›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp - Bài 3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

doc 39 trang nhungbui22 12/08/2022 1800
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp - Bài 3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_11_chuong_1_menh_de_tap_hop_bai_3_tap_hop.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 1: Mệnh đề. Tập hợp - Bài 3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

  1. §3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Tập hợp Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Cách xác định tập hợp: + Liệt kê các phần tử: viết các phần tử của tập hợp trong hai dấu móc { }. + Chỉ ra tính chất đăc trưng cho các phần tử của tập hợp. Tập rỗng: là tập hợp không chứa phần tử nào, kí hiệu . 2. Tập hợp con – Tập hợp bằng nhau A Ì B Û (" x Î A Þ x Î B) Các tính chất: + A Ì A, " A + ÆÌ A, " A + A Ì B,B Ì CÞ A Ì C A = B Û (A Ì B và B Ì A) Û (" x,x Î A Û x Î B) 3. Một số tập con của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn 0 | Tập số thực (- ¥ ;+ ¥ ) ¡ a b / / / / / [ ] / / / / é ù {x Î ¡ |a £ x £ b} Đoạn ëa ; bû a b / / / / / ( ) / / / / a Khoảng (a ; b) {x Ï ¡ |a < x < b} ) / / / / / / a / / / / / ( {x Î ¡ |x < a} Khoảng (- ¥ ; a) a b / / / / / [ ) / / / / {x Î ¡ |a < x} Khoảng (a ; + ¥ ) {x Î ¡ |a £ x < b} a b 1 / / / / / ( a ] / / / / ) / / / / / / / a / / / / / / / / [
  2. é Nửa khoảng ëa ; b) Î ¡ < £ ù {x |a x b} Nửa khoảng (a ; bû {x Î ¡ |x £ a} Nửa khoảng (- ¥ ; a] {x Î ¡ |x ³ a} Nửa khoảng [a ;+ ¥ ) 4. Các phép toán tập hợp Giao của hai tập hợp: A ÇB Û {x|x Î A và x Î B} Hợp của hai tập hợp: A È B Û {x|x Î A hoặc x Î B} Hiệu của hai tập hợp: A\B Û {x|x Î A và x Ï B} Phần bù: Cho B Ì A thì CAB = A\B . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP . 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {1; 2; 4;8;16} A. A = {x Î N|x £ 4} B. B = {x Î N| xM4 và x £ 16} C. C = {2n |n £ 4 và n Î N} D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải: Ta có các tập hợp A,B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là A = {x Î N|x £ 4} B = {x Î N| xM4 và x £ 16} 2
  3. C = {2n |n £ 4 và n Î N} ïì x2 + 2 ïü Ví dụ 2: Cho tập hợp A = íï x Î Z| Î Zýï îï x þï a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử A. A = {- 2;;0;1; 2} B. A = {- 2;- 1;0; 2} C. A = {- 2;- 1;1; 2} D. A = {- 2;- 1;0;1; 2} b) có bao nhiêu tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3. A.16B.12 C.15 D.10 Lời giải: x2 + 2 2 a) Ta có = x + Î Z với x Î Z khi và chỉ khi x là ước của 2 hay x Î {- 2;- 1;0;1; 2} x x Vậy A = {- 2;- 1;0;1; 2} b) Tất cả các tập con của tập hợp A mà số phần tử của nó nhỏ hơn 3 là Tập không có phần tử nào: Æ Tập có một phần tử: {- 2} , {- 1} , {0} , {1} , {2} Tập có hai phần thử: {- 2;- 1} , {- 2;0} , {- 2;1} , {- 2; 2} , {- 1;0} {- 1;1} , {- 1; 2} , {0;1} , {0; 2} , {1; 2} . Ví dụ 3: Cho A = {- 4;- 2;- 1; 2; 3; 4} và B = {x Î Z| x £ 4} . Tìm số tập hợp X sao cho a) X Ì B\A A.7B.8 C.6 D.5 b) A Ì X Ì B A.7B.8 C.6 D.5 c) A È X = B với X có đúng bốn phần tử A.7B.8 C.6 D.5 Lời giải: 3
  4. ì ì ï x £ 4 ï - 4 £ x £ 4 Ta có í Û íï Û x Î {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} ï ï îï x Î Z îï x Î Z Suy ra B = {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} a) Ta có B\A = {- 3;0;1} Suy ra X Ì B\A thì các tập hợp X là Æ, {- 3} ,{0} , {1} , {- 3;0} , {- 3;1} , {0;1} , {- 3;0;1} b) Ta có {- 4;- 2;- 1; 2; 3; 4} Ì X Ì {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} suy ra tập hợp X là {- 4;- 2;- 1; 2; 3; 4} , {- 4;- 2;- 3;- 1; 2; 3; 4} ,{- 4;- 2;- 1;0; 2; 3; 4} {- 4;- 2;- 1;1; 2; 3; 4} , {- 4;- 2;- 3;- 1;0; 2; 3; 4} , {- 4;- 2;- 3;- 1;1; 2; 3; 4} {- 4;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} , {- 4;- 3;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} c) Ta có A È X = B với X có đúng bốn phần tử khi đó tập hợp X là {- 4;- 3;0;1} ,{- 3;- 2;0;1} , {- 3;- 1;0;1} , {- 3;0;1; 2} , {- 3;0;1; 3} , {- 3;0;1; 4} Ví dụ 4: Cho các tập hợp: A = {x Î R|(x2 + 7x + 6)(x2 - 4)= 0} B = {x Î N|2x £ 8} C = {2x + 1|x Î Z và - 2 £ x £ 4} a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới dạng liệt kê các phần tử A. A = {- 6;- 2;- 1; 2} B. B = {0;1; 2; 3; 4} C. C = {- 3;- 1;1; 3; 5;7;9} D.Cả A, B, C đều đúng b) Tìm A È B, A ÇB, B\C , CAÈB (B\C). A. A È B = {- 6;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} , A ÇB = {2} B. B\C = {0; 2; 4} C. CAÈB (B\C)= {- 6;- 2;- 1;1; 3} D. Cả A, B, C đều đúng 4
  5. c) Tìm (A ÈC)\B. A. (A ÈC)\B = {- 3;- 1; 5;7;9} B. (A ÈC)\B = {- 6;- 3;- 2;- 1; 5} C. (A ÈC)\B = {- 6;- 3;- 2;- 1; 5;7;9} D. (A ÈC)\B = {- 6;- 3; 5;7;9} Lời giải: a) · Ta có:(x2 + 7x + 6)(x2 - 4)= 0 éx2 + 7x + 6 = 0 éx = - 1 éx = - 2 Û ê Û ê hoặc ê ê 2 ê ê ëêx - 4 = 0 ëx = - 6 ëx = 2 Vậy A = {- 6;- 2;- 1; 2} ïì x Î N ïì x Î N · Ta có íï Û íï Û x Î {0,1,2,3,4} . îï 2x £ 8 îï x £ 4 Vậy B = {0;1; 2; 3; 4} ïì x Î Z · Ta có íï Û x Î {- 2,- 1,0,1,2,3,4} . îï - 2 £ x £ 4 Suy ra C = {- 3;- 1;1; 3; 5;7;9} b) Ta có: A È B = {- 6;- 2;- 1;0;1; 2; 3; 4} , A ÇB = {2} , B\C = {0; 2; 4} CAÈB (B\C)= (A È B)\(B\C)= {- 6;- 2;- 1;1; 3} c) Ta có: A ÈC = {- 6;- 3;- 2;- 1;1; 2; 3; 5;7;9} Suy ra (A ÈC)\B = {- 6;- 3;- 2;- 1; 5;7;9} 2. Bài tập luyện tập. Bài 1.27: Xác định các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng A = {- 4;- 3;- 2;- 1;0 ; 1; 2; 3; 4} , B = {1 ; 3; 5; 7; 9} , C = {0;1; 4;9;16; 25} A. A = {x Î N| x £ 4} B. B = {x Î N|x là số lẻ nhỏ hơn 10}, 5
  6. C. C = {n2 | n là số tự nhiên nhỏ hơn 6} D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: Bài 1.27: Ta có các tập hợp A,B,C được viết dưới dạng nêu các tính chất đặc trưng là A = {x Î N| x £ 4} , B = {x Î N|x là số lẻ nhỏ hơn 10}, C = {n2 | n là số tự nhiên nhỏ hơn 6} Bài 1.28: a) Trong các tập sau đây, tập nào là tập con của tập nào A = {1; 2; 3} B = {n Î N n < 4} C = (0;+ ¥ ) D = {x Î R 2x2 - 7 + 3 = 0} A. A Ì B, B. A Ì C C. D Ì C D. Cả A, B, C đều đúng b) Tìm số tập X thoả mãn bao hàm thức sau; {1; 2} Ì X Ì {1; 2; 3; 4; 5} . A.8B.7 C.6 D.5 Lời giải: Bài 1.28: a) A Ì B, A Ì C, D Ì C . b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5}. ïì 14 ïü Bài 1.29: Cho tập hợp A = íï x Î ¡ | Î Zýï îï 3 x + 6 þï a) Hãy xác định tập A bằng cách liệt kê các phần tử ïì 1 64ïü ïì 1 64ïü ïì 1 64ïü ïì 1 64ïü A. A = íï ; ýï B. A = íï ; ýï C. A = íï ; ýï D. A = íï ; ýï îï 9 9 þï îï 3 3 þï îï 5 5 þï îï 7 7 þï b) Tìm số tập con của tập hợp A . A.1B.2 C.3 D.4 Lời giải: 6
  7. 14 14 Bài 1.29: a) Ta có x ³ 0 suy ra 0 < £ 3 x + 6 6 14 14 14 Mặt khác Î Z nên = 1 hoặc = 2 3 x + 6 3 x + 6 3 x + 6 1 64 Hay x = hoặc x = 9 9 ïì 1 64ïü Vậy A = íï ; ýï îï 9 9 þï ïì 1ïü ïì 64ïü ïì 1 64ïü b) Tất cả các tập con của tập hợp A là Æ, íï ýï , íï ýï , íï ; ýï . îï 9þï îï 9 þï îï 9 9 þï Bài 1.30: Cho A = {x Î ¡ |(x4 - 16)(x2 - 1)= 0} và B = {x Î N|2x- 9 £ 0} . Tìm số tập hợp X sao cho a) X Ì B\A A.8B.7 C.6 D.5 b) A\B = X Ç A với X có đúng hai phần tử A.4B.3 C.2 D.1 Lời giải: Bài 1.30:: Ta có A = {- 2;- 1;1; 2} và B = {0;1; 2; 3; 4} a) Ta có A\B = {0; 3; 4} Suy ra X Ì A\B thì các tập hợp X là Æ, {0} ,{3} , {4} , {0; 3} , {0; 4} , {3; 4} , {0; 3; 4} b) Ta có A\B = {- 2;- 1} với X có đúng hai phần tử khi đó X = {- 2;- 1} . Bài 1.31: Cho tập A = {- 1;1; 5;8} , B ="Gồm các ước số nguyên dương của 16" a) Viết tập A dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử. Viết tập B dưới dạng liệt kê các phần tử. A. A = {x Î ¡ (x + 1)(x- 1)(x- 5)(x- 8)= 0} 7
  8. B. B = {1; 2; 4; 8; 16} C.Cả A, B đều sai D.Cả A, B đều đúng b) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. A ÇB = {1;8} B. A È B = {- 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16} C. A\B = {- 1; 5} D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: Bài 1.31: a) Ta có A = {x Î ¡ (x + 1)(x- 1)(x- 5)(x- 8)= 0} B = {1; 2; 4; 8; 16} b) Ta có A ÇB = {1;8}, A È B = {- 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16}, A\B = {- 1; 5} Bài 1.32: Cho các tập hợp E = { x Î N|1£ x < 7} A = { x Î N|(x2 - 9)(x2 – 5x – 6)= 0} và B = {x Î N|x là số nguyên tố nhỏ hơn 6} a) Chứng minh rằng A Ì E và B Ì E b) khẳng định nào sau đây là đúng nhất? CE A ; CEB ; CE (A È B) A. CE A = E\A = {1; 2; 4; 5} B. CEB = E\B = {1; 4;6} C. CE (A È B) = E\(A È B)= {1; 4} D.Cả A, B, C đều đúng c) Chứng minh rằng : E\(A ÇB) = (E\A)È( E\B) Lời giải: Bài 1.32: a) Ta có E = {1; 2; 3; 4; 5;6} A = {3;6} và B = {2; 3; 5} 8
  9. Suy ra A Ì E và B Ì E b) Ta có CE A = E\A = {1; 2; 4; 5}; CEB = E\B = {1; 4;6} A È B = {2; 3; 5;6} Þ CE (A È B) = E\(A È B)= {1; 4} c) Ta có A ÇB = {3} Þ CE (A ÇB) = E\(A ÇB)= {1; 2; 4; 5;6} E\A = {1; 2; 4; 5}; E\B = {1; 4;6} Þ (E\A)È( E\B)= {1; 2; 4; 5;6} Suy ra E\(A ÇB) = (E\A)È( E\B). ➢DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN . 1. Phương pháp giải. · Chuyển bài toán về ngôn ngữ tập hợp · Sử dụng biểu đồ ven để minh họa các tập hợp · Dựa vào biểu đồ ven ta thiết lập được đẳng thức(hoặc phương trình hệ phương trình) từ đó tìm được kết quả bài toán Trong dạng toán này ta kí hiệu n(X) là số phần tử của tập X . 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Mỗi học sinh của lớp 10A1 đều biết chơi đá cầu hoặc cầu lông, biết rằng có 25 em biết chơi đá cầu , 30 em biết chơi cầu lông , 15 em biết chơi cả hai . Hỏi lớp 10A1 có bao nhiêu em chỉ biết đá cầu? A.10B.40 C.15 D.25 Lời giải: 25 Dựa vào biểu đồ ven ta suy ra số học sinh chỉ biết đá cầu là 25- 15 = 10 15 30 Số học sinh chỉ biết đánh cầu lông là 30- 15 = 15 0 Do đó ta có sĩ số học sinh của lớp 10A1 là 10 + 15+ 15 = 40 Trong số 220 học sinh khối 10 có 163 bạn biết chơi bóng chuyền, 175 bạn biết chơi bóng bàn còn 24 bạn không biết chơi môn bóng nào cả. Tìm số học sinh biết chơi cả 2 môn bóng. 9
  10. Ví dụ 2: Trong lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Hỏi số em thích chỉ một môn trong ba môn trên. A.15B.20 C.25 D.30 Lời giải: Gọi a,b,c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán; x là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và toán y là số học sịnh chỉ thích hai môn là Sử và toán z là số học sịnh chỉ thích hai môn là văn và Sử Ta có số em thích ít nhất một môn là 45- 6 = 39 Sựa vào biểu đồ ven ta có hệ phương trình ì ï a + x + z + 5 = 25 (1) ï ï b + y + z + 5 = 18 (2) í c 20(T) ï c + x + y + 5 = 20 (3) x ï îï x + y + z + a + b + c + 5 = 39 (4) 25(V) 5 y a Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có z b 18(S) a + b + c + 2(x + y + z)+ 15 = 63 (5) Từ (4) và (5) ta có a + b + c + 2(39- 5- a- b- c)+ 15 = 63 Û a + b + c = 20 Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên. Ví dụ 3: Trong lớp 10C1 có 16 học sinh giỏi môn Toán, 15 học sinh giỏi môn Lý và 11 học sinh giỏi môn Hóa. Biết rằng có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lý, 6 học sinh vừa giỏi Lý và Hóa, 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán, trong đó chỉ có 11 học sinh giỏi đúng hai môn. Hỏi có bao nhiêu học sinh của lớp a) Giỏi cả ba môn Toán, Lý, Hóa A.4B.5 C.7 D.8 b) Giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa. 10
  11. A.4B.5 C.7 D.8 Lời giải: Gọi T, L, H lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi môn Toán, Lý, Hóa. B là tập hợp học sinh giỏi đúng hai môn. 8(TH) Theo giả thiết ta có n(T)= 16, n(L)= 15, n(H)= 11, n(B)= 11 16(T) 11(H) 6(LH) n(T I L)= 9, n(L I H)= 6, n(H I T)= 8 và 9(LT) a) Xét tổng n(T ÇL)+ n(L ÇH)+ n(H ÇT) thì mỗi phần tử của tập 15(L) hợp T ÇL ÇH được tính ba lần do đó ta có n(T ÇL)+ n(L ÇH)+ n(H ÇT)- 3n(T ÇL ÇH)= n(B) 1 é ù Hay n(T ÇL ÇH)= ên(T ÇL)+ n(L ÇH)+ n(H ÇT)- n(B)ú= 4 Suy ra có 4 học sinh giỏi cả ba môn 3 ë û Toán, Lý, Hóa. b) Xét n(T I L)+ n(L I T) thì mỗi phần tử của tập hợp T ÇL ÇH được tính hai lần do đó số học sinh chỉ giỏi đúng môn toán là - é I + I - Ç Ç ù= - + - = n(T) ëên(T L) n(H T) n(T L H)ûú 16 (9 8 4) 3 Tương tự ta có Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Lý - é I + I - Ç Ç ù= - + - = n(L) ëên(T L) n(L H) n(T L H)ûú 15 (9 6 4) 4 Số học sinh chỉ giỏi đúng môn Hóa - é I + I - Ç Ç ù= - + - = n(H) ëên(H T) n(L H) n(T L H)ûú 11 (8 6 4) 1 Suy ra số học sinh giỏi đúng một môn Toán, Lý hoặc hóa là 3+ 4 + 1= 8 . Ví dụ 4. Trong một khoảng thời gian nhất định, tại một địa phương, Đài khí tượng thủy văn đã thống kê được: Số ngày mưa: 10 ngày; Số ngày có gió: 8 ngày; Số ngày lạnh: 6 ngày; Số ngày mưa và gió: 5 ngày; Số ngày mưa và lạnh : 4 ngày; Số ngày lạnh và có gió: 3 ngày; Số ngày mưa, lạnh và có gió: 1 ngày. Vậy có bao nhiêu ngày thời tiết xấu (Có gió, mưa hay lạnh)? 11
  12. A.13B.14 C.12 D.11 Lời giải: Ký hiệu A là tập hợp những ngày mưa, B là tập hợp những ngày có gió, C là tập hợp những ngày lạnh. Theo giả thiết ta có: n(A)= 10, n(B)= 8 , n(C)= 6, n(A ÇB) = 5, n(A ÇC) = 4, n(BÇC) = 3, n(A ÇBÇC) = 1. A B Để tìm số ngày thời tiết xấu ta sử dụng biểu đồ Ven(hình vẽ). Ta cần tính 5 8 n(A È BÈC) . 10 1 3 4 Xét tổng n(A)+ n(B)+ n(C): trong tổng này, mỗi phần tử của A giao B, B C giao C, C giao A được tính làm hai lần nên trong tổng n(A)+ n(B)+ n(C) ta 6 phải trừ đi tổng n(A ÇB)+ n(BÇC)+ n(C Ç A) . Trong tổng n(A)+ n(B)+ n(C) được tính n(A ÇBÇC) 3 lần, trong n(A ÇB)+ n(BÇC)+ n(C Ç A) cũng được tính n(A ÇBÇC) 3 lần. Vì vậy n(A È BÈC) = n(A)+ n(B)+ n(C)- n(A ÇB)- n(BÇC)- n(C Ç A)+ n(A ÇBÇC) = 10 + 8 + 6- (5+ 4 + 3)+ 1= 13 Vậy số ngày thời tiết xấu là 13 ngày. Nhận xét: Với A,B,C là các tập bất kì khi đó ta luôn có · n(A È B)= n(A)+ n(B)- n(A ÇB) · n(A È BÈC) = n(A)+ n(B)+ n(C)- n(A ÇB)- n(BÇC)- n(C Ç A)+ n(A ÇBÇC) 2. Bài tập luyện tập. Bài 1.33: Một nhóm học simh giỏi các bộ môn : Anh , Toán , Văn . Có 8 em giỏi Văn , 10 em giỏi Anh , 12 em giỏi Toán , 3 em giỏi Văn và Toán , 4 em giỏi Toán và Anh , 5 em giỏi Văn và Anh , 2 em giỏi cả ba môn. Hỏi nhóm đó có bao nhiêu em ? A.20B.25 C.10 D.15 12
  13. Lời giải: : Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V là tập hợp những học sinh giỏi Văn. Theo giả thiết ta có: n(V )= 8, n(A)= 10 , n(T)= 12, n(V ÇT) = 3, n(T Ç A) = 4, n(V Ç A) = 5, n(A ÇBÇC) = 2 . n(V È A ÈT) = n(V )+ n(A)+ n(T)- n(V Ç A)- n(A ÇT)- n(T ÇV )+ n(V Ç A ÇT) 8 + 10 + 12- 3- 4- 5+ 2 = 20 . Vậy nhóm đó có 20 em. Bài 1.34: Có 40 học sinh giỏi, mỗi em giỏi ít nhất một môn . Có 22 em giỏi Văn, 25 em giỏi Toán, 20 em giỏi Anh. Có 8 em giỏi đúng hai môn Văn, Toán; Có 7 em giỏi đúng hai môn Toán, Anh; Có 6 em giỏi đúng hai môn Anh, Văn. Hỏi: Có bao nhiêu em giỏi cả ba môn Văn, Toán, Anh? A.20B.25 C.14 D.15 Lời giải: Ký hiệu A là tập hợp những học sinh giỏi Anh, T là tập hợp những học sinh giỏi toán, V là tập hợp những học sinh giỏi Văn. Theo giả thiết ta có: n(V )= 22, n(T)= 25 , n(A)= 20, n(V ÇT) = 8, n(T Ç A) = 7, n(V Ç A) = 6, n(A È BÈC) = 40 . n(V È A ÈT) = n(V )+ n(A)+ n(T)- n(V Ç A)- n(A ÇT)- n(T ÇV )+ n(V Ç A ÇT) Þ n(V Ç A ÇT)= n(V È A ÈT)- n(V )- n(A)- n(T)+ n(V Ç A)+ n(A ÇT)+ n(T ÇV ) 40- 22- 25- 20 + 8 + 7 + 6 = 14 . Vậy có 14 em học giỏi cả ba môn Bài 1.35: Trong Kỳ thi tốt nghiệp phổ thông, ở một trường kết quả số thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc như sau: Về môn Toán: 48 thí sinh; Về môn Vật lý: 37 thí sinh; Về môn Văn: 42 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Vật lý: 75 thí sinh; Về môn Toán hoặc môn Văn: 76 thí sinh; Về môn Vật lý 13
  14. hoặc môn Văn: 66 thí sinh; Về cả 3 môn: 4 thí sinh. Vậy có bao nhiêu học sinh nhận được danh hiệu xuất sắc về: a) Một môn? A.65B.56 C.20 D.21 b) Hai môn? A.25B.45 C.21 D.20 c) ít nhất một môn? A.92B.98 C.95 D.94 Lời giải: Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp những học sinh xuất sắc về môn Toán, môn Vật Lý, môn Văn. Gọi a, b, c lần lượt là số học sinh chỉ đạt danh hiệu xuất sắc một môn về môn Toán, môn Vật Lý, môn Văn. Gọi x, y, z lần lượt là số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn về môn Toán và môn Vật Lý, môn Vật Lý và môn Văn, môn Văn và môn Toán. Dùng biểu đồ Ven đưa về hệ 6 phương trình 6 ẩn sau: B(37) ïì a + x + z + 4 = 48 ïì a = 28 b ï ï ï b + x + y + 4 = 37 ï b = 18 x ï ï y ï ï A(48) 4 ï c + y + z + 4 = 42 ï c = 19 í Û í a ï a + b + x + y + z = 71 ï x = 6 ï ï z C(42) ï a + c + x + y + z = 72 ï y = 9 ï ï îï b + c + x + y + z = 62 îï z = 10 c ĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 1 môn b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc 2 môn c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc ít nhất 1 môn. 14
  15. ➢DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON. 1. Phương pháp giải. · Để chứng minh A Ì B Lấy " x, x Î A ta đi chứng minh x Î B · Để chứng minh A = B ta đi chứng minh + A Ì B và B Ì A hoặc " x, x Î A Û x Î B 2.Các ví dụ minh họa. ïì p ïü ïì 2p ïü ïì 2p kp ïü Ví dụ 1: Cho các tập hợp A = íï + kp, k Î Zýï , B = íï - + kp,k Î Zýï và C = íï - + , k Î Zýï îï 3 þï îï 3 þï îï 3 2 þï a) Chứng minh rằng A = B. b) A Ì C Lời giải: p a) · Ta có " x Î A Þ $k Î Z : x = + k p suy ra 0 3 0 p 2p x = - p + (k + 1)p = - + (k + 1)p . 3 0 3 0 Vì k0 Î Z Þ k0 + 1Î Z do đó x Î B suy ra A Ì B (1). 2p · " x Î B Þ $k Î Z : x = - + k p suy ra 0 3 0 2p p x = - + p + (k - 1)p = + (k - 1)p . 3 0 3 0 Vì k0 Î Z Þ k0 - 1Î Z do đó x Î A suy ra B Ì A (2). Từ (1) và (2) suy ra A = B. p b) Ta có " x Î A Þ $k Î Z : x = + k p suy ra 0 3 0 p 2(k + 1)p 2p 2(k + 1)p x = - p + 0 = - + 0 . 3 2 3 2 Vì k0 Î Z Þ 2(k0 + 1)Î Z do đó x Î C Suy ra A Ì C . 15
  16. Ví dụ 2: Cho A và B là hai tập hợp. Chứng minh rằng a) (A\B)Ì A b) A Ç(B\A)= Æ c) A È(B\A)= A È B Lời giải: ïì x Î A a) Ta có " x, x Î A\B Û íï Þ x Î A îï x Ï B Suy ra (A\B)Ì A ïì x Î A ïì x Î A ï b) Ta có x Î A Ç(B\A)Û íï Û íï x Î B Û x Î Æ ï Î ï îï x (B\A) ï îï x Ï A Suy ra A Ç(B\A)= Æ éx Î A é x Î A ê éx Î A c) Ta có x Î A È(B\A)Û ê Û êïì x Î B Û ê Û x Î A È B êx Î (B\A) êíï êx Î B ëê êï ë ëêîï x Ï A Ví dụ 3: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng a) A Ç(BÈC)= (A ÇB)È(A ÇC) b) A È(BÇC)= (A È B)Ç(A ÈC) c) A Ç(B\C)= (A ÇB)\C Lời giải: ïì x Î A ïì x Î A ï a) Ta có x Î A Ç(BÈC)Û íï Û íï éx Î B ï ï ê îï x Î BÈC ï ê îï ëx Î C éì êï x Î A êí ï x Î B éx Î A ÇB Û êîï Û ê Û Î Ç È Ç ê ê x (A B) (A C) êïì x Î A ëx Î A ÇC êíï ï ëêîï x Î C Suy ra A Ç(BÈC)= (A ÇB)È(A ÇC). 16
  17. éx Î A é x Î A ê b) Ta có x Î A È(BÇC)Û ê Û êïì x Î B êx Î BÇC êíï ë êï ëêîï x Î C ïì é Î ï êx A ï ê ï ëx Î B ïì x Î A È B Û íï Û íï Û x Î (A È B)Ç(A ÈC) ï éx Î A ï x Î A ÈC ï ê îï ï ê îï ëx Î C Suy ra A È(BÇC)= (A È B)Ç(A ÈC) ïì x Î A ïì x Î A ï c) Ta có x Î A Ç(B\C)Û íï Û íï x Î B îï x Î B\C ï îï x Ï C ïì x Î A ÇB Û íï Û x Î (A ÇB)\C îï x Ï C Suy ra A Ç(B\C)= (A ÇB)\C 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.36: Cho A = {x Î N|x chia hết cho 4} , B = {x Î N|x chia hết cho 6} và C = {x Î N|x chia hết cho 12} . a) Chứng minh rằng A Ì C và B Ì C b) A È B = C c) A Ë B ïì p ïü ïì 11p ïü ïì p kp ïü Bài 1.37: Cho các tập hợp A = íï - + k2p, k Î Zýï , B = íï + k2p,k Î Zýï và C = íï + , k Î Zýï îï 6 þï îï 6 þï îï 3 2 þï a) Chứng minh rằng A = B. b) A Ì C Bài 1.38: Cho các tập hợp A Ì B, C Ì D . Chứng minh rằng a) A ÈC Ì BÈ D b) A ÇC Ì B c) CB A È A = B Bài 1.39: Cho các tập hợp A, B và C . Chứng minh rằng a) (A\B)È(B\A)= (A È B)\(A ÇB) 17
  18. b) A\(BÇC)= (A\B)È(A\C) c) A\(BÈC)= (A\B)Ç(A\C) Lời giải: éx Î A éxM4 · " Î È Û ê Û ê Û M Û Î Bài 1.36 x A B ê ê x 12 x C ëx Î B ëxM6 Suy ra A È B = C do đó A Ì C và B Ì C . · Ta có x = 4M4 Þ x Î A nhưng 4M6 Þ x = 4 Ï B do đó A Ë B p Bài 1.37: a) · Ta có " x Î A Þ $k Î Z : x = - + k 2p suy ra 0 6 0 p 11p x = - + 2p + (k - 1)2p = + (k - 1)2p . 6 0 6 0 Vì k0 Î Z Þ k0 - 1Î Z do đó x Î B suy ra A Ì B (1). 11p · " x Î B Þ $k Î Z : x = + k 2p suy ra 0 6 0 11p p x = - 2p + (k + 1)2p = - + (k + 1)2p . 6 0 6 0 Vì k0 Î Z Þ k0 + 1Î Z do đó x Î A suy ra B Ì A (2). Từ (1) và (2) suy ra A = B. p b) Ta có " x Î A Þ $k Î Z : x = - + k 2p suy ra 0 6 0 p p p p (4k - 1)p x = - + - + k 2p = + 0 . 6 2 2 0 3 2 Vì k0 Î Z Þ 4k0 - 1Î Z do đó x Î C Suy ra A Ì C . éx Î A " Î È Û ê Bài 1.38: a) Ta có x, x A C ê ëx Î C Với x Î A vì A Ì B Þ x Î B Þ x Î BÈ D Suy ra A ÈC Ì BÈ D . 18
  19. ïì x Î A b) Ta có " x, x Î A ÇC Û íï Þ x Î A îï x Î C Vì A Ì B Þ x Î B Suy ra A ÇC Ì B . éïì x Î B éx Î C A êíï c) " x, x Î C A È A Û ê B Û êï Ï Û x Î B B ê êîï x A ë x Î A ê ëêx Î A Suy ra CB A È A = B éì êï x Î A êí éx Î A\B ï x Ï B " Î È Û ê Û êîï Bài 1.39: a) Ta có x, x (A\B) (B\A) ê ê ëx Î B\A êïì x Î B êíï ï ëêîï x Ï A ïì é Î ï êx A ï ê ï ëx Î B ïì x Î A È B Û íï Û íï Û (A È B)\(A ÇB) ï éx Ï A ï x Ï A ÇB ï ê îï ï ê îï ëx Ï B Suy ra (A\B)È(B\A)= (A È B)\(A ÇB). ïì x Î A ïì x Î A ï b) " x, x Î A\(BÇC)Û íï Û íï éx Ï B ï ï ê îï x Ï BÇC ï ê îï ëx Ï C éì êï x Î A êí ï x Ï B éx Î A\B Û êîï Û ê Û Î È ê ê x (A\B) (A\C). êïì x Î A ëx Î A\C êíï ï ëêîï x Ï C ïì x Î A ïì x Î A ï c) " x, x Î A\(BÈC)Û íï Û íï x Ï B îï x Ï BÈC ï îï x Ï C ì ì ï ï x Î A ï í ï îï x Ï B ïì x Î A\B Û íï Û íï Û x Î (A\B)Ç(A\C) ï ïì x Î A îï x Î A\C ï íï ï ï îï îï x Ï C 19
  20. ➢DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC . 1. Phương pháp giải. · Để tìm A ÇB ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn các tập A, B trên trục số(phần nào không thuộc các tập đó thì gạch bỏ) - Phần không bị gạch bỏ chính là giao của hai tập hợp A, B · Để tìm A È B ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Tô đậm các tập A, B trên trục số - Phần tô đậm chính là hợp của hai tập hợp A, B · Để tìm A\B ta làm như sau - Sắp xếp theo thứ tự tăng dần các điểm đầu mút của các tập hợp A, B lên trục số - Biểu diễn tập A trên trục số(gạch bỏ phần không thuộc tập A ), gạch bỏ phần thuộc tập B trên trục số - Phần không bị gạch bỏ chính là A\B . 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho các tập hợp: A = {x Î R|x < 3} B = {x Î R|1< x £ 5} C = {x Î R|- 2 £ x £ 4} a) Hãy viết lại các tập hợp A, B, C dưới kí hiệu khoảng, nửa khoảng, đoạn. ù ù é ù A. A = (- ¥ ; 3û B = (1; 5û C = ë- 2; 4û é é ù B. A = (- ¥ ; 3) B = ë1; 5) C = ë- 2; 4û ù C. A = (- ¥ ; 3) B = (1; 5û C = (- 2; 4) ù é ù D. A = (- ¥ ; 3) B = (1; 5û C = ë- 2; 4û b) Tìm A È B, A ÇB, A\B . ù ù A. A È B = (- ¥ ; 5û B. A ÇB = (1; 3) C. A\B = (- ¥ ;1û D.Cả A, B, C đều đúng 20
  21. c) Tìm (BÈC)\(A ÇC) é ù é ù é ù A. ë3; 5û B. ë3; 4û C. (3; 5) D. ë1; 5û Lời giải: ù é ù a) Ta có: A = (- ¥ ; 3) B = (1; 5û C = ë- 2; 4û. 1 3 5 b) · Biểu diễn trên trục số ( ) ] ù Suy ra A È B = (- ¥ ; 5û 1 3 5 · Biểu diễn trên trục số / / / / ( )\/\/\/\]\/\/\/\ Suy ra A ÇB = (1; 3) 1 3 5 · Biễu diễn trên trục số ( / / / /)\/\//\/\]\ \ \ \ ù Suy ra A\B = (- ¥ ;1û c) Bằng cách biểu diễn trên trục số ta có é é ù A ÇC = ë- 2; 3) và BÈC = ë- 2; 5û é ù Suy ra ta có (BÈC)\(A ÇC)= ë3; 5û Nhận xét: Việc biểu diễn trên trục số để tìm các phép toán tập hợp ta làm trên giấy nháp và trình bày kết quả vào. Ví dụ 2: Xác định các tập số sau? ù é a) (- 4; 2ûÇë0; 4) é ù é é A. ë0; 2û B.(- 4; 4) C. ë2; 4) D. ë- 4; 4) é ù b) (0; 3)È ë1; 4û ù é ù é A. (0; 4û B.(0; 4) C. ë3; 4û D. ë0;1) 21
  22. é ù é ù c) ë- 4; 3û\ë- 2;1û ù é é ù A. (1; 3û B. ë- 4;- 2) C. ë- 4;- 2)È(1; 3û D.Cả A, B, C đều đúng é ù d) ¡ \ë1; 3û ù é A. (- ¥ ;1)È(3;+ ¥ ) B. (- ¥ ;1ûÈ ë3;+ ¥ ) é ù C. (1; 3) D. ë1; 3û Lời giải: 0 2 / / / / /[ ]/ / / / / / ù é é ù a) Ta có (- 4; 2ûÇë0; 4)= ë0; 2û Biểu diễn tập đó trên trục số là 0 4 b) Ta có 0; 3 È é1; 4ù= 0; 4ù ( ) ë û ( û / / / / ( ]/ / / / / / Biểu diễn tập đó trên trục số là é ù é ù é ù c) Ta có ë- 4; 3û\ë- 2;1û= ë- 4;- 2)È(1; 3û 4 2 1 3 / / /[ )/ / / /( ]/ / / Biểu diễn tập đó trên trục số là é ù d) Ta có ¡ \ë1; 3û= (- ¥ ;1)È(3;+ ¥ ) 1 3 Biểu diễn tập đó trên trục số là )[/ / / /]( é ù Ví dụ 3: Cho các tập hợp A = ( - ¥ ; m) và B = ë3m- 1; 3m+ 3û. Tìm m để a) A ÇB = Æ 1 1 1 1 A. m > B. m - B. m £ - C. m ³ - D. m < - 2 2 2 2 c) A Ì C¡ B 22
  23. 1 1 1 1 A. m 2 2 2 2 d) C¡ A ÇB ¹ Æ 3 3 3 3 A. m > - B. m £ - C. m ³ - D. m < - 2 2 2 2 Lời giải: Ta có biểu diễn trên trục số các tập A và B trên hình vẽ a) Ta có A ÇB = Æ 1 Û m £ 3m- 1 Û m ³ 2 m 1 )/ / / / / / / / Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 3 b) Ta có B Ì A Û 3m+ 3 < m Û m < - 2 3m 1 3m 3 3 Vậy m < - là giá trị cần tìm. / / / / /[ ]/ / / / 2 c) Ta có C¡ B = (- ¥ ; 3m- 1)È(3m+ 3;+ ¥ ) 1 Suy ra A Ì C B Û m £ 3m- 1 Û m ³ ¡ 2 1 Vậy m ³ là giá trị cần tìm. 2 3 d) Ta có C A = ém;+ ¥ ) suy ra C A ÇB ¹ ÆÛ m £ 3m+ 3 Û m ³ - ¡ ë ¡ 2 3 Vậy m ³ - là giá trị cần tìm. 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.40: Xác định các tập hợp A È B, A\C, A ÇBÇC và biểu diễn trên trục số các tập hợp tìm được biết: a) A = {x Î R - 1£ x £ 3} , B = {x Î R x ³ 1} ,C = (- ¥ ;1) é é ù A. A È B = ë- 1;+ ¥ ) B. A\C = ë1; 3û 23
  24. C. A ÇB ÇC = f D. Cả A, B, C đều đúng b) A = {x Î R - 2 £ x £ 2} , B = {x Î R x ³ 3},C = (- ¥ ;0) é ù é é ù A. A È B = ë- 2; 2ûÈ ë3;+ ¥ ) B. A\C = ë0; 2û C. A ÇB ÇC = f D.Cả A, B, C đều đúng Lời giải: é ù é Bài 1.40: a) Có A = ë- 1; 3û và B = ë1;+ ¥ ) é é ù A È B = ë- 1;+ ¥ ), A\C = ë1; 3û, A ÇB ÇC = f é ù é b) Có A = ë- 2; 2û và B = ë3;+ ¥ ) é ù é é ù A È B = ë- 2; 2ûÈ ë3;+ ¥ ), A\C = ë0; 2û, A ÇB ÇC = f Bài 1.41: Cho tập A = [-1; 2), B = (-3; 1) và C = (1; 4]. a) Viết tập A, B, C dưới dạng chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử A. A = [- 1; 2) = {x - 1£ x < 2} B. B = (- 3; 1) = {x - 3 < x < 1} C. C = (1; 4]= {x 1< x £ 4} D.Cả A, B, C đều đúng b) Xác định các phép toán A ÇB, BÈC, A\B. A. A ÇB = [- 1;1), BÈC = (- 2; 4)\{1}, A\B = [1; 2) B. A ÇB = [- 1;1), BÈC = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 3) C. A ÇB = [- 2;1), BÈC = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 2) D. A ÇB = [- 1;1), BÈC = (- 3; 4)\{1}, A\B = [1; 2) Lời giải: Bài 1.41: a) Ta có: A = [- 1; 2) = {x - 1£ x < 2} ,B = (- 3; 1) = {x - 3 < x < 1} 24
  25. C = (1; 4]= {x 1 2 2 2 2 Lời giải: é é Bài 1.43: a) A ÇB = ë- 1;0)È(1; 5) A ÈC = ë- 1;+ ¥ ) B\C = (- 2;0)È(1; 2) - 3 b) A È B = R Û 2m+ 1 2 C. m £ 2 D. m ³ 2 25
  26. ïì x £ 3 ï b) Viết tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện íï x + 1³ 0 dưới dạng tập số. ï îï x 2 . ïì x £ 3 ï b) Viết tập A gồm các phần tử x thỏa mãn điều kiện íï x + 1³ 0 dưới dạng tập số. ï îï x 1 ëm- 2n > 1 ëm- n > 1 ëm- n > 1 Lời giải: é - 1 é + ù ê m 1ú é Bài 1.46: Cho tập hợp A = m- 1; và B = (- ¥ ;- 2)È ë2;+ ¥ ). Tìm m để ëê 2 ûú a) A Ì B A. m ³ - 5 B. m £ - 5 C. m - 5 b) A ÇB = Æ 26
  27. A. - 1 - 2 îï m > - 2 Với điều kiện (*), ta có : a) A ÇB ¹ Æ Û m – 1 - 3. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu A ÇB ¹ Æ là –2 < m < 5 . 27
  28. ïì m- 1³ - 2 ïì m ³ - 1 b) A Ì B Û íï Û íï Û m > 1. So sánh (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu cầu îï 2m+ 2 > 4 îï m > 1 A Ì B là1< m < 5 . ïì m- 1£ - 2 ïì m £ - 1 c) B Ì A Û íï Û íï Û m £ - 1. So sánh với (*) ta thấy các giá trị m thỏa mãn yêu îï 2m+ 2 £ 4 îï m £ 1 cầu B Ì A là - 2 < m £ - 1 . ïì m- 1³ - 1 1 d) (A ÇB) Ì (- 1; 3) Û íï Û 0 £ m £ (thỏa (*)). îï 2m+ 2 £ 3 2 §5 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Số gần đúng Trong nhiều trường hợp ta không thể biết được giá trị đúng của đại lượng mà ta chỉ biết số gần đúng của nó. Ví dụ: giá trị gần đúng của p là 3,14 hay 3,14159; còn đối với 2 là 1,41 hay 1,414; Như vậy có sự sai lệch giữa giá trị chính xác của một đại lượng và giá trị gần đúng của nó. Để đánh giá mức độ sai lệch đó, người ta đưa ra khái niệm sai số tuyệt đối. 2. Sai số tuyệt đối: a) Sai số tuyệt đối của số gần đúng Nếu a là số gần đúng của a thì D a = a- a được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a . · Độ chính xác của một số gần đúng Trong thực tế, nhiều khi ta không biết a nên ta không tính được D a . Tuy nhiên ta có thể đánh giá D a không vượt quá một số dương d nào đó. Nếu D a £ d thì a- d £ a £ a + d , khi đó ta viết a = a ± d d gọi là độ chính xác của số gần đúng. b) Sai số tương đối Sai số tương đối của số gần đúng a , kí hiệu là da là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và a , tức là D d = a . a |a| 28
  29. d d Nhận xét: Nếu a = a ± d thì D £ d suy ra d £ . do đó càng nhỏ thì chất lượng của phép a a |a| |a| đo đạc hay tính toán càng cao. 3. Quy tròn số gần đúng · Nguyên tắc quy tròn các số như sau: - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta chỉ việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0. - Nếu chữ số ngay sau hàng quy tròn lớn hơn hay bằng 5 thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó bởi 0 và cộng thêm một đơn vị vào số hàng vi tròn. Nhận xét: Khi thay số đúng bởi số qui tròn đến một hàng nào đó thì sai sô tuyệt đối của số qui tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng qui tròn. Như vậy, độ chính xác của số qui tròn bằng nửa đơn vị của hàng qui tròn. Chú ý: Các viết số quy tròn của số gần đúng căn cứ vào độ chính xác cho trước: Cho số gần đúng a với độ chính xác d. Khi được yêu cầu quy tròn a mà không nói rõ quy tròn đến hàng nào thì ta quy tròn a đến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó. 4. Chữ số chắc (đáng tin) Cho số gần đúng a của số a với độ chính xác d . Trong số a , một chữ số được gọi là chữ số chắc (hay đáng tin) nếu d không vượt quá nửa đơn vị của hàng có chữ số đó. Nhận xét: Tất cả các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc. Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều là chữ số không chắc. 5. Dạng chuẩn của số gần đúng - Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà mọi chữ số của nó đều là chữ chắc chắn. - Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn của nó là A.10k trong đó A là số nguyên , k là hàng thấp nhất có chữ số chắc ( k Î N ). (suy ra mọi chữ số của A đều là chữ số chắc chắn) Khi đó độ chính xác d = 0,5.10k . 6. Kí hiệu khoa học của một số 1 Mọi số thập phân khác 0 đều viết được dưới dạng a.10n , 1£ a < 10, n Î Z(Quy ước 10- n = ) 10n dạng như vậy được gọi là kí hiệu khoa học của số đó. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 29
  30. ➢DẠNG TOÁN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG . VIẾT SỐ QUY TRÒN. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Độ dài của cái cầu bến thủy hai (Nghệ An) người ta đo được là 996m± 0,5m . Sai số tương đối tối đa trong phép đo là bao nhiêu. A. 0,07% B. 0,06% C. 0,05% D. 0,03% Lời giải: Ta có độ dài gần đúng của cầu là a = 996 với độ chính xác d = 0,5 D d 0,5 Vì sai số tuyệt đối D £ d = 0,5 nên sai số tương đối d = a £ = » 0,05% a a a a 996 Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là 0,05% . Ví dụ 2: Hãy xác định sai số tuyệt đối của các số gần đúng a, b biết sai số tương đối của chúng. a) a = 123456, da = 0,2% A. D a = 146,954 B. D a = 146,99 C. D a = 146,912 D. D a = 146,941 b) a = 1,24358, da = 0,5% A. D a = 0,0012179 B. D a = 0,0062179 C. D a = 0,1262179 D. D a = 0,5062179 Lời giải: D Ta có d = a Û D = a d a a a a a) Với a = 123456, da = 0,2% ta có sai số tuyệt đối là D a = 123456.0,2% = 146,912 b) Với a = 1,24358, da = 0,5% ta có sai số tuyệt đối là D a = 1,24358.0,5% = 0,0062179 . Ví dụ 3: Làm tròn các số sau với độ chính xác cho trước. a) a = 2,235 với độ chính xác d = 0,002 A. a » 2,23 B. a » 2,24 C. a » 2,22 D. a » 2,25 b) a = 23748023 với độ chính xác d = 101 30
  31. A. a » 23749000 B. a » 23748000 C. a » 23746000 D. a » 23747000 Lời giải: a) Ta có 0,001< 0,002 < 0,01 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần trăm Do đó ta phải quy tròn số a = 2,235 đến hàng phần trăm suy ra a » 2,24 . b) Ta có 100 < 101< 1000 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng nghìn Do đó ta phải quy tròn số a = 23748023 đến hàng nghìn suy ra a » 23748000 . Ví dụ 4: a) Hãy viết giá trị gần đúng của 8 chính xác đến hàng phần trăm và hàng phần nghìn biết 8 = 2,8284 . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. A. 2,826 B. 2,829 C. 2,828 D. 2,827 b) Hãy viết giá trị gần đúng của 3 20154 chính xác đến hàng chục và hàng trăm biết 3 20154 = 25450,71 . Ước lượng sai số tuyệt đối trong mỗi trường hợp. A. 25449 B. 25452 C. 25450 D. 25451 Lời giải: a) Ta có 8 = 2,8284 do đó giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần trăm là 2,83 Ta có 8 - 2,83 = 2,83- 8 £ 2,83- 2,8284 = 0,0016 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,83 không vượt quá 0,0016 . Giá trị gần đúng của 8 đến hàng phần nghìn là 2,828 Ta có 8 - 2,828 = 8 - 2,828 £ 2,8284- 2,828 = 0,0004 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 2,828 không vượt quá 0,0004 . b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 20154 = 25450,71966 Do đó giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng chục là 25450 Ta có 3 20154 - 25450 = 3 20154 - 25450 £ 25450,72- 25450 = 0,72 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25450 không vượt quá 0,72 . 31
  32. Giá trị gần đúng của 3 20154 đến hàng trăm là 25500 . Ta có 3 20154 - 25500 = 25500- 3 20154 £ 25500- 25450,71= 49,29 Suy ra sai số tuyệt đối của số gần đúng 25500 không vượt quá 49,29 . Ví dụ 5: Một cái ruộng hình chữ nhật có chiều dài là x = 23m± 0,01m và chiều rộng là y = 15m± 0,01m. Chứng minh rằng a) Chu vi của ruộng là P = 76m± 0,04m b) Diện tích của ruộng là S = 345m± 0,3801m Lời giải: a) Giả sử x = 23+ a, y = 15+ b với - 0,01£ a, b £ 0,01 Ta có chu vi ruộng là P = 2(x + y)= 2(38 + a + b)= 76 + 2(a + b) Vì - 0,01£ a, b £ 0,01 nên - 0,04 £ 2(a + b)£ 0,04 Do đó P- 76 = 2(a + b) £ 0,04 Vậy P = 76m± 0,04m b) Diện tích ruộng là S = x.y = (23+ a)(15+ b)= 345+ 23b + 15a + ab Vì - 0,01£ a, b £ 0,01 nên 23b + 15a + ab £ 23.0,01+ 15.0,01+ 0,01.0,01 hay 23b + 15a + ab £ 0,3801 suy ra S- 345 £ 0,3801 Vậy S = 345m± 0,3801m . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1.48: Theo thống kê dân số Việt Nam năm 2002 là 79715675 người. Giả sử sai số tuyệt đối nhỏ hơn 10000. Hãy viết quy tròn của số trên. A. 79720000B. 79715000 C. 79725000 D. 79710000 Lời giải: Bài 1.48: Kq: 79720000 Bài 1.49: Đo độ cao một ngọn núi là h = 1372,5m± 0,1m . Hãy viết số quy tròn của số 1372,5 32
  33. A. 1374B. 1371 C. 1372 D. 1373 Lời giải: Bài 1.49: Kq: 1373 Bài 1.50: Đo độ cao một ngọn cây là h = 347,13m± 0,2m . Hãy viết số quy tròn của số 347,13 A. 345B. 347 C. 348 D. 346 Lời giải: Bài 1.50: Kq: 347 Bài 1.51: Cho giá trị gần đúng của là a = 3,141592653589 với độ chính xác là 10-10. Hãy viết số quy tròn của a. A. 3,141592654B. 3,141592652 C. 3,141592656 D. 3,141592653 Lời giải: Bài 1.51: Kq : 3,141592654 Bài 1.52. Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy viết giá trị gần đúng của mỗi số sau, chính xác đến hàng phần nghìn : a) 3 ; A. 1,7320.B. 1,732. C. 1,733. D. 1,731. b) p 2 . A. 9,873.B. 9,870. C. 9,872. D. 9,871 Lời giải: Bài 1.52 a) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có 3 = 1,732050808 Do đó : Giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần trăm là 1,73. Giá trị gần đúng của 3 chính xác đến hàng phần nghìn là 1,732. b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị của p 2 là 9,8696044 Do đó : Giá trị gần đúng của p 2 chính xác đến hàng phần trăm là 9,87. Giá trị gần đúng của p 2 chính xác đến hàng phần nghìn là 9,870. Bài 1.53: Hãy viết số quy tròn của số a với độ chính xác d được cho sau đây : 33
  34. a) a = 17658 ± 16 ; A. 17780B. 17720 C. 17500 D. 17600 b) a = 15,318 ± 0,056 . A. 15,5B. 15,3 C. 15,2 D. 15,4 Lời giải: Bài 1.53 a) Vì 10 < 16 < 100 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng trăm. Nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm. Vậy số quy tròn là 17700 (hay viết a » 17700 ). b) Ta có 0,01 < 0,056 < 0,1 nên hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó là hàng phần chục. Do đó phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục. Vậy số quy tròn là 15,3 (hay viết a » 15,3 ). Bài 1.54: Cho a = 15± 0,002 , b = 0,123± 0,001 , c = 13± 0,05 Chứng minh rằng: a) a + b = 15,123± 0,003 b) 20a- 10b + c = 311,77 ± 0,1 c) a + bc = 16,599 ± 0,02115 2 Bài 1.55: Cho số x = . Cho các giá trị gần đúng của x là : 0,28 ; 0,29 ; 0,286 . Hãy xác định sai 7 số tuyệt đối trong từng trường hợp ? 2 1 A. D = - 0,28 = a 7 175 2 3 B. D = - 0,29 = ; b 7 700 2 1 C. D = - 0,286 = . c 7 3500 D. Cả A, B, C đều đúng Lời giải: Bài 1.55: Ta có các sai số tuyệt đối là : 34
  35. 2 1 2 3 D = - 0,28 = ; D = - 0,29 = ; a 7 175 b 7 700 Vì c < b < a nên c = 0,286 là số gần đúng tốt nhất. Bài 1.56: Một miếng đất hình chữ nhật có chiều rộng x = 43m± 0,5m và chiều dài y = 63m± 0,5m . chu vi P của miếng đất là. A. P = 212m± 4m B. P = 212m± 2m C. P = 212m± 0,5m D. P = 212m± 1m Lời giải: Bài 1.56: Giả sử x = 43+ u, y = 63+ v. Ta có P = 2x + 2y = 2(43+ 63)+ 2u+ 2v = 212 + 2(u+ v). Theo giả thiết - 0,5 £ u £ 0,5 và - 0,5 £ v £ 0,5 nên - 2 £ 2(u+ v)£ 2 . Do đó P = 212m± 2m . Bài 1.57: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh đo được như sau : a = 12cm± 0,2cm ; b = 10,2cm± 0,2cm ; c = 8cm± 0,1cm. Tính chu vi P của tam giác? A. P = 30,2 cm± 0,2 cm. B. P = 30,2 cm± 1 cm. C. P = 30,2 cm± 0,5 cm. D. P = 30,2 cm± 2 cm. Lời giải: Bài 1.57: Giả sử a = 12 + d1 , b = 10,2 + d2 , c = 8 + d3 . Ta có P = a + b + c + d1 + d2 + d3 = 30,2 + d1 + d2 + d3 . theo giả thiết : - 0,2 £ d1 £ 0,2; - 0,2 £ d2 £ 0,2;- 0,1£ d3 £ 0,1. Suy ra –0,5 £ d1 + d2 + d3 £ 0,5 . Do đó : P = 30,2 cm± 0,5 cm. d Sai số tuyệt đối :D £ 0,5 . Sai số tương đối : d £ » 1,66% . P P P ➢DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ. 1. Các ví dụ minh họa 35
  36. Ví dụ 1: viết dạng chuẩn của số gần đúng a biết a) Số người dân tỉnh Nghệ An là a = 3214056 người với độ chính xác d = 100 người. A. 3216.103 B. 3214.103 C. 3215.103 D. 321.103 b) a = 1,3462 sai số tương đối của a bằng 1% . A. 1,5 B. 1,34 C. 1,3 D. 1,4 Lời giải: 100 1000 a) Vì = 50 < 100 < = 500 nên chữ số hàng trăm(số 0) không là số chắc, còn chữ số hàng 2 2 nghìn(số 4) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1,2,3,4 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 3214.103 . D b) Ta có d = a Þ D = d . a = 1%.1,3462 = 0,013462 a a a a Suy ra độ chính xác của số gần đúng a không vượt quá 0,013462 nên ta có thể xem độ chính xác là d = 0,013462 . 0,01 0,1 Ta có = 0,005 < 0,013462 < = 0,05 nên chữ số hàng phần trăm(số 4) không là số chắc, 2 2 còn chữ số hàng phần chục(số 3) là chữ số chắc. Vậy chữ số chắc là 1 và 3 . Cách viết dưới dạng chuẩn là 1,3 . Ví dụ 2: Viết các số gần đúng sau dưới dạng chuẩn a) a = 467346 ± 12 A. 4671.102 B. 4674.102 C. 4673.102 D. 4672.102 b) b = 2,4653245± 0,006 A. 2,47 B. 2,5 C. 2,46 D. 2,4 Lời giải: 10 100 a) Ta có = 5 < 12 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở đi là chữ số chữ số chắc do đó số gần 2 2 đúng viết dưới dạng chuẩn là 4673.102 . 36
  37. 0,01 0,1 b) Ta có = 0,005 < 0,006 < = 0,05 nên chữ số hàng phần chục trở đi là chữ số chữ số 2 2 chắc do đó số gần đúng viết dưới dạng chuẩn là 2,5 . Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ đang nghiên cứu liệu một máy bay có thể có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng. Với máy bay đó trong một năm(giả sử một năm có 365 ngày) nó bay được bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s. Viết kết quả dưới dạng kí hiệu khoa học. Lời giải: Ta có một năm có 365 ngày, một ngày có 24 giờ, một giờ có 60 phút và một phút có 60 giây Vậy một năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây. Vì vận tốc ánh sáng là 300 nghìn km/s nên trong vòng một năm nó đi được 31536000.300 = 9,4608.109 km. 2. Bài tập luyện tập. Bài 1.58: Một hình lập phương có thể tích V = 180,57cm3 ± 0,05cm3 . Xác định các chữ số chắc chắn của V. A. 1,2,3,5 B. 1,8,0,5 C. 1,2,0,5 D. 1,8,0,3 Lời giải: 0,01 0,1 Bài 1.58: Kq : £ 0,05 £ Þ 1,8,0,5 là chữ số chắc chắn. 2 2 Bài 1.59: Số dân của một tỉnh là A = 1034258± 300 (người). Hãy tìm các chữ số chắc và viết A dưới dạng chuẩn. A. A » 1032.103 B. A » 1034.103 C. A » 1035.103 D. A » 1033.103 Lời giải: 100 1000 Bài 1.59: Ta có : = 50 < 300 < 500 = nên các chữ số 8 (hàng đơn vị), 5 (hàng chục) và 2 ( 2 2 hàng trăm ) đều là các chữ số không chắc. Các chữ số còn lại 1, 0, 3, 4 là chữ số chắc. Do đó cách viết chuẩn của số A là A » 1034.103 (người). 37
  38. Bài 1.60: Người ta đo chu vi của một khu vườn là P = 213,7m± 1,2m . Hãy đánh giá sai số tương đối của phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học. Lời giải: ïì a = 213,7 d 1,2 Bài 1.60: R= 213,7m± 1,2m Þ íï nên d£ = = 5,62.10- 3 îï d = 1,2 a 213,7 Bài 1.61: Khi xây một hồ cá hình tròn người ta đo được đường kính của hồ là 8,52m với độ chính xác đến 1cm Hãy đánh giá sai số tương đối của phép đo trên và viết kết quả tìm được dưới dạng khoa học . Lời giải: ïì a = 852cm d 1 Bài 1.61: R = 8,52m± 0,01m Þ íï nên d£ = = 1,174.10- 3 îï d = 1cm a 852 Bài 1.62: Đo chiều dài của một con dốc, ta được số đo a = 192,55 m , với sai số tương đối không vượt quá 0,3%. Hãy tìm các chữ số chắc của d và nêu cách viết chuẩn giá trị gần đúng của a . Lời giải: Bài 1.62: Ta có sai số tuyệt đối của số đo chiều dài con dốc là : D a = a.da £ 192,55.0,2% = 0,3851 Vì 0,05 < D a < 0,5 . Do đó chữ số chắc của d là 1, 9, 2. Vậy cách viết chuẩn của a là 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị). Bài 1.63: Cho 3,141592 < p < 3,141593 . Hãy viết giá trị gần đúng của số p dưới dạng chuẩn và đánh giá sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này trong mỗi trường hợp sau : a) Giá trị gần đúng của p có 5 chữ số chắc ; b) Giá trị gần đúng của p có 6 chữ số chắc ; c) Giá trị gần đúng của p có 3 chữ số chắc. Lời giải: Bài 1.63: a) Vì có 5 chữ số chắc nên số gần đúng của p được viết dưới dạng chuẩn là 3,1416 (hay p » 3,1416 ). Sai số tuyệt đối của số gần đúng là D p = 3,1416- p £ 0,000008. b) Vì có 6 chữ số chắc nên p » 3,14159 và sai số tuyệt đối của số gần đúng này là D p = 3,14159- p £ 0,000003 . c) Vì có 3 chữ số chắc nên p » 3,14 và D p 3,14- p £ 0,001593 . 38