›
›
›

Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình lượng giác cơ bản và phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác (Có đáp án)

docx 59 trang nhungbui22 12/08/2022 2503
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình lượng giác cơ bản và phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxly_thuyet_va_bai_tap_dai_so_lop_11_chuong_1_phuong_trinh_luo.docx

Nội dung text: Lý thuyết và Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1 - Phương trình lượng giác cơ bản và phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác (Có đáp án)

  1. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 1. Phương trình sinx = sin x k2 a) sin x sin (k Z) x k2 sin x a. Điều kiện : 1 a 1. b) x arcsin a k2 sin x a (k Z) x arcsin a k2 c) sin u sin v sin u sin( v) d) sin u cosv sin u sin v 2 e) sin u cosv sin u sin v 2 Các trường hợp đặc biệt: sin x 0 x k (k Z ) sin x 1 x k2 (k Z) 2 sin x 1 x k2 (k Z) 2 sin x 1 sin2 x 1 cos2 x 0 cos x 0 x k (k Z) 2 2. Phương trình cosx = cos a) cos x cos x k2 (k Z ) cos x a. Điều kiện : 1 a 1. b) cos x a x arccosa k2 (k Z) c) cos u cos v cos u cos( v) d) cosu sin v cosu cos v 2 e) cosu sin v cosu cos v 2 Các trường hợp đặc biệt: cos x 0 x k (k Z) 2 cos x 1 x k2 (k Z) cos x 1 x k2 (k Z ) cos x 1 cos2 x 1 sin2 x 0 sin x 0 x k (k Z ) 3. Phương trình tanx = tan a) tan x tan x k (k Z ) b) tan x a x arctan a k (k Z )
  2. Lượng giác – ĐS và GT 11 c) tan u tan v tan u tan( v) d) tan u cot v tan u tan v 2 e) tan u cot v tan u tan v 2 Các trường hợp đặc biệt: tan x 0 x k (k Z ) tan x 1 x k (k Z) 4 4. Phương trình cotx = cot cot x cot x k (k Z ) cot x a x arccot a k (k Z ) Các trường hợp đặc biệt: cot x 0 x k (k Z) 2 cot x 1 x k (k Z) 4 5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Cĩ dạng at b 0 với a,b ¡ , a 0 với t là một hàm số lượng giác nào đĩ b Cách giải: at b 0 t đưa về phương trình lượng giác cơ bản a 6. Một số điều cần chú ý: a) Khi giải phương trình cĩ chứa các hàm số tang, cotang, cĩ mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định. * Phương trình chứa tanx thì điều kiện: x k (k Z). 2 * Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k (k Z) * Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện x k (k Z) 2 * Phương trình cĩ mẫu số: sin x 0 x k (k Z ) cos x 0 x k (k Z) 2 tan x 0 x k (k Z) 2 cot x 0 x k (k Z) 2 b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đường trịn lượng giác để biểu diễn nghiệm 3. Giải các phương trình vơ định. c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm
  3. Lượng giác – ĐS và GT 11 - HỌC SINH KHƠNG LỆ THUỘC VÀO VIỆC SỬ DỤNG MTCT ĐỂ THỬ LẠI CÁC ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM. - HỌC SINH CẦN NẮM ĐƯỢC MẤU CHỐT CỦA VIỆC GIẢI TỰ LUẬN - CÁC CÂU HỎI HẠN CHẾ MTCT CHẲNG HẠN: + SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG + SỐ ĐIỂM BIỂU DIỄN TRÊN ĐƯỜNG TRỊN LƯỢNG GIÁC. + TỔNG CỦA CÁC NGHIỆM TRÊN MỘT ĐOẠN HAY KHOẢNG + TỔNG, HIỆU, TÍCH CỦA CÁ NGHIỆM DƯƠNG HOẶC ÂM NHỎ NHẤT (LỚN NHẤT) PHẦN I: B– BÀI TẬP Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau x y k A. sin x sin y k ¢ . x y k x y k2 B. sin x sin y k ¢ . x y k2 x y k2 C. sin x sin y k ¢ . x y k2 x y k D. sin x sin y k ¢ . x y k Câu 2: Phương trình sinx sin cĩ nghiệm là x k2 x k A. ;k ¢ B. ;k ¢ . x k2 x k x k x k2 C. ;k ¢ . D. ;k ¢ . x k x k2 Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: A. sin x 1 x k2 , k ¢ . B. sin x 1 x k2 , k ¢ . 2 C. sin x 1 x k2 , k ¢ . D. sin x 1 x k , k ¢ . 2 Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1là: 3 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 2 2 2 Câu 5: Phương trình sin x 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai
  4. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. sin x 1 x k2 . B. sin x 0 x k . 2 C. sin x 0 x k2 . D. sin x 1 x k2 . 2 2x Câu 7: Phương trình sin 0 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là 3 3 2 k3 A. x k . B. x . 3 2 k3 C. x k . D. x . 3 2 2 1 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x là: 2 A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k2 . 3 6 6 1 Câu 9: Phương trình sin x cĩ nghiệm thỏa mãn x là : 2 2 2 5 A. x k2 B. x . C. x k2 . D. x . 6 6 3 3 2 Câu 10: Nghiệm phương trình sin 2x là: 2 x k2 x k 4 4 A. k ¢ . B. k ¢ . 3 3 x k2 x k 4 4 x k x k2 8 8 C. k ¢ . D. k ¢ . 3 3 x k x k2 8 8 Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x 10 1 là A. x 100 k360 . B. x 80 k180. C. x 100 k360 . D. x 100 k180 . x 1 Câu 12: Phương trình sin cĩ tập nghiệm là 5 2 11 11 x k10 x k10 6 6 A. (k ¢ ) . B. (k ¢ ) . 29 29 x k10 x k10 6 6 11 11 x k10 x k10 6 6 C. (k ¢ ) . D. (k ¢ ) . 29 29 x k10 x k10 6 6 3 Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2x trong khoảng 0;3 là 2 A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 .
  5. Lượng giác – ĐS và GT 11 sin x 1 Câu 14: Nghiệm phương trình 2 là A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 2 2 Câu 15: Phương trình: 1 sin 2x 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 4 4 2 Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 1 với x 5 là 4 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4x –1 0 là: 3 7 A. x k ; x k . B. x k2 ; x k2 . 8 2 24 2 2 C. x k ; x k 2 . D. x k2 ; x k . 2 Câu 18: Phương trình 3 2sin x 0 cĩ nghiệm là: 2 A. x k2  x k2 . B. x k2  x k2 . 3 3 3 3 2 4 C. x k2  x k2 . D. x k2  x k2 . 3 3 3 3 Câu 19: Nghiệm của phương trình sin3x sin x là: A. x k . B. x k ; x k . C. x k2 . D. 2 4 2 x k ;k k2 . 2 1 Câu 20: Phương trình sin 2x cĩ bao nhiêu nghiệm thõa 0 x . 2 A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 . Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 1 với x 3 là : 4 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4x 1 0 là: 3 7 A. x k ; x k2 . B. x k ; x k . 8 2 24 2 C. x k2 ; x k2 .D. x k2 ; x k . 2 2 x 1 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin là 5 2 11 11 x k10 x k10 6 6 A. k ¢ B. k ¢ 29 29 x k10 x k10 6 6
  6. Lượng giác – ĐS và GT 11 11 11 x k10 x k10 6 6 C. k ¢ . D. k ¢ 29 29 x k10 x k10 6 6 Câu 24: Phương trình 2sin 2x 40 3 cĩ số nghiệm thuộc 180 ;180 là: A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . 2 Câu 25: Tìm sơ nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin 3x 9x 16x 80 0 . 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 26: Nghiệm của phương trình sin2 x 1 là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m cĩ nghiệm: A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. Câu 28: Phương trình 2sin x m 0 vơ nghiệm khi m là A. 2 m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 2 hoặc m 2 . Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x 1là: A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 2 2 Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng A. cos x 1 x k . B. cos x 0 x k . 2 2 C. cos x 1 x k2 . D. cos x 0 x k2 . 2 2 Câu 31: Phương trình: cos2x 1 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 Câu 32: Nghiệm của phương trình cos x 1là: 3 A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 2 2 1 Câu 33: Nghiệm phương trình cos x là: 2 x k2 x k2 6 6 A. k ¢ . B. k ¢ . 5 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 3 3 C. k ¢ . D. k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Câu 34: Nghiệm của phương trình 2cos2x 1 0 là:
  7. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 3 3 6 3 2 2 C. x k2 ; x k2 . D. x k ; x k . 3 3 3 3 Câu 35: Phương trình cos 2x 0 cĩ nghiệm là 2 k A. x . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 2 Câu 36: Nghiệm phương trình cos x 1 là: 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 2 2 Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cos x 2 0 cĩ nghiệm là 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 4 4 4 4 2 Câu 38: Nghiệm phương trình: cos 2x là 2 x k2 x k 4 4 A. . B. . x k2 x k 4 4 x k x k2 8 8 C. . D. . x k x k2 8 8 1 Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x là: 2 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 3 6 3 6 3 Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x 0 là: 2 5 2 A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 3 6 3 Câu 41: Số nghiệm của phương trình: 2 cos x 1 với 0 x 2 là 3 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3. Câu 42: Phương trình 2cos x 3 0 cĩ họ nghiệm là A. x k k ¢ . B. x k2 k ¢ . 3 3 C. x k2 k ¢ . D. x k k ¢ . 6 6
  8. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos2x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 12 12 3 x Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2cos 3 0 cĩ nghiệm là 2 5 5 5 5 A. x k4 . B. x k4 . C. x k2 . D. x k2 . 6 3 6 3 3 Câu 45: Giải phương trình cos x cos . 2 3 3 A. x k2 ;k ¢ . B. x arccos k2 ;k ¢ . 2 2 C. x arccos k2 ;k ¢ . D. x k2 ;k ¢ . 6 6 x Câu 46: Nghiệm của phương trình cos cos 2 (với k ¢ ) là 3 A. x 2 k . ` B. x 3 2 k6 . C. x 2 k4 . D. x 3 2 k6 . Câu 47: Nghiệm của phương trình cos3x cos x là: A. x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 C. x k . D. x k ; x k2 . 2 2 Câu 48: Phương trình 2 2 cos x 6 0 cĩ các nghiệm là: 5 A. x k2 k ¢ . B. x k2 k ¢ . 6 6 5 C. x k2 k ¢ . D. x k2 k ¢ . 3 3 Câu 49: Phương trình cos 4x cos cĩ nghiệm là 5 x k2 x k2 5 20 A. k ¢ . B. k ¢ . x k2 x k2 5 20 x k x k 5 5 20 2 C. k ¢ . D. k ¢ . x k x k 5 5 20 2 x Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2cos 3 0 cĩ nghiệm là: 2 5 5 x k2 x k2 3 6 A. k ¢ . B. k ¢ . 5 5 x k2 x k2 3 6
  9. Lượng giác – ĐS và GT 11 5 5 x k4 x k4 6 3 C. k ¢ . D. k ¢ . 5 5 x k4 x k4 6 3 Câu 51: Số nghiệm của phương trình 2 cos x 1 với 0 x 2 là 3 A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. x Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 0 thuộc khoảng ,8 là 2 4 A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. ; 2 2 Câu 53: Nghiệm của phương trình 2cos x 2 0 trong khoảng là 3 7  7   7  A. ;  . B.  . C.  . D. ;  . 12 12  12  12 12 12  Câu 54: Phương trình 2cos2 x 1 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . C. x k . D. vơ nghiệm. 4 4 2 Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos(x ) 1 trên ( ; ) 3 2 4 7 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 3 2x x 2 ) 1 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1 Câu 57: Giải phương trình cos2 2x . 4 2 A. x k2 , x k ;k ¢ . B. x k , x k ;k ¢ . 6 3 6 3 C. x k , x k ;k ¢ . D. x k , x k ;k ¢ . 6 3 6 2 Câu 58: Phương trình cos x m 0 vơ nghiệm khi m là: m 1 A. . B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. m 1 Câu 59: Cho phương trình: 3cos + ―1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm: A. m 1 3 . B. m 1 3 . C. 1 3 m 1 3. D. 3 m 3 . Câu 60: Phương trình mcos x 1 0 cĩ nghiệm khi m thỏa điều kiện m 1 m 1 A. . B. m 1. C. m 1. D. m 1 m 1 Câu 61: Phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm khi m là A. 1 m 1. B. m 0. C. m 2 . D. 2 m 0 .
  10. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 62: Cho x k là nghiệm của phương trình nào sau đây: 2 A. sin x 1. B. sin x 0. C. cos 2x 0 . D. cos2x 1. Câu 63: Cho phương trình: 3cos x m 1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm A. m 1 3 . B. m 1 3 . C. 1 3 m 1 3. D. 3 m 3 . Câu 64: Cho phương trình cos 2x m 2 . Tìm m để phương trình cĩ nghiệm? 3 A. Khơng tồn tại m. B. m  1;3 . C. m  3; 1. D. mọi giá trị của m. 2 x Câu 65: Để phương trình cos m cĩ nghiệm, ta chọn 2 4 A. m 1. B. 0 m 1. C. 1 m 1. D. m 0. 2 Câu 66: Cho biết x k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A. 2cos x 1 0. B. 2cos x 1 0. C. 2sin x 1 0. D. 2sin x 3 0. Câu 67: Cho biết x k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A. 2cos x 3 0. B. 2cos x 1 0. C. 2sin x 1 0. D. 2sin x 3 0. Câu 68: Nghiệm của phương trình sin3x cos x là: A. x k ; x k . B. x k2 ; x k2 . 8 2 4 2 C. x k ; x k . D. x k ; x k . 4 2 Câu 69: Nghiệm của phương trình cos x sin x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 6 4 Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x cos5x 0 theo thứ tự là: 2 A. x ; x . B. x ; x . 18 2 18 9 C. x ; x . D. x ; x . 18 6 18 3 Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x ) cos(2x ) trên [0; ] 3 3 7 4 47 47 A. B. C. D. 18 18 8 18 x Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin x . Khi đĩ 2 A. 290 X . B. 250 X . C. 220 X . D. 240 X . Câu 73: Trong nửa khoảng 0; 2 , phương trình cos2x sin x 0 cĩ tập nghiệm là
  11. Lượng giác – ĐS và GT 11 5  7 11  5 7  7 11  A. ; ;  . B. ; ; ; . C. ; ;  . D. ; ; . 6 2 6  6 2 6 6  6 6 6  2 6 6  Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x cos x trong đoạn  ;  là A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x 0 là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 6 Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin2x cos x 0 là 2 2 A. k ; k2 ;k ¢ . B. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 2 2 C. k ; k2 ;k ¢ . D. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 Câu 77: Nghiệm phương trình: 1 tan x 0 là A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan x 3 0 là 5 8 8 8 8 A. k ;k ¢ . B. k ;k ¢ . C. k2 ;k ¢ . D. k2 ;k ¢ . 15 15 15 15 x Câu 79: Phương trình tan x tan cĩ họ nghiệm là 2 A. x k2 k ¢ . B. x k k ¢ . C. x k2 k ¢ . D. x k2 k ¢ . Câu 80: Nghiệm của phương trình 3 3tan x 0 là: A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 2 6 2 Câu 81: Phương trình 3 tan x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . 3 3 2 4 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 3 3 Câu 82: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 3 6 3 x Câu 83: Phương trình tan tan x cĩ nghiệm là 2 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k2 ,k ¢ . D. Cả A, B,C đều đúng. Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan3x 3 0 (với k ¢ ) là k k k k A. x . B. x . C. x . D. x . 9 9 3 3 3 9 9 3 Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x 4 là A. x arctan4 k . B. x arctan4 k2 .
  12. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x 4 k . D. x k . 4 Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2x tan x 0 là: A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k ,k ¢ . D. k ,k ¢ . 6 3 6 Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 3 6 3 3 Câu 88: Giải phương trình 3 tan 3x 0 . 5 A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 8 4 5 4 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 5 2 5 3 x Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0 trong nửa khoảng 0; 2 là 4 2  3  3  2  A. ;  . B.  . C. ; . D.  . 3 3  2  2 2  3  Câu 90: Phương trình tan 2x 12 0 cĩ nghiệm là A. x 6 k90, k ¢ . B. x 6 k180, k ¢ . C. x 6 k360, k ¢ . D. x 12 k90, k ¢ . Câu 91: Nghiệm của phương trình tan(2x 150 ) 1, với 900 x 900 là A. x 300 B. x 600 0 0 0 C. x 30 D. x 60 , x 30 3 Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 11 4 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 93: Giải phương trình: tan2 x 3 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . C. vơ nghiệm. D. x k . 3 3 3 Câu 94: Nghiệm phương trình 1 cot x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x 3 0 là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 3 6 3 6 Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 3 3 Câu 97: Phương trình lượng giác: 2cot x 3 0 cĩ nghiệm là
  13. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 6 3 A. B. x arc cot k . C. x k . D. x k . 2 6 3 x k2 . 6 Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x 3 là 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 3 12 6 Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5x ) 0 . 8 A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . C. x k ;k ¢ . D. 8 8 5 8 4 x k ;k ¢ . 8 2 x Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( 100 ) 3 (với k ¢ ) là 4 A. x 2000 k3600 . B. x 2000 k7200 . C. x 200 k3600 . D. x 1600 k7200 . Câu 101: Giải phương trình tan x cot x A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 4 2 4 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 4 4 4 Câu 102: Phương trình tan x.cot x 1cĩ tập nghiệm là k   A. T ¡ \ ;k ¢ . B. T ¡ \ k ;k ¢ . 2  2  C. T ¡ \ k ;k ¢ . D. T ¡ . Câu 103: Giải phương trình tan3xtan x 1. A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . C. x k ;k ¢ . D. 8 8 4 4 8 4 x k ;k ¢ . 8 2 Câu 104: Nghiệm của phương trình tan3x.cot 2x 1 là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 2 4 2 C. k ,k ¢ . D. Vơ nghiệm. Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4x.cot 2x 1 là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 4 2 C. k ,k ¢ . D. Vơ nghiệm. 2 Câu 106: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 4 A. tan x 3. B. cot x 1. C. cos x 0 . D. sin x . 3
  14. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 107: Phương trình: tan x 2 tan 2x 1cĩ nghiệm là: 2 2 A. x k2 k ¢ B. x k k ¢ 4 4 C. x k k ¢ D. x k k ¢ 4 2 4
  15. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 k ¢ . B. x k2 , x k k ¢ . 2 4 8 C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Câu 2: Phương trình sin2x. 2sin x 2 0 cĩ nghiệm là x k x k x k 2 2 x k 2 A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 3 3 3 x k2 x k x k2 x k2 4 4 4 4 Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 2 Câu 4: Giải phương trình 4sin xcos xcos2x 1 0 A. x k2 ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 8 8 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 8 4 8 2 Câu 5: Giải phương trình cos x(2cos x 3) 0 . 5 5 A. x k , x k ;k ¢ . B. x k , x k2 ;k ¢ . 2 6 2 6 5 2 C. x k , x k2 ;k ¢ . D. x k , x k2 ;k ¢ 2 6 2 3 Câu 6: Nghiệm của phương trình sin4 x cos4 x 0 là 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 2 4 4 Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin2 x cos2 x 1 0 . A. cos2x 1. B. cos2x 1. C. 2cos2 x 1 0 . D. (sin x cos x)2 1. Câu 8: Phương trình 3 4cos2 x 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 1 1 A. cos 2x . B. cos 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 2 2 2 2 Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x 3 0 là : x k x k A. . k ¢ B. k ¢ . x k2 x k 6 6
  16. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k2 C. k ¢ . D. x k2 k ¢ . x k2 6 3 Câu 10: Phương trình (sin x 1)(2cos 2x 2) 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 8 C. x k ,k ¢ . D. Cả A, B,C đều đúng. 8 Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 2 8 4 Câu 12: Cho phương trình cos x.cos7x cos3x.cos5x 1 Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1 A. sin5x 0. B. cos 4x 0 . C. sin 4x 0 . D. cos3x 0 . sin 3x Câu 13: Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là cos x 1 A. 2 . B. 6. C. 5. D. 4 . sin 2x 1 Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình 0 là 2.cos x 1 x k2 ,k ¢ 3 4 A. x k2 ,k ¢ . B. . 4 3 x k2 ,k ¢ 4 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 4 4 Câu 15: Giải phương trình 4 sin6 x cos6 x 2 sin4 x cos4 x 8 4cos2 2x k k A. x , k ¢ . B. x , k ¢ . 3 2 24 2 k k C. x , k ¢ . D. x , k ¢ . 12 2 6 2 Câu 16: ìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 A. 1B. 2 C. 3 D. 4 Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 69 2 Câu 18: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x. 1 4sin x 1 là: 14 10 A. 40 . B. 32. C. 41 . D. 46 . 2 Câu 19: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình: 3 3 A. cot x 3. B. cot3x 3. C. tan x 3. D. tan3x 3. Câu 20: Giải phương trình :sin4 x cos4 x 1
  17. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 2 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 4 2 Câu 21: Giải phương trình sin x. cos x. cos 2 x 0 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 1 Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5x cos6x (với k ¢ ) là 2 k k k A. x k . B. x . C. x . D. x . 8 2 4 8 4 7 Câu 23: Phương trình sin6 x cos6 x cĩ nghiệm là: 16 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 2 4 2 5 2 6 2 x x Câu 24: Phương trình sin 2x cos4 sin4 cĩ các nghiệm là; 2 2 2 x k x k x k x k 6 3 4 2 3 12 2 A. . B. . C. . D. . 3 x k2 x k x 3 k2 x k 2 2 2 4 3 3 3 Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình sin x.cos3x cos x.sin 3x là: 2 8 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 6 6 8 8 12 12 24 24 x x 5 Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin4 cos4 là: 2 2 8 5 9 2 4 5 3 3 5 7 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; . D. ; ; ; . 6 6 6 3 3 3 3 4 2 2 8 8 8 8 2 Câu 27: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x cĩ nghiệm là: 4 x k x k x k x k 6 12 18 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 x k x k x k x k 6 12 18 24 sin 3x cos3x 2 Câu 28: Phương trình cĩ nghiệm là: cos2x sin 2x sin 3x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 4 6 3 3 2 4 Câu 29: Phương trình sin3 x cos3 x sin3 x.cot x cos3 x.tan x 2sin2x cĩ nghiệm là: 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 8 4 4 4 sin4 x cos4 x 1 Câu 30: Phương trình tan x cot x cĩ nghiệm là: sin 2x 2
  18. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. Vơ nghiệm. 2 3 4 2 Câu 31: Cho phương trình cos2x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos x và các họ số thực:. I. x k , k ¢ . II. x k2 , k ¢ . 4 2 2 4 III. x k , k ¢ . IV. x k , k ¢ . 14 7 7 7 Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV. Câu 32: Cho phương trình cos2 x 300 sin2 x 300 sin x 600 và các tập hợp số thực: 0 0 0 0 I. x 30 k120 , k ¢ . II. x 60 k120 , k ¢ . 0 0 0 0 III. x 30 k360 , k ¢ . IV. x 60 k360 , k ¢ . Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. 4 4 x x Câu 33: Phương trình sin x sin x 4sin cos cos x cĩ nghiệm là 2 2 2 3 3 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 8 2 3 3 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 12 16 2 7 Câu 34: Phương trình sin6 x cos6 x cĩ nghiệm là: 16 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 3 2 4 2 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 5 2 6 2 Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2x sin x 0 cĩ số nghiệm là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. sin6 x cos6 x Câu 37: Để phương trình m cĩ nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: tan x tan x 4 4 1 1 A. 1 m . B. 2 m 1. C. 1 m 2. D. m 1. 4 4 2 Câu 38: Để phương trình: 4sin x .cos x a 3sin 2x cos2x cĩ nghiệm, tham số a 3 6 phải thỏa điều kiện: 1 1 A. 1 a 1 . B. 2 a 2 . C. a . D. 3 a 3 . 2 2 a2 sin2 x a2 2 Câu 39: Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos2x
  19. Lượng giác – ĐS và GT 11 a 1 a 2 a 3 a 4 A. . B. . C. . D. . a 3 a 3 a 3 a 3
  20. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau x y k A. sin x sin y k ¢ . x y k x y k2 B. sin x sin y k ¢ . x y k2 x y k2 C. sin x sin y k ¢ . x y k2 x y k D. sin x sin y k ¢ . x y k Hướng dẫn giải: Chọn B. x y k2 Áp dụng cơng thức nghiệm sin x sin y k ¢ x y k2 Câu 2: Phương trình sinx sin cĩ nghiệm là x k2 x k A. ;k ¢ B. ;k ¢ . x k2 x k x k x k2 C. ;k ¢ . D. ;k ¢ . x k x k2 Hướng dẫn giải: Chọn A x k2 sinx sin k Z . x k2 Câu 3: Chọn đáp án đúng trong các câu sau: A. sin x 1 x k2 , k ¢ . B. sin x 1 x k2 , k ¢ . 2 C. sin x 1 x k2 , k ¢ . D. sin x 1 x k , k ¢ . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. Đáp án đúng là A, các đáp án cịn lại sai vì thiếu họ nghiệm hoặc sai họ nghiệm. Câu 4: Nghiệm của phương trình sin x 1là: 3 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A sin x 1 x k2 , k ¢ . 2 Câu 5: Phương trình sin x 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2
  21. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. Câu 6: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai A. sin x 1 x k2 . B. sin x 0 x k . 2 C. sin x 0 x k2 . D. sin x 1 x k2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin x 0 x k , k ¢ . 2x Câu 7: Phương trình sin 0 (với k ¢ ) cĩ nghiệm là 3 3 2 k3 A. x k . B. x . 3 2 k3 C. x k . D. x . 3 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D 2x 2x 2x k3 sin 0 k k x (k ¢ ) 3 3 3 3 3 3 2 2 1 Câu 8: Nghiệm của phương trình sin x là: 2 A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k2 . 3 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn D x k2 x k2 1 6 6 sin x sin x sin k ¢ . 2 6 5 x k2 x k2 6 6 1 Câu 9: Phương trình sin x cĩ nghiệm thỏa mãn x là : 2 2 2 5 A. x k2 B. x . C. x k2 . D. x . 6 6 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Ta cĩ sin x sin x sin 2 6 x k2 x k2 6 6 k ¡ . 5 x k2 x k2 6 6 1 1 Trường hợp 1: x k . Do x nên k2 k . 6 2 2 2 6 2 3 6 Vì k ¡ nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đĩ, ta được nghiệm x . 6
  22. Lượng giác – ĐS và GT 11 5 5 2 1 Trường hợp 2: x k2 . Do x nên k2 k . 6 2 2 2 6 2 3 6 Vì k ¡ nên ta khơng chọn được giá trị k thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm x . 6 2 sin 2x Câu 10: Nghiệm phương trình 2 là: x k2 x k 4 4 A. k ¢ . B. k ¢ . 3 3 x k2 x k 4 4 x k x k2 8 8 C. k ¢ . D. k ¢ . 3 3 x k x k2 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn C. 2x k2 x k 2 4 8 Ta cĩ sin 2x sin 2x sin k ¡ . 2 4 3 2x k2 x k 4 8 Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x 10 1 là A. x 100 k360 . B. x 80 k180. C. x 100 k360 . D. x 100 k180 . Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ: sin x 10 1 sin x 10 sin 90 x 10 90 k360 x 100 k360,k Z . x 1 Câu 12: Phương trình sin cĩ tập nghiệm là 5 2 11 11 x k10 x k10 6 6 A. (k ¢ ) . B. (k ¢ ) . 29 29 x k10 x k10 6 6 11 11 x k10 x k10 6 6 C. (k ¢ ) . D. (k ¢ ) . 29 29 x k10 x k10 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. x 11 k2 x k10 x 1 5 6 6 sin (k ¢ ). 5 2 x 7 29 k2 x k10 5 6 6
  23. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 Câu 13: Số nghiệm của phương trình sin 2x trong khoảng 0;3 là 2 A. 1. B. 2 . C. 6 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 2x k2 x k 3 3 6 Ta cĩ: sin 2x ,k Z ,k Z . 2 2 2x k2 x k 3 3  Cách 1: Dựa vào đường trịn lượng giác ta cĩ số nghiệm của phương trình là 6. Cách 2: Giải lần lượt: 1 17 0 k 3 k k 0,1,2 . 6 6 6 1 8 0 k 3 k k 0,1,2 . 3 3 3 Mỗi họ nghiệm cĩ 3 nghiệm thuộc 0;3 nên PT cĩ 6 nghiệm thuộc 0;3 . sin x 1 Câu 14: Nghiệm phương trình 2 là A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. Từ sin x 1 x k2 x k2 . 2 2 2 Câu 15: Phương trình: 1 sin 2x 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Từ 1 sin 2x 0 2x k2 x k . 2 4 Câu 16: Số nghiệm của phương trình: sin x 1 với x 5 là 4 A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn D. sin x 1 x k2 x k2 k ¢ . 4 4 2 4 3 19 Mà x 5 k2 5 k k 0;1;2 . 4 4 8 Vậy phương trình cĩ 3 nghiệm trong  ;5  . Câu 17: Nghiệm của phương trình 2sin 4x –1 0 là: 3 7 A. x k ; x k . B. x k2 ; x k2 . 8 2 24 2 2
  24. Lượng giác – ĐS và GT 11 C. x k ; x k 2 . D. x k2 ; x k . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 4x k2 x k 1 3 6 8 2 2sin 4x –1 0 sin 4x k ¢ 3 3 2 7 4x k2 x k 3 6 24 2 Câu 18: Phương trình 3 2sin x 0 cĩ nghiệm là: 2 A. x k2  x k2 . B. x k2  x k2 . 3 3 3 3 2 4 C. x k2  x k2 . D. x k2  x k2 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x k2 3 3 3 2sin x 0 sin x sin x sin k ¢ . 2 3 4 x k2 3 Câu 19: Nghiệm của phương trình sin3x sin x là: A. x k . B. x k ; x k . C. x k2 . D. 2 4 2 x k ;k k2 . 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. x k 3x x k2 x k sin 3x sin x k ¢ . x x k2 2x k2 x k 2 1 Câu 20: Phương trình sin 2x cĩ bao nhiêu nghiệm thõa 0 x . 2 A. 1. B. 3. C. 2 . D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Ta cĩ sin 2x sin 2x sin 2 6 2x k2 6 2x k2 6 x k 12 k ¡ . 7 x k 12
  25. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 13 Trường hợp 1: x k . Do 0 x nên 0 k k . 12 12 12 12 11 Vì k ¡ nên ta chọn được k 1thỏa mãn. Do đĩ, ta được nghiệm x . 12 7 7 7 5 Trường hợp 2: x k . Do 0 x nên 0 k k . 12 12 12 12 7 Vì k ¡ nên ta chọn được k 0 thỏa mãn. Do đĩ, ta được nghiệm x . 12 Vậy phương trình đã cho cĩ hai nghiệm. Câu 21: Số nghiệm của phương trình sin x 1 với x 3 là : 4 A. 1. B. 0 . C. 2 . D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ sin x 1 x k2 4 4 2 x k2 k ¡ . 4 3 11 Do x 3 nên k2 3 k . 4 8 8 9 Vì k ¡ nên ta chọn được k 1 thỏa mãn. Do đĩ, ta được nghiệm x . 4 9 Vậy phương trình đã cho cĩ một nghiệm duy nhất x . 4 Câu 22: Nghiệm của phương trình 2sin 4x 1 0 là: 3 7 A. x k ; x k2 . B. x k ; x k . 8 2 24 2 C. x k2 ; x k2 .D. x k2 ; x k . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 Ta cĩ: 2sin 4x 1 0 sin 4x sin 3 3 2 6 4x k2 4x k2 x k 3 6 2 8 2 . 5 7 7 4x k2 4x k2 x k 3 6 6 24 2 x 1 Câu 23: Họ nghiệm của phương trình sin là 5 2 11 11 x k10 x k10 6 6 A. k ¢ B. k ¢ 29 29 x k10 x k10 6 6
  26. Lượng giác – ĐS và GT 11 11 11 x k10 x k10 6 6 C. k ¢ . D. k ¢ 29 29 x k10 x k10 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ x 11 k2 x k10 x 1 x 5 6 6 sin sin sin k ¢ 5 2 5 6 x 7 29 k2 x k10 5 6 6 Câu 24: Phương trình 2sin 2x 40 3 cĩ số nghiệm thuộc 180 ;180 là: A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 Ta cĩ 2sin 2x 40 3 sin 2x 40 sin 2x 40 sin 600 2 2x 40 60 k360 2x 100 k360 x 50 k180 2x 40 120 k360 2x 160 k360 x 80 k180 Với k 0 thì x 50 ,x 80 Với k 1 thì x 130 , x 100 . Vậy cĩ 4 nghiệm thuộc 180 ;180 là 4 2 Câu 25: Tìm sơ nghiệm nguyên dương của phương trình sau sin 3x 9x 16x 80 0 . 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: 9x2 16x 80 0 x 4 . Phương trình 3x 9x2 16x 80 k , k ¢ 4 3x 9x2 16x 80 4k 9x2 16x 80 3x 4k 4k 4k x x 3 . 3 2 2 2 2k 10 9x 16x 80 (3x 4k) x 3k 2 2k2 10 4k 3k 2 3 2k2 10 Yêu cầu bài tốn x 4 . 3k 2 2k2 10 ¢ 3k 2
  27. Lượng giác – ĐS và GT 11 2k2 10 4k 6k2 8k 30 0 3k 2 3 3k 2 2 Ta cĩ: k 3 2k2 10 2k2 12k 18 3 x 4 0 3k 2 3k 2 Vì k ¢ k 1,2,3 . 2k2 10 * k 1 12 ¢ 3k 2 2k2 10 9 * k 2 ¢ 3k 2 2 2k2 10 * k 3 4 ¢ 3k 2 Kết hợp điều kiện, ta cĩ x 4,x 12 là những giá trị cần tìm. Câu 26: Nghiệm của phương trình sin2 x 1 là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 cos 2x Ta cĩ: sin2 x 1 1 cos 2x 1 2x k2 x k . 2 2 Câu 27: Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m cĩ nghiệm: A. m 1. B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. Với mọi x ¡ , ta luơn cĩ 1 sin x 1 Do đĩ, phương trình sin x m cĩ nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1. Câu 28: Phương trình 2sin x m 0 vơ nghiệm khi m là A. 2 m 2 . B. m 1. C. m 1. D. m 2 hoặc m 2 . Hướng dẫn giải: . Chọn D. m Ta cĩ 2sin x m 0 sin x * . 2 m m 2 Phương trình (*) vơ nghiệm khi và chỉ khi 1 . 2 m 2 Câu 29: Nghiệm của phương trình cos x 1là: A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C cos x 1 x k 2 , k ¢ . Câu 30: Giá trị đặc biệt nào sau đây là đúng A. cos x 1 x k . B. cos x 0 x k . 2 2 C. cos x 1 x k2 . D. cos x 0 x k2 . 2 2
  28. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn B. cos x 1 x k2 , k ¢ nên A sai. 2 cos x 0 x k , k ¢ nên B đúng. 2 cos x 1 x k2 , k ¢ nên C sai. cos x 0 x k , k ¢ nên D sai. 2 Câu 31: Phương trình: cos2x 1 cĩ nghiệm là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Từ cos2x 1 2x k2 x k Câu 32: Nghiệm của phương trình cos x 1là: 3 A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C cos x 1 x k 2 , k ¢ . 1 cos x Câu 33: Nghiệm phương trình 2 là: x k2 x k2 6 6 A. k ¢ . B. k ¢ . 5 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 3 3 C. k ¢ . D. k ¢ . 2 x k2 x k2 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x k2 1 3 Ta cĩ cos x cos x cos k ¢ . 2 3 x k2 3 Câu 34: Nghiệm của phương trình 2cos2x 1 0 là: 2 A. x k2 ; x k2 . B. x k2 ; x k2 . 3 3 6 3 2 2 C. x k2 ; x k2 . D. x k ; x k . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn D.
  29. Lượng giác – ĐS và GT 11 1 2 2 Ta cĩ: 2cos 2x 1 0 cos 2x cos 2x cos 2x k2 x k . 2 3 3 3 Câu 35: Phương trình cos 2x 0 cĩ nghiệm là 2 k A. x . B. x k . C. x k . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. cos 2x 0 2x k x k , k ¢ . 2 2 2 2 2 cos x 1 Câu 36: Nghiệm phương trình 2 là: A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ cos x 1 x k2 x k2 k ¡ . 2 2 2 Câu 37: Phương trình lượng giác: 2cos x 2 0 cĩ nghiệm là 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 4 4 4 4 A. . B. . C. . D. . 3 3 5 x k2 x k2 x k2 x k2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 x k2 2 3 4 2cos x 2 0 cos x cos x cos , k ¢ . 2 4 3 x k2 4 2 cos 2x Câu 38: Nghiệm phương trình: 2 là x k2 x k 4 4 A. . B. . x k2 x k 4 4 x k x k2 8 8 C. . D. . x k x k2 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  30. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 2 8 Từ cos 2x cos . 2 4 x k 8 1 Câu 39: Nghiệm của phương trình cos x là: 2 2 A. x k2 . B. x k2 . C. x k2 . D. x k . 3 6 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 2 2 cos x cos x cos x k2 , k ¢ . 2 3 3 3 Câu 40: Nghiệm của phương trình cos x 0 là: 2 5 2 A. x k . B. x k2 . C. x k2 . D. x k2 . 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 x k2 3 3 2 3 cos x 0 cos x cos k ¢ 2 2 3 2 x k2 3 Câu 41: Số nghiệm của phương trình: 2 cos x 1 với 0 x 2 là 3 A. 0 . B. 2 . C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn B. x k2 x k2 1 1 3 4 12 2 cos x 1 cos x , k ¢ . 3 3 2 7 x k2 x k2 2 3 4 12 1 25 0 x 2 nên từ 1 ta được 0 k2 2 k , chọn k 1. 12 24 24 7 7 31 Tương tự từ 2 ta được 0 k2 2 k , chọn k 1. 12 24 24 Do các nghiệm của họ 1 và họ 2 khơng trùng nhau nên phương trình đã cho cĩ hai nghiệm. Câu 42: Phương trình 2cos x 3 0 cĩ họ nghiệm là A. x k k ¢ . B. x k2 k ¢ . 3 3 C. x k2 k ¢ . D. x k k ¢ . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 Ta cĩ 2cos x 3 0 cos x cos x cos x k2 k ¢ 2 6 6
  31. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 43: Giải phương trình lượng giác : 2cos2x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k2 . B. x k2 . C. x k . D. x k2 . 6 12 12 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 2cos2x 3 0 cos 2x cos 2x cos 2x k2 x k , k ¢ . 2 6 6 12 x Câu 44: Giải phương trình lượng giác: 2cos 3 0 cĩ nghiệm là 2 5 5 5 5 A. x k4 . B. x k4 . C. x k2 . D. x k2 . 6 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. x x 3 x 5 x 5 5 2cos 3 0 cos cos cos k2 x k4 , k ¢ . 2 2 2 2 6 2 6 3 3 cos x cos Câu 45: Giải phương trình 2 . 3 3 A. x k2 ;k ¢ . B. x arccos k2 ;k ¢ . 2 2 C. x arccos k2 ;k ¢ . D. x k2 ;k ¢ . 6 6 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 x k2 3 2 Ta cĩ cos x cos ;k ¢ . 2 3 x k2 2 x Câu 46: Nghiệm của phương trình cos cos 2 (với k ¢ ) là 3 A. x 2 k . ` B. x 3 2 k6 . C. x 2 k4 . D. x 3 2 k6 . Hướng dẫn giải: Chọn D x 2 k2 x 3 x 3 2 k6 cos cos 2 k Z 3 x 2 k2 x 3 2 k6 3 Câu 47: Nghiệm của phương trình cos3x cos x là: A. x k2 . B. x k2 ; x k2 . 2 C. x k . D. x k ; x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  32. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 3x x k2 2x k2 cos3x cos x x k k ¢ . 3x x k2 4x k2 x k 2 2 Câu 48: Phương trình 2 2 cos x 6 0 cĩ các nghiệm là: 5 A. x k2 k ¢ . B. x k2 k ¢ . 6 6 5 C. x k2 k ¢ . D. x k2 k ¢ . 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3 5 5 2 2 cos x 6 0 cos x cos x cos x k2 k ¢ 2 6 6 Câu 49: Phương trình cos 4x cos cĩ nghiệm là 5 x k2 x k2 5 20 A. k ¢ . B. k ¢ . x k2 x k2 5 20 x k x k 5 5 20 2 C. k ¢ . D. k ¢ . x k x k 5 5 20 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4x k2 x k 5 20 2 cos 4x cos k ¢ 5 4x k2 x k 5 20 2 x Câu 50: Giải phương trình lượng giác 2cos 3 0 cĩ nghiệm là: 2 5 5 x k2 x k2 3 6 A. k ¢ . B. k ¢ . 5 5 x k2 x k2 3 6 5 5 x k4 x k4 6 3 C. k ¢ . D. k ¢ . 5 5 x k4 x k4 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. x x 3 x 5 Ta cĩ 2cos 3 0 cos cos cos 2 2 2 2 6
  33. Lượng giác – ĐS và GT 11 x 5 5 k2 x k4 2 6 3 . k ¡ . x 5 5 k2 x k4 2 6 3 Câu 51: Số nghiệm của phương trình 2 cos x 1 với 0 x 2 là 3 A. 3. B. 2 . C. 0 . D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. x k2 2 3 4 2 cos x 1 cos x cos 3 3 2 4 x k2 3 4 x k2 12 k Z 7 x k2 12 23 Xét x k2 : Vì 0 x 2 nên x 12 12 7 17 Xét x k2 : Vì 0 x 2 nên x 12 12 Vậy tập nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện là 23 17  S ;  Cĩ 2 nghiệm. 12 12  x Câu 52: Số nghiệm của phương trình cos 0 thuộc khoảng ,8 là 2 4 A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn C. x x Ta cĩ cos 0 k x k2 ;k ¢ . 2 4 2 4 2 2 1 15 5 9 13 Vì x ,8 nên k2 8 k ;k ¢ k 1;2;3 x , , . 2 4 4 2 2 2 2cos x 2 0 ; Câu 53: Nghiệm của phương trình 3 trong khoảng 2 2 là 7  7   7  A. ;  . B.  . C.  . D. ;  . 12 12  12  12 12 12  Hướng dẫn giải: Chọn C. 7 x k2 x k2 2 3 4 12 2cos x 2 0 cos x k ¢ 3 3 2 x k2 x k2 3 4 12 Câu 54: Phương trình 2cos2 x 1 cĩ nghiệm là
  34. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k . B. x k . C. x k . D. vơ nghiệm. 4 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. x k2 4 2 cos x x k2 2 2 4 Ta cĩ: 2cos x 1 k ¢ x k , k ¢ . 2 3 4 cos x x k2 2 4 3 x k2 4 Câu 55: Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos(x ) 1 trên ( ; ) 3 2 4 7 A. B. C. D. 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k2 1 Phương trình cos(x ) cos 2 3 2 3 x k2 3 Vì x ; nên: * Với x k2 ta chỉ chọn được k 0 x 0 . 2 2 * Với x k2 ta chỉ chọn được k 0 x . 3 3 2 Vậy tổng các nghiệm bằng . 3 Câu 56: Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 3 2x x 2 ) 1 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn C. Phương trình 3 3 2x x2 k2 , k ¢ 2 2k 3 2x x2 Ta cĩ: 0 4 (1 x)2 2 và 2 2k là số chẵn nên ta cĩ các nghiệm là: x 1,x 3,x 1. 1 cos2 2x Câu 57: Giải phương trình 4 . 2 A. x k2 , x k ;k ¢ . B. x k , x k ;k ¢ . 6 3 6 3 C. x k , x k ;k ¢ . D. x k , x k ;k ¢ . 6 3 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  35. Lượng giác – ĐS và GT 11 2x k2 x k 3 6 1 cos 2x 2x k2 x k 2 1 2 3 6 Ta cĩ cos 2x ;k ¢ . 4 1 2 cos 2x 2x k2 x k 2 3 3 2 2x k2 x k 3 3 Câu 58: Phương trình cos x m 0 vơ nghiệm khi m là: m 1 A. . B. m 1. C. 1 m 1. D. m 1. m 1 Hướng dẫn giải: Chọn A. Với mọi x ¡ , ta luơn cĩ 1 cos x 1 m 1 Do đĩ, phương trình cosx m cĩ nghiệm khi và chỉ khi . m 1 Câu 59: Cho phương trình: 3cos + ―1 = 0. Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm: A. m 1 3 . B. m 1 3 . C. 1 3 m 1 3. D. 3 m 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 m 1 m Ta cĩ: cos x cĩ nghiệm khi và chỉ khi 1 1 1 3 m 1 3 . 3 3 Câu 60: Phương trình mcos x 1 0 cĩ nghiệm khi m thỏa điều kiện m 1 m 1 A. . B. m 1. C. m 1. D. m 1 m 1 Câu 61: Phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm khi m là A. 1 m 1. B. m 0. C. m 2 . D. 2 m 0 . Hướng dẫn giải: Chọn D. Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cos x a .  PT cĩ nghiệm khi a 1.  PT cĩ nghiệm khi a 1. Ta cĩ phương trình cos x m 1 cĩ nghiệm khi m 1 1 1 m 1 1 2 m 0 . Câu 62: Cho x k là nghiệm của phương trình nào sau đây: 2 A. sin x 1. B. sin x 0. C. cos 2x 0 . D. cos2x 1. Hướng dẫn giải: Chọn D. Thay giá trị x k vào từng phương trình ở các phương án để thử lại. 2 1 nếu k chẵn Ta cĩ: sin k nên các phương án A và B sai. 2 1 nếu k lẻ
  36. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos 2x cos 2 k cos k2 1 nên C sai, D đúng. 2 Câu 63: Cho phương trình: 3cos x m 1 0 . Với giá trị nào của m thì phương trình cĩ nghiệm A. m 1 3 . B. m 1 3 . C. 1 3 m 1 3. D. 3 m 3 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 m Ta cĩ: 3 cos x m 1 0 cos x . 3 1 m PT cĩ nghiệm 1 1 1 3 m 1 3. 3 Câu 64: Cho phương trình cos 2x m 2 . Tìm m để phương trình cĩ nghiệm? 3 A. Khơng tồn tại m. B. m  1;3 . C. m  3; 1. D. mọi giá trị của m. Hướng dẫn giải: . Chọn C. Ta cĩ: cos 2x m 2 cos 2x m 2. 3 3 1 cos 2x 1 phương trình cĩ nghiệm khi 1 m 2 1 3 m 1. 3 2 x Câu 65: Để phương trình cos m cĩ nghiệm, ta chọn 2 4 A. m 1. B. 0 m 1. C. 1 m 1. D. m 0. Hướng dẫn giải: Chọn B. 2 x 0 cos 1,x ¡ 0 m 1. 2 4 2 Câu 66: Cho biết x k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A. 2cos x 1 0. B. 2cos x 1 0. C. 2sin x 1 0. D. 2sin x 3 0. Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 , k ¢ Loại A. 2 3 3 1 2 2 2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 , k ¢ Chọn B. 2 3 3 Câu 67: Cho biết x k2 là họ nghiệm của phương trình nào sau đây ? 3 A. 2cos x 3 0. B. 2cos x 1 0. C. 2sin x 1 0. D. 2sin x 3 0. Hướng dẫn giải: Chọn B.
  37. Lượng giác – ĐS và GT 11 3 2cos2x 3 0 cos 2x 2x k2 x k , k ¢ .Loại A. 2 6 12 1 2cos x 1 0 cos x cos x cos x k2 , k ¢ . Chọn B. 2 3 3 Câu 68: Nghiệm của phương trình sin3x cos x là: A. x k ; x k . B. x k2 ; x k2 . 8 2 4 2 C. x k ; x k . D. x k ; x k . 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3x x k2 4x k2 2 2 sin3x cos x sin 3x sin x 2 3x x k2 2x k2 2 2 x k 8 2 k ¢ . x k 4 Câu 69: Nghiệm của phương trình cos x sin x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 4 6 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. cos x sin x 0 2 sin x 0 sin x 0 x k x k k ¢ . 4 4 4 4 Câu 70: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x cos5x 0 theo thứ tự là: 2 A. x ; x . B. x ; x . 18 2 18 9 C. x ; x . D. x ; x . 18 6 18 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. sin 4x cos5x 0 cos5x sin 4x 5x 4x k2 x k2 2 2 cos5x cos 4x k ¢ 2 2 5x 4x k2 x k 2 18 9 3 Với nghiệm x k2 ta cĩ nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là và 2 2 2 2 Với nghiệm x k ta cĩ nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là và 18 9 18 6
  38. Lượng giác – ĐS và GT 11 Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là và 18 6 Câu 71: Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x ) cos(2x ) trên [0; ] 3 3 7 4 47 47 A. B. C. D. 18 18 8 18 Hướng dẫn giải: 5 Phương trình sin(5x ) sin( 2x) 3 6 5 2 5x 2x k2 x k 3 6 14 7 . 2 5x 2x k2 x k 3 6 18 3 2 2 Với x k 0 k 14 7 14 7 2 13 1 13 k k . Do k ¢ k 0,1,2,3 14 7 14 4 4 5 9 13 Suy ra các nghiệm: x ,x ,x ,x 14 14 14 14 2 2 Với x k 0 k 18 3 18 3 2 19 1 19 k k . Do k ¢ k 1 18 3 18 12 12 11 Suy ra các nghiêm: x . 18 47 Vậy tổng các nghiệm là: . 18 x Câu 72: Gọi X là tập nghiệm của phương trình cos 15 sin x . Khi đĩ 2 A. 290 X . B. 250 X . C. 220 X . D. 240 X . Hướng dẫn giải: Chọn A. x x Ta cĩ cos 15 sinx cos 15 cosx 90 x 2 2 x 15 90 x k360 2 x 50 k240 ;k ¢ x x 210 k720 15 90 x k360 2 Vậy 290 X . Câu 73: Trong nửa khoảng 0; 2 , phương trình cos2x sin x 0 cĩ tập nghiệm là 5  7 11  5 7  7 11  A. ; ;  . B. ; ; ; . C. ; ;  . D. ; ; . 6 2 6  6 2 6 6  6 6 6  2 6 6  Hướng dẫn giải: Chọn D.
  39. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos 2x sin x 0 cos 2x sin x cos 2x cos x 2 2x x k2 x k2 2 2 k ¢ . k2 2x x k2 x 2 6 3 7 11  Mà x 0;2 x ; ;  . 2 6 6  Câu 74: Số nghiệm của phương trình sin x cos x trong đoạn  ;  là A. 2. B. 4. C. 5. D. 6. Hướng dẫn giải: . Chọn A. Ta cĩ s inx cos x s inx cos x 0 sin x 0 x k ,k ¢ . 4 4 5 3 k 0 Do x  ;  k k phương trình cĩ 2 nghiệm trong đoạn 4 4 4 k 1 ;   . Câu 75: Nghiệm của phương trình sin x.cos x 0 là: A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 2 2 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 sin x.cos x 0 sin 2x 0 sin 2x 0 2x k x k k ¢ . 2 2 Câu 76: Các họ nghiệm của phương trình sin2x cos x 0 là 2 2 A. k ; k2 ;k ¢ . B. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 2 2 C. k ; k2 ;k ¢ . D. k ; k2 ;k ¢ . 6 3 2 6 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. x k 2 cos x 0 Ta cĩ sin 2x cos x 0 cos x 2sin x 1 0 1 x k2 k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 Câu 77: Nghiệm phương trình: 1 tan x 0 là A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B
  40. Lượng giác – ĐS và GT 11 Từ 1 tan x 0 x k . 4 Câu 78: Họ nghiệm của phương trình tan x 3 0 là 5 8 8 8 8 A. k ;k ¢ . B. k ;k ¢ . C. k2 ;k ¢ . D. k2 ;k ¢ . 15 15 15 15 Hướng dẫn giải: Chọn B. 8 Ta cĩ tan x 3 0 x k x k ;k ¢ . 5 5 3 15 x Câu 79: Phương trình tan x tan cĩ họ nghiệm là 2 A. x k2 k ¢ . B. x k k ¢ . C. x k2 k ¢ . D. x k2 k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn A. x Điều kiện k x k2 k ¢ . 2 2 x x Ta cĩ tan x tan x k x k2 k ¢ 2 2 Câu 80: Nghiệm của phương trình 3 3tan x 0 là: A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 2 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. 3 3 3tan x 0 tan x x k k ¢ . 3 6 Câu 81: Phương trình 3 tan x 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . 3 3 2 4 C. x k2 ; x k2 . D. x k2 ; x k2 . 3 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 tan x 0 tan x 3 tan x tan x k , k ¢ . 3 3 Câu 82: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3.tan x 3 0 tan x 3 x k , k ¢ . 3 x Câu 83: Phương trình tan tan x cĩ nghiệm là 2
  41. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . C. x k2 ,k ¢ . D. Cả A, B,C đều đúng. Hướng dẫn giải: Chọn A. x ĐK: cos 0,cos x 0 2 x x tan tan x x k x k2 ,k ¢ (thỏa mãn). 2 2 Câu 84: Nghiệm của phương trình 3 tan3x 3 0 (với k ¢ ) là k k k k A. x . B. x . C. x . D. x . 9 9 3 3 3 9 9 3 Hướng dẫn giải: . Chọn D. Ta cĩ 3 tan 3x 3 0 tan 3x 3 3x k x k , k ¢ . 3 9 3 Câu 85: Nghiệm của phương trình tan x 4 là A. x arctan4 k . B. x arctan4 k2 . C. x 4 k . D. x k . 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Sử dụng cơng thức nghiệm tổng quát của phương trình tan x x arctan k , k ¢ . Câu 86: Họ nghiệm của phương trình tan 2x tan x 0 là: A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . C. k ,k ¢ . D. k ,k ¢ . 6 3 6 Hướng dẫn giải: . Chọn D. k x cos2x 0 4 2 Điều kiện: ,k ¢ . cos x 0 x k 2 Phương trình tan2x tan x 0 tan 2 x tan x 2 x x k x k ,k ¢ Câu 87: Phương trình lượng giác: 3.tan x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k2 . C. x k . D. x k . 3 3 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. 3.tan x 3 0 tan x 3 tan x tan x k k ¢ . 3 3 3 3 tan 3x 0 Câu 88: Giải phương trình 5 . A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 8 4 5 4 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 5 2 5 3
  42. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 3 3 k Ta cĩ 3 tan 3x 0 tan 3x 0 3x k x , k ¢ . 5 5 5 5 3 x Câu 89: Nghiệm của phương trình 3tan 3 0 trong nửa khoảng 0; 2 là 4 2  3  3  2  A. ;  . B.  . C. ; . D.  . 3 3  2  2 2  3  Hướng dẫn giải: Chọn D. x x 3 x 2 3tan 3 0 tan k x k4 ,k ¢ . 4 4 3 4 6 3 2 Mà x 0;2 x . 3 Câu 90: Phương trình tan 2x 12 0 cĩ nghiệm là A. x 6 k90, k ¢ . B. x 6 k180, k ¢ . C. x 6 k360, k ¢ . D. x 12 k90, k ¢ . Hướng dẫn giải: Chọn A. tan 2x 12 0 2x 12 k.180 x 6 k.90, k ¢ . Câu 91: Nghiệm của phương trình tan(2x 150 ) 1, với 900 x 900 là A. x 300 B. x 600 0 0 0 C. x 30 D. x 60 , x 30 Hướng dẫn giải: Chọn C tan(2x 150 ) 1 2x 150 450 k1800 2x 600 k1800 x 300 k900 (k ¢ ) . 0 0 0 0 0 Xét x 30 k90 : Vì 90 x 90 nên x 30 (k ¢ ) 3 Câu 92: Số nghiệm của phương trình tan x tan trên khoảng ;2 11 4 A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 3 Ta cĩ tan x tan x k k ¢ 11 11 3 k ¢ k 2 0,027 k 1,72 k 0;1. 4 11 Câu 93: Giải phương trình: tan2 x 3 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . C. vơ nghiệm. D. x k . 3 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B.
  43. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 2 tan x 3 3 Ta cĩ: tan x 3 , k ¢ . tan x 3 x k 3 Câu 94: Nghiệm phương trình 1 cot x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ 1 cot x 0 cot x 1 cot x cot x k k ¡ . 4 4 Câu 95: Nghiệm của phương trình cot x 3 0 là: A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k . 3 6 3 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ cot x 3 0 cot x 3 cot x cot 6 x k k ¢ 6 Câu 96: Phương trình lượng giác: 3cot x 3 0 cĩ nghiệm là A. x k . B. x k . C. x k2 . D. Vơ nghiệm. 6 3 3 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 3cot x 3 0 cot x cot x cot x k , k ¢ . 3 3 3 Câu 97: Phương trình lượng giác: 2cot x 3 0 cĩ nghiệm là x k2 6 3 A. B. x arc cot k . C. x k . D. x k . 2 6 3 x k2 . 6 Hướng dẫn giải: Chọn B. 3 3 2cot x 3 0 cot x x arc cot k , k ¢ . 2 2 Câu 98: Nghiệm của phương trình cot x 3 là 4 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 12 3 12 6 Hướng dẫn giải: Chọn C.
  44. Lượng giác – ĐS và GT 11 Ta cĩ cot x 3 cot x cot x k , k Z x k , k Z 4 4 6 4 6 12 Câu 99: Giải phương trình 3 cot(5x ) 0 . 8 A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . C. x k ;k ¢ . D. 8 8 5 8 4 x k ;k ¢ . 8 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ 3 cot 5x 0 cot 5x 0 cos 5x 0 8 8 8 k 5x k x ;k ¢ . 8 2 8 5 x Câu 100: Nghiệm của phương trình cot( 100 ) 3 (với k ¢ ) là 4 A. x 2000 k3600 . B. x 2000 k7200 . C. x 200 k3600 . D. x 1600 k7200 . Hướng dẫn giải: Chọn D x 0 0 x 0 0 0 0 cot( 10 ) 3 cot 30 40 k180  x 160 k720 (k ¢ ) . 4 4 Câu 101: Giải phương trình tan x cot x A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 4 2 4 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. Ta cĩ tan x cot x tan x tan x x k ;k ¢ . 2 4 2 Câu 102: Phương trình tan x.cot x 1cĩ tập nghiệm là k   A. T ¡ \ ;k ¢ . B. T ¡ \ k ;k ¢ . 2  2  C. T ¡ \ k ;k ¢ . D. T ¡ . Hướng dẫn giải: . Chọn A. cos x 0 k Điều kiện: sin 2 x 0 x . sin x 0 2 Ta cĩ: tan x.cot x 1 luơn đúng tập nghiệm của phương trình cũng chính là tập các giá trị của x để phương trình cĩ nghĩa. Câu 103: Giải phương trình tan3xtan x 1.
  45. Lượng giác – ĐS và GT 11 A. x k ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . C. x k ;k ¢ . D. 8 8 4 4 8 4 x k ;k ¢ . 8 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. k 3x k x cos3x 0 2 6 3 Điều kiện , k ¢ . (*) cos x 0 x k x k 2 2 Ta cĩ 1 tan 3x.tan x 1 tan 3x cot x tan x tan x 2 k 3x x k x ;k ¢ . 2 8 4 So với điều kiện (*) ta được x k ;k ¢ . 8 4 Câu 104: Nghiệm của phương trình tan3x.cot 2x 1 là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 2 4 2 C. k ,k ¢ . D. Vơ nghiệm. Hướng dẫn giải: . Chọn D. x k cos3x 0 6 3 Điều kiện: ,k ¢ . sin 2x 0 k x 2 1 Phương trình tan3x.cot 2x 1 tan3x tan 3x tan 2 x 3x 2 x k x k loại cot 2x k do điều kiện x . 2 Câu 105: Nghiệm của phương trình tan 4x.cot 2x 1 là A. k ,k ¢ . B. k ,k ¢ . 4 2 C. k ,k ¢ . D. Vơ nghiệm. 2 Hướng dẫn giải: . Chọn D. x k cos4x 0 8 4 Điều kiện: ,k ¢ . sin 2x 0 k x 2 1 k Phương trình tan4x.cot 2x 1 tan 4x tan 4 x tan 2 x 4 x 2 x k x loại cot 2x 2 k do điều kiện x 2
  46. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 106: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm 4 A. tan x 3. B. cot x 1. C. cos x 0 . D. sin x . 3 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4 Áp dụng điều kiện nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản, dễ thấy phương trình sin x vơ 3 4 nghiệm vì 1. 3 Câu 107: Phương trình: tan x 2 tan 2x 1cĩ nghiệm là: 2 2 A. x k2 k ¢ B. x k k ¢ 4 4 C. x k k ¢ D. x k k ¢ 4 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. 1 tan2 x Ta cĩ : tan x 2 tan 2x 1 cot x 2 cot 2 x 1 cot x 2 1 2 2 2 tan x cot x (cot x tan x) 1 tan x 1 x k k ¢ 4
  47. Lượng giác – ĐS và GT 11 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Phương trình sin x 1 sin x 2 0 cĩ nghiệm là: A. x k2 k ¢ . B. x k2 , x k k ¢ . 2 4 8 C. x k2 . D. x k2 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin x 1 sin x 1 sin x 2 0 x k2 k ¢ sin x 2 L 2 Câu 2: Phương trình sin2x. 2sin x 2 0 cĩ nghiệm là x k x k x k 2 2 x k 2 A. x k2 . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 4 4 3 3 3 x k2 x k x k2 x k2 4 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. k x 2 sin2x 0 sin2x. 2sin x 2 0 x k2 x k ., k ¢ . 2sin x 2 0 4 3 3 x k2 4 Câu 3: Nghiệm của phương trình 2.sin x.cos x 1 là: A. x k2 . B. x k . C. x k . D. x k . 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ 2.sin x.cos x 1 sin2x 1 2x k2 x k k ¢ 2 4 Câu 4: Giải phương trình 4sin xcos xcos2x 1 0 A. x k2 ;k ¢ . B. x k ;k ¢ . 8 8 C. x k ;k ¢ . D. x k ;k ¢ . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 4sin x cos x cos 2x 1 0 2sin2xcos2x 1 sin4x 1 x k ;k ¢ . 8 2 Câu 5: Giải phương trình cos x(2cos x 3) 0 .
  48. Lượng giác – ĐS và GT 11 5 5 A. x k , x k ;k ¢ . B. x k , x k2 ;k ¢ . 2 6 2 6 5 2 C. x k , x k2 ;k ¢ . D. x k , x k2 ;k ¢ 2 6 2 3 Hướng dẫn giải: Chọn C. x k 2 cos x 0 5 Ta cĩ cos x 2cos x 3 0 3 x k2 ;k ¢ . cos x 6 2 5 x k2 6 Câu 6: Nghiệm của phương trình sin4 x cos4 x 0 là 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 4 4 2 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. Cách 1: sin4 x cos4 x 0 cos2 x sin2 x 0 cos 2x 0 2x k x k , k ¢ . 2 4 2 Cách 2: 2 sin x sin x sin 4 4 2 2 2 1 2 4 sin x cos x 0 sin x cos x 0 sin x 2 2 sin x sin sin x 2 4 x k2 4 3 x k2 4 x k k ¢ . 4 2 x k2 4 5 x k2 4 Câu 7: Phương trình nào tương đương với phương trình sin2 x cos2 x 1 0 . A. cos2x 1. B. cos2x 1. C. 2cos2 x 1 0 . D. (sin x cos x)2 1. Hướng dẫn giải: Chọn B. Ta cĩ sin2 x cos2 x 1 0 cos 2x 1 0 cos 2x 1. Câu 8: Phương trình 3 4cos2 x 0 tương đương với phương trình nào sau đây? 1 1 1 1 A. cos 2x . B. cos 2x . C. sin 2x . D. sin 2x . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn A.
  49. Lượng giác – ĐS và GT 11 2 1 cos 2x 1 Ta cĩ 3 4cos x 0 3 4 0 1 2cos 2x 0 cos 2x . 2 2 Câu 9: Nghiệm của phương trình sin x. 2cos x 3 0 là : x k x k A. . k ¢ B. k ¢ . x k2 x k 6 6 x k2 C. k ¢ . D. x k2 k ¢ . x k2 6 3 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin x 0 x k sin x. 2cos x 3 0 3 k ¢ cos x x k2 2 6 Câu 10: Phương trình (sin x 1)(2cos 2x 2) 0 cĩ nghiệm là A. x k2 ,k ¢ . B. x k ,k ¢ . 2 8 C. x k ,k ¢ . D. Cả A, B,C đều đúng. 8 Hướng dẫn giải: Chọn D. sin x 1 x k2 x k2 2 2 (sin x 1)(2cos 2x 2) 0 2 (k ¢ ) cos 2x 2x k2 x k 2 4 8 Câu 11: Nghiệm của phương trình sin x.cos x.cos2x 0 là: A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 2 8 4 Hướng dẫn giải: Chọn D. 1 1 sin x.cos x.cos2x 0 sin 2x.cos 2x 0 sin 4x 0 sin 4x 0 4x k 2 4 x k k ¢ . 4 Câu 12: Cho phương trình cos x.cos7x cos3x.cos5x 1 Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 1 A. sin5x 0. B. cos 4x 0 . C. sin 4x 0 . D. cos3x 0 . Hướng dẫn giải: Chọn C. 1 1 cos x.cos7x cos3x.cos5x cos6x cos8x cos 2x cos8x 2 2 sin 4x 0 cos6x cos2x 0 2sin 4x.sin 2x 0 sin 2x 0
  50. Lượng giác – ĐS và GT 11 sin 4x 0 ( Do sin 4x 2sin 2x cos 2x ) sin 3x Câu 13: Số nghiệm của phương trình 0 thuộc đoạn [2 ;4 ] là cos x 1 A. 2 . B. 6. C. 5. D. 4 . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điều kiện: cos x 1 0 x k2 . Trên 2 ,4 , điều kiện x 3 . sin 3x Ta cĩ 0 sin 3x 0 3x k x k ;k ¢ . cos x 1 3 Vì x 2 ,4 nên 2 k 4 6 k 12;k ¢ k 7;8;9;10;11 3 7 8 10 11 x 2 , , , 3 , , , 4 . 3 3 3 3 7 8 10 11 So với điều kiện, ta chỉ cịn x 2 , , , , , 4 . 3 3 3 3 sin 2x 1 Câu 14: Tất cả các nghiệm của phương trình 0 là 2.cos x 1 x k2 ,k ¢ 3 4 A. x k2 ,k ¢ . B. . 4 3 x k2 ,k ¢ 4 C. x k ,k ¢ . D. x k2 ,k ¢ . 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A. 1 Điều kiện cos x x k2 . 2 4 sin 2x 1 Ta cĩ 0 sin 2x 1 2x k2 x k . 2.cos x 1 2 4 3 Kết hợp điều kiện, suy ra x k2 ,k ¢ . 4 Câu 15: Giải phương trình 4 sin6 x cos6 x 2 sin4 x cos4 x 8 4cos2 2x k k A. x , k ¢ . B. x , k ¢ . 3 2 24 2 k k C. x , k ¢ . D. x , k ¢ . 12 2 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn C. Ta cĩ: 4 sin6 x cos6 x 2 sin4 x cos4 x 8 4cos2 2x 4 1 3sin2 x cos2 x 2 1 2sin2 x cos2 x 8 4cos2 2x 6 4sin2 2x 8 4cos2 2x 1 cos 4x 2
  51. Lượng giác – ĐS và GT 11 Câu 16: ìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình : cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 A. 1B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình 4cos3 x 3cos x 4(2cos2 x 1) 3cos x 4 0 4cos3 x 8cos2 x 0 cos x 0 x k 2 3 5 7 Vì x 0;14 x ,x ,x ,x . 2 2 2 2 Câu 17: Giải phương trình sin x.cos x 1 tan x 1 cot x 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A sin x 0 Điều kiện: sin 2x 0 x k cos x 0 2 sin x cos x sin x cos x pt sin x.cos x 1 cos x sin x. 2 sin x cos x 1 sin 2x 0 (loại). Phương trình vơ nghiệm. 69 2 Câu 18: Số nghiệm thuộc ; của phương trình 2sin 3x. 1 4sin x 1 là: 14 10 A. 40 . B. 32. C. 41 . D. 46 . Hướng dẫn giải: Chọn C 2sin 3x. 1 4sin2 x 1 2sin 3x. 4cos2 x 3 1 TH1: cos x 0 sin2 x 1 . PT cĩ dạng: 1 2sin 3x. 4cos2 x 3 1 2 3sin x 4sin x.1 4.0 3 1 sinx Vơ lý vì sin2 x 1 2 TH2: cos x 0. PT cĩ dạng: 2 x k 2 14 7 2sin 3x. 4cos x 3 1 2sin 3x.cos3x cos x sin 6x cos x 2 x k 104 5 2 69 1 2863 k k 69 14 12 7 10 24 120 Vì x ; . 14 10 2 69 1 h h 17 14 10 5 10 14 Cĩ 24 giá trị k và cĩ 17 giá trị h k x . 12 2 2 Câu 19: Phương trình tan x tan x tan x 3 3 tương đương với phương trình: 3 3 A. cot x 3. B. cot3x 3. C. tan x 3. D. tan3x 3.
  52. Lượng giác – ĐS và GT 11 Hướng dẫn giải: Chọn C. Trước hết, ta lưu ý cơng thức nhân ba: sin 3a 3sin a 4sin3 a ; cos3a 4cos3 a 3cos a ; 3tan a tan3 a tan 3a . 1 3tan2 a 2 tan x tan tan x tan tan x 3 tan x 3 PT tan x 3 3 3 3 tan x 3 3 2 1 tan x tan 1 tan x tan 1 3 tan x 1 3 tan x 3 3 tan x 1 3tan2 x tan x 3 1 3 tan x tan x 3 1 3 tan x 3 3 1 3tan2 x tan x 3tan3 x tan x 3 tan2 x 3 3tan x tan x 3 tan2 x 3 3tan x 3 3 1 3tan2 x 9 tan x 3tan3 x 3tan x tan3 x 3 3 3 tan 3x 3. 1 3tan2 x 1 3tan2 x Câu 20: Giải phương trình :sin4 x cos4 x 1 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 2 4 C. x k2 , k ¢ . D. x k , k ¢ . 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 2 1 sin4 x cos4 x 1 sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 1 1 sin2 2x 1 2 1 1 1 cos 4x 1 cos 4x 1 4x k2 x k 4 2 Câu 21: Giải phương trình sin x. cos x. cos 2 x 0 A. k . B. k . C. k . D. k . 2 4 8 Hướng dẫn giải: Chọn C 1 k Ta cĩ : sin x. cos x. cos 2 x 0 sin 2x cos2x 0 sin 4x 0 x k ¢ . 2 4 1 Câu 22: Nghiệm của phương trình cos x cos5x cos6x (với k ¢ ) là 2 k k k A. x k . B. x . C. x . D. x . 8 2 4 8 4 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 1 1 k Ta cĩ : cos x cos5x cos6x cos6x cos4x cos6x cos4x 0 x k ¢ 2 2 2 8 4 7 Câu 23: Phương trình sin6 x cos6 x cĩ nghiệm là: 16 A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 3 2 4 2 5 2 6 2 Hướng dẫn giải:
  53. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn D 7 3 7 sin6 x cos6 x 1 sin2 2x 16 4 16 3 1 sin2 2x cos4x x k ,k ¢ 4 2 6 2 x x Câu 24: Phương trình sin 2x cos4 sin4 cĩ các nghiệm là; 2 2 2 x k x k x k x k 6 3 4 2 3 12 2 A. . B. . C. . D. . 3 x k2 x k x 3 k2 x k 2 2 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn A x x Phương trình sin 2x cos4 sin4 sin 2x cos x 2 2 2 2x x k2 x k 2 6 3 cos x cos x , k ¢ 2 2x x k2 x k2 2 2 3 3 3 Câu 25: Các nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình sin x.cos3x cos x.sin 3x là: 2 8 5 5 5 5 A. , . B. , . C. , . D. , . 6 6 8 8 12 12 24 24 Hướng dẫn giải: Chọn D 3 Phương trình sin3 x.cos3x cos3 x.sin 3x 8 3 sin3 x 4cos3 x 3cos x cos3 x 3sin x 4sin3 x 8 3 1 3sin x.cos3 x 3cos x.sin3 x sin x.cos3 x cos x.sin3 x 8 8 k x 2 2 1 24 2 8sin x cos x cos x sin x 1 4sin 2x.cos2x 1 sin 4x , k ¢ 2 5 k x 24 2 5 Do x 0; nên nghiệm thuộc khoảng 0; của phương trình là , . 2 2 24 24 x x 5 Câu 26: Các nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình: sin4 cos4 là: 2 2 8 5 9 2 4 5 3 3 5 7 A. ; ; ; . B. ; ; ; . C. ; ; . D. ; ; ; . 6 6 6 3 3 3 3 4 2 2 8 8 8 8 Hướng dẫn giải: Chọn B
  54. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 4 x 4 x 5 1 2 5 2 1 3 sin cos 1 sin x 4sin x 3 cos2x , k ¢ 2 2 8 2 8 2 x k 3 2 4 5 Do x 0;2 nên nghiệm thuộc khoảng 0;2 của phương trình là ; ; ; . 3 3 3 3 2 Câu 27: Phương trình 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x cĩ nghiệm là: 4 x k x k x k x k 6 12 18 24 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 x k x k x k x k 6 12 18 24 Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện 1 8sin 2x.cos2 2x 0 2 2 2 2sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x 4sin 3x 1 8sin 2x.cos 2x . 4 4 2 2 2 1 cos 6x 1 8sin 2x.cos 2x 8sin 2x.cos 2x 2sin 6x 1 0 . 2 8sin 2x 1 sin2 2x 2 3sin 2x 4sin3 2x 1 0 2sin 2x 1 0 x k 1 12 sin 2x , k ¢ . 2 5 x k 12 x k 12 Thử lại điều kiện, , k ¢ đều thoả. 5 x k 12 sin 3x cos3x 2 Câu 28: Phương trình cĩ nghiệm là: cos2x sin 2x sin 3x A. x k . B. x k . C. x k . D. x k . 8 4 6 3 3 2 4 Hướng dẫn giải: Chọn B. k cos2x 0 k x 2x 4 Điều kiện sin 2x 0 2 k sin 3x 0 3x k x 3 sin 3x.sin 2x cos2x.cos3x 2 sin 2x.cos2x sin 3x 2cosx 2 1 sin 3x. cos x sin 4 x sin 2x sin4x sin 4x sin 4x sin 3x 2
  55. Lượng giác – ĐS và GT 11 x k 2x 4x k2 sin 2 x sin 4 x k 2x 4x k2 x 6 3 So sánh với điều kiện, ta nhận x k . 6 3 Câu 29: Phương trình sin3 x cos3 x sin3 x.cot x cos3 x.tan x 2sin2x cĩ nghiệm là: 3 A. x k . B. x k . C. x k2 . D. x k2 . 8 4 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn B Điều kiện: sin 2 x 0 (do cĩ điều kiện của tan x, cot x ) sin3 x cos3 x sin3 x.cot x cos3 x.tan x 2sin2x sin3 x cos3 x sin2 xcos x cos2 x.sin x 2sin2x sin x cos x 1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin 2x sin x cos x 2sin2x 2 sin x cos x 2sin 2x 1 sin 2 x 2x k x k , k ¢ 2 4 2 So sánh điều kiện ta cĩ nghiệm phương trình là: x k , k ¢ 4 sin4 x cos4 x 1 Câu 30: Phương trình tan x cot x cĩ nghiệm là: sin 2x 2 A. x k . B. x k2 . C. x k . D. Vơ nghiệm. 2 3 4 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiện sin 2x 0 x k 2 sin4 x cos4 x 1 tan x cot x sin 2x 2 2 2 2 2 2 sin x cos x 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2sin x cos x 2 1 2 sin x cos x 1 sin xcos x 0 sin 2x 0 x k , k ¢ 2 So sánh điều kiện ta cĩ phương trình vơ nghiệm. Câu 31: Cho phương trình cos2x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos x và các họ số thực:. I. x k , k ¢ . II. x k2 , k ¢ . 4 2 2 4 III. x k , k ¢ . IV. x k , k ¢ . 14 7 7 7 Chọn trả lời đúng: Nghiệm của phương trình là A. I, II. B. I, III. C. II, III. D. II, IV. Hướng dẫn giải: Chọn C cos2x.cos x sin x.cos3x sin 2xsin x sin3xcos x cos 2x.cos x sin 2xsin x sin x.cos3x sin 3x cos x 0
  56. Lượng giác – ĐS và GT 11 cos3x sin 4x 0 sin 4x cos3x sin 4x sin 3x 2 4x 3x k2 x k2 2 2 sin 4x sin 3x , k ¢ . 2 3 k2 4x 3x k2 x 2 14 7 Từ x k2 nên I đúng. 2 3 k2 2 l Từ x , so sánh với nghiệm x như sau: 14 7 14 7 2 l + Ta thấy x họ nghiệm này khi biểu diễn trên đường trịn lượng giác đều được 7 điểm. 14 7 3 k2 2 l + Cho k l 1. Điều này cĩ nghĩa, ứng với một số nguyên k luơn cĩ một 14 7 14 7 số nguyên l 3 k2 2 l Do đĩ 2 họ nghiệm x và x là bằng nhau. 14 7 14 7 Chú ý: 3x 4x k x k 2 2 cos3x sin 4x cos3x cos 4x 2 k2 3x 4x k2 x 2 14 7 Câu 32: Cho phương trình cos2 x 300 sin2 x 300 sin x 600 và các tập hợp số thực: 0 0 0 0 I. x 30 k120 , k ¢ . II. x 60 k120 , k ¢ . 0 0 0 0 III. x 30 k360 , k ¢ . IV. x 60 k360 , k ¢ . Chọn trả lời đúng về nghiệm của phương trình A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. I, III. D. I, IV. Hướng dẫn giải: Chọn C cos2 x 300 sin2 x 300 sin x 600 cos 2x 600 sin x 600 cos 2x 600 cos 300 x x 300 k1200 k ¢ 0 0 x 30 k360 4 4 x x Câu 33: Phương trình sin x sin x 4sin cos cos x cĩ nghiệm là 2 2 2 3 3 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 4 8 2 3 3 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 12 16 2 Hướng dẫn giải: Chọn B 4 4 x x 4 4 sin x sin x 4sin cos cos x sin x cos x 2sin x cos x 2 2 2
  57. Lượng giác – ĐS và GT 11 sin2 x cos2 x sin 2x sin 2x cos2x 0 2 sin 2x 0 x k k ¢ . 4 8 2 7 Câu 34: Phương trình sin6 x cos6 x cĩ nghiệm là: 16 A. x k , k ¢ . B. x k , k ¢ . 3 2 4 2 C. x k , k ¢ . D. x k , k ¢ . 5 2 6 2 Hướng dẫn giải: Chọn D. 3 7 5 3 7 1 Phương trình 1 sin2 2x cos 4x cos 4x 4 16 8 8 16 2 2 4x k2 x k , k ¢ . 3 6 2 Câu 35: Giải phương trình sin x.cos x(1 tan x)(1 cot x) 1. k A. Vơ nghiệm. B. x k2 , k ¢ . C. x , k ¢ . D. x k , k ¢ . 2 Hướng dẫn giải: Chọn A. sin x 0 k Điều kiện: sin 2x 0 x , k ¢ cos x 0 2 Phương trình đề bài cos x(1 tan x).sin x(1 cot x) 1 (cos x sin x)(sin x cos x) 1 sin 2 x 0 (vơ nghiệm). Câu 36: Trong nửa khoảng 0;2 , phương trình sin 2x sin x 0 cĩ số nghiệm là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn A. k2 2x x k2 x Phương trình đề bài sin 2x sin x 3 , k ¢ . 2x x k2 x k2 k2 k2 + Với x . Vì x 0;2 0 2 0 k 3 k 0;1;2 (vì k ¢ ). 3 3 1 1 + Với x k2 . Vì x 0;2 0 k2 2 k k 0 (vì k ¢ ). 2 2 2 4 Vậy trong nửa khoảng 0;2 , phương trình cĩ 4 nghiệm là: x 0 ; x ; x ; x 3 3 sin6 x cos6 x Câu 37: Để phương trình m cĩ nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện: tan x tan x 4 4 1 1 A. 1 m . B. 2 m 1. C. 1 m 2. D. m 1. 4 4 Hướng dẫn giải: Chọn A.
  58. Lượng giác – ĐS và GT 11 sin x 0 4 k cos x 0 x 4 4 2 k ĐK: x k 4 2 sin x 0 x 4 4 2 cos x 0 4 2 2 4 2 2 4 sin6 x cos6 x sin x cos x sin x sin x cos x cos x m m tan x 1 tan x 1 tan x tan x . 4 4 1 tan x 1 tan x 2 2 2 2 2 sin x cos x 3sin x cos x 3 4m 4 m 1 sin2 2x m sin2 2x 1 4 3 Phương trình cĩ nghiệm k 2 k 4m 4 x sin 2 4m 4 4 2 4 2 3 1 3 2 4m 4 4m 4 sin 2x có nghiệm 0 1 0 4m 4 3 3 3 1 m 3 4m 4 4 1 1 m 4 4m 1 1 4 1 m 4 2 Câu 38: Để phương trình: 4sin x .cos x a 3sin 2x cos2x cĩ nghiệm, tham số a 3 6 phải thỏa điều kiện: 1 1 A. 1 a 1 . B. 2 a 2 . C. a . D. 3 a 3 . 2 2 Hướng dẫn giải: Chọn B 2 Phương trình 4sin x .cos x a 3sin 2x cos2x 3 6 2 3 1 2 sin sin 2x a 2 sin 2x cos2x 2 6 2 2 2 2 1 sin 2x a 2 cos .sin 2x sin .cos2x 6 6 6 2 2 2sin 2x a 2sin 2x 6 6 1 2 1 2 1 2 sin 2x sin 2x a 1 2cos 2x.sin a 1 cos2x a 1 6 6 2 6 2 2 1 2 1 2 2 Vì 1 cos 2 x 1 nên 1 a 1 1 0 a 2 0 a 4 2 a 2 . 2 2 CÁCH KHÁC:
  59. Lượng giác – ĐS và GT 11 Chọn a 3  3;3 của đáp án D. Ta thấy phương trình 4sin x .cos x 9 3sin 2x cos2x khơng cĩ nghiệm qua chức 3 6 năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Chọn a 2  2;2 của đáp án B. Ta thấy phương trình 4sin x .cos x 4 3sin 2x cos2x cĩ nghiệm qua chức năng giải 3 6 nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án B đúng. a2 sin2 x a2 2 Câu 39: Để phương trình cĩ nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện: 1 tan2 x cos2x a 1 a 2 a 3 a 4 A. . B. . C. . D. . a 3 a 3 a 3 a 3 Hướng dẫn giải: Chọn A cos x 0 a2.cos2 x sin2 x a2 2 Điều kiện: tan x 1 (1). Phương trình đã cho tương đương: 2 2 cos x sin x cos2x cos2x 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 a .cos x sin x a 2 a 1 .cos x a 1 cos x 2 a 1 2 2 1 Vì cos 2 x 0 nên 2cos x 1 0 cos x (2) 2 Do đĩ, theo điều kiện (1) và (2), phương trình trên cĩ nghiệm khi a2 1 0 1 a2 1 a 1 . a2 1 1 a 3 a2 1 2 CÁCH KHÁC: Chọn a 1,5 của đáp án A, ta thấy phương trình cĩ nghiệm qua chức năng giải nhanh SOLVE của máy tính cầm tay. Vậy đáp án A đúng.