyến d đi qua điểm A 3 2 2 Vì điểm x0 ; y0 C y0 x0 3x0 , và f ' x0 3x0 6x0 2 3 2 Phương trình d: y f ' x0 x x0 y0 y 3x0 6x0 x x0 x0 3x0 2 3 2 Vì A 1; 4 d nên 3x0 6x0 1 x0 x0 3x0 4 3 2x0 6x0 4 0 x0 2  x0 1 Với x0 2 y0 4, f ' 2 0 , phương trình tiếp tuyến y 4 Với x0 1 y0 4, f ' 1 9, phương trình tiếp tuyến y 9 x 1 4 y 9x 5 3x 1 Cho đường cong C : y . 1 x a). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x 4y 21 0 b). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 2x 2y 9 0 c). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng: d : x 2y 5 0 một góc 30°. LỜI GIẢI 4 Tập xác định D ¡ \ 1 . Ta có: y ' f ' x 1 x 2 1 21 1 a). Có d : x 4y 21 0 y x k 4 4 d 4 1 Vì tiếp tuyến song song với d nên k k tt d 4 4 1 Gọi M x ; y là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x k 0 0 0 tt 2 4 1 x0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  48. 2 x0 1 16 x0 5 x0 3 Với x0 5 y0 4 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y f ' x0 x x0 y0 1 1 21 y x 5 4 y x (loại, vì trùng với d) 4 4 4 Với x0 3 y0 2 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: y f ' x0 x x0 y0 1 1 5 y x 3 2 y x . 4 4 4 9 b). : 2x 2y 9 0 y x k 1 2 Vì tiếp tuyến vuông góc với Δ nên ktt .k 1 ktt 1 4 Gọi N x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 ktt 2 1 1 x0 2 x0 1 4 x0 3 x0 1. Với x0 3 y0 5 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y f ' x0 x x0 y0 y 1 x 3 5 y x 2 Với x0 1 y0 1, phương trình tiếp tuyến tại điểm này là y f ' x0 x x0 y0 y 1 x 1 1 y x 2 . 1 5 1 c). d : x 2y 5 0 y x k 2 2 d 2 k k Ta có tiếp tuyến hợp với d một góc 30°, nên có tt d tan 30 1 ktt kd 1 k 2 2 tt 1 1 1 11 1 2 3 k 1 k k 2 4k 0 1 tt tt tt tt 1 k 3 2 2 4 4 2 tt x2 x 2 Cho hàm số y f x C x 1 a). Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 2;4 b). Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến có hệ số góc k 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  49. LỜI GIẢI x2 2x 1 Ta có: f ' x x 1 2 a). Ta có x0 2 f ' x0 f ' 2 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 2;4 là y f ' x0 x x0 y0 y 1 x 2 4 y x 6 b). Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có, f ' x0 1 2 x0 2x0 1 2 1 1 1 (vô lý) x0 1 Kết luận không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng 1. Cho hàm số C : y 1 x x2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với C : 1 a) Tại điểm có hoành độ x 0 2 b) Song song với đường thẳng d : x 2y 0 LỜI GIẢI 1 5 1 5 1 2x Tập xác định D ; . Ta có f ' x 2 2 2 1 x x2 1 1 1 1 1 a). Với x0 y0 1 , f ' x0 f ' 2 2 2 4 2 2 1 1 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm ; là y f ' x0 x x0 y0 2 2 1 1 3 y 2 x y 2x 2 2 2 1 1 b). Ta có d : x 2y 0 y x k 2 d 2 1 Vì tiếp tuyến song song với d nên, k k . Gọi x là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị, ta có tt d 2 0 1 2x 0 1 1 2x0 1 2 0 f ' x0 1 2x0 1 x0 x0 2 2 2 x 0  x 1 2 1 x0 x0 0 0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  50. So với điều kiện x0 0 (nhận), x0 1 (loại) 1 1 Với x 0 y 1, phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;1 là: y x 0 1 y x 1. 0 0 2 2 Cho hàm số y x3 3x2 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. LỜI GIẢI Ta có y ' f ' x 3x2 6x 9 2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f ' x0 3x0 6x0 9 2 2 2 Ta có 3x0 6x0 9 3 x0 2x0 1 12 3 x0 1 12 12,x0 C Vậy min f ' x0 12 tại x0 1 y0 16 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 12 x 1 16 y 12x 4 x 2 Cho hàm số y (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục 2x 3 hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. (Khối A – 2009) LỜI GIẢI 3 1 Tập xác định D R \ . Ta có y ' f ' x 2 2x 3 2 Vì tiếp tuyến (d) cắt hai trục Ox, Oy lần lượt tại A, B tạo thành tam giác OAB vuông cân, nên đường thẳng (d) hợp với trục Ox một góc 45°. Vậy có ktt tan 45 ktt 1 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 1 1 Với f ' x0 1 2 1 (phương trình vô nghiệm) 2x0 3 1 2 Với f ' x0 1 2 1 2x0 3 1 x0 1 x0 2 2x0 3 Với x0 1 y0 1, phương trình tiếp tuyến tại điểm này y 1 x 1 1 y x . Tiếp tuyến này loại vì đường thẳng này đi qua gốc tọa độ nên không tạo thành được tam giác. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  51. Với x0 2 y0 0 , phương trình tiếp tuyến tại điểm này y 1 x 2 y x 2 Cho hàm số y x3 3mx2 m 1 x 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm A 1;2 (Dự bị A1 – 2008) LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ y ' f ' x 3x2 6mx m 1 Với x0 1 y0 2m 1, f ' 1 5m 4 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;2m 1 : y 5m 4 x 1 2m 1 d 5 Ta có A 1;2 d 5m 4 .2 2m 1 2 m 8 3x 1 Cho hàm số y (1). Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm x 1 số (1) tại điểm M 2;5 . (Dự bị D1 – 2008) LỜI GIẢI 2 Tập xác định D ¡ \ 1 . Có y ' . x 1 2 Phương trình tiếp tuyến d tại điểm M 2;5 : y 2 x 2 5 y 2x 9 9 9 Gọi A là giao điểm của d và trục hoành yA 0 xA , vậy A ;0 2 2 Gọi B là giao điểm của d và trục tung xB 0 yB 9 , vậy B 0;9 1 1 9 81 Ta có tam giác OAB vuông tại O nên S OA.OB 9 OAB 2 2 2 4 Cho hàm số y 3x3 4 C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x 3y 6 0 góc 30°. LỜI GIẢI – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  52. Tập xác định D ¡ . Ta có y ' 3 3x2 3 3 d : 3y x 6 0 y x 2 3 k 3 d 3 k k Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 30° nên thỏa tt d tan 30 1 ktt kd 3 2 2 ktt 3 1 3 3 2 3 k 1 k k 3k 0 k 0  k 3 3 3 tt 3 3 tt tt tt tt tt 1 k 3 tt Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm 2 Với ktt 0 3 3x0 0 x0 0 y0 4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm 0;4 : y 4 1 1 Với k 3 3 3x2 3 x2 x tt 0 0 3 0 3 1 13 1 13 10 Với x0 y0 , phương trình tiếp tuyến y 3 x y 3x 3 3 3 3 3 1 11 1 11 14 Với x0 y0 , phương trình tiếp tuyến y 3 x y 3x 3 3 3 3 3 Cho hàm số y x3 3x2 9x 5 C . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ . Ta có y ' 3x2 6x 9 2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có f ' x0 3x0 6x0 9 2 2 f ' x0 3 x0 2x0 1 12 3 x0 1 12 12 Từ đó suy ra max f ' x0 12 tại x0 1. Với x0 1 y0 16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 12 x 1 16 y 12x 4 . 2x 1 Cho hàm số y C . Gọi I 1;2 . Tìm điểm M C sao cho tiếp tuyến của C tại M vuông góc với x 1 đường thẳng IM. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  53. (Dự bị B2 – 2003) LỜI GIẢI 1 Tập xác định D ¡ . Ta có y ' x 1 2 2x0 1 Gọi M x0 ; y0 C y0 x0 1 2x0 1 1 1 Ta có IM x0 1; 2 IM x0 1; kIM x 1 x 1 2 0 0 x0 1 1 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M : ktt f ' x0 2 x0 1 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng IM nên có ktt .kIM 1 1 4 1 x0 1 1 x0 0  x0 2 x0 1 Vậy có 2 điểm M1 0;1 , M 2 2;3 thỏa yêu cầu bài toán. 2x Cho hàm số y C . Tìm điểm M C , biết tiếp tuyến của C tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B và tam x 1 1 giác OAB có diện tích bằng . 4 (Khối D – 2007) LỜI GIẢI 2 Tập xác định D ¡ \ 1 . Ta có y ' x 1 2 2x0 Gọi M x0 ; y0 C y0 x0 1 Phương trình tiếp tuyến của C tại M: y f ' x0 x x0 y0 2 2x 2 2x2 y x x 0 y 0 (d) 2 0 x 1 2 2 x0 1 0 x0 1 x0 1 2 2 Gọi A là giao điểm của d và trục Ox, có yA 0 x x0 . Vậy A x0 ;0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  54. 2x2 2x2 Gọi B là giao điểm của d và trục Oy, có x 0 y 0 . Vậy B 0; 0 B B 2 2 x0 1 x0 1 1 1 1 Ta có tam giác OAB cân tại O, theo giả thiết ta có: S OA.OB OAB 4 2 4 2 2 2 2x 1 2 2x0 x0 1 2x0 x0 1 0 x2 . 0 4x2 x 1 0 2 2 0 0 2 2 x0 1 2x0 x0 1 2x0 x0 1 0 2 Với 2x0 x0 1 0 phương trình vô nghiệm. 1 Với 2x2 x 1 0 x 1 x 0 0 0 0 2 1 1 Với x0 1 ta có M 1;1 . Với x0 ta có M ; 2 2 2 1 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là M 1;1 , M ; 2 2 1 3 2 4 4 (*) Cho hàm số y x 2x 3x C . Qua điểm A ; có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị C . 3 9 3 Viết phương trình các tiếp tuyến ấy. LỜI GIẢI 1 x2 Cho hai hàm số y và y . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của các hàm số đã cho tại giao x 2 2 điểm của chúng. Tìm góc giữa hai tiếp tuyến trên. LỜI GIẢI 3x 1 Cho hàm số: y C . 1 x a) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M 1; 1 ; b) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục hoành; c) Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với trục tung; d) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4x y 1 0 ; e) Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 4x y 8 0 . LỜI GIẢI – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  55. 1 2 1 2 Tìm các điểm trên đồ thị C : y x3 x mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y x 3 3 3 3 LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ . Ta có y ' x2 1 1 3 2 Gọi M x0 ; x0 x0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị C , sao cho d vuông góc với đường 3 3 1 2 thẳng : y x . 3 3 2 1 3 2 Phương trình tiếp tuyến d là: y f ' x0 x x0 y0 y x0 1 x x0 x0 x0 3 3 2 2 3 2 y x0 1 x x0 . 3 3 2 1 d vuông góc với khi và chỉ khi x0 1 1 x0 2 3 4 Kết luận có hai tọa độ điểm M cần tìm là M 2; và M 2;0 . 3 3m 1 x m Cho đồ thị: C : y . Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của C với Ox song song với đường m x m m thẳng d : y x 5 . LỜI GIẢI 3m2 2m Tập xác định D ¡ \ m . Ta có y ' . x m 2 m Tọa độ giao điểm của Cm và trục Ox là A ;0 . Phương trình tiếp tuyến Δ của Cm tại điểm A là: 3m 1 2 2 3m 1 m 3m 1 m 3m 1 y f ' x0 x x0 y0 y 2 x y 2 x 2 3m 2m 3m 1 3m 2m 3m 2m Để Δ song song với d : y x 5 khi và chỉ khi: 3m 1 2 1 2 2 12m 8m 1 0 1 1 3m 2m m  m 2 m 3m 1 12m 9m 0 6 2 5 3m2 2m – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  56. 1 1 Kết luận m  m thỏa yêu cầu. 6 2 x 2 Cho hàm số C : y . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A 6;5 của đồ thị C . x 2 LỜI GIẢI 4 Tập xác định D ¡ \ 2. Ta có y ' x 2 2 x0 2 Gọi M x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d cần tìm với đồ thị hàm số C nên y0 và x0 2 4 f ' x0 2 . Phương trình tiếp tuyến d : x0 2 4 x 2 y f ' x x x y y x x 0 0 0 0 2 0 x 2 x0 2 0 4 x 2 Ta có A 6;5 d 6 x 0 5 4x2 24x 0 x 0  x 6 2 0 x 2 0 0 0 0 x0 2 0 1 7 Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là y x 1 và y x 4 2 1 m 1 Gọi C là đồ thị của hàm số y x3 x2 (*) (m là tham số). m 3 2 3 Gọi M là điểm thuộc Cm có hoành độ bằng 1. Tìm m để tiếp tuyến của Cm tại điểm M song song với đường thẳng 5x y 0 . LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ . Ta có y ' x2 mx m Điểm thuộc Cm có hoành độ x 1 là M 1; 2 Phương trình tiếp tuyến của Cm tại M là: m m 2 : y f ' 1 x 1 y m 1 x 2 2 m 1 5 Để Δ song song với d :5x y 0 y 5x khi và chỉ khi: m 4 m 2 0 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  57. Kết luận m 4 . Cho hàm số y 4x3 6x2 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của (1), biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1; 9 . LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ . Có y ' 12x2 12x . 3 2 Gọi A x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d cần tìm với đồ thị hàm số (1) nên y0 4x0 6x0 1 và 2 f ' x0 12x0 12x0 . Phương trình tiếp tuyến d : 2 3 2 y f ' x0 x x0 y0 y 12x0 12x0 x x0 4x0 6x0 1 2 3 2 Ta có M 1; 9 d 12x0 12x0 1 x0 4x0 6x0 1 9 5 8x3 6x2 12x 10 0 x 1 x 0 0 0 0 0 4 15 21 Kết luận có hai tiếp tuyến cần tìm là y 24x 15 và y x . 4 4 1 9 Cho đồ thị C : y x4 2x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của C tại giao điểm của C với Ox. 4 4 LỜI GIẢI Tập xác định D ¡ . Ta có y ' x3 4x . 1 9 Phương trình hoành độ giao điểm của C và trục Ox: x4 2x2 0 x2 9  x2 1 (loại) 4 4 2 x 3 y 0 Với x 9 x 3 y 0 Phương trình tiếp tuyến tại M 3;0 của C : y f ' 3 x 3 y 15x 45 . Phương trình tiếp tuyến tại M 3;0 của C : y f ' 3 x 3 y 15x 45 . 2x Tìm A, B C : y sao cho tiếp tuyến của C tại A, B song song với nhau và OAB vuông tại O? x 1 LỜI GIẢI 2a 2b 2 ● Gọi A a; , B b; C , a;b 1;a b . Ta có: y ' 2 . a 1 b 1 x 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  58. 2 2 ● Tiếp tuyến tại A và B lần lượt có hệ số góc: kA ;kB . a 1 2 b 1 2 2 2 ● Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên kA kB a 1 2 b 1 2 2 2 a 1 b 1 a b a 1 b 1 a 2 b (i) a 1 1 b a 2 b O A B ● Do ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông tại O nên   OA  OB a,b 0 a,b 0 4   4ab 1 0 (ii) OA.OB 0 ab 0 a 1 b 1 a 1 b 1 a 2 b 4 2 (i), (ii) 4 1 b 1 4 1 0 1 b b 1 a 1 b 1 b 3 a 1 b 1 a 3. ● Vậy A 1;3 , B 3;3 hoặc A 3;3 , B 1;1 là các điểm cần tìm. x 1 Tìm những điểm M C : y sao cho tiếp tuyến với C tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có 2x 2 trọng tâm nằm trên đường thẳng d : 4x y 0 ? LỜI GIẢI x0 1 ● Gọi M x0 ; C , x0 1 và tiếp tuyến Δ tại điểm M có phương trình 2x0 2 1 x 1 : y x x 0 (i) 2 0 2 x 1 x0 1 0 2 2 x0 2x0 1 x0 20 1 ● Gọi A Ox A ;0 , B Oy B 0; 2 2 2 x0 1 x2 2x 1 x2 2x 1 ● Khi đó tọa độ trọng tâm của OAB là G 0 0 ; 0 0 6 2 6 x0 1 x2 2x 1 x2 2x 1 ● Do G d : 4x y 0 4 0 0 0 0 0 6 2 6 x0 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  59. 2 2 x0 1 4 (do: A B O x0 2x0 1 0) 1 3 1 3 3 5 x0  x0 nên (i) M1 ; hoặc M 2 ; . 2 2 2 2 2 2 Tìm A C : y x3 3x 1 biết rằng tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm A, cắt đồ thị C tại B (khác điểm A) thỏa: xA xB 1? LỜI GIẢI 3 ● Gọi A xA; xA 3xA 1 C và phương trình tiếp tuyến tại điểm A có dạng: 2 3 : y 3xA 3 x xA xA 3xA 1. ● Ta có  C B có hoành độ nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 3 3xA 3 xB xA xA 3xA 1 xB 3xB 1 (i) ● Theo giả thiết, ta có: xA xB 1 xB 1 xA (ii) 2 3 3 (i), (ii) 3xA 3 1 2xA xA 3xA 1 xA 3 1 xA 3 xA 1 xB 2 4xA 3xA 1 0 A 1;3 1 1 xA xB , do A B xA xB L 2 2 Cho hàm số y x3 3x 2 C . Tìm điểm M thuộc C , sao cho tiếp tuyến của C tại M cắt C tại điểm thứ hai là N và MN 6 5 . LỜI GIẢI Gọi M m;m3 3m 1 C . Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y 3m2 3 x m m2 3m 2 d . Phương trình hoành độ giao điểm của d và C : 3 2 2 2 x m x 3x 2 3m 3 x m m 3m 2 x m x 2m 0 , để d cắt C tại hai điểm x 2m phân biệt m 2m m 0 , khi đó N 2m; 8m3 6m 2 . Có MN 2 81m6 2.81m4 90m2 180 . Đặt t m2 ,t 0 9t3 18t 2 10t 20 0 t 2,m 2 Vậy có hai điểm N cần tìm N 2 2; 10 2 2 , N 2 2;10 2 2 . – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  60. 1 x Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng d : y x m luôn cắt đồ thị C : y tại hai điểm phân 2x 1 biệt A và B. Gọi k1,k2 là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại A và B. Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất? LỜI GIẢI 1 x 1 ● Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C : x m,x 2x 1 2 1 g x 2x2 2mx m 1 0,x 2 / 2 g m m 2 0 ● Ta có: 1 1 : luôn đúng m ¡ d  C A; B g 0 2 2 ● Gọi A a;a m , B b;b m với a, b là hai nghiệm của g x 0 . 1 1 ● Ta có: T k1 k2 y ' a y ' b 2 2 2a 1 2b 1 4 a b 2 2ab 4 a b 2 2 T 2 4 m 1 2 2 4ab 2 a b 1 ● Dấu “=” xảy ra m 1 0 m 1 thì T k k 2 max 1 2 min Cho hàm số y x3 m 2 x2 4m 3 (1) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng y 2x 7 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại các điểm A, B, C bằng 28. LỜI GIẢI Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d : y 2x 7 và đồ thị hàm số (1): x3 m 2 x2 4m 3 2x 7 x3 m 2 x2 2x 4m 4 0 x 2 2 2 . Đặt g x x mx 2m 2 x mx 2m 2 0 2 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  61. Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, C phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 0 2 m 4 2 2  m 4 2 2 2 m 8m 8 0 và khác 2 1 (3) g 2 0 2 4m 0 m 2 Gọi A 2; y1 , B x2 ; y2 , C x3; y3 với x1, x2 là hai nghiệm của (2). Hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm A, B, C với đồ thị hàm số (1) lần lượt là: 2 2 kA y ' 2 4 4m,kB y ' x2 3x2 2 m 2 x2 ,kC y ' x3 3x3 2 m 2 x3 . Theo đề bài 2 2 kA kB kC 28 4 4m 3x2 2 m 2 x2 3x3 2 m 2 x3 28 4 4m 3 x2 x2 2 m 2 x x 28 4 4m 3 x x 2 2x x 2 m 2 x x 28 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 4 4m 3 m 2 2m 2 2 m 2 m 28 m 4m 12 0 m 6  m 2. Kết hợp với điều kiện (3) được m 2 . Cho hàm số y x3 3x2 m2 x 2 m2 (1). Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm A, B, C phân biệt sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị (1) tại ba điểm A, B, C lớn nhất. LỜI GIẢI Ta có: y ' 3x2 6x m2 Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục hoành: x 1 3 2 2 2 2 2 x 3x m x 2 m 0 x 1 x 2x m 2 0 2 2 g x x 2x m 2 0 * Đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1 0 2 * 3 m 0 3 m 3 . Gọi A 1; y , B(x ; y ),C x ; y với x , x là hai nghiệm của 2 A 1 B 2 C 1 2 g 1 0 m 3 0 2 phương trình (*) theo định lý Vi ét có x1 x2 2 và x1.x2 m 2 . Ta có P kA kB kC y ' 1 y ' x1 y ' x2 2 2 2 2 2 3 m 3x1 6x1 m 3x2 6x2 m 3 x x 2 2x x 6 x x 3m2 3 9 3m2 9 1 2 1 2 1 2 Vậy max P 9 khi m 0 . Kết luận với m 0 thỏa yêu cầu bài toán. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  62. Cho hàm số y x3 3x2 2 (1) Tìm tham số m để đường thẳng d : y m 2 x 2 cắt đồ thị C của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A 2;2 , B,C sao cho tích các hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị C tại B và C đạt giá trị nhỏ nhất? LỜI GIẢI ● Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 2 m 2 x 2 x 2 y 2 2 x 2 x x m 2 0 2 g x x x m 2 0 ● Để d cắt C tại ba điểm phân biệt A 2;2 , B,C g x 0 có ba nghiệm phân biệt 2 9 g 9 4m 0 m 4 (i) g 2 m 0 m 0 2 ● Ta có: y ' 3x 6x và gọi B x1;m 2 x1 2 ,C x2 ;m 2 x2 2 với x1, x2 là hai nghiệm của x1 x2 1 g x 0 . Theo Viét: x1x2 m 2 2 2 ● Ta có: k1k2 y ' x1 .y ' x2 3x1 6x1 3x2 6x2 2 2 k1k2 9 x1x2 18x1x2 x1 x2 36x1x2 9 m 2 18 m 2 k1k2 9 x k k 9 m 1 2 9 9 k k 9 khi m 1 (thỏa (i)). 1 2 1 2 min Cho hàm số y x 2 x 1 2 C b). Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d : y 2x 19 , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị C đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng x 9y 8 0 LỜI GIẢI 1 8 Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 9y 8 0 y x nên k .k 1 k 9 , gọi tọa 9 9 tt tt 2 độ tiếp điểm của tiếp tuyến là I x0 ; y0 , từ đó ta có y ' x0 ktt x0 1 3 x0 2  x0 2 ● Với x0 2 y0 4 khi đó phương trình tiếp tuyến d1 : y y ' 1 x 2 4 d1 : y 9x 14 . Suy ra M là y 9x 14 giao điểm của d và d1 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ M 3;13 . y 2x 19 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  63. ● Với x0 2 y0 0 khi đó phương trình tiếp tuyến d2 : y 9x 18 . Suy ra M là giao điểm của d và d2 tọa y 9x 18 1 201 độ điểm M là nghiệm của hệ M ; y 2x 19 11 11 1 201 Kết luận tọa độ điểm M cần tìm là M 3;13 hoặc M ; . 11 11 3 2 Cho hàm số y x 3x m 2 x 3m Cm (m là tham số). Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị Cm của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng d : x y 2 0 . LỜI GIẢI Có y ' 3x2 6x m 2 Gọi M x0 ; y0 Cm , suy ra hệ số góc tiếp tuyến của Cm tại M là 2 2 k y ' x0 3x0 6x0 m 2 3 x0 1 m 5 m 5 , dấu “=” xảy ra x0 1 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến nhỏ nhất là kmin m 5 tại điểm M 1;4m 4 Để tiếp tuyến vuông góc với d ktt .kd 1 m 5 .1 1 m 4 . Kết luận với m 4 thỏa yêu cầu đề bài. x m Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số C : y với trục hoành. Gọi k là hệ 1 m x 1 2 số góc của tiếp tuyến với đồ thị Cm tại điểm có hoành độ x 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho k1 k2 đạt giá trị nhỏ nhất? LỜI GIẢI 1 m ● Ta có: y ' . Hoành độ giao điểm Cm với trục hoành: x m . x 1 2 1 ● Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x m là k y ' m 1 1 m 1 m ● Hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1 là k y ' 1 . 2 4 1 1 m 1 1 m Cauchy 1 1 m ● Ta có: k k 2 . 1 2 1 m 4 1 m 4 1 m 4 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  64. 1 1 m k k 1,m 1. Dấu “=” xảy ra 1 2 1 m 4 2 m 1 m 1 1 m 4 . Vậy k k 1 khi . 1 2 min m 3 m 3 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến d của C : y , biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho x 1 AB 82.OB ? LỜI GIẢI  Phân tích và tìm hướng giải TT Δ cắt trục Ox, Oy tại A, B OAB vuông tại O và tạo với trục Ox một góc α với OB k tan . OA AB 82.OB OB 1 1 Ta có: 81.OB2 OA2 k 2 2 2 OA OB AB OA 9 9 Bài giải 2x0 1 1 ● Gọi M x0 ; , x0 1 là tiếp điểm k . Phương trình tiếp tuyến có dạng x 1 2 0 x0 1 1 2x 1 : y x x 0 (i) 2 0 x 1 x0 1 0 AB 82.OB OB 1 ● Ta có: AB2 82.OB2 OA2 OB2 . 2 2 2 OA OB AB OA 9 OB 1 1 1 ● Hệ số góc tiếp tuyến được tính k tan k  k OA 9 9 9 1 1 ● Với k : phương trình vô nghiệm 9 2 x0 1 1 1 x0 4 ● Với k 2 x0 1 9 (ii) 9 x 2 x0 1 0 1 25 1 13 (i), (ii) : y x hoặc : y x là các tiếp tuyến cần tìm 9 9 9 9 Lập phương trình tiếp tuyến của C : y x3 3x2 1, biết nó song song với đường thẳng d :9x y 6 0 ? – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  65. LỜI GIẢI 2 ● Ta có: y ' 3x 6x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: : y k x x0 y0 . Do tiếp tuyến / /d : y 9x 6 k 9 . 2 x0 1 y0 3 y ' x0 9 3x0 6x0 9 x0 3 y0 1 ● Với x0 1; y0 3;k 9 : y 9x 6 (loại do  d ) ● Với x0 3; y0 1;k 9 : y 9 x 3 1 hay : y 9x 26 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y x4 x2 6 , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 d : y x 1? 6 Đại học khối D năm 2010 LỜI GIẢI 3 ● Ta có: y ' 4x 2x . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: 1 1 : y k x x y . Do  d : y x 1 k. 1 0 0 6 6 3 k y ' x0 6 4x0 2x0 6 x0 1 y0 4 . ● Phương trình tiếp tuyến là : y 6 x 1 4 hay : y 6x 10 2x 1 Gọi M C : y có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của C tại M cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A x 1 và B. Tính S OAB ? Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2013 LỜI GIẢI  Phân tích và tìm hướng giải 2x0 1 Viết PTTT Δ tại M khi biết y0 5 x0 k y ' x0 . Tìm tọa độ A Ox, B Oy và tính x0 1 1 S OA.OB = ? OAB 2 Bài giải – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  66. 3 2x0 1 ● Ta có: y ' 2 và y0 5 x0 2 k y ' x0 3 x 1 x0 1 ● Phương trình tiếp tuyến tại M 2;5 là : y 3x 11 11 : y 3x 11 x 11 ● Ta có: A Ox thỏa 3 A ;0 Ox : y 0 3 y 0 : y 3x 11 x 0 ● Ta lại có: B Oy thỏa B 0;11 Oy : x 0 y 11 1 1 11 121 S OA.OB . .11 (đvdt) OAB 2 2 3 6 x 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung 2x 3 lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O? Đại học khối A năm 2009  Phân tích và tìm hướng giải Tiếp tuyến Ox A, Oy B mà OAB vuông cân tại O song song với phương trình đường thẳng phân giác góc phần tư thứ I d1 : y x và thứ II d2 : y x k 1 x0 y0 . LỜI GIẢI 1 ● Ta có: y ' . Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm và tiếp tuyến là Δ. 2x 3 2 1 ● Theo đề / /d1,2 : y x k y ' x0 2 1 2x0 3 2 x0 1 y0 1 k 1 2x0 3 1 x0 2 y0 0 k 1 : y 1 x 1 1 : y x lo¹i do  d : y x hay : y 1 x 2 0 : y x 2 ● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: : y x 2 . – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  67. 2x 3 Cho hàm số y có đồ thị C . Viết phương trình tiếp tuyến Δ với đồ thị hàm số C sao cho Δ cắt trục x 2 hoành tại A mà OA 6 ?  Phân tích và tìm hướng giải 2x0 3 1 2x0 3 Gọi M x0 ; là tiếp điểm tt : y x x0 x 2 2 x 2 0 x0 2 0 Ox A tọa độ điểm A theo x0 giải OA 6 x0 tt . LỜI GIẢI 1 2x0 3 Ta có: y ' 2 . Gọi M x0 ; C , x0 2 là tiếp điểm. x 2 x0 2 1 2x 3 ● Phương trình tiếp tuyến tại M là: : y x x 0 (i) 2 0 x 2 x0 2 0 1 2x 3 ● Ta có: A Ox y 0 0 x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 2 2 x 2x0 6x0 6 A 2x0 6x0 6;0 2 ● Theo đề OA 6 2x0 6x0 6 0 x0 0  x0 3 (ii) 1 3 : y x ● Thế (ii) vào (i) các tiếp tuyến cần tìm là: 4 2 : y x 6 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C : y x3 6x2 9x , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng 4 : x y 1 0 một góc α, sao cho cos và tiếp điểm có hoành độ nguyên? 41  Phân tích và tìm hướng giải 3 2 2 Gọi M x0 ; x0 6x0 9x0 là tiếp điểm thì k y ' x0 3x0 12x0 9 và có : y x 1 k 1. k k Khi đó ta có hai hướng xử lý: một lá áp dụng công thức tan , hai là sử dụng 1 k.k     n .nd   cos cos n ,nd   với n 1;1 và nd k; 1 là vecto pháp tuyến của Δ và tiếp tuyến d. n . nd – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  68. LỜI GIẢI 3 2 2 ● Gọi M x0 ; x0 6x0 9x0 là tiếp điểm và k y ' x0 3x0 12x0 9  3 2 ● Phương trình tiếp tuyến có dạng: d : y k x x0 x0 6x0 9x0 và có vecto pháp tuyến nd k; 1 . Ta  có: n 1;1 .     n .nd k 1 4 ● Theo đề: cos cos n ,n   d 2 n . nd 2. k 1 41 1 9k 2 82k 9 0 k 9  k 9 2 x0 0 y0 0 : y 9x ● Với k 9 3x0 12x0 0 x0 4 y0 4 : y 9x 32 1 1 18 2 21 ● Với k 3x2 12x 9 x (loại do x , y ¢ ) 9 0 0 9 0 9 0 0 ● Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: : y 9x hoặc : y 9x 32. 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với C : y , biết tiếp tuyến cách đều hai điểm A 2;4 và B 4; 2 ? x 1  Phân tích và tìm hướng giải 2x0 1 1 2x0 1 Gọi M x0 ; là tiếp điểm tt : y x x0 . Do Δ cách đều hai điểm A và B nên có x 1 2 x 1 0 x0 1 0 các trường hợp sau đây xảy ra: tiếp tuyến Δ qua trung điểm I của AB I hoặc song song với AB hoặc trùng với AB k kAB . Giải hai trường hợp x0 . LỜI GIẢI 2x0 1 x0 x 2x0 1 ● Gọi M x0 ; , x0 1 tiếp tuyến : y (i) x 1 2 x 1 0 x0 1 0 ● Do tiếp tuyến cách đều hai điểm A 2;4 và B 4; 2 nên có các trường hợp: Trường hợp 1. Gọi I là trung điểm của AB I 1;1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  69. x 1 2x 1 1 5 1 0 0 x 1 : y x 2 x 1 0 4 4 x0 1 0 Trường hợp 2. / / AB hoặc  AB k kAB 1 Phương trình đường thẳng AB : y x 2 kAB 1 k 2 x0 1 x0 2  x0 0 . Thế vào (i) được : y x 5 hoặc : y x 1. 1 5 ● Vậy : y x hoặc : y x 5 hoặc : y x 1. 4 4 2x m Xác định m để đồ thị C : y có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng d :3x y 1 0 một x 1 khoảng cách bằng 10 ?  Phân tích và tìm hướng giải 2x0 m 2 m M x0 ; C là tiếp điểm k . Do / /d k 3 sẽ thu được một phương trình với x 1 2 0 x0 1 hai ẩn x0 ,m và d M ;d 10 sẽ thu thêm được một phương trình nữa. Giải hệ này tìm được x0 ,m LỜI GIẢI 2x0 m 2 m ● Gọi M x0 ; , x0 1 và tiếp tuyến Δ có k 3 (do tiếp tuyến / /d : y 3x 1) x 1 2 0 x0 1 2 3x0 6x0 m 1 0 (i) 2x0 m ● Vì d ;d d M ;d 10 3x0 10 (ii) x0 1 2 2 3x0 11x0 m 10 0 3x0 9x0 m 10 0 (i), (ii)  2 2 3x0 6x0 m 1 0 3x0 6x0 m 1 0 x 1 L x 1 L 0 0 11 1  3 67 x0 m x0 m 6 12 2 4 1 67 ● Vậy m  m là các giá trị cần tìm. 12 4 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m 0 sao cho tiếp tuyến của đồ thị Cm : y mx 2m 1 x m 1 tại giao – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  70. điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4? LỜI GIẢI ● Ta có: M Cm Oy : x 0 y m 1 M 0;m 1 ● Mà y ' 3mx2 2m 1 k y ' 0 2m 1 là hệ số góc tiếp tuyến tại điểm M và có phương trình : y 2m 1 x m 1 (i) m 1 y 0 x m 1 ● Ox A thỏa 2m 1 A ;0 y 2m 1 x m 1 2m 1 y 0 x 0 x 0 Oy B thỏa B 0;m 1 y 2m 1 x m 1 y m 1 m 1 1 OA ,OB m 1 với m 2m 1 2 1 1 m 1 ● Theo đề: S OA.OB . . m 1 4 AOB 2 2 2m 1 16m 8 m2 2m 1 m 7 2 14 m 1 2 8 2m 1 2 16m 8 m 2m 1 m 9 6 2 3 2 Tìm m để tiếp tuyến của Cm : y x 3mx m 1 x 1 tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm A 1;2 ? LỜI GIẢI Ta có: y ' 3x2 6mx m 1 k y ' 1 4 5m . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M 1;2m 1 có dạng: 5 d : y 4 5m x 1 2m 1 và A 1;2 d nên m 8 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của C : y , biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến đó với C cách điểm x 1 A 0;1 một khoảng 2 ? LỜI GIẢI 2x0 1 Gọi M x0 ; , x0 1 là tiếp điểm. Theo đề thì MA 2 hay x0 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  71. 2 2 2x0 1 x0 1 4 x0 0  x0 2 . Với x0 0 tiếp tuyến là d1 : y 3x 1 và với x0 1 x 1 x 2 d : y 0 2 3 3 x Viết phương trình tiếp tuyến của C : y tại M, biết rằng tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tại A và B sao 1 x cho M là trung điểm của AB? LỜI GIẢI m Gọi M m; , m 1 là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: 1 m 2 2 m : x 1 m y m2 0 . Khi đó: A m2 ;0 và B 0; 2 1 m m2 2m Để M là trung điểm của đoạn AB thì m 0,m2 2m; 1 m 2 1 m m 2 . Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: : x y 4 0 3 Tìm m để đồ thị hàm số Cm : y x 3mx 2 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x y 7 0 góc α, biết 1 cos ? 26 LỜI GIẢI  Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến tiếp tuyến có vtpt n1 k; 1  Đường thẳng d : x y 7 0 có vtpt n2 1;1   3 n .n k   1 2 1 k 1 2 Theo đề cos cos n1,n2   n . n 26 2 2 1 2 2. k 1 k 3 YCBT ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 3 3 2m 1 2m 1 y ' 3x2 3m x2 0 2 2 2 2 1 m 2 2 9m 2 9m 2 2 y ' 3x2 3m x2 0 3 3 9 9 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  72. 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y , biết rằng tiếp tuyến này cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, x 1 B thỏa OA 4OB ? LỜI GIẢI Giả sử tiếp tuyến d của C tại M x0 ; y0 C cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho OA 4OB . Do OAB OB 1 1 1 vuông tại O nên tan A hệ số góc của d bằng hoặc . Mà hệ số góc của d là: OA 4 4 4 1 y ' x0 2 0 x0 1 1 1 3 5 x 1 y hoặc x 3 y . 2 4 0 0 2 0 0 2 x0 1 1 5 1 13 Khi đó có hai tiếp tuyến là: d : y x hoặc d : y x 4 4 4 4 Tìm các điểm M trên đường thẳng d : y 2x 19 , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị C : y x 2 x 1 2 đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d ': x 9y 8 0 ? LỜI GIẢI ● Hàm số được viết lại: y x3 3x 2 1 8 1 ● Vì tiếp tuyến  d ': y x nên k. 1 k 9 9 9 9 2 ● Gọi M x0 ; y0 C là tiếp điểm k y ' x0 3x0 3 9 x0 2 3 ● Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng: : y k x x0 x0 3x0 2 Hay 1 : y 9x 14 hoặc 2 : y 9x 18 là hai tiếp tuyến tại M. ● Khi đó, tọa độ điểm M là giao điểm của đường thẳng d và tiếp tuyến y 2x 19 x 3 d  1 M1 thỏa M1 3;13 y 9x 14 y 13 1 x y 2x 19 11 1 207 d  2 M 2 thỏa M 2 ; y 9x 18 207 11 11 y 11 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  73. 1 207 ● Vậy có hai điểm M là M1 3;13 hoặc M 2 ; thỏa yêu cầu bài toán. 11 11 Tìm các điểm A, B C : y x3 3x sao cho tiếp tuyến của C tại A, B song song với nhau và AB 4 2 ? LỜI GIẢI Gọi A a; a3 3a , B b; b3 3b C , a b Do tiếp tuyến tại A và B song song nhau nên y ' a y ' b hay 3a2 3 3b2 3 a b (nhận) hoặc a b (loại) 2 ab 4 a 2;b 2 Theo đề AB 32 a b a 2;b 2 Vậy A 2; 2 , B 2;2 hoặc A 2;2 , B 2; 2 thì thỏa yêu cầu bài toán. Tìm M C : y x3 3x 2 để tiếp tuyến của C tại điểm M cắt đồ thị C tại điểm thứ hai là N thỏa mãn xM xN 6 ? LỜI GIẢI Gọi M a;a3 3a 2 C . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M: : y 3a2 3 x a a3 3a 2 hay : y 3a2 3 x 2a3 2 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x 2 3a2 3 x 2a3 2 2 x a x 2a 0 x a  x 2a xM a; xN 2a Theo đề: xM xN 6 a 2a 6 a 2 a 2 Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán: M 2;4  M 2;0 2x 3 Tìm các điểm trên C : y , sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích x 1 18 bằng (đvdt)? 5 LỜI GIẢI 2x0 3 Gọi M x0 ; C , x0 1 và phương trình tiếp tuyến tại M: x0 1 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  74. 2 5 2x0 3 7x0 x0 3 : y x x0 và Ox A ;0 2 x 1 5x x0 1 0 0 2x2 6x 3 18 1 18 Oy B 0; 0 0 . Do S AO.BO 2 ABO 5 2 5 x0 1 Giải phương trình này, sẽ tìm được x0 M cần tìm. 2x 1 Tìm tọa độ điểm M C : y , sao cho khoảng cách từ điểm I 1;2 tới tiếp tuyến của C tại M là x 1 lớn nhất? LỜI GIẢI 3 3 3 Gọi M x0 ;2 C , x0 1 . Khi đó tiếp tuyến tại M dạng : y x x0 2 . Khi x 1 2 x 1 0 x0 1 0 3 1 x 3 x 1 6 x 1 đó khoảng cách từ I 1;2 đến tiếp tuyến là: d I; 0 0 0 4 4 9 x0 1 9 x0 1 6 Cauchy Hay d I; 6 và dmax 6 khi và chỉ khi 9 2 2 x0 1 x0 1 9 2 2 2 x0 1 x0 1 3 x0 1 3 x0 1 Vậy: M1 1 3;2 3 hoặc M 2 1 3;2 3 là hai điểm cần tìm. – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  75. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hàm số C : y x3 3x2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M 1;4 là: A. y 9x 5 B. y 9x 5 C. y 9x 5 D. y 9x 5 Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 4x2 1 tại điểm B 1; 2 là: A. y 4x 6 B. y 4x 2 C. y 4x 6 D. y 4x 2 x 1 Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm C 2;3 là: x 1 A. y 2x 1 B. y 2x 7 C. y 2x 7 D. y 2x 1 Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x 2 tại điểm D có hoành độ bằng 2 có phương trình là: A. y 9x 14 B. y 9x 14 C. y 9x 22 D. y 9x 22 2x 1 Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm F có hoành độ bằng 2 có phương trình là: x 1 A. y x 5 B. y x 5 C. y x 1 D. y x 1 Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 tại điểm H có tung độ bằng 21 có phương trình là: y 40x 101 y 40x 59 y 40x 59 y 40x 59 A. B. C. D. y 40x 59 y 40x 101 y 40x 101 y 40x 101 x 2 Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm I có tung độ bằng 1 có phương trình là 2x 1 1 8 1 2 1 8 1 2 A. y x B. y x C. y x D. y x 5 5 5 5 5 5 5 5 1 Câu 8. Cho hàm số C : y x4 2x2 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M có hoành độ x 0 , biết 4 0 y '' x0 1 là: 5 1 A. y 3x 2 B. y 3x 1 C. y 3x D. y 3x 4 4 Câu 9. Cho hàm số C : y x3 3x 2 . Phương trình tiếp tuyến của C biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9 là: y 9x 14 y 9x 15 y 9x 1 y 9x 8 A. B. C. D. y 9x 18 y 9x 11 y 9x 4 y 9x 5 – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
  76. Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 có hệ số góc k 3 có phương trình là A. y 3x 7 B. y 3x 7 C. y 3x 1 D. y 3x 1 1 Câu 11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 có hệ số góc bằng x 2y 9 0 có phương trình là 4 A. y 48x 192 B. y 48x 160 C. y 48x 160 D. y 48x 192 x 3 Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4. 1 x y 4x 3 y 4x 3 y 4x 3 y 4x 3 A. B. C. D. y 4x 13 y 4x 13 y 4x 13 y 4x 13 Câu 13. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x2 song song với đường thẳng y x ? A. 2B. 1C. 3D. 4 Câu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 36x 5 của đồ thị hàm số y x4 x2 2 có phương trình là A. y 36x 54 B. y 36x 54 C. y 36x 90 D. y 36x 90 2x 1 Câu 15. Cho hàm số C : y . Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song song với x 2 đường thẳng có phương trình :3x y 2 0 A. y 3x 2 B. y 3x 14 C. y 3x 5 D. y 3x 8 Câu 16. Cho hàm y 2x3 3x 1 có đồ thị là C . Tiếp tuyến của đồ thị C vuông góc với đường thẳng x 21y 2 0 có phương trình là: 1 1 y x 33 y x 33 21 y 21x 33 y 21x 33 21 A. B. C. D. 1 y 21x 31 y 21x 31 1 y x 31 y x 31 21 21 Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 vuông góc với đường thẳng x 8y 2017 0 có phương trình là 1 1 A. y x 8 B. y 8x 8 C. y 8x 8 D. y x 8 8 8 2x 2 Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 2 y 6x 1 là – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất