Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 12 - Chuyên đề 1: Đạo hàm và đạo hàm cấp cao

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Hình học Lớp 12 - Chuyên đề 1: Đạo hàm và đạo hàm cấp cao

1. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Chuyên đề 1: Đạo hàm và đạo hàm cấp cao VẤN ĐỀ 1. ĐẠO HÀM Hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và điểm x0 a;b , khi đó giới hạn f x f x0 lim nếu tồn tại hữu hạn thì được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 , ký x x 0 x x0 hiệu là f x0 hoặc y x0 . f x f x0 Vậy f x0 lim . x x 0 x x0 Đặt x x x0 , người ta gọi là số gia của đối số x tại điểm x0 . Số gia của hàm số tại điểm x0 là y f x f x0 f x0 x f x0 . y Ta có thể viết y x0 lim . x 0 x Các bước tính đạo hàm (nếu có) của hàm số tại điểm x0 bằng định nghĩa: f x f x Cách 1: Tính giới hạn lim 0 . x x 0 x x0 Nếu giới hạn tồn tại và có kết quả bằng L thì f x0 L . Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay. Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại điểm x0 : Hàm số f liên tục tại điểm x0 và f x f x f x f x lim 0 lim 0 . x x x x 0 x x0 0 x x0 1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm Cho hàm số y f x xác định trên khoảng a;b và điểm x0 a;b : f x f x0 y f x0 lim lim . x x x 0 0 x x0 x Nếu hàm số y f x có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó. 2. Ý nghĩa của đạo hàm  Ý nghĩa hình học:  f x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0; f x0 .  Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x tại M x0; y0 là: y y0 f x0 x x0 .  Ý nghĩa vật lý:  Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s s t tại thời điểm t0 là v t0 s t0 .  Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t tại thời điểm t0 là I t0 Q t0 . 3. Quy tắc tính đạo hàm n n 1 1  C 0  x 1  x n  x n ¥ ,n 1  x , x 0 2 x u u v v u  u v u v  uv u v v u  2 ,v 0 v v Trang 1 |
2. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 1 v  ku ku  2 ,v 0 v v  Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u g x có đạo hàm tại x là u x và hàm số y f u có đạo hàm tại u là yu thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là y x yu u x .  Một số hàm số có dạng thương ta hay sử dụng phương pháp đưa về dạng tích (bằng phép nhân chéo) rồi lấy đạo hàm của tích cho đơn giản. 4. Đạo hàm của hàm số lượng giác sin x sin u x lim 1  lim 1 (với lim u x 0 ) x 0 x x x0 u x x x0 1 1  sin x cos x  cos x sin x  tan x  cot x cos2 x sin2 x cos2 x Ví dụ: Với y . Ta có xy cos2 x y xy 2cos x  sin x . x 5. Vi phân  dy df x f x  x  f x0 x f x0 f x0  x 6. Đạo hàm cấp cao n  f x f x  f x f x  f x f n 1 x n ¥ ,n 4 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động s f t tại thời điểm t0 là a t0 f t0 . Một số đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản: n n n Hàm số y sin ax b có y a sin ax b . 2 n n n Hàm số y cos ax b có y a cos ax b . 2 Hàm số y ax b có y n 1  n 1  an ax b N . Đặc biệt: n 1 n 1 n! y có y . x xn 1 n n 1 n 1 a  n! y có y . ax b ax n n 1 n n n k k n k Công thức Lepnit y uv Cn u  v (Chứng minh bằng quy nạp). k 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN. 1 Câu 1. [1D5-1.0-1] Cho hàm số f x x3 . Tính f 2 . 2 A. f 2 6 . B. f 2 6 . C. f 2 12 . D. f 2 12 . Lời giải Chọn A Trang 2 |
3. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 1 3 x 4 2 f x f 2 x 2x+4 Ta có: f 2 lim lim 2 lim 6 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 1 3 f x f 2 x 4 x2 2x 4 f 2 lim lim 2 lim 6 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 Cách 2: (Casio). 1 Câu 2. [1D5-1.0-1] Cho hàm số f x x . Tính f . 4 1 1 1 1 A. f 2 . B. f 2. C. f 1. D. f 1. 4 4 4 4 Lời giải Chọn C 1 f x f 1 4 1 Ta có: f lim lim 1. 1 1 4 x 1 x 1 4 x 4 x 4 2 Cách 2: (Casio). 1 1 Câu 3. [1D5-1.0-1] Cho hàm số f x . Tính f . 2x 2 1 1 1 1 1 1 A. f 1. B. f 1. C. f . D. f . 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B 1 1 f x f 1 1 2 2 Ta có: f lim lim 2x lim 1. 1 1 1 2 x 1 x 1 x 2x 1 2x 2 x 2 x 2 2 2 Cách 2: (Casio). 1 Câu 4. [1D5-1.2-1] Cho hàm số f x x3 x . Đạo hàm của hàm số tại x trên khoảng 0; là 2 0 3x2 1 x2 1 3x2 2 x2 2 A. 0 . B. 0 . C. 0 . D. 0 . 2 2 x0 2 2 x0 2 x0 2 x0 Lời giải Chọn A 1 3 1 3 x x x x 0 0 2 2 1 2 2 1 Ta có: f x0 lim lim x xx0 x0 x x0 x x x x0 2 0 x x0 3 2 1 f x0 x0 ,x 0; . 2 2 x0 1 Câu 5. [1D5-1.2-1] Đạo hàm của hàm số y x3 9x2 tại điểm x là 2 0 Trang 3 |
4. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 1 1 3 3 A. x2 9x . B. x2 18x . C. x2 9x . D. x2 18x . 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 Lời giải Chọn D 1 3 2 1 3 2 x 9x x0 9x0 f x f x0 2 2 Ta có y x0 lim lim x x x x 0 x x0 0 x x0 1 2 2 3 2 lim x xx0 x0 9 x x0 x0 18x0 . x x0 2 2 Câu 6. [1D5-1.2-1] Hỏi hàm số f x x2 2 x có đạo hàm tại điểm x 0 không ? Nếu có tính f 0 . A. Không. B. Có, f 0 2 . C. Có, f 0 2 . D. Có, f 0 0 . Lời giải Chọn A Xét hàm số y x . x 0 y 0 lim 1 x 0 x 0 Ta có x 0 y 0 lim 1 x 0 x 0 Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số y x tại x 0 . Từ đó hàm số f x x2 2 x không có đạo hàm tại điểm x 0 . Câu 7. [1D5-1.5-1] Một vật chuyển động theo phương trình s t t 2 , trong đó t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Tính vận tốc của vật tại thời điểm t 2 (giây). A. 2m / s . B. 4m / s . C. 3m / s . D. 5m / s . Lời giải Chọn B s t s 2 t 2 4 Ta có v 2 s 2 lim lim lim t 2 4 . t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 2 mx 2x 2 x 0 Câu 8. [1D5-1.2-2] Cho hàm số f x . Tìm tất cả các tham số m , n sao cho nx 2 x 0 hàm số f x có đạo hàm tại x 0 . A. không tồn tại m , n . B. m 2,n . C. n 2,m . D. m n 2 . Lời giải Chọn C Ta có f 0 2 . f x f 0 mx2 2x f 0 lim lim lim mx 2 2 . x 0 x 0 x 0 x x 0 Trang 4 |
5. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 f x f 0 nx f 0 lim lim lim n n . x 0 x 0 x 0 x x 0 Để hàm số f x có đạo hàm tại x 0 thì n 2,m . 3 Câu 9. [1D5-1.2-1] Tính số gia y của hàm số f x x tại x0 1, x 1. A. y 3. B. y 9. C. y 7 . D. y 5. Lời giải Chọn C Ta có y f x f x0 f x0 x f x0 f 2 f 1 7 . 3 Câu 10. [1D5-1.2-1] Tính số gia y của hàm số f x x tại x0 1, x 0.1. A. y 3. B. y 0,271. C. y 7 . D. y 0,271. Lời giải Chọn B Ta có y f x f x0 f x0 x f x0 f 0.9 f 1 0,271. 1 Câu 11. [1D5-1.2-1] Tính số gia y của hàm số f x theo x và x . x x x x x A. y . B. y . C. y . D. y . x x x x x x x x x x x x Lời giải Chọn C 1 1 x Cho x số gia x , ta có y f x x f x . x x x x x x 1 Câu 12. [1D5-1.5-2] Một vật rơi tự do theo phương trình S gt 2 , trong đó g 9,8 m/s2 là gia tốc 2 trọng trường. Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t t 5 s đến t t giây, t 0,001 s . A. vtb 49 m/s . B. vtb 49,49 m/s . C. vtb 49,005 m/s . D. vtb 49,245 m/s . Lời giải Chọn D s t t s t 4,9 t t 2 4,9t 2 Ta có v 9,8t 4,9 t . tb t t Với t 5 s , t 0,001 s , vtb 9,8.5 4,9.0,001 49,005 m/s . Câu 13. [1D5-1.4-2] Cho hàm số y x3 3x2 2. Tập nghiệm S của bất phương trình y 0 là A. S 1; 2 . B. S 0; 2 . C. S ; 0  2; . D. S 1; . Lời giải Chọn B 2 2 x 2 y 3x 6x; y 0 3x 6x 0 . x 0 Vậy tập nghiệm S của bất phương trình y 0 là S ; 0  2; . Trang 5 |
6. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Câu 14. [1D5-1.5-2] Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v t 8t 3t 2 , trong đó t 0 , t tính bằng giây và v t tính bằng m/s . Tìm gia tốc của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động là 11 m/s . A. 11 m/s2 . B. 14 m/s2 . C. 20 m/s2 . D. 6 m/s2 . Lời giải Chọn B Gia tốc của chất điểm tại thời điểm t : a t v t 8 6t t 1 2 2 Tại thời điểm t : v t 11 8t 3t 11 8t 3t 11 0 11 t 3 Với t 0 ta chọn t 1. Vậy a 1 8 6.1 14 m/s2 . Câu 15. [1D5-1.5-2] Một chất điểm chuyển động có phương trình s t t3 3t 2 9t 2, t 0 , t tính bằng giây và s t tính bằng mét. Hỏi tại thời điểm nào thì vận tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất ? A. t 3 s . B. t 2 s . C. t 6 s . D. t 1 s . Lời giải Chọn D Ta có v t s t 3t 2 6t 9, t 0 Với t 0 , v t nhỏ nhất t 1 s . Câu 16. [1D5-1.5-2] Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình s t 196t 4,9t 2 , trong đó t là thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao, s t là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ? A. 1690 m . B. 1069 m . C. 1906 m . D. 1960 m . Lời giải Chọn D Ta có v t s t 196 9,8t; v t 0 196 9,8t 0 t 20 Với t 20 ta có s t s 20 196.20 4,9.202 1960 m . mx3 mx2 Câu 17. [1D5-1.4-2] Cho hàm số f x 3 m x 2 . Tìm tất cả các giá trị thực của 3 2 tham số m để f x 0 với mọi x . 12 12 12 12 A. 0; . B. 0; . C. 0; . D. 0; . 5 5 5 5 Lời giải Chọn B f x mx2 mx 3 m . Trang 6 |
7. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 m 0 mx 3 m 0,x 2 f x 0,x mx mx 3 m 0,x m 0 2 m m 3 m 0 m 0 m 0 m 0 3 0 ,x m 0 2 2 0 m . m 0 2 0 m 3 0 m 3 2 2m 3m 0 3 Câu 18. [1D5-1.3-2] Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2018 . Tính f 0 . A. f 0 0 . B. f 0 2018!. C. f 0 2018!. D. f 0 2018. Lời giải Chọn C Theo định nghĩa đạo hàm ta có f x f 0 x x 1 x 2 x 2018 f 0 lim lim x 0 x 0 x 0 x lim x 1 x 2 x 2018 2018! . x 0 Câu 19. [1D5-1.3-2] Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2018 . Tính f 1004 . A. f 1004 0 . B. f 1004 1004!. C. f 1004 1004!. D. f 1004 1004! 2 . Lời giải Chọn D Theo định nghĩa đạo hàm ta có f x f 1004 x x 1 x 2 x 2008 f 1004 lim lim x 1004 x 1004 x 1004 x 1004 lim x x 1 x 2 x 1003 x 1005 x 2008 x 1004 1004 1003 1002 1 .1.2 1003.1004 1004! 2 . Câu 20. [1D5-1.4-2] Biết hàm số f x ax3 bx2 cx d, a 0 có f x 0,x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. b2 3ac 0 . B. b2 3ac 0 . C. b2 3ac 0 . D. b2 3ac 0 . Lời giải Chọn C Ta có f x 3ax2 2bx c Với a 0 , f x 0,x b2 3ac 0 . Câu 21. [1D5-1.4-2] Biết hàm số f x ax3 bx2 cx d, a 0 có f x 0, x . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. b2 3ac 0 . B. b2 3ac 0 . C. b2 3ac 0 . D. b2 3ac 0 . Trang 7 |
8. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Lời giải Chọn C Ta có: f x 3ax2 2bx c, a 0 và b2 3ac . Do a 0 để f x 0, x thì 0 b2 3ac 0 . ax b Câu 22. [1D5-1.4-1] Biết hàm số f x có f x 0 trên mỗi khoảng xác định. Mệnh đề nào cx d sau đây đúng ? A. ad bc 0 . B. ad bc 0 . C. ad bc 0. D. ad bc 0 . Lời giải Chọn A ad bc Ta có: f x . cx d 2 Để f x 0 trên mỗi khoảng xác định thì ad bc 0 . ax b Câu 23. [1D5-1.4-1] Biết hàm số f x có f x 0 trên mỗi khoảng xác định. Mệnh đề nào cx d sau đây đúng ? A. ad bc 0 . B. ad bc 0 . C. ad bc 0. D. ad bc 0 . Lời giải Chọn C ad bc Ta có: f x . cx d 2 Để f x 0 trên mỗi khoảng xác định thì ad bc 0. Câu 24. [1D5-1.4-2] Biết hàm số f x ax4 bx2 c có f x 0 có ba nghiệm phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. ab 0 . B. ab 0. C. ab 0 . D. ab 0 . Lời giải Chọn B Ta có: f x 4ax3 2bx . x 0 f x 0 2 . 2ax b Theo giả thiết suy ra phương trình 2ax2 b có hai nghiệm phân biệt khác 0 2a b 0 ab 0 . 2x2 5x a , x 0 Câu 25. Cho hàm số f x 3x2 7x b . Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 . 2 ax 23bx 4, x 0 Lời giải 13x2 14x 10bx 12b 2 , x 0 f x 3x2 7x b . 2ax 23b, x 0 Trang 8 |
9. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 12b Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 ta có 23b , (1). b2 a Để hàm số liên tục tại x 0 thì lim f x lim f x 4 , (2). x 0 x 0 b 12b 12 23b b b2 23 Từ (1), (2) ta có: . a 48 4 a b 23 x2 a, x 1 Câu 26. Cho hàm số f x . Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1. 2 x bx, x 1 Lời giải Để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 thì hàm số liên tục tại x 1, hay lim f x lim f x f 1 x 1 x 1 a 1 1 b a b 2 . (1) f 1 x f 1 1 x 2 a 1 a Ta có lim lim lim x 2 2 . x 0 x x 0 x x 0 f 1 x f 1 1 x 2 b x 1 a x 2 b 2 x a 2 lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x Để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 thì f 1 x f 1 f 1 x f 1 lim lim b 2 2 b 4 . (2) x 0 x x 0 x a 2 Từ (1) và (2) suy ra . b 4 2 x ax b , x 1 Câu 27. Cho hàm số f x . Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại điểm 2 2 x , 2 x 1 x 1 . Lời giải Để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 thì hàm số liên tục tại x 1 , hay lim f x lim f x f 1 a b 1 1 a b 0 . (1) x 1 x 1 f 1 x f 1 1 x 2 a 1 x b 1 2 a x a b Ta có lim lim lim . x 0 x x 0 x x 0 x 2 f 1 x f 1 2 1 x 1 x 2 lim lim lim 1 x 0 x x 0 x x 0 2 1 x 2 1 Để hàm số có đạo hàm tại điểm x 1 thì f 1 x f 1 f 1 x f 1 lim lim 2 a 1 a 3. (2) x 0 x x 0 x a 3 Từ (1) và (2) suy ra . b 3 Trang 9 |
10. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Câu 28. Cho hàm số f x xác định trên ¡ thỏa mãn với mọi a 0 , ta có f x a f x a a2 ,x ¡ . Chứng minh hàm số đã cho là hàm hằng. Lời giải f x a f x a a Từ giả thiết ta có f x liên tục và , a 0,x ¡ . x a x a 2 f x0 x f x0 Xét x0 bất kỳ, cho a 0 suy ra lim 0, suy ra f x0 0 . Do đó f x x 0 x là hàm hằng. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2. Câu 29. [1D5-1.3-2] Cho hàm số y x4 cos 2x. Tính y 4 . A. y 4 24 16cos 2x . B. y 4 24 16cos 2x . C. y 4 48 16cos 2x . D. y 4 48 16cos 2x . Lời giải Chọn B Ta có: y x4 cos 2x ; y ' 4x3 2sin 2x ; y 12x2 4cos 2x ; y 3 24x 8sin 2x ; y 4 24x 16cos 2x . Câu 30. [1D5-1.3-2] Cho hàm số y cos2 x. Tính y 5 . A. y 5 8cos 2x . B. y 5 8cos 2x . C. y 5 16sin 2x . D. y 5 16sin 2x . Lời giải Chọn C Ta có: 1 1 y cos2 x cos 2x. 2 2 y sin 2x ; y 2cos 2x ; y 4sin 2x ; y 4 8cos 2x ; y 5 16sin 2x . Câu 31. [1D5-1.3-2] Cho hàm số y 2x x2 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. y3.y 1. B. y3.y 1. C. y3.y 8 . D. y3.y 8 . Lời giải Chọn A y 2x x2 . 1 x y . 2x x2 2 1 x 2x x 1 x . 2 2 2 2x x 1 x 1 y 2x x . 2 3 3 2x x 2x x2 2x x2 Trang 10 |
11. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 3 1 y3.y 2x x2 . 1. 3 2x x2 Câu 32. [1D5-1.3-2] Cho hàm số y x2 2x 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x 1 1 A. y . B. y . 3 3 x2 2x 3 x2 2x 3 1 2 C. y . D. y . 3 3 2 x2 2x 3 x2 2x 3 Lời giải Chọn D y x2 2x 3 x 1 y . x2 2x 3 2 x 1 x 2x 3 x 1 . 2 2 x2 2x 3 x 2x 3 x 1 2 y 2 3 3 . x2 2x 3 x2 2x 3 x2 2x 3 1 Câu 33. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x n n 1 n 1 .n! n 1 .n! n n! n n! A. y . B. y . C. y . D. y . xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 Lời giải Chọn A n n 1 .n! Xét y * ,n 1,n ¥ * . xn 1 1 1 .1! 1 Với n 1, y ' . x1 1 x2 k k 1 .k! Giả sử * đúng với n k , ta được y . xk 1 Ta chứng minh * cũng đúng với n k 1. Thật vậy: k k y k 1 y k 1 .k!.x 1 k 1 .k! 1 k .x k 2 k 1 . k 1 . k 1 ! 1 1 .k! k 1 x k 2 x k 1 1 1 Câu 34. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng? 2x 3 n n n 1 n 2 .n! n 2 .n! n 2 .n! n 2 .n! A. y . B. y . C. y . D. y . 2x 3 n 1 2x 3 n 1 2x 3 n 1 2x 3 n 1 Lời giải Trang 11 |
12. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Chọn A n n 2 .n! Xét y * ,n 1,n ¥ * . 2x 3 n 1 1 2 .1! 2 Với n 1, y ' . 2x 3 1 1 2x 3 2 k k 2 .k! Giả sử * đúng với n k , ta được y * . 2x 3 k 1 Ta chứng minh * cũng đúng với n k 1. Thật vậy: k k 1 k 2 .k! k 1 k k 2 k y y 2 .k!. 2x 3 2 .k! 1 k . 2x 3 .2 k 1 2x 3 . k 1 k k 2 2 . k 1 ! 2 2 . k 1 ! 2x 3 k 1 1 2x 3 1 Câu 35. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? ax b n 1 n n n n a .n! n a .n! n a .n! n a .n! A. y . B. y . C. y . D. y . ax b n 1 ax b n 1 ax b n 1 ax b n 1 Lời giải Chọn C n n a .n! Xét y * ,n 1,n ¥ * . ax b n 1 1 a .1! a Với n 1, y ' . ax b 1 1 ax b 2 k k a .k! Giả sử * đúng với n k , ta được y * . ax b k 1 Ta chứng minh * cũng đúng với n k 1. Thật vậy: k k 1 k a .k! k 1 k k 2 k y y a .k!. ax b a .k! 1 k . ax b .a k 1 ax b . k 1 k k 2 a . k 1 ! a a . k 1 ! ax b k 1 1 ax b 3x 4 Câu 36. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2x 3 n n 1 n 1 n n 1 n 2 .n! n 2 .n! n 2 .n! n 1 2 .n! A. y . B. y . C. y . D. y . 2x 3 n 1 2x 3 n 1 2x 3 n 1 2x 3 n 1 Lời giải Chọn C Trang 12 |
13. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 n 1 n 2 .n! Xét y * ,n 1,n ¥ * . 2x 3 n 1 1 1 2 .1! 1 Với n 1, y ' . 2x 3 1 1 2x 3 2 k 1 k 2 .k! Giả sử * đúng với n k , ta được y * . 2x 3 k 1 Ta chứng minh * cũng đúng với n k 1. Thật vậy: k 1 k 1 k 2 .k! k 1 1 k k 1 2 k y y 2 .k!. 2x 3 2 .k! 1 k . 2x 3 .2 k 1 2x 3 . k 1 1 k 1 k 2 2 . k 1 ! 2 2 . k 1 ! 2x 3 k 1 1 2x 3 Câu 37. [1D5-1.3-3] Cho hàm số f x x a x b x c ,a b c. Mệnh đề nào sau đây đúng ? f a f b f c f a f b f c A. 1. B. 1. f a f b f c f a f b f c f a f c f b f a f b f c C. 2 . D. 0 . f a f c f b f a f b f c Lời giải Chọn D f x x a x b x c ,a b c. Ta có f x x b x c x a x c x a x b f x 2 x a 2 x b 2 x c f a f b f c 2 a b 2 a c 2 b a 2 b c 2 c a 2 c b f a f b f c a b a c b a b c c a c b 4a 2b 2c b c 4b 2a 2c a c 4c 2a 2b a b . a b a c b c 0 Câu 38. [1D5-1.3-3] Cho hàm số f x x a x b x c ,a b c với x a,b,c . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 2 2 A. f x . f x f x 0 . B. f x . f x f x 0 . 2 2 C. f x . f x f x 0 . D. f x . f x f x 0 . Lời giải Chọn B f x x a x b x c ,a b c. x a,b,c Ta có Trang 13 |
14. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 f x x b x c x a x c x a x b f x 2 x a 2 x b 2 x c Khi đó 2 f x . f x f x 2 x a 2 x b 2 x c . x a x b x c 2 x b x c x a x c x a x b 2 x a 2 x b x c 2 x a x b 2 x c 2 x a x b x c 2 x b 2 x c 2 x a 2 x c 2 x a 2 x b 2 2 x a 2 x b x c 2 2 2 x a x b x c 2 x a x b x c x b 2 x c 2 x a 2 x c 2 x a 2 x b 2 0 . Câu 39. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y sin2 x . Tính y 2018 0 . A. y 2018 0 22017 . B. y 2018 0 22017 . C. y 2018 0 22018 . D. y 2018 0 22018 . Lời giải Chọn B 1 cos2x Ta có y sin2 x . 2 2 n n Áp dụng công thức: y cos ax b y a .cos ax b n 2 n 1 n n 1 y .2 .cos 2x n 2 cos 2x n 2 2 2 y 2018 0 22017 . 2018 Câu 40. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y sin x.cos 2x . Tính y . 2 2018 2018 2018 3 1 A. y 0 . B. y . 2 2 2 2018 2018 2018 2018 3 1 C. y 3 1. D. y . 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có y sin x.cos 2x sin 3x sin x . 2 2 2018 2018 1 2018 2018 3 1 y . 3 .sin 3x 2018 sin x 2018 y . 2 2 2 2 2 Câu 41. [1D5-1.3-3] Cho hàm số f x x a x b x c với a b c . Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1 1 1 1 1 1 A. 0. B. 1. f a f b f c f a f b f c Trang 14 |
15. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 1 1 1 1 1 1 C. 1. D. 2 ̣. f a f b f c f a f b f c Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 1 Ta có f a f b f c a b a c b a b c c a c b b c c a a b 0 . a b b c c a 5x2 3x 20 Câu 42. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Tính y n . x2 2x 3 n n 3 4 n n 3 4 A. y n! n 1 n 1 . B. y n! n 1 n 1 . x 1 x 3 x 1 x 3 n n 3 4 n n 3 4 C. y n! n 1 n 1 . D. y n! n 1 n 1 . x 1 x 3 x 1 x 3 Lời giải Chọn C 5x2 3x 20 7x 5 3 4 Ta có y 5 5 x2 2x 3 x2 2x 3 x 1 x 3 n n 3 4 y 1 .n! n 1 n 1 . x 1 x 3 cos x Câu 43. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x A. 2y xy xy . B. 2y xy xy . C. y xy xy . D. y xy xy . Lời giải Chọn B cos x Ta có y xy cos x xy sin x y xy sin x x y xy cos x 2y xy xy . sin x Câu 44. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x A. 2y xy xy . B. 2y xy xy . C. y xy xy . D. y xy xy . Lời giải Chọn B sin x Ta có y xy sin x xy cos x y xy cos x 2y y sin x xy . x tan x Câu 45. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x A. 2y xy 2 xy 3 2xy . B. 2y xy xy 3 xy . Trang 15 |
16. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 C. y xy xy 3 xy . D. y xy 2 xy 3 2xy . Lời giải Chọn A 1 Ta có xy tan x y xy tan2 x 1 cos2 x 2y xy 2 tan x tan2 x 1 2 xy 3 2xy . cot x Câu 46. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? x A. 2y xy 2 xy 3 2xy . B. 2y xy xy 3 xy . C. y xy xy 3 xy . D. y xy 2 xy 3 2xy . Lời giải Chọn A 1 Ta có xy cot x y xy cot2 x 1 sin2 x 2y xy 2cot x cot2 x 1 2 xy 3 2xy . x Câu 47. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? cos x y y y y y y y y A. tan x . B. 2 tan x . C. tan x . D. 2 tan x . y y y y Lời giải Chọn B Ta có y cos x x y cos x y sin x 1 y cos x y sin x y sin x y cos x 0 y y y cos x 2y sin x y cos x 0 2y sin x y y cos x 2 tan x . y x Câu 48. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? sin x y y y y y y y y A. 2cot x . B. 2cot x . C. 2cot x . D. 2cot x . y y y y Lời giải Chọn D Ta có y sin x x y sin x y cos x 1 y sin x y cos x y cos x y sin x 0 y y 2y cos x y y sin x 2cot x . y Câu 49. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y x cos x A. 2 cos x y x y y 1. B. 2 cos x y x y y 0 . C. 2 cos x y x y y 1. D. 2 cos x y x y y 0. Lời giải Chọn B Trang 16 |
17. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 y x cos x Ta có y cos x xsin x 2 cos x y 2xsin x x y y y sin x sin x x cos x Vì vậy 2(cos x y ) x(y y) 0. Câu 50. [1D5-1.3-3] Cho hàm số y xsin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 2 y sin x x y y 0 . B. 2 y sin x x y y 1. C. 2 y sin x x y y 0 . D. 2 y sin x x y y 1. Lời giải Chọn A y xsin x Ta có y sin x x cos x 2 y sin x 2x cos x x y y y cos x cos x xsin x Vì vậy 2 y sin x x y y 0 . Câu 51. [1D5-1.4-3] Cho hàm số f x x x 1 x 2 x 2018 Tính f 0 . A. f 0 2018!. B. f 0 0 . C. f 0 2018!. D. f 0 2018 . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa đạo hàm ta có: f x f 0 x x 1 x 2 x 2018 0 f 0 lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 lim x 1 x 2 x 2018 1 2 2018 2018!. x 0 x Câu 52. [1D5-1.4-3] Cho hàm số f (x) . Tính f (0). (x2 1)(x2 2) (x2 2018) 1 1 1 A. f (0) . B. f (0) 0 . C. f (0) . D f (0) . 2018! 2018! 2018 Lời giải Chọn C Theo định nghĩa đạo hàm ta có: x 0 f x f 0 x2 1 x2 2 x2 2018 f 0 lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 1 1 1 lim . x 0 x2 1 x2 2 x2 2018 1 2 2018 2018! Câu 53. [1D5-1.4-3] Cho hàm số f x x3 bx2 cx d có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 1 1 1 x1 , x2 , x3 . Tính giá trị của biểu thức P f x1 f x2 f x3 1 1 A. . B. 0 . C. b c d . D. 3 2b c . 2b c Lời giải Trang 17 |
18. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 Chọn B Ta có f x x x1 x x2 x x3 1 1 1 1 1 1 P f (x1 ) f (x2 ) f (x3 ) (x1 x2 )(x1 x3 ) (x2 x1 )(x2 x3 ) (x3 x1 )(x3 x2 ) (x x ) (x x ) (x x ) 2 3 3 2 1 2 0 . (x1 x2 )(x2 x3 )(x3 x1 ) 10 Câu 54. [1D5-1.4-3] Cho f x 1 x x2 x3 .Tính f 5 0 . A. 228240 . B. 174240. C. 15504. D. 30240 . Lời giải Chọn A (5) 5 Có f 0 5!a5 , trong đó a5 là hệ số của số hạng chứa x trong khai triển. 10 10 10 10 2 3 10 10 2 10 m m n 2n m n m 2n Có 1 x x x 1 x 1 x C10 x C10 x C10C10 x . m 0 n 0 m 0 n 0 Cần tìm m 2n 5,0 m 10,0 n 10 m;n (1;2);(3;1);(5;0) 1 2 3 1 5 0 Vậy hệ số cần tìm bằng a5 C10C10 C10C10 C10C10 1902 Và f (5) (0) 5!.1902 228240 . 9 Câu 55. [1D5-1.3-3] Cho hàm số f (x) 3x2 2x 1 .Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại x 0. A. 60480 . B. 34560 . C. 60480 . D. 34560 . Lời giải Chọn A 6 6 Có f (0) 6!a6 , trong đó a6 là hệ số số hạng chứa x trong khai triển Có 9 9 9 9 2 9 9 9 m m m n n n m n m n m n 3x 2x 1 (1 x) 1 3x C9 ( 1) x C9 (3) x ( 1) 3 C9 C9 x . m 0 n 0 m 0 n 0 Cần tìm m n 6,0 m 9,0 n 9 (m;n) (6;0);(5;1);(4;2);(3;3);(2;4);(1;5);(0;6) Vậy hệ số cần tìm bằng a6 84 (6) Và f (0) 6!.a6 60480 . Câu 56. [1D5-1.3-3] Cho hàm số f x 3x 1 9 x 1 10 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số f (x) tại x 0 . A. 26000640 . B. 2047680 . C. 2600640 . D. 2047680 . Lời giải Chọn A 6 6 Có f (0) 6!a6 , trong đó a6 là hệ số số hạng chứa x trong khai triển 9 10 9 10 9 10 m m m n n Có 3x 1 (x 1) (1 3x) 1 x C9 ( 3) x C10 x m 0 n 0 9 10 m m n m n ( 3) C9 C10 x m 0 n 0 Cần tìm m n 6,0 m 9,0 n 10 (m;n) (6;0);(5;1);(4;2);(3;3);(2;4);(1;5);(0;6) Vậy hệ số cần tìm bằng a6 3612 Trang 18 |
19. Chuyên đề : Góc -Lớp 12 (6) Và f (0) 6!.a6 2600640 . Trang 19 |